专题08 二元一次方程组应用的重难点题型汇编(十大题型）-2025-2026学年七年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（人教版）

**基本信息** 聚焦二元一次方程组应用的十大高频题型，通过典型实例系统覆盖分配、行程、工程等实际场景，强化从现实问题抽象等量关系的建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分配问题|5题|资源配套与人员分配|依据“总量=各部分和”建立方程组| |图表信息题|5题|表格、图像数据提取|从数据关系中抽象未知量与等量关系| |行程问题|5题|相遇、追及、顺风逆风|路程=速度×时间的变式应用| |工程问题|5题|工作总量与效率|工作量=效率×时间的多主体协作| |方案问题|5题|最优方案设计|根据限制条件列方程并讨论整数解| |数字问题|4题|数位关系与数值|利用数位表示法建立等量关系| |销售利润问题|6题|进价售价利润|利润=售价-进价及折扣的综合应用| |古代问题|5题|古文情境翻译|将古代数学问题转化为现代方程模型| |几何问题|4题|图形边长面积|利用几何图形性质构建等量关系| |其他问题|5题|跨学科与生活实际|综合运用方程思想解决多样化问题|

专题08 二元一次方程组应用的重难点题型汇编 （十大题型） 【题型1 二元一次方程组的应用-分配问题】............................1 【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】...........................3【题型3 二元一次方程组的应用-行程问题】............................6 【题型4 二元一次方程组的应用-工程问题】............................7 【题型5 二元一次方程组的应用-方案问题】............................9 【题型6 二元一次方程组的应用-数字问题】............................11 【题型7 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】.....................11 【题型8 二元一次方程组的应用-古代问题】............................14 【题型9 二元一次方程组的应用-几何问题】............................15 【题型10 二元一次方程组的应用-其他问题】..........................16 【题型1 二元一次方程组的应用-分配问题】 1．某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，如果个车架与个车轮配成一套，那么每天安排多少名工人生产车架，多少名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套？（利用二元一次方程组求解） 2．某宾馆客房部三人间300元/间/天，双人间280元/间/天，为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团体优惠期间到宾馆入住，本着“每间客房均正好住满人”的原则，租了一些三人间和双人间客房，若旅游团体一天共花去3020元，则租了三人间和双人间客房各多少间？ 3．某校学生在课外活动中开展了手工创意作品制作活动，需要用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸盒（加工时接缝材料不计）．若该校购进正方形纸板1200张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ 4．一工厂有名工人，要完成套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套． (1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件？每天能生产多少套产品？ (2)现在工厂要在天内完成套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每名新工人每天只能加工4个A型零件．请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务？ 5．某工厂用如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体无盖纸盒． (1)现有长方形纸板170张，正方形纸板80张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．求两种纸盒生产个数； (2)工厂共有52名工人，每个工人一天能生产60张长方形纸板或者100张正方形纸板，已知1个竖式纸盒与2个横式纸盒配套，问如何分配工人能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ (3)如果有长方形纸板170张，正方形纸板82张，做出上述两种纸盒后剩余2张纸板，问两种纸盒各生产了多少个？请直接写出结论． 【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】 6．2008年5月12日14时28分，我国四川省汶川地区发生里氏8.0级强烈地震，给当地人民造成巨大经济损失．齐村中学积极组织捐款支援灾区，八（1）班55名同学共捐款274元，捐款情况如下表，表中捐款2元和5元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请你帮忙确定表中数据，并说明理由． 捐款（元） 人数 7．某班数学课上采用小组积分制记录同学们回答问题情况，上课前每组有20分的基本分，积分规则如下：①答错一次减x分；②答对一次加y分．下表是某堂课上记录的两个组得分情况： 第一组 第二组 答错次数 1 2 答对次数 7 9 最终分数 40 45 (1)求x，y的值； (2)如果第三组答错3次，最终分数是41，求出第三组答对多少次？ 8．在某学校组织的“科学艺术节”活动中，掷飞镖游戏规则如下：如图，掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外部分，若掷在圆周上或大圆外重新掷一次，掷中一次记一个点．有效次数共八次．现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下图．    (1)求掷到A区和B区的得分分别是多少？ (2)直接写出小明的得分是________分． (3)若小红投掷了10次有效飞镖，想要得分不低于92分，请你求出她至少要掷到A区多少次？ 9．小华在百佳超市购买商品A、B若干次（每次A、B两种商品都购买）．其中第一、二两次购实时，均按标价购买．第三次购买时，商品A、B同时打折．三次购买商品A、B的数量和费用如表所示． 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 6 5 980 第二次购物 3 7 940 第三次购物 9 8 912 (1)求商品A、B的标价． (2)若商品A、B的折扣相同，问百佳超市是打几折出售这两种商品的? 10．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分：（水价计费＝自来水销售费用＋污水处理费用） 自来水销售价格 污水处理价格 （单价：元/吨） 每户每月用水量 （单价：元/吨） 17吨及以下 a 0.80 超过17吨不超过 30吨的部分 b 0.80 超过30吨的部分 6.00 0.80 已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元． (1)求a，b的值． (2)6月份小王家用水32吨，应交水费多少元． (3)若林芳家7月份缴水费303元，她家用水多少吨？ 【题型3 二元一次方程组的应用-行程问题】 11．甲、乙两车相距，同时出发．若两车同向而行，则乙车经过可追上甲车；若两车相向而行，则经过两车相遇．求甲、乙两车的速度． 12．一架客机从甲地顺风飞行到乙地，需要4小时，这架客机从乙地沿相同的航线逆风飞行到甲地，需要4.2小时，若甲地和乙地的航线距离是4200千米，求这架飞机在无风时的平均速度和风速． 13．用二元一次方程组解决问题： A、B两地相距，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第10分钟两人相遇，又经过4分钟，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍．求甲、乙二人的骑行速度． 14．某公司在网络平台推出一款新型代驾软件受到大众的欢迎，代驾费由里程费和时长费构成，其中里程费x元/公里，时长费y元/分钟，甲、乙两人用该软件雇佣代驾，按上述计价原则，他们的里程数和所用时间如表： 里程数（公里） 时间（分钟） 费用（元） 甲 3 10 16 乙 5 14 24 (1)求x，y的值； (2)如果小王某次叫代驾所行驶里程数为10公里，所付费用为50元，则行驶的时间为多少分钟？ 15．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元． 小王与小张各自乘坐滴滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同． (1)求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟； (2)实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的2倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多7分钟，计算两人各自的实际乘车时间． 【题型4 二元一次方程组的应用-工程问题】 16．某大型快递公司使用机器人进行包裹分拣，若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣650件包裹． (1)求甲、乙两机器人每小时各分拣多少件包裹； (2)“双十一”期间，快递公司的业务量猛增，甲、乙两机器人某一天分拣包裹的总数量是2250件，并且都在4小时以上，这一天甲、乙机器人分别工作多少小时？ 17．某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲、乙两队共完成土方量103.2万立方．甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？ 18．绵阳中学为了进一步改善办学条件，决定计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍．拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需要800元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共9000平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的而拆除旧校舍则超过了计划的，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积． (1)求原计划拆、建面积各是多少平方米？ (2)若绿化1平方米需要200元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多少平方米？ 19．为了满足市民对优质教育资源的需求，某中学决定改善办学条件，计划拆除一部分旧校舍、建造新校舍．拆除旧校舍的费用为80元，建造新校舍的费用为700元．计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共．在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的，而拆除校舍则超过了，结果恰好完成了原计划的拆建总面积． (1)求原计划拆、建面积各是多少平方米； (2)如果绿化的费用为200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化的面积大约是多少？ 20．有一块面积为180亩的荒地需要绿化，甲工程队绿化若干天后，因有急事，剩余工作由乙工程队完成，已知甲工程队每天绿化8亩，乙工程队每天绿化12亩，一共用20天完成． (1)设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，依题意可列方程组：______． (2)设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，请列方程组求甲、乙两工程队分别绿化荒地的亩数． 【题型5 二元一次方程组的应用-方案问题】 21．某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车，已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共92万元． (1)求A、B这两种型号的新能源汽车每辆的进价； (2)该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为560万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案． 22．某班级开展知识竞赛，需要购买A、B两种款式的盲盒作为奖品．若买5盒A款盲盒、15盒B款盲盒，共需130元；若买10盒A款盲盒、10盒B款盲盒，共需140元． (1)求A，B款两种盲盒的单价； (2)若班级刚好用100元购进A、B两种款式的盲盒，有几种购进方案？ 23．【背景素材】 七年级某班为校运动会采购饮品，计划在超市购买甲、乙两种品牌的运动饮料．若购买10瓶甲品牌饮料、15瓶乙品牌饮料，共需花费180元；若购买15瓶甲品牌饮料、10瓶乙品牌饮料，共需花费170元． 【问题解决】为合理制定采购方案，分步探究如下： (1)求甲、乙两种品牌运动饮料的销售单价各是多少元？ (2)班级采购预算为120元，需同时购买甲、乙两种品牌的饮料，且预算恰好全部用完，请问共有哪几种符合条件的购买方案． 24．五一期间，正定打算举行各种迎游客活动，安排了两种货车来运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件物品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件物品． (1)求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件物品？ (2)现有3000件物资需要再次运送，准备同时租用这两种货车一次运送完，每辆货车均全部装满货物，请你通过计算确定共有哪几种租车方案 (3)在（2）的前提下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出3600元用于租车，请直接写出是否够用． 25．王洋准备租车把一批梨子运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满梨子一次可运货17吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满梨子一次可运货24吨．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆甲型车和1辆乙型车都装满梨子一次可分别运货多少吨？ (2)现有30吨梨子，王洋计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆（均为正整数），一次运完，且恰好每辆车都装满梨子，请你帮他设计共有多少种租车方案？ (3)若1辆甲型车需租金180元/次，1辆乙型车需租金150元/次，请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【题型6 二元一次方程组的应用-数字问题】 26．算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数，个位数字与十位数字之和是百位数字的2倍；个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数． 27．一个两位数的十位数字与个位数字之和为6，将个位数字与十位数字对调后，得到的两位数比原来的两位数小18．则原来的两位数为______． 28．若一个两位数十位上的数字是m，个位上的数字是n，则这个两位数可记作，即．已知，，则两位数的数值是____． 29．有一个三位数，将最左边的数字移到最右边，则它比原来的数小，又知原来的三位数的百位上的数的倍比十位上的数与个位上的数组成的两位数小，则原来的数是___________． 【题型7 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】 30．某中学七年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学进行体育锻炼时使用，共买了2个篮球和6个排球，花570元，并且每个排球比篮球便宜25元． (1)求篮球和排球的单价各是多少； (2)买10个篮球和5个排球要多少元？ 31．某校组织综合实践“义卖献爱心”活动，计划从批发市场花3000元购买黑、白两种颜色的文化衫共200件，组织学生手绘设计后出售，并将所获利润全部捐给山区贫困儿童．每种文化衫的批发价及手绘后的零售价如下表： 批发价（元/件） 零售价（元/件） 黑色文化衫 20 40 白色文化衫 10 35 (1)该校购进黑、白两种颜色的文化衫各多少件？ (2)若这批文化衫通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获的利润． 32．根据以下素材，探索完成任务． 阳光体育·足球促销 素材一 某体育用品商场销售A、B两款足球，A款、B款足球的进价分别为60元、80元，售价分别为90元、120元． 素材二 该商场在3月份购进A款、B款两种足球共50个，进货共用3600元 素材三 为配合各校“阳光体育”系列活动的开展，该体育用品商场4月份推出以下两种促销方案（两种方案不可叠加使用）： ① “买五赠一”：即购买5个B款足球赠送1个A款足球； ②A款、B款足球均打九折销售 (1)求3月份该商场购进A款、B款足球各多少个？ (2)某校4月份打算在该商场购买20个B款足球和10个A款足球，请问选择上述哪种促销方案更合适？ 33．湖南省足球联赛（简称“湘超”）点燃了球迷的热情，联赛吉祥物“湘湘”和“超超”也深受人们的喜爱．某商店第一次用3600元从批发市场购进“湘湘”挂件和“超超”摆件共100件进行销售．“湘湘”挂件和“超超”摆件的进价和售价如下表所示． 价格 “湘湘”挂件 “超超”摆件 进价/（元/件） 30 40 售价/（元/件） 35 50 (1)该商店第一次购进的“湘湘”挂件、“超超”摆件的数量分别是多少件? (2)该商店第二次以第一次的进价又购进“湘湘”挂件、“超超”摆件两种商品，其中“湘湘”挂件的数量不变，“超超”摆件的数量是第一次购进数量的2倍，“湘湘”挂件按原价销售，“超超”摆件打折销售，第二次两种商品销售完后获得的总利润为800元，求第二次销售时“超超”摆件是按原价打几折销售? 34．某中学为奖励在“科技创意展览”活动中表现优秀的同学，计划购买A、B两种奖品共100件．已知A种奖品标价每件10元，B种奖品标价每件6元，购买这批奖品一共花费780元． (1)请问学校购买两种奖品各多少件？ (2)若学校计划用700元采购这两种奖品共100件，该方案是否可行？请说明理由． 35．如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍．现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品（制作过程中有损耗）卖到B地，两次运输（第一次：A地→食品厂．第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元/（ km·t），铁路运费为1元/（ km·t）． (1)该食品厂到A地、B地的距离分别是多少千米？ (2)该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？ (3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨的售价（利润＝总售价－总成本－总运费）． 【题型8 二元一次方程组的应用-古代问题】 36．古代一歌谣《群鸦栖树》记载：栖树一群鸦，鸦树不知数；三只栖一树，五个没去处；五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？若设乌鸦x只，树y棵，由题意则可得方程组（    ） A． B． C． D． 37．在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人那么就空出一间房．设该店有客房间，房客人，则可列方程组为（        ） A． B． C． D． 38．《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何．”题目大意是：今有人合伙购物，每人出八钱，余三钱；每人出七钱，差四钱，问人数、物价各是多少，设有人．物价为钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 39．我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”意思是：今有大容器个，小容器个，总容量为斛；大容器个，小容器个，总容量为斛．问个大容器、个小容器的容量各是多少斛？设个大容器的容量为斛，个小容器的容量为斛，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 40．《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？若设合伙人数为人，金价为钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【题型9 二元一次方程组的应用-几何问题】 41．如图，七个相同的小长方形无缝隙、不重叠地拼成一个大长方形，若大长方形的宽为21，求小长方形的长和宽． 42．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40厘米的大长方形，求大长方形的面积． 43．现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、图2所示的图形，拼成的图1是一个长方形，图2是一个面积为的正方形． (1)求图2的边长； (2)求每个小长方形的长与宽． 44．如图，在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，若设小长方形的长为厘米、宽为厘米，请你求出图中阴影部分面积． 【题型10 二元一次方程组的应用-其他问题】 45．每年的5月20日为中国学生营养日，2026年营养日的主题是“校园营养餐，健康助成长”．某学校为每位学生定制了盒装的牛奶和豆浆，它们的营养成分表如下： 食品种类 营养成分 一盒牛奶 一盒豆浆 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 钙 某天，初中生小石从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． (1)小石喝了牛奶和豆浆各多少盒？ (2)初中生每日脂肪摄入量约为．若小石这天已经从其它食品中摄入脂肪，在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量是否超标，并说明理由． 46．项目式学习 项目主题：确定最省钱的租车方案 项目背景：为传承启超文化，弘扬“少年强则国强”的理念，某中学计划在六月下旬组织本校优秀学生代表前往梁启超故居参观学习． 数据收集： ①计划参加活动的优秀学生代表及教师共600人 ②某租车公司有A，B两种型号的客车可供选择，A型客车每辆有25个座位，B型客车每辆有55个座位． ③下表是该公司租车记录单上的部分信息： 租用A型客车数量/辆 租用B型客车数量/辆 租车总费用 3 2 3800 1 3 3600 问题解决： (1)根据该公司租车记录单上的信息，租用一辆A型或B型客车的租金分别是多少元？ (2)学校本次研学准备租用该租车公司A，B两种型号的客车若干辆，若每辆客车恰好都坐满且两种型号的客车都要租，请你求出所有满足条件的租车方案． (3)在（2）的条件下，请你说明应选择哪种方案，才能使租车费用最少？ 47．《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为． (1)求箭壶内水位起始高度和箭尺每小时上升的高度； (2)若开始记录时是上午，求当箭尺读数为时的时间． 48．综合与实践 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：，其中称盘质量为克，重物质量为m克，秤砣质量为M克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米． 【方案设计】 秤盘 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务：确定和的值． (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程； (2)当称盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，请列出关于，的方程； (3)根据（1）和（2）所列方程，求出和的值． (4)若用此杆秤称质量为400克的重物，此时秤砣应放在距离零刻度线____厘米处． 49．为测量元硬币与角硬币的单枚质量，小明与小聪准备了足量的两种硬币，且同种类硬币的质量均相同． 实验器材：一架天平和一个克的砝码． 小明：天平左边放枚元硬币和个克的砝码，天平右边放枚角硬币，天平正好平衡． 小聪：天平左边放枚元硬币，天平右边放枚角硬币和个克的砝码，天平正好平衡． (1)每枚1元硬币和每枚角硬币的质量各是多少克？ (2)已知元纸币的质量为克，现在有足够多的元纸币，若天平左边放入张元纸币，天平右边只放入若干枚元硬币和若干枚角硬币，请求出能使天平正好平衡的天平右边放法的所有方案． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 二元一次方程组应用的重难点题型汇编 （十大题型） 【题型1 二元一次方程组的应用-分配问题】............................1 【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】...........................5【题型3 二元一次方程组的应用-行程问题】............................10 【题型4 二元一次方程组的应用-工程问题】............................13 【题型5 二元一次方程组的应用-方案问题】............................17 【题型6 二元一次方程组的应用-数字问题】............................22 【题型7 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】.....................24 【题型8 二元一次方程组的应用-古代问题】............................29 【题型9 二元一次方程组的应用-几何问题】............................31 【题型10 二元一次方程组的应用-其他问题】..........................34 【题型1 二元一次方程组的应用-分配问题】 1．某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，如果个车架与个车轮配成一套，那么每天安排多少名工人生产车架，多少名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套？（利用二元一次方程组求解） 【答案】每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套 【分析】设每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，根据题意列出方程组解答即可求解． 【详解】解：设每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮， 由题意得，， 解得， 答：每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套． 2．某宾馆客房部三人间300元/间/天，双人间280元/间/天，为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团体优惠期间到宾馆入住，本着“每间客房均正好住满人”的原则，租了一些三人间和双人间客房，若旅游团体一天共花去3020元，则租了三人间和双人间客房各多少间？ 【答案】三人间客房和双人间客房分别为8间和13间 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间，根据每间客房正好住满，共50人，住宿费3020元列出方程组求解即可． 【详解】解：设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间， 依题意，得， 解这个方程组，得， 答：该旅游团住了三人间普通客房8间，双人间普通客房13间． 3．某校学生在课外活动中开展了手工创意作品制作活动，需要用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸盒（加工时接缝材料不计）．若该校购进正方形纸板1200张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ 【答案】加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1200张、长方形纸板3000张，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个， 根据题意得：， 解得：． 答：加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完． 4．一工厂有名工人，要完成套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套． (1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件？每天能生产多少套产品？ (2)现在工厂要在天内完成套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每名新工人每天只能加工4个A型零件．请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务？ 【答案】(1)工厂每天应安排24名工人生产A型零件，工厂每天能生产36套产品 (2)至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件，根据“每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成”列方程求解即可； （2）设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件，根据题意，可得关于m、n的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：设工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件， 由题意得：， 解得， （套） 所以，工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品． （2）解：设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件， 由题意得， 解得， 所以，至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务． 5．某工厂用如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体无盖纸盒． (1)现有长方形纸板170张，正方形纸板80张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．求两种纸盒生产个数； (2)工厂共有52名工人，每个工人一天能生产60张长方形纸板或者100张正方形纸板，已知1个竖式纸盒与2个横式纸盒配套，问如何分配工人能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ (3)如果有长方形纸板170张，正方形纸板82张，做出上述两种纸盒后剩余2张纸板，问两种纸盒各生产了多少个？请直接写出结论． 【答案】(1)生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个 (2)分配40个工人生产长方形纸板，12个工人生产正方形纸板，能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套 (3)能生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个；或生产竖式纸盒19个，横式纸盒31个；或生产竖式纸盒18个，横式纸盒32个 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，找出题目中的等量关系是关键． （1）设生产竖式纸盒个，横式纸盒个，根据一个竖式纸盒需要4个长方形纸板，1个正方形纸板，一个横式纸盒需要3个长方形纸板，2个正方形纸板，根据纸板刚好用完结合长方形和正方形的纸板数列出方程组求解即可； （2）设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板，由1个竖式纸盒与2个横式纸盒需要正方形纸板5个，长方形纸板10个，由此列出方程解答即可； （3）分析题意需分类讨论，①如果剩余两张正方形纸板；②如果剩余一张正方形纸板、一张长方形纸板；③如果剩余两张长方形纸板，再结合（1）中的方法分析即可解答． 【详解】（1）解：设生产竖式纸盒个，横式纸盒个． 根据题意，得， 解得 答：生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个． （2）设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板． 根据题意，得， 解得，（人） 答：分配40个工人生产长方形纸板，12个工人生产正方形纸板，能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套． （3）①如果剩余两张正方形纸板：由（1）可知能生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个； ②如果剩余一张正方形纸板、一张长方形纸板： 设生产竖式纸盒个，横式纸盒个． 根据题意，得， 解得 所以能生产竖式纸盒19个，横式纸盒31个； ③如果剩余两张长方形纸板： 设生产竖式纸盒个，横式纸盒个． 根据题意，得， 解得 则能生产竖式纸盒18个，横式纸盒32个． 综上所述：能生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个；或生产竖式纸盒19个，横式纸盒31个；或生产竖式纸盒18个，横式纸盒32个． 【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】 6．2008年5月12日14时28分，我国四川省汶川地区发生里氏8.0级强烈地震，给当地人民造成巨大经济损失．齐村中学积极组织捐款支援灾区，八（1）班55名同学共捐款274元，捐款情况如下表，表中捐款2元和5元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请你帮忙确定表中数据，并说明理由． 捐款（元） 人数 【答案】捐款元的有人，捐款元的有人 【分析】设八（1）班捐元的有人，捐元的有人．根据八（1）班名同学，共捐款元，列出方程组，解方程即可求解． 【详解】解：设八（1）班捐元的有人，捐元的有人． 根据题意，得 ， 解得，． 答：捐款元的有人，捐款元的有人． 7．某班数学课上采用小组积分制记录同学们回答问题情况，上课前每组有20分的基本分，积分规则如下：①答错一次减x分；②答对一次加y分．下表是某堂课上记录的两个组得分情况： 第一组 第二组 答错次数 1 2 答对次数 7 9 最终分数 40 45 (1)求x，y的值； (2)如果第三组答错3次，最终分数是41，求出第三组答对多少次？ 【答案】(1)， (2)第三组答对8次 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次方程解决实际问题． （1）根据“最终得分＝基本分－答错失分＋答对得分”即可列出二元一次方程组，求解即可； （2）设第三组答对n次，根据根据“最终得分＝基本分－答错失分＋答对得分”即可列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得：， 解得： （2）解：设第三组答对n次，根据题意，得 ， 解得， 答：第三组答对8次． 8．在某学校组织的“科学艺术节”活动中，掷飞镖游戏规则如下：如图，掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外部分，若掷在圆周上或大圆外重新掷一次，掷中一次记一个点．有效次数共八次．现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下图．    (1)求掷到A区和B区的得分分别是多少？ (2)直接写出小明的得分是________分． (3)若小红投掷了10次有效飞镖，想要得分不低于92分，请你求出她至少要掷到A区多少次？ 【答案】(1)掷到A区得分为10分，掷到B区的得分为9分 (2)76 (3)2 【分析】（1）设掷到A区得分为x分，掷到B区的得分为y分，根据小华和小芳的得分列出方程组，解方程组即可； （2）列式计算即可； （3）设她掷到A区m次，则掷到B区域次，根据得分不低于92分列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设掷到A区得分为x分，掷到B区的得分为y分，根据题意得： ， 解得：， 答：掷到A区得分为10分，掷到B区的得分为9分； （2）解：小明的得分为（分）， 故答案为：76． （3）解：设她掷到A区m次，则掷到B区域次，根据题意得： ， 解得：， 答：她至少要掷到A区2次． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组，不等式的应用，解题的关键是根据不等式关系和等量关系列出方程或不等式． 9．小华在百佳超市购买商品A、B若干次（每次A、B两种商品都购买）．其中第一、二两次购实时，均按标价购买．第三次购买时，商品A、B同时打折．三次购买商品A、B的数量和费用如表所示． 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 6 5 980 第二次购物 3 7 940 第三次购物 9 8 912 (1)求商品A、B的标价． (2)若商品A、B的折扣相同，问百佳超市是打几折出售这两种商品的? 【答案】(1)商品的标价为80元，商品的标价为100元 (2)6折 【分析】（1）设商品的标价为元，商品的标价为元，根据总价单价数量结合前两次购买商品的数量及费用，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设百佳超市是打折出售这两种商品的，由（1）的结果和表中数据列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设商品的标价为元，商品的标价为元， 根据题意得：， 解得：， 答：商品的标价为80元，商品的标价为100元； （2）设百佳超市是打折出售这两种商品的， 由题意得：， 解得：， 答：商店是打六折出售这两种商品的． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 10．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分：（水价计费＝自来水销售费用＋污水处理费用） 自来水销售价格 污水处理价格 （单价：元/吨） 每户每月用水量 （单价：元/吨） 17吨及以下 a 0.80 超过17吨不超过 30吨的部分 b 0.80 超过30吨的部分 6.00 0.80 已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元． (1)求a，b的值． (2)6月份小王家用水32吨，应交水费多少元． (3)若林芳家7月份缴水费303元，她家用水多少吨？ 【答案】(1) (2)129.6元 (3)57.5吨 【分析】（1）根据“4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元”，列出方程组，即可求解； （2）用(30-17)×4.2加上17×2.2再加上超过30吨的部分的污水处理的费用再加上自来水销售费用，即可求解； （3）由(2)知，用水32吨需交水费129.6元，因为303>129.6，所以林芳家7月份用水量超过30吨，然后设林芳家七月份用水x吨，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：(1)由题意得： ， 解得  ； （2）(2)(30-17)×4.2+17×2.2+（32-30）×6+32×0.8 =129.6(元). 答：当月交水费129.6元； （3）（3）由(2)知，用水32吨需交水费129.6元，因为303>129.6，所以林芳家7月份用水量超过30吨， 设林芳家七月份用水x吨， 则(30-17)×4.2+17×2.2+(x-30)×6+x×0.8=303(元)， 6.8x=391， 解得：x=57.5， 即七月份林芳家用水57.5吨． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【题型3 二元一次方程组的应用-行程问题】 11．甲、乙两车相距，同时出发．若两车同向而行，则乙车经过可追上甲车；若两车相向而行，则经过两车相遇．求甲、乙两车的速度． 【答案】甲车速度为，乙车速度为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找出等量关系是解题的关键． 通过同向而行和相向而行的两车的行驶路程关系建立方程组，求解得到两车速度． 【详解】解：设乙车速度为 ，甲车速度为 ．根据题意得： 解得： 答：甲车速度为，乙车速度为． 12．一架客机从甲地顺风飞行到乙地，需要4小时，这架客机从乙地沿相同的航线逆风飞行到甲地，需要4.2小时，若甲地和乙地的航线距离是4200千米，求这架飞机在无风时的平均速度和风速． 【答案】飞机在无风时的平均速度是千米/时，风速是千米/时 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设飞机在无风时的平均速度是千米/时，风速是千米/时，根据从甲地顺风飞行到乙地，需要4小时，逆风飞行到甲地，需要4.2小时，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设飞机在无风时的平均速度是千米/时，风速是千米/时，根据题意得： ，解得 答：飞机在无风时的平均速度是千米/时，风速是千米/时． 13．用二元一次方程组解决问题： A、B两地相距，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第10分钟两人相遇，又经过4分钟，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍．求甲、乙二人的骑行速度． 【答案】甲的速度为，乙的速度为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键； 设甲的速度为，乙的速度为，根据“第10分钟两人相遇，又经过4分钟，里剩余路程是乙剩余路程的8倍”即可得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论． 【详解】设甲的速度为，乙的速度为． 由题意，得 解得 答：甲的速度为，乙的速度为． 14．某公司在网络平台推出一款新型代驾软件受到大众的欢迎，代驾费由里程费和时长费构成，其中里程费x元/公里，时长费y元/分钟，甲、乙两人用该软件雇佣代驾，按上述计价原则，他们的里程数和所用时间如表： 里程数（公里） 时间（分钟） 费用（元） 甲 3 10 16 乙 5 14 24 (1)求x，y的值； (2)如果小王某次叫代驾所行驶里程数为10公里，所付费用为50元，则行驶的时间为多少分钟？ 【答案】(1) (2)行驶的时间为30分钟． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用： （1）根据表格数据结合计费方式列出方程组进行求解即可； （2）根据计费方式，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 解得：； （2）（分钟）； 答：行驶的时间为30分钟． 15．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元． 小王与小张各自乘坐滴滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同． (1)求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟； (2)实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的2倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多7分钟，计算两人各自的实际乘车时间． 【答案】(1)相差19分钟 (2)小王与小张实际乘坐滴滴快车的时间分别为30分钟和11分钟 【分析】本题考查二元一次方程（组）的实际应用，理解题意，正确列出方程（组）是解答的关键． （1）设小王与小张实际乘坐滴滴快车的时间分别为x分钟和y分钟，根据“两人付给滴滴快车的乘车费相同”列方程求解即可； （2）根据题意小张乘车时间短，然后根据“他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的2倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多7分钟” 列方程组求解即可． 【详解】（1）解：设小王与小张实际乘坐滴滴快车的时间分别为x分钟和y分钟， 根据题意，得， 解得， ∵两人实际乘坐滴滴快车的时间即为这两辆滴滴快车的实际行车时间， ∴这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟； （2）解：由知小张乘车时间短， 根据题意，，解得， 答：小王与小张实际乘坐滴滴快车的时间分别为30分钟和11分钟． 【题型4 二元一次方程组的应用-工程问题】 16．某大型快递公司使用机器人进行包裹分拣，若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣650件包裹． (1)求甲、乙两机器人每小时各分拣多少件包裹； (2)“双十一”期间，快递公司的业务量猛增，甲、乙两机器人某一天分拣包裹的总数量是2250件，并且都在4小时以上，这一天甲、乙机器人分别工作多少小时？ 【答案】(1)甲、乙两机器人每小时各分拣150件、100件包裹； (2)甲、乙机器人分别要工作5小时，15小时或甲、乙机器人分别要工作7小时，12小时或甲、乙机器人分别要工作9小时，9小时或甲、乙机器人分别要工作11小时，6小时． 【分析】（1）设甲、乙两机器人每小时各分拣x件、y件包裹，根据“若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣650件包裹”列出方程组，求解即可； （2）设甲、乙两机器人分别工作m小时，n小时，根据“甲、乙两机器人某一天分拣包裹的总数量是2250件”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两机器人每小时各分拣x件、y件包裹， 根据题意得， 解得， 答：甲、乙两机器人每小时各分拣150件、100件包裹； （2）解：设甲、乙两机器人分别工作m小时，n小时， 根据题意得 ，且， 解得，，，， 答：甲、乙机器人分别要工作5小时，15小时或甲、乙机器人分别要工作7小时，12小时或甲、乙机器人分别要工作9小时，9小时或甲、乙机器人分别要工作11小时，6小时． 17．某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲、乙两队共完成土方量103.2万立方．甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？ 【答案】甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出结果． 【详解】解：设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方， 乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方， 根据题意，得 解得： 所以，甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方． 18．绵阳中学为了进一步改善办学条件，决定计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍．拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需要800元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共9000平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的而拆除旧校舍则超过了计划的，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积． (1)求原计划拆、建面积各是多少平方米？ (2)若绿化1平方米需要200元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多少平方米？ 【答案】(1)原计划拆建各4500平方米 (2)1620平方米 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． （1）等量关系为：计划在年内拆除旧校舍面积计划建造新校舍面积平方米，计划建造新校舍面积计划拆除旧校舍面积平方米．依等量关系列方程，再求解． （2）先算出计划的资金总量和实际所用的资金总量，然后算出节余的钱，那么可求可绿化的面积． 【详解】（1）解：由题意可设拆旧舍x平方米，建新舍y平方米， 则，解得 答：原计划拆建各4500平方米． （2）计划资金元 实用资金 ∴节余资金： ∴可建绿化面积平方米 答：可绿化面积1620平方米． 19．为了满足市民对优质教育资源的需求，某中学决定改善办学条件，计划拆除一部分旧校舍、建造新校舍．拆除旧校舍的费用为80元，建造新校舍的费用为700元．计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共．在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的，而拆除校舍则超过了，结果恰好完成了原计划的拆建总面积． (1)求原计划拆、建面积各是多少平方米； (2)如果绿化的费用为200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化的面积大约是多少？ 【答案】(1)原计划拆、建面积分别是、 (2)在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约 【分析】（1）根据新旧校舍的总面积，列出方程组，即可求解， （2）根据节约资金原计划资金实际资金，列出算式，即可求解， 本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是：充分理解题意，列出等量关系式． 【详解】（1）解：设原计划拆、建面积各是，由题意得：，解得：， 故答案为：原计划拆、建面积分别是、， （2）解：， ， ． 故在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约． 20．有一块面积为180亩的荒地需要绿化，甲工程队绿化若干天后，因有急事，剩余工作由乙工程队完成，已知甲工程队每天绿化8亩，乙工程队每天绿化12亩，一共用20天完成． (1)设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，依题意可列方程组：______． (2)设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，请列方程组求甲、乙两工程队分别绿化荒地的亩数． 【答案】(1) (2)甲、乙两工程队分别绿化荒地亩，亩． 【分析】（1）设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，再由工作总量为亩，工作总时间为天列方程组即可； （2）设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，再由工作总量为亩，工作总时间为天列方程组，再解方程组即可； 【详解】（1）解：设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，则 ， （2）设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，则 ，整理得：， 解得：， 答：甲、乙两工程队分别绿化荒地亩，亩． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． 【题型5 二元一次方程组的应用-方案问题】 21．某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车，已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共92万元． (1)求A、B这两种型号的新能源汽车每辆的进价； (2)该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为560万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案． 【答案】(1)A进价20万元，B进价36万元 (2)3种；A买19辆，B买5辆；A买10辆，B买10辆；A买1辆，B买15辆 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，方案问题（二元一次方程的整数解）． （1）设A种型号的新能源汽车每辆的进价为x万元，B种型号的新能源汽车每辆的进价为y万元，根据题意列方程组，求解即可； （2）设购进A种型号的新能源汽车m辆，购进B种型号的新能源汽车n辆，根据题意列方程，求正整数解，即可得可行方案． 【详解】（1）解：设A种型号的新能源汽车每辆的进价为x万元，B种型号的新能源汽车每辆的进价为y万元，根据题意得 ， 解得， 答：A型号的新能源汽车每辆的进价为20万元，B型号的新能源汽车每辆的进价为36万元． （2）解：设购进A型号新能源汽车m辆，B型号新能源汽车n辆，根据题意得 ，且m，n均为正整数， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴，，， ∴共有3种购进方案：方案1为购进A型号19辆和B型号5辆；方案2为购进A型号10辆和B型号10辆；方案3为购进A型号1辆和B型号15辆． 22．某班级开展知识竞赛，需要购买A、B两种款式的盲盒作为奖品．若买5盒A款盲盒、15盒B款盲盒，共需130元；若买10盒A款盲盒、10盒B款盲盒，共需140元． (1)求A，B款两种盲盒的单价； (2)若班级刚好用100元购进A、B两种款式的盲盒，有几种购进方案？ 【答案】(1)A款盲盒的单价为8元，B款盲盒的单价为6元 (2)共有4种购进方案 【分析】（1）设A款盲盒每盒为元，B款每盒为元，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设购进A款盲盒盒，B款盲盒盒，根据题意得到二元一次方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：设A款盲盒每盒为元，B款每盒为元， 答：A款盲盒的单价为8元，B款盲盒的单价为6元； （2）解：设购进A款盲盒盒，B款盲盒盒， ， ， 为正整数， 或或或， 答：共有4种购进方案． 23．【背景素材】 七年级某班为校运动会采购饮品，计划在超市购买甲、乙两种品牌的运动饮料．若购买10瓶甲品牌饮料、15瓶乙品牌饮料，共需花费180元；若购买15瓶甲品牌饮料、10瓶乙品牌饮料，共需花费170元． 【问题解决】为合理制定采购方案，分步探究如下： (1)求甲、乙两种品牌运动饮料的销售单价各是多少元？ (2)班级采购预算为120元，需同时购买甲、乙两种品牌的饮料，且预算恰好全部用完，请问共有哪几种符合条件的购买方案． 【答案】(1)甲品牌饮料每瓶6元，乙品牌饮料每瓶8元 (2)共四种方案，方案一：购买甲品牌的饮料16瓶，乙品牌的饮料3瓶；方案二：购买甲品牌的饮料12瓶，乙品牌的饮料6瓶；方案三：购买甲品牌的饮料8瓶，乙品牌的饮料9瓶；方案四：购买甲品牌的饮料4瓶，乙品牌的饮料12瓶 【分析】（1）设甲品牌饮料每瓶元，乙品牌饮料每瓶元，根据单价数量总价，甲的价格乙的价格花费的价格，列出方程组求解即可； （2）设购买甲品牌的饮料瓶，乙品牌的饮料瓶，列出方程后分类讨论解的情况即可． 【详解】（1）解：设甲品牌饮料每瓶元，乙品牌饮料每瓶元， 则由题意可得， 解得， 答：甲品牌饮料每瓶6元，乙品牌饮料每瓶8元． （2）解：设购买甲品牌的饮料瓶，乙品牌的饮料瓶 则由题意可得， 变形得， ∵为正整数， ∴是3的倍数， 或或或， 答：共四种方案： 方案一：购买甲品牌的饮料16瓶，乙品牌的饮料3瓶； 方案二：购买甲品牌的饮料12瓶，乙品牌的饮料6瓶； 方案三：购买甲品牌的饮料8瓶，乙品牌的饮料9瓶； 方案四：购买甲品牌的饮料4瓶，乙品牌的饮料12瓶． 24．五一期间，正定打算举行各种迎游客活动，安排了两种货车来运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件物品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件物品． (1)求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件物品？ (2)现有3000件物资需要再次运送，准备同时租用这两种货车一次运送完，每辆货车均全部装满货物，请你通过计算确定共有哪几种租车方案 (3)在（2）的前提下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出3600元用于租车，请直接写出是否够用． 【答案】(1)一辆小货车一次满载可运300件，一辆大货车一次满载可运400件 (2)共两种方案，①小货车2辆，大货车6辆；②小货车6辆，大货车3辆 (3)不够 【分析】（1）设1辆小货车一次满载运输件物品，1辆大货车一次满载运输件物品，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设租用小货车m辆，租用大货车n辆，根据解析（1）的结果列出方程，然后根据、均为正整数得出答案即可； （3）根据解析（2）的方案求出租车费用，再进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：设1辆小货车一次满载运输件物品，1辆大货车一次满载运输件物品， 依题意得：， 解得：， 答：1辆小货车一次满载运输300件物品，1辆大货车一次满载运输400件物品． （2）解：设租用小货车m辆，租用大货车n辆，根据题意得： ， ∵m、n为正整数， ∴，， 答：共两种方案：①小货车2辆，大货车6辆；②小货车6辆，大货车3辆 （3）解：该组委会计划支出3600元用于租车，不够用，理由如下： 方案1：租用2辆小货车，6辆大货车，租车费为（元）； 方案2：租用6辆小货车，3辆大货车，租车费为； ；； 该组委会计划支出3600元用于租车，不够用． 25．王洋准备租车把一批梨子运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满梨子一次可运货17吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满梨子一次可运货24吨．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆甲型车和1辆乙型车都装满梨子一次可分别运货多少吨？ (2)现有30吨梨子，王洋计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆（均为正整数），一次运完，且恰好每辆车都装满梨子，请你帮他设计共有多少种租车方案？ (3)若1辆甲型车需租金180元/次，1辆乙型车需租金150元/次，请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆甲型车装满梨子一次可运货4吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货3吨 (2)共有2种租车方案，方案1：租用3辆甲型车，6辆乙型车；方案2：租用6辆甲型车，2辆乙型车 (3)租用6辆甲型车和2辆乙型车最省钱，最少租车费用为1380元 【分析】（1）设1辆甲型车装满梨子一次可运货x吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货y吨，根据用2辆甲型车和3辆乙型车装满梨子一次可运货17吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满梨子一次可运货24吨，列出方程组，解方程组即可； （2）根据一次运完30吨梨，列出方程，求出方程的正整数解即可； （3）分别求出两种方案的租金，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设1辆甲型车装满梨子一次可运货x吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货y吨， 依题意，得：， 解得：． 答：1辆甲型车装满梨子一次可运货4吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货3吨． （2）解：依题意，得：， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴当时，；当时，． ∴共有2种租车方案，方案1：租用3辆甲型车，6辆乙型车；方案2：租用6辆甲型车，2辆乙型车． （3）解：方案1所需租金（元）； 方案2所需租金（元）． ∵， ∴租用6辆甲型车和2辆乙型车最省钱，最少租车费用为1380元． 【题型6 二元一次方程组的应用-数字问题】 26．算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数，个位数字与十位数字之和是百位数字的2倍；个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数． 【答案】这个三位数是648 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键； 由题意可知：这个三位数的百位数字是6，设这个三位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出关于x、y的方程组，解方程组即可． 【详解】解：由题意可知：这个三位数的百位数字是6， 设这个三位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意可得： ，即， 解得：， ∴这个三位数是648； 答：这个三位数是648． 27．一个两位数的十位数字与个位数字之和为6，将个位数字与十位数字对调后，得到的两位数比原来的两位数小18．则原来的两位数为______． 【答案】42 【分析】设原来两位数的十位数字与个位数字分别为未知数，根据题目给出的两个等量关系列二元一次方程组，求解后即可得到原来的两位数． 【详解】解：设原来两位数的十位数字为，个位数字为， 根据题意，得， 解得， 因此原来的两位数为． 28．若一个两位数十位上的数字是m，个位上的数字是n，则这个两位数可记作，即．已知，，则两位数的数值是____． 【答案】63 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， 整理得 ，即， 联立得方程组 ， 将两个方程相加得，， 解得，， 把代入，得， ∴． 29．有一个三位数，将最左边的数字移到最右边，则它比原来的数小，又知原来的三位数的百位上的数的倍比十位上的数与个位上的数组成的两位数小，则原来的数是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 设百位数字为，由十位数字和个位数字组成的两位数为，根据“将最左边的数字移到最右边，则它比原来的数小；又知原来的三位数的百位上的数的倍比十位上的数与个位上的数组成的两位数小”，可列出关于、的二元一次方程，解之即可求出结论． 【详解】解：设百位数字为，由十位数字和个位数字组成的两位数为， 根据题意得：， 解得：， 原来的数为， 故答案为：． 【题型7 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】 30．某中学七年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学进行体育锻炼时使用，共买了2个篮球和6个排球，花570元，并且每个排球比篮球便宜25元． (1)求篮球和排球的单价各是多少； (2)买10个篮球和5个排球要多少元？ 【答案】(1)每个篮球是90元，每个排球是65元 (2)买10个篮球和5个排球要1225元 【分析】（1）设每个篮球是x元，每个排球是y元．根据“共买了2个篮球和6个排球，花570元，并且每个排球比篮球便宜25元”列出方程组，求解即可； （2）根据（1）所求的篮球和排球的单价，乘以对应的数量即可解答． 【详解】（1）解：设每个篮球是x元，每个排球是y元．根据题意，得 ，解得， 答：每个篮球是90元，每个排球是65元． （2）解：（元）， 答：买10个篮球和5个排球要1225元． 31．某校组织综合实践“义卖献爱心”活动，计划从批发市场花3000元购买黑、白两种颜色的文化衫共200件，组织学生手绘设计后出售，并将所获利润全部捐给山区贫困儿童．每种文化衫的批发价及手绘后的零售价如下表： 批发价（元/件） 零售价（元/件） 黑色文化衫 20 40 白色文化衫 10 35 (1)该校购进黑、白两种颜色的文化衫各多少件？ (2)若这批文化衫通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获的利润． 【答案】(1)该校购进黑色文化衫100件，白色文化衫100件． (2)该校这次义卖活动所获利润为4500元 【分析】（1）设购进黑、白文化衫的数量分别为件和件，根据两种文化衫总件数为200件，总花费为3000元，列出二元一次方程组，解方程组即可得到结果； （2）根据总利润等于每件利润乘对应数量，分别计算两种文化衫的利润再相加即可得到总利润． 【详解】（1）解：设该校购进黑色文化衫件，白色文化衫件， 根据题意得， 解得． 答：该校购进黑色文化衫100件，白色文化衫100件； （2）解：（元）． 答：该校这次义卖活动所获利润为4500元． 32．根据以下素材，探索完成任务． 阳光体育·足球促销 素材一 某体育用品商场销售A、B两款足球，A款、B款足球的进价分别为60元、80元，售价分别为90元、120元． 素材二 该商场在3月份购进A款、B款两种足球共50个，进货共用3600元 素材三 为配合各校“阳光体育”系列活动的开展，该体育用品商场4月份推出以下两种促销方案（两种方案不可叠加使用）： ① “买五赠一”：即购买5个B款足球赠送1个A款足球； ②A款、B款足球均打九折销售 (1)求3月份该商场购进A款、B款足球各多少个？ (2)某校4月份打算在该商场购买20个B款足球和10个A款足球，请问选择上述哪种促销方案更合适？ 【答案】(1)3月份该商场购进A款足球20个，购进B款足球30个； (2)选择促销方案①更合适 【分析】（1）设3月份该商场购进A款足球x个，购进B款足球y个，根据该商场在3月份购进A款、B款两种足球共50个，进货共用3600元建立方程组求解即可； （2）分别求出两种方案需要的费用，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：设3月份该商场购进A款足球x个，购进B款足球y个， 由题意得，， 解得， 答：3月份该商场购进A款足球20个，购进B款足球30个； （2）解：方案①的费用为元， 方案②的费用为， ∵， ∴选择促销方案①更合适． 33．湖南省足球联赛（简称“湘超”）点燃了球迷的热情，联赛吉祥物“湘湘”和“超超”也深受人们的喜爱．某商店第一次用3600元从批发市场购进“湘湘”挂件和“超超”摆件共100件进行销售．“湘湘”挂件和“超超”摆件的进价和售价如下表所示． 价格 “湘湘”挂件 “超超”摆件 进价/（元/件） 30 40 售价/（元/件） 35 50 (1)该商店第一次购进的“湘湘”挂件、“超超”摆件的数量分别是多少件? (2)该商店第二次以第一次的进价又购进“湘湘”挂件、“超超”摆件两种商品，其中“湘湘”挂件的数量不变，“超超”摆件的数量是第一次购进数量的2倍，“湘湘”挂件按原价销售，“超超”摆件打折销售，第二次两种商品销售完后获得的总利润为800元，求第二次销售时“超超”摆件是按原价打几折销售? 【答案】(1)该商店第一次购进“湘湘”挂件40件，“超超”摆件60件 (2)9折 【分析】（1）设该商店第一次购进“湘湘”挂件件，“超超”摆件件．根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． （2）设第二次销售时“超超”摆件是按原价打折销售的，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设该商店第一次购进“湘湘”挂件件，“超超”摆件件． 依题意得， 解得 答：该商店第一次购进“湘湘”挂件40件，“超超”摆件60件． （2）解：设第二次销售时“超超”摆件是按原价打折销售的，则 ， 解得， 答：第二次销售时“超超”摆件是按原价打9折销售的． 34．某中学为奖励在“科技创意展览”活动中表现优秀的同学，计划购买A、B两种奖品共100件．已知A种奖品标价每件10元，B种奖品标价每件6元，购买这批奖品一共花费780元． (1)请问学校购买两种奖品各多少件？ (2)若学校计划用700元采购这两种奖品共100件，该方案是否可行？请说明理由． 【答案】(1)购买A种奖品45件，B种奖品55件 (2)可行，购买A种奖品25件，则购买B种奖品75件，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程组和方程是解题的关键． （1）设A种奖品件，B种奖品件，根据题意得，然后解方程组即可； （2）设A种奖品件，则B种奖品件，根据题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设A种奖品件，B种奖品件， 根据题意得， 解得， 答：A种奖品件，B种奖品件； （2）解：设购买A种奖品件，则购买B种奖品件， 根据题意得， 解得， ∴购买B种奖品件， 答：该方案可行，购买A种奖品25件，则购买B种奖品75件， 35．如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍．现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品（制作过程中有损耗）卖到B地，两次运输（第一次：A地→食品厂．第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元/（ km·t），铁路运费为1元/（ km·t）． (1)该食品厂到A地、B地的距离分别是多少千米？ (2)该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？ (3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨的售价（利润＝总售价－总成本－总运费）． 【答案】(1)该食品厂到A地的距离是50 km，到B地的距离是100 km． (2)该食品厂买进原料220 t，卖出食品200 t． (3)卖出的食品每吨的售价是10000元． 【分析】（1）设该食品厂到地的距离是，到B地的距离是，根据食品厂到地的距离是到地的倍且，两地间的距离为公里，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该食品厂买进原料，卖出食品，根据两次运输（第一次：地→食品厂，第二次：食品厂→地）共支出公路运费元、铁路运费元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （3）设卖出的食品每吨售价为元，由题意：该食品厂此次买进的原料每吨花费元，要想该批食品销售完后工厂共获利元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设该食品厂到地的距离是，到B地的距离是． 根据题意，得 解得 故该食品厂到地的距离是，到地的距离是． （2）解：设该食品厂买进原料，卖出食品． 由题意，得 解得 故该食品厂买进原料，卖出食品． （3）解：设卖出的食品每吨售价为元． 由题意，得， 解得． 故卖出的食品每吨的售价是元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【题型8 二元一次方程组的应用-古代问题】 36．古代一歌谣《群鸦栖树》记载：栖树一群鸦，鸦树不知数；三只栖一树，五个没去处；五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？若设乌鸦x只，树y棵，由题意则可得方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题干描述找出等量关系即可列出方程组． 【详解】解：若设乌鸦只，树棵， ∵三只栖一树，五个没去处，棵树共栖只乌鸦，还剩只乌鸦没有位置， ∴， ∵五只栖一树，闲了一棵树，即只有棵树栖了乌鸦，每棵栖只， ∴， 因此可得方程组． 37．在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人那么就空出一间房．设该店有客房间，房客人，则可列方程组为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意找出两个等量关系：总人数不变．第一种分配方式下，总人数等于每间房7人乘以房间数加7；第二种分配方式下，总人数等于每间房9人乘以（房间数减1）． 【详解】解：设该店有客房间，房客人． 每一间客房住7人，那么有7人无房可住， 房客人数为，即． 每一间客房住9人，那么就空出一间房，实际入住的房间数为间， 房客人数为，即． 可列方程组为． 38．《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何．”题目大意是：今有人合伙购物，每人出八钱，余三钱；每人出七钱，差四钱，问人数、物价各是多少，设有人．物价为钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两种出钱情况分别列出等式即可得到方程组。 【详解】解：设有人，物价为钱， ∵每人出钱，余钱，故总出钱数比物价多钱， ∴得方程， ∵每人出7钱，差4钱，故总出钱数比物价少4钱， ∴得方程， 因此可得方程组． 39．我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”意思是：今有大容器个，小容器个，总容量为斛；大容器个，小容器个，总容量为斛．问个大容器、个小容器的容量各是多少斛？设个大容器的容量为斛，个小容器的容量为斛，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设个大容器的容量为斛，个小容器的容量为斛， 根据题意可得， 故选：C． 40．《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？若设合伙人数为人，金价为钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“总出钱数金价剩余钱数”列方程组即可判断． 【详解】设合伙人数为人，金价为钱， ∵每人出钱，会剩余钱，即所有人出的总钱数比金价多， ∴ ， 又∵每人出钱，会剩余钱，即所有人出的总钱数比金价多， ∴ ， 因此可得方程组． 【题型9 二元一次方程组的应用-几何问题】 41．如图，七个相同的小长方形无缝隙、不重叠地拼成一个大长方形，若大长方形的宽为21，求小长方形的长和宽． 【答案】小长方形的长为15，宽为6 【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据题意可得长的2倍等于宽的5倍，且长与宽的和为21，据此建立方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 由题意得，， 解得， 答：小长方形的长为15，宽为6． 42．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40厘米的大长方形，求大长方形的面积． 【答案】平方厘米 【详解】解：设小长方形纸片的长为厘米，宽为厘米， 根据题意得：， 解得：， ∴大长方形的长为：（厘米）， ∴大长方形的面积为：（平方厘米）． 43．现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、图2所示的图形，拼成的图1是一个长方形，图2是一个面积为的正方形． (1)求图2的边长； (2)求每个小长方形的长与宽． 【答案】(1) (2)每个小长方形的长为，宽为 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）由算术平方根的定义即可得出结论； （2）设每个小长方形的长为，宽为，根据图1和图2中的数量关系，列出二元二次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：设图2的边长为． 根据题意，得． 所以，． 答：图2的边长为． （2）解：设每个小长方形的长为，宽为． 根据题意，得 解得，． 答：每个小长方形的长为，宽为． 44．如图，在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，若设小长方形的长为厘米、宽为厘米，请你求出图中阴影部分面积． 【答案】44平方厘米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．观察图形得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用阴影部分总面积=长方形的面积倍的小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：依题意，得：， 解得：， ∴阴影部分的面积为：（平方厘米）． 【题型10 二元一次方程组的应用-其他问题】 45．每年的5月20日为中国学生营养日，2026年营养日的主题是“校园营养餐，健康助成长”．某学校为每位学生定制了盒装的牛奶和豆浆，它们的营养成分表如下： 食品种类 营养成分 一盒牛奶 一盒豆浆 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 钙 某天，初中生小石从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． (1)小石喝了牛奶和豆浆各多少盒？ (2)初中生每日脂肪摄入量约为．若小石这天已经从其它食品中摄入脂肪，在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量是否超标，并说明理由． 【答案】(1)小石喝了1盒牛奶，1盒豆浆 (2)他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量不超标，理由见解析 【分析】（1）设小石喝了x盒牛奶，y盒豆浆，根据初中生小石从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用（1）问求出的牛奶和豆浆的盒数，计算总脂肪摄入量，可求出小石这天的脂肪摄入量，结合该值在之间，即可得出结论． 【详解】（1）解：设小石喝了盒牛奶，盒豆浆， 根据题意得：， 解得：， 答：小石喝了1盒牛奶，1盒豆浆； （2）解：在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量不超标，理由如下： ∵，， ∴在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量不超标． 46．项目式学习 项目主题：确定最省钱的租车方案 项目背景：为传承启超文化，弘扬“少年强则国强”的理念，某中学计划在六月下旬组织本校优秀学生代表前往梁启超故居参观学习． 数据收集： ①计划参加活动的优秀学生代表及教师共600人 ②某租车公司有A，B两种型号的客车可供选择，A型客车每辆有25个座位，B型客车每辆有55个座位． ③下表是该公司租车记录单上的部分信息： 租用A型客车数量/辆 租用B型客车数量/辆 租车总费用 3 2 3800 1 3 3600 问题解决： (1)根据该公司租车记录单上的信息，租用一辆A型或B型客车的租金分别是多少元？ (2)学校本次研学准备租用该租车公司A，B两种型号的客车若干辆，若每辆客车恰好都坐满且两种型号的客车都要租，请你求出所有满足条件的租车方案． (3)在（2）的条件下，请你说明应选择哪种方案，才能使租车费用最少？ 【答案】(1) 租用一辆A型客车的租金为600元，租用一辆B型客车的租金为1000元 (2) 共有2种满足条件的租车方案，方案1：租用13辆A型客车，5辆B型客车；方案2：租用2辆A型客车，10辆B型客车 (3) 选择租用2辆A型客车，10辆B型客车的方案，租车费用最少，理由见解析 【分析】（1）设每辆A型客车的租金是元，每辆B型客车的租金是元，根据公司租车记录单上的部分信息，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆A型客车，辆B型客车，根据租用的客车恰好可以乘载600人，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各租车方案； （3）求出各租车方案所需总费用，再比较大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每辆A型客车的租金是元，每辆B型客车的租金是元， 根据题意得：， 解得：， ∴每辆A型客车的租金是600元，每辆B型客车的租金是1000元； （2）解：设租用辆A种型号客车，辆B种型号客车， 根据题意得：， ∴， 又∵，均为正整数， 当时，则； 当时，则； ∴或， ∴共有2种租车方案， 方案1：租用13辆A种型号客车，5辆B种型号客车； 方案2：租用2辆A种型号客车，10辆B种型号客车； （3）解：租用2辆A种型号客车，10辆B种型号客车，理由如下： 当租用13辆A种型号客车，5辆B种型号客车时， 此时租车费用为（元）， 当租用2辆A种型号客车，10辆B种型号客车时， 此时租车费用为（元）， ∵ ∴应选择方案2：租用2辆A种型号客车，10辆B种型号客车，费用最少． 47．《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为． (1)求箭壶内水位起始高度和箭尺每小时上升的高度； (2)若开始记录时是上午，求当箭尺读数为时的时间． 【答案】(1)箭壶内水位起始高度为，箭尺每小时上升的高度为； (2)当箭尺读数为时的时间是． 【分析】（1）设箭尺每小时上升，开始高度为，根据供水小时和供水小时箭尺的高度列方程组求解即可； （2）设当箭尺读数为时，时间为，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设箭尺每小时上升，开始高度为， 根据题意，得， 得：解得：， 将代入①得：， 故方程组的解为， 答：箭壶内水位起始高度为，箭尺每小时上升的高度为； （2）解：设当箭尺读数为时，时间为， 则， 解得：． 故当箭尺读数为时的时间是． 48．综合与实践 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：，其中称盘质量为克，重物质量为m克，秤砣质量为M克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米． 【方案设计】 秤盘 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务：确定和的值． (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程； (2)当称盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，请列出关于，的方程； (3)根据（1）和（2）所列方程，求出和的值． (4)若用此杆秤称质量为400克的重物，此时秤砣应放在距离零刻度线____厘米处． 【答案】(1) (2) (3) (4)20 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可直接代值求解； （3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解； （4）将已知数值代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴； （2）由题意得：， ∴， ∴； （3）由（1）（2）可得：， 解得：； （4）根据题意得：，，，， 代入得：， 解得：， ∴此时秤砣应放在距离零刻度线20厘米处． 49．为测量元硬币与角硬币的单枚质量，小明与小聪准备了足量的两种硬币，且同种类硬币的质量均相同． 实验器材：一架天平和一个克的砝码． 小明：天平左边放枚元硬币和个克的砝码，天平右边放枚角硬币，天平正好平衡． 小聪：天平左边放枚元硬币，天平右边放枚角硬币和个克的砝码，天平正好平衡． (1)每枚1元硬币和每枚角硬币的质量各是多少克？ (2)已知元纸币的质量为克，现在有足够多的元纸币，若天平左边放入张元纸币，天平右边只放入若干枚元硬币和若干枚角硬币，请求出能使天平正好平衡的天平右边放法的所有方案． 【答案】(1)每枚元硬币的质量是克，每枚角硬币的质量是克 (2)天平的右边可以放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、求一个二元一次方程的正整数解． （1）设枚元硬币克，枚角硬币克，根据小明和小聪使天平平衡的放置方法，列二元一次方程组求解即可； （2）设天平右边放入枚元和枚角硬币，可列二元一次方程，又因为、均为正整数，求出、的正整数解即可． 【详解】（1）解：设枚元硬币克，枚角硬币克，根据题意可得， ， 得：， 解得：， 把代入得：， 解方程组可得：， 答：每枚元硬币的质量是克，每枚角硬币的质量是克； （2）设天平右边放入枚元和枚角硬币， 根据题意可得：， 整理得：， 、均为正整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 答：天平的右边可以放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币． 1 学科网（北京）股份有限公司 $