重难点03 平行四边形 5大高频考点（期末真题汇编，山西专用北师大版）八年级数学下学期

**基本信息** 聚焦平行四边形5大高频考点，精选山西多地期末真题，涵盖性质、判定及中位线综合应用，适配八年级下册期末复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题|含性质（作图求边长、面积计算）、判定条件选择、中位线应用|结合尺规作图（如考点01第1题）、动态问题（如考点01第4题）| |填空题|7题|性质（对角线性质求面积）、动点平行四边形存在性|融入运动变化（如考点02第3题）、折叠变换（如考点04第5题）| |解答题|12题|证明平行四边形（对角线互相平分）、性质与判定综合、中位线定理应用|注重逻辑推理（如考点03证明题）、联系实际（如考点05第2题社区公园设计）|

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 重难点03平行四边形 ☆5大高频考点概览 考点01平行四边形的性质 考点02添一个条件成为平行四边形 考点03证明四边形是平行四边形 考点04平行四边形的性质及判定综合 考点05与三角形中位线有关的问题 目目 考点01 平行四边形的性质 一、选择题 1.(24-25八下·山西临汾尧都区期末)如图，在口ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点 P分别以B,F为圆心，大于BF长为半径作弧，两弧交于点G,连接AG并延长，交BC于点E.若 CD=8,CE=6,则AD的长为() A.10 B.11 C.14 D.20 2.(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校期末)如图，点E是口ABCD内任一点，若S阳边彩BD=8,则图中阴 影部分的面积是() 0 A.4 B.4.5 C.6 D.3.5 3.(24-25八山西临汾曲沃县期末)如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E,若 ∠C=70°，则∠AEB的度数为() A.45° B.35° C.25° D.20° 4.(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)如图，在ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=12,P为AB边上一动 1/10 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 点，以PA,PC为边作平行四边形PAQC,则对角线P⑨长度的最小值为() B A.6 B.8 C.42 D.62 5.(24-25八下山西临汾曲沃县·期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，AC=4√2，点P为 BC上任意一点，连接PA,以PA,PC为邻边作平行四边形PAQC,连接P9,则PQ的最小值为() A.2√2 B.4N2 C.2 D.4 二、填空题 6.(2425八下·山西晋中介休期末)如图，口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,EF过点O,交AD于 点F,交BC于点E.若AB=5,AC=12,AD=13,则图中阴影部分的面积是 A F B E 7.(24-25八下山西临汾大宁县2025年6月期末期末)如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，BC=3, AC=4,E为斜边AB上的一动点，以EA,EC为边作口ADCE,则线段ED的最小值为 三、解答题 8.(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校期末)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD交于点O,已知E,F分 别为OB,OD的中点，连接AE,CF,求证：∠OAE=∠OCF. 2/10 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 9.(24-25八下·山西长治长子县期末)如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E在AD上， 点F在BC上，连接EF,使EF恰好经过点O. E D B (I)求证：DE=BF; (2)若AC⊥BD,DE+CF=5,AC=6,求BD的长. 10.(24-25八下·山西临汾尧都区期末)如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点0，AE‖CF,且 4AB2+AC2=BD2. E B D (1)求证：BA⊥CA; (2)若∠ABD=40°，∠FCA-∠EAC=80°，猜想BD与CF的位置关系，并给予证明. 目目 考点02 添一个条件成为平行四边形 一、选择题 1.(2425八下·山西临汾侯马期末)某小区有一个四边形花园ABCD,对角线AC与BD相交于点0.物业人 员测量了以下四组数据，其中哪一组可以确定四边形ABCD一定是平行四边形.() A.测得AB平行于CD,且AD等于BC B.测得A0=OC,且B0=OD C.测得AB=CD,且AD平行于BC D.测得LBAD=∠BCD,且∠BCD=∠ADC 2.(24-25八下山西晋中左权县·期末)已知四边形ABCD中，AC与BD交于点O,如果只给出条件 3/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 “AB∥CD”,那么() ①再加上条件“BC=AD”,四边形ABCD一定是平行四边形： ②再加上条件“LBAD=∠BCD”,四边形ABCD一定是平行四边形； ③再加上条件“A0=C0”,四边形ABCD一定是平行四边形： ④再加上条件“∠DBA=∠CAB”,四边形ABCD一定是平行四边形. A.①和② B.①③和(4 C.②和③ D.②③和④ 二、填空题 3.(24-25八下山西运城稷山县期末)如图，在四边形ABCD中，AB川DC,E是DC上一点，DE=3cm, P从点A出发以1cm/s的速度向点B运动，同时Q从点D出发以2cm/s的速度向点C运动，设运动时间为 t(s).当以A,P,E,Q为顶点的四边形是平行四边形时，则t的值是(s). B D OE 4.(24-25八下山西运城期末)探究课上，小明画出ABC,他想利用尺规作图找一点D,使得四边形 ABCD为平行四边形.以下三种作图方法中，正确的有 ·(填序号) ①以A为圆心，BC长为半径画弧；以C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D. ②连接AC,取AC中点O,连接BO并延长至D,使OD=OB. ③过点B作BD∥AC,过点C作CD∥AB,两直线交于点D, 5.(24-25八下山西忻州期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,BC=6厘米，AD=9厘米，P,Q分 别从A,C同时出发，P以1厘米/秒的速度由A向D运动，Q以2厘米/秒的速度由C向B运动.当一个点运 动到终点时，另一个点也随之停止运动.设运动的时间为t秒，则当t=」 时，直线PQ将四边形 ABCD截出一个平行四边形. P D 目目 考点03 证明四边形是平行四边形 一、解答题 1.(24-25八下山西运城稷山县期末)如图，在四边形ABCD中，AC,BD相交于点0，且A0=C0,点 E在BD上，连接AE,CE,若AE∥CD,求证：四边形AECD是平行四边形. 4/10 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 2.(24-25八下·山西运城期末)如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在对角线BD上，且BE=DF.求 证：四边形AECF是平行四边形. A D B 3.(2425八下·山西太原·期末)如图，在四边形ABCD中，点E、F在BD上，且AE‖FC,AB∥CD, BE=DF D H (1)求证：四边形ABCD是平行四边形： (2)若BH⊥CD,AD=3,BD=4,CD=5,求BH的长. 4.(24-25八下山西临汾大宁县2025年6月期末期末)如图，E,F是四边形ABCD的对角线BD上的两点， AF=CE,AF∥CE,BF=DE.求证：四边形ABCD是平行四边形 A E B 6.(24-25八下·山西临汾曲沃县·期末)如图，在四边形ABCD中，E,F分别是对角线BD上的两点，且 AF∥CE,AB∥CD,BF=DE,求证：四边形ABCD是平行四边形. D 7.(24-25八下山西晋城阳城县·期末)如图，在口ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE=CF,连接 BE,BF,DE,DF.求证：四边形BFDE是平行四边形. 5/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B 目目 考点04 平行四边形的性质及判定综合 一、选择题 1.(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校期末)如图，在口ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E,过点 D作DF∥BE,交BC于点F,∠CDF=40°，则∠ABC的度数为() A E D B F A.70° B.75° C.80° D.85 2.(24-25八下·山西临汾侯马期末)如图，在口ABCD中，E,F分别是边BC,AD上的点，且EF∥AB, 图接4C交F于点G,连接DG,,若5Sc4,则6ABE的面积为 分 A D G B E A.4 B.6 C.8 D.1 3.(24-25八下·山西太原期末)如图，在口ABCD中，点O是对角线AC的中点.某数学学习小组要在AC上 找两点E,F,使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 A B B 分别取A0,C0的中 作BE⊥AC于点E, 点E,F DF⊥AC于点F 6/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 请回答下列问题： 对以上方案的判断，你认为正确的是：() A.甲方案可行，乙方案不可行 B.甲方案不可行，乙方案可行 C.甲乙两方案均可行 D.甲乙两方案均不可行 二、填空题 4.(24-25八下山西晋中介休期末)如图，AD∥BE,AD=BC=5,BE=8,△DCE的面积为6，则四边 形ABCD的面积为 C 5.(24-25八下·山西晋中期末)如图，将平行四边形纸片ABCD折叠，使得点D落在AB边上的D处，折痕 为AE.再将△ADE翻折，点A恰好落在BC的中点A处，连接AA',若AD=2,则线段AA'的长为 D A B 三、解答题 6.(24-25八下山西忻州期末)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,AD=DC=BC=5,AB=11. D (1)求证：∠A=∠B; (2)求AB与CD之间的距离， 7.(24-25八下山西大同期末)如图，在口ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接DE、BF.求证： 7/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (I)△ADE≌△CBF; (2)四边形DEBF是平行四边形. 目目 考点05 与三角形中位线有关的问题 一、选择题 1.(24-25八下山西晋中介休期末)如图，ABC中，AB=AC=10,点F为AB的中点，以点A为圆心， 适当长为半径画弧，分别交AB,AC于点M,N,分别以点M,N为圆心，大于MN的长的一半为半径画孤， 两弧交于点D,画射线AD交BC于点E,连接EF,则EF的长是() M A.5 B.3 C.8 D.4 2.(24-25八下山西大同阳高县·期末)社区公园要设计一个平行四边形形状的休闲区ABCD,对角线AC、 BD相交于点O,在边AD的中点E处安装一个路灯.经测量，路灯到对角线交点O的距离OE=1.5米.已 知整个平行四边形休闲区的周长为16米，则边BC的长度是()米， A.5 B.4 C.4.5 D.3 3.(24-25八下·山西大同浑源期末)如图，在钝角ABC中，点D、E分别是边AC、BC的中点，且 DA=DE.有下列结论：①∠1=∠2；②∠1=∠3；③LB=∠C;④LB=L3.其中一定正确的结论有() 个 A.0 B.1 C.2 D.3 4.(24-25八下山西晋中期末)如图，AB∥CD，点E,F分别是边BC,AD的中点，连接EF,若AB=4, CD=10,则EF的长度为(). 8/10 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 A.5 B.3.5 C.3 D.4 5.(2425八下·山西太原期末)如图，在ABC中，D是AB的中点，CE平分∠ACB,AE⊥CE,垂足为E, 连接DE.若AC=14,BC=20,则DE的长是() D B A.3 B.6 C.4 D.5 二、解答题 6.(24-25八下山西大同期末)如图，在RtA BAC中，∠ABC=90°，E、F分别是AC、BC的中点，延长 3到点D,使BD=)AB,连接DE、DF,DE交BF于点G.求证：BG=FG E B G D 7.(24-25八下山西忻州期末)【知识回顾】 如图1，在证明三角形的中位线定理时，采用了剪拼的方式，将三角形转化为平行四边形，通过证明得到“三 角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”. 【方法迁移】 定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.如图2，EF就是梯形ABCD的中位线，梯形的中位线 具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路：如图2，连接AF并延长，交BC的延长线于点G… D 图1 图2 图3 9/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)请写出梯形的中位线EF和两底AD、BC之间的关系，并说明理由， 【理解内化】 (2)如图3，若梯形ABCD的面积为63cm,高为7cm,则梯形的中位线EF的长为 8.(24-25八下山西晋中.期末)探究解题 A D D 图1 图2 ()问题发现：数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明方法.如图1，作辅助线的目的是通过构 造平行四边形，利用平行四边形的性质证明三角形中位线定理，请补充证明过程.过点C作AB的平行线交 DE的延长线于点F,连接AF,CD; :CF∥AD,.∠DAE=∠FCE,∠ADE=∠CFE 又：AE=CE ≌ ∴.DE=FE,AD=CF :D是AB中点 .CF=BD且CF∥BD 四边形 是平行四边形； ·DE∥ DE= (2)问题延伸：如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC,点E、点F分别是AB、CD的中点，请你猜想出 EF与AD、BC的位置关系是；大小关系是； (3)拓展运用：相信聪明的你能够通过转化思想，利用三角形中位线定理证明你的猜想， 10/10 重难点03 平行四边形 5大高频考点概览 考点01平行四边形的性质 考点02添一个条件成为平行四边形 考点03证明四边形是平行四边形 考点04平行四边形的性质及判定综合 考点05与三角形中位线有关的问题 地 城 考点01 平行四边形的性质 1、 选择题 1．(24-25八下·山西临汾尧都区·期末)如图，在中，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F；分别以B，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点G；连接并延长，交于点E．若，，则的长为（     ） A．10 B．11 C．14 D．20 【答案】C 【分析】由作图可知平分，由平行四边形可得，，，由平行线的性质，结合等角对等边，等量代换，可得，即可得的长． 【详解】解：由题中作图可知平分， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校·期末)如图，点是内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．4 B．4.5 C．6 D．3.5 【答案】A 【分析】过点作平行四边形边的垂线段，因为，所以该垂线段同时也是边上的高，可据此将两个阴影三角形的面积用底和对应的高表示．根据平行四边形的高是两个阴影三角形分别以、为底时的高之和，结合三角形面积公式与平行四边形面积公式，可推出阴影部分面积和平行四边形总面积的数量关系． 【详解】如图，过点作平行四边形边的垂线， 根据平行四边形的性质：，且， 设点到的距离为，点到的距离为， 则平行四边形中，与之间的总高为， 平行四边形面积满足： ， 阴影部分为和，面积和为 ， 因此阴影部分面积为4． 3．(24-25八·山西临汾曲沃县·期末)如图，在平行四边形中，平分交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据角平分线的定义得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴． 4．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作平行四边形，则对角线长度的最小值为（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】设与的交点为O，过点O作，由题意易得，，要使对角线长度为最小，则需满足线段的长度最小即可，根据点到直线，垂线段最短可知：当时，的长取得最小，此时即为线段的长，然后问题可求解． 【详解】解：设与的交点为O，过点O作，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， 要使对角线长度为最小，则需满足线段的长度最小即可，根据点到直线，垂线段最短可知：当时，的长取得最小，此时即为线段的长， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 5．(24-25八下·山西临汾曲沃县·期末)如图，在中，，，，点P为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】设与相交于点O，过点O作于点，利用等腰三角形的判定和性质、平行四边形的性质推出，再利用勾股定理求出，利用垂线段最短求线段的最小值． 【详解】解：设与相交于点O，过点O作于点，如下图所示： ∵，， ∴， 四边形是平行四边形， 为对角线和的中点， ，， ∴当最小时，最小， 由，可得， ， ， 由勾股定理得，， ， 解得， ∵， ∴根据垂线段最短可得，当时，线段有最小值2． ∴的最小值为． 二、填空题 6．(24-25八下·山西晋中介休·期末)如图，中，对角线相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】15 【分析】利用平行四边形的性质得出，利用勾股定理的逆定理得出直角三角形，证明，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 7．(24-25八下·山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)如图，在中，，，，为斜边上的一动点，以，为边作，则线段的最小值为__________． 【答案】 【分析】过点作于，在中，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由垂线段最短可得当时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， 在中，，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∴，当时，有最小值， 此时，． 三、解答题 8．(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校·期末)如图，在中，对角线交于点，已知分别为的中点，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质得到，，则可证明，得到，据此证明，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．(24-25八下·山西长治长子县·期末)如图，平行四边形的对角线相交于点O，点E在上，点F在上，连接，使恰好经过点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，可证明，则可证明； （2）根据（1）的结论可证明，即，由平行四边形的对角线互相平分得到，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵平行四边形的对角线相交于点O， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴，即， ∵平行四边形的对角线相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．(24-25八下·山西临汾尧都区·期末)如图，平行四边形的对角线相交于点，，且． (1)求证：； (2)若，，猜想与的位置关系，并给予证明． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（1）根据平行四边形可得，，代入可得，根据勾股定理逆定理可得，即可求解； （2）根据可得，结合可得，，由可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：在平行四边形中，，， 代入可得，即， 由勾股定理的逆定理可得，，即； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 地 城 考点02 添一个条件成为平行四边形 一、选择题 1．(24-25八下·山西临汾侯马·期末)某小区有一个四边形花园，对角线与相交于点．物业人员测量了以下四组数据，其中哪一组可以确定四边形一定是平行四边形．（    ） A．测得平行于，且等于 B．测得，且 C．测得，且平行于 D．测得，且 【答案】B 【详解】解：选项A，且时，四边形可以是等腰梯形，不一定是平行四边形，不符合要求； 选项B，∵，且，∴四边形一定是平行四边形． 选项C，且时，四边形也可以是等腰梯形，不一定是平行四边形，不符合要求； 选项D，由且，仅能得到三个角相等，无法推出两组对边分别平行或相等，四边形不一定是平行四边形，不符合要求． 2．(24-25八下·山西晋中左权县·期末)已知四边形中，与交于点O，如果只给出条件“”，那么（    ） ①再加上条件“”，四边形一定是平行四边形； ②再加上条件“”，四边形一定是平行四边形； ③再加上条件“”，四边形一定是平行四边形； ④再加上条件“”，四边形一定是平行四边形． A．①和② B．①③和④ C．②和③ D．②③和④ 【答案】C 【分析】加上，则四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，①错误；加上，得出，则四边形一定是平行四边形，②正确；加上，证出，可得，则四边形一定是平行四边形，③正确；加上，证出，可得，则四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，④错误． 【详解】解：由题意，画出图形如下： ∵， ∴加上，则四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形；①错误； ∵， ∴， 加上， ∴， ∴， ∴四边形一定是平行四边形；②正确； ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形一定是平行四边形；③正确； ∵， ∴，， 加上， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，此时四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形；④错误； 综上，正确的是②和③． 二、填空题 3．(24-25八下·山西运城稷山县·期末)如图，在四边形中，，是上一点，，从点出发以的速度向点运动，同时从点出发以的速度向点运动，设运动时间为．当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，则的值是______（）． 【答案】或 【分析】根据题意可得，，按照四边形为平行四边形、四边形为平行四边形，进行分类讨论，列方程求解即可． 【详解】解：根据题意可得，， 若四边形为平行四边形，点在线段上，， ∵， ∴， ∴， 解得， 若四边形为平行四边形，点在线段上，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴或． 4．(24-25八下·山西运城·期末)探究课上，小明画出，他想利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形．以下三种作图方法中，正确的有______．（填序号）． ①以A为圆心，长为半径画弧；以C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D． ②连接，取中点O，连接并延长至D，使． ③过点B作，过点C作，两直线交于点D． 【答案】①② 【分析】根据平行四边形的判定定理，分别判断三种作图方法得到的四边形是否满足平行四边形的判定条件即可． 【详解】①由作图可得，， 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知四边形是平行四边形，故①正确； ②由作图可得，， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知四边形是平行四边形，故②正确； ③由作图可得四边形是平行四边形，故③错误． 故答案为：①②． 5．(24-25八下·山西忻州·期末)如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】2或3 【分析】分两种情况讨论：①设t秒后四边形是平行四边形；根据题意得：厘米，厘米，由得出方程，解方程即可；②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米，由得出方程，解方程即可． 【详解】解：①设经过t秒四边形是平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 即经过2秒四边形为平行四边形； ②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴ 解得． 综上，经过2秒或3秒直线将四边形截出一个平行四边形． 地 城 考点03 证明四边形是平行四边形 一、解答题 1．(24-25八下·山西运城稷山县·期末)如图，在四边形中，，相交于点，且，点在上，连接，，若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】先证明，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可． 【详解】证明：∵ ∴ 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 2．(24-25八下·山西运城·期末)如图，在平行四边形中，点、分别在对角线上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形是平行四边形 又 即 四边形为平行四边形． 3．(24-25八下·山西太原·期末)如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，证明出，然后由三角形面积求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴， ， ， ． 的长为． 4．(24-25八下·山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)如图，，是四边形的对角线上的两点，，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【分析】证明，根据全等三角形的性质可知，，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴, ∴, ∵， ∴, ∴, 在和中， ∴ ∴, ∴四边形是平行四边形． 6．(24-25八下·山西临汾曲沃县·期末)如图，在四边形中，，分别是对角线上的两点，且，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】证明得出，结合，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴ ∵， ∴ ∴，即， 又∵， ∴ ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形 7．(24-25八下·山西晋城阳城县·期末)如图，在中，点，在对角线上，且，连接，，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】连接，交于点O．利用平行四边形的性质得到，，则可得，然后利用平行四边形的判定可证得结论． 【详解】证明：连接，交于点O． ∵四边形是平行四边形， ∴，． 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 地 城 考点04 平行四边形的性质及判定综合 一、选择题 1．(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校·期末)如图，在中，的平分线交于点，过点作，交于点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质得，，再由平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，确定，得出，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ． ∴，即， 平分交于点， ． 2．(24-25八下·山西临汾侯马·期末)如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接交于点，连接，，若，，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．1 【答案】C 【分析】由题意先判断四边形和四边形都是平行四边形，再根据，可得，再根据比例关系即可求解． 【详解】解：∵,, ∴, ∵ ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ， ∴． 3．(24-25八下·山西太原·期末)如图，在中，点O是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取，的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： 对以上方案的判断，你认为正确的是：（    ） A．甲方案可行，乙方案不可行 B．甲方案不可行，乙方案可行 C．甲乙两方案均可行 D．甲乙两方案均不可行 【答案】C 【分析】甲方案，由平行四边形的性质得，，则，由，、分别是、的中点，得，可证明，得，，所以，则，即可证明四边形是平行四边形； 乙方案，由于点，于点，得，，由平行四边形的性质得，，则，可证明，得，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】解：甲方案：四边形是平行四边形， ，， ， 是对角线的中点， ， 、分别是、的中点， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形；故甲方案正确； 乙方案：于点，于点， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形，故乙方案正确； 综上所述，甲乙两方案均可行． 二、填空题 4．(24-25八下·山西晋中介休·期末)如图，，，，的面积为6，则四边形的面积为_____． 【答案】20 【分析】本题考查了平行线间的距离、三角形面积公式及梯形面积公式的应用，解题的关键是通过三角形面积求出平行线间的距离，进而计算四边形的面积． 由点B、C、E的排列顺序及已知长度求出的长；利用的面积和的长度求出与之间的距离（高）；根据与平行，确定四边形为梯形，结合梯形面积公式计算其面积． 【详解】∵点B、C、E在同一直线上且顺次排列，，， ∴． 设与之间的距离为（即的高）， ∵的面积为6，由三角形面积公式得：， 即，解得． ∵，在上， ∴，又, 四边形是平行四边形，其中，，高为． 由平行四边形面积公式得：四边形的面积． 故答案为：． 5．(24-25八下·山西晋中·期末)如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为_______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和平行四边形的性质证出，而，进而得到四边形是平行四边形，由折叠可得，垂直平分，即可得出是直角三角形，再证明，得到，即，最后在中，运用勾股定理进行计算即可得到的长． 【详解】解：由折叠可得，，， 平行四边形中，， ， ， ， ，而， 四边形是平行四边形， ， 由折叠可得，垂直平分， ， 又， ， 是直角三角形， ， ， 又，， ， ， ， 又是的中点，， ， ， 故答案为：． 三、解答题 6．(24-25八下·山西忻州·期末)如图，在梯形中，，，． (1)求证：； (2)求与之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）作交于点，易得四边形为平行四边形，得到，进而得到，得到即可； （2）过点作于点，根据三线合一和勾股定理求出的长即可. 【详解】（1）证明：作交于点，则， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴； （2）解：过点作于点， 由（1）可知：四边形为平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 故与之间的距离为4． 7．(24-25八下·山西大同·期末)如图，在中，E、F分别是、的中点，连接、．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证明，，，再证明，进一步可得结论； （2）证明，，再证明，进一步可得结论. 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵E、F分别是、的中点， ∴，， ∴， 在和中，， ∴. （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E、F分别是、的中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形. 地 城 考点05 与三角形中位线有关的问题 一、选择题 1．(24-25八下·山西晋中介休·期末)如图，中，，点F为的中点，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点D，画射线交于点E，连接，则的长是（   ） A．5 B．3 C．8 D．4 【答案】A 【分析】根据作图可得平分，三线合一，得到为的中点，根据三角形的中位线定理，即可得出结果. 【详解】解：由作图可知：平分， ∵， ∴，即为的中点， ∵点F为的中点， ∴是的中位线， ∴. 2．(24-25八下·山西大同阳高县·期末)社区公园要设计一个平行四边形形状的休闲区，对角线、相交于点O，在边的中点E处安装一个路灯．经测量，路灯到对角线交点O的距离米．已知整个平行四边形休闲区的周长为16米，则边的长度是（    ）米． A．5 B．4 C． D．3 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得到，然后根据三角形的中位线定理求得米，再根据平行四边形的周长等于16列方程求解即可． 【详解】解：连， 四边形是平行四边形， ，，， 是边的中点， ， （米）， 整个平行四边形休闲区的周长为16米， ， 即， 解得（米）． 3．(24-25八下·山西大同浑源·期末)如图，在钝角中，点、分别是边、的中点，且．有下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论有（     ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质和判定，三角形中位线的利用及平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 由点、分别是边、的中点，可知是的中位线，根据中位线定理即可证明②，根据等腰三角形的性质可证①，由 D是中点，可证，再利用平行，可证明③，在中，不一定等于，即可判断④． 【详解】解：∵点、分别是边、的中点， ∴， ∴， 则②符合题意， ∵， ∴， ∴， 则①符合题意， ∵D是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则③符合题意， 由于不一定是等腰三角形，则不一定等于，则不一定等于， 则④不符合题意． 4．(24-25八下·山西晋中·期末)如图，，点E，F分别是边，的中点，连接，若，，则的长度为（    ）． A．5 B．3.5 C．3 D．4 【答案】C 【分析】连接并延长交于点，证明，则，，然后利用三角形中位线的性质求解． 【详解】解：连接并延长交于点， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴是的中位线， ∴． 5．(24-25八下·山西太原·期末)如图，在中，D是的中点，平分，，垂足为E，连接．若，则的长是（  ） A．3 B．6 C．4 D．5 【答案】A 【分析】延长交于F，证，得，是中位线，即可求解． 【详解】解：延长交于F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴， ∵D是的中点，， ∴． 二、解答题 6．(24-25八下·山西大同·期末)如图，在中，，、分别是、的中点，延长到点，使，连接、，交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】连接、，根据题意，是的中位线，则，，进而得到，，因此四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得． 【详解】证明：如图，连接、， ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵点在的延长线上，且， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 7．(24-25八下·山西忻州·期末)【知识回顾】 如图1，在证明三角形的中位线定理时，采用了剪拼的方式，将三角形转化为平行四边形，通过证明得到“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”． 【方法迁移】 定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图2，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路：如图2，连接并延长，交的延长线于点…… (1)请写出梯形的中位线和两底间的关系，并说明理由． 【理解内化】 (2)如图3，若梯形的面积为，高为，则梯形的中位线的长为__________． 【答案】(1)；，理由见解析 (2) 【分析】（1）先证和全等，再说明是的中位线．利用三角形中位线定理得出结论； （2）先根据梯形面积求解得到的值，再由梯形中位线求解即可． 【详解】（1）解：，． 证明：连接并延长，交的延长线于点G， ∵， ∴，， ∵就是梯形的中位线， ∴， ∴ ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴，，即， ∵ ∴． （2）解：梯形的面积为，高为， ∴ ∴ 则梯形的中位线． 8．(24-25八下·山西晋中·期末)探究解题 (1)问题发现：数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明方法．如图1，作辅助线的目的是通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质证明三角形中位线定理，请补充证明过程．过点C作的平行线交的延长线于点F，连接，； ，， 又 ____________ D是中点 且 ∴四边形______是平行四边形； ______；______ (2)问题延伸：如图2，在四边形中，，点E、点F分别是、的中点，请你猜想出与、的位置关系是______；大小关系是______； (3)拓展运用：相信聪明的你能够通过转化思想，利用三角形中位线定理证明你的猜想． 【答案】(1)；；；； (2)平行； (3)见详解 【分析】（1）作平行线，构造三角形全等，得到边相等，再证明四边形是平行四边形，最终证明中位线平行于底边，且等于底边一半； （2）四边形是梯形，是中位线，平行于底边，等于两底边和的一半； （3）连接，并延长交的延长线于点G，先证明，得到边相等，是的中位线，底边是梯形上下底之和，利用三角形的中位线性质，即可证明． 【详解】（1）证明：， ，， 又， ， ， D是中点， 且， ∴四边形是平行四边形， ，． （2）平行；，证明过程见（3）详解， （3）证明：连接，并延长交的延长线于点G，如下图 ， ， ， ， ， ． 1 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $