专题06 平行四边形 4大高频考点（期末真题汇编，山西专用北师大版）八年级数学下学期

**基本信息** 山西多地期末真题汇编，聚焦平行四边形四大高频考点，整合性质判定综合应用与三角形中位线，解答题融入旋转、折叠及实践情境探究。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|多题量|平行四边形性质（对角线计算）、判定（等边三角形结合）、中位线（中点性质）|结合动点问题（如P、Q运动）| |填空题|多题量|性质（翻折面积）、判定（菱形条件）、中位线（角平分线中点）|注重几何变换（旋转、翻折）| |解答题|多题量|综合应用（旋转探究、坐标系实践、剪拼证明）|设置分层探究（猜想证明-深入探究），关联生活情境（社区公园篱笆）|

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06平行四边形 ☆4大高频考点概览 考点01平行四边形的性质 考点02平行四边形的判定 考点03三角形中位线 考点04平行四边形的判定与性质综合 目目 考点01 平行四边形的性质 一、选择题 1.(24-25八下山西晋中左权县期末)如图，oABCD的对角线AC,BD交于点O.若AC=6,BD=10, ∠ACB=90°，则BC的长为() B A.2 B.3 C.4 D.5 2.(24-25八下山西运城盐湖区·期末)在口ABCD中，己知AB=6cm,BC=4cm,∠B=45°，则口ABCD的 面积是()cm B A.6 B.62 C.12 D.122 3.(24-25八下山西晋中介休·期末)如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD边的中点，将△ABE沿BE翻 折，得到△FBE,连接DF并延长交BC于点G,若BE=AD=3,平行四边形ABCD的面积为6，则FG的 长为() B A.5 B.2 C.3-5 D.5-1 1/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(24-25八下山西晋中太谷县期末)如图，在四边形ABCD中，AD‖BC,∠A=90°，AD=16, BC=21,CD=13,动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出 发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动.设 点P的运动时间为t(秒).以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为()秒. A B P A2碳月 B. 5-2 37 D. 3 二、填空题 5.(24-25八下山西太原期末)如图，oABCD中，∠B=45°，AE⊥CD于点E,将线段AE绕点A顺时针 旋转60，点E的对应点F恰好落在BC边上，若AD=3√2，则CF= A E 6.(24-25八下山西晋中介休期末)如图，在口ABCD中，若AB=12,AD=8,∠ABC的平分线BM交CD 边于点M,则DM的长为 7.(24-25八下·山西晋中左权县·期末)如图，在口ABCD中，M,N是AD,BC上的点，连接MN交对角线 BD于点E,且E是BD的中点，连接BM,CM.下列结论：①AM=CN;②若MD=AM,∠A=90°， 则BM=CM;③若MD=2AM,则S△MNc=S△BNE·其中正确的是 ·(填序号) A M 三、解答题 2/15 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 8.(24-25八下山西晋中榆次区期末)综合与探究 (图1) (图2) (备用图) 问题情境：如图1，在口ABCD中，AB=4,BC=6,∠B=60°.将ABC绕点A按逆时针方向旋转得到 △AEF,旋转角为a,点B,C的对应点分别为点E,F,EF交AD于点G. 猜想证明：(1)如图2，在旋转过程中当点E落在BC边上时，判断四边形ECDG的形状，并说明理由； 深入探究：(2)在(1)的条件下，判断线段CE与FG的数量关系，并说明理由： (3)在ABC旋转的过程中，连接DE,当0°<Q<120°且ADE是等腰三角形时，直接写出△BCE的面积. 9.(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)综合与实践 【问题呈现】如图1，ABC是某数学兴趣小组的实践活动基地示意图，其中C01AB,垂足为O,三角形 空地已用围墙围好，现计划用篱笆在空地中央围一个平行四边形区域ADEF(图2)，使点D,E分别在 AC,BC上，点F在AB上，经测量AO=CO=6,OB=9m,采购员需要准备分割所用的篱笆DE和EF. 图1 图2 【数学建模】采购员以点O为原点，以AB所在的直线为x轴，以OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐 标系.请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，直接写出直线AC、BC的函数表达式. (2)①当DE=10米时，求点E的坐标. ②在①的基础上直接写出所需购买篱笆(DE+EF)的总长（结果精确到1米，参考数据：√2≈1.41） 10.(24-25八下山西太原期末)阅读下列材料，完成相应的任务， 当平行四边形的一边是邻边的两倍时，平行四边形可以分割成两个等腰三角形和一个直 角三角形.小明发现了一种分割方法，其思考、探究过程如下： 己知：如图1，在ABCD中，AB=2AD,点E是边AB的中点，连接DE,CE, 求证：AD=AE,BC=BE,∠DEC=90° 3/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D L** E B 图1 证明：：四边形ABCD为平行四边形 AD=BC(依据：① ) 同理∠3=90-1∠B. :点E是边AB的中点， :四边形ABCD为平行四边形， .AB 2AE =2BE ② 又：AB=2AD, ∴.∠A+∠B=180 :AD AE,BC BE. ∠1+∠3 ∠1=∠2，∠3=∠4. (o-)o-a :△ADE中，∠1+∠2=180°-∠A, ∴∠DEC=∠AEB-(∠I+∠3)=90 4=9092A 任务： ()分析论证：补全上述分析过程中空缺的部分：① ；② (2)问题解决： ①将图1中的某个三角形进行适当的全等变换，可以将平行四边形变形为一个等腰三角形.请写出该三角 形变换的过程，并在图2中画出变换后的图形： ②如图1，AB边上还存在不同于点E的点E,使得∠DE'C=90°.请用尺规在图3的边AB上作出点E. (保留作图痕迹，不写作法) D D E B E B 图2 图3 (3)联系拓广： 己知：在ABCD中，∠ADC的角平分线交边AB于点E,LBCD的角平分线交边AB于点F,若 EF= CD. 5 请直接写出AD:AB的值. 目目 考点02 平行四边形的判定 4/15 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 一、选择题 1.(24-25八下山西运城稷山县·期末)如图，ABC中，∠ABC=108°，在AC边的同侧作等边三角形 △ABD,△ACE,BCF,连接DE,EF.以下结论中正确的有() ①四边形BDEF是平行四边形； ②∠ADE=108°； ③BF=DE; ④△EFC可以看成是ABC绕点C顺时针旋转60°得到的. D B A.②③ B.①②④ C.①②③④) D.②③④ 2.(2425八下山西太原·期末)如图，四边形ABCD中，AB∥CD,添加下列一个条件后能使四边形ABCD成 为平行四边形的是() A A.AD∥BCB.AD=BC C.AB=AD D.AB=BC 3.(2425八下·山西晋中榆次区·期末)在四边形ABCD中，AB=CD,对角线AC,BD相交于点O.添加下 列一个条件，使四边形ABCD成为平行四边形的是() A.AD∥BCB.AD=BC C.40=CO D.∠ABC=∠ADC 4.(24-25八下山西运城盐湖区·期末)如图，在ABC中，AB=5,AC=12,BC=13,△ABD,△ACE, BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC;②∠DFE=150°；③四边形ADFE是平行四边形；④ S图边形ADFE=15, 正确的个数是() E 5/15 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 5.(24-25八下山西阳泉盂县多校联考期末)如图，在四边形ABCD中，AD=BC,AC1BD于点O.请添 加一个条件： 使四边形ABCD成为菱形. D 三、解答题 6.(2425八下·山西运城稷山县期末)如何将任意一个大三角形分成四个全等的小三角形，如何通过剪拼的 方式将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形 如图I,在ABC中，点D,E,F分别是AB,AC,BC边的中点，连接DE,EF,DF,这样就得到了四 个全等的小三角形.这是利用三角形中位线定理以及判定三角形全等的基本事实就可以比较容易地证明四 个小三角形全等， 如图2，在ABC中，点D,E分别是AB,AC边的中点，连接DE,将ADE绕点① 按顺时针方向旋 转180°到△CFE的位置，这样就得到了一个与ABC面积相等的平行四边形DBCF，请在图2中用几何符 号表示三角形中位线定理： D D E F B B 图1 图2 (1)把①，②处的内容写出来； (2)把小明和小甜分别证明图2中的四边形DBCF是平行四边形的过程补充完整， 小明的证明过程如下： :ADE绕点①按顺时针方向旋转180°到△CFE的位置， .△ADE≌△CFE, .ZA=ZECF,AD CF, ∴.CF∥AB, :点D是AB边的中点， .AD =BD, 6/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..CF= ,CF∥BD, :.四边形DBCF是平行四边形()： 小甜的证明过程如下： :ADE绕点①按顺时针方向旋转180°到△CFE的位置， ·△ADE≌aCFE, .AD=CF,DE=FE, :点D,E分别是AB,AC边的中点， ·AD=BD,DE是三角形ADE的， .BC 2DE DE+FE, ·BC=,BD=CF, :四边形DBCF是平行四边形(). 7.(24-25八下山西晋中介休期末)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E,F分别是边AB,AC的中点，延长 BC到点D,使CD=BC,连结EF,CE,DF. 2 E B (1)求证：四边形CDFE是平行四边形， (2)连结DE,交AC于点O,若BD=9,DF=5,求DE的长. 8.(24-25八下山西晋中介休期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，ABC的顶点坐标分别为A(1,2), B(4,1),C(5,4. 7/15 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 6 A 3 (1)将ABC进行平移得到△A,B,C1,其中点A的对应点为A(-5,1),点B,C的对应点分别为B,C,请在 图中画出△AB,C1；: (2)将ABC绕原点顺时针旋转90°得到△A,B,C2,其中点A,B,C的对应点分别为△4，B,C2,请在图中画出 △AB,C2; (3)连接AC1,B2B,求证：四边形ACB,B2是平行四边形. 9.(24-25八下·山西晋城阳城县期末)如图，矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,E、F是对角线AC上 的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s,运动时间为t(0<t<5)秒. D D G B 备用图 (I)若G、H分别是AB、DC的中点. ①求证：以E、G、F、H为顶点的四边形始终是平行四边形(0<t<2.5); ②当t为何值时？以E、G、F、H为顶点的四边形是矩形； (2)若G、H分别是折线A-B-C,C-D-A上的动点，分别从A、C开始，与E、F相同的速度同时出发， 当t为何值时，以E、G、F、H为顶点的四边形是菱形，请直接写出t的值 10.(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校·期末)如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O的直线与 AD的延长线相交于点E,与CB的延长线相交于点F. 8/15 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D (1)求证：四边形AFCE是平行四边形； (2)若AC⊥EF,则当AC=5,AF=5时，求四边形AFCE的面积. 目目 考点03 三角形中位线 一、选择题 1.(24-25八下·山西运城稷山县期末)如图，在四边形ABCD中，点R,P分别是BC,CD上的点，点E,F 分别是AP,RP的中点，当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是() D E R A.线段EF的长逐渐增大 B.线段EF的长逐渐减小 C.线段EF的长不变 D.线段EF的长与点P的位置有关 2.(24-25八下·山西晋中榆次区·期末)某社区公园计划将如图所示的花坛ABC分成两个区域，用于种植不 同的观赏花卉，园艺师分别找到边AB,AC的中点D,E,沿DE将三角形花坛分为区域①和区域②.已 知花坛的边BC长为10米，则两区域的分界线DE的长度为() B D 区域② 4区域① E A.5米 B.10米 C.15米 D.20米 3.(24-25八下·山西晋中平遥县·期末)如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=3V5,BE平分∠ABC,交 AD于点E,连接CE,点F,G分别是BE和CE的中点，若FG的长为25，则DE的长为() 9/15 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A E B A.3 B.5 C.35 D.V5 2 2 4.(24-25八下，山西晋中灵石县期末)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点0，点E是BC的中点.若 ∠BAC=90°，BC=10,口ABCD的周长为32，则aC0E的周长为() D E A.7 B.10 C.12 D.14 5.(24-25八下山西晋中左权县期末)如图，oABCD的对角线AC,BD相交于点0，∠ADC的平分线与 边AB相交于点P,E是PD中点，若AD=4,CD=6,则EO的长为() O B A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 6.(2425八下山西运城盐湖区·期末)如图，在ABC中，AB=BC=6,AC=4,BD平分∠ABC,E是 BC的中点，连接DE,则BDE的周长为 B 7.(24-25八下山西运城稷山县期末)如图，ABC中，AC=BC,∠C=120°，ABC中位线DE的长是 lcm,则ABC中线BD的长是cm. D A E B 8.(24-25八下山西太原·期末)如图，在ABC中，AB=BC,BD平分∠ABC交AC于点D,点E在BC上， 且点F为AE的中点，若BE=5,DF=4,则BC的长为 10/15 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 三、解答题 9.(24-25八下·山西晋中太谷县期末)综合与探究 【问题情景】 一节数学综合实践课上，刘老师与同学们以“线段的旋转”为背景进行了探究，具体如下： 己知：如图1，在RtAABC中，∠ACB=90°，AC=BC=√6，点D是边AB上的一点（不与A、B重合）， 连接CD,将CD沿绕点C按逆时针方向旋转90°得到CE,连接DE. 【猜想证明】 (1)如图2，若连接AE,求证：AE⊥AB; 【深入探究】 (2)如图3，若取AD的中点F,连接CF,BE且设它们交于点G,试判断CF与BE的数量关系与位置关 系，并说明理由； 方法一：延长AC到H,使得CH=AC,连接DH… 方法二：延长CF到H,使得FH=CF,连接AH 请选择其中一种方法做出解答. (3)如图1，在点D的选取过程中，若aCBD是等腰三角形时，直接写出AD的长度 图1 图2 图3 10.(24-25八下山西晋中平遥县期末)综合与探究 课本再现： 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线， 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半. 11/15 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 定理证明： (1)为了证明该定理，小明同学画出了图形（图1）并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程. 己知：D,E分别是ABC的边AB,AC的中点： 求证：DE∥BC,且D=BC: 2 知识应用 (2)①如图2，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形. ②如图，在四边形ABCD中，AD=BC=10,∠ADB=90°，∠CBD=30°，点P是对角线BD的中点，点M 是AB的中点，点N是DC的中点，请你直接写出aPMN的周长为，面积为· D D H M 图1 图2 图3 目目 考点04 平行四边形的判定与性质综合 一、选择题 1.(24-25八下山西临汾古县期末)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AD∥BC,AC,BD相交于点 O.若AC=6,则线段A0的长是() D B A.1 B.2 C.3 D.6 2.(2425八下山西晋中灵石县期末)如图，取两根长度不等的细木棒AC,BD,将它们的中点重合固定（记 为点O).转动木棒AC,在∠AOD由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形ABCD, 下列结论一定成立的是() B-- D A.AB=AD B.OA=AD 12/15 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 C.LBAD=∠ABC D.∠BAD=∠BCD 3.(24-25八下·山西阳泉盂县多校联考期末)四边形ABCD中，∠A=∠C,∠B=∠D,则下列结论不一定正 确的是() A.∠A=∠B B.AD∥BC C.AB=CD D.对角线互相平分 二、填空题 4.(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校期末)如图，在矩形ABCD中，AC=10,BC=8,延长BC到P, 点O是边CD上一点，过点O作EF∥BC,∠BCD与∠PCD的平分线分别交EF于点E,点F.当点O是 CD中点时，则四边形ACED的面积为 A -P 5.(24-25八下·山西朔州右玉县右玉教育集团初中部期末考试期末)如图，在口ABCD中，对角线交于点O, 点E在线段A0上（不与点A,O重合），点F在线段O,C上（不与点O,C重合），当E,F的位置满足 条件时，四边形DEBF是平行四边形， D B 三、解答题 6.(2425八下·山西运城盐湖区·期末)己知：如图，四边形ABCD是平行四边形，P,Q是对角线BD上的两 个点，且BP=DQ.试判断线段AP与CQ的数量关系和位置关系，并说明理由. A B D 7.(24-25八下山西运城稷山县期末)如图，在口ABCD中，点E,F分别是AB,CD上的两点.且AE=CF ·AF,DE相交于点M,BF,CE相交于点N. 13/15 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 M (1I)写出图中除。ABCD外的所有平行四边形： (2)求证：EN=MF. 8.(24-25八下山西晋中灵石县期末)如图，BD是口ABCD的对角线，将边AB沿BE折叠，使A点落在BD 上的点G处，将边CD沿DF折叠，使点C落在BD上的点H处. 求证：四边形BEDF是平行四边形. H 9.(24-25八下·山西太原·期末)如图，将▣ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F,且使 BE=DF,连接AF、CE,求证：AF∥CE. B E 10.(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)综合与探究 【问题情境】探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，数学课上，同学们用两个全等的直角三角形进行 探究 D D C(E B(F C(E) B(F)C(E) B (F) 图1 图2 备用图 【探索发现】 14/15 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 (1)如图1，已知Rt△ABC≌Rt△DEF,∠ACB=∠DFE=90°，AC=DF=4,BC=EF=3,将点B与 F重合，点C与点E重合，AB与CD交于点O,发现此时线段OA=OD,请尝试证明. 【猜想证明】 (2)如图2，将Rt△DEF绕点C(E)逆时针旋转，点D,F的对应点分别为D,F',当点F落在线段AB上 时，连接AD',试判断四边形ABCD'的形状，并说明理由. 【深入探究】 (3)在Rt△DEF旋转过程中，当EF'∥AB时，直接写出线段BF'的长度. 15/15 专题06 平行四边形 4大高频考点概览 考点01平行四边形的性质 考点02平行四边形的判定 考点03三角形中位线 考点04平行四边形的判定与性质综合 地 城 考点01 平行四边形的性质 1、 选择题 1．(24-25八下·山西晋中左权县·期末)如图，的对角线，交于点O．若，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键，先利用平行四边形的性质得出，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， 故选：C． 2．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)在中，已知，，，则的面积是（   ） A．6 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理； 过点C作于E，可得是等腰直角三角形，然后利用勾股定理求出，进而可计算的面积． 【详解】解：如图，过点C作于E， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积为， 故选：D． 3．(24-25八下·山西晋中介休·期末)如图，在平行四边形中，点E为边的中点，将沿翻折，得到，连接并延长交于点G，若，平行四边形的面积为6，则的长为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了翻折变换，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据题意得到，，证明四边形为平行四边形，连接交于点，则，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解： 将沿翻折，得到， ，， ， 为边的中点， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形为平行四边形； ，， 四边形是平行四边形，，的面积等于6， ，连接交于，则，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 4．(24-25八下·山西晋中太谷县·期末) 如图， 在四边形中，，，，，， 动点P从点B 出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A 出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D 运动，当动点Q到达点D时，动点 P也同时停止运动．设点 P的运动时间为t（秒）． 以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒）， ，的速度为每秒个单位，到达的时间为（秒）， 当在点以及点的左边时，即时， 则， 当在的右边时，即时， 则， 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 故选：C． 2、 填空题 5．(24-25八下·山西太原·期末)如图，中，，于点E，将线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好落在边上，若，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，直角三角形性质，平行四边形性质，旋转的性质等知识点，作出适当的辅助线是解题的关键． 根据题意求出长，由旋转得长，过F点作，勾股定理得长，即可求得长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得， ， 由旋转得， ， 过F点作交于H，如图： ， ， ∴， ， 由勾股定理得：， ， 故答案为：． 6．(24-25八下·山西晋中介休·期末)如图，在中，若，，的平分线交边于点M，则的长为________． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质． 由平行四边形的得，，，再证，则，即可得出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 是的平分线， ， ， ， ， 故答案为：4． 7．(24-25八下·山西晋中左权县·期末)如图，在中，M，N是，上的点，连接交对角线于点E，且E是的中点，连接，．下列结论：①；②若，，则；③若，则．其中正确的是__________．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质等知识，证明，得，所以，可判断①正确；当，时，因为，，所以，则，可证明四边形是平行四边形，则，所以垂直平分，进而可判断②正确；由，且，，得，所以，因为，所以，则，可判断③正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，， ∴， ∵E是的中点，∴， 在和中，，∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确； 如图，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴垂直平分， ∴， 故②正确； ∵，且，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确， 故答案为：①②③． 3、 解答题 8．(24-25八下·山西晋中榆次区·期末)综合与探究 问题情境：如图1，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转得到，旋转角为，点，的对应点分别为点，，交于点． 猜想证明：（1）如图2，在旋转过程中当点落在边上时，判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究：（2）在（1）的条件下，判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）在旋转的过程中，连接，当且是等腰三角形时，直接写出的面积． 【答案】（1）四边形是平行四边形，理由见解析； （2），理由见解析； （3）或 【分析】（1）根据平行四边形的性质，旋转的性质得到，是等边三角形，由此得到，可判定，由平行四边形的判定即可求解； （2）根据等边三角形，平行四边形的性质，旋转的性质得到，，则，由此即可求解； （3）根据旋转的性质分类讨论：，是等腰三角形；如图所示，，是等腰三角形，过点作于点，延长交于点，过点作于点；数形结合分析是关键． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形，理由如下， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵绕点按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）根据上述证明得到，是等边三角形，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图所示，，是等腰三角形， 在平行四边形中，， ∴， ∵旋转， ∴， 过点作于点，过点作于点，交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作于点， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图所示，，是等腰三角形，过点作于点，延长交于点，过点作于点， ∴，， ∴， 同理，， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 9．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)综合与实践 【问题呈现】如图1，是某数学兴趣小组的实践活动基地示意图，其中，垂足为O，三角形空地已用围墙围好，现计划用篱笆在空地中央围一个平行四边形区域（图2），使点分别在上，点F在上，经测量，采购员需要准备分割所用的篱笆和． 【数学建模】采购员以点O为原点，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，直接写出直线的函数表达式． (2)①当米时，求点E的坐标． ②在①的基础上直接写出所需购买篱笆的总长（结果精确到1米，参考数据：） 【答案】(1)见解析，； (2)①；② 【分析】此题考查了一次函数的应用，正确求出函数解析式是关键． （1）根据题意画出坐标系，再用待定系数法求出直线解析式即可； （2）①设点D的坐标为，得到,由在直线上得到，解得，即可得到 ②求出，，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：画出直角坐标系如图， ∵， ∴， 设直线的表达式为，把代入得到， ， 解得， ∴直线的表达式为， 设直线的表达式为，把代入得到， ， 解得， ∴直线的表达式为， （2）①设点D的坐标为， ∵轴，， ∴, ∵在直线上， ∴， 解得， ∴ ②∴由①知， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴所需购买篱笆的总长为． 10．(24-25八下·山西太原·期末)阅读下列材料，完成相应的任务． 当平行四边形的一边是邻边的两倍时，平行四边形可以分割成两个等腰三角形和一个直角三角形．小明发现了一种分割方法，其思考、探究过程如下： 已知：如图1，在▱中，，点是边的中点，连接． 求证：． 证明：四边形为平行四边形， （依据：①___________） 点是边的中点， ． 又， ． ． 中，， ． 同理． 四边形为平行四边形， ②___________． 任务： (1)分析论证：补全上述分析过程中空缺的部分：①___________；②___________． (2)问题解决： ①将图1中的某个三角形进行适当的全等变换，可以将平行四边形变形为一个等腰三角形．请写出该三角形变换的过程，并在图2中画出变换后的图形； ②如图1，边上还存在不同于点的点，使得．请用尺规在图3的边上作出点．（保留作图痕迹，不写作法） (3)联系拓广： 已知：在中，的角平分线交边于点的角平分线交边于点，若．请直接写出的值． 【答案】(1)①平行四边形的对边相等；② (2)①见解析；②见解析 (3)或 【分析】（1）根据平行四边形及，即可解答； （2）如图；将绕点顺时针旋转，可得是等腰三角形，即可证； （3）设 ，根据图形不同，分类讨论分析即可解答. 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， （依据：①平行四边形的对边相等） 点是边的中点， ． 又， ． ． 中，， ． 同理． 四边形为平行四边形， ②． 故答案为：①平行四边形的对边相等；②； （2）①∵ ∴ 如图；将绕点顺时针旋转， ∵ ∴ ∴是等腰三角形 ②如图，为直径，交于点；则 （3）设 ∵平分 ∴ ，则 同理，平分 有两种情况： ①若在的右边，如图； ∴ ∵ ∴ ，解得：， ∴； ②若在的左边，如图； ∴ ∵ ∴ ，解得：， ∴； 综上所述：的值为或 地 城 考点02 平行四边形的判定 1、 选择题 1．(24-25八下·山西运城稷山县·期末)如图，中，，在边的同侧作等边三角形，，，连接．以下结论中正确的有（    ） ①四边形是平行四边形； ②； ③； ④可以看成是绕点C顺时针旋转得到的． A．②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定以及旋转等知识，分别证明和可得，由等边三角形的性质得，得四边形是平行四边形；；可以看成是绕点C顺时针旋转得到的，故可得结论． 【详解】解：∵，，是等边三角形， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴，，故②正确； ∴，故③正确； 同理可证， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵，且， ∴可以看成是绕点C顺时针旋转得到的，故④正确； ∴正确的结论是①②③④， 故选：C． 2．(24-25八下·山西太原·期末)如图，四边形中，，添加下列一个条件后能使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定，一般有几种方法：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形．据此判断即可． 【详解】解：由，添加， 根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”能判断四边形为平行四边形； 由，添加或或， 都不能判断四边形为平行四边形； 故选：A． 3．(24-25八下·山西晋中榆次区·期末)在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列一个条件，使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定．已知四边形中，需添加一个条件使其成为平行四边形．根据平行四边形的判定定理，逐一分析选项即可得出结论． 【详解】A．若，此时仅知一组对边平行（）和另一组对边相等（），但无法直接推导出四边形为平行四边形，因为无法确定与是否平行或与是否相等．因此选项A不成立． B．若，结合已知，则两组对边分别相等（且），根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可直接判定四边形为平行四边形．因此选项B成立． C．若，仅说明对角线被点平分，但平行四边形的判定要求对角线互相平分（即且）．由于未给出的条件，无法确定四边形为平行四边形．因此选项C不成立． D．若，仅说明一组对角相等，但平行四边形的判定要求两组对角分别相等．无法由此推导出另一组对角相等，因此选项D不成立． 故选：B 4．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④． 正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由勾股定理的逆定理得出，即可判断①；再由等边三角形的性质，结合全等三角形的判定与性质可推出，，则四边形是平行四边形，即可判断③；然后由平行四边形的性质得，即可判断②；过作于，根据含角的直角三角形的性质和平行四边形的性质求出，进而得到，即可判断④；即可得出答案． 【详解】解：，，， ， 是直角三角形，且， ，故①正确； ，，都是等边三角形， ，，，， ，， 即，， 在与中， ， ， ， ， ， 同理可证：， ， ， ， 四边形是平行四边形，故③正确； ，故②正确； 过作于，则， 四边形是平行四边形， ， ， ，故④错误； 正确的有个， 故选：C． 2、 填空题 5．(24-25八下·山西阳泉盂县多校联考·期末)如图，在四边形中，，于点．请添加一个条件：______，使四边形成为菱形．    【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，先证明四边形是平行四边形，根据，可得四边形成为菱形． 【详解】解：添加条件 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形成为菱形． 添加条件 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形成为菱形． 添加条件 ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形成为菱形． 添加条件 在与中， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形成为菱形． 故答案为：（或或等）． 3、 解答题 6．(24-25八下·山西运城稷山县·期末)如何将任意一个大三角形分成四个全等的小三角形，如何通过剪拼的方式将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形． 如图1，在中，点D，E，F分别是边的中点，连接，，，这样就得到了四个全等的小三角形．这是利用三角形中位线定理以及判定三角形全等的基本事实就可以比较容易地证明四个小三角形全等． 如图2，在中，点D，E分别是边的中点，连接，将绕点①______按顺时针方向旋转到的位置，这样就得到了一个与面积相等的平行四边形，请在图2中用几何符号表示三角形中位线定理：______． (1)把①，②处的内容写出来； (2)把小明和小甜分别证明图2中的四边形是平行四边形的过程补充完整． 小明的证明过程如下： ∵绕点①按顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴，， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴________，， ∴四边形是平行四边形（______）； 小甜的证明过程如下： ∵绕点①按顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴，， ∵点D，E分别是边的中点， ∴，是三角形的______， ∴， ∴______，， ∴四边形是平行四边形（______）． 【答案】(1)①E，②， (2)；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；中位线；；两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，旋转的性质，三角形中位线定理． （1）根据旋转定义，中位线定理即可求解； （2）小明的证明过程：利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可证明四边形是平行四边形； 小甜的证明过程：求得是三角形的中位线，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形” 可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：如图2，在中，点D，E分别是边的中点，连接，将绕点E按顺时针方向旋转到的位置，这样就得到了一个与面积相等的平行四边形， 在图2中用几何符号表示三角形中位线定理：，． 