专题04 因式分解 4大高频考点（期末真题汇编，山西专用北师大版）八年级数学下学期

**基本信息** 汇编山西多地期末真题，聚焦因式分解四大核心考点，涵盖定义辨析、公式法、提公因式法及综合应用，适配初中期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|11道|因式分解定义（如运城盐湖区期末题）、公式法适用判断（如太原期末题）|基础概念辨析，真题情境真实| |填空题|2道|综合提公因式与公式法（如运城中考试题）|简洁考查方法融合能力| |解答题|10道|提公因式法（如晋中灵石县题）、配方法应用（如临汾大宁县阅读题）|分层设计，含创新阅读题型，对接中考命题趋势|

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04因式分解 ☆4大高频考点概览 考点01因式分的定义 考点02分解法分解因试 考点03提公因式法分解因式 考点04综合提公因式和公式法分解因试 目目 考点01 因式分解的定义 一、选择题 1.(24-25八下·山西运城盐湖区期末)下列由左边到右边的变形是因式分解的是() A.（y-22=y2-4y+4 B.a2-b2+1=a+b)(a-b+1 C.a(x+y)=ax+ay D.m2-4=(m+2)(m-2) 2.(24-25八下·山西运城稷山县期末)下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是() A.2a2-4a+1=2aa-2+1 B.a+b=b+a C.2a2-2b2=2a+b)(a-b D.a(a-b)=a2-ab 3.(24-25八下山西晋中榆次区·期末)下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是() A.(x+a)(x-a)=x2-a2 C.2πR-2πr=2π(R-r） D.x2-4x+3=x(x-4)+3 4.(24-25八下·山西晋中左权县期末)下列由左到右的变形，属于因式分解的是() A2-1=2- B.x2-y2-1=(x+y(x-y)-1 C.x2-4xy+4y2=(x-2y)月 D.x2-2.x+1=xx-2)+1 5.(24-25八下山西晋中太谷县期末)下列从左边到右边的变形，是因式分解的是() A.a2-1+3a=(a-1)(a+1)+3a B.6a'b'c=2a23bd C.x2+1=x(x+ D.-x2+y2=(-x+y)(x+y) 目目 考点02 分解法分解因式 一、选择题 1.(24-25八下山西太原期末)下列从左到右的变形，属于因式分解的是() 1/5 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 A.4x2y=4x·xy B.x2+x+1=x(x+1)+1 C.2a2+4a=2aa+2 D.(a+2(a-2=a2-4 2.(24-25八下山西晋中介休期末)下列等式从左到右变形，属于因式分解的是() A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.a2+b2=(a+b)2-2ab C.x2-2x+1=(x-1)2 D.x2+6x+8=x(x+6)+8 3.(24-25八下山西临汾大宁县2025年6月期末期末)下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的 是(). A.x2-4 B.x2-4xy+y2 C.x2-2x-1 D.x2-4x+4 4.(24-25八下山西晋中灵石县期末)下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是() A.x2-1 B.x2+2x-1 C.x2+x+1 D.4x2+4x+1 5.(24-25八下山西运城盐湖区·期末)下列多项式中能用平方差公式分解因式的是() A.a2-2a+1B.a2-4 C.a2-a D.a2-4a 二、解答题 6.(24-25八下山西运城盐湖区期末)(1)因式分解：(2x+y)2-(x+2y)2 2x+1<3① (2)解不等式组： x+1-3x≤1② 4 7.(24-25八下山西运城稷山县期末)(1)因式分解(a2+1)-4a (2)解方程： x。5 -+4 2x-32x-3 8.(24-25八下山西晋中榆次区·期末)因式分解： (1)2x3-8x; (2)a2+4）-16a2. 9.(24-25八下·山西运城盐湖区期末)分解因式： (1)a2b-4b (2x2+92-36x 10.(24-25八下山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务. 2/5 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 配方法著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变 换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则.” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其 化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式.配方法是数学中一种重要的 恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用.一 配方法在因式分解中的应用 例1因式分解：x2+4x-5. 解：原式=x2+4x+4-4-5 第一步 =(x+2)2-9 第二步 =(x+2+3)x+2-3第三步 =(x+5)(x-1) 第四步二、配方法在求最值问题中的应用 例2求2x2-4x+1的最小值. 解：原式=2(x2-2x+1 =2[(x2-2x+1-1]+1 =2(x-12-1+1 =2(x-12-2+1 =2x-1)2-1.:(x-1)2≥0， .当(x-1)=0,即x=1时，2x2-4x+1的值最小，最小值为 2×0-1=-1. 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是 (用等式表示) (2)用配方法将x2-6x+8因式分解. (3)用配方法求当x为何值时，代数式2x2+6x+4的值最小，最小值是多少. 目目 考点03 提公因式法分解因式 ·、选择题 1.(24-25八下·山西晋中平遥县期末)一个长方形的长、宽分别为m、n,已知这个长方形的周长为18，面 3/5 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 积为15，由此请你推断m2n+mn2的值为() A.135 B.85 C.105 D.115 二、解答题 2.(24-25八下山西晋中灵石县期末)(1)因式分解：(a-b)2+b(b-a). 5x-3<2(x+3① (2)解不等式组： x+2 ,并将该不等式组的解集在数轴上表示出来。 ≤0② 7 5-4321012345→ 3.(24-25八下，山西晋中左权县·期末)利用因式分解说明32027-2×32026+8×32025能被33整除. 4.(24-25八下·山西晋中太谷县期末)把下列各式因式分解： (1)3a2a+b)-(2a+b)2a-3b: (2)-4x3+4x2-x. 5.(24-25八下山西太原·期末)分解因式： (1)3x3-12x; (2(1+m)2-(m+1(m-: (3)利用因式分解计算：1242-48×124+242. 目目 考点04 综合提公因式法分解因式 一、填空题 1.(2425八下山西运城盐湖区·期末)因式分解：2m2-12m+18= 2.(24-25八下山西晋中介休期末)因式分解：18-2x2= 二、解答题 3.(24-25八下山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)把下列各式因式分解： (1)x3-2x2+x: (2)4m2(a-b)+n2(b-a. 4.(24-25八下山西晋中左权县期末)(1)因式分解：a2b-16b: (2)因式分解：y3-6xy2+9x2y; 4/5 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5x-1>2(x+1) (3)解不等式组： 音+22 5.(24-25八下·山西晋中平遥县期末)计算： (1)因式分解：-3x2+6xy-3y2; 53=0 (②解方程：2-2-x 5/5 专题04 因式分解 4大高频考点概览 考点01因式分解的定义 考点02分解法分解因式 考点03提公因式法分解因式 考点04综合提公因式和公式法分解因式 地 城 考点01 因式分解的定义 1、 选择题 1．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)下列由左边到右边的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义，即把多项式转化为几个整式的积的形式．需逐一分析各选项是否符合该定义． 【详解】解：A. ，左边是乘积形式，右边展开为多项式，属于整式乘法而非因式分解，故错误． B. ，右边为乘积与常数相加的形式，未完全转化为积的形式，故错误． C. ，左边是单项式与多项式的乘积，右边展开为多项式，属于整式乘法，故错误． D. ，左边是二次多项式，右边分解为两个一次整式的乘积，符合因式分解的定义，故正确． 故选：D 2．(24-25八下·山西运城稷山县·期末)下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，等号右边不是积的形式，则A不符合题意； B、，不是因式分解，则B不符合题意； C、，符合因式分解的定义，则C符合题意； D、是乘法运算，则D不符合题意； 故选：C． 3．(24-25八下·山西晋中榆次区·期末)下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的识别，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式． 【详解】解：选项A：，这是整式乘法运算的展开过程，而非因式分解，排除． 选项B：，右边含有分式，不符合整式的要求，排除． 选项C：，左边为多项式，右边通过提取公因式转化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义． 选项D：，右边未完全分解为积的形式，仍存在加法运算，排除． 故选C． 4．(24-25八下·山西晋中左权县·期末)下列由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式． 【详解】解：A、右边出现分式，不符合整式乘积的要求，故A不符合题意； B、右边为，是乘积后减1，未完全分解为积的形式，故B不符合题意； C、左边可写成，符合整式平方的积的形式，属于因式分解，故C符合题意； D、右边为，是乘积后加1，未完全分解为积的形式，故D不符合题意． 故答案为：C． 5．(24-25八下·山西晋中太谷县·期末)下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是因式分解的定义，解题的关键是熟练的掌握因式分解的定义． 根据因式分解的定义，需将多项式转化为几个整式的乘积形式，且每个因子均为整式，逐一分析选项，判断是否符合条件 【详解】解：A选项：右边为，是乘积与单项式的和，不符合乘积形式，排除； B选项：左边为单项式，分解为多个单项式相乘，因式分解对象应为多项式，排除； C选项：右边含分式，非整式，排除； D选项：左边可视为，应用平方差公式分解为，符合整式乘积形式，正确； 故选D 地 城 考点02 分解法分解因式 1、 选择题 1．(24-25八下·山西太原·期末)下列从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义． 因式分解即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一分析各选项是否符合该定义即可． 【详解】解：A． 左边是单项式，因式分解的对象应为多项式，不属于因式分解； B． 右边含有加法运算，未完全分解为积的形式，不属于因式分解； C． 左边是多项式，右边为两个整式的乘积，且分解正确，符合因式分解定义； D． 左边是乘积形式，右边为展开后的多项式，属于整式乘法而非因式分解； 故选：C． 2．(24-25八下·山西晋中介休·期末)下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义，解题的关键是掌握因式分解的形式，即需判断等式是否将多项式转化为几个整式的积的形式． 利用因式分解的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，是整式乘法运算，而非因式分解，不符合要求； B. ，右边为多项式相减，未形成乘积形式，不是因式分解； C. ，左边为二次三项式，右边为完全平方的乘积形式，符合因式分解定义； D. 右边为乘积与常数相加，未完全化为积的形式，不符合要求； 故选：C． 3．(24-25八下·山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的因式分解，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 根据完全平方公式的形式，逐一分析每个选项是否符合该形式． 【详解】解： 完全平方公式为 选项A，，是平方差公式，不符合完全平方公式； 选项B，，中间项与完全平方公式中形式不匹配（若，，则），不符合完全平方公式；； 选项C，，常数项为，不是非负数，不符合的形式即不符合完全平方公式； 选项D，，其中，，，且， ∴ ，符合完全平方公式因式分解． 故选：D． 4．(24-25八下·山西晋中灵石县·期末)下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查用完全平方公式进行因式分解，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式逐项判断即可解答． 【详解】解：A、，不能用完全平方公式进行因式分解，故此选项不符合题意； B、，不能用完全平方公式进行因式分解，故此选项不符合题意； C、，不能用完全平方公式进行因式分解，故此选项不符合题意； D、，能用完全平方公式进行因式分解，故此选项符合题意； 故选：D． 5．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式分解因式． 根据平方差公式，判断各选项是否符合该结构即可． 【详解】解：A：，不符合平方差公式； B：符合平方差公式，分解为，正确； C：，可提取公因式，分解为，不符合平方差公式； D：，可提取公因式，分解为，不符合平方差公式； 故选：B 2、 解答题 6．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)（1）因式分解： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解一元一次不等式组和因式分解； （1）利用平方差公式分解因式，然后提取公因式解答即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：（1） = = = =； （2）解：解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 7．(24-25八下·山西运城稷山县·期末)（1）因式分解 （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是因式分解，分式方程的解法； （1）先利用平方差公式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先去分母，化为整式方程，再解整式方程，并检验即可． 【详解】解：（1） （2）， 方程两边都乘，得， ∴， ∴， ∴， 经检验是原方程的根． 8．(24-25八下·山西晋中榆次区·期末)因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握因式分解的步骤一提、二套、三检查、分解要彻底成为解题的关键． （1）先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可； （2）先运用平方差公式进行分解，再运用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：方法一：原式 ； 方法二：原式 ． 9．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解； （1）下提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解； （2）根据平方差公式以及完全平方公式因式分解，即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 10．(24-25八下·山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 配方法著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用．一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式        第一步             第二步     第三步             第四步二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ．∵， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是______，______．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求当x为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． 【答案】(1)， (2) (3)当时，代数式的值最小，最小值为 【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，配方法，非负数是解题的关键． （1）考查配方法因式分解中涉及的公式； （2）模仿例1使用配方法进行因式分解： （3）模仿例2使用配方法求代数式的最值． 【详解】（1）解：例1中第二步将 写成 ，依据完全平方公式；第三步将 写成 ，依据平方差公式． 故答案为：，． （2）解：原式． （3）解：原式 ． ∵ ， ∴ 当，即时，原式取最小值，最小值为． 地 城 考点03 提公因式法分解因式 1、 选择题 1．(24-25八下·山西晋中平遥县·期末)一个长方形的长、宽分别为m、n，已知这个长方形的周长为18，面积为15，由此请你推断的值为（    ） A．135 B．85 C．105 D．115 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，根据长方形周长和面积计算公式可得，，再把所求式子分解因式得到，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵一个长方形的长、宽分别为m、n，且这个长方形的周长为18，面积为15， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2、 解答题 2．(24-25八下·山西晋中灵石县·期末)（1）因式分解：． （2）解不等式组：，并将该不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2），图见解析 【分析】本题考查了利用提取公因式法和平方差公式因式分解及解不等式组，解题的关键是掌握利用提取公因式法和平方差公式因式分解及不等式的性质． （1）先变号，再提取公因式，即可得到答案． （2）根据不等式的性质分别求解两个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，写出不等式组的解集即可． 【详解】（1） （2）解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 所以，原不等式组的解集为：． 在数轴上，表示如下： 3．(24-25八下·山西晋中左权县·期末)利用因式分解说明能被33整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，先运用提公因式法进行因式分解，再根据约数的概念进行分析即可． 【详解】解： ． 因为， 所以能被33整除． 4．(24-25八下·山西晋中太谷县·期末)把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查完全平方公式、提公因式法，合并同类型，解题的关键是掌握完全平方和公式和提公因式法． （1）先提取公因式进行计算，再合并同类型，即可得到答案； （2）先提取公因式得到，再用完全平方公式进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． 5．(24-25八下·山西太原·期末)分解因式： (1)； (2)； (3)利用因式分解计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解． （1）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再计算加减即可； （3）逆用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式   ； （3）解：原式   ． 地 城 考点04 综合提公因式法分解因式 1、 填空题 1．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)因式分解：______． 【答案】 【分析】此题考查了提取公因式法，公式法分解因式，先提取公因数，再利用公式法分解因式即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 2．(24-25八下·山西晋中介休·期末)因式分解：__________． 【答案】 【详解】分析：原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 详解：原式=2（9-x2）=2（x+3）（3-x）， 故答案为2（x+3）（3-x） 2、 解答题 3．(24-25八下·山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 4．(24-25八下·山西晋中左权县·期末)（1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）解不等式组：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了因式分解和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握提取公因式，平方差公式，完全平方公式和求不等式公共解集的方法． （1）先提公因式，再用平方差公式求解即可； （2）先提公因式，再用完全平方公式求解即可； （3）求出每个不等式的解集，再求公共解集即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）， 解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以原不等式组的解集为． 5．(24-25八下·山西晋中平遥县·期末)计算： (1)因式分解：； (2)解方程： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的因式分解和解分式方程，熟练掌握分解因式的方法、解分式方程的一般步骤是解题的关键； （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可； （2）分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解后再检验即得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：原方程即为， 去分母，得， 解得， 经检验：是原方程的解． 所以原方程的解是． 1 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $