专题09一元一次不等式重难点题型汇编(十二大题型）-2025-2026学年七年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（人教版）

**基本信息** 聚焦一元一次不等式十二大题型，从参数范围到实际应用，构建“概念理解-技能训练-模型应用”三阶逻辑体系，培养推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |参数范围确定|5题型（1-5）|含不等式性质、整数解、解集关系等参数问题|从不等式性质（基础）到解集与整数解参数分析（综合），层层递进| |解不等式组|1题型（6）|直接求解与解法纠错|衔接不等式性质，强化运算规范性与数轴表示技能| |实际应用|6题型（7-12）|含分配、销售利润、方案、阶梯问题等|以不等式（组）为工具，建立实际问题数学模型，体现应用意识|

专题09 一元一次不等式重难点题型汇编 （十二大题型） 【题型1：根据不等式的性质求参数取值范围】....................................1 【题型2：根据不等式的整数解情况确定字母的取值范围】..........................2 【题型3：根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围】..........................4 【题型4：根据不等式的解集确定字母的取值范围】................................6 【题型5：根据未知数解集或者未知数间的关系确定字母的取值范围】.................8 【题型6：解一元一次不等式组】................................................9 【题型7：分配问题】..........................................................11 【题型8：销售利润问题】......................................................13 【题型9：方案问题】..........................................................17 【题型10：阶梯问题】.........................................................23 【题型11：其他问题】.........................................................26 【题型12：定义问题】.........................................................28 【题型1：根据不等式的性质求参数取值范围】 1．已知不等式的解集是，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据不等式两边同时除以不等号的方向发生了改变，可知，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：不等式的解集是， ， ． 2．已知，若，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质, 根据题意，知在不等式的两边同时乘以后不等号方向不变，根据不等式的性质，得出，解此不等式即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， 则， 故答案为：． 3．关于x的一元一次不等式的解集是．写出一个满足条件的m的值______________ ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质， 根据不等式的性质3解答即可．解不等式要依据不等式的性质3：不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵关于x的一元一次不等式的解集是． ∴， ∴满足条件的m值可以是. 故答案为：（答案不唯一）． 【题型2：根据不等式的整数解情况确定字母的取值范围】 4．若关于的不等式的最小整数解为，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质，先将a看作常数解关于x的不等式，得，根据最小整数解为，得，解出a即可． 【详解】解：移项， 移项，得， 解得， ∵关于的不等式的最小整数解为， ∴， 解得． 5．已知关于x的不等式的最大整数解为3，则a的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤． 先解关于的不等式，再根据不等式的最大整数解是，列出关于的不等式，解不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 系数化为得：， ∵关于的不等式的最大整数解为， ， 解得：． 故答案为：． 6．已知关于的不等式恰好有3个正整数解，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解． 先求出不等式的解集，再根据解集求的取值范围即可． 【详解】解：解得， ∵关于的不等式恰好有3个正整数解， ∴， 解得：， 故答案为： 【题型3：根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围】 7．若关于x的不等式组只有个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先解得，则可得关于的不等式组的个整数解是、、、，然后列出不等式组即可求出的取值范围． 【详解】解：， ， ， ∴关于的不等式组的个整数解是、、、， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 8．已知关于的不等式的解集为，则的值为__________． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，方程思想的应用，掌握解不等式得到解集表达式，通过解集相等建立方程求参数是解题的关键． 通过解不等式得到关于的解集表达式，令其与给定解集相等，建立方程求解． 【详解】解：解不等式， 化简得，即， 移项得， 由于解集为， 因此， ， ， 故答案为：． 9．若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别解不等式组中两个不等式，得到不等式组的解集，再根据恰有3个整数解的条件，确定a的取值范围． 【详解】解： 解①得 解②得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组恰有个整数解， ∴整数解为，共个 ∴ 不等式两边同除以，得 10．若关于x的不等式组恰有2个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，关键是根据整数解的个数确定参数的取值范围． 先解不等式组，得到解集的范围，根据恰有2个整数解的条件确定m的取值范围，然后求出所有整数m的和． 【详解】解：对于不等式组：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组恰有2个整数解，且，整数解为和， ∴， ∵，得， 又∵，得， ∴m的取值范围为：， ∵为整数， ∴， 所有符合条件的整数m的和为：， 故选：D． 11．如果不等式组只有一个整数解，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，首先解不等式组，求得不等式组的解集，然后根据不等式组只有一个整数解即可确定a的值． 【详解】解：， 解不等式①：， 解不等式②得：． 则不等式组的解集是：． ∵不等式组只有一个整数解，则． 故选：A． 【题型4：根据不等式的解集确定字母的取值范围】 12．若关于的不等式组无解，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解 ，再根据不等式组无解即可得出的取值范围． 【详解】解： ， ∵关于的不等式组无解， ∴． 13．已知关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等组的解集为得出，进而解不等式，求得的范围，即可求解． 【详解】解：解关于的不等式，得， 因为不等式组的解集是， 所以， 解得． 14．关于的不等式组的解集是，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，运用“同大取大”的法则即可判断a的取值范围． 【详解】解： ∵不等式组的解集是， ∴． 15．关于的不等式组的解集为，那么的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，关键是熟悉不等式组解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．先解不等式得到，再根据，由不等式组解集的规律即可得解． 【详解】解：解不等式得到， ∵关于x的不等式组的解集为， ∴． 故选：B． 【题型5：根据未知数解集或者未知数间的关系确定字母的取值范围】 16．如果关于x、y的方程组的解为正数，则a的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将看做已知数求出方程组的解表示出与，根据与都为正数， 取出的范围即可． 【详解】解： 解方程组， 得：， 方程组的解为正数， ， 解得：， 故选：A． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解， 方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 17．已知，且，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两个方程相减得出x﹣y＝1﹣2k，由0＜x﹣y＜1知0＜1﹣2k＜1，解之即可得出答案． 【详解】解：两个方程相减，得：x﹣y＝1﹣2k， ∵0＜x﹣y＜1， ∴0＜1﹣2k＜1， 解得0＜k＜， 故选：B． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数，则m的取值范围是________． 【答案】-＜m≤4 【分析】解方程组用m的代数式表示出x、y，根据x为非正数，y为负数列出关于m的不等式组，解之求得m的范围． 【详解】解：解方程组得， ∵x≤0，y＜0， ∴， 解得-＜m≤4； ∴m的取值范围是-＜m≤4． 故答案为：-＜m≤4． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是得出关于m的不等式组并求解． 【题型6：解一元一次不等式组】 19．解不等式 (1)解不等式：． (2)解不等式组，并将解集表示在所给的数轴上． 【答案】(1) (2)，数轴见解析 【详解】（1）解：， ， ， 则． （2）解：解得， 解得， 原不等式组的解集为． 不等式组的解集在数轴上表示如图： 20．解不等式组，把解集表示在数轴上，并写出它的非负整数解． 【答案】解集为，数轴见解析，非负整数解为0，1，2，3 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解，解题的关键是掌握不等式组的求解口诀． 【详解】解： 解不等式可得， 解不等式可得， 可得不等式的解集为：， 数轴表示为： 则不等式解集的非负整数解为：0，1，2，3 21．解不等式组 【答案】 【分析】先求出每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 22．以下是小贤解不等式组的解答过程． 解：由①得，第一步 所以，第二步 由②得，第三步 所以，第四步 故原不等式组的解集是．第五步 小贤的解答过程从哪一步开始出现错误？请判断，并写出正确的解答过程． 【答案】小贤的解答过程从第四步开始出现错误，解答过程见解析 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【详解】解：小贤的解答过程从第四步开始出现错误． 正确的解答如下： 由①得， ， 由②得， ， ， 故原不等式组的解集为． 【题型7 分配问题】 23．把一些牛奶分给几个老人，如果每人分3瓶，那么余8瓶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后人就分不到3瓶．设共有x位老人，则下列不等式满足条件为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，先根据题意得共有瓶牛奶，进而正确列出不等式即可． 【详解】解：设共有x位老人，根据如每人分3瓶，那么余8瓶可得共有瓶牛奶， ∵如果前面的每个老人分5瓶，那么最后人就分不到3瓶， ∴， 故选：A 24．把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人至少有一本，但不到3本．那么这些图书有（    ）． A．26本 B．25本 C．24本 D．23本 【答案】A 【分析】设有x本图书，有y名同学，根据题意列出方程和不等式，由于x、y只能取正整数，可得到y的值，代入方程求出x的值． 【详解】解：设有x本图书，有y名同学，根据题意得 解得： ∵x、y只能为正整数 ∴y=6 则x=3×6+8=26 即有26本图书， 故选 A 【点睛】本题考查了二元一次方程和不等式，利用代入消元法，把方程的一个未知数代入不等式变成一元一次方程求解是解题的关键． 25．凤中初一某班有若干名学生参加研学活动，分住若干个宿舍，若每间宿舍住6人，则还余10人无房间可住；若每间住8人，则有一间超过4人但不足8人，该班参加研学的学生共有________人． 【答案】 【分析】设有间宿舍，则学生有人，若每间住8人，则有一间超过4人但不足8人，说明学生住满间，还剩的人数大于4小于8，可列出不等式求解即可得出答案． 【详解】解：设有间宿舍，则学生有人 由题意，得 解得 宿舍间数只能是整数 该班参加研学的学生共有人 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，读懂题意找到关系式是解题的关键． 26．把若干苹果分给几只猴子，若每只猴分3个，则余8个；若每只猴分5个，则最后一只猴分得的不足5个，问共有多少只猴子？多少个苹果？ 【答案】共有5只猴子23个苹果或6只猴子26个苹果． 【分析】找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系，列出不等式组求解． 【详解】解：设有只猴子，， ∴， 又∵， ∴， 所以，或， 所以或26， 答：共有5只猴子23个苹果或6只猴子26个苹果． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解． 【题型8：销售利润问题】 27．为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球的数量，且总费用不超过2900元，学校最多买多少个A品牌的足球？ 【答案】25个 【分析】根据题目中的两个不等关系列出不等式组，求解后取x的最大值即可得到结果． 【详解】解：设购买A品牌足球的数量为，则购买B品牌足球的数量为 个， 根据题意列不等式组 ， 解第①个不等式得：， 解第②个不等式得：， 因此不等式组的解集为：， 所以的最大值为． 答：学校最多买25个A品牌的足球． 28．项目背景：为助力乡村振兴、惠农富农，了解沙田柚的价格情况．小玉、小林、嘉嘉三人到某合作社买沙田柚．小玉、小林先买，购买情况如下： 购买甲种礼盒（只装） 购买乙种礼盒（只装） 一共花费费用 小玉 箱 箱 元 小林 箱 箱 元 项目任务： (1)求甲、乙两种礼盒每箱的售价； (2)嘉嘉计划从该合作社购买甲、乙两种包装的沙田柚礼盒共箱，预算为元．若不超过预算，嘉嘉至少要购买甲种包装的沙田柚礼盒多少箱？ 【答案】(1)甲每箱的售价为元，乙每箱的售价为元 (2)嘉嘉至少要购买甲种包装的沙田柚礼盒箱 【分析】（1）设甲每箱的售价为元，乙每箱的售价为元，根据等量关系列方程组求解即可； （2）设购买甲包装箱箱，乙包装箱，根据总价不能超过元，列出关于的一元一次不等式，解不等式求出的取值范围，再根据为整数求出的值． 【详解】（1）解：设甲每箱的售价为元，乙每箱的售价为元． 由题意可得：， 解得：， 答：甲每箱的售价为元，乙每箱的售价为元． （2）解：设购买甲包装箱箱，乙包装箱， 根据题意可得：， 解不等式得：， 为整数， 的最小值为， 答：嘉嘉至少要购买甲种包装的沙田柚礼盒箱． 29．郑州市雾霾天气趋于严重，丹尼斯商场根据民众健康需要，代理销售每台 进价分别为600元、560元的A、B两种型号的空气净化器，如表是近两周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） 　销售时段 　销售数量 　销售收入 　A种型号 　B种型号 　第一周 　4台 　5台 　7100元 　第二周 　6台 　10台 　12600元 (1)求A，B两种型号的空气净化器的销售单价； (2)若商场准备用不多于17200元的金额再采购这两种型号的空气净化器共30台，商场销售完这30台空气净化器能否实现利润为6200元的目标，若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A型号空气净化器单价为800元，B型号空气净化器单价780元 (2)最多能采购A型号空气净化器10台，即可实现目标． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解． （1）设A型号空气净化器单价为x元，B型号空气净化器单价y元，根据4台A型号，5台B型号的销售收入为7100元，6台A型号10台B型号的销售收入为12600元，列方程组求解； （2）设采购A种型号空气净化器a台，则采购B种型号空气净化器台，根据金额不多于17200元，列不等式求解． 【详解】（1）解：设A型号空气净化器单价为x元，B型号空气净化器单价y元，则 ， 解得：， 答：A型号空气净化器单价为800元，B型号空气净化器单价780元； （2）解：设A型空气净化器采购a台，采购B种型号空气净化器台． 则 解得：， 则最多能采购A型号空气净化器10台，即可实现目标． 30．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买甲，乙两种书共100本，已知购买4本甲种书和2本乙种书共需200元；购买3本甲种书和4本乙种书共需225元． (1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元； (2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3300元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 【答案】(1)甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元 (2)该校最多可以购买甲种书60本 【分析】（1）已知不同数量的甲、乙两种书的总价，通过设甲、乙两种书单价分别为元、元，根据总价 = 单价×数量的关系列出二元一次方程组，然后求解方程组得到两种书的单价． （2已知购买两种书的总数以及总费用限制，设购买甲种书本，进而得出购买乙种书的数量为本，再依据总费用 = 甲书费用 + 乙书费用列出一元一次不等式，解不等式并结合为整数的条件，确定的最大值，即最多可购买甲种书的数量． 本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用．解题关键在于理解题目中的数量关系，根据总价与单价、数量的关系准确列出方程组和不等式．在求解过程中，要熟练掌握方程组和不等式的解法，同时注意题目中对未知数取值的限制条件（如整数要求）． 【详解】（1）解：设甲种书的单价是元，乙种书的单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元； （2）解：设该校购买甲种书本，则购买乙种书本， 根据题意得：， 解得：，且为整数， 的最大值为60， 答：该校最多可以购买甲种书60本． 【题型9：方案问题】 31．2020年4月，随着蔚来中国总部落户合肥，全国新能源汽车之都已成为合肥新的代名词．某汽车经销商销售A，B两种型号的新能源汽车，已知购进3台A型新能源汽车和2台B型新能源汽车需要70万元，购进2台A型新能源汽车和1台B型新能源汽车需要40万元． (1)问A型，B型新能源汽车的单价分别是多少万元？ (2)若该经销商计划购进A型和B型两种新能源汽车共20辆，费用不超过320万元，且A型新能源汽车的数量少于B型新能源汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 【答案】(1) A型新能源汽车的单价为10万元，B型新能源汽车的单价为20万元 (2) 费用最省的方案为购进9辆A型新能源汽车，11辆B型新能源汽车，该方案所需费用为310万元 【分析】（1）设A型新能源汽车的单价为x万元，B型新能源汽车的单价为y万元，根据“购进3台A型新能源汽车和2台B型新能源汽车需要70万元，购进2台A型新能源汽车和1台B型新能源汽车需要40万元”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A型新能源汽车m辆，则购进B型新能源汽车辆，根据“购进A型和B型两种新能源汽车共20辆，费用不超过320万元，且A型新能源汽车的数量少于B型新能源汽车的数量”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出各进货方案，再利于总价=单价×数量，可分别求出各购进方案所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设A型新能源汽车的单价为x万元，B型新能源汽车的单价为y万元， 依题意得：， 解得：， 答：A型新能源汽车的单价为10万元，B型新能源汽车的单价为20万元； （2）解：设购进A型新能源汽车m辆，则购进B型新能源汽车辆， 依题意得：， 解得：， 又∵m为整数， ∴m可以取8，9， ∴共有两种进货方案， 方案1：购进8辆A型新能源汽车，12辆B型新能源汽车，该方案所需费用为（万元）； 方案2：购进9辆A型新能源汽车，11辆B型新能源汽车，该方案所需费用为（万元）； ∵， ∴费用最省的方案为购进9辆A型新能源汽车，11辆B型新能源汽车，该方案所需费用为万元． 32．5月4日“快乐读书吧”开业大酬宾，店家计划从商场购进笔筒和马克杯共50个，用于赠送到店消费的顾客．已知购买2个笔筒和3个马克杯共需79元，购买3个笔筒和2个马克杯共需81元． (1)求笔筒和马克杯的单价分别为多少元？ (2)店家计划购进笔筒个，购进马克杯的数量不超过笔筒数量的，并且预算总费用不超过810元，请通过计算说明店家共有几种采购方案？ (3)店家在采购时恰逢商场促销，有以下两种优惠方式： 方式一：购买任意产品每满十件赠送一个马克杯； 方式二：全场商品享受九折优惠． 在（2）问的所有采购方案中，如果店家想要购进笔筒最多的方案，请通过计算说明选取哪种优惠方式使得采购总价更低？ 【答案】(1)笔筒单价为17元，马克杯单价为15元，见详解 (2)店家共有4种采购方案，见详解 (3)选择方式二采购总价更低 【分析】（1）根据“2个笔筒+3个马克杯=79元、3个笔筒+2个马克杯=81元”列二元一次方程组求解即可； （2）根据“马克杯数量笔筒数量的、总费用元”列一元一次不等式组，求整数解即可确定采购方案数； （3）分别计算方式一、方式二的总价，比较大小即可． 【详解】（1）解：设笔筒的单价为元，马克杯的单价为元，根据题意，得 解得 笔筒单价为17元，马克杯单价为15元； （2）解：根据由题意，得 解得． 为正整数， ，，，， 店家共有4种采购方案； （3）解：由（2）可知店家想要购进笔筒最多的方案为：笔筒30个，马克杯20个． 方式一：设实际需购买马克杯个，则购买商品总数为件． 当时，总购买数为45件，可获赠（个）马克杯，共获得（个），不满足要求； 当时，总购买数为46件，可获赠（个）马克杯，共获得（个），满足要求； 所以采购总价为（元）； 方式二： 采购总价为（元）． ， 选择方式二采购总价更低． 33．为表彰先进，某校初二年级计划购买《哪吒之魔童闹海》系列的熊猫哪吒和白龙敖丙毛绒公仔．已知购买3个熊猫哪吒和4个白龙敖丙共需170元，购买2个熊猫哪吒和1个白龙敖丙共需80元． (1)求1个熊猫哪吒和1个白龙敖丙的售价各是多少元？ (2)初二年级计划购买这两种公仔共100个，要求熊猫哪吒的数量不少于白龙敖丙数量的3倍、请设计最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)1个熊猫哪吒的售价为元，1个白龙敖丙的售价为元； (2)购买熊猫哪吒公仔个，白龙敖丙公仔个，费用最少. 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，根据题意列出关系式或方程组是解题的关键； （1）设1个熊猫哪吒的售价为元，1个白龙敖丙的售价为元，根据题意，可以列出二元一次方程组，从而可以解答本题； （2）设购买熊猫哪吒公仔个，则白龙敖丙公仔个，根据题意可以列出相应的不等式，设总费用为，从而根据一次函数的性质得出最省钱的购买方案，即可以解答本题． 【详解】（1）解：设1个熊猫哪吒的售价为元，1个白龙敖丙的售价为元，根据题意得， 解得： 答：1个熊猫哪吒的售价为元，1个白龙敖丙的售价为元 （2）解：设购买熊猫哪吒公仔个，则白龙敖丙公仔个，根据题意得 解得： 设总费用为，则 ∵， ∴当时，取得最小值， 最省钱的购买方案为：购买熊猫哪吒公仔个，白龙敖丙公仔个，费用最少． 34．已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．现要将34吨货物一次性运完，且要求租用的车辆都载满．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，共有几种租车方案？哪种方案租车费用最少？ 【答案】(1)1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨 (2)共有3种租车方案；方案3租用A型车2辆、B型车7辆最省钱，最少租车费为1040元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及在实际问题中寻找最优解方案的能力．问题分为两个部分：第一部分是通过已知运输组合建立方程组，求出每种车型的载货量；第二部分是在总运量固定的前提下，结合租金费用，找出满足运输需求的所有可行方案，并比较各方案的总费用，确定最经济的一种．解题核心在于正确列出方程，合理分析整数解情况，并进行成本比较． 【详解】（1）解：设1辆A型车载满货物一次可运货吨，1辆B型车载满货物一次可运货吨． 根据题意： 得 将第一个方程乘以2： 减去第二个方程： 代入第一个原方程： 解得： 答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨． （2）设租用A型车辆，B型车辆，依题意，租用的车辆需恰好运完34吨货物，故有 其中为非负整数． 由方程得： 要求为非负整数，则必须是3的非负倍数． 得到三组解： A型车100元/辆，B型车120元/辆 方案1：10×100+1×120=1000+120=1120元 方案2：6×100+4×120=600+480=1080元 方案3：2×100+7×120=200+840=1040元 共有3种租车方案，其中方案3总费用最低，为1040元． 答：共有3种租车方案，租用2辆A型车和7辆B型车时费用最少，为1040元． 【点睛】本题综合考查学生对实际运输问题建模的能力，涉及二元一次方程组的建立与求解、不定方程的整数解分析以及成本最优化比较．解题时需注意变量的非负整数限制，并逐一验证可能解，避免遗漏或误判．最终通过计算比较得出最优方案，体现了数学建模在物流运输中的实际应用价值． 35．鼓励学生加强体育锻炼，学校购买了一些跳绳和毽子，已知购买2个跳绳和5个毽子共需32元，购买4个跳绳和3个毽子共需36元． (1)购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元． (2)学校需要购买的跳绳和毽子数量共54个，且购买总费用不能超过260元，若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳方案． 【答案】(1)购买一根跳绳和一个毽子分别需要元，元； (2)共有两种方案：购买21根跳绳，33个毽子或购买22根绳子，32个毽子 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用； （1）设购买一根跳绳x元，购买一根毽子y元，根据购买2个跳绳和5个毽子共需32元，购买4个跳绳和3个毽子共需36元，再建立方程组求解即可； （2）设购买a根跳绳，则购买个毽子，根据购买的跳绳和毽子数量共54个，且购买总费用不能超过260元，再建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设购买一根跳绳x元，购买一根毽子y元． ， 解得 答：购买一根跳绳和一个毽子分别需要元，元； （2）解：设购买a根跳绳，则购买个毽子 ， 解得， a可以取的整数有21和22． 共有两种方案：购买21根绳子，33个毽子或购买22根绳子，32个毽子． 【题型10：阶梯问题】 36．某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，根据收费标准，超过32部分，每增加1元可再乘坐20，从而得出8元和9元最多乘坐的里程，进而得到x的范围即可． 【详解】解：由题意，7元可以最多乘坐：； 8元可以最多乘坐：； 9元可以最多乘坐：； ∴； 故答案为：． 37．如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟）________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确列出不等式组是解题关键．先求出超过13分钟后，洗车的最长时间为7分钟，再根据不足一分钟按一分钟计算建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：由题意得：（分钟）， ∵不足一分钟按一分钟计算， ∴， 解得， 故答案为：． 38．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 【题型11：其他问题】 39．小明用天平称量一个物体的质量，他将2个该物体放在天平的左边，右边分别放1个、2个的砝码，天平状态如图所示，则该物体的质量的取值范围是___________． 【答案】 【分析】由天平平衡关系，直接列不等式组即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴． 40．按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于83”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于83，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作执行两次才停止，则输入的的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用， 先根据程序图的操作过程得出不等式组，再求出不等式组的解集． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得． 故答案为：． 41．如图，用长的篱笆围成一边靠墙（墙长16米）的长方形菜园，则长的取值范围为 ____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，明确题意、列出相应的不等式组是解答本题的关键． 根据题意和相关数据列不等式组求解即可． 【详解】解：设的长为x米， 由题意可得，， 解得：． 故答案为：． 42．为了美化校园，学校决定利用现有的2660盆甲种花卉和3000盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在校园内，已知搭配一个A种造型需甲种花卉70盆，乙种花卉30盆，搭配一个B种造型需甲种花卉40盆，乙种花卉80盆，则符合要求的搭配方案有____种． 【答案】3 【分析】设可以搭配成个A种造型，则可以搭配成个B种造型，根据搭配50个园艺造型所需甲种花卉不超过2660盆、乙种花卉不超过3000盆，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为整数，即可得出符合要求的搭配方案有3种． 【详解】解：设可以搭配成个A种造型，则可以搭配成个B种造型， 依题意得：， 解得：． 又∵x为整数， ∴x可以为20，21，22， ∴符合要求的搭配方案有3种． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 【题型12：定义问题】 43．对于任意实数a，b，定义一种新运算：． 例如：． (1)_________，_________； (2)若的结果小于2，请根据上述定义列不等式求出x的取值范围． 【答案】(1)；3 (2) 【分析】（1）根据新定义计算即可； （2）由题意可得 ，按照新定义将不等式左边展开，然后按照一元一次不等式的要求解不等式即可． 【详解】（1）解： ， ， （2）解：由题意得 ， ∵． ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得． 44．新定义型阅读理解题：已知任意实数，，定义的含义为当时，，当时，． (1) (2)若，求的取值范围； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（）根据新定义的含义解答即可； （）根据新定义的含义建立不等式即可解答； （3）根据新定义的含义分情况讨论即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：①当时，解得， ， ②当时，解得， ∴， ∴， 综上所述，的最大值为． 45．新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记作，即当为非负整数时，若，则，反之，当为非负整数时，若，则． (1)根据上述定义填空：_______； (2)关于的不等式组的整数解恰好有个，求的取值范围； (3)若，求所有满足条件的实数的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（）根据定义解答即可求解； （）求出不等式组的解集，再根据不等式组解的情况可得，进而根据定义解答即可求解； （）由已知可设，为整数且，则 ，即得，进而根据定义可得，即得到或，再根据定义解答即可求解； 本题考查了不等式组的应用，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：解不等式组，得， ∵不等式组的整数解恰好有个， ∴， ∵为非负整数， ∴， ∴； （3）解：∵且为整数， ∴设 ，为整数且，则 ， ∴ ， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 46．定义：如果一元一次不等式组①的解都是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组①的解都不是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的 ．（填序号①“相容不等式组”或②“相斥不等式组”）； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 【答案】(1)① (2)或 (3) 【分析】（1）求出两个不等式组的解集，根据定义进行判断即可； （2）根据定义得到关于a的不等式组，进而计算可以得解； （3）根据“相容不等式组”的定义求出的取值范围，再根据两个不等式组整数解相同求出的取值范围，取两个取值范围的公共部分即可． 【详解】（1）解：不等式组的解集是，不等式组的解集是， 不等式组是不等式组的“相容不等式组”． 故答案为：①． （2）解：∵关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为， ∴或． ∴或 （3）解：∵不等式组是的“相容不等式组” ， 解得 的整数解为2，3，4，且和的整数解相同， ∴ ∴ 综上所述： 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 一元一次不等式重难点题型汇编 （十二大题型） 【题型1：根据不等式的性质求参数取值范围】....................................1 【题型2：根据不等式的整数解情况确定字母的取值范围】..........................1 【题型3：根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围】..........................2 【题型4：根据不等式的解集确定字母的取值范围】................................2 【题型5：根据未知数解集或者未知数间的关系确定字母的取值范围】.................2 【题型6：解一元一次不等式组】................................................3 【题型7：分配问题】..........................................................4 【题型8：销售利润问题】......................................................5 【题型9：方案问题】..........................................................7 【题型10：阶梯问题】.........................................................9 【题型11：其他问题】.........................................................10 【题型12：定义问题】.........................................................11 【题型1：根据不等式的性质求参数取值范围】 1．已知不等式的解集是，则的取值范围是_______． 2．已知，若，则的取值范围是______． 3．关于x的一元一次不等式的解集是．写出一个满足条件的m的值______________ ． 【题型2：根据不等式的整数解情况确定字母的取值范围】 4．若关于的不等式的最小整数解为，则的取值范围是______． 5．已知关于x的不等式的最大整数解为3，则a的取值范围为___________． 6．已知关于的不等式恰好有3个正整数解，则的取值范围为______． 【题型3：根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围】 7．若关于x的不等式组只有个整数解，则的取值范围是______． 8．已知关于的不等式的解集为，则的值为__________． 9．若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．若关于x的不等式组恰有2个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（    ） A．0 B． C． D． 11．如果不等式组只有一个整数解，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型4：根据不等式的解集确定字母的取值范围】 12．若关于的不等式组无解，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 13．已知关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．关于的不等式组的解集是，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．关于的不等式组的解集为，那么的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型5：根据未知数解集或者未知数间的关系确定字母的取值范围】 16．如果关于x、y的方程组的解为正数，则a的取值范围是（      ） A． B． C． D． 17．已知，且，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数，则m的取值范围是________． 【题型6：解一元一次不等式组】 19．解不等式 (1)解不等式：． (2)解不等式组，并将解集表示在所给的数轴上． 20．解不等式组，把解集表示在数轴上，并写出它的非负整数解． 21．解不等式组 22．以下是小贤解不等式组的解答过程． 解：由①得，第一步 所以，第二步 由②得，第三步 所以，第四步 故原不等式组的解集是．第五步 小贤的解答过程从哪一步开始出现错误？请判断，并写出正确的解答过程． 【题型7 分配问题】 23．把一些牛奶分给几个老人，如果每人分3瓶，那么余8瓶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后人就分不到3瓶．设共有x位老人，则下列不等式满足条件为（     ） A． B． C． D． 24．把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人至少有一本，但不到3本．那么这些图书有（    ）． A．26本 B．25本 C．24本 D．23本 25．凤中初一某班有若干名学生参加研学活动，分住若干个宿舍，若每间宿舍住6人，则还余10人无房间可住；若每间住8人，则有一间超过4人但不足8人，该班参加研学的学生共有________人． 26．把若干苹果分给几只猴子，若每只猴分3个，则余8个；若每只猴分5个，则最后一只猴分得的不足5个，问共有多少只猴子？多少个苹果？ 【题型8：销售利润问题】 27．为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球的数量，且总费用不超过2900元，学校最多买多少个A品牌的足球？ 28．项目背景：为助力乡村振兴、惠农富农，了解沙田柚的价格情况．小玉、小林、嘉嘉三人到某合作社买沙田柚．小玉、小林先买，购买情况如下： 购买甲种礼盒（只装） 购买乙种礼盒（只装） 一共花费费用 小玉 箱 箱 元 小林 箱 箱 元 项目任务： (1)求甲、乙两种礼盒每箱的售价； (2)嘉嘉计划从该合作社购买甲、乙两种包装的沙田柚礼盒共箱，预算为元．若不超过预算，嘉嘉至少要购买甲种包装的沙田柚礼盒多少箱？ 29．郑州市雾霾天气趋于严重，丹尼斯商场根据民众健康需要，代理销售每台 进价分别为600元、560元的A、B两种型号的空气净化器，如表是近两周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） 　销售时段 　销售数量 　销售收入 　A种型号 　B种型号 　第一周 　4台 　5台 　7100元 　第二周 　6台 　10台 　12600元 (1)求A，B两种型号的空气净化器的销售单价； (2)若商场准备用不多于17200元的金额再采购这两种型号的空气净化器共30台，商场销售完这30台空气净化器能否实现利润为6200元的目标，若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 30．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买甲，乙两种书共100本，已知购买4本甲种书和2本乙种书共需200元；购买3本甲种书和4本乙种书共需225元． (1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元； (2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3300元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 【题型9：方案问题】 31．2020年4月，随着蔚来中国总部落户合肥，全国新能源汽车之都已成为合肥新的代名词．某汽车经销商销售A，B两种型号的新能源汽车，已知购进3台A型新能源汽车和2台B型新能源汽车需要70万元，购进2台A型新能源汽车和1台B型新能源汽车需要40万元． (1)问A型，B型新能源汽车的单价分别是多少万元？ (2)若该经销商计划购进A型和B型两种新能源汽车共20辆，费用不超过320万元，且A型新能源汽车的数量少于B型新能源汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 32．5月4日“快乐读书吧”开业大酬宾，店家计划从商场购进笔筒和马克杯共50个，用于赠送到店消费的顾客．已知购买2个笔筒和3个马克杯共需79元，购买3个笔筒和2个马克杯共需81元． (1)求笔筒和马克杯的单价分别为多少元？ (2)店家计划购进笔筒个，购进马克杯的数量不超过笔筒数量的，并且预算总费用不超过810元，请通过计算说明店家共有几种采购方案？ (3)店家在采购时恰逢商场促销，有以下两种优惠方式： 方式一：购买任意产品每满十件赠送一个马克杯； 方式二：全场商品享受九折优惠． 在（2）问的所有采购方案中，如果店家想要购进笔筒最多的方案，请通过计算说明选取哪种优惠方式使得采购总价更低？ 33．为表彰先进，某校初二年级计划购买《哪吒之魔童闹海》系列的熊猫哪吒和白龙敖丙毛绒公仔．已知购买3个熊猫哪吒和4个白龙敖丙共需170元，购买2个熊猫哪吒和1个白龙敖丙共需80元． (1)求1个熊猫哪吒和1个白龙敖丙的售价各是多少元？ (2)初二年级计划购买这两种公仔共100个，要求熊猫哪吒的数量不少于白龙敖丙数量的3倍、请设计最省钱的购买方案，并说明理由． 34．已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．现要将34吨货物一次性运完，且要求租用的车辆都载满．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，共有几种租车方案？哪种方案租车费用最少？ 35．鼓励学生加强体育锻炼，学校购买了一些跳绳和毽子，已知购买2个跳绳和5个毽子共需32元，购买4个跳绳和3个毽子共需36元． (1)购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元． (2)学校需要购买的跳绳和毽子数量共54个，且购买总费用不能超过260元，若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳方案． 【题型10：阶梯问题】 36．某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 37．如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟）________． 38．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【题型11：其他问题】 39．小明用天平称量一个物体的质量，他将2个该物体放在天平的左边，右边分别放1个、2个的砝码，天平状态如图所示，则该物体的质量的取值范围是___________． 40．按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于83”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于83，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作执行两次才停止，则输入的的取值范围是_____． 41．如图，用长的篱笆围成一边靠墙（墙长16米）的长方形菜园，则长的取值范围为 ____________． 42．为了美化校园，学校决定利用现有的2660盆甲种花卉和3000盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在校园内，已知搭配一个A种造型需甲种花卉70盆，乙种花卉30盆，搭配一个B种造型需甲种花卉40盆，乙种花卉80盆，则符合要求的搭配方案有____种． 【题型12：定义问题】 43．对于任意实数a，b，定义一种新运算：． 例如：． (1)_________，_________； (2)若的结果小于2，请根据上述定义列不等式求出x的取值范围． 44．新定义型阅读理解题：已知任意实数，，定义的含义为当时，，当时，． (1) (2)若，求的取值范围； (3)求的最大值． 45．新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记作，即当为非负整数时，若，则，反之，当为非负整数时，若，则． (1)根据上述定义填空：_______； (2)关于的不等式组的整数解恰好有个，求的取值范围； (3)若，求所有满足条件的实数的值． 46．定义：如果一元一次不等式组①的解都是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组①的解都不是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的 ．（填序号①“相容不等式组”或②“相斥不等式组”）； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $