专题03 图形的平移与旋转 3大高频考点（期末真题汇编，山西专用北师大版）八年级数学下学期

**基本信息** 山西多地八年级下册期末试题汇编，聚焦图形平移与旋转三大考点，涵盖选择、填空、解答题型，注重基础巩固与综合应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|多题|平移性质（如第2题判断变换后线段关系）、旋转角度计算（如第1题旋转后角度推导）|基础概念辨析，结合具体图形情境| |填空题|多题|坐标系平移（如第7题正方形平移后点坐标）、旋转与几何量计算（如第4题旋转角求解）|综合几何性质，考查空间观念| |解答题|多题|平移作图（如第1题坐标系平移作图）、旋转综合证明（如第9题旋转与平行四边形判定）|分层设计，含操作探究与拓展延伸，适配期末综合复习|

专题03 图形的平移与旋转 3大高频考点概览 考点01图形的平移 考点02图形的旋转 考点03作图题 地 城 考点01 图形的平移 1、 选择题 1．(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校·期末)如图，在中，，将线段水平向左平移个单位得到线段，若四边形为菱形，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，平行四边形的性质与菱形的性质，掌握这些性质是关键；由平移知，四边形为菱形，则，由即可求解． 【详解】解：由平移知， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 故选：C． 2．(24-25八下·山西运城稷山县·期末)一个图形无论经过平移变换，还是经过旋转变换，下列说法正确的是（    ） A．对应线段平行 B．对应线段相等 C．图形的形状发生变化 D．图形的大小发生变化 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平移的性质，根据平移和旋转的性质逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、平移后对应线段平行，旋转对应线段不一定平行，故本选项错误； B、无论平移还是旋转，对应线段相等，故本选项正确； C、无论平移还是旋转，图形的形状没有发生变化，故本选项错误； D、无论平移还是旋转，图形的大小没有发生变化，故本选项错误． 故选：B． 3．(24-25八下·山西晋中榆次区·期末)如图，将沿直角边所在的直线向上平移得到，下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵将沿直角边所在的直线向上平移得到， ∴，故A正确； ∴，即，故B正确； ，故C正确； 无法说明D正确． 故选:D． 4．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)如图，线段是线段平移得到的，连接，，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质及平行线的性质是解题的关键．平移的性质结合平行线的性质逐一判断即可． 【详解】A、平移不改变图形的大小、形状，所以选项A正确，不符合题意； B、平移图中，连接各组对应点的线段平行且相等，所以选项B正确，不符合题意； C、由平移的性质可知，，，所以，，所以，故选项C正确，不符合题意； D、当线段和不相等时，平移后的线段也与不相等，所以选项D不正确，符合题意． 故选：D． 5．(24-25八下·山西晋中太谷县·期末)如图，在中，边在直线上，且．将沿直线平移得到，点的对应点为．若平移的距离为，则的长为（　　） A． B． C．或8 D．或8 【答案】D 【分析】本题考查了平移，正确分类计算是解题的关键．分向左平移和向右平移两种情况解答即可． 【详解】解：当向右平移距离为2时，； 当向左平移距离为2时，， 故选：D． 6．(24-25八下·山西晋中左权县·期末)如图，将沿方向平移，得到．若，，则的长为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质可得，继而得出，从而根据得解． 【详解】解：根据平移的性质可得：， 则 又，， ； 故选：C 2、 填空题 7．(24-25八下·山西晋城阳城县·期末)如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，，直线与坐标轴分别交于，且，点D在直线上，若将正方形向右平移，则平移个单位长度，点B恰好落在直线上，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与几何图形的综合运用，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，过点作轴，交于点G，过点A作轴于点H，则点纵坐标为2，设，求出直线的解析式为，利用正方形的性质证，推出，求出，再利用正方形的性质求出，代入直线直线解析式求出，即可求出，由平移的性质即可得出结果． 【详解】解：过点作轴，交于点G，过点A作轴于点H，则点纵坐标为2， 设，直线的解析式为， 则， ∴直线的解析式为， ∵四边形为正方形， ，， ， ∵， ， 在和中 ， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴两点的中点坐标与两点的中点坐标相同， ∴， 将代入直线直线解析式得：， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴将正方形向右平移个单位长度，点B恰好落在直线上． 故答案为：． 8．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)如图，在中，，，，是边上的高，将沿方向平移至，若与交于点，且，则的长为_____． 【答案】3 【分析】本题考查平移的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定．连接，由平移的性质得到，，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，由平行线的性质和角平分线定义推出，得到，因此． 【详解】解：连接， 由平移的性质得到，， ∴，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 3、 解答题 9．(24-25八下·山西晋中灵石县·期末)阅读与思考： 关于“图形的平移”的学习笔记 研究对象：图形的平移． 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念—性质—判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）—猜想—证明—应用． 研究内容： 【一般概念】在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形运动称为平移．平移的距离d就是新图形与原图形对应点之间的距离． 【特例研究】（1）如图1，B，C是线段的三等分点，．若将线段沿方向平移一定距离后得到线段，则______． 【知识应用】 （2）如图2，等腰直角三角形的腰长是2．用尺规方法作出沿方向平移距离为2的一个图形．（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）如图3，在平面直角坐标系中，点D的坐标分别是，以点O为圆心，长为半径画圆交x轴正半轴于点E，平面内存在一点F，使得以点D，O，E，F为顶点的图形为平行四边形，请直接写出点F的坐标：______． 请你根据所学内容，完善上述学习笔记． 【答案】（1）2；（2）见解析；（3）或或 【分析】（1）利用平移的距离的应用求得的长度即可； （2）在 的方向上以点C为顶点作出等腰直角三角形即可； （3）利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答：①四边形为平行四边形，过点D作轴于点G，过点F作轴于点H，则四边形为矩形，利用点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，平行四边形和矩形的性质求得线段，即可得出结论；②四边形为平行四边形，过点D作轴于点G，过点F作轴于点H，利用点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质求得线段，即可得出结论；③四边形为平行四边形，利用点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，平行四边形和矩形的性质求得线段，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵B，C是线段的三等分点，， ∴， ∵将线段沿方向平移一定距离后得到线段， ∴点A与点C，点B与点D为对应点， ∵， ∴， 故答案为：2； （2）1．延长至点D，使， 2．过点D作， 3．在上截取， 4．连接，则为沿方向平移距离为2的一个图形．如图， （3）分以下三种情况讨论： ①如图，四边形为平行四边形， 过点D作轴于点G，过点F作轴于点H，则四边形为矩形， ∵点D的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴； ②如图，四边形为平行四边形， 过点D作轴于点G，过点F作轴于点H， ∵点D的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； ③如图，四边形为平行四边形， 过点D作轴于点G，过点F作轴于点H，则四边形为矩形， ∵点D的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 综上，点F的坐标为或或． 故答案为：或或． 10．(24-25八下·山西晋中左权县·期末)综合与实践 【问题情境】 综合与实践课上，老师让同学们以“两个含角的完全相同的直角三角形和直角三角形（）拼摆”为主题开展教学活动． 【操作思考】 （1）“明辨”小组先将两个三角形如图①所示重叠放置，然后将其中一个绕点C顺时针旋转得到，旋转角为α（），当恰好经过点B时得到图②，求此时旋转角α的度数； （2）“善思”小组将两个三角形较长的直角边靠在一起，拼成了图③所示的三角形，然后将以点C为旋转中心，逆时针旋转α（），如图④所示，与相交于点O，连接．试判断与的关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图⑤，“博学”小组在图②的基础上，剪出一个与完全一样的三角形纸片，与其重叠放置，并将其沿直线平移，平移后，点B，C，的对应点分别为点D，E，F．若，当是以为顶角的等腰三角形时，请直接写出平移的距离． 【答案】（1）；（2）垂直平分，理由见解析；（3）平移的距离为或． 【分析】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，特殊直角三角形的性质，等腰三角形的定义，平行的性质，旋转、平移的性质等知识，综合性较强，熟练掌握旋转、平移的性质是解题的关键． （1）如图2，由绕点C顺时针旋转得到，得到，求得，根据等边三角形的性质得到； （2）根据旋转的性质得到，求得，得到，于是得到垂直平分； （3）①如图4，延长，作于点，连接，得到， ，根据等边三角形的性质得到，求得，，根据勾股定理得到    根据平移的性质得到，求得，根据勾股定理得到，求得，②如图5，连接并延长交于点，连接，，由①得，，，根据勾股定理得到，求得B． 【详解】解：（1）如图2，绕点顺时针旋转得到， ， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即； （2）垂直平分，理由如下： 绕点逆时针旋转到如图的位置， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分； （3）①如图4，延长，作于点，连接， ∵， ，， ∵，且是等边三角形， ， ，， ， 在中，， 沿射线的方向平移得到， ， ， ， ，， 是以为顶角的等腰三角形时， ， 在中，， ， ②如图5，连接并延长交于点，连接， 由①得，，， 是以为顶角的等腰三角形时， ， 在中，， ， 综上所述，当是以为顶角的等腰三角形时，平移的距离为或． 地 城 考点02 图形的旋转 1、 选择题 1．(24-25八下·山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)如图，绕点顺时针旋转到的位置，已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了旋转的性质，由旋转性质可知，然后由即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转到的位置， ∴， ∴， 故选：． 2．(24-25八下·山西晋中灵石县·期末)如图，将绕点C顺时针旋转得到．当点落在的延长线上时，恰好，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和平行线的性质． 利用旋转的性质得出，再利用等腰三角形的性质得出，可得． 【详解】解：由旋转知，，， ， ， ， ， ， 故选B． 3．(24-25八下·山西晋中介休·期末)如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，则的长为 （　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，利用勾股定理解直角三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握旋转的性质及勾股定理． 利用旋转的性质得出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵,， ∴， 由旋转的性质可得，， 由勾股定理得, 故选：A． 2、 填空题 4．(24-25八下·山西运城稷山县·期末)如图，在中，，将绕点B顺时针旋转，得到，A，C的对应点分别为，．若点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．由旋转的性质可知，然后利用等边对等角得，最后由三角形内角和即可求解． 【详解】解：由旋转性质可知：， ∵点在同一条直线上， ∴， ∴， 即旋转角的度数是， 故答案为：． 5．(24-25八下·山西晋中榆次区·期末)如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，若于点，，则___________． 【答案】43 【分析】本题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理等知识，得出的度数是解题关键．根据得出，根据旋转可得，根据三角形内角和定理得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 根据旋转可得， ∴ ∴， 故答案为：43． 6．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)如图，中，，，点是边上的一个动点，连接，将绕点顺时针旋转，得到（点的对应点分别为）．若点到两点的距离相等，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，过点作于，过点作于，连接，由旋转的性质可得，，，进而可证，得到，，利用勾股定理和等腰三角形的性质可得，即可得，设，则，，，由列出方程可得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，过点作于，连接，则， 由旋转可得，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 7．(24-25八下·山西太原·期末)如图，中，，于点E，将线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好落在边上，若，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，直角三角形性质，平行四边形性质，旋转的性质等知识点，作出适当的辅助线是解题的关键． 根据题意求出长，由旋转得长，过F点作，勾股定理得长，即可求得长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得， ， 由旋转得， ， 过F点作交于H，如图： ， ， ∴， ， 由勾股定理得：， ， 故答案为：． 3、 解答题 8．(24-25八下·山西运城稷山县·期末)如何将任意一个大三角形分成四个全等的小三角形，如何通过剪拼的方式将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形． 如图1，在中，点D，E，F分别是边的中点，连接，，，这样就得到了四个全等的小三角形．这是利用三角形中位线定理以及判定三角形全等的基本事实就可以比较容易地证明四个小三角形全等． 如图2，在中，点D，E分别是边的中点，连接，将绕点①______按顺时针方向旋转到的位置，这样就得到了一个与面积相等的平行四边形，请在图2中用几何符号表示三角形中位线定理：______． (1)把①，②处的内容写出来； (2)把小明和小甜分别证明图2中的四边形是平行四边形的过程补充完整． 小明的证明过程如下： ∵绕点①按顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴，， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴________，， ∴四边形是平行四边形（______）； 小甜的证明过程如下： ∵绕点①按顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴，， ∵点D，E分别是边的中点， ∴，是三角形的______， ∴， ∴______，， ∴四边形是平行四边形（______）． 【答案】(1)①E，②， (2)；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；中位线；；两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，旋转的性质，三角形中位线定理． （1）根据旋转定义，中位线定理即可求解； （2）小明的证明过程：利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可证明四边形是平行四边形； 小甜的证明过程：求得是三角形的中位线，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形” 可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：如图2，在中，点D，E分别是边的中点，连接，将绕点E按顺时针方向旋转到的位置，这样就得到了一个与面积相等的平行四边形， 在图2中用几何符号表示三角形中位线定理：，． 故答案为：①E，②，； （2）解：小明的证明过程如下： ∵绕点E按顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴，， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）； 小甜的证明过程如下： ∵绕点E按顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴，， ∵点D，E分别是边的中点， ∴，是三角形的中位线， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． 故答案为：；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；中位线；；两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 9．(24-25八下·山西太原·期末)综合与探究 问题情境：一次数学兴趣小组活动中，同学们准备了一大一小两张直角三角形纸片（即），按照图1所示的方式摆放．其中，点D、E分别为的中点．老师要求各小组结合所学的图形变化的知识展开数学探究． 操作探究1：（1）如图2，“勤学”小组将沿射线上平移得到，分别连接，发现四边形是平行四边形，请证明这一结论． 操作探究2：（2）“善思”小组将由初始位置（图1）绕点A按顺时针方向旋转得到． ①如图3，当点Q落在边上时，延长交于点M，判断的形状并说明理由． ②当旋转到时，连接，若，请直接写出线段的长． 【答案】（1）证明过程见解析；（2）①是等边三角形，理由见解析；②或 【分析】（1）根据平移的性质得，，再由平行线的判定可得，最后根据平行四边形的判定求证即可； （2）①根据旋转的性质得，，进而得，证得，再根据等边三角形的判定求证即可； ②根据直角三角形的性质和勾股定理求得，由旋转的性质得，，当点P在的上方，证明是等边三角形，得，，过点E作于点G，由等腰三角形的判定与性质得，，再由直角三角形的性质和勾股定理求得，进而求解即可；当点P在的下方，延长，过点Q作于点M，由直角三角形的性质和勾股定理求得，，进而求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）：∵沿射线上平移得到， ∴，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）①是等边三角形，理由如下： ∵绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ②∵，， ∴， ∴， ∵点D、E分别是、的中点， ∴， 如图，当点P在的上方， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 过点E作于点G， ∵， ∴， ， ， ∴， ， ， ∴， ， 如图，当点P在的下方， 由旋转的性质得，，， 延长，过点Q作于点M， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上所述，或． 10．(24-25八下·山西晋中介休·期末)综合与实践： 问题情境： 图形变换包括平移、旋转、对称、位似等，其中旋转就是将图形上的每一点在平面内绕着旋转中心旋转固定角度的位置移动，其中“旋”是过程，“转”是结果．旋转的性质则是解决实际问题的关键．如图，在平行四边形中，，对角线、相交于点，将直线绕点顺时针旋转一个角度，分别交线段、于点、，已知， ，连接． 猜想验证： （1）如图1，在旋转的过程中，请写出线段与的数量关系，并说明理由； 探索发现： （2）如图2，当时，请写出线段与的数量关系，并说明理由； 拓展延伸： （3）如图3，当时，求的面积． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，则，由证得，即可得出结论； （2）由勾股定理得出，由平行四边形的性质得出，，推出，求出，即，由，即可得出结论； （3）由，得出，证得四边形是平行四边形，则，由得，得出，由得，由，，则． 【详解】解：（1） ；理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ， 在与中， ， ， ； （2）；理由如下： ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 又， ， ，， ， ， ， ； （3）， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ， 由（1）得：， ， 由（）得：， ，， 地 城 考点03 作图题 1、 解答题 1．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)在平面直角坐标系中，如图所示， (1)请画出向右平移5个单位后得到的． (2)经过一次旋转得到 ①请直接写出旋转中心点P的坐标_______． ②经过怎样的旋转可以得到？ 【答案】(1)见解析 (2)①；②绕点逆时针旋转可以得到 【分析】此题考查了平移和旋转的作图和性质，根据旋转和平移的性质进行解答即即可． （1）根据平移方式作图即可得到答案； （2）①根据旋转的特征找到旋转中心即可；②根据旋转的特征找到旋转三要素即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）①旋转中心点P的坐标为， 故答案为： ②由题意可得，绕点逆时针旋转可以得到 2．(24-25八下·山西晋中榆次区·期末)如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，． (1)平移，使点的对应点的坐标为，请在图中画出平移后得到的； (2)将绕点顺时针旋转得到，请在图中画出． 【答案】(1)见详解 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平移的性质，图形与坐标，旋转作图等知识点，解决此题的关键是能掌握相关作图方法． （1）根据对应点的坐标得出平移的分式，画出平移后的三角形即可解答； （2）根据旋转的定义画出图形即可； 【详解】（1）解：根据题意可得向右平移6个单位，再向下平移2个单位即为，如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求， ． 3．(24-25八下·山西晋中太谷县·期末)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)把向左平移个单位后得到对应的，请画出平移后的； (2)若与关于点O成中心对称，请画出，点的对应点的坐标为（____，____）． (3)若点为内一点，则内部的对应点的坐标为____． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析，， (3) 【分析】此题考查了平移和中心对称的作图，准确作图是关键． （1）找到向左平移4个单位后得到对应点，顺次连接即可； （2）找到关于原点对称的，顺次连接即可； （3）由平移方式和关于原点对称的点的坐标特征即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； ∵， ∴， 故答案为：，； （3）解：∵点为内一点， ∴由题意将向右平移个单位得到，在内， ∴关于原点对称的点即为， 故答案为：． 4．(24-25八下·山西晋中介休·期末)如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将进行平移得到，其中点A的对应点为，点B，C的对应点分别为，请在图中画出； (2)将绕原点顺时针旋转得到，其中点A，B，C的对应点分别为，请在图中画出； (3)连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）按要求作图，再确定所求点坐标即可； （2）按要求作图，再确定所求点坐标即可； （3）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可． 【详解】（1）如图，为所求； （2）如图，则为所求； （3）如图， ， 且， 四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查了四边形综合，旋转作图，平移作图，勾股定理，平行四边形的判定，准确的在网格中作图及平行四边形的判定是本题的解题关键． 5．(24-25八下·山西晋中灵石县·期末)如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上． (1)请画出绕点逆时针旋转后的； (2)请画出关于原点对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查作图-旋转变换，中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质确定各对应点，顺次连线即可得到图形； （3）根据中心对称的性质确定各对应点，顺次连线即可得到图形． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 6．(24-25八下·山西大同·期末)如图，已知直线与直线相交于点C，分别交x轴于A、B两点．矩形的顶点D、E分别在直线上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合． (1)方程组的解是______； (2)求的面积； (3)求点E的坐标； (4)若矩形从B点出发，沿x轴的反方向平移2个单位长度，写出此时矩形与重叠部分的面积S的值． 【答案】(1) (2)36 (3) (4)20 【分析】本题考查一次函数的交点问题，解二元一次方程组，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积公式，掌握相关知识点是解题的关键． （1）解方程组即可； （2）根据（1）中方程组的解求得交点C的坐标，分别令直线的解析式中，求出x的值，从而得出点A、B的坐标，再结合点C的坐标利用三角形的面积公式即可求出的面积； （3）把代入直线的解析式即可求得D点的坐标为，然后把代入直线的解析式即可求得点E的坐标； （4）利用，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：， 得： ， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 所以方程组的解是； 故答案为：； （2）解：由（1）可知交点C的坐标为． 令直线中，，则，解得， ∴； 令直线中，，则，解得， ∴． ∴． （3）解：∵点G与点B重合， ∴， ∵四边形是矩形， 把代入直线得， ∴， 把代入得，解得， ∴； （4）解：∵， ∴， 矩形从B点出发，沿x轴的反方向平移2个单位长度，此时矩形与重叠部分为五边形，如图， ∵， ∴， 当时，， 当时，， ∴， ∴． 1 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03图形的平移与旋转 ☆3大高频考点概览 考点01图形的平移 考点02图形的旋每转 考点03作图题 目目 考点01 图形的平移 一、选择题 1.(24-25八下山西晋城泽州县部分学校期末)如图，在口ABCD中，AB=6,BC=8,将线段CD水平向左 平移n个单位得到线段MN,若四边形ABMN为菱形，则的值为() B A.4 B.3 C.2 D.1 2.(24-25八下·山西运城稷山县期末)一个图形无论经过平移变换，还是经过旋转变换，下列说法正确的是 () A.对应线段平行 B.对应线段相等 C.图形的形状发生变化 D.图形的大小发生变化 3.(24-25八下·山西晋中榆次区·期末)如图，将Rt△ABC沿直角边AB所在的直线向上平移得到aDEF,下 列结论不一定正确的是() B A.∠DEF=90°B.BE=AD C.∠CAB+∠F=90°D.AE=BE 4.(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)如图，线段AD是线段BC平移得到的，连接AB,CD,则下列结论 不一定成立的是() 1/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B A.AD=BC B.AB=CD C.∠A=∠C D.AB=AD 5.(24-25八下·山西晋中太谷县期末)如图，在△ABC中，边BC在直线MW上，且BC=6.将△ABC沿直线 MN平移得到△DEF,点B的对应点为E.若平移的距离为2，则CE的长为() M B C N A.2 B.4 C.2或8 D.4或8 6.(24-25八下·山西晋中左权县·期末)如图，将ABC沿BA方向平移，得到△DEF.若BD=8,DE=5, 则AE的长为() A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题 7.(24-25八下山西晋城阳城县期末)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，B(0,2), C(6,O),直线EF与坐标轴分别交于E,F,且OE=OF,点D在直线EF上，若将正方形向右平移，则平移 m个单位长度，点B恰好落在直线EF上，则m的值是· D B C 2/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.(24-25八下山西运城盐湖区期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,CD是AB边 上的高，将△ACD沿AB方向平移至△A'CD',若A'C'与BC交于点E,且CE=CD,则DD'的长为· B 三、解答题 9.(24-25八下山西晋中灵石县期末)阅读与思考： 关于“图形的平移”的学习笔记 研究对象：图形的平移. 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念一性质一判定”的路径，由一般到特殊进行研究. 研究方法：观察（测量、实验）一猜想一证明一应用， 研究内容： 【一般概念】在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形运动称为平移.平移的距离d 就是新图形与原图形对应点之间的距离. 【特例研究】(1)如图1，B,C是线段AD的三等分点，AD=3.若将线段AB沿AD方向平移一定距离后 得到线段CD,则d=一· A B C D 图1 图2 图3 【知识应用】 (2)如图2，等腰直角三角形ABC的腰长是2.用尺规方法作出ABC沿BC方向平移距离为2的一个图 形.（保留作图痕迹，不要求写作法） (3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，点D的坐标分别是(1,1)，以点O为圆心，OD长为半径画圆交x 轴正半轴于点E,平面内存在一点F,使得以点D,O,E,F为顶点的图形为平行四边形，请直接写出点F 的坐标： 请你根据所学内容，完善上述学习笔记 3/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 10.(24-25八下山西晋中左权县期末)综合与实践 【问题情境】 综合与实践课上，老师让同学们以“两个含30°角的完全相同的直角三角形ABC和直角三角形A'B'C (∠A=∠A'=30°)拼摆”为主题开展教学活动. A(4) A) (C0 (C)0 R B 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 【操作思考】 (1)“明辨”小组先将两个三角形如图①所示重叠放置，然后将其中一个△A'B'C'绕点C顺时针旋转得到 △A'B'C'，旋转角为a（0°<a<180°)，当AB'恰好经过点B时得到图②，求此时旋转角a的度数； (2)“善思”小组将两个三角形较长的直角边靠在一起，拼成了图③所示的三角形，然后将△A'B'C'以点C为 旋转中心，逆时针旋转a(0°<a<90°)，如图④所示，AB与AB'相交于点O,连接OC,AA'.试判断CO与 AA'的关系，并说明理由； 【拓展探究】 (3)如图⑤，“博学”小组在图②的基础上，剪出一个与BCB'完全一样的三角形纸片，与其重叠放置，并 将其沿直线A'C平移，平移后，点B,C,B的对应点分别为点D,E,F.若AB=4,当AB'D是以 ∠AB'D为顶角的等腰三角形时，请直接写出平移的距离. 目目 考点02 图形的旋转 一、选择题 1,(2425八下山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)如图，△0AB绕点0顺时针旋转80°到△0CD的位置， 己知∠A0B=45°，则∠B0C等于() B A.55 B.45° C.40° D.35 2.(2425八下·山西晋中灵石县·期末)如图，将ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C.当点B落在BA的 延长线上时，恰好A'B'∥AC,若=140°，则∠BAC的度数为() 4/11 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 B B A.20° B.40° C.60° D.80° 3.(24-25八下山西晋中介休期末)如图，在ABC中，AB=V6,AC=√3，∠BAC=30°，将ABC绕 点A逆时针旋转60°得到△AB,C1,连接BC1,则BC,的长为() B A.3 B.4 C.25 D.32 二、填空题 4.(24-25八下山西运城稷山县·期末)如图，在ABC中，∠C=50°，将ABC绕点B顺时针旋转，得到 △A'BC',A,C的对应点分别为A,C.若点C恰好落在CA的延长线上，则旋转角的度数是°. B A 5.(24-25八下·山西晋中榆次区·期末)如图，将ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C',若AB′⊥BC 于点D,∠B'=47°，则∠CAC'= B 6.(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)如图，ABC中，AB=AC=4,∠BAC=90°，点D是BC边上的一 个动点，连接AD,将△ADC绕点D顺时针旋转90°，得到△EDF(点A,C的对应点分别为E,F).若点 B到E,F两点的距离相等，则BD的长为 5/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 7.(24-25八下·山西太原期末)如图，口ABCD中，∠B=45°，AE⊥CD于点E,将线段AE绕点A顺时针 旋转60，点E的对应点F恰好落在BC边上，若AD=3√2，则CF= A D E 三、解答题 8.(2425八下·山西运城稷山县期末)如何将任意一个大三角形分成四个全等的小三角形，如何通过剪拼的 方式将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形， 如图1，在ABC中，点D,E,F分别是AB,AC,BC边的中点，连接DE,EF,DF,这样就得到了四 个全等的小三角形.这是利用三角形中位线定理以及判定三角形全等的基本事实就可以比较容易地证明四 个小三角形全等： 如图2，在ABC中，点D,E分别是AB,AC边的中点，连接DE,将ADE绕点① 按顺时针方向旋 转180°到△CFE的位置，这样就得到了一个与ABC面积相等的平行四边形DBCF,请在图2中用几何符 号表示三角形中位线定理： B B 图1 图2 (1)把①，②处的内容写出来； (2)把小明和小甜分别证明图2中的四边形DBCF是平行四边形的过程补充完整.。 小明的证明过程如下： :ADE绕点①按顺时针方向旋转180°到△CFE的位置， :△ADE≌△CFE, 6/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠A=LECF,AD=CF, CF∥AB, :点D是AB边的中点， ∴.AD=BD, ..CF= ,CF∥BD, :.四边形DBCF是平行四边形()： 小甜的证明过程如下： :ADE绕点①按顺时针方向旋转180°到△CFE的位置， △ADE≌△CFE, .AD =CF,DE=FE, :点D,E分别是AB,AC边的中点， AD=BD,DE是三角形ADE的， .BC 2DE DE+FE .BC= BD=CF, .四边形DBCF是平行四边形（)， 9.(24-25八下山西太原期末)综合与探究 问题情境：一次数学兴趣小组活动中，同学们准备了一大一小两张直角三角形纸片（即△ABC,△ADE), 按照图1所示的方式摆放.其中∠ACB=∠AED=90°，∠A=30°，点D、E分别为AB、AC的中点.老师 要求各小组结合所学的图形变化的知识展开数学探究. B ▣ E 图1 操作探究1：(1)如图2，“勤学”小组将ADE沿射线AC上平移得到△FGH,分别连接DF,BG,发现四边 形BDFG是平行四边形，请证明这一结论， 操作探究2：(2)“善思”小组将△AED由初始位置（图1）绕点A按顺时针方向旋转得到△APQ. ①如图3，当点Q落在边AB上时，延长PQ交AC于点M,判断△APM的形状并说明理由. ②当△APQ旋转到AP⊥AC时，连接CQ,若BC=2,请直接写出线段CQ的长。 7/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B B D ME 图2 图3 备用图 10.(24-25八下·山西晋中介休期末)综合与实践： 问题情境： 图形变换包括平移、旋转、对称、位似等，其中旋转就是将图形上的每一点在平面内绕着旋转中心旋转固 定角度的位置移动，其中“旋”是过程，“转”是结果.旋转的性质则是解决实际问题的关键.如图，在平行四 边形ABCD中，AB⊥AC,对角线AC、BD相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度 a(0°<a≤90)，分别交线段BC、AD于点E、F,已知AB=1,BC=V5,连接BF. E 图1 图2 图3 猜想验证： (1)如图1，在旋转的过程中，请写出线段AF与EC的数量关系，并说明理由 探索发现： (2)如图2，当a=45°时，请写出线段BF与DF的数量关系，并说明理由； 拓展延伸： (3)如图3，当a=90°时，求△B0F的面积. 目目 考点03 作图题 一、解答题 1.(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)ABC在平面直角坐标系中，如图所示， A-3,5),B(-4,1,C-1,2 8/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 -5 --4 B -5-4-3-2191234 -1--×-----2 3 (1)请画出ABC向右平移5个单位后得到的△A'B'C'. (2)aDEF经过一次旋转得到aA'B'C1 ①请直接写出旋转中心点P的坐标 ②aDEF经过怎样的旋转可以得到△A'B'C'? 2.(24-25八下山西晋中榆次区·期末)如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为：A(-5,), B(-4,5),C(-2,4. +4 2 +-+ -5-4-3-2-10 12345x 2 3 4 5 (1)平移ABC，,使点A的对应点A的坐标为1，-1)，请在图中画出平移后得到的△AB,C; (2)将ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB,C2,请在图中画出△AB,C2· 3.(24-25八下·山西晋中太谷县·期末)如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点分别是A1,3), B(4,4,C2,1. 9/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 V B (1)把ABC向左平移4个单位后得到对应的△A,B,C,请画出平移后的△A,B,C; (2)若ABC与△4，B,C,关于点O成中心对称，请画出△4，B,C,点A的对应点4的坐标为(，). (3)若点P(x,y)为△A,B,C1内一点，则△A,B,C2内部的对应点乃的坐标为· 4.(24-25八下山西晋中介休期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，ABC的顶点坐标分别为A(1,2), B(4,1),C(5,4). 5 2 A B 6-5-4-3-2-11 0123456x 2 3 5 (I)将ABC进行平移得到△AB,C,其中点A的对应点为A(-5,1),点B,C的对应点分别为B,C1,请在 图中画出△ABC; (2)将ABC绕原点顺时针旋转90°得到△A,B,C,其中点A,B,C的对应点分别为△4，B,C2,请在图中画出 △A,B,C2; (3)连接AC,B2B,,求证：四边形AC,B,B2是平行四边形. 5.(2425八下山西晋中灵石县期末)如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，ABC的顶点 均在格点上. 10/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (1)请画出ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A,B,C1; (2)请画出△A,B,C1关于原点对称的△A,B,C2 6.24-25八下山西大同期末如图，已知直线1：y=名x+8与直线4：y=-2x+16相交于点C,人、4分别 3r+ 3 交x轴于A、B两点.矩形DEFG的顶点D、E分别在直线I,上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B 重合. h E D B AO F 8 (1)方程组 x-y=一3的解是 2x+y=16 (2)求ABC的面积： (3)求点E的坐标： (4)若矩形DEFG从B点出发，沿x轴的反方向平移2个单位长度，写出此时矩形DEFG与ABC重叠部分 的面积S的值. 11/11