12.4 复数的三角形式 课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

12.4 复数的三角形式 第12章 复数 高一下学期数学苏教版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 复数的三角形式 1 复数的三角形式 如图12.4-1，我们可以用刻画向量大小的模和刻画向量方向的角 来表示复数 . 图12.4-1 6 一般地，任何一个复数都可以表示成 的形式.其中, 概念 名称 概念的说明 模 是复数的模， 辐角 是以轴的非负半轴为始边、向量所在的射线起点是原点 为终边的 角，且, 三角 形式 称为复数 的三角形式，该式的结构特征是:模非负，角相 同，余弦前，加号连 说明称为复数 的代数形式. 7 2 辐角的主值 很明显，任一非零的复数的辐角有无限个值，这些值相差 的整数 倍.我们把其中适合于 的辐角 的值叫作复数 的辐角主值，记 作,即 . 复数在复平面内与原点对应，向量 是零向量，这时复数的模为0， 辐角是任意的. 说明 把一个复数表示成三角形式时，辐角 不一定取主值. 3 三角形式下的复数相等 每一个非零的复数 都有唯一确定的模与辐角主值；反过来，复数的模 与辐角主值可以唯一确定这个复数. 由此可以得到两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等. 8 学思用·典例详解 例1-1 ［教材改编P135例2］ 将代数形式的复数 改写成三角形式. 【解析】 因为,,与 对应的点在第 一象限, 所以,从而的三角形式为 . . . . 9 例1-2 ［教材改编P134例1］ 求复数，1, 的辐角主值. 【解析】设这三个复数的模分别是,,，辐角主值分别是，， ， 因为，所以， ， 又 ，故 . 同理，可以求得，,;, . 所以这三个复数的辐角主值分别是,0, . 10 知识点2 复数乘法运算的三角形式及其几何意义 1 复数乘法运算的三角形式 如果把复数,分别写成三角形式： , . 那么，根据复数的乘法法则，就有 , 即 . 这就是说，两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积的辐角等 于这两个复数的辐角的和. 11 2 几何意义 如图12.4-2,在复平面内分别画出与复数,对应的向量,（假定, 均 取辐角主值，其他取值不影响讨论）,然后把向量按逆时针方向旋转一个角 得 模仍为，再把的模变为原来的倍，从而得到一个新的向量, 所 对应的复数即为 ，这就是复数乘法的几何意义. 图12.4-2 12 3 推广 根据两个复数乘法运算的三角表示及其几何意义，可以推广到 个复数相乘的情况，即 , 特别地，当 时， . 13 学思用·典例详解 例2-3 若非零复数，则 ____. 【解析】共轭复数在复平面内对应的点关于轴对称，因此 是 的一个辐角,则 ,故 . 点评 若非零复数，则 ，这是一个非常有用的结论. 14 例2-4 不用计算，猜测 的值为___. 1 【解析】如图12.4-4所示，对应的向量为 ， 图12.4-4 则对应的向量为，对应的向量为 . 故 . 15 点评 通过复数乘法的几何意义，易得对于， ,1,2，都 有 . 16 知识点3 复数除法运算的三角形式及其几何意义 1 复数除法的三角形式 设, , 当 时， , 即 . 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商 的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 17 2 几何意义 如图12.4-3，两个复数,相除时，先分别画出与,对应的向量, ,然后 把向量绕点按顺时针方向旋转角如果，就要把绕点 按 逆时针方向旋转角,得模仍为,再把的模变为原来的 ，得到向量 ,表示的复数就是商 .这是复数除法的几何意义. 图12.4-3 18 学思用·典例详解 例3-5 计算： （1） ; 【解析】原式 . 19 （2） . 【解析】原式 ] 20 题型解析 03 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 复数的代数形式与三角形式的互化 例6 把下列复数表示成三角形式. （1） ； 【解析】 . 所以所以 . 因此复数的三角形式为 . 22 （2） . 【解析】 ， 所以所以 , 因此复数的三角形式为 . 23 复数的代数形式转化为三角形式的步骤：①求出模；②确定辐角主值；③写出三角形式. 例7 将复数 表示成代数形式. 【解析】 . 24 例8 求复数 的模与辐角主值. 【解析】 . , , ， , , , , . 故复数的模是,辐角主值是 . 25 易错警示 从形式上看，似乎就是复数 的三角形式，从而易 误认为， . 错误之处在于没有考虑角 的范围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号 连”来判断是否为三角形式. 26 【学会了吗丨变式题】 复数 的三角形式是( ) B A. B. C. D. 【解析】 ． 27 题型2 三角形式下的复数的乘、除运算 例9 (2025·江西省宜春市期末)若复数 为纯虚数，则正 整数 的最小值为( ) A A.4 B.6 C.8 D.10 28 【解析】因为 ， 所以 . （三角形式下的乘方运算） 因为复数为纯虚数，所以且 ， 所以 ，，得，，所以正整数 的最小值为4. 29 例10 利用复数的三角形式求 的值. 【解析】 , ], , 所以原式 . 30 三角形式下复数的乘、除运算的关键点 复数三角形式下的乘法法则:模数相乘,辐角相加； 复数三角形式下的乘方法则:模数乘方,辐角 倍； 复数三角形式下的除法法则:模数相除,辐角相减. 31 题型3 求 的模和辅角主值 例11 设复数，求 的模和辐角主值. 32 名师点评 辐角主值的取值范围是 ,故将复数乘法运算用三角形式表示出来后， 还需将辐角化简到 内. 【解析】 ， 复数的模为32，辐角主值为 . 33 例12 求复数 的模与辐角主值. 【解析】 （【关键点】利用倍角公式的目的是出现“ ”，便于与“1”相 消） . , , ， ], . . 34 . , , . 故复数的模是,辐角主值是 . 易错警示 从形式上看， 似乎就是三角形式，不少同学认为 ，.错误之处在于没有考虑角 的范围，因此一定要用“模非负， 角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角形式. 35 题型4 三角形式下的复数乘、除运算的几何意义的应用 例13 在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为,,, （其中为原点）.已知对应的复数为,求和 所对应的复数. 【解析】根据题意画出示意图如图12.4-5所示.设,对应的复数分别为, . 图12.4-5 36 由三角形式下复数运算的几何意义知， . . 名师点评 求时是将按顺时针方向旋转 ,且将的模缩短到原来长度的 ,符 合复数除法的几何意义，也可以直接写成.而在求时，也可将 按 逆时针方向旋转 得到，用 计算. 37 知识测评 04 1.复数 的辐角主值为( ) A A. B. C. D. 【解析】， 复数的辐角为，， 复数 的辐角主值为 ． 2.设复数和的辐角主值分别是 ， ，则 等于( ) D A. B. C. D.1 【解析】因为复数和的辐角主值分别是 , ,所以, ,所 以 . 39 3.复数 的辐角主值是( ) A A. B. C. D. 【解析】复数 4.设，则复数 的辐角主值为( ) B A. B. C. D. 【解析】 . ,,,则辐角主值为 . ,由 知,故复数 的辐角主值为 . 40 5.新情境 棣莫弗定理 由法国数学家棣莫弗创立．棣莫弗定理的内容是：设两个复 数（用三角形式表示）， ，则 ．该定理可推广为乘方形式，即若 ，则，．已知复数 ， 用棣莫弗定理求得 _______． 【解析】 ， ． 6.复数 的三角形式为_______________（用辐角主值表示）. 【解析】 . 41 7.如图12.4-1，若与分别表示复数,,求 ,并判 断 的形状. 图12.4-1 42 【答案】欲求,可计算 . , 且 . 设,则 ， 由余弦定理,得 ， ,又 , 为有一锐角为 的直角三角形. 43 谢谢观看 高一下学期数学苏教版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 44 $