专题01 三角形的证明及其应用 5大高频考点（期末真题汇编，山西专用北师大版）八年级数学下学期

**基本信息** 专题聚焦三角形证明5大核心考点，精选山西多地期末真题，通过旋转、折叠等几何变换综合题，考查推理能力与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约20题|三角形内角和定理、等腰三角形等|结合正方形、矩形背景，基础与中档题梯度分布| |填空|约15题|直角三角形、线段垂直平分线等|涉及中点、平移，考查几何直观与计算| |解答|约10题|角平分线、综合证明等|含手拉手模型、旋转探究题，注重逻辑推理与创新应用|

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01 三角形的证明及其应用 ☆5大高频考点概览 考点01三角形内角和定理 考点02等腰三角形 考点03直角三角形 考点04线段垂直平分线 考点05角平分线 目目 考点01 三角形内角和定理 一、 选择题 1.(24-25八下·山西吕梁柳林县期末)如图，E为正方形ABCD对角线AC上的一点，过点E作EF⊥AB于 点F,则∠AEF=() A.45° B.50° C.55 D.60° 2.(24-25八下山西临汾曲沃县期末)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O.若∠ADB=40°， 则∠AOB的度数是() A.70° B.75 C.80° D.85° 3.(24-25八下，山西晋中灵石县期末)如图，将ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C.当点B落在BA的 延长线上时，恰好A'B'∥AC,若a=140°，则∠BAC的度数为() B A A.20° B.40° C.60° D.80 1/16 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(24-25八下山西晋中平遥县期末)把一副三角尺按如图所示摆放，两个三角尺有一个顶点重合，45°角 三角尺的直角顶点恰好在另一个三角尺的直角边上，若BD=AB,则∠CFE的度数是() A.65 B.70° C.75 D.80° 二、填空题 5.(24-25八下山西晋城阳城县期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点0，∠BAD的平分 线AE交BC于点E,连接OE,若LCAE=15°，则LOEC的度数是： D 0 B E 6.(24-25八下山西运城稷山县期末)如图，在ABC中，∠C=50°，将ABC绕点B顺时针旋转，得到 △A'BC',A,C的对应点分别为，C.若点C恰好落在CA的延长线上，则旋转角的度数是。. B 7.(24-25八下·山西晋中榆次区·期末)如图，将ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C',若AB'⊥BC 于点D,∠B'=47°，则∠CAC'= B 8.(24-25八下山西吕梁交口县期末)如图，ABC中，AC:BC:AB=3:4:5,点D在BC上，点E为AB的 中点，AD,CE相交于点F,且AD=DB.若∠B=35°，则∠DFE的度数是 2/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B D C 三、解答题 9.(24-25八下·山西临汾大宁县2025年6月期末期末)如图，在ABC中，∠A=36°，AB=AC,BD是 ∠ABC的平分线. (1)尺规作图：过点D作AB的垂线，垂足为E.(保留作图痕迹，不写作法) (2)判断AE与BE的数量关系，并说明理由 10.(24-25八下山西运城稷山县期末)阅读与思考 等腰直角三角形的“手拉手” 如图，在共顶点A的等腰直角ABC和等腰直角ADE中，LBAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE, 连接DC,BE相交于点F,BE交AC于点H,CD交AE于点G. (I)求证：△ABE≌△ACD; (2)结合(1)的结论，利用三角形三个内角的和等于180°，在△ADG与△EFG中，先确定∠GFE的度数； 过点A作AM⊥BE,垂足为M,AN⊥CD,垂足为N,再证明AF平分∠BFD;最后求出∠AFD的度数.请 根据以上的思路，写出求∠AFD度数的过程. 目目 考点02 等腰三角形 一、选择题 1.(24-25八下·山西临汾大宁县2025年6月期末期末)如图，在ABC中，∠ABC=90°，∠C=45°， 3/16 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 BC=2,D是边AB的中点，在CB的延长线上取一点E,连接ED并延长，交边AC于点F.若 ∠BDE=60°，则DF的长为(). D 3 A.1 B.√2-1 c.3-1 D.5-1 2 2.(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校期末)如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点0，E是 BC边上一点，连接DE,将△DCE沿DE折叠，使得点C恰好落在BD上的点F处.若OA=√2，则 △BEF的周长是() E A.2√2 B.2W2-2 C.2-2 D.2+ 2 3.(24-25八下·山西吕梁交口县期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,过点C作 CE∥BD交AB的延长线于点E,下列结论不一定正确的是() D A.AB=BE B.OB=OA AACE是等腰三角形D.BC三C9 4.(24-25八下山西临汾侯马期末)如图，在平行四边形ABCD中，小飞以A为圆心，AB为半径画弧，交 AD于F,再分别以B、F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧相交于点G,若BF=6,AB=5,则AE 的长为() F A D G B 4/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.12 B.10 C.8 D.6 二、填空题 5.(24-25八下·山西大同期末)己知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为(0,4)，点B坐标为 (2,0),点C是直线y=x+2上的一个动点，若∠CAB=∠AB0,则点C的坐标为 B 6.(24-25八下山西晋中榆次区·期末)如图，ABC中，AB=AC,∠A=90°，BD是ABC的角平分线， 若DC=4,则边BC的长度为 B 7.(24-25八下山西运城稷山县期末)如图，ABC中，AC=BC,∠C=120°，ABC中位线DE的长是 lcm,则ABC中线BD的长是cm. D E B 三、解答题 8.(24-25八下山西晋中左权县期末)综合与实践 【问题情境】 综合与实践课上，老师让同学们以“两个含30°角的完全相同的直角三角形ABC和直角三角形A'B'C' (∠A=∠A'=30°)拼摆”为主题开展教学活动. 5/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A(A2 C M(A)(COC (COC 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 【操作思考】 (1)“明辨”小组先将两个三角形如图①所示重叠放置，然后将其中一个△A'B'C'绕点C顺时针旋转得到 △A'B'C',旋转角为a（0°<a<180°)，当AB恰好经过点B时得到图②，求此时旋转角a的度数： (2)“善思”小组将两个三角形较长的直角边靠在一起，拼成了图③所示的三角形，然后将△A'B'C'以点C为 旋转中心，逆时针旋转a(0°<a<90°)，如图④所示，AB与AB'相交于点O,连接OC,AA'.试判断C0与 AA'的关系，并说明理由； 【拓展探究】 (3)如图⑤，“博学”小组在图②的基础上，剪出一个与BCB'完全一样的三角形纸片，与其重叠放置，并 将其沿直线AC平移，平移后，点B,C,B的对应点分别为点D,E,F.若AB=4,当AB'D是以 ∠AB'D为顶角的等腰三角形时，请直接写出平移的距离 9.(24-25八下山西吕梁交口县期末)【知识再现】如图1，己知：在ABC中，点D,E分别是边AB,AC的 中点，请直接写出DE和BC的关系. 图1 图2 【应用】如图2，四边形ABCD是梯形，AD∥CB,点M,N分别是AB,CD边上的中点，连接MN,则MN 叫做梯形的中位线， 【猜想】MN与AD,BC之间的关系并证明. 以上解决问题的过程中用到了转化思想， 【拓展】 如图3，在四边形ABCD中，AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点，连接EF并延长，分别与BA,CD的延 长线交于点M,N,则LBME=∠CNE.(不必证明) 6/16 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M A D H D E E 图3 图4 (温馨提示：如图3，连接BD,取BD的中点H,连接HE,HF, 根据三角形中位线定理，证明HE=HF, 从而∠1=∠2，再利用平行线的性质，可证明∠BME=∠CNE) 如图4，在ABC中，AC>AB,点D在AC上，AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点，连接EF并延长， 与BA的延长线交于点G,连接GD,若∠EFC=60°，判断△AGD的形状并证明. 10.(2425八下·山西阳泉部分学校期末)综合与探究 问题情境： 在边长为10的正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，连接BP.过点P作BP的垂线，交射线DA于点 E,过点E作PE的垂线，过点B作PB的垂线，两线交于点F, 特别研究： D D E 图1 图2 图3 (1)如图1，当点P在对角线AC的中点处时，四边形PEFB的形状为 深入探究： (2)如图2，当点P是对角线AC上任意一点时. ①试说明(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由； ②求四边形PEFB面积的取值范围. (3)如图3，当PC=BC时，点E落在DA的延长线上，请直接写出线段AE的长. 目目 考点03 直角三角形 7/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 一、选择题 1.(24-25八下山西临汾大宁县2025年6月期末期末)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且 AC⊥BD,若∠ABC=60°，BC=4,则BD的长为(). B A.4 B.8 C.45 D.25 2.(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)如图，在ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,线段AB的垂直平 分线交AB于点E,交AD于点F,连接CF.若∠BAC=80°，则∠EFC的度数为() E B D A.100 B.140° C.150° D.160° 3.(24-25八下山西吕梁交城县期末)如图，直线MN经过正方形ABCD的顶点B,过点A作AE⊥MN于点 E,∠ABE=30°，F为直线MN上一点，且BF=BC,连接CF,若AE=2,则CBF的面积为() D A M E B N A.85 B.43 C.8 D.2√5 4.(24-25八下山西大同部分学校联考·期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=4,点 O是AB的中点，连接CO,则CO的长为() 8/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B 0 A C A.2 B.25 C.45 D.35 3 3 4 5.(24-25八下·山西晋中平遥县期末)如图，在ABC中，AB=AC,∠A=120°，分别以点A、C为圆心， 大于4C的长为学径作弧，两弧相交于点P和点Q,作直线PD,分别交BC、4C于点D和点R,若 CD=5,则BD长为() A A.8 B.10 C.5√2 D.5√5 二、填空题 6.(24-25八下山西晋中太谷县·期末)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,∠C=60°，过点A 作AE∥BC交CD的延长线于点E.若BC=3,AE=4,则DE的长为· E D B 7.(24-25八下山西吕梁交口县·期末)如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠A=120°，点P,Q,K分别为 线段BC,CD,BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为 D 8.(24-25八下·山西太原期末)如图，口ABCD中，∠B=45°，AE⊥CD于点E,将线段AE绕点A顺时针 旋转60，点E的对应点F恰好落在BC边上，若AD=3√2，则CF=_ 9/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B 三、解答题 9.(24-25八下山西运城稷山县期末)如图1，在口ABCD中，∠ADC=60°，DC=1+√3.点E在AD边上， △CDE沿着CE折叠得到△CGE,EG交AB于点F,CG交AB于点H且CG⊥AB. G H B E 图1 图2 (I)求GE的长（提示：过点E作EM⊥CD,垂足为M,); (2)如图2，延长DA与CG相交于点K,直接写出图中所有的等腰三角形， 10.(24-25八下·山西朔州右玉县右玉教育集团初中部期末考试期末)综合与探究 【问题情境】小明将两个全等的Rt△ABC和Rt△DEF重叠在一起，其中 ∠ACB=∠DFE=90°，∠ABC=∠DEF=30°，AC=1.固定△DEF不动，将ABC沿直线ED向左平移，当 点B与点D重合时，停止移动. 【猜想证明】 (1)如图，在平移过程中，当D为AB的中点时，连接DC,CF,BF,请你猜想四边形CDBF的形状，并 证明你的结论。 D B E (2)如图，在平移过程中，连接DC,CF,FB,四边形CDBF的形状在不断地变化，判断它的面积变化情 况，并求出其面积. 10/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【探索发现】 D BE (3)在平移过程中，四边形CDBF有什么共同特征？（写出两个即可） 目目 考点04 线段垂直平分线 一、选择题 1.(24-25八下·山西晋中榆次区·期末)如图，ABC中，AB=AC,∠A=50°，边AC的垂直平分线分别与 边AB,AC交于点D,E,连接CD,则LBCD的度数为() B A.30° B.20° C.15 D.10° 2.(24-25八下·山西晋中介休·期末)如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站， 使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在() 商场A 商场B 商场C A.三角形三条中线的交点 B.三角形三条高所在直线的交点 C.三角形三个内角的角平分线的交点D.三角形三条边的垂直平分线的交点 二、填空题 3.(24-25八下山西晋中左权县·期末)如图，在口ABCD中，M,N是AD,BC上的点，连接MN交对角线 BD于点E,且E是BD的中点，连接BM,CM.下列结论：①AM=CN;②若MD=AM,∠A=90°， 则BM=CM;③若MD=2AM，则S△MNc=S△BNE·其中正确的是 ·(填序号) M N 4.(24-25八下·山西吕梁交城县·期末)如图，点E是矩形ABCD的边AB上一点，将aCBE沿着CE折叠， 11/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 点B的对应点F落在边AD上，连接BF交CE于点G,连接AG，,若AB=8,BC=IO,则AG的长为 D B 5.(24-25八下，山西晋中灵石县期末)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,点D在边AB上， AD=AC,AE⊥CD,垂足为F,AE与BC交于点E,则BE的长是 6.(24-25八下山西长治长子县期末)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点O作 OE⊥AC交AD于点E.若AE=3,DE=L,AB=V10,则AC的长为 7.(24-25八下·山西临汾侯马期末)如图，矩形ABCD中，AD=5,AB=6,点E为射线DC上一个动点， 把△ADE沿直线AE折叠，当点D对应点D刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为： D D 三、解答题 8.(24-25八下山西晋中左权县·期末)如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,E是CD的中点， 连接BE并延长，交AD的延长线于点F,连接CF, 12/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D A (1)请判断四边形BCFD的形状，并说明理由； (2)若BD⊥AD,AD=3,∠ABD=30°，求BF的长. 9.(24-25八下·山西大同部分学校联考·期末)如图，在ABC中，AB边的垂直平分线分别交AB,AC于点 D,E.已知BC=6,AC=8,4E=25 4 (1)试判断ABC的形状，并说明理由. (2)求DE的长. 10.(24-25八下山西晋中平遥县期末)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90° (I)尺规作图：作∠ABC的角平分线，交AD于点E,并作线段BE的垂直平分线分别交AB、BC于点M、 N,连接ME和NE.(不写作法，保留作图痕迹) (2)若所作图中∠ABC=70°，求∠AEM的度数， 目目 考点05 角平分线 一、选择题 1.(24-25八下·山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)如图，在ABC中，AB=10,AC=6,BC=8,通 过尺规作图在边BC上确定一点P,则根据下列尺规作图的痕迹不能求出PC长度的是(). 13/16 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B 2.(24-25八下·山西运城稷山县期末)到三角形三边距离相等的点是() A.三条边中线的交点 B.三条边的高的交点 C.三个角的角平分线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 3.(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D.若 AB=10,CD=3,则△ABD的面积为() A B D C A.15 B.30 C.20 D.25 4.(24-25八下山西运城盐湖区·期末)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB的平分线交AB于点D, DE⊥AC于点E,若AB=3,AC=5,则ADE的周长为() E D B A.4 B.5 C.6 D.7 5.(24-25八下山西晋中灵石县期末)如图，在ABC中，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB, 14/16 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 BC于点M,N,再分别以点M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点O,作射线B0交 边AC于点D,过点D作DE⊥BC于点E,若DE=2,AB=4,则△ABD的面积为() A.2 B.4 C.6 D.8 二、填空题 6.(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,CD是AB边 上的高，将△ACD沿AB方向平移至△A'CD',若A'C'与BC交于点E,且CE=CD,则DD'的长为一· B D 三、解答题 7.(24-25八下·山西晋中太谷县期末)阅读下列材料并完成任务. 三角形的旁心 三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点，称为三角形的旁心，每 个三角形有三个旁心.如图1，∠BAC的平分线与ABC另外两个内角∠ABC,∠ACB 的外角平分线相交于点O,则点O是ABC的一个旁心. B D 旁心与三角形的半周长（即周长的一半）关 图1 图2 系密切，如图2，过ABC的旁心O分别作OD⊥BC于点D,OE⊥AB交AB的延长线 于点E,0F上4C交4C的延长线于点R,则E=B+BC+AC.下面是部分证明 过程： BO平分∠CBE,OE⊥BE,OD⊥BC, 15/16 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .0D=0E.(依据1) 同理可得OD=OF,OE=OF. :OB=OB,Rt△OBE≌Rt△OBD(依据2)BE=BD 任务： (1)上述证明过程中的“依据1”是一；“依据2”是一 (②)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； (3)如图3，在ABC中，∠BAC=90°，点I是ABC的一个旁心且在BC边的下方. B 图3 ①利用尺规作出旁心I;(保留作图痕迹，不写作法) ②若∠ACB=30°，BC=4,则A= 16/16命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01 三角形的证明及其应用 ☆5大高频考点概览 考点01三角形内角和定理 考点02等腰三角形 考点03直角三角形 考点04线段垂直平分线 考点05角平分线 目目 考点01 三角形内角和定理 一、 选择题 1.(24-25八下·山西吕梁柳林县期末)如图，E为正方形ABCD对角线AC上的一点，过点E作EF⊥AB于 点F,则∠AEF=() A.45 B.50° C.55° D.60° 【答案】A 【详解】解：：四边形ABCD是正方形， .∠BAC=45°， EF⊥AB, .∠AEF=90°-45°=45°， 故选：A. 2.(24-25八下·山西临汾曲沃县·期末)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O.若∠ADB=40°， 则∠AOB的度数是() A.70° B.75° C.80° D.85° 1/49 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【答案】C 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， .AC=BD,OA=0C,0B=0D,∠BAD=90°， .0A=0B, ∴∠OAB=∠ABO, ∠ADB=40°， ∠AB0=50 ∠A0B=180°-2×50°=80°； 故选：C 3.(24-25八下·山西晋中灵石县期末)如图，将ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C.当点B落在BA的 延长线上时，恰好A'B'∥AC,若a=140°，则∠BAC的度数为() B B A A.20° B.40° C.60° D.80° 【答案】B 【详解】解：由旋转知LBCB'=a=140°，BC=BC,∠B=∠A'B'C, ∠B=∠CBB-80-∠BC8到=20. ·∠B=LA'B'C=20°， ∠A'B'A=∠CB'B+∠A'B'C=40°， :A'B'∥AC, ·LBAC=LA'B'A=40°， 故选B. 4.(24-25八下山西晋中平遥县期末)把一副三角尺按如图所示摆放，两个三角尺有一个顶点重合，45°角 三角尺的直角顶点恰好在另一个三角尺的直角边上，若BD=AB,则∠CFE的度数是() 2/49 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.65° B.70° C.75° D.80° 【答案】C 【详解】解：由题意，得：∠ABD=∠ADE=90°，∠C=30°， :BD=AB, ∠ADB=∠BAD=45°， ∠FDC=180°-∠ADB-∠ADE=45°， ∠CFE=LC+LCDE=75°： 故选：C 二、填空题 5.(24-25八下山西晋城阳城县·期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,∠BAD的平分 线AE交BC于点E,连接OE,若LCAE=15°，则∠OEC的度数是 0 E 【答案】105 【详解】在矩形ABCD中，OA=OB,∠BAD=∠ABC=90°， :AE平分∠BAD, :∠BAE=1∠BAD=45°， 2 △ABE是等腰直角三角形， :AB=BE, .∠CAE=15°， ∠OAB=LCAE+∠BAE=60°， :△OAB是等边三角形， 0B=AB,∠AB0=60°， .0B=BE,∠0BE=90°-60°=30°， ÷∠BE0=∠B0E=180°-30 =75°， 2 .∠0EC=180°-∠BE0=180°-75°=105° 3/49 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 故答案为：105° 6.(24-25八下山西运城稷山县期末)如图，在ABC中，∠C=50°，将ABC绕点B顺时针旋转，得到 △A'BC',A,C的对应点分别为，C.若点C恰好落在CA的延长线上，则旋转角的度数是°。 B A 【答案】80 【详解】解：由旋转性质可知：BC'=BC, :点C'、A、C在同一条直线上， ∠C=LBC'C=50°， ∠CBC'=80°， 即旋转角的度数是80°， 故答案为：80. 7.(24-25八下·山西晋中榆次区·期末)如图，将ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C',若AB'⊥BC 于点D,∠B'=47°，则∠CAC'= 【答案】43 【详解】解：：AB⊥BC, .∠ADB=90°， 根据旋转可得∠B=∠B'=47°，∠BAB=∠CAC', ∠BAB'=180°-∠ADB-∠B=180°-90°-47°=43° ∠CAC'=LBAB'=43°， 故答案为：43. 8.(24-25八下山西吕梁交口县期末)如图，ABC中，AC:BC:AB=3:4:5,点D在BC上，点E为AB的 中点，AD,CE相交于点F,且AD=DB.若∠B=35°，则∠DFE的度数是 4/49 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B 【答案】105°/105度 【详解】解：ABC中，AC:BC:AB=3:4:5,不妨设AC=3,BC=4,AB=5, AC2=32=9,BC2=42=16,AB2=52=25, .AC2+BC2=AB2, ∠ACB=90°， :点E为AB的中点， :BE CE AE, ECB B, AD DB, .∠B=∠BAD, :∠B=35°， .∠ECB=∠BAD=∠B=35°， :∠ADC=∠B+LBAD, ∠ADC=35°+35°=70°， :LDFE=∠ECB+∠ADC=35°+70°=105°. 故答案为：105°. 三、解答题 9.(24-25八下·山西临汾大宁县2025年6月期末期末)如图，在ABC中，∠A=36°，AB=AC,BD是 ∠ABC的平分线. B (I)尺规作图：过点D作AB的垂线，垂足为E.(保留作图痕迹，不写作法) (2)判断AE与BE的数量关系，并说明理由. 5/49 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)见解析 (2)AE=BE，理由见解析 【详解】(1)解：所作图形如图所示： (2)解：AE=BE,理由如下： :∠A=36°，AB=AC, a∠48c=2C-180-∠4=72， :BD是∠ABC的平分线， :∠ABD=∠ABC=36, 2 LABD=∠A=36°， .AD=DB, :DE⊥AB, .AE =BE. 10.(2425八下山西运城稷山县期末)阅读与思考 等腰直角三角形的“手拉手” 如图，在共顶点A的等腰直角ABC和等腰直角ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE, 连接DC,BE相交于点F,BE交AC于点H,CD交AE于点G. E (1)求证：△ABE≌△ACD; (2)结合(1)的结论，利用三角形三个内角的和等于180°，在△ADG与△EFG中，先确定∠GFE的度数； 过点A作AM⊥BE,垂足为M,AN⊥CD,垂足为N,再证明AF平分∠BFD;最后求出∠AFD的度数.请 6/49 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 根据以上的思路，写出求∠AFD度数的过程. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】(1)证明：：ABC与ADE均为等腰直角三角形，且AB=AC,AD=AE, ∠BAC=∠DAE=90°， :LBAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,即∠BAE=∠CAD, 在△ABE与△ACD中， 「AB=AC ∠BAE=∠CAD, AE=AD .△ABE≌△ACD(SAS, (2)解：由(1)知△ABE≌aACD, :ZAEB ZADC :LAGD与∠EGF是对顶角， :ZAGD ZEGF, 根据三角形三个内角的和等于180°， 在△ADG中LADG+LAGD+∠DAG=180°， 在△EGF中∠FEG+∠EGF+∠EFG=180°， ∠DFE=∠DAE=90°， 过点A作AM⊥BE,垂足为E,AN⊥CD,垂足为N, 由(I)知△ABE≌△ACD可得，BE=CD,SABE=SACD, 5m-号8ExM,5CDxAN, :AM AN, :点A在∠BFD的平分线上， :∠DFE=∠BFD=90°， ∠AFD=∠BFD=45°. 目目 考点02 等腰三角形 、选择题 7/49 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(24-25八下山西临汾大宁县2025年6月期末期末)如图，在ABC中，∠ABC=90°，∠C=45°， BC=2,D是边AB的中点，在CB的延长线上取一点E,连接ED并延长，交边AC于点F.若 ∠BDE=60°，则DF的长为(). A 0 B E A.1 B.√2-1 c.3-1 D.5-1 2 【答案】D 【详解】解：过点F作FH⊥AD于点H, A B 则∠FHD=∠FHA=90°， :∠ABC=90°，∠C=45°，∠BDE=∠HDF=60°， .∠A=45°，BC=AB=2,∠HFD=30°， ∴.∠AFH=45°，FD=2DH, .FH=AH, :D是边AB的中点， :AD=片AB=1, 2 设DH=x,则AH=1-x,FD=2DH=2x, 在Rt FHD中， FH=√DF2-DH2=V3x, FH AH, .3x=1-x, 解得x=5-1 2 8/49 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·DH=5-1 2 则FD=2DH=2x5-1.5-1, 2 故选D. 2.(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校期末)如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点0，E是 BC边上一点，连接DE,将△DCE沿DE折叠，使得点C恰好落在BD上的点F处.若OA=√2，则 △BEF的周长是() D B E A.2√2 B.2W2-2 C.2-√2 D.2+ 【答案】A 【详解】解：正方形ABCD, .0A=0B=0C=0D=V2,∠BCD=90°，LD0C=90°，∠CBD=45°， .BD=22,CD=VD02+C02=2, :折叠， .DF=DC=2,∠DFE=∠BCD=90°， BF=BD-DF=2N2-2,∠BFE=90°， .∠FBE=LFEB=45°， :EF BF=22-2, BE=BF2+EF:=2BF=2(22-2)=4-22, :△BEF的周长是BE+EF+BF=4-2V5+2√2-2+2√2-2=2√2. 故选：A. 3.(24-25八下·山西昌梁交口县期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0，过点C作 CE∥BD交AB的延长线于点E,下列结论不一定正确的是() D 9/49 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.AB=BE B.OB=0A C.△ACE是等腰三角形D.BC=二CE 2 【答案】D 【详解】解：四边形ABCD是矩形， :AC -BD.0A-OC-BO-DO-IBD-1AC. 2 2 :CE∥BD,DC∥BE, .四边形DBEC是平行四边形， .CE=BD=AC,AB=BE CD, :OB-ICE, .△ACE是等腰三角形， 只有∠E=30时，BC-CE,故D选暖不一定正确， 故选：D 4.(24-25八下山西临汾侯马期末)如图，在平行四边形ABCD中，小飞以A为圆心，AB为半径画弧，交 AD于F,再分别以B、F为圆心，大于号BF的长为半径画弧，两弧相交于点G,若BF=6,AB=5,则AE 的长为() F A G B A.12 B.10 C.8 D.6 【答案】C 【详解】解：连接EF,如图所示： F D B 由作图可知：AB=AF=5,∠BAE=∠FAE, .AE⊥BF,OB=OF=5BF=3, 2 10/49 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 .在RtaA0F中，0A=√AF2-0F2=4, :四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC, .∠FAE=∠AEB, .∠BAE=∠AEB, .BE AB=AF, :四边形ABEF是菱形， ∴OA=OE=AE, ∴.AE=2OA=8; 故选：C. 二、填空题 5.(24-25八下山西大同期末)已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为0,4)，点B坐标为 (2,0),点C是直线y=x+2上的一个动点，若∠CAB=∠AB0,则点C的坐标为 B 【答案】（2,4或(-6，-4). 【详解】解：当点C在y轴右侧时，如图1，连接AC, C B 图1 :∠CAB=∠ABO, .AC∥OB, :A(0,4, C点纵坐标为4， 11/49 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 又C点在直线y=x+2上，把y=4代入可求得x=2, C点坐标为2,4)； 当点C在y轴左侧时，过A、C作直线交x轴于点D,如图2， OB 图2 设C点坐标为a,a+2),设直线AC的解析式为y=x+b, b=4 k= a-2 把A、C坐标代入可得 (k+b=a+2'解得 a, b=4 ·直线AC的解析式为y=a-2 4a x+4,令y=0可求得x= 2-a D点坐标为 4a,0, 2-a A0=00+0,即4D+4， (2-a B(2,0, .∠CAB=∠ABO, .AD BD, AD2=BD2, 4 解得a=-6，,经检验a=-6是分式方程的解， 则a+2=-4, .C点坐标为-6，-4. 综上可知，C点坐标为2,4)或(-6，-4) 6.(24-25八下山西晋中榆次区·期末)如图，ABC中，AB=AC,∠A=90°，BD是ABC的角平分线， 12/49 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 若DC=4,则边BC的长度为 【答案】4+4V2 【详解】解：如图，过D作DE⊥BC,交BC于点E, B A D :BD为∠ABC的平分线，且∠A=90°，即AD⊥AB,DE⊥BC, :AD =DE 又：∠A=90°，AB=AC, ∴.ABC为等腰直角三角形， .∴.∠ABC=∠C=45°，∠DEC=90°， :.△DEC为等腰直角三角形， :DE EC,DE2+EC2=DC2=42, .DE=EC=2√2=AD, .AC=AD+DC=22+4, .BC=AC2+AB2=2AC=4+42, 故答案为：4+4√2. 7.(24-25八下山西运城稷山县期末)如图，ABC中，AC=BC,∠C=120°，ABC中位线DE的长是 Icm,则ABC中线BD的长是cm. 13/49 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 C D E B 【答案】√万 【详解】解：如图，连接CE,过D作DF⊥AB于点F,则LAFD=90°， D E B :AC=BC,∠C=120°， ∴.∠A=∠B=30°，CE⊥AB, LAFD=∠AEC=90°，AE=BE, :ABC中位线DE的长是lcm, :DE=BC=lem,DE∥BC, .AC=BC=2cm,∠AED=∠B=30°， .AD DE =1cm .AF=EF, 1 DF=。AD三2cm :AF=√AD2-DF2= 同理：AE=√3cm, AF-EF= -cm,AE BE =3cm, ·BF=3 2 -cm, .BD=BF2+DF2 故答案为：√7， 三、解答题 8.(24-25八下·山西晋中左权县期末)综合与实践 14/49 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【问题情境】 综合与实践课上，老师让同学们以“两个含30°角的完全相同的直角三角形ABC和直角三角形A'B'C' (∠A=∠A'=30°)拼摆”为主题开展教学活动 A(4 M(A)COC (COC B' 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 【操作思考】 (1)“明辨”小组先将两个三角形如图①所示重叠放置，然后将其中一个△A'B'C'绕点C顺时针旋转得到 △A'B'C',旋转角为a（0°<a<180°)，当AB'恰好经过点B时得到图②，求此时旋转角a的度数： (2)“善思”小组将两个三角形较长的直角边靠在一起，拼成了图③所示的三角形，然后将△A'B'C'以点C为 旋转中心，逆时针旋转a(0°<a<90°)，如图④所示，AB与AB'相交于点O,连接OC,AA'.试判断C0与 AA'的关系，并说明理由； 【拓展探究】 (3)如图⑤，“博学”小组在图②的基础上，剪出一个与BCB'完全一样的三角形纸片，与其重叠放置，并 将其沿直线A'C平移，平移后，点B,C,B的对应点分别为点D,E,F.若AB=4,当AB'D是以 ∠AB'D为顶角的等腰三角形时，请直接写出平移的距离. 【答案】(1)60°；(2)C0垂直平分AA',理由见解析；(3)平移的距离为4√5或23. 【详解】解：(1)如图2，ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C, :BC B'C, .∠ACB=90°，∠A=30°， .∠ABC=∠B'=60°， .BCB'是等边三角形， ∠B'CB=60°， 即a=60°： (2)CO垂直平分AA',理由如下： :△A'B'C'绕点C逆时针旋转到如图的位置， ∴.CA=CA', 15/49 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CAA'=∠CA'A, :∠0AC=∠0A'C=30°， .∠0AA=∠0A'A, .0A=0A', .CA=CA', .CO垂直平分AA'; (3)①如图4，延长AC,作B'G⊥AC于点G,连接BD,B'D,AB', R D 图4 :∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4, :BC B'C =2,AC=23, :∠ACB=90°，且BCB'是等边三角形， .∠B'CG=30°， :B'G=1,CG=3, .AG=AC+CG=25+V5=35, 在Rt△AGB'中，AB'=VAG2+B'G2=2V7, :△BCB'沿射线A'C的方向平移得到△DEF, .BD川A'C, ∠A'CB'=90°， ∠BJC=90°， :.CJ=BJ=IB'C=1,J= 2 :△AB'D是以∠AB'D为顶角的等腰三角形时， 16/49 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B'D=AB'=2√7， 在RtaB'JD中，DJ=VB'D2-BJ2=3V5, :.BD=BJ+DJ=3+33=43, ②如图5，连接DB并延长交CB于点J,连接BD,AB, (EA B (CC 图5 由O得AB=2N7,CJ=BJ=B'C=L,BW=5, :△AB'D是以∠AB'D为顶角的等腰三角形时， B'D=AB'=2√7， 在RtaB'JD中，DJ=VB'D2-B'J2=3√5， .BD DJ -BJ=33-3=23, 综上所述，当AB'D是以∠AB'D为顶角的等腰三角形时，平移的距离为4√5或2√5， 9.(24-25八下山西吕梁交口县期末)【知识再现】如图1，已知：在ABC中，点D,E分别是边AB,AC的 中点，请直接写出DE和BC的关系。 B 图1 图2 【应用】如图2，四边形ABCD是梯形，AD∥CB,点M,N分别是AB,CD边上的中点，连接MN,则MN 叫做梯形的中位线， 【猜想】MW与AD,BC之间的关系并证明. 以上解决问题的过程中用到了转化思想. 【拓展】 17/49 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图3，在四边形ABCD中，AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点，连接EF并延长，分别与BA,CD的延 长线交于点M,N,则∠BME=∠CNE.(不必证明) M D H D B E B E 图3 图4 (温馨提示：如图3，连接BD,取BD的中点H,连接HE,HF,根据三角形中位线定理，证明HE=HF, 从而∠I=∠2，再利用平行线的性质，可证明∠BME=∠CNE) 如图4，在ABC中，AC>AB,点D在AC上，AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点，连接EF并延长， 与BA的延长线交于点G,连接GD,若∠EFC=60°，判断△AGD的形状并证明. 【答案】知识再现：DE/BC,DE=BC,猜想：MW∥AD∥BC,N=AD+BC:拓展：△AGD是 直角三角形，详见解析 【详解】解：知识再现：：点D,E分别是边AB,AC的中点， DE是ABC的中位线， DE//BC,DE-BC: 猜想：AINADC,MN=AD+BC,证明如下： 如图，连接AN并延长交BC的延长线于点G, :AD∥CB, .∠D=LGCN, :N是CD的中点， .DN =NC, 在△ADN与△GCN中， 18/49 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠D=∠GCN DN=CN ∠DNA=∠CNG △ADN≌aGCN(ASA, .AN=NG,AD=CG, 又：点M是AB的中点， :NM是△ABG的中位线， W∥BC:MN58G=aC+CG MNI ADI BC.MN AD+BC) 拓展：△AGD是直角三角形. 证明如下： G A B 如图，连接BD,取BD的中点H,连接HF,HE, :F是AD的中点， HF是△ABD的中位线， if=48,H那∥A8, 同理，HE∥CD,HE=CD, .∠EFC=∠HEF=60°， AB=CD, ∴.HF=HE, ·△EHF是等边三角形， .HFE=60°， HF∥AB, .∠3=∠HFE=60°， 又：∠AFG=LEFC=60°， 19/49 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :△AGF是等边三角形. AF=FD, .GF=FD, .∠FGD=∠FDG=30°， ∠AGD=90°， 即△AGD是直角三角形. 10.(24-25八下山西阳泉部分学校期末)综合与探究 问题情境： 在边长为IO的正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，连接BP,过点P作BP的垂线，交射线DA于点 E,过点E作PE的垂线，过点B作PB的垂线，两线交于点F, 特别研究： D 图1 图2 图3 (1)如图1，当点P在对角线AC的中点处时，四边形PEFB的形状为 深入探究： (2)如图2，当点P是对角线AC上任意一点时. ①试说明(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由； ②求四边形PEFB面积的取值范围. (3)如图3，当PC=BC时，点E落在DA的延长线上，请直接写出线段AE的长， 【答案】(1)正方形：(2)①仍然成立，理由见解析，②50≤S正方形EB≤100；(3)10√2-10 【详解】(I):过点P作BP的垂线，交射线DA于点E,过点E作PE的垂线，过点B作PB的垂线 :四边形PEFB是矩形 :四边形ABCD是正方形，点P在对角线AC的中点处 1 AP=BP=PC=。AC 2 20/49 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :四边形PEFB是正方形； (2)①仍然成立，理由如下： 如图所示，过点P作M⊥AD交AD于点M,交BC于点N 0 :过点P作BP的垂线，交射线DA于点E,过点E作PE的垂线，过点B作PB的垂线 :.四边形PEFB是矩形 .ZEPB=90 ∴.∠MPE+∠BPN=90 :四边形ABCD是正方形， AD∥BC,且AC平分∠DAB,∠DAB=90° .MN⊥BC,∠DAC=45° MN∥AB .∠PME=∠BNP=90°，∠APM=45 .PM=AM,四边形ABNM是矩形，∠BPN+∠PBN=90 .BN=AM,∠MPE=LPBN .PM =BN △PME≌△BNP(ASA .PE=BP 四边形PEFB是正方形： ②：在边长为10的正方形ABCD中 .AB=BC=10 ·AC=VAB2+BC2=10V2 :四边形PEFB是正方形 ∴.正方形PEFB面积=PB 当PB⊥AC时，PB最短 21/49 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 此时PB=。AC=5V2 2 ·正方形PEFB面积的最小值为(52)=50； 当点P和点A或点C重合时，PB最长 此时PB=10 :.正方形PEFB面积的最大值为102=100： ·四边形PEFB面积的取值范围为50≤S正方形PEFB≤100； (3):四边形ABCD是正方形，AC是对角线 DAC=∠ACB=45° PC=BC=10 :∠CPB=∠CBP= 180°-∠ACB)=67.50 1 :∠EPB=90° ∠APE=180°-∠CPB-∠EPB=22.5o .LAEP=LDAC-∠APE=22.5°=∠APE .AE=AP=AC-CP=102-10. 目目 考点03 直角三角形 一、选择题 1.(24-25八下山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且 AC⊥BD,若∠ABC=60°，BC=4,则BD的长为(). B A.4 B.8 C.43 D.23 【答案】C 【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD, 四边形ABCD是菱形， :.OB=-BD, 2 ∠ABC=60°， 22/49 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠CBO=∠AB0=30°， ×BC=4, .0C=2, 0B=VBC2-0C2=2V5, .BD=20B=45, 故选：C. 2.(2425八下山西运城盐湖区期末)如图，在ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,线段AB的垂直平 分线交AB于点E,交AD于点F,连接CF.若∠BAC=80°，则∠EFC的度数为() E B D A.100 B.140° C.150° D.160° 【答案】C 【详解】解：如图，连结BF, :AB=AC,AD⊥BC,∠BAC=80°， ·∠BAD=∠CAD=}∠BAC=40°， 21 :线段EF的垂直平分AB, FA=FB,EF⊥AB, ∠AFE=∠BFE,∠AFE=90°-40°=50°， :AB=AC,∠BAF=∠CAF,AF=AF, .∴，△BAF≌△CAF(SAS), ∠AFB=∠AFC=∠AFE+∠BFE=50°+50°=100°， ∠EFC=∠AFE+∠AFC=50°+100°=150°. 故选：C. 23/49 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A E B D 3.(24-25八下山西吕梁交城县期末)如图，直线MN经过正方形ABCD的顶点B,过点A作AE⊥MN于点 E,∠ABE=30°，F为直线MN上一点，且BF=BC,连接CF,若AE=2,则CBF的面积为() D M E B A.85 B.45 C.8 D.25 【答案】B 【详解】解：过点C作CH⊥BF,如图所示： D A M E B :四边形ABCD是正方形， ∠ABC=90°，AB=BC, ∴.∠ABE+∠CBH=90°， :CH⊥BF,AE⊥MN ∴.LAEB=∠BHC=90°， ∠ABE+∠EAB=90°， 则∠HBC=∠EAB, ∴.△HBC≌△EAB, 24/49 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 则BH=AE=2,LBCH=∠ABE=30°， ·BC=2BH=4,CH=√BC2-BH2=2V5, BF=BC, .BF=4, :则CBF的面积为=BFxCH×=4x25x=45. 2 2 故选：B. 4.(24-25八下山西大同部分学校联考期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=4,点 O是AB的中点，连接CO,则CO的长为() B A C A.2 B. 23 C.4v5 D. 3V5 3 3 4 【答案】C 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， 设BC=x,则AB=2x, :AC=4, x2+42=(2x), 解得：x=45(负值舍去，AB-8V5 3 3 :点O是AB的中点， .CO=-AB=- 45 2 3 故选：C 5.(24-25八下山西晋中平遥县·期末)如图，在ABC中，AB=AC,∠A=120°，分别以点A、C为圆心， 大于4C的长为半径作致，两弧相交于点P和点Q,作直线P0,分别交8C、AC于点D和点区.若 CD=5,则BD长为() 25/49 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D B A.8 B.10 C.5√2 D.5√5 【答案】B 【详解】解：如图所示，连接AD, :AB=AC,∠A=120°， ∠B=∠C=30°， 由作法得DE垂直平分AC, .DA=DC=5, .∠DAC=∠C=30°， .∠BAD=120°-30°=90°， 在Rt△ABD中，∠B=30°， .BD=2AD=10, 故选：B 二、填空题 6.(24-25八下山西晋中太谷县期末)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,∠C=60°，过点A 作AE∥BC交CD的延长线于点E,若BC=3,AE=4,则DE的长为· E 【答案】1 【详解】解：如图所示，连接AC交BD于点O,过点A作CE的垂线，交CE的延长线于点F, 26/49 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 、F E :AF⊥CF,AE∥BC, 又：∠BCD=60°， ∴.∠AEF=60°. ∠FAE=30°. :AE=4, EF=2,AF=23, AB=AD,BC=DC, ∴.AC垂直平分BD.∠BCA=∠ACD=30°， .AC=2AF=43, CF=AC2-AF2=6, BC=3, .CB=CD =3, .DE CF-EF CD =1, 故答案为：1. 7.(24-25八下山西吕梁交口县期末)如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠A=120°，点P,Q,K分别为 线段BC,CD,BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为· D K P 【答案】2√5 【详解】解：作点P关于BD的对称点P,作PQ⊥CD交BD于K,交CD于Q,过点A作AH⊥CD于H, 27/49 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 可H AB=4,∠A=120°，AB/1CD, B ∠ADH=180°-120°=60°， :∠DAH=30°，则AD=2DH ·AH=√AD2-DH2=V5DH ·DH= 3 AH ·AH=3 AD=4× =25 2 2 :点P到CD的距离=AH=25, .PK+QK的最小值为2√3， 故答案为：25. 8.(24-25八下山西太原期末)如图，oABCD中，∠B=45°，AE⊥CD于点E,将线段AE绕点A顺时针 旋转60，点E的对应点F恰好落在BC边上，若AD=3V2,则CF= 【答案】3v2 2 【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AD∥BC,AD=BC, ∠B+∠BAD=180°，∠BAD+∠D=180°， :∠B=45°， :∠BAD=135°，∠D=45°， :AE⊥CD, :∠AED=90°， :∠EAD=∠D=45°， .AE=DE, 28/49 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 由勾股定理得AE2+DE2=AD2, AE=3, 由旋转得AF=AE=3,∠FAE=60°， ∠BAF=30°， 过F点作FH⊥AB交AB于H,如图： D H .FH=3 B C :∠B=45°， ∠B=∠HFB=45°， BH=FH=3 由勾股定理得：BF=BH+FH_3N2 2 .CF=BC-BF= V2 2 故答案为： 3v2 2 三、解答题 9.(2425八下山西运城稷山县期末)如图1，在口ABCD中，∠ADC=60°，DC=1+√5.点E在AD边上， ACDE沿着CE折叠得到△CGE,EG交AB于点F,CG交AB于点H且CG⊥AB. G 、 B 图1 图2 (I)求GE的长（提示：过点E作EM⊥CD,垂足为M,); (2)如图2，延长DA与CG相交于点K,直接写出图中所有的等腰三角形. 【答案】(1)2 29/49 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (2)△AEF,△KEG 【详解】(1)解：过点E作EM⊥CD,垂足为M,如图所示： G B E M :四边形ABCD是平行四边形 AB∥CD, :CG⊥AB, .CG⊥DC, :△CDE沿着CE折叠得到△CGE,EG交AB于点F,CG交AB于点H ∠DcE=2GCE=∠DCG=90=45,EG=DE, :EM⊥CD, :△EMC是等腰直角三角形， .EM =MC, :DC=1+5, DM DC-CM DC EM =3+1-EM, :∠ADC=60°， .LDEM=30°，2DM=DE, 在RtADEM中，DE2=DM2+EM2, 则4DM2=DM2+EM2, :3DM2=EM2, 即V5DM=EM, DM=3+1-EM, :DM=3+1-3DM, ∴.DM=1. ∴.DE=2×1=2, 30/49 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则EG=DE=2; (2)解：折叠， :CG=CD=3+1, 由(1)得EG=2,CG⊥DC,△EMC是等腰直角三角形， :∠ADC=60°， .∠K=90°-60°=30°， ·DK=2DC=2V5+2, 在Rt△DCK中，CK=VDK2-CD2=V4CD2-CD2=√5CD=3+V5, KG=CK-CG=3+3-3+1=2 .EG=2=KG “.△KEG是等腰三角形， ∠KEG=∠K=30 :△CDE沿着CE折叠得到△CGE,EG交AB于点F,CG交AB于点H .∠CGE=∠ADC=60°， :CG⊥AB .LKHA=90°，LGFH=90°-60°=30° ∠AFE=∠GFH=30°， :∠KEG=∠AFE=30° ∴△AEF是等腰三角形， 综上：△AEF,△KEG都是等腰三角形. 10.(2425八下·山西朔州右玉县右玉教育集团初中部期末考试期末)综合与探究 【问题情境】小明将两个全等的Rt△ABC和Rt△DEF重叠在一起，其中 ∠ACB=∠DFE=90°，∠ABC=∠DEF=30°，AC=1.固定ADEF不动，将ABC沿直线ED向左平移，当 点B与点D重合时，停止移动 【猜想证明】 (1)如图，在平移过程中，当D为AB的中点时，连接DC,CF,BF,请你猜想四边形CDBF的形状，并 证明你的结论. 31/49 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 E (2)如图，在平移过程中，连接DC,CF,FB,四边形CDBF的形状在不断地变化，判断它的面积变化情 况，并求出其面积， C 【探索发现】 D (3)在平移过程中，四边形CDBF有什么共同特征？（写出两个即可） 【答案】(1)菱形，证明见解析： 四边形CDBF的形状在不断新改变，但它的面积不变化，SC 2 (3)在平移过程中，四边形CDBF共同特征为CF∥BD,DF⊥BC 【详解】解：(1)四边形CDBF是菱形. 证明如下： :△ACB是直角三角形，D为AB的中点， .CD=AD=BD. AD CF,ABI FC, :四边形CDBF是平行四边形. 又：CD=BD, .四边形CDBF是菱形； (2)四边形CDBF的形状在不断改变，但它的面积不变化. 由平移的性质，得AC∥DF, 在Rt△ABC中，∠ACB=90,∠ABC=30°，AC=1, 则AB=2AC=2. 在Rt△ABC中，由勾股定理可得BC=V22-1P=5. 由平移性质可得CF∥AD,CF=AD, SMACD SACFB' asww -Sm5nSo+5ucSun 2 (3)在平移过程中，四边形CDBF共同特征为①CF∥BD;②DF⊥BC. 32/49 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点04 线段垂直平分线 一、选择题 1.(24-25八下·山西晋中榆次区·期末)如图，ABC中，AB=AC,∠A=50°，边AC的垂直平分线分别与 边AB,AC交于点D,E,连接CD,则LBCD的度数为() A.30° B.20° C.15 D.10° 【答案】C 【详解】解：：AB=AC,∠A=50°， ∠B=∠BCE=180-∠A=180°-50)=6. 2 :DE垂直平分AC, :AD CD ∴.∠ACD=∠A=50°. .∠BCD=∠ACB-∠ACD=65°-50°=15°. 故选C. 2.(24-25八下山西晋中介休期末)如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站， 使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在() 商场A 商场B 商场C A.三角形三条中线的交点 B.三角形三条高所在直线的交点 C.三角形三个内角的角平分线的交点D.三角形三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【详解】解：依题意，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在三角形三条边的垂直平分线 的交点， 33/49 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 故选：D 二、填空题 3.(24-25八下·山西晋中左权县·期末)如图，在口ABCD中，M,N是AD,BC上的点，连接MN交对角线 BD于点E,且E是BD的中点，连接BM,CM.下列结论：①AM=CN;②若MD=AM,∠A=90°， 则BM=CM;③若MD=2AM,则S△MwC=S△BNE·其中正确的是 ·(填序号) M 【答案】①②③ 【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形， AD∥CB,AD=CB, ∴.∠MDE=∠NBE, :E是BD的中点， :DE BE, 在△DEM和△BEN中， ∠DEM=∠BEN DE=BE ∠MDE=∠NBE .△DEM≌△BEN(ASA), .DM =BN, .AD-DM CB-BN, .AM =CN, 故①正确： 如图MD=AM=号4D,∠4=90， M MD BN,AM =CN 34/49 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BN-CN-1CB, 2 .AM =BN, :AM∥BN, .四边形ABNM是平行四边形， .∠BNM=∠A=90°， .MN垂直平分BC, .BM =CM, 故②正确： :MD=2AM,且MD=BN,AM=CN,AD∥CB, .BN =2CN S.DBN =2S.MNC BD =2BE, S.DBN 2S.BNE 2S.MNC 2S.BNE SAMNC =SABNE 故③正确， 故答案为：①②③. 4.(24-25八下·山西吕梁交城县期末)如图，点E是矩形ABCD的边AB上一点，将aCBE沿着CE折叠， 点B的对应点F落在边AD上，连接BF交CE于点G,连接AG,若AB=8,BC=I0,则AG的长为 D 【答案】25 【详解】解：：四边形ABCD是矩形，AB=8,BC=10, .∠BAD=∠D=90°，AD=BC=10,CD=AB=8, 由折叠的性质可得：CF=BC=10,BE=EF, ∴.CE垂直平分BF,即点G为BF的中点， 35/49 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DF=CF2-CD2=6, .AF=AD-DF=4, BF=AB2+AF2=45, :AG=BF=25. 故答案为：25. 5.(24-25八下·山西晋中灵石县期末)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,点D在边AB上， AD=AC,AE⊥CD,垂足为F,AE与BC交于点E,则BE的长是 【答案】5 【详解】解：如下图所示，连接DE, AC=AD, ∴△ACD是等腰三角形， 又：AE⊥CD, 根据等腰三角形的三线合一定理，可得：CF=DF, :AE是CD的垂直平分线， :CE DE, AC=AD 在△ACE和△ADE中{AE=AE, CE=DE △ACE≌△ADE, ∠EDA=∠ECA=90°， ∠EDB=180°-∠EDA=180°-90°=90°， 在RtAABC中AC2+BC2=AB2, 又：AC=6,BC=8, .62+82=AB2, AB=10, 36/49 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设CE=DE=x,则BE=BC-CE=8-x, :AD=AC=6,AB=10, .BD=AB-AD=10-6=4, 在Rt△BED中，DE2+BD2=BE2, x2+42=(8-x2, 解得：x=3, CE=3, :BE=BC-CE=8-3=5. D 故答案为：5， 6.(24-25八下山西长治长子县期末)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点O作 OE⊥AC交AD于点E.若AE=3,DE=L,AB=V0,则AC的长为 A D 【答案】3v2 【详解】解：连接CE, D :四边形ABCD是平行四边形，对角线AC,BD相交于点O, .0A=0C,又OE⊥AC, :OE垂直平分线AC, .CE AE,AE =3,DE =1,AB=10, .CE =3,CE2+DE2=10=AB2, 37/49 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ∠CED=90°，则∠AEC=90°， 在Rt△AEC中，CE=AE=3, AC=VCE2+AE2=V32+32=18=3V2, 故答案为：3√2. 7.(24-25八下山西临汾侯马期末)如图，矩形ABCD中，AD=5,AB=6,点E为射线DC上一个动点， 把△ADE沿直线AE折叠，当点D对应点D刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为· E D 【答案】15或 【详解】如图，若点E在线段CD上时，过点D作MN⊥AB, D D ⊙ :四边形ADNM是矩形， .AD=MN=5,AM DN :把△ADE沿直线AE折叠，当点D对应点D刚好落在线段AB的垂直平分线上时， .AD=AD'=5,AM=BM=3=DN,DE=D'E :D'M=VD'A2-AM2=V25-9=4 .D'N =M N-D'M =1 .D'E2 EN2+D'N2 DE2=(3-DE)2+1 DE 如图，点E在线段DC的延长线上，过点D作MN⊥AB, 38/49 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 E B D 同理可求，：D'M=VD'A2-AM2=√25-9=4，DE=D'E D'N=4+5=9 .D'E2=EN2+D'N2 .DE2=(DE-3)2+81 .DE=15 综上所述，DE的长为15或 故答案为：15或 三、解答题 8.(24-25八下山西晋中左权县期末)如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,E是CD的中点， 连接BE并延长，交AD的延长线于点F,连接CF, D B (1)请判断四边形BCFD的形状，并说明理由； (2)若BD⊥AD,AD=3,∠ABD=30°，求BF的长. 【答案】(1)平行四边形；理由见解析 (2)6 【详解】(1)解：四边形BCFD是平行四边形 理由如下：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AD∥BC,即AF∥BC, 所以LDFE=∠CBE. 39/49 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 因为E是CD的中点， 所以DE=CE, 在△DEF和△CEB中，∠DEF=∠CEB,∠DFE=∠CBE,DE=CE, 所以△DEF≌△CEB(AAS), 所以EF=EB, 又因为DE=CE, 所以四边形BCFD是平行四边形. (2)解：因为四边形ABCD,四边形BCFD都是平行四边形， 所以BC=AD=DF. 因为BD⊥AD, 所以LADB=90°， 所以BD是AF的中垂线. 所以AB=BF. 因为AD=3,∠ABD=30°， 所以AB=2AD=6. 所以BF=6. 9.(24-25八下·山西大同部分学校联考·期末)如图，在ABC中，AB边的垂直平分线分别交AB,AC于点 D,E.已知BC=6,AC=8，AE=4, 25 (1)试判断ABC的形状，并说明理由. (2)求DE的长. 【答案】()直角三角形，见解析 片 【详解】(1)解：ABC是直角三角形. 理由如下：如图，连接BE, 40/49 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D :AC=8,AB=25 CE=AC-AE=8-25=7 4-41 :DE垂直平分AB, ·BE=AE=25 4 BE=2 在△BCE中，CE=7, ’BC=6, 2 .CE2+BC2 +6-625,8E:=625 4 16 16 .CE2+BC2=BE2. LC=90°. △ABC是直角三角形. (2)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6, AB=VAC2+BC2=V82+62=10. ·DE垂直平分AB, 1 :∠4DE=90，MD=24B=5. 在RtADE中，AE=25 :DE=AE2-AD? 25) -52=15 、4 4 10.(24-25八下山西晋中平遥县期末)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90° D B (I)尺规作图：作∠ABC的角平分线，交AD于点E,并作线段BE的垂直平分线分别交AB、BC于点M、 N,连接ME和NE.(不写作法，保留作图痕迹) (2)若所作图中∠ABC=70°，求∠AEM的度数， 41/49 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)见解析 (2)LAEM=20° 【详解】(1)解：如图所示： (2)解：：BE平分∠ABC, ∠ABE=LCBE, :MN垂直平分BE, .MB=ME, ∴.∠MBE=∠MEB, .∠MEB=LCBE, .ME∥BC, .∠AME=∠ABC=70°， ∠A=90°， ∠AEM=90°-70°=20°. 目目 考点05 角平分线 一、选择题 1.(24-25八下·山西临汾大宁县2025年6月期末期末)如图，在ABC中，AB=10,AC=6,BC=8,通 过尺规作图在边BC上确定一点P,则根据下列尺规作图的痕迹不能求出PC长度的是(). B 42/49 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -D 【答案】B 【详解】解：A、由题意PC=BC-PB=BC-（AB-AC)=8-(10-6)=4,故不符合题意； B、不能求出PC的长度，符合题意； C、作PH⊥AB于H, 由题意，PA平分∠BAC, :PH⊥AB,PC⊥AC, PH=PC,设PH=PC=x, :S。ABc=SABP+S。APC, ac-ac-4B-PH+4cnc 2 2 6×8=10x+6x, X=3, .PC=3,故不符合题意； D、连接PA,由题意得PA=PB,设PA=PB=x, .AC=6、BC=8,AB=10, .AB2=AC:+BC2, 43/49 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ACB=90°， .PA2=AC2+PC2, x2=(8-x)2+62, x25 4 EPC=BC-PB=85-,故不符合题意」 故A,C,D选项能确定PC, 故选：B. 2.(24-25八下·山西运城稷山县·期末)到三角形三边距离相等的点是() A.三条边中线的交点 B.三条边的高的交点 C.三个角的角平分线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【详解】解：到三角形三边距离相等的点是三个角的角平分线的交点. 故选：C 3.(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D.若 AB=10,CD=3,则△ABD的面积为() A B D A.15 B.30 C.20 D.25 【答案】A 【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E, :AD平分∠CAB,∠C=90°， :DE CE=3, AABD的面积为}ABDE=x10×3=15. 2 故选：A. 44/49 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 E 0 4.(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)如图，在Rt△ABC中，LB=90°，∠ACB的平分线交AB于点D, DE⊥AC于点E,若AB=3,AC=5,则ADE的周长为() A E D B A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】A 【详解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3,AC=5, BC=AC2-AB2 =52-32=4, :DE⊥AC, .∠DEC=90°， :∠DEC=LB=90°， :CD是∠ACB的平分线， .DE=DB,∠ACD=∠BCD, :△DBC≌△DEC(AAS), ∴.CE=CB=4, :AC=5, AE=AC-CE=5-4=1, :ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DB+AE=AB+AE=3+1=4, 故选：A. 5.(24-25八下·山西晋中灵石县期末)如图，在ABC中，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB, BC于点M,N,再分别以点M,N为圆心，大于)MN的长为半径画弧，两弧相交于点O,作射线BO交 边AC于点D,过点D作DE⊥BC于点E,若DE=2,AB=4,则△ABD的面积为() 45/49 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B 【详解】解：如图，过点D作DF⊥AC于点F, 由题意可知：AD平分∠ABC, :DE⊥BC,DF⊥AB, .DF DE=2,, =AB-DF=x4×2=4, S。ABD=2 2 故选：B 二、填空题 6.(24-25八下山西运城盐湖区·期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,CD是AB边 上的高，将△ACD沿AB方向平移至△A'CD',若A'C'与BC交于点E,且CE=CD,则DD的长为· C E B D 【答案】3 【详解】解：连接CA, E 由平移的性质得到A'C'∥AC,DD'=AA', 46/49 多学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 LBEA'=∠ACB=90°，∠CA'C'=∠ACA', CE⊥A'C', :CD⊥AA',CE=CD, CA'平分LAA'C', ∠CA'C'=∠CA'D, ∠ACA'=∠CA'A, .AA'=AC=3, DD'=3. 故答案为：3. 三、解答题 7.(24-25八下·山西晋中太谷县·期末)阅读下列材料并完成任务. 三角形的旁心 三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点，称为三角形的旁心，每 个三角形有三个旁心.如图1，∠BAC的平分线与ABC另外两个内角∠ABC,∠ACB 的外角平分线相交于点O,则点O是ABC的一个旁心. B B D E 旁心与三角形的半周长（即周长的一半）关 O 图1 图2 系密切，如图2，过ABC的旁心O分别作OD⊥BC于点D,OE⊥AB交AB的延长线 于点E,OF⊥AC交AC的延长线于点F,则AE=AB+BC+AC).下面是部分证明 过程： :BO平分∠CBE,OE⊥BE,OD⊥BC, .0D=0E.(依据1) 同理可得OD=OF,OE=OF. :OB=OB,Rt△OBE≌Rt△OBD(依据2).BE=BD …… 任务： 47/49 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (1)上述证明过程中的“依据1”是 ;“依据2”是 ； (2)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； (3)如图3，在ABC中，∠BAC=90°，点I是ABC的一个旁心且在BC边的下方 B 图3 ①利用尺规作出旁心I;(保留作图痕迹，不写作法) ②若∠ACB=30°，BC=4,则A= 【答案】()角平分线上的点到这个角两边的距离相等；HL; (2)见解析； (3)①见解析；②3√2+√6， 【详解】(1)解：上述证明过程中的“依据1”是角平分线上的点到这个角两边的距离相等；依据2是：HL, 故答案为：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；HL; (2)解：同理可得CD=CF,AE=AF, E-(E+F)(+E+AC+CF)-(+D+C+CD)-48+BC+AC) (3)①解：如图：旁心1即为所求； ②解：如图所示，作IF⊥AF交AB延长线于F, ∠84C=90,∠4cB=0,AB=号8c=2 :AⅡ平分∠BAC,.∠IAF=45°， △IAF是等腰直角三角形.AF=F, :∠ABC=60°，.∠CBF=120°， :BI平分∠CBF, 48/49 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠IBF=60°， 设BF=x,则AF=2+x,IF=√3x, .2+x=V3x,即x=V3+1, AF=2+x=3+V5, “A1=√AF2+IF2=√2AF=3√2+√6. 故答案为：32+√6. B 49/49