第1章 坐标平面上的直线（复习讲义）高二数学沪教版2020选择性必修第一册

第1章 坐标平面上的直线（复习讲义） 1.精准掌握直线倾斜角、斜率的定义及相互关系， 2.熟练运用两点间斜率公式进行计算；厘清直线方程的点斜式、斜截式、一般式等多种形式的推导逻辑、适用条件，能实现不同形式间的灵活转化， 3.牢记直线平行、垂直时斜率满足的判定法则，形成“概念—公式—性质”一体化的知识网络，筑牢解析几何基础。 知识点01：直线的倾斜角与斜率 1.直线的倾斜角 （1）定义：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. （2）取值范围：直线的倾斜角的取值范围是，并规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为. 补充：倾斜角与直线倾斜程度的关系 倾斜角 直线 2.直线的斜率 （1）定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示，即. （2）倾斜角与斜率的关系 直线情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 0° 的范围 0 不存在 的增减性 随增大而增大 随增大而增大 3.直线斜率的坐标表示 公式：经过两点的直线的斜率公式为． 4.直线斜率与直线方向向量 1.若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为 ，则 . 2.若直线l的斜率为k 且直线过两点，的它的一个方向向量的坐标为=（），则 k=。 知识点02：直线的方程 1.直线的点斜式方程 已知直线l经过点，且斜率为k，则直线l的方程为． 这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的点斜式方程，简称点斜式． 当直线l的倾斜角为0°时（如图1），，即k=0，这时直线l与x轴平行或重合，l的方程就是，或． 当直线l的倾斜角为90°时（如图2），直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．因为这时l上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是，或． 2.直线的斜截式方程 我们把直线l与y轴交点的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 如果直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则方程为，即叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 当b=0时，表示过原点的直线；当k=0且b≠0时，表示与x轴平行的直线；当k=0且b=0时，表示与x轴重合的直线． 3.直线的两点式方程 （1）直线的两点式方程的定义 已知直线过两点，当时，直线的方程为．这个方程是由直线上的两点确定的，因此称为直线的两点式方程，简称两点式． （2）直线的两点式方程的推导 已知直线过两点（其中），此时直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的． 当时，所求直线的斜率． 任取中的一点，例如取，由点斜式方程，得， 当时，可写为． 4.直线的截距式方程 （1）直线的截距式方程的定义 已知直线过点，（），则由直线的两点式方程可以得到直线的方程为． 我们把直线与轴的交点的横坐标叫做直线在轴上的截距，此时直线在轴上的截距是．这个方程由直线在两个坐标轴上的截距和确定，因此叫做直线的截距式方程，简称截距式． （2）直线的截距式方程的推导 已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，如图，其中． 将两点，的坐标代入两点式，得，即． 5.中点坐标公式 若点的坐标分别为（）（），且线段的中点M的坐标为（x，y），则．此公式为线段的中点坐标公式． 6.直线的一般式方程 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式． 直线的一般式、斜截式、截距式如下表： 一般式 斜截式 截距式 不同时为0） 都不为0） 直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线．因此在一定条件下，直线的一般式方程可以进行如下转化： （1）当时，可化为，它表示在y轴上的截距为，斜率为的直线． （2）当均不为零时，可化为，它表示在x轴上的截距为，在y轴上的截距为的直线． 知识点03：两条直线的位置关系 1.两直线平行 （1）特殊情况下的两条直线平行的判定 两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，故它们互相平行． （2）两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定 两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即． 2.两直线垂直 （1）特殊情况下的两条直线垂直的判定 当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°时，两条直线互相垂直． （2）两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于−1，那么它们互相垂直，即． 3.两条平行直线间的距离 （1）两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长． （2）两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）间的距离． 4.直线关于直线对称 （1）直线与关于直线l对称，它们具有以下几种几何性质： ①若与相交，则直线l是、夹角的平分线； ②若与平行，则直线l在、之间且到、的距离相等； ③若点A在上，则点A关于直线l的对称点B一定在上，此时AB⊥l，且线段AB的中点M在l上（即l是线段AB的垂直平分线）．充分利用这些性质，可以找出多种求直线的方程的方法． （2）常见的对称结论有：设直线l为Ax+By+C=0， ①l关于x轴对称的直线是Ax+B（−y）+C=0； ②l关于y轴对称的直线是A（−x）+By+C=0； ③l关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=0； ④l关于直线y=−x对称的直线是A（−y）+B（−x）+C=0． 知识点04：点到直线的距离 1.两点间的距离公式 平面上任意两点间的距离公式为. 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 2.对称问题 （1）点关于点对称 设点关于点M（a，b）的对称点为P′（x，y），则有，所以，即点．特别地，点P关于坐标原点O的对称点为． （2）点关于直线对称 常见的点关于直线的对称点： ①点关于x轴的对称点； ②点关于y轴的对称点； ③点关于直线y=x的对称点； ④点关于直线y=−x的对称点； ⑤点关于直线x=m（m≠0）的对称点； ⑥点关于直线y=n（n≠0）的对称点． 3.点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的距离为． 题型一 直线的斜率与倾斜角 【例1-1】（25-26高二上·上海青浦·月考）直线的倾斜角是（    ） A． B． C．arctan D． 【答案】D 【详解】由题意得直线的斜率不存在，即倾斜角的正切值不存在， 又因为倾斜角的取值范围是，所以. 故选：D 【例1-2】（24-25高二下·上海杨浦·月考）已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ． 【答案】 【详解】因为直线经过点、两点，所以， 设直线的倾斜角为，所以，故， 故直线的斜率为. 故答案为：. 【例1-3】（23-24高二上·上海杨浦·期中）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是 .    【答案】 【详解】由题意知：，，设，则线段的斜率：， 为使点落在线段上（不包括端点），所以得：当落到点，点时为相应的两种临界位置， 当落到点时： 由题意知：点为的中点，且从点出发又回到点，所以可得：此时位于线段的中点位置， 所以得此时的斜率：； 当落到点时： 点与点重合，如下图所示，设，可得：，且， 所以得：，，， 所以得：，解之得：, 所以此时斜率：， 综上所述：可得的斜率范围为：，即. 故答案为：.    【变式1-1】（25-26高二上·上海·期中）已知直线的斜率不存在，则这条直线的倾斜角为 ． 【答案】 【详解】因为直线的斜率不存在，则这条直线的倾斜角为. 故答案为：. 【变式1-2】（25-26高二上·上海·月考）已知直线的一个法向量为，则直线的倾斜角 ． 【答案】 【详解】因为直线的一个法向量为，所以取直线的一个方向向量为 所以直线的斜率为 所以 ，所以 所以. 故答案为：. 【变式1-3】（25-26高二上·上海·月考）如图，直线、、的斜率、、由小到大排序为 ．    【答案】 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】由图可得直线、、倾斜角大小关系，据此可得斜率关系． 【详解】设直线、、的倾斜角分别为、、，由图可得，则，也即． 故答案为：． 【变式1-4】（24-25高二上·上海·月考）在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】表示线段上的点与连线的斜率， 因为， 所以由图可知的取值范围是． 故答案为：. 题型二 几种特殊形式的直线方程 【例2-1】（25-26高二上·上海·月考）直线的倾斜角为，且，若过点，则直线的方程为 . 【答案】或 【详解】由直线l的倾斜角为，且，得，则， 因此直线l的斜率，直线l的方程为或， 所以直线l的方程为或. 故答案为：或 【例2-2】（25-26高二上·上海·期中）已知点，，则线段的垂直平分线的点法式方程是 ． 【答案】 【详解】先求线段的中点，坐标为. 再求向量，该向量即为线段垂直平分线的法向量. 由点法式方程的定义，以中点和法向量， 可得线段垂直平分线的点法式方程为. 故答案为：. 【变式2-1】（25-26高二上·上海·期中）四条不重合直线、、、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是为，则的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【详解】设直线与与两坐标轴交于，所以设直线为， 因为直线过点，所以， ，所以，， 所以. 当且仅当时取面积最小值，所以. 故选：D. 【变式2-2】（24-25高二上·上海·月考）直线经过点，与轴、轴分别交于、两点，若，则直线的方程为 . 【答案】 【详解】依题意，设，， 则，， 则， 由得，解得， 则，， 则直线的斜率为，方程为即. 故答案为：. 【变式2-3】（23-24高二上·上海·期中）已知直线过点. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距相等求直线的方程． 【详解】（1）由题意， 直线过点，， ∴直线方程：，即. （2）由题意， 直线过点，且在轴和轴上的截距相等 当直线过原点时，截距为，方程为 当直线不过原点时，设直线， ∴，解得：，、 ∴直线方程为 综上，直线的方程为：或. 题型三 直线的一般式方程 【例3-1】（25-26高二上·上海·月考）如果，，那么直线不通过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】因为，所以，直线可化为，因为，，所以，也即，，所以直线不过第三象限． 故选：C． 【例3-2】（23-24高二上·上海·期末）已知直线，直线，则是直线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】充分性：若，则，则直线，充分性满足； 必要性：若直线，则， 当时，不成立，则必要性不满足, 所以是直线的充分不必要条件. 故选：A 【例3-3】（24-25高二上·上海·期中）直线的一个法向量为，且过点，则直线的一般式方程为 ． 【答案】 【详解】由直线的一个法向量为，可直线的斜率为， 又由直线过点，所以直线的方程为，即. 故答案为：. 【变式3-1】（25-26高二上·上海浦东新·期中）直线的倾斜角为 . 【答案】 【详解】将直线方程化为： 因此，斜率 . 直线倾斜角 满足：， 所以：. 故答案为： 【变式3-2】（25-26高二上·上海·期中）设，直线经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限， 则，故直线， 由题意得，解得. 故答案为： 【变式3-3】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 【详解】（1）将直线整理得 对任意实数都成立， 所以，解得 所以对任意实数，直线都经过一个定点； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为 ， 则有，化简得， 当时，直线的方程为 当时，直线的方程为 所以直线的方程为或. 题型四 两条直线的位置关系 【例4-1】（24-25高二下·上海·期中）已知直线，，若 ，则 【答案】 【详解】由条件可知，， ，得，或， 当时，两直线重合，不满足条件，当时，满足上面不等式，成立. 故答案为： 【例4-2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）过点且与直线垂直的直线的一般式方程为 . 【答案】 【详解】由，可知其斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线方程为： ， 即， 故答案为： 【例4-3】（25-26高二上·上海·期中）已知两条平行直线，，当，之间的距离最大时， ． 【答案】2 【详解】， 由得， 直线恒过点， 同理， 由得， 直线恒过点， 两直线间最大距离为两定点之间的距离，此时直线与垂直， ， ， ，解得， 之间距离最大时，． 故答案为：2． 【例4-4】（25-26高二上·上海徐汇·月考）已知点，直线l： (1)求点M关于点对称点的坐标 (2)求过点M与直线l平行的直线. 【详解】（1）设， 则点为，的中点， 所以，解得， 所以； （2）设所求直线方程为， 代入点， 则有， 解得， 所以所求直线方程为：. 【变式4-1】（23-24高二上·上海虹口·月考）若中，a，b，c分别为三内角A，B，C的对边，且，则直线与直线（   ） A．平行 B．重合 C．相交且垂直 D．相交且不垂直 【答案】B 【详解】因为，所以均为正数， 由，即， 可得，即， 对于直线，即， 对于直线，即， 由正弦定理可得，所以直线与直线重合. 故选：B. 【变式4-2】（25-26高二上·上海·期中）已知直线与直线平行， 则实数的值是 . 【答案】 【详解】已知直线与直线平行，则，解得：， 当时，直线方程为：，即与直线不重合，且平行，满足条件； 故答案为： 【变式4-3】（24-25高二下·上海崇明·期末）已知点、，则线段的垂直平分线的一般式方程为 . 【答案】 【详解】线段的斜率为，故线段的垂直平分线的斜率为， 线段的中点为，故线段的垂直平分线经过， 由点斜式知，线段的垂直平分线方程为：，即. 故答案为：. 【变式4-4】（25-26高二上·上海松江·期中）已知直线与直线，. (1)若，求的值； (2)若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数（截距均不为零），求直线的方程. 【详解】（1）因为直线与直线垂直， 所以，解得或； （2）将点代入中，，解得，则， 因为直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数（截距均不为零）， 设直线为，代入，可得，解得， 所以直线为，即. 题型五 点到直线的距离 【例5-1】（25-26高二上·上海浦东新·期中）若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种 【答案】C 【详解】 由题意可得， 所以当直线的斜率不存在时可得； 当直线的斜率为零时可得或， 故选：C. 【例5-2】（25-26高二上·海南·月考）已知点到直线的距离为1，则 . 【答案】或 【详解】因为点到直线的距离为1， 所以，解得或. 故答案为：或. 【例5-3】（25-26高二上·上海·月考）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)求点到直线的距离． 【详解】（1）由题意可知直线，即， 直线，则， ∴，则直线，即， 联立方程组得，解得， 即得. （2）点在直线上，设点， 则中点在直线上， 则，解得，即， ∴由（1）可得点到直线的距离.    【变式5-1】（24-25高二上·上海·月考）直线过点，且原点与距离为5，则直线的方程为 . 【答案】 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为,则原点到其距离为4，不成立； 当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为，即， 根据点到直线的距离公式，直线到点的距离为： ， 依题意，，即，，， 解得，因此直线的方程为，即. 故答案为：. 【变式5-2】（25-26高二上·上海·月考）已知的三个顶点是，，. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程. 【详解】（1）由，可得， 故边上的高所在直线的斜率为，直线又经过点， 故方程为，即. （2）当直线斜率不存在时，此时直线为，，到直线的距离分别为4和2，不符合题意， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即 此时，到直线的距离相等，则， 化简得，解得或， 故直线方程为或， 即或. 【变式5-3】（24-25高二上·上海·期中）已知三角形的顶点，边上的高所在的直线方程为，点是边的中点． (1)求边所在直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求的角平分线所在直线的方程． 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 所以边所在直线的斜率为，且经过点， 所以边所在直线的方程为， 即所在直线的方程为； （2）设点B的坐标为，因为边上的高所在直线方程为， 又因为点是边的中点，所以点A的坐标为， 由边所在直线的方程为， 所以，即， 由，得，所以点B的坐标为. （3）由（2）可得点A的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即， 设的角平分线上任意一点的坐标为， 又直线所在直线的方程为， 则，所以， 所以或， 即或，又因为，， 所以的角平分线所在直线的方程为． 题型六 直线围成图形的面积问题 【例6】（23-24高二上·上海·期末）已知直线，，，三条直线围成，则当面积取得最大时的值为 . 【答案】1 【详解】直线，即，恒过定点， 直线，即，也恒过定点， 所以直线与相交于定点， 由，解得，可知直线与直线相交于点， 又因为直线与直线相互垂直，所以是为直角的直角三角形， 因为点到的距离， 点到,的距离， 所以的面积， 时，的面积不可能取到最大值； 时，，当且仅当时，等号成立． 因此，当时，的面积有最大值． 故答案为：1 【变式6-1】（24-25高二下·上海青浦·期中）在直角坐标平面中，已知两定点与，，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是 . 【答案】 【详解】①位于直线的同侧，如左图所示，，正方形边长为， 直线是与正方形的边平行的直线， 到直线的距离之差的绝对值为， 即正方形外与正方形各边平行的直线均符合题意; ②位于直线的异侧，如右图所示，和是半径为的圆上的两段弧， 其中， 直线是或的切线，到直线的距离之差绝对值为， 即或的切线均符合题意. 不在任何一条直线上的点组成的图形如下图阴影所示， 其面积. 故答案为：. 【变式6-2】（24-25高二上·上海·月考）定义：点到直线（不全为零）的有向距离为.设点到直线l的有向距离为.已知两定点与，到直线l的有向距离之差的绝对值等于，且在直线l的同侧，则平面上不在任何一条直线l上的点组成的图形面积为 . 【答案】8 【详解】由题意两定点与到直线的有向距离分别为 ，， 因为，所以， 即，化简得，则. 又由不全为零，则，且. 当时，可化为； 当时，可化为； 又因为在直线l的同侧， 则. 解得或. 所以直线可表示平面上两平行直线与之间带状区域以外的点， 其中不能表示两平行直线上的点； 直线可表示平面上两平行直线与之间带状区域以外的点， 其中不能表示两平行直线上的点； 结合图形可知，平面上不在任何一条直线l上的点组成的图形为以为对角线的正方形， 由，则该正方形的面积. 故答案为：.    【变式6-3】（23-24高二上·上海奉贤·月考）已知直角坐标系中三点，，. (1)求以三点为顶点的三角形中边上的高所在直线的方程 (2)求以三点为顶点的三角形的面积 【详解】（1）因为，，所以直线与轴平行， 所以三角形中边上的高所在直线的方程为； （2）， 由于直线与轴平行，所以到直线的距离为5， 所以三角形的面积为.    题型七 对称问题 【例7-1】（25-26高二上·上海·期中）设，点在轴上，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由题意得：点关于轴的对称点， （当且仅当三点共线时取等号）， 又， 则， 故答案为：. 【例7-2】（25-26高二上·上海·月考）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 . 【答案】 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以． 又点的坐标为，所以，直线的方程为， 由对称性可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为． 故答案为： 【变式7-1】（24-25高二上·上海·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是 . 【答案】 【详解】如图：可知折痕为点与点的中垂线， 中点坐标为， 设折痕直线的斜率为，则，得， 故折痕直线方程为，即， 由题意点与原点关于折痕对称， 故得，故. 故答案为： 【变式7-2】（23-24高二上·上海浦东新·月考）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原点，光线经过的重心．以点为坐标原点，以为轴（为正方向），建立平面直角坐标系． (1)求的重心的坐标，及点的坐标； (2)求的周长． 【详解】（1）如图所示： 以为坐标原点，以为轴建立平面直角坐标系， 则， 故的重心的坐标为，即； 设，关于直线的对称点分别设为， 则，设， 直线的方程为，则 解得，即， 由光的反射原理可知共线，且光线经过的重心， 故，解得或（舍去）， 故点的坐标为. （2）由（1）可得，所以即为，即为， 由题意可知， 故的周长为. 【变式7-3】（24-25高二下·上海·月考）在平面直角坐标系中， 已知矩形的长，宽，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，如下图所示.将矩形折叠，使点落在线段上. (1)若折痕所在直线的斜率为，求折痕所在直线的方程（用斜率表示）； (2)若折痕和线段、相交，求折痕的长的取值范围. 【详解】（1）①当时，此时点和点重合，折痕所在的直线方程； ②当时，将矩形折叠后点落在线段上的点为， 所以与关于折痕所在的直线对称，有，即，则． 故点坐标为， 从而折痕所在的直线与的交点坐标（即线段的中点）为． 所以折痕所在的直线方程，即． 综上：由①②可得折痕所在的直线方程为． （2）由（1）可知，对于， 令，可得，令可得， 依题意可得，解得， 如下图，折痕所在的直线与线段、的交点坐标为． 所以，因为，所以， 所以，所以， 所以折痕的长的取值范围． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26高二上·上海·期中）直线与直线之间的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两平行直线间距离公式进行求解. 【详解】直线，即直线， 直线与直线之间的距离为. 故选：C 2．（24-25高二下·上海·月考）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点关于直线的对称点为，列出方程组，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即. 故选：C. 3．（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【详解】设直线、、的倾斜角为、、，由图可知， 所以，即. 故选：A. 二、填空题 4．（25-26高二上·上海·月考）直线与直线的夹角大小为 ． 【答案】 【分析】先求出两条直线的倾斜角，进而求得它们的夹角. 【详解】直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 所以直线与直线的夹角大小为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·上海青浦·月考）直线过点，且直线的法向量，则的方程为 【答案】 【分析】根据法向量设出直线方程，再将点代入求值即可. 【详解】因为直线的法向量，所以设， 又直线过点，则，得， 则的方程为. 故答案为： 6．（25-26高二上·上海嘉定·月考）过点且与直线垂直的直线方程为 . 【答案】 【分析】由垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可. 【详解】由直线化成斜截式为， 故与直线垂直的直线方程的斜率为， 因所求直线经过点，由点斜式可得：， 即：. 故答案为： 7．（25-26高二上·上海·期中）已知，直线经过点，则直线的倾斜角为 ．（结果用arctan表示） 【答案】 【分析】代入，求出，得到直线的倾斜角. 【详解】将代入中得，解得， 故直线的倾斜角为. 故答案为： 三、解答题 8．（25-26高二上·上海宝山·月考）已知直线过点 (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)求直线的斜率. 【答案】(1)； (2)且. 【分析】（1）根据斜率的两点式及斜率与倾斜角的关系列方程求参数值； （2）应用斜率两点式求斜率，注意参数取值. 【详解】（1）由题设，可得，即； （2）由题设，当时，直线不存在斜率， 所以，则. 9．（24-25高二下·上海杨浦·开学考试）已知直线. (1)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (2)已知，若点到直线的距离为，求最大时直线的一般式方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据方程求出直线l所过定点坐标，再由该直线不过的象限列式求解. （2）确定取得最大值的条件，进而求出直线方程. 【详解】（1）直线l的方程为，因此直线l恒过定点， 若直线l不经过第四象限，则. （2）由（1）知直线l恒过定点， 当且仅当时，d取得最大值，此时直线的斜率， 因此直线的斜率，直线的方程为，即， 所以直线的一般式方程为. 10．（24-25高二下·上海·期末）已知直线； (1)若，求实数的值； (2)若不经过坐标原点的直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线一般式中平行满足的系数关系，列方程求解参数即可. （2）由题意得，并分别求解轴上的截距，根据截距相等列方程求解即可. 【详解】（1）当时，满足，解得. 所以实数的值为. （2）因为. 且由题意可知，所以解得且， 令，得，令，得， 所以，解得. 所以实数的值为. 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26高二上·上海·月考）已知，，点，，动点在轴上，设直线、的斜率分别为，当取最小值时，满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出示意图，设关于轴的对称点为，数形结合可得三点共线时，取最小，可求解． 【详解】因为，，所以两点均在轴同侧， 不妨设两点均在轴的上方，如图所示， 设关于轴的对称点为， 因为在轴上，则直线与直线倾斜角互补，即，且， 所以，当且仅当三点共线时，等号成立， 此时，所以为最小时，． 故选：B. 2．（25-26高二上·上海·月考）下列说法正确的是（   ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．点关于直线的对称点为 D．过，两点的直线方程为 【答案】C 【分析】由直线方程求直线在坐标轴上的截距，从而可求出直线与坐标轴围成的三角形的面积判断A；分别讨论直线过原点和不过原点两种情况，即可判断B；设关于直线对称的点为，得到，再解方程即可判断C；利用两点式方程使用条件判断D. 【详解】对于A，当时，，当时，， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，所以A错误； 对于B，当所求直线过原点时，设直线为， 因为点在上，所以，所求直线为. 当直线不过原点时，设所求直线为， 因为点在上，所以，所求直线为. 综上所求直线为：或，所以B错误； 对于C，设关于直线对称的点为， 则，即点关于直线的对称点为，所以C正确； 对于D，当或时，不能利用两点式求直线方程，所以D错误. 故选：C 3．（25-26高二上·上海·月考）已知，则直线和直线的位置关系不可能是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．关于轴对称 【答案】D 【分析】根据条件，由两直线平行的必要条件得到，解出值，再进行检验，即可判断出选项A和B的正误，对于C，利用两直线垂直的充要条件得，利用方程有解，即可判断C的正误；对于D，利用直线过定点，先假设两直线关于轴对称，从而有在直线上，求出值，再进行检验即可求解. 【详解】由，整理得到，解得或， 当时，两直线方程为和，此时两直线重合， 当时，两直线方程为和，此时两直线平行，所以A和B可能， 对于C，由，整理得到，又， 所以有解，即存在值，使两直线垂直，所以C可能， 对于D，由，得到， 由，解得，所以直线过定点， 若两直线关于轴对称，则点在另一直线上，所以， 得到，此时两直线方程为和，显然两直线不关于轴对称，所以D不可能. 故选：D. 4．（24-25高二上·上海·期末）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立如图所示的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，由反射性质得四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可． 【详解】 建立如图所求的直角坐标系，得，， 则直线方程为， 且的重心为，即， 设，关于直线的对称点为， 则，解得，则， 易知关于轴的对称点为， 根据光线反射原理知四点共线，且，， 所以直线的方程为，即， 又直线过， 所以，解得或（舍去）， 所以，，, 所以， 所以的周长为. 故选：A． 二、填空题 5．（24-25高二下·上海杨浦·期中）在平面上的线段及点，在上取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作. 设是长为2的线段，则点集所表示图形的面积是 . 【答案】 【分析】先分析出该集合所对应的图形形状，再分别计算各部分图形的面积，最后将各部分面积相加得到总面积. 【详解】已知集合所表示的图形是一个边长为的正方形和两个半径是的半圆.如图所示. 将正方形面积和圆的面积相加，可得点集所表示图形的面积. 故答案为：. 6．（24-25高二下·上海徐汇·期中）在中，已知，的平分线所在直线方程是，边上的高所在直线是，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】联立的平分线直线方程和边上的高所在直线方程可求出点坐标，利用角平分线的性质结合点关于直线的对称点的计算可求出直线的方程，再利用边上的高所在直线的斜率以及点坐标求出直线的方程，联立求解即可得到点的坐标. 【详解】由解得，所以. 因为的平分线所在直线方程是，所以点关于直线的对称点在所在直线上， 所以直线的方程为，整理得. 又边上的高所在直线是，其斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，整理得. 由，解得，所以则点的坐标为. 故答案为：. 7．（25-26高二上·上海徐汇·月考）以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为2的正方形的四条边的方程为 . 【答案】， 【分析】根据题设分析知，方程所得图形关于原点、轴对称且点是正方形的四个顶点，从而得到边所在方程 【详解】由题设，方程所得图形关于原点、轴对称， 又图形是对角线在坐标轴上，边长为2的正方形，所以正方形所对应四个顶点坐标分别为， 所以边对应方程为：，即，, 边对应方程为：，即，， 边对应方程为：，即，， 边对应方程为：，即，， 故方程为， 故答案为：， 8．（24-25高二上·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可知满足为四边形的四边上任意一点，然后画图由几何意义求解即可. 【详解】将直线与的方程化为一般式为， ，所以到两直线的距离之和为：， 所以①. 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 则动点为如图所示的四边形的边，   的几何意义为正方形边上任意一点与连线的斜率. 易知，， ，， 所以的取值范围是， 故答案为：. 三、解答题 9．（24-25高二下·上海·月考）已知三条直线. (1)用实数表示直线的倾斜角； (2)当时，能否找到第一象限中的一点满足以下条件：点到的距离是点到的距离的2倍，且点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)能， 【分析】（1）借助倾斜角与斜率的关系分类讨论即可得； （2）借助点到直线的距离公式，可得、，分类讨论并计算即可得解. 【详解】（1）直线的斜率为， 当时，，倾斜角， 当时，，倾斜角， 当时，直线方程为，倾斜角； （2）当时，设，由，有， 化简得， 由，即，化简得， 分情况讨论： ①：，解得， 代入条件1，解得，，满足； ②：，解得，不符合， 将，代入，成立， 故点符合要求，即能找到，且坐标为. 10．（25-26高二上·上海·期中）已知直线l过点，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，分别根据下列条件，求直线l的方程； (1)当的面积最小时； (2)当取得最小值时； (3)当两截距之和最小时； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先设直线方程，再根据基本不等式得面积的最小值，进而求得直线方程； （2）先设直线方程，根据基本不等式或用向量的方法求得线段的积的最小值，进而得直线方程； （3）设直线方程来截距式方程，再用基本不等式得截距之和最小值，进而得直线方程. 【详解】（1）方法一：因为直线l分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点， 所以l的斜率存在且不为0，可设直线l的方程为， 由题意可得，，且解得. 于是 当且仅当，即时，的面积取得最小值，且最小值为4. 此时，直线l的方程为，即. 方法二：设直线l的方程为，则. 又因为，即，得，当且仅当，即，时等号成立， 于是的面积有最小值，且最小值为4. 此时，直线l的方程是，即； （2）方法一：由（1）方法一知，，， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时直线l的方程为. 方法二：由（1）方法二知，，，，， 所以， 即 当且仅当时取等号，此时直线l的方程为. （3）设直线l的方程为，则， 所以，即， 当且仅当即时取“＝”，此时直线l的方程为. 11．（25-26高二上·上海·月考）在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线轴正半轴于点． (1)当直线的截距相等且不等于零时，求直线的方程； (2)已知点在线段（包括端点）上运动，求的取值范围； (3)求面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3)16 【分析】（1）依题意设出直线的截距式方程，代入点求出的值，即得直线方程； （2）由直线的方程得，代入消元可得关于的二次函数，进而求其范围； （3）根据直线斜率是否存在分类讨论，求得，的坐标，进一步用坐标表示三角形的面积，利用换元法和二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）依题意，设直线的方程为，因直线经过点，代入解得，故直线的方程为. （2）由、，得线段的方程为：， 因为点在线段（包括端点）上运动，所以，则， 因此， 因为二次函数的开口向上，对称轴方程为， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因此，当时，有最小值，最小值， 当时，有最大值，最大值， 故的取值范围是. （3）当过点的直线斜率不存在时，、， 此时． 当过点的直线斜率存在时， 设直线AB的方程为，即． 直线AB与相交，可得， 直线AB与x轴正半轴相交于B，可得． 由，解得或． 则． 令，则（或）， 可得， 由或，可得或， 根据二次函数的单调性可知，当，有最大值，最大值为， 此时面积有最小值，且，此时，、符合题意． 综上所述，面积的最小值为． 12．（24-25高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，对于及直线l，记、、分别表示A、B、C到l的距离，且．对于给定的，记的最小值为． (1)已知定点，，，直线l的方程为，求的值； (2)已知，，为给定的不共线的三点，若直线使得，求证：直线过的重心； (3)若对于，满足的不同直线l至少有两条，试判断的形状，并予以证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)等边三角形，证明见解析 【分析】（1）根据定义及点到直线距离公式即可求解； （2）设，，，直线，根据定义得出，由二次函数的性质得，，代入直线方程即可证明； （3）不妨设，，，，l的方程为，，得出，由反证法得出，即可证明． 【详解】（1），，， 故． （2）设，，，直线， 对任意固定的a、b，要使得 ，最小， 那么由二次函数的性质可得，， 此时直线方程为， 过的重心，因此过的重心． （3）由（2）知，取最小值时，l过的重心，不失一般性， 不妨设，，，其中， 此时l的方程为，这里θ表示直线l的倾斜角， 此时 ， 此时为关于θ的函数、定义域为的函数， 令，，， 则， 若或，那么函数在上有且仅有一个最小值，这与已知条件取最小值至少有两条直线满足条件矛盾． 因此必须有且，即， 由得， 不妨取， 所以，，， 所以，即， 所以为等边三角形． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 坐标平面上的直线（复习讲义） 1.精准掌握直线倾斜角、斜率的定义及相互关系， 2.熟练运用两点间斜率公式进行计算；厘清直线方程的点斜式、斜截式、一般式等多种形式的推导逻辑、适用条件，能实现不同形式间的灵活转化， 3.牢记直线平行、垂直时斜率满足的判定法则，形成“概念—公式—性质”一体化的知识网络，筑牢解析几何基础。 知识点01：直线的倾斜角与斜率 1.直线的倾斜角 （1）定义：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. （2）取值范围：直线的倾斜角的取值范围是，并规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为. 补充：倾斜角与直线倾斜程度的关系 倾斜角 直线 2.直线的斜率 （1）定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示，即. （2）倾斜角与斜率的关系 直线情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 0° 的范围 0 不存在 的增减性 随增大而增大 随增大而增大 3.直线斜率的坐标表示 公式：经过两点的直线的斜率公式为． 4.直线斜率与直线方向向量 1.若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为 ，则 . 2.若直线l的斜率为k 且直线过两点，的它的一个方向向量的坐标为=（），则 k=。 知识点02：直线的方程 1.直线的点斜式方程 已知直线l经过点，且斜率为k，则直线l的方程为． 这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的点斜式方程，简称点斜式． 当直线l的倾斜角为0°时（如图1），，即k=0，这时直线l与x轴平行或重合，l的方程就是，或． 当直线l的倾斜角为90°时（如图2），直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．因为这时l上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是，或． 2.直线的斜截式方程 我们把直线l与y轴交点的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 如果直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则方程为，即叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 当b=0时，表示过原点的直线；当k=0且b≠0时，表示与x轴平行的直线；当k=0且b=0时，表示与x轴重合的直线． 3.直线的两点式方程 （1）直线的两点式方程的定义 已知直线过两点，当时，直线的方程为．这个方程是由直线上的两点确定的，因此称为直线的两点式方程，简称两点式． （2）直线的两点式方程的推导 已知直线过两点（其中），此时直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的． 当时，所求直线的斜率． 任取中的一点，例如取，由点斜式方程，得， 当时，可写为． 4.直线的截距式方程 （1）直线的截距式方程的定义 已知直线过点，（），则由直线的两点式方程可以得到直线的方程为． 我们把直线与轴的交点的横坐标叫做直线在轴上的截距，此时直线在轴上的截距是．这个方程由直线在两个坐标轴上的截距和确定，因此叫做直线的截距式方程，简称截距式． （2）直线的截距式方程的推导 已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，如图，其中． 将两点，的坐标代入两点式，得，即． 5.中点坐标公式 若点的坐标分别为（）（），且线段的中点M的坐标为（x，y），则．此公式为线段的中点坐标公式． 6.直线的一般式方程 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式． 直线的一般式、斜截式、截距式如下表： 一般式 斜截式 截距式 不同时为0） 都不为0） 直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线．因此在一定条件下，直线的一般式方程可以进行如下转化： （1）当时，可化为，它表示在y轴上的截距为，斜率为的直线． （2）当均不为零时，可化为，它表示在x轴上的截距为，在y轴上的截距为的直线． 知识点03：两条直线的位置关系 1.两直线平行 （1）特殊情况下的两条直线平行的判定 两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，故它们互相平行． （2）两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定 两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即． 2.两直线垂直 （1）特殊情况下的两条直线垂直的判定 当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°时，两条直线互相垂直． （2）两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于−1，那么它们互相垂直，即． 3.两条平行直线间的距离 （1）两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长． （2）两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）间的距离． 4.直线关于直线对称 （1）直线与关于直线l对称，它们具有以下几种几何性质： ①若与相交，则直线l是、夹角的平分线； ②若与平行，则直线l在、之间且到、的距离相等； ③若点A在上，则点A关于直线l的对称点B一定在上，此时AB⊥l，且线段AB的中点M在l上（即l是线段AB的垂直平分线）．充分利用这些性质，可以找出多种求直线的方程的方法． （2）常见的对称结论有：设直线l为Ax+By+C=0， ①l关于x轴对称的直线是Ax+B（−y）+C=0； ②l关于y轴对称的直线是A（−x）+By+C=0； ③l关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=0； ④l关于直线y=−x对称的直线是A（−y）+B（−x）+C=0． 知识点04：点到直线的距离 1.两点间的距离公式 平面上任意两点间的距离公式为. 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 2.对称问题 （1）点关于点对称 设点关于点M（a，b）的对称点为P′（x，y），则有，所以，即点．特别地，点P关于坐标原点O的对称点为． （2）点关于直线对称 常见的点关于直线的对称点： ①点关于x轴的对称点； ②点关于y轴的对称点； ③点关于直线y=x的对称点； ④点关于直线y=−x的对称点； ⑤点关于直线x=m（m≠0）的对称点； ⑥点关于直线y=n（n≠0）的对称点． 3.点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的距离为． 题型一 直线的斜率与倾斜角 【例1-1】（25-26高二上·上海青浦·月考）直线的倾斜角是（    ） A． B． C．arctan D． 【例1-2】（24-25高二下·上海杨浦·月考）已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ． 【例1-3】（23-24高二上·上海杨浦·期中）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是 .    【变式1-1】（25-26高二上·上海·期中）已知直线的斜率不存在，则这条直线的倾斜角为 ． 【变式1-2】（25-26高二上·上海·月考）已知直线的一个法向量为，则直线的倾斜角 ． 【变式1-3】（25-26高二上·上海·月考）如图，直线、、的斜率、、由小到大排序为 ．    【变式1-4】（24-25高二上·上海·月考）在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是 . 题型二 几种特殊形式的直线方程 【例2-1】（25-26高二上·上海·月考）直线的倾斜角为，且，若过点，则直线的方程为 . 【例2-2】（25-26高二上·上海·期中）已知点，，则线段的垂直平分线的点法式方程是 ． 【变式2-1】（25-26高二上·上海·期中）四条不重合直线、、、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是为，则的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【变式2-2】（24-25高二上·上海·月考）直线经过点，与轴、轴分别交于、两点，若，则直线的方程为 . 【变式2-3】（23-24高二上·上海·期中）已知直线过点. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距相等求直线的方程． 题型三 直线的一般式方程 【例3-1】（25-26高二上·上海·月考）如果，，那么直线不通过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例3-2】（23-24高二上·上海·期末）已知直线，直线，则是直线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 【例3-3】（24-25高二上·上海·期中）直线的一个法向量为，且过点，则直线的一般式方程为 ． 【变式3-1】（25-26高二上·上海浦东新·期中）直线的倾斜角为 . 【变式3-2】（25-26高二上·上海·期中）设，直线经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限，则的取值范围是 ． 【变式3-3】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 题型四 两条直线的位置关系 【例4-1】（24-25高二下·上海·期中）已知直线，，若 ，则 【例4-2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）过点且与直线垂直的直线的一般式方程为 . 【例4-3】（25-26高二上·上海·期中）已知两条平行直线，，当，之间的距离最大时， ． 【例4-4】（25-26高二上·上海徐汇·月考）已知点，直线l： (1)求点M关于点对称点的坐标 (2)求过点M与直线l平行的直线. 【变式4-1】（23-24高二上·上海虹口·月考）若中，a，b，c分别为三内角A，B，C的对边，且，则直线与直线（   ） A．平行 B．重合 C．相交且垂直 D．相交且不垂直 【变式4-2】（25-26高二上·上海·期中）已知直线与直线平行， 则实数的值是 . 【变式4-3】（24-25高二下·上海崇明·期末）已知点、，则线段的垂直平分线的一般式方程为 . 【变式4-4】（25-26高二上·上海松江·期中）已知直线与直线，. (1)若，求的值； (2)若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数（截距均不为零），求直线的方程. 题型五 点到直线的距离 【例5-1】（25-26高二上·上海浦东新·期中）若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种 【例5-2】（25-26高二上·海南·月考）已知点到直线的距离为1，则 . 【例5-3】（25-26高二上·上海·月考）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)求点到直线的距离． 【变式5-1】（24-25高二上·上海·月考）直线过点，且原点与距离为5，则直线的方程为 . 【变式5-2】（25-26高二上·上海·月考）已知的三个顶点是，，. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程. 【变式5-3】（24-25高二上·上海·期中）已知三角形的顶点，边上的高所在的直线方程为，点是边的中点． (1)求边所在直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求的角平分线所在直线的方程． 题型六 直线围成图形的面积问题 【例6】（23-24高二上·上海·期末）已知直线，，，三条直线围成，则当面积取得最大时的值为 . 【变式6-1】（24-25高二下·上海青浦·期中）在直角坐标平面中，已知两定点与，，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是 . 【变式6-2】（24-25高二上·上海·月考）定义：点到直线（不全为零）的有向距离为.设点到直线l的有向距离为.已知两定点与，到直线l的有向距离之差的绝对值等于，且在直线l的同侧，则平面上不在任何一条直线l上的点组成的图形面积为 . 【变式6-3】（23-24高二上·上海奉贤·月考）已知直角坐标系中三点，，. (1)求以三点为顶点的三角形中边上的高所在直线的方程 (2)求以三点为顶点的三角形的面积 题型七 对称问题 【例7-1】（25-26高二上·上海·期中）设，点在轴上，则的最小值为 ． 【例7-2】（25-26高二上·上海·月考）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 . 【变式7-1】（24-25高二上·上海·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是 . 【变式7-2】（23-24高二上·上海浦东新·月考）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原点，光线经过的重心．以点为坐标原点，以为轴（为正方向），建立平面直角坐标系． (1)求的重心的坐标，及点的坐标； (2)求的周长． 【变式7-3】（24-25高二下·上海·月考）在平面直角坐标系中， 已知矩形的长，宽，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，如下图所示.将矩形折叠，使点落在线段上. (1)若折痕所在直线的斜率为，求折痕所在直线的方程（用斜率表示）； (2)若折痕和线段、相交，求折痕的长的取值范围. 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26高二上·上海·期中）直线与直线之间的距离为（   ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高二下·上海·月考）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（25-26高二上·上海·月考）直线与直线的夹角大小为 ． 5．（25-26高二上·上海青浦·月考）直线过点，且直线的法向量，则的方程为 6．（25-26高二上·上海嘉定·月考）过点且与直线垂直的直线方程为 . 7．（25-26高二上·上海·期中）已知，直线经过点，则直线的倾斜角为 ．（结果用arctan表示） 三、解答题 8．（25-26高二上·上海宝山·月考）已知直线过点 (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)求直线的斜率. 9．（24-25高二下·上海杨浦·开学考试）已知直线. (1)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (2)已知，若点到直线的距离为，求最大时直线的一般式方程. 10．（24-25高二下·上海·期末）已知直线； (1)若，求实数的值； (2)若不经过坐标原点的直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26高二上·上海·月考）已知，，点，，动点在轴上，设直线、的斜率分别为，当取最小值时，满足（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·上海·月考）下列说法正确的是（   ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．点关于直线的对称点为 D．过，两点的直线方程为 3．（25-26高二上·上海·月考）已知，则直线和直线的位置关系不可能是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．关于轴对称 4．（24-25高二上·上海·期末）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25高二下·上海杨浦·期中）在平面上的线段及点，在上取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作. 设是长为2的线段，则点集所表示图形的面积是 . 6．（24-25高二下·上海徐汇·期中）在中，已知，的平分线所在直线方程是，边上的高所在直线是，则点的坐标为 ． 7．（25-26高二上·上海徐汇·月考）以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为2的正方形的四条边的方程为 . 8．（24-25高二上·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是 ． 三、解答题 9．（24-25高二下·上海·月考）已知三条直线. (1)用实数表示直线的倾斜角； (2)当时，能否找到第一象限中的一点满足以下条件：点到的距离是点到的距离的2倍，且点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，说明理由. 10．（25-26高二上·上海·期中）已知直线l过点，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，分别根据下列条件，求直线l的方程； (1)当的面积最小时； (2)当取得最小值时； (3)当两截距之和最小时； 11．（25-26高二上·上海·月考）在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线轴正半轴于点． (1)当直线的截距相等且不等于零时，求直线的方程； (2)已知点在线段（包括端点）上运动，求的取值范围； (3)求面积的最小值． 12．（24-25高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，对于及直线l，记、、分别表示A、B、C到l的距离，且．对于给定的，记的最小值为． (1)已知定点，，，直线l的方程为，求的值； (2)已知，，为给定的不共线的三点，若直线使得，求证：直线过的重心； (3)若对于，满足的不同直线l至少有两条，试判断的形状，并予以证明． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $