重难点02 图形的平移与旋转 5大高频考点（期末真题汇编，山西专用北师大版）八年级数学下学期

**基本信息** 图形平移与旋转专题汇编，整合山西多地期末真题，覆盖坐标系平移、旋转综合等5大考点，基础题与规律探究、动态几何综合题梯度分布。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|12题|坐标系平移（如2022次变换坐标）、图形旋转（如正方形旋转求BE长）|结合翻折与周期规律，动态旋转与几何性质综合| |填空|8题|平移坐标计算（如线段平移求参数）、旋转线段最值（如等边三角形旋转求DN最小值）|注重空间观念，渗透转化思想| |解答|15题|平移作图与对称（如网格中平移作图）、旋转证明与计算（如旋转后线段位置关系证明）|强调作图规范，综合考查推理能力与创新意识|

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 重难点02图形的平移与旋转 ☆5大高频考点概览 考点01坐标系中的平移 考点02平移的作图与几何变换综合题 考点03图形的转 考点04线段问题（旋转综合题） 考点05面积、角度等问题（旋转综合题） 目目 考点01 坐标系中的平移 一、选择题 1.(24-25八下山西晋城泽州县部分学校期末)如图，已知正方形ABCD,顶点A1,3),B1,1),C(3,1).规 定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2022次变 换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为() 4 3 2 1 B -2-10 1 23 -1 4 -2 A.（-2020,2 B.-2020,-2 C.（-2021,2 D.（-2021,-2 2.(2425八下山西晋中榆次区·期末)如图，己知口ABCD,∠ABC=90°，顶点A(1,3),B(1,1),C(3,1),规定 “把。ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2024次变换后， 口ABCD的对角线交点M的坐标变为() 3 A.（-2022,-2)B.-2022,2) C.（-2023,-2) D.（-2023,2 3.(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)在平面直角坐标系中，点M,N的坐标分别为0,3)，(2,0)，将线段MW 1/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 平移得到线段MN',若点M'的坐标为2，)，则点N'的坐标为() A.(4,-2) B.(4,2 C.(0,-2 D.(1,2 4.(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)在平面直角坐标系中，线段A'B是由线段AB经过平移得到的，已知 点A-3,2)的对应点为A'(1,-3),点B的对应点B的坐标为6,1，则点B的坐标为() A.2,6 B.(10,-4) C.2,-4 D.(10,6) 二、填空题 5.(24-25八下·山西晋中太谷县·期末)如图，点A(1,0)、点B在y轴上，将△0AB沿x轴负方向平移，平移后 的图形为△DEC,且点C的坐标为(a,b),且a=b-2+√2-b-3,则点E的坐标· B D E A衣 6.(24-25八下山西运城期末)如图，点A(2,0),B(0,1,若将线段AB平移至AB,的位置，则的值是 B1(a,2) B(0,1) A(3,b) A(2,0) 7.(24-25八下山西忻州期末)如图，在平面直角坐标系中，第一象限有一点A,将点A竖直向下平移3个 单位长度得到点，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为B,C.若A'B=5,AC=2,则点A的 坐标为 ·A C 8.(24-25八下山西忻州繁峙期末)如图，在平面直角坐标系中，一动点自点A(-1,0)处向上平移1个单位 2/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 长度至点A,(-1,1处，然后向右平移2个单位长度至点A1,1)处，再向下平移3个单位长度至点A1,-2)处， 再向左平移4个单位长度至点A4-3,-2)处..按此规律平移下去，若这点平移到点A2s处时，则点A25的 坐标是 As A A Ao 三、解答题 9.(24-25八下山西忻州期末)如图，ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,4)、B(-5,1、C(-1,1). A B (1)画出ABC关于y轴对称的△AB,C,; (2)直接写出A、B、C三点的坐标： (3)已知点D是x轴正半轴上的一点，在第一象限内的一点E坐标为1，a,且LD0E=LC,则a的值为· 10.(24-25八下山西析州繁峙期末)在平面直角坐标系中，点P的坐标为(2m-6,m+2). (I)若将点P向下平移6个单位得到点Q,此时P,Q两点关于x轴对称，求点P的坐标.。 (2)若点P在第二象限，且点P到x轴和y轴的距离之和为6，求m的值. 目目 考点02 平移的作图与几何变换综合题 解答题 3/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(24-25八下山西晋中灵石县期末)如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为A2,-1), B(4,3),C(1,2).将ABC先向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到△A,B,C. 4 3 -5-4-3-2-10 7345 2 -3 5 (1)请在图中画出△AB,C,; (2)写出平移后的△AB,C三个顶点的坐标： (3)求ABC的面积. 2.(24-25八下山西晋中左权县期末)如图，在边长为1的小正方形网格中建立平面直角坐标系，己知 ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）. 1---1--- (1)画出ABC关于x轴对称的图形△A,B,C,并写出点A、B的坐标 (2)将ABC向右平移5个单位，画出平移后的△4，B,C2; (3)已知P为y轴上一动点，当AP+CP取最小值时，此时点P的坐标是 3.(24-25八下山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，己知点A(3,3), B(1,2) 4/14 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 3 2 1 -4-3-2-10 1234x 2 3 (1)在直角坐标系中描出点A,B,并连结AB (2)把线段AB先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到线段A'B(点A,B的对应点分别 为点A,B). ①作出平移后的线段A'B. ②分别写出点A,B的坐标 4.(24-25八下山西晋中榆次区期末)如图，在平面直角坐标系中，A(3,4),B(4,2),C(1,1. 5 4-3-210 12345x -----=4 (1)画出ABC关于y轴的对称图形△AB,C,; (2)画出△AB,C,沿y轴向下平移5个单位长度后得到的△A,B,C2; (3)若线段BC上有一点M(a,b经过上述两次变换，则对应的点M'的坐标是 5.(24-25八下山西太原·期末)如图，在边长为1的小正方形网格中建立平面直角坐标系，已知A-2,0). 5/14 学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 2 A -4-3-2-1Q 12.3.4x 2 3 ---1----- 4 (1)将点A向右平移5个单位得到点B,再将点B向上平移3个单位得到点C,写出点B,C的坐标并画出 ABC. (2)若点P在y轴上，以A,B,P三点为顶点的三角形的面积等于ABC的面积，求点P的坐标. 6.(24-25八下·山西运城期末)图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点， ABC的三个顶点都在格点上.（提醒：每个小正方形边长为1） B 图1 图2 图3 (I)在图1中，将ABC平移到aDEF,使点A与点D对应： (2)在图2中，作出一个与ABC关于直线BC成轴对称的格点三角形△BCG; (3)在图3中，作出四边形ABCH,使四边形ABCH为轴对称图形 7.(24-25八下·山西忻州期末)在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标为A(-2,1、B(-1,3)、C(1,2). Y B A -1O -2 3 -14 5 (1)画出ABC关于x轴对称的△A,B,C,并写出A、B、C的坐标； (2)将ABC向下平移3个单位，再向右平移4个单位得到△4，B,C2,画出△4B,C2,并写出4的坐标 6/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点03 图形的旋转 一、选择题 1.(24-25八下·山西析州期末)如图，ABC中，∠ABC=108°，在AC边的同侧作等边三角形△ABD, △ACE,BCF,连接DE,EF,以下结论中正确的有() ①四边形BDEF是平行四边形； ②∠ADE=108°： ③BF=DE; ④△EFC可以看成是ABC绕点C顺时针旋转60°得到的. E A.②③ B.①②④ C.①②③④ D.②③④ 2.(24-25八下·山西大同·期末)如图，在边长为6的正方形ABCD内作LEAF=45°，AE交BC于点E,AF 交CD于点F,连接EF,将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.若DF=3,则BE的长为() A B E A.2 B. 3-2 C.1 D. 3.(24-25八下山西大同阳高县·期末)如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点A到y轴的距离为 4,0A=5,点C为x轴上一点，且0C=AC,将△A0C绕点0顺时针旋转，每秒旋转45°，则第9秒时点 C的坐标为() 7/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 25V2252 25√2 2525 A 1616 B 16 0 D 8’8 4.(24-25八下·山西大同灵丘县·期末)风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得 到更好地利用.如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成120°角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水 平方向为x轴建立平面直角坐标系，如图2所示.己知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为A(4,3),在 一段时间内，叶片每秒绕原点0顺时针转动90°，则第2025秒时，点A的对应点A2s的坐标为() 图1 图2 A.4,3 B.（4,-3) C.(3,-4) D.-3,-4 5.(24-25八下山西运城期末)如图，在ABC中，顶点A在x轴的负半轴上，B(02,C(V5,2,AB=BC ,将ABC绕点A逆时针旋转，每秒旋转90°，则第2025秒旋转结束时，点B的坐标为() B A.（-2,-2 B.(1,-1 C.（-3,1 D.(0,2 二、解答题 6.(24-25八下·山西长治期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将ABC绕点C顺时针旋转得到 △DEC,点B的对应点为E,点A的对应点D落在线段AB上，DE与BC相交于点F,连接BE, (I)求证：DC平分∠ADE; 8/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (2)若∠A=70°，求∠DEB的度数. 7.(24-25八下山西晋中期末)综合与实践 在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在ABC中，AB=AC,点D在平面 内，连接AD并将线段AD绕点A逆时针旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AE,连接CE. B B D 图① 图② 图③ (1)初步探究 如图①，点D是BC边上任意一点，则线段BD和线段CE的数量关系是_； (2)类比探究 如图②，点D是平面内任意一点，(1)中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明 理由.请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明)； (3)延伸探究 如图③，在ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=8,D是线段BC边上的任意一点，连接AD,将 线段AD绕点A逆时针旋转60°，得到线段AE,连接CE,请直接写出线段CE长度的最小值. 目目 考点04 线段问题（旋转综合题） 一、选择题 1.(24-25八下山西吕梁期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，直线y=-x+4与坐标轴交于A,B两 点，OC1AB于点C,P是线段OC上的一个动点，连接AP,将线段AP绕点A逆时针旋转45°， 得到线段AP',连接CP',则线段CP'的最小值为() 9/14 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 B A.2√2 B.2√2-2 C.2 D.√2-1 2.(24-25八下·山西朔州怀仁期末)如图，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4√6，D为ABC内一点， ∠BAD=I5°，AD=6,连接BD,将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点 为点E,连接DE,DE交AC于点F,则CF的长为() D C A.2√6 B.25 C.25 D.2√2 3.(24-25八下山西运城稷山县·期末)在ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,点E,F在AB边上， ∠ECF=45°.若AE=10,EF=15,则BF的长为() E A.9 B.5√5 C.10 D.10W2 二、填空题 4.(24-25八下山西晋中介休期末)如图，边长为8的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动 点，连接MB,将线段BM绕点B逆时针旋转6O°得到BN,连接HN.则在点M运动过程中，线段HN长 度的最小值是 10/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M A H 5.(24-25八下·山西运城盐湖区期末)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4√5，BC=3,如图所示.如果将△ ABC绕点C顺时针旋转6O°得到△DEC,其中点A、B的对应点分别为点D、E,联结BD,那么BD的长等 于 A D C H 6.(24-25八下山西晋中榆次区·期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4,点D在线段BC 上，BD=3√2，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE,EF⊥AC,垂足为点F.则AF的长为 A B D 目目 考点05 面积、角度等问题（旋转综合题） 一、选择题 1.(24-25八下·山西晋中太谷县期末)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,BC=3,点D是斜边上任 意一点，将点D绕点C逆时针旋转60得到点E,则线段DE长度的最小值为() 11/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 号 B. D.3 2.(24-25八下山西晋中期末)如图，将ABC绕点A顺时针旋转120°得到△AB'C',若点C,B,C共线，则 ∠B'C'C的度数为() A.60° B.459 C.30° D.15° 3.(24-25八下山西吕梁平遥县·期末)如图，ABC中，AB=4,BC=6,∠B=60°，将ABC沿射线BC的方 向平移，得到△A'B'C',再将△A'B'C'绕点逆时针旋转一定角度后，点B恰好与点C重合，则平移的距离 和旋转角的度数分别为() B C A.4,60° B.2,60° C.2,30° D.3,609 4.(24-25八下·山西晋城期末)如图，在△ABC中，AB=AC,若M是BC边上任意一点，将△4BM绕点A逆 时针旋转得到△ACN,点M的对应点为点N,连接MN,则在下列结论中：①AB=AN,②AB∥NC;③ ∠AMN=∠ACN,④MN⊥AC,一定正确的是() B A.①③ B.③ C.①③④ D.①②③④ 二、填空题 5.(24-25八下·山西忻州期末)如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD=CD,∠BDC=120°，以点D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则△AMN的周长是 12/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 6.(24-25八下山西大同期末)【素材】关于等式有以下基本事实：如果a=b,那么b=a.根据等式的这 个基本事实和乘法分配律可以得到：ab+ac=a(b+c. 【问题】一副三角尺如图1水平放置，C、B和E三点在同一条直线PQ上，三角尺BED绕着B点以每秒 5 度逆时针旋转，三角尺ACB绕着B点以每秒 二度逆时针旋转，两块三角板同时开始旋转（如图2，当正 ∠ABD 和DB第一次重合时，三角板停止旋转，在旋转过程中（不考虑AB和DB重合情况）， ∠CBQ D 图1 图2 三、解答题 7.(24-25八下·山西大同期末)已知ABC中，∠ACB=90°，AB=25,BC=20,将ABC绕着点C顺时针旋 转，得到aMNC. 图1 图2 (I)如图1，当点M落在AB边上时，求线段BM的长； 13/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图2，当ABC绕着点C顺时针旋转到△MNC的位置时，连接AM,AN,BM,BN. ①判断线段AM与BN的位置关系并说明理由； ②求AN2+BM2的值； ③在ABC的旋转过程中，直接写出△ACN的面积与△BCM的面积之和的最大值为 8.(24-25八下山西太原期末)己知：如图，点C为直线MN上的一点，点B为直线MN外一点，将线段CB 绕点C顺时针旋转60°后得CA,连接AB,过点A作AF⊥BC,垂足为点F,∠FAC的平分线交BC于点P ,交∠BCM的平分线于点E,连接BE. B E M N M C N M N 备用图 备用图 (1)当BC⊥MN, ①求∠AEC的度数； ②证明AE=CE+EB, (2)将ABC绕点C旋转，当△EPC为等腰三角形时，直接写出∠AEC的度数 14/14 重难点02 图形的平移与旋转 5大高频考点概览 考点01坐标系中的平移 考点02平移的作图与几何变换综合题 考点03图形的旋转 考点04线段问题（旋转综合题） 考点05面积、角度等问题（旋转综合题） 地 城 考点01 坐标系中的平移 1、 选择题 1．(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校·期末)如图，已知正方形，顶点，，．规定“把正方形先沿轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2022次变换后，正方形的对角线交点的坐标变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查翻折变换，坐标与图形变化对称，坐标与图形变化平移．由题目规定“把正方形先沿轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，得到正方形连续经过2022次变换后，横坐标是，翻折偶数次后纵坐标是2，即可得到变换后的的坐标． 【详解】解：由题意知正方形的边长是2，是正方形对角线的交点，可得的坐标是， 正方形连续经过2022次变换后，向左平移2022个单位长度， 正方形连续经过2022次变换后，横坐标是， 翻折一次后纵坐标是，翻折二次后纵坐标是2，翻折三次后纵坐标是，翻折四次后纵坐标是2， 翻折偶数次后纵坐标是2， 正方形连续经过2022次变换后，纵坐标是2， 连续经过2022次变换后，正方形的对角线交点的坐标变为． 故选：A． 2．(24-25八下·山西晋中榆次区·期末)如图，已知，，顶点），规定“把先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2024次变换后，的对角线交点M的坐标变为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查图形变换规律问题，解题的关键在于熟练掌握平移与关于坐标轴对称的点的坐标特征． 先求得M点坐标，再根据题意列出经过变换后M点的坐标，然后发现规律即可得解． 【详解】解：∵中，点是对角线交点，且，， ∴，即 经过1次变换后M点的坐标为， 经过2次变换后M点的坐标为， 经过3次变换后M点的坐标为， …， 经过n次变换后M点的坐标为， 则时，M点的坐标为，即． 故选：B． 3．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段平移得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查坐标与图形变化—平移，掌握点的坐标的平移规律“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”是解题的关键． 由点平移后对应点知，线段向右平移2个单位，向下平移2个单位得到线段，据此即可解答． 【详解】解：∵点平移后对应点， ∴线段向右平移2个单位，向下平移2个单位得到线段， ∵， ∴，即． 故选:A． 4．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的平移变换，注意左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．直接利用点的平移变化规律求解即可． 【详解】解：∵点横坐标从到，说明是向右移动了，纵坐标从2到，说明是向下移动了， 故线段是由线段经过向右移动4个单位，向下移动5个单位得到的， ∵点B的对应点的坐标为， ∴点的坐标为，即． 故选：A． 2、 填空题 5．(24-25八下·山西晋中太谷县·期末)如图，点、点在轴上，将沿轴负方向平移，平移后的图形为，且点的坐标为，且，则点的坐标______． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变换-平移、二次根式的性质，熟练掌握图形变换过程中点的坐标特征是解答的关键．根据二次根式的被开方数是非负数求出a、b值，根据平移的性质即可得出点E坐标． 【详解】解： ， ∴， ∴， ， 则， 点的坐标为， 点的坐标为， 点在轴上，点的坐标为， 点向左平移了3个单位长度， 向左平移3个单位得到 点的坐标为：， 故答案为：． 6．(24-25八下·山西运城期末)如图，点，，若将线段平移至的位置，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的知识、有理数的乘方、代数式求值，解决本题的关键是根据点、的横坐标与纵坐标的变化得到线段平移的方向和距离，根据平移的方向和距离得到、的值．点的纵坐标由变为，可知线段向上平移了个单位长度，所以可得，点的横坐标由变为，线段向右平移了个单位长度，所以可得，把和代入计算即可． 【详解】解：将线段平移至的位置， 点的纵坐标由变为， 线段向上平移了个单位长度， ， 点的横坐标由变为， 线段向右平移了个单位长度， ， ． 故答案为： ． 7．(24-25八下·山西忻州·期末)如图，在平面直角坐标系中，第一象限有一点，将点竖直向下平移个单位长度得到点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为，．若，，则点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题考查了平移变换以及点的坐标，熟练掌握平移变换是解题的关键． 根据题意得出，进而根据平移得出点的坐标，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵第一象限有一点，将点竖直向下平移个单位长度得到点， ∴， 故答案为：． 8．(24-25八下·山西忻州繁峙·期末)如图，在平面直角坐标系中，一动点自点处向上平移1个单位长度至点处，然后向右平移2个单位长度至点处，再向下平移3个单位长度至点处，再向左平移4个单位长度至点处……按此规律平移下去，若这点平移到点处时，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，坐标与图形变化—平移，根据题意可求出的坐标，进而可得点的横坐标为，纵坐标为，再根据即可得到答案． 【详解】解：由题意得，是向上平移5个单位长度得到的， ∴的坐标为，即， 是向右平移6个单位长度得到的， ∴的坐标为，即， 是向下平移7个单位长度得到的， ∴的坐标为，即， 是向左平移8个单位长度得到的， ∴的坐标为，即， 是向上平移9个单位长度得到的， ∴的坐标为，即 ……， 以此类推可知，点的横坐标为，纵坐标为， ∵， ∴点的坐标是，即， 故答案为：． 3、 解答题 9．(24-25八下·山西忻州·期末)如图，的三个顶点的坐标分别为、、． (1)画出关于轴对称的； (2)直接写出、、三点的坐标； (3)已知点是轴正半轴上的一点，在第一象限内的一点坐标为，且，则的值为_____． 【答案】(1)图见解析 (2)，，． (3)． 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）根据点所在的位置，写出点的坐标即可； （3）利用平移思想作出，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由图可知：，，． （3）解：如图，，轴， ∴， ∵对称， ∴， ∴； 由图可知：， 故； 10．(24-25八下·山西忻州繁峙·期末)在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若将点向下平移6个单位得到点，此时，两点关于轴对称，求点的坐标． (2)若点在第二象限，且点到轴和轴的距离之和为6，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标的平移，关于轴对称的点的坐标特点，点到对称轴的距离，平面直角坐标系中点的坐标特征． （1）根据点的平移规律求出点的坐标，进而根据关于轴对称的点的坐标特点列方程求解即可； （2）根据点在第二象限得到点到轴和轴的距离，进而列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵将点向下平移6个单位得到点， ∴点的坐标为， ∵，两点关于轴对称， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； （2）解：∵点在第二象限， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∵点到轴和轴的距离之和为6， ∴， 解得：． 地 城 考点02 平移的作图与几何变换综合题 一、解答题 1．(24-25八下·山西晋中灵石县·期末)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．将先向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到． (1)请在图中画出； (2)写出平移后的三个顶点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)5 【分析】（1）根据平移，确定变化后的坐标，描点画图即可； （2）根据平移规律确定点的坐标即可． （3）利用分割法计算面积即可． 本题考查了坐标平移，画图，分割法计算面积，熟练掌握平移和作图是解题的关键． 【详解】（1）解：，．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到．故，，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据（1）解答，得，． （3）解：根据题意，得得面积为： ． 2．(24-25八下·山西晋中左权县·期末)如图，在边长为1的小正方形网格中建立平面直角坐标系，已知是格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）． (1)画出关于轴对称的图形，并写出点、的坐标_______，_______； (2)将向右平移5个单位，画出平移后的； (3)已知P为y轴上一动点，当取最小值时，此时点P的坐标是_______． 【答案】(1)见解析， ， (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出关于轴对称的图形，并根据图形写出、的坐标； （2）根据平移的特点作图即可； （3）根据对称的性质解答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ， （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 则， 此时，取最小值， 则点即为所求． 3．(24-25八下·山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点，． (1)在直角坐标系中描出点，，并连结． (2)把线段先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到线段（点，的对应点分别为点，）． ①作出平移后的线段． ②分别写出点，的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)①图见解析；②点的坐标为，点的坐标为 【分析】本题考查直角坐标系的点的坐标，以及线段的平移等知识点，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据题意，作点及线段即可； （2）①根据题意，对线段进行平移即可；②根据平移后的图象，直接得出点，的坐标即可． 【详解】（1）解：下图中点、，及线段即为所作： （2）解：①下图中线段即为所作： ②点的坐标为，点的坐标为． 4．(24-25八下·山西晋中榆次区·期末)如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)画出关于y轴的对称图形； (2)画出沿y轴向下平移5个单位长度后得到的； (3)若线段上有一点经过上述两次变换，则对应的点的坐标是________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查作图—轴对称变换和平移变换，掌握轴对称变换和平移变换的性质是解题的关键． （1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）将的三个顶点分别向下平移5个单位长度，再首尾顺次连接即可； （3）根据轴对称和平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，即为所求： （3）解：点经过第一次变换后的坐标为：， 再经过第二次变换后的坐标为：， ∴点的坐标是． 故答案为：． 5．(24-25八下·山西太原·期末)如图，在边长为1的小正方形网格中建立平面直角坐标系，已知． (1)将点向右平移5个单位得到点，再将点向上平移3个单位得到点，写出点B，C的坐标并画出． (2)若点在轴上，以A，B，P三点为顶点的三角形的面积等于的面积，求点的坐标． 【答案】(1)，，图见解析 (2) 【分析】本题考查坐标与平移，坐标与图形，熟练掌握平移的性质，是解题的关键： （1）根据平移规则，写出的坐标，进而画出即可； （2）设，根据三角形的面积公式，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，点，即，点， ∴， 画出如图所示： （2）解：设， ∵，，， ∴， ∵以A，B，P三点为顶点的三角形的面积等于的面积， ∴， ∴， ∴． 6．(24-25八下·山西运城·期末)图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都在格点上．（提醒：每个小正方形边长为1） (1)在图1中，将平移到，使点与点对应； (2)在图2中，作出一个与关于直线成轴对称的格点三角形； (3)在图3中，作出四边形，使四边形为轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平移作图，轴对称作图；掌握平移作图及轴对称作图的作法是解题的关键． （1）将向右平移，再向下平移，作出图形，即可求解； （2）利用轴对称的性质，作出关于直线的对称点，即可求解； （3）以直线为对称轴，作出关于直线的对称点，即可求解． 【详解】（1）解：如图， 为所求作图形； （2）解：如图， 为所求作图形； （3）解：如图， 四边形为所求作图形． 7．(24-25八下·山西忻州·期末)在平面直角坐标系中，的顶点坐标为、、． (1)画出关于x轴对称的，并写出、、的坐标； (2)将向下平移3个单位，再向右平移4个单位得到，画出，并写出的坐标． 【答案】(1)见详解；，， (2)见详解， 【分析】本题主要考查了作轴对称图形以及平移作图．掌握平移和轴对称的性质是解题的关键． （1）先写出、、的坐标，然后顺次连接即可． （2）根据平移的性质作图，再写出的坐标即可． 【详解】（1）解：∵、、， ∴关于x轴对称的点的坐标分别为：，，． 如图所示：即为所求． （2）解：如图所示：即为所求，． 地 城 考点03 图形的旋转 一、选择题 1．(24-25八下·山西忻州·期末)如图，中，，在边的同侧作等边三角形，，，连接．以下结论中正确的有（    ） ①四边形是平行四边形； ②； ③； ④可以看成是绕点C顺时针旋转得到的． A．②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定以及旋转等知识，分别证明和可得，由等边三角形的性质得，得四边形是平行四边形；；可以看成是绕点C顺时针旋转得到的，故可得结论． 【详解】解：∵，，是等边三角形， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴，，故②正确； ∴，故③正确； 同理可证， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵，且， ∴可以看成是绕点C顺时针旋转得到的，故④正确； ∴正确的结论是①②③④， 故选：C． 2．(24-25八下·山西大同·期末)如图，在边长为6的正方形ABCD内作，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将绕点A顺时针旋转90°得到．若，则BE的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质可知，△ADF≌△ABG，然后即可得到DF=BG，∠DAF=∠BAG，然后根据题目中的条件，可以得到△EAG≌△EAF，再根据DF=3，AB=6和勾股定理，可以求出BE的长． 【详解】解：由题意可得， △ADF≌△ABG， ∴DF=BG，∠DAF=∠BAG， ∵∠DAB=90°，∠EAF=45°， ∴∠DAF+∠EAB=45°， ∴∠BAG+∠EAB=45°， ∴∠EAF=∠EAG， 在△EAG和△EAF中， ， ∴△EAG≌△EAF(SAS)， ∴GE=FE， 设BE=x，则GE=BG+BE=3+x，CE=6−x， ∴EF=3+x， ∵CD=6，DF=3， ∴CF=3， ∵∠C=90°， ∴(6−x)2+32=(3+x)2， 解得，x=2， 即BE=2. 故选A.. 3．(24-25八下·山西大同阳高县·期末)如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点到轴的距离为4，，点为轴上一点，且．将绕点顺时针旋转，每秒旋转，则第79秒时点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，勾股定理，根据题意利用勾股定理求得的长，再根据题意得到点的坐标每8次一循环，求出此时点的坐标即可解决问题．能根据题意发现点的坐标每8次一循环是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作交于点， ，点到轴的距离为4， ， 根据勾股定理可得， 设，则， 根据勾股定理可得， 即， 解得， ， 根据将绕点顺时针旋转，每秒旋转， 当时间为第1秒时，如图，过点作交于点， ， 此时， 则， ， 当时间为第2秒时，点落在轴负半轴上，则， 当时间为第3秒时，同第1秒原理，可得， 当时间为第4秒时，点落在轴负半轴上，可得， 当时间为第5秒时，同第1秒原理，可得， 当时间为第6秒时，点落在轴正半轴上，可得， 当时间为第7秒时，同第1秒原理，可得， 当时间为第8秒时，点落在轴正半轴上，可得， 点的坐标为8秒一循环， ， 第79秒时点的坐标为， 故选：A 4．(24-25八下·山西大同灵丘县·期末)风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为轴建立平面直角坐标系，如图2所示．已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第2025秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标变化的规律—旋转型，找到A点的坐标循环的规律是解题的关键． 根据旋转的性质分别求出第、、、、…时，点A的对应点、、、、…的坐标，找到规律，A点的坐标以每4秒为一个周期依次循环，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图． ∵，叶片每秒绕原点O顺时针转动， ∴，，，，… ∴A点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ∵ ∴第时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：C． 5．(24-25八下·山西运城·期末)如图，在中，顶点在轴的负半轴上，，，将绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质、勾股定理的应用和全等三角形的判定和性质，找到第2025秒旋转结束时的图形是解决本题的关键． 先求出第2025秒旋转结束时的图形，并画出图象，过作轴的垂线交x轴于点D，证明可得，再运用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴第2025秒旋转结束时，绕点逆时针旋转了，过作轴的垂线交x轴于点D，如下图， 由旋转可得，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 根据题意可得，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选C． 二、解答题 6．(24-25八下·山西长治·期末)如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据旋转的性质得到，，再利用等腰三角形的性质得到，即可得证； （2）先根据三角形内角和定理计算出，，再根据旋转的性质得到，，，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴的度数为． 7．(24-25八下·山西晋中·期末)综合与实践 在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接． (1)初步探究 如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ； (2)类比探究 如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）； (3)延伸探究 如图③，在中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)4 【分析】（1）旋转的性质得到，，进而得到，证明，即可得出结论； （2）同法（1）即可得证； （3）延长至点，使，连接，作，根据含30度角的直角三角形的性质，推出，证明，得到，进而得到点的运动轨迹，根据垂线段最短结合含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵旋转， ∴，， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）成立，理由如下： ∵旋转， ∴，， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； （3）解：延长至点，使，连接，作，则：， ∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，的长最短，为的长， ∵， ∴； 故的最小值为4． 地 城 考点04 线段问题（旋转综合题） 一、选择题 1．(24-25八下·山西吕梁·期末)如图，在平面直角坐标系 中，直线 与坐标轴交于 两点， 于点 是线段 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由点的运动确定的运动轨迹是与轴垂直的一段线段 ，当线段与垂直时，线段的值最小； 【详解】解：将绕点 逆时针旋转 得到 ，则点 在线段上；如图： 两点是直线与坐标轴的交点 ∴ ∴ 是等腰直角三角形 ∵ ∴ ， ， 所在的直线为： 的最小值为点到的距离： 故选：B． 2．(24-25八下·山西朔州怀仁·期末)如图，在中，，，D为内一点，，，连接BD，将绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点A作AG⊥DE于G，根据旋转的性质得∠CAE=∠BAD=15°，AE=AD=6，∠DAE=∠BAC=90°，从而得△ADE是等腰直角三角形，即可求得∠AED=45°，DE=，从而得出∠AFG=∠CAE+∠AED=15°+45°=60°，再因为AG⊥DE，根据等腰直角三角形的性质得到∠GAF=30°，AG=GE=，然后在Rt△AGF中，由勾股定理，得，从而求得AF=，即可由CF=AC-AF求解． 【详解】解：如图，过点A作AG⊥DE于G， 由旋转可得：∠CAE=∠BAD=15°，AE=AD=6，∠DAE=∠BAC=90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴∠AED=45°，DE=， ∴∠AFG=∠CAE+∠AED=15°+45°=60°， ∵AG⊥DE， ∴DG=GE，∠GAF=30°， ∴AG=GE=，FG=， 在Rt△AGF中，由勾股定理，得 ，即， 解得：AF=, ∴CF=AC-AF=， 故选：A． 3．(24-25八下·山西运城稷山县·期末)在中，，，点在边上，．若，，则的长为（    ） A．9 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】解题的核心思路是旋转构造．将绕点顺时针旋转至，连接、．首先利用证明，从而得到，并推导出．再证明，得到．这样，在中，由勾股定理得，即．最后代入已知数值，即可求出的长度． 【详解】解：如图， 将绕点顺时针旋转得到，连接． 由旋转可知，，且． ∴． 在与中， ∵，，， ∴． ∴，． ∵中，，， ∴． ∴． ∴． 在中，由勾股定理得：． 又∵， ∴． 在与中， ∵，，， ∴． ∴． ∴，即． 已知，， 代入得：． 解得：． 故选：B． 二、填空题 4．(24-25八下·山西晋中介休·期末)如图，边长为8的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是_______． 【答案】2 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，作辅助线构造全等三角形是解题关键．取的中点，连接，根据等边三角形的性质和旋转的性质，可证，得到，由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时有最小值，再结合30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 等边三角形的边长为8， ， ， ，， 是的中点， ， ， 线段绕点B逆时针旋转得到， ，， ， ，即， 在和中， ， ， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时有最小值， ，， ， 线段长度的最小值是2， 故答案为：2． 5．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，如图所示. 如果将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，其中点A、B的对应点分别为点D、E，联结BD，那么BD的长等于_______________. 【答案】； 【分析】过D作DH⊥BC交BC延长线于H，根据旋转的性质，可得CD=AC，并可求出∠DCH=30°，再在Rt△CDH中求出CH、DH，则可得BH，利用勾股定理即可求得BD． 【详解】解：如图，过D作DH⊥BC交BC延长线于H， 依题可知∠BCE=60°，∠ACB=90°=∠DCE， ∴∠ACE=∠ACB-∠BCE=30°， ∵∠ACH=∠ACB=90°=∠DCE， ∴∠ACD＝∠DCE-∠ACE=60°， ∴∠DCH＝∠ACH-∠ACD=30°， ∵根据旋转的性质，CD=AC=， ∴在Rt△DCH中，DH=CD=， 则CH=DH=6， ∴BH=BC+CH=3+6=9， ∴BD=＝． 故答案为：． 6．(24-25八下·山西晋中榆次区·期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D在线段BC上，BD＝3，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，EF⊥AC，垂足为点F．则AF的长为________． 【答案】1 【分析】根据勾股定理先求出BC边长，再求出DC长，过点D作DM垂直AC，可证，即AF=DM，在等腰直角△DMC中可求DM，即可直接求解． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4， 根据勾股定理得，AB2+AC2=BC2， ∴． 又∵BD=3， ∴DC＝BC−BD＝． 过点D作DM⊥AC于点M， 由旋转的性质得∠DAE=90°，AD＝AE， ∴∠DAC+∠EAF=90°． 又∵∠DAC+∠ADM=90°， ∴∠ADM=∠EAF． 在Rt△ADM和Rt△EAF中，． ∴（AAS）， ∴AF=DM． 在等腰Rt△DMC中，由勾股定理得， DM2+MC2=DC2， ∴DM=1， ∴AF=DM=1． 故答案为：1． 地 城 考点05 面积、角度等问题（旋转综合题） 一、选择题 1．(24-25八下·山西晋中太谷县·期末)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D是斜边上任意一点，将点D绕点C逆时针旋转60°得到点E，则线段DE长度的最小值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】由旋转的性质可证△CDE为等边三角形，当DE最短，CD最短，CD⊥AB时，CD最短，由直角三角形等面积法，即可求得． 【详解】解：由旋转的性质得，CD＝CE，∠DCE＝60°， ∴△CDE为等边三角形， ∴CD＝CE＝DE， 当DE最短，CD最短， 当CD⊥AB时，CD最短， 此时S△ABC＝AC•BC＝AB•CD， 即AC•BC＝AB•CD， 在Rt△ABC中，∠ACD＝90°，AB＝5，BC＝3， 由勾股定理得，AC＝4， ∴3×4＝5CD， ∴CD＝， ∴线段DE长度的最小值是， ∴故选：A． 2．(24-25八下·山西晋中·期末)如图，将绕点顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用旋转的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，且点共线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．(24-25八下·山西吕梁平遥县·期末)如图，中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（    ） A．4， B．2， C．2， D．3， 【答案】B 【分析】利用旋转和平移的性质得出，，，进而得出是等边三角形，即可得出以及的度数． 【详解】解：∵，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，． 故选：B． 4．(24-25八下·山西晋城·期末)如图，在中，，若是边上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，连接，则在下列结论中：①，②；③，④，一定正确的是（　　）    A．①③ B．③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据旋转变换的性质，等边三角形的性质，平行线的性质判断即可． 【详解】解：①， ， 由旋转的性质可知，， ，故本选项结论错误，不符合题意； ②当为等边三角形时，，除此之外，与不平行，故本选项结论错误，不符合题意； ③由旋转的性质可知，，， ，， ， ，本选项结论正确，符合题意； ④只有当点为的中点时，，才有，故本选项结论错误，不符合题意； 故选：B． 二、填空题 5．(24-25八下·山西忻州·期末)如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长是________． 【答案】12 【分析】将△BDM绕点D旋转120°，构造出全等三角形，将MN转为为BM+CN即可 【详解】 将△BDM绕点D旋转120°得到△； ∵△由△BDM旋转所得， ∴DM=，BD=DC，BM=∠=∠BDM； ∵∠BDC＝120°，∠MDN=60°， ∴∠BDM+∠CDN=120°-60°=60°， 故∠+∠CDN=60°，即∠=60°； 在△MDN和△中∶ DM=，∠=∠MDN，DN=DN ∴△MDN≌△； ∴MN=； △AMN的周长=AM+AN+MN =AM+AN+ =AM+AN+CN+ =(AM+)+(AN+CN) =AB+AC； ∵△ABC是边长为6， ∴△AMN的周长=6+6=12． 故答案为：12 6．(24-25八下·山西大同·期末)【素材】关于等式有以下基本事实：如果，那么．根据等式的这个基本事实和乘法分配律可以得到：． 【问题】一副三角尺如图水平放置，、和三点在同一条直线上，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，两块三角板同时开始旋转（如图），当AB和DB第一次重合时，三角板停止旋转，在旋转过程中（不考虑和重合情况），= ___________________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，平角的定义．根据平角的定义得到，设旋转的时间为t妙，根据题意得到，，求得，于是得到结论． 【详解】解：，， ， 三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转， 设旋转的时间为秒， ，， ， ， 故答案为：． 三、解答题 7．(24-25八下·山西大同·期末)已知中，，将绕着点C顺时针旋转，得到． (1)如图1，当点M落在边上时，求线段的长； (2)如图2，当绕着点C顺时针旋转到的位置时，连接． ①判断线段与的位置关系并说明理由； ②求的值； ③在的旋转过程中，直接写出的面积与的面积之和的最大值为________． 【答案】(1)7 (2)①，理由见解析；②；③ 【分析】（1）先利用勾股定理求出的长，过点C作于点D，根据，可得，可得，由旋转的性质得：，从而得到，即可求解； （2）①由旋转的性质得：，从而得到，进而得到，再由，可得，即可解答；②根据勾股定理可得，再由旋转的性质得：，即可求解；③延长至点T，使，过点N作交延长线于点K，连接，结合旋转的性质可得，，从而得到，再证明，可得，从而得到，进而得到当最大时，最大，再由的最大值为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 如图，过点C作于点D， ∴， ∴， 解得：， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： 由旋转的性质得：， ∴ ，即， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴； ③如图，延长至点T，使，过点N作交延长线于点K，连接，如图， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴当最大时，最大， 而的最大值为， ∴的最大值为． 故答案为∶． 8．(24-25八下·山西太原·期末)已知：如图，点为直线上的一点，点为直线外一点，将线段绕点顺时针旋转后得，连接，过点作，垂足为点，的平分线交于点，交的平分线于点，连接． (1)当， ①求的度数； ②证明． (2)将绕点旋转，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2)或或 【分析】（1）①由旋转的性质可得，，则是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由角平分线的定义可得，，根据三角形的内角和定理即可得的度数； ②在上截取，连接，证明，可得，即可得证； （2）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形的性质可得出的度数． 【详解】（1）解：①∵将线段绕点顺时针旋转后得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴的度数为； ②证明：如图，在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵将线段绕点顺时针旋转后得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 当为等腰三角形时，分三种情况： ①当时， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∴； ③当时， ∴； 综上，∠AEC的度数为或或． 1 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $