第12章 复数（复习课件）数学苏教版必修第二册

单元复习课件 第十二章 复数 苏教版必修第二册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.掌握复数核心知识：理解复数的概念、代数表示及几何意义，明确复数与实数、虚数、纯虚数的关系，区分复数的代数形式、几何形式的对应联系。 2.深化复数运算理解：熟练进行复数的四则运算（加、减、乘、除），掌握共轭复数、复数模的性质与运算规律，能灵活处理复数的化简、求值与模长计算问题。 3.探究复数的性质与应用：掌握复数相等的充要条件，能结合复数的几何意义解决轨迹、距离等问题；理解复数在方程、三角变换中的应用，提升知识迁移能力。 4.培养数学思维与转化能力：通过类比、转化、数形结合等方法总结复数知识的内在逻辑，提升分析与解决综合问题的能力，体会复数作为数系扩充的数学价值。 单元学习目标 数系扩充 复数引入 复数的概念 复数的代数形式 复数的三角形式 复数代数形式的四则运算 复数乘、除运算的三角表示 复数及其运算 实数及其运算 数轴上的向量及其向量 有理数及其运算 平面向量及其运算 多项式及其运算 类比 类比 类比 特殊化 特殊化 单元知识图谱 一、数系的扩充与复数的概念 1 复数的引入 为了使方程 有解，使实数的开方运算总可以实施，实数集的扩充就从 引入平方等于的“新数”开始.为此，我们引入一个新数 ，叫作虚数单位，并规定： （1）；（2）实数可以与 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘 法运算律仍然成立. 在这种规定下，可以与实数相乘，再与实数 相加.由于满足乘法交换律及加法 交换律，从而可以把结果写成 .这样，数的范围又扩充了. 考点串讲 2 复数概念 我们把形如 的数叫作复数.全体复数所组成的集合叫作复数集， 记作C. 3 复数的表示 复数通常用字母表示，即，其中与（【易错】虚部是 , 不是）分别叫作复数 的实部与虚部. 一、数系的扩充与复数的概念 考点串讲 4 复数的分类 对于复数，当且仅当时，是实数；当时， 叫 作虚数.特别地，当且时， 叫作纯虚数.具体说来，复数 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，如图表示. 一、数系的扩充与复数的概念 考点串讲 求解复数分类问题的关键 （1）复数为纯虚数的充要条件是且 . （2）复数为实数的充要条件是 . （3）复数为虚数的充要条件是 . 依据复数的类型求参数时要先确定使代数式有意义的参数的取值，再结合以上结论 求解. 一、数系的扩充与复数的概念 考点串讲 二、复数相等 如果两个复数的实部与虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即 这就是说，两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等. 虚数为什么不能比较大小？ 引入虚数单位后，规定,但 与0的大小关系不能确定.理由如下： 若，则,两边同乘，得,即 ,与实数系中数的大小规定 相矛盾；若，则 ,与实数系中数 的大小规定也是矛盾的. 故虚数不能比较大小，只有相等与不相等之分. 若两个复数用“ ”或“ ”连接，则它们必为实数. 考点串讲 三、复数的加减运算 复数的加、减运算及其几何意义 复数加法 复数减法 复数减法法则 复数减法的几何意义 复数加法法则 复数加法运算律 复数加法的几何意义 可以按照向量加法的平行四边法则来进行 可以按照向量减法的三角形法则来进行 交换律 结合律 逆运算 考点串讲 解决复数加、减运算的思路 1.两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）. 2.复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数. 3.当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加 （减）. 三、复数的加减运算 考点串讲 关于共轭复数的几个常用结论 （1）若，则 .利用此结论，在复数集中可以将 分解为 . （2）;对于非零复数，是纯虚数 . （3）若,则, . （4）, . （5） . 我们把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫作互为共轭复数，复数 的共轭复数记作,即 . 四、共轭复数 考点串讲 复数的乘、除运算 复数的乘法 复数的除法 复数的除法法则 复数的乘法法则 复数的乘法运算律 交换律 结合律 对加法的分配律 五、复数的乘除运算 考点串讲 解决复数的乘、除运算问题的思路 1.复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将换成 ，并将实部、 虚部分别合并.多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如 , . 2.复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母 “实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算. 五、复数的乘除运算 考点串讲 知识剖析 1.复数的除法与实数的除法有所不同，对于实数的除法，可以直接约分化 简，得出结论，但对于复数的除法，因为分母为复数，所以一般不能直接约分化简. 2.复数除法的一般做法：通常先把写成 的形式，再把分子 与分母同乘分母的共轭复数，最后将结果化简，即 . 3.分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为一个实数，这与作根式除法时 的分母“有理化”的处理是类似的. 五、复数的乘除运算 考点串讲 六、复数的几何意义 复数的几何意义——与向量对应 因为复平面内的点与以原点为起点、以为终点的向量 一一对应 原点与零向量对应，所以复数也可以用向量 来表示.这是复数 的另一种几何意义. 根据复数与复平面内的点一一对应，复数与平面向量一一对应，可知复数 、复平面内的点和平面向量之间的关系可用图 来表示. 考点串讲 向量的模叫作复数的模（或绝对值），记作或 .如果 ，那么就是实数，它的模等于（即实数 的绝对值）.由模的定义 可知 . 特别提醒（1）计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式 进行计算. （2）两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小. （3）若复数,则 ，反之不一定成立. （4）两个共轭复数的模相等，即 . （5）若,则， . 七、复数的模的定义 考点串讲 （1）表示复数在复平面内对应的点组成的集合是以复数 对应的 点为圆心， 为半径的圆. （2）表示复数在复平面内对应的点组成的集合是以复数, 的对应点, 为端点的线段的垂直平分线. （3）,当时，表示复数 在复平面内对 应的点组成的集合是以复数,的对应点, 为端点的线段. 的几何意义 七、复数的模的定义 考点串讲 （4）,当时，表示复数 在复平面内 对应的点组成的集合是分别以复数,的对应点, 为端点的两条射线 （以为端点的射线的方向与方向相同，以为端点的射线的方向与 方向相同）. 该知识点是针对教材第132页【习题12.3】第8，10，11题的深挖，常见于各类数学 竞赛，学有余力的同学可着重掌握. 七、复数的模的定义 考点串讲 一般地，任何一个复数都可以表示成 的形式.其中, 概念 名称 概念的说明 模 是复数的模， 辐角 是以轴的非负半轴为始边、向量所在的射线起点是原点 为终边的 角，且, 三角 形式 称为复数 的三角形式，该式的结构特征是:模非负，角相 同，余弦前，加号连 说明称为复数 的代数形式. 八、复数的三角形式 考点串讲 辐角的主值 很明显，任一非零的复数的辐角有无限个值，这些值相差 的整数 倍.我们把其中适合于 的辐角 的值叫作复数 的辐角主值，记 作,即 . 复数在复平面内与原点对应，向量 是零向量，这时复数的模为0， 辐角是任意的. 说明 把一个复数表示成三角形式时，辐角 不一定取主值. 八、复数的三角形式 考点串讲 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到 思考 如果把复数分别写成三角形式，你能计算并将结果表示成三角形式吗？ 八、复数的三角形式 考点串讲 即 两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. 模数相乘，幅角相加 简记为 八、复数的三角形式 考点串讲 设， ，且，因为 思考 复数的除法运算是乘法运算的逆运算根据复数乘法运算的三角表示，你能得出复数的除法运算的三角表示吗？ 八、复数的三角形式 考点串讲 所以根据复数除法的定义，有 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 模数相除，幅角相减 简记为 八、复数的三角形式 考点串讲 已知复数 的实部和虚部分别是 和 ，则实数 的值分别是( ) A. B. C. D. 【解析】根据题意可得，，得 题型一、数系的扩充与复数的概念 题型剖析 已知 ，则实数 的值分别为 【解析】∵ ， ∴ ，解得 或 或 题型一、数系的扩充与复数的概念 题型剖析 实数 分别取什么数值时，复数 （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）是0？ 【解析】由 得，或，由 得，或. （1）当 时，复数 为实数 ，此时，或. （2）当 时，复数 为虚数 ，此时，或. （3）当 时，复数 为纯虚数 ，此时，. （4）当 时，复数 为 ，此时，. 题型一、数系的扩充与复数的概念 变式训练 (2025· 全国一卷) 的虚部为( ) C A. B.0 C.1 D.6 【解析】 ，其虚部为1. (2023·全国甲卷)设，，则 ( ) C A. B. C.1 D.2 【解析】因为,所以 且 ，解得 . 题型一、数系的扩充与复数的概念 变式训练 求满足下列条件的复数 （1） ; 【解析】由于，所以 . （2） . 【解析】由于，所以,所以复数 . 题型二、复数的四则运算 题型剖析 若复数满足，则 ( ) D A. B.7 C. D.5 【解析】由,得，则 解得 则 . 题型二、复数的四则运算 题型剖析 计算： （1） ; 【解析】原式 . （2） ； 【解析】 . 题型二、复数的四则运算 题型剖析 （3） . 【解析】 原式 . 设,则 ,即 ,所以解得所以原式 . 题型二、复数的四则运算 题型剖析 已知复数,则 ( ) B A. B. C.2 D. 【解析】 , . 又 , . , . 题型二、复数的四则运算 变式训练 (2025·陕西省榆林市第一中学月考)若复数满足，其中 为虚数 单位，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 设，则（若方程中既有又有 ,则需 设出 ）. 因为，所以解得 故 . . . 题型三、共轭复数的运算 题型剖析 设 , 由复数的性质可得 ， 则 ， 所以解得所以 . 由共轭复数的性质，将等式 ①两边都变形为其共轭复数， 则，即 ②，由①②构建方程组，消去 ，解得 . 题型三、共轭复数的运算 题型剖析 (2022·全国甲卷)若，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】.（利用 可简化运 算） 题型三、共轭复数的运算 变式训练 题型四、复数的模 (2025·山东省聊城市检测)设复数满足，则 ( ) A A.1 B. C. D.2 【解析】，,所以 ，所以 . 若,则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 ,则 . ,则,所以 .（共轭复数模相等） . . 题型剖析 多选题］(2025·广东省东莞五校联考)设, 是复数，则下列命题中的真命题 是( ) ABC A.若，则 B.若，则 C.若,则 D.若，则 【解析】对于A， ，是真命题； 对于B,若,则和互为共轭复数，所以 ,是真命题; 对于C,设,,若,则 , ,,所以 ，是真命题; 对于D,若,,则,但, ，故D是假命题. 题型四、复数的模 题型剖析 （1）(2025·天津)已知是虚数单位，则 _____. 【解析】 . （2）(2025·北京)已知复数满足，则 ( ) B A. B. C.4 D.8 【解析】 由可得， ，所以 . ，则 ，根据复数模的性质，得 . 题型四、复数的模 变式训练 题型五、复数的几何意义 (2025·上海)已知复数满足，,则 的最小值是_____. 【解析】设，则,由 ,可得 ，即，故.又由 可 得，即.（结合两个式子对, 分类讨论或直接利用复数几何 意义） . . . . 题型剖析 当时，, ,此时 . 当时，, ,此时 . 当,时，.综上, 的最小 值为 . 设复数在复平面内对应的点的坐标为 , 题型五、复数的几何意义 题型剖析 其中或 ，表示两条相交线 段.表示在复平面内对应的点与点 的距离，如图 所示，结合图知，当在复平面内对应的点为 时， 取到最小值，为 . 题型五、复数的几何意义 题型剖析 (2023· 新课标Ⅱ卷)在复平面内， 对应的点位于( ) A A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】因为 ，所以该复数在复平面内对 应的点为 ，位于第一象限. 题型五、复数的几何意义 变式训练 题型六、复数的代数与三角形式的互化 把下列复数表示成三角形式. ； 【解析】 . 所以所以 . 因此复数的三角形式 为 . （2） . 【解析】 ， 所以所以 , 因此复数的三角形式为 . 题型剖析 利用复数的三角形式求 的值. 【解析】 , ], , 所以原式 . 题型六、复数的代数与三角形式的互化 题型剖析 设复数，求 的模和辐角主值. 名师点评 辐角主值的取值范围是 ,故将复数乘法运算用三角形式表示出来后， 还需将辐角化简到 内. 【解析】 ， 复数的模为32，辐角主值为 . 题型六、复数的代数与三角形式的互化 题型剖析 将复数 表示成代数形式. 【解析】 . 题型六、复数的代数与三角形式的互化 变式训练 1.复数的虚部是( ) A. B. C. D. 针对训练 2.复数( ) A. B. C. 或 D. 【解析】由纯虚数的定义可得， ，， 解得， . 针对训练 是虚数单位，则的虚部是 ( ) A. B. C. D. 【解析】 针对训练 4.设是虚数单位，若复数 纯虚数，则 的值为 ( ) A. B. C. D. 【解析】， 若其为纯虚数，则，. 针对训练 5.设复数 满足 ，则 ( ) A. B. C. D. 【解析】 针对训练 6.若，，则复数( ) A. B. C. D. 【解析】 即 ， 故，所以复数. 针对训练 7.若 为虚数单位，如图中复平面内点 表示复数 ，则表示复数 的点是 ( ) A. B. C. D. 【解析】由题图可得，， 所以， 则在复平面上对应的点为 针对训练 8.已知 是复数，，均为实数，且复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数 的取值范围. 【解析】设， 因为，且为实数，所以. 因为，且为实数， 所以，，， 根据条件，可知解得， 所以实数的取值范围是. 针对训练 9.计算： ① ② . 【解析】① 原式 ② 原式 . 针对训练 10.在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为 ，求复数 （用代数形式表示）. 【解析】 针对训练 本章我们学习了复数的概念、复数的表示以及复数的运算.数的概念的发展与数系扩充是数学发展的一条重要线索．数系扩充的过程体现了实际需求与数学内部的矛盾在数学发展过程中的作用．特别地，由实数系到复数系的扩充过程体现了数学体系的建构过程、数形结合思想以及人类理性思维在数学发展中的作用． 课堂总结 感谢聆听! $