故答案为：①E，②，； （2）解：小明的证明过程如下： ∵绕点E按顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴，， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）； 小甜的证明过程如下： ∵绕点E按顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴，， ∵点D，E分别是边的中点， ∴，是三角形的中位线， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． 故答案为：；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；中位线；；两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 7．(24-25八下·山西晋中介休·期末)在中，，分别是边的中点，延长到点，使，连结． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点O，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理． （）利用三角形中位线的性质得，，进而可得，即可求证； （）先求出，由平行四边形的性质得到，由勾股定理得到，根据平行四边形的性质得到，由勾股定理得到，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵分别为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：，， ， 四边形是平行四边形 ，， ， ， 在中，， 在平行四边形中，， 在中，， ． 8．(24-25八下·山西晋中介休·期末)如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将进行平移得到，其中点A的对应点为，点B，C的对应点分别为，请在图中画出； (2)将绕原点顺时针旋转得到，其中点A，B，C的对应点分别为，请在图中画出； (3)连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）按要求作图，再确定所求点坐标即可； （2）按要求作图，再确定所求点坐标即可； （3）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可． 【详解】（1）如图，为所求； （2）如图，则为所求； （3）如图， ， 且， 四边形为平行四边形． 9．(24-25八下·山西晋城阳城县·期末)如图，矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为t（）秒． (1)若、分别是、的中点． ①求证：以、、、为顶点的四边形始终是平行四边形（）； ②当t为何值时？以、、、为顶点的四边形是矩形； (2)若、分别是折线，上的动点，分别从、开始，与、相同的速度同时出发，当t为何值时，以、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出t的值． 【答案】(1)①见解析；②或 (2) 【分析】（1）①要证四边形是平行四边形，根据矩形性质得出边和角的关系，结合中点条件得到线段相等，再利用全等三角形证明一组对边平行且相等 ．②平行四边形变矩形需对角线相等，先确定长度，再分、运动的不同阶段，根据与的数量关系列方程求解． （2）（2）菱形需对角线垂直且平分，先由菱形性质推出四边形是菱形，设未知数，利用勾股定理求出相关线段长度，进而得出运动时间． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∵、分别是、中点 ∴，，则 由于、速度均为，运动时间，则， ∴ 在和中 ∴ ∴，，则 ∴四边形是平行四边形； ②解：连接， ∵四边形是矩形，、是中点 ∴ 当时，四边形是矩形，分两种情况： ①、未相遇前，，则 解得； ②、相遇后， 解得， 综上，当或时，四边形是矩形． （2）解：连接、， ∵ 四边形是菱形 ∴ ，，，又 ∴ ，四边形是菱形，故 设，则 在中，由勾股定理，即 解得 则，运动路程为 速度为， 10．(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校·期末)如图，在矩形中，过对角线的中点的直线与的延长线相交于点，与的延长线相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，则当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握特殊的四边形的判定与性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质证明，则，而，即可证明四边形是平行四边形； （2）先证明四边形是菱形，再由勾股定理求解，继而求出，再由菱形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴四边形的面积，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 地 城 考点03 三角形中位线 1、 选择题 1．(24-25八下·山西运城稷山县·期末)如图，在四边形中，点R，P分别是上的点，点E，F分别是，的中点，当点P在上从点C向点D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（    ） A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小 C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，连接，根据三角形中位线定理得到，得出结论． 【详解】解：连接，如图， ∵E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点R不动， ∴大小不变， ∴线段的长不变， 故选：C． 2．(24-25八下·山西晋中榆次区·期末)某社区公园计划将如图所示的花坛分成两个区域，用于种植不同的观赏花卉，园艺师分别找到边，的中点，，沿将三角形花坛分为区域①和区域②．已知花坛的边长为10米，则两区域的分界线的长度为（　　） A．5米 B．10米 C．15米 D．20米 【答案】A 【分析】本题考查三角形的中位线性质的应用，根据三角形的中位线性质得到求解即可． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，又米， ∴（米）， 故选：A． 3．(24-25八下·山西晋中平遥县·期末)如图，四边形是平行四边形，，平分，交于点E，连接，点F，G分别是和的中点，若的长为，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质、等角对等边．首先根据平行四边形的性质可得，，再结合角平分线的定义和平行线的性质证明为等腰三角形，易得，然后结合点，分别是和的中点，易得是的中位线，结合三角形中位线的性质可得，即可获得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴． ∴， 故选：B． 4．(24-25八下·山西晋中灵石县·期末)如图，的对角线，相交于点，点是的中点．若，，的周长为32，则的周长为（   ） A．7 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，三角形的中位线，求出的长是解题的关键． 先根据平行四边形的周长公式求出，再由勾股定理求出，然后根据平行四边形的性质求，根据中位线性质求出，即可由三角形周长公式求解． 【详解】解：∵的周长为32， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即点O是的中点， ∵点是的中点． ∴，， ∴的周长， 故选：C． 5．(24-25八下·山西晋中左权县·期末)如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定可得，进而可得，再根据三角形的中位线解答即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴； 故选：A. 2、 填空题 6．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)如图，在中，，，平分，是的中点，连接，则的周长为__________． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理求出，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵，平分， ∴，， ∴， ∵E是的中点，， ∴是的中位线，， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 7．(24-25八下·山西运城稷山县·期末)如图，中，，，中位线的长是，则中线的长是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，中位线定理，连接，过作于点，则，由等腰三角形的性质可得，，则，，由中位线定理得，，从而有，，所以，然后通过线段和差与勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过作于点，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∵中位线的长是， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 8．(24-25八下·山西太原·期末)如图，在中，平分交于点，点在上，且点为的中点，若，则的长为___________． 【答案】13 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 根据等腰三角形三线合一得到，结合已知得到为的中位线，那么，则由即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵点为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， 故答案为：． 3、 解答题 9．(24-25八下·山西晋中太谷县·期末)综合与探究 【问题情景】 一节数学综合实践课上，刘老师与同学们以“线段的旋转”为背景进行了探究，具体如下： 已知：如图1，在中，，，点是边上的一点（不与A、重合），连接，将沿绕点按逆时针方向旋转得到，连接． 【猜想证明】 （1）如图2，若连接，求证：； 【深入探究】 （2）如图3，若取的中点，连接，且设它们交于点，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； 方法一：延长到H，使得，连接…… 方法二：延长到H，使得，连接…… 请选择其中一种方法做出解答． （3）如图1，在点的选取过程中，若是等腰三角形时，直接写出的长度． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析；（3）或． 【分析】（1）由中，，，可得，再根据证明，则可得，进而可得，则可得． （2）方法一：延长到H，使得，连接 则可得是的中位线，则，．再根据证明，则可得，，进而可得．由可得， 进而可得．由可得，进而可得． 方法二：如图，延长到H，使得，连接，则可得，则，．再根据证明，则可得，，进而可．由可得．由可得，进而可得. （3）分两种情况：时和时，讨论即可得解． 【详解】（1）∵中，，， ∴， ∵将沿绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）方法一：如图，延长到H，使得，连接 ∵，是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与的数量关系与位置关系是，． 方法二：如图，延长到H，使得，连接． ∵，，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与的数量关系与位置关系是，． （3）∵中，，， ∴． ①当时，， 则， ， ． ②当时， ． 综上，若是等腰三角形时， 的长度为或． 10．(24-25八下·山西晋中平遥县·期末)综合与探究 课本再现： 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 定理证明： （1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（图1）并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：D，E分别是的边的中点； 求证：，且； 知识应用 （2）①如图2，在四边形中，E，F，G，H分别是四边形各边的中点． 求证：四边形是平行四边形． ②如图，在四边形中，，点P是对角线的中点，点M是的中点，点N是的中点，请你直接写出的周长为______，面积为_____． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②； 【分析】本题考查了三角形的中位线定理的证明和应用，等腰三角形的性质、勾股定理以及平行四边形的判定等知识，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键； （1）延长至F，使，连接，如图，先证明，再根据全等三角形的性质证明四边形是平行四边形，得到，进一步即可得到结论； （2）①连接，根据三角形的中位线定理结合平行四边形的判定定理证明即可； ②先根据三角形的中位线定理证明，进而可得，可得，作于点G，如图，再求出即可解决问题． 【详解】解：（1）证明：延长至F，使，连接，如图， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵D是的中点，即， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，且； （2）①证明：连接，如图， ∵F，G分别是边的中点， ∴， ∵E，H分别是边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②解：∵点P是对角线的中点，点M是的中点，点N是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于点G，如图， 则，， ∴， ∴， ∴的周长为，面积为 故答案为：；． 地 城 考点04 平行四边形的判定与性质综合 1、 选择题 1．(24-25八下·山西临汾古县·期末)如图，在四边形中，，，，相交于点O．若，则线段的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质． 先证明四边形是平行四边形，得到，即可得到的长． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．(24-25八下·山西晋中灵石县·期末)如图，取两根长度不等的细木棒，，将它们的中点重合固定（记为点）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形来判断，再利用平行四边形的性质来求解． 【详解】解：中点重合固定（记为点），故，相互平分，转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，四边形为平行四边形； A．不一定相等，选项错误，不符合题意； B．不一定相等，选项错误，不符合题意； C．不一定相等，选项错误，不符合题意； D．由平行四边形的性质知，选项正确，符合题意； 故选：D． 3．(24-25八下·山西阳泉盂县多校联考·期末)四边形中，，，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D．对角线互相平分 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握一行四边形的性质是解答本题的关键． 由题中结论可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，对角线互相平分 ∴B、C、D均正确， 而A选项，但并不一定，故该选项错误，符合题意， 故选：A． 2、 填空题 4．(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校·期末)如图，在矩形中，，延长到，点是边上一点，过点作，与的平分线分别交于点，点．当点是中点时，则四边形的面积为____________． 【答案】15 【分析】先结合矩形的性质得，，，运用勾股定理算出，再根据与的平分线分别交于点，点，得，，则都是等腰直角三角形，故，又因为点是中点，证明四边形是平行四边形，然后证明四边形是正方形，再把数值代入四边形的面积为进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵与的平分线分别交于点，点． ∴，， ∵， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵点是中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：15． 5．(24-25八下·山西朔州右玉县右玉教育集团初中部期末考试·期末)如图，在中，对角线交于点O，点E在线段上（不与点A，O重合），点F在线段O，C上（不与点O，C重合），当E，F的位置满足__________条件时，四边形是平行四边形． 【答案】如，答案不唯一 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，关键是掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形． 当时四边形是平行四边形；根据四边形是平行四边形，可得，，再由条件可得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形． 【详解】解：当时，四边形是平行四边形，理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：． 3、 解答题 6．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)已知：如图，四边形是平行四边形，P，Q是对角线上的两个点，且．试判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】，，见解析 【分析】方法一：利用证明，则可得，    ，进而可得，则； 方法二：利用证明，则可得，    ，进而可得； 方法三：连接与交于点O，连接，,根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形，则可得，． 【详解】解：，，理由如下： 方法一： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，，     ∴ ∴． 方法二： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴即， ∴， ∴，， ∴． 方法三： 连接与交于点O，连接，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， ∴，． 7．(24-25八下·山西运城稷山县·期末)如图，在中，点E，F分别是上的两点．且．相交于点M，相交于点N． (1)写出图中除外的所有平行四边形； (2)求证：． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的判定定理可得答案； （2）先证四边形和是平行四边形，进而证明四边形是平行四边形，可得． 【详解】（1）解：除外的平行四边形有：，，． （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 又， 四边形是平行四边形， ． 8．(24-25八下·山西晋中灵石县·期末)如图，是的对角线，将边沿折叠，使A点落在上的点G处，将边沿折叠，使点C落在上的点H处． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，平行线的判定与性质． 由平行四边形的性质得，，则，由折叠得，，则，所以，而，则四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 9．(24-25八下·山西太原·期末)如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点E和点F，且使，连接，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，连接，设与交于点O，连接，由平行四边形的性质得到，再证明，推出四边形是平行四边形，即可证明． 【详解】证明：连接，设与交于点O，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴． ∴四边形是平行四边形， ∴． 10．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)综合与探究 【问题情境】探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，数学课上，同学们用两个全等的直角三角形进行探究． 【探索发现】 （1）如图1，已知，，，，将点与重合，点与点重合，与交于点，发现此时线段，请尝试证明． 【猜想证明】 （2）如图2，将绕点逆时针旋转，点的对应点分别为，，当点落在线段上时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 【深入探究】 （3）在旋转过程中，当时，直接写出线段的长度． 【答案】（1）见解析；（2）平行四边形，见解析；（3）或 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，求得，于是得到； （2）根据全等三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，求得，，得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形； （3）分两种情况讨论，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴， 由旋转得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）如图3，将绕点逆时针旋转，点D，F的对应点分别为，， ∴， ∵， ∴， ∴，C，B三点共线， 过作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图4，将绕点逆时针旋转，点D，F的对应点分别为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴C，B，三点共线， ∴过作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，线段的长度为或． 1 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $