重难点01 三角形 6大高频考点（期末真题汇编，山西专用北师大版）八年级数学下学期

**基本信息** 初中数学三角形重难点期末试题汇编，涵盖等腰三角形三线合一、含30度角的直角三角形等6大高频考点，精选山西各地期末真题，注重性质应用与综合探究 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|多题|等腰三角形三线合一结合中线与角平分线计算（如考点01第3题）|基础巩固题占比高，直接考查性质判定| |填空题|多题|线段垂直平分线与周长计算（如考点05第6题）|设置动态问题，如动点最小值探究| |解答题|多题|等边三角形手拉手模型证明（如考点03第10题）|分层设计，包含性质证明与拓展探究，贴合期末命题趋势|

重难点01 三角形 6大高频考点概览 考点01等腰三角形三线合一 考点02等腰三角形的性质及判定 考点03含30度角的直角三角形 考点04等边三角形的判定与性质 考点05线段垂直平分线的判定与性质 考点06角平分线的判定与性质 地 城 考点01 等腰三角形三线合一 一、选择题 1．(24-25八下·山西晋中介休·期末)如图，在中，，，点是线段上任意一点，则的长可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，过点A作于，根据等腰三角形的性质求出，再确定的取值范围，再根据勾股定理求出，再根据可得最小值与最大值，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点A作于， ∵，， ∴， ∴，即， 在中，，， 则， ∴在中，， 当点与点重合时，的最小值为， 当点与点或点重合时，有最大值为， ∴的长可能是， 故选：C． 2．(24-25八下·山西晋中太谷县·期末)如图，有一条橡皮筋放置在直线l上，固定两端A和B，然后把中点C竖直向上拉升至点D，若此时橡皮筋的长度比原长伸长了，则橡皮筋原长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理． 根据题意得出为等腰三角形，假设，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知，点为线段的中点，且， ∴，为等腰三角形， ∴， 假设，则， 根据勾股定理得，， 即， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 3．(24-25八下·山西晋中·期末)如图，在中，，、分别是的中线和角平分线．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，熟练掌握相关的定理是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出的度数，再利用角平分线定义即可得出． 【详解】解：∵，是的中线， ∴，， ∴°， ∵是的角平分线， ∴， 故选：B． 4．(24-25八下·山西晋城·期末)如图，在中，，的平分线与交于点F，，垂足分别为F，G，，则的长为（　） A． B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等，证明是解题的关键． 根据平行四边形的性质及角平分线的定义，先证，，再结合，得出，，得出，，进而可得，再利用勾股定理解和 即可． 【详解】解：中，，， ， 即， ， ， ， 平分， ， ， 中，， ，， ，， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 故选C． 5．(24-25八下·山西吕梁·期末)如图，在中，，，且，，则的长是（   ） A．4.8 B．8 C．9.6 D．10 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 根据等腰三角形的性质得，然后在中，由勾股定理即可求出的长，再由，即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选C． 二、填空题 6．(24-25八下·山西阳泉·期末)如图，在中，，点P、A分别位于直线异侧，连接，，，当，时，则的长为__． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，过点作，交的延长线于点，利用已知条件证明，得到，然后分别在，，中利用勾股定理求出，列方程求出，最后求出，通过作辅助线构造直角三角形，将已知条件集中起来是解题的关键． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，如图， 则， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，，， ，， ， 在中， 由勾股定理，得，， 设，则， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得， 在中， 由勾股定理，得． 故答案为：． 7．(24-25八下·山西忻州·期末)如图，在中，点分别在边上，，是的平分线，．给出下面四个结论：①；②；③若，则是等边三角形；④若平分，则．上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键．由等腰三角形三线合一定理可得，据此可判断①；根据等边对等角和三角形内角和定理可推出，进而得到，据此可判断②；若，则可导角证明，据此可判断③；根据现有条件无法证明④的结论． 【详解】解：①∵， ∴是等腰三角形． ∵是的平分线， ∴． 故①符合题意； ②∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故②符合题意； ③∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， 故③符合题意； ④若平分， ∵无法判断是否 ∴无法证明． 故④不符合题意． 综上，符合题意的序号为①②③． 故答案为：①②③． 8．(24-25八下·山西大同·期末)如图，已知在中，，，，为的平分线，是边上一动点（点不与，重合），连接，过点作于点，交射线于点． (1)当点在点的左侧运动时，求证：； (2)若，，则的长为______． 【答案】(1)见解析 (2)1或7 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质与判定定理是解题关键． （1）首先证明，，然后利用“”证明即可； （2）分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，结合求解即可； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵，为的平分线，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：当点在点的左侧时，如下图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当点在点的右侧时，如下图， ∵，，为的平分线， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，的长为1或7； 三、解答题 9．(24-25八下·山西晋中太谷县·期末)如图，在中，，，是的中点．动点、从点出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点、终点．连接、和．设点的运动时间为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若是等腰三角形，直接写出的大小． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和性质，外角性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合等边对等角得，再由线段的中点得，即可证明，故，即可作答． （2）先得出，结合是等腰三角形，进行分类讨论，运用三角形外角性质以及等边对等角进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵是的中点． ∴ ∵动点、从点出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点、终点． ∴， 则， 即， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：连接， ∵，是的中点． ∴， 即， ∵，， ∴， 依题意，当时， 则 ∴； 依题意，当时， 则 ∴； 依题意，当时， 则 ∴（舍去）； 综上：是等腰三角形，则或． 10．(24-25八下·山西长治长子县·期末)如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证为等腰三角形； (2)若，G为中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）作，垂足为点H，证明，结合等腰三角形三线合一的性质可得，继而得到长． 【详解】（1）证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：如图，作，垂足为点H， ∵G为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 地 城 考点02 等腰三角形的性质及判定 一、选择题 1．(24-25八下·山西运城稷山县·期末)如图，在中，，，于D，点E在直线上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识．先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，，再证明是等边三角形，即可得到的度数． 【详解】解：∵，，于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：A 2．(24-25八下·山西阳泉盂县多校联考·期末)如图，在中，，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形判定与性质，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键．根据等腰三角形性质得，进而得，根据得，则，在中，根据得，由此即可得出的长． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：C． 3．(24-25八下·山西晋中太谷县·期末)如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点，与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论中正确的有（   ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法证得，得，从而证得是等腰直角三角形，因此①正确；过点D作于F，利用全等三角形的判定方法证得，得，，因此②正确；设，则，，，从而证得，因此③正确；由，可证得，而点N并不是的中点，因此④错误，据此解题即可． 【详解】解：①， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故①正确； ②由①知，， 过点D作于F， 则， ， ， 点E是的中点， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， 故②正确； ③由，， 设，则， ，， ， 故③正确； ， ， 由①知，，， ， ， 由①知，， ， ， ， ， ， ， ， 故④错误， 综上所述，正确的有3个， 故选：C ． 4．(24-25八下·山西晋中榆次区·期末)如图，在中，的平分线交高于点E，交于点F，连接．下列结论：①；②；③平分；④点E是的中点，其中所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，同角的余角相等， 先根据同角的余角相等解答①；再根据“角角边”证明，解答②即可； 然后根据等边对等角及平行线的性质说明，可解答③；最后根据，说明④即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴；则①正确； ∵， ∴， ∴. ∵平分， ∴. ∵， ∴， ∴；则②正确； ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴平分；则③正确； ∵， ∴. 在中，， ∴， 所以④不正确. 综上所述，正确的有①②③. 故选：C. 二、填空题 5．(24-25八下·山西临汾曲沃县·期末)如图，在中，，，点，，分别在边，，上，连接，，，已知点和点关于直线对称．若，，，则__________________． 【答案】 【分析】 连接，首先根据轴对称的性质，三角形内角和定理和等边对等角得到，然后利用勾股定理即可求出的长度，进而求出的长度即可得到答案． 【详解】如图所示，连接， 点和点关于直线对称， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 由勾股定理得， ， ． 6．(24-25八下·山西晋中灵石县·期末)如图，在等边中，平分分别为上的一点，且，若当时，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，合理作出辅助线是关键． 如图所示，过点作，使，连接，证明，当点三点共线时，取最小值，可证是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，平分， ∴，， 如图所示，过点作，使，连接， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，取最小值， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： ． 7．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)在中，是边上的高，，是边上一点，是的中点，连接，，若，，则的长为_______． 【答案】4 【分析】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意易证得，则，设，则及，进而得到、，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，据此列方程求解即可． 【详解】解： 是的外角 设，则 、 是边上的高 在中，由勾股定理得： 在中，由勾股定理得： 解得或（舍去） 故答案为：4． 三、解答题 8．(24-25八下·山西晋中左权县·期末)如图，在中，，是上一点，过点作于，的延长线交延长线于． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解答 (2) 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据垂直定义可得，从而可得，，可得：，然后根据对顶角相等可得，从而可得，然后根据等角对等边可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，，从而可得，最后在中，利用含角的直角三角形的性质可得，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 9．(24-25八下·山西晋中介休·期末)【问题情境】在中，． 【特殊求解】（1）如图①，如果，是中边上的高，并且，则 °，如图②，如果，是中边上的高，并且，则 °； 【探究规律】（2）由（1）猜想：与之间有什么数量关系？请用式子表示： ； 【拓展探究】（3）如图③，如果不是中BC边上的高，但仍有，请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3） ，见解析 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，，根据，计算求解即可； （2）猜想；同理（1）推导即可； （3）由，可得．由，．可得．由，可得．则，进而结论得证． 【详解】（1）解：如图①， ∵，，是中边上的高， ∴，， ∵， ∴， ∴， 如图②，同理可得，，， ∴， 故答案为：；； （2）解：猜想； ∵，是中边上的高， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：仍然成立．理由如下： ∵， ∴． ∵，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 10．(24-25八下·山西晋中平遥县·期末)在中，，点为所在直线上的一个动点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，过点作，交直线于点，连接． 【初步思考】（1）如图，当点在线段上，若，，则的周长是________； （2）若： 【深入探究】如图，当点在线段上时，请判断的形状？并说明理由； 【拓展延伸】当点在的延长线上时，请判断的形状？并说明理由． 【答案】（）；（）为等腰三角形，理由见解析；为等腰三角形，理由见解析． 【分析】（1）先证明，则有，再证明为等边三角形，从而求解； （2）先证明，所以，则，根据平行线的性质可得，所以，从而有，然后通过等腰三角形的判定即可求解； 证明，则有，又，所以，根据平行线性质可得，所以，则，根据等角对等边即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长是， 故答案为：； （2）为等腰三角形， 证明：如图， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； 如图，为等腰三角形， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 地 城 考点03 含30度角的直角三角形 一、选择题 1．(24-25八下·山西吕梁汾阳·期末)如图，等边三角形的边长是，动点M，N分别从A，C两点同时出发，沿，边匀速运动，M，N的运动速度分别是，，当点N到达点B时，M，N两点均停止运动．当是直角三角形时，点M的运动时间的值为（   ） A．2 B．3 C．或2 D．3或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质和判定． 设t秒后，是直角三角形，表示，，可得．分两种情况：若时，根据，列出方程，求出解；同理可得若时，根据，可得方程，求出解即可． 【详解】解：设t秒后，是直角三角形， 则，， ∴． 若时，如图， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 即N到达B点时； 同理可得若时，如图， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 综上可得：当或时，是直角三角形． 故选：D． 2．(24-25八下·山西太原·期末)如图，在中，，，，是边上一点且，点，分别是边，上的动点，则的最小值为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】B 【分析】本题考查了求最短路径．熟练掌握轴对称性质，含30度角的直角三角形的性质，正确构造辅助线是解题的关键． 作点D关于的对称点G，过G作于F交于E，则此时，取得最小值，推出，根据，即可得到结论． 【详解】解：作点D关于的对称点G， 则， ∴， 过G作于F交于E， 当三点共线，且时，取得最小值， 此时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为2.5， 故选：B．    3．(24-25八下·山西阳泉盂县多校联考·期末)如图，直线，将直角三角板按如图所示的方式放置，顶点A，C分别落在直线a，b上，，，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．先求出的度数，再由平行线的性质求出的度数，根据平角的定义即可得出结论． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∵直线， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．(24-25八下·山西朔州右玉县右玉教育集团初中部期末考试·期末)如图， 已知，点，，…在射线上，点，，…在射线上，，，…均为等边三角形，若，则的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的外角性质，等腰三角形的判定及其性质，总结出规律是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，得到，根据等腰三角形的判定定理得到，然后找到规律即可得解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ……， ∴的边长为． 故选：A． 5．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)如图，是一张顶角为的三角形纸片，，，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和含有角的直角三角形的特征，可求得，，，，据此即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴． 根据图形折叠的性质可知，， ∴． ∴． ∴． 故选：D 二、填空题 6．(24-25八下·山西朔州怀仁·期末)如图，点P是等边三角形边上一点，于点M，于点N，若，，则______． 【答案】4 【分析】先利用等边三角形的性质可得：，，再根据垂直定义可得：，从而可得，然后分别在和中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，，从而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：是等边三角形， ，， ，， ， ，， ，， ，， ， ． 7．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)如图，梯形中，，，，若该梯形的中位线长为3，则_________． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，过点作于点，根据中位线的长得到，根据角的直角三角形得到，根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：过点作交的延长线于点， 四边形是平行四边形， ∴ 梯形的中位线长为3， ， ， ， 在梯形中，， ， 过点作于点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 8．(24-25八下·山西大同阳高县·期末)如图，是等边三角形，，点在上，，直线，垂足为，分别是边，直线上的动点，则的最小值是____． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，30度角的性质，勾股定理，等边三角形的性质． 作D关于直线的对称点G，连接，则，根据直线得到G、B、D、C在一条直线上，，根据轴对称的性质得到，由垂线段最短可知当时，有最小值，根据等边三角形的性质得到，即，根据30度角的性质得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，作D关于直线的对称点G，连接，则， ∵直线， ∴， ∴， 即G、B、D、C在一条直线上， ∴， ∵G、D关于直线对称， ∴， 由垂线段最短可知当时，有最小值． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 即的最小值是． 故答案为：． 三、解答题 9．(24-25八下·山西忻州繁峙县·期末)已知：如图，在中，，，，是边上的高，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质与勾股定理，灵活运用含角的直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．先在中，利用求出和的长度，再在中用勾股定理求出的长度，进而求出的长． 【详解】解：是边上的高， ， 在中，，， ， ，， 在中，， ． 10．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)合与实践 【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图1，已知和都是等边三角形，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，已知和都是等边三角形，将绕点A旋转一定的角度．当点D在的延长线上时，求证：； 【类比探究】 （3）如图3，已知和都是等边三角形．当点D在射线上时，过点E作于点F．直接写出线段，与之间存在的数量关系． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，从而得出，再证明，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，，，从而得出，再证明，得出，即可得证； （3）由等边三角形的性质可得，，，从而得出，再证明，得出，，再由，得出，求出，由直角三角形的性质可得，即可得解． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 地 城 考点04 等边三角形的判定及性质 一、选择题 1．(24-25八下·山西运城·期末)如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的周长为（   ） A．12 B．15 C．18 D．19 【答案】C 【分析】本题考查折叠性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握折叠性质，证明是等边三角形是解答的关键．先根据平行四边形的性质得，，再由折叠性质得，，，证明是等边三角形即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， 由折叠性质得，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为， 故答案为：C． 2．(24-25八下·山西忻州·期末)如图，点P在内，点P关于、的对称点分别为E、F，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．连接、．根据轴对称的性质，证明是等边三角形，可得结论． 【详解】解：如图，连接、． ∵点P关于、的对称点分别为E、F， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 3．(24-25八下·山西大同·期末)如图，如图，在平行四边形中，，，平分，对角线、相交于点，连接，下列结论中正确的有　　 ①；②；③；④． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，，，，进而推出是等边三角形，再证明，得出，即可判断①正确；根据，，可判断②正确；根据，，可判断③正确；根据，，，可判断④不正确． 【详解】解：在平行四边形中，， ，，，， 平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ，故①正确； ，， ，即，故②正确； ，， ，故③正确； ，，， ，故④不正确； 正确的有3个， 故选：B． 4．(24-25八下·山西忻州原平县期末)如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理； ①先根据角平分线和平行线的性质得，则，由有一个角是的等腰三角形是等边三角形得是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得，最后由平行线的性质可作判断；②求出，根据平行四边形的面积公式可作判断： ③先根据三角形中位线定理得，然后求出，即可判断；④利用勾股定理分别求出和，即可求的长，即可判断． 【详解】解：①平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确： ②， ，故②正确； ③， ， ， ， ，故③错误； ④在中，，， ， 在中，， ， ，故④正确； 综上，正确的个数有3个， 故选：C． 二、填空题 5．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)如图，在中，，，点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点在线段上，当的值最小时，则________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、直角三角形的性质，由题意可得，，作点关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得，，从而可得，当、、三点共线且时，的值最小，即此时最小，证明、、三点共线，求出，再由直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴为等边三角形， ∴，， 如图，作点关于的对称点，连接， ， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴当、、三点共线且时，的值最小，即此时最小， ∵， ∴、、三点共线， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)如图，在三角形中，是边上的高，E为边上一点，P为上一个动点，若，则的最小值为______． 【答案】10 【分析】本题考查轴对称求最短距离，等边三角形的判定与性质，先证明三角形是等边三角形，连接、，由等边三角形的性质有，所以的最小值是的最小值，根据垂线段最短，求出时的长即可． 【详解】解：∵，， ∴三角形是等边三角形，即：， 如图，连接、， 是等边三角形，， ∴， ， ，即的最小值就是的最小值， 当时，最小， 此时，，， ， 的最小值是10． 故答案为：10． 7．(24-25八下·山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)如图所示，点，分别为等边的边，上的点，连接，于点，点为延长线上一点，且，连接交于点，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，过作的平行线交于点，所以，又是等边三角形，得，，，然后证明，故有，因为，是等边三角形，所以，，设，则，，最后通过线段的和与差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作的平行线交于点， ∴， ∵是等边三角形， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，是等边三角形， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即， 故答案为：． 三、解答题 8．(24-25八下·山西晋中介休·期末)如图，在中，，，在边上取点D，连接，使．以为一边作等边，且使点E与点B位于直线的同侧，． (1)求的度数； (2)点F在上，连接，，请判断是否是等边三角形，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）结合等边三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，再根据平角定义求解即可； （2）结合（1）求出，再根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”求解即可． 【详解】（1）解：在等边中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形．理由如下： 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 9．(24-25八下·山西晋中太谷县·期末)如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，过点D作交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)30° (2)3 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定及性质、平行线的性质和直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定及性质、平行线的性质、直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键． （1）根据等边三角形的性质可得，然后根据平行线的性质可得，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求出结论； （2）根据直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半可得，根据等边三角形的判定可证是等边三角形，从而即可求出结论． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． ∵，， ∴， ∴． 10．(24-25八下·山西太原·期末)【问题情境】 在等边中，射线平分，交于点O，点E是上一动点，，，连接，． 【探究发现】 （1）如图Ⅰ，若点E在线段上． ①求证：； ②写出与间的数量关系并说明理由； （2）如图Ⅱ，若点E在射线上，（1）中与间的数量关系是否成立？若成立，说明理由；若不成立，写出新的数量关系，并进行证明； 【拓广延伸】 （3）如图Ⅲ，点E，D在射线上，，，连接，求的度数． 【答案】（1）①见解析；②；理由见解析；（2）（1）中与间的数量关系成立，理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）①根据证明即可．②由等边三角形的性质和角平分线的定义可得，由全等三角形的性质可得，进而可得，由此可得． （2）若点E在射线上，（1）中与间的数量关系仍然成立，证法同第（1）小题． （3）先根据证明，则可得，又由，得，由可得，进而可得，． 【详解】（1）①证明：是等边三角形， ，． 又∵， 即． 又， ． ②解：，理由如下： 是等边三角形， ∴， ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∴； （2）解：（1）中与间的数量关系成立，理由如下： 是等边三角形， ，． 又∵， 即． 又， ． 平分， ． ． ． （3）解：在和中， ∴． ． ，， ． ， ． ． ， ． 地 城 考点05 线段垂直平分线的判定与性质 一、选择题 1．(24-25八下·山西晋中太谷县·期末)如图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角和三角形内角和是，掌握了以上知识是解答本题的关键；先根据角平分线得到，再利用三角形内角和可得，根据垂直平分线的性质可得，然后即可求解的度数． 【详解】解：∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； 故选：B 2．(24-25八下·山西晋中太谷县·期末)如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点， ．若，则的长为（   ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】连接交于点O，由题意可证垂直平分，是等边三角形，是等腰三角形可得，易得，再根据线段的和差计算即可． 【详解】解：如图：连接交于点O， ∵，，， ∴垂直平分，是等边三角形，， ∴, ∵， ∴，, ∴是等边三角形，是等腰三角形, ∴， ∴， ∴． 3．(24-25八下·山西运城稷山县·期末)如图，在中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接，以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接，若的周长为，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、尺规作图的原理及等量代换的思想，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等这一性质是解题的关键． 先由作图步骤得出是的垂直平分线及，再利用垂直平分线的性质得到，将的周长转化为，最后通过等量代换求出的长度． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴． ∵以点为圆心，为半径画弧， ∴． ∴． ∵的周长为， ∴． ∴． ∵，且，， ∴． 故选：B． 4．(24-25八下·山西运城闻喜县·期末)如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的定义与性质．由，，得垂直平分，所以，又垂直平分则，，可得，，然后通过的周长为可得，从而得出即可． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 5．(24-25八下·山西运城·期末)如图，在等边中，点D，E分别是BC，AC的中点，，点P是AD边上的一个动点，当最小时，求______°． 【答案】60 【分析】连接，，由等边三角形的性质得到，，，则可证明，故当B、P、E三点共线时，有最小值，由等边对等角可得，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵等边中，点，分别是、的中点， ，，， ∴垂直平分， ， ， ∴当B、P、E三点共线时，有最小值， ， ， ． 6．(24-25八下·山西朔州怀仁·期末)如图，在中，，的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F，则的周长是___________ 【答案】10 【分析】由线段垂直平分线的性质推出，得到的周长，即可求解． 【详解】解：垂直平分， ， 在的垂直平分线上， ， 的周长 ． 三、解答题 7．(24-25八下·山西长治县·期末)如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得到，即可得证； （2）根据三角形的周长，求出，分割法求面积，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）解：∵，的周长为18， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．(24-25八下·山西运城稷山县·期末)如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）可证明，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得到．设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，，，， ，， ． ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图，连接． 是的垂直平分线， ． 由（1）可得是直角三角形， 即． 设，则， 在中，由勾股定理得， 即． 解得． 即的长为． 9．(24-25八下·山西长治·期末)如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查垂直平分线判定及性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握好相关知识是关键． （1）由垂直平分线的性质可得，则，结合三角形内角和定理求出的度数； （2）通过证明可得，利用垂直平分线的判定定理可证明． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵垂直平分， ∴， 由（1）可得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上． 10．(24-25八下·山西运城稷山县·期末)如图，在中，，的垂直平分线，交于点．连接，交于点． (1)求证：为的垂直平分线； (2)若，则__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理，关键是掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，由勾股定理列出关于x的方程． （1）连接，，由线段垂直平分线的性质推出，，得到，而，因此A、P都在的垂直平分线上，判定为的垂直平分线； （2）由线段垂直平分线的性质得到，设，由勾股定理得到，求出，得到． 【详解】（1）证明：连接，， ∵，的垂直平分线，交于点P， ∴，， ∴， ∵， ∴A、P都在的垂直平分线上， ∴为的垂直平分线； （2）解：∵垂直平分， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 地 城 考点06 角平分线的判定与性质 一、选择题 1．(24-25八下·山西运城稷山县·期末)如图，在中，，按下列步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径画圆弧，分别与，交于点D，E，连接；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点F；③作射线交于点G．若，，则的面积为（　　） A．16 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】如图，过点G作于点H．先由作图得平分，再根据角平分线的性质得，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作于点H． 由作图可知平分， ∵，， ∴， ∴的面积． 2．(24-25八下·山西忻州神池·期末)计划在滹沱河某个绿化区增设条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭，使其到小路的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ）． A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，熟悉角平分线的性质：到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，角平分线的尺规作图方法，是解题的关键． 将“凉亭到小路的距离相等”转化为“点在与相交所成角的平分线上”，判断点为的角平分线与的交点的作图即可． 【详解】解：甲方案：在的垂直平分线上， 到的距离相等，不一定到和的距离相等， 乙方案：平分， 由角平分线的性质定理可得：到小路的距离相等， ∴甲、乙两个方案，只有乙对． 故选：． 3．(24-25八下·山西忻州代县·期末)如图，是等腰三角形底边上的中线，平分，交于点．若的面积为，则的长为（    ） A． B．5 C．7 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，过点作于，由等腰三角形的性质得，进而由角平分线的性质得到，再根据三角形的面积求出即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵是等腰底边上的中线， ∴， 又∵平分， ∴， ∵的面积为7， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，是底边， ∴， 故选：． 4．(24-25八下·山西运城·期末)如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，再分别以为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，已知为边上一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，理解尺规作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理的计算是关键，根据题意，当时，有最小值， 如图所示，当点在处，有最小值，即的值，设，则，在中，由勾股定理得到，即，由此即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 根据作图可知，是的角平分线， ∵点为边上一个动点， ∴当时，有最小值， 如图所示，当点在处，有最小值，即的值， ∵是的角平分线，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴， ∴的最小值为， 故选：D ． 二、填空题 5．(24-25八下·山西大同左云县·期末)如图，在中，的平分线交于点D，于点E，于点F，则CE的长为_______　． 【答案】2 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，过D作于H，由角平分线的性质推出，，证明，由勾股定理求出，证得，得到，同理，得到，即可求出的长． 【详解】解：过D作于H， ∵平分，平分，，， ∴，，， ∴，， ∴，， 根据平行线间的距离处处相等的性质可得：，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 6．(24-25八下·山西大同·期末)平分，于A，且．若点Q在射线上运动，则的取值范围是__． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理以及垂线段最短，解题的关键是掌握以上性质． 根据角平分线的性质和垂线段最短进行求解即可． 【详解】解：∵平分，于A，且， ∴ 点P到的距离为6（角平分线上的点到角两边的距离相等）． 点Q在射线上运动，当Q为点P到的垂足时，取最小值6； 当Q远离垂足时，无限增大， ∴的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题 7．(24-25八下·山西运城·期末)如图，为的角平分线，，于点，于点，连接交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若，猜测与间有何数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）由为的角平分线，得到，推出和相等，得到，即可推出结论； （2）由已知推出，得到，在中，由推出，即可推出结论． 【详解】（1）证明：为的角平分线，，， ，， ， ∴， ， ， 点、都在的垂直平分线上， 垂直平分； （2）解：，理由如下： ，平分，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 8．(24-25八下·山西忻州·期末)如图，在中，，于点D，E是上一点，连接，与相交于点O，连接，，且． (1)求证：垂直平分； (2)若，求证：平分； (3)若，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证出，由线段垂直平分线的判定可得出结论； （2）由角平分线的判定可得出结论； （3）证出，．由（1）知垂直平分，则，由等边三角形的判定可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵，点A，O在上， ∴垂直平分； （2）∵， ∴． 又∵，， 即，， ∴平分； （3）由（1）知． ∵， ∴是等边三角形， ∴，． 由（1）知垂直平分， ∴E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 9．(24-25八下·山西吕梁汾阳·期末)【课本重现】如图1，在三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为． （1）求的周长． 【知识应用】如图2，在中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接． （2）若，，求的面积； （3）求证：平分． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，三角形面积的计算，折叠的性质，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）折叠得到，进而得到，，进而求出的长，再根据三角形的周长公式结合等量代换进行求解即可． （2）根据折叠得出，，，根据求出结果即可； （3）过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M，根据角平分线的性质得出，，证明，根据角平分线的判定得出答案即可． 【详解】（1）解：是由折叠而得到， ． ，． ， ． ， 的周长为：． （2）解：根据折叠可知：，，， ； （3）证明：如图，过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M， 由题可知，，， ， 平分， ， ， ， 即平分． 10．(24-25八下·山西吕梁交口县·期末)在中，，平分，交于点D． (1)如图1，E是上一点，且． （i）若，求证：． （ii）若，探究与的数量关系． (2)如图2，若，，，，求的长． 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii） (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理，准确作出辅助线为解题关键． （1）（i）利用角平分线性质证明即可；（ii）利用角平分线性质得到，再证明即可得出结论； （2）在上截取，连接，先求出，过点D作的延长线于点G，作，再证明，得到，从而进一步求出结果． 【详解】（1）证明：（i）， ． ， ． 平分， ； （ii），理由如下： 如图1，过点D作于点M，于点N． 平分， ． ，， ，即． 在和中， ， ． （2）如图2，在上截取，连接． ， ． 平分， ． ， ． 过点D作的延长线于点G，作， 则有，， ， ． ， ， ， ， ． 1 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 重难点01三角形 ☆6大高频考点概览 考点01等腰三角形三线合一 考点02等腰三角形的性质及判定 考点03含30度角的直角三角形 考点04等边三角形的判定与性质 考点05线段垂直平分线的判定与性质 考点06角平分线的判定与性质 目目 考点01 等腰三角形三线合 一、选择题 1.(24-25八下山西晋中介休期末)如图，在ABC中，AB=AC=10cm,BC=16cm,点D是线段BC上 任意一点，则AD的长可能是() D A.3cm B.5cm C.7cm D.12cm 2.(24-25八下山西晋中太谷县·期末)如图，有一条橡皮筋放置在直线1上，固定两端A和B,然后把中点 C竖直向上拉升8cm至点D,若此时橡皮筋的长度比原长伸长了4cm,则橡皮筋原长AB是() D A.29cm B.30cm C.31cm D.32cm 3.(24-25八下山西晋中期末)如图，在△ABC中，AB=AC,AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线.若 ∠CAD=20°，则∠ACE的度数是() A.20° B.35° C.40° D.70° 1/18 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 4.(24-25八下山西晋城期末)如图，在口ABCD中，AB=8,∠BAD的平分线与DC交于点F, AF⊥BF,DG⊥AF,垂足分别为F,G,DG=3,则BF的长为() A.√万 B.5 C.6 D.8 5.(24-25八下山西吕梁期末)如图，在ABC中，AB=AC=10,BC=12,且AD⊥BC,BE⊥AC,则 BE的长是() B A.4.8 B.8 C.9.6 D.10 二、填空题 6.(24-25八下山西阳泉·期末)如图，在ABC中，AB=AC,点P、A分别位于直线BC异侧，连接AP, ∠PBC=∠BAC,∠APB+2LPAB=90°，当BC=8,PB=5时，则AB的长为 7.(24-25八下山西忻州期末)如图，在ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，AB=AD,AF是 ∠BAD的平分线，EF=EC,给出下面四个结论：①AF⊥BD;②AE=EF;③若∠C=30°，则△AEF是 等边三角形；④若AD平分LFAC,则DE=DF.上述结论中，正确结论的序号有· E B D 8.(24-25八下山西大同期末)如图，己知在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,BC=8,AD为∠BAC的 平分线，E是边BC上一动点（点E不与B,C重合），连接AE,过点C作CF⊥AE于点F,交射线AD于 2/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点G. G B E D (I)当点E在点D的左侧运动时，求证：△BAE≌△ACG; (2)若AD=4,DG=3,则BE的长为 三、解答题 9.(24-25八下山西晋中太谷县期末)如图，在ABC中，∠A=120°，AB=AC=4,D是BC的中点.动 点P、Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点B、终点C.连接PO、DP和DQ.设 点P的运动时间为t(s. D (I)求证：DPQ是等腰三角形； (2)若△BDP是等腰三角形，直接写出∠APD的大小. 10.(24-25八下山西长治长子县期末)如图，锐角ABC中，点E是AB边上一点，BE=CE,AD1BC于 点D,AD与EC交于点G G D (I)求证△AEG为等腰三角形； (2)若GD=5,G为CE中点，求AG的长. 目目 考点02 等腰三角形的性质及判定 一、选择题 1.(24-25八下山西运城稷山县·期末)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC于D,点E 在直线AB上，且DE=DB,则∠DEC的度数为() 3/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.60° B.75 C.80° D.90° 2.(24-25八下山西阳泉盂县多校联考期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=30°，AD⊥AB,交BC于点 D.若AD=2,则BC的长为() D A.10 B.8 C.6 D.4 3.(24-25八下山西晋中太谷县期末)如图，在ABC中，∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D,过点 B作BM⊥AC于点M,连接MD,过点D作DN⊥MD,交BM于点N,CD与BM相交于点E,若点E是 CD的中点，则下列结论中正确的有()个. ①∠AMD=45°；②NE-EM=MC;③EM:MC:NE=1:2:3;④S△McD=2S△DNE· D A.1 B.2 C.3 D.4 4.(24-25八下·山西晋中榆次区·期末)如图，在ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交高CD于点E, EF∥BC交AB于点F,连接EF,下列结论：①LACD=∠B;②AF=AC;③CF平分∠BCD;④点E 是CD的中点，其中所有正确结论的序号是() E B A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④ 二、填空题 5.(24-25八下山西临汾曲沃县期末)如图，在ABC中，AB=AC,∠A<90°，点D,E,F分别在边 4/18 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 AB,BC,CA上，连接DE,EF,FD,己知点B和点F关于直线DE对称.若AD=DF,AB=5, BC=4,则CF= 4 D B E 6.(24-25八下·山西晋中灵石县期末)如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC,P,Q分别为BD,BC上的 一点，且BP=CQ,若当AB=2时，则AP+AQ的最小值为 7.(24-25八下山西运城盐湖区·期末)在ABC中，CD是AB边上的高，∠B=2∠A,E是AB边上一点， F是AE的中点，连接CF,CF=AF,若AD=8,BE=1,则CD的长为 A D EB 三、解答题 8.(24-25八下山西晋中左权县期末)如图，在△ACB中，AB=CB,F是BC上一点，过点F作FD⊥AC于 D,DF的延长线交AB延长线于E. B (I)求证：△EBF是等腰三角形： (2)若∠E=30°，FC=4,AD=6,求AB的长. 9.(24-25八下·山西晋中介休期末)【问题情境】在ABC中，AB=AC. 5/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图① 图② 图③ 【特殊求解】(I)如图①，如果BAD=40°，AD是ABC中BC边上的高，并且AD=AE,则∠EDC=_°， 如图②，如果∠BAD=50°，AD是ABC中BC边上的高，并且AD=AE,则LEDC=_°； 【探究规律】(2)由(1)猜想：∠BAD与∠EDC之间有什么数量关系？请用式子表示：-： 【拓展探究】(3)如图③，如果AD不是ABC中BC边上的高，但仍有AD=AE,请判断∠BAD与 ∠EDC之间的数量关系，并说明理由 10.(24-25八下·山西晋中平遥县期末)在ABC中，AB=AC,点D为CB所在直线上的一个动点（不与B 、C重合)，以AD为一边在AD的右侧作ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,过点E作EF∥BC,交 直线AC于点F,连接CE. D D 图① 图② 图③ 【初步思考】(1)如图①，当点D在线段BC上，若LB4C=60°，CE=3,，则△CEF的周长是 (2)若∠BAC≠60°： 【深入探究】①如图②，当点D在线段CB上时，请判断△CEF的形状？并说明理由； 【拓展延伸】②当点D在CB的延长线上时，请判断△CEF的形状？并说明理由. 目目 考点03 含30度角的直角三角形 一、选择题 1.(24-25八下·山西吕梁汾阳期末)如图，等边三角形ABC的边长是6cm,动点M,N分别从A,C两点同 时出发，沿AC,CB边匀速运动，M,N的运动速度分别是lcm/s,2cm/s,当点N到达点B时，M,N 两点均停止运动.当△MCN是直角三角形时，点M的运动时间s的值为() 6/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ▣ N←-C A.2 B.3 cg或2 D.3写 2.(24-25八下山西太原·期末)如图，在ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=4,D是边BC上一 点且CD=I,点E,F分别是边AC,AB上的动点，则DE+EF的最小值为() 9 A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 3.(24-25八下山西阳泉孟县多校联考期末)如图，直线a∥b,将直角三角板ABC按如图所示的方式放置， 顶点A,C分别落在直线a,b上，∠ACB=90°，∠BAC=30°，若∠1=20°，则∠2的度数是() 12 —b A.30° B.40° C.50° D.60° 4.(24-25八下·山西朔州右玉县右玉教育集团初中部期末考试期末)如图，已知∠M0N=30°，点A,4, A在射线ON上，点B,B,B在射线0M上，△4B4,△4，B,4,△4B,A均为等边三角形，若 0A=1,则△A2025B2025A2026的边长为() M B3 B2 B N A1 A2 A3 A4 A.22024 B.22025 C.22026 D.22021 5.(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)如图，ABC是一张顶角为120°的三角形纸片，AB=AC,EC=12, 7/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 现将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE,则DE的长为() D E A.2 B.4 C.6 D.3 二、填空题 6.(24-25八下山西朔州怀仁期末)如图，点P是等边三角形ABC边BC上一点，PM⊥AB于点M, PN⊥AC于点N,若BM=1,CN=2,则AW=· B 7.(24-25八下山西运城盐湖区·期末)如图，梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD,∠DBC=30°，若该梯 形的中位线长为3，则BD= 8.(24-25八下山西大同阳高县·期末)如图，ABC是等边三角形，BC=6,点D在BC上，BD=2,直线 I⊥BC,垂足为B,E,F分别是边AC,直线1上的动点，则DF+EF的最小值是· D 三、解答题 9.(24-25八下·山西忻州繁時县期末)已知：如图，在ABC中，∠C=60°，AB=2√7，AC=4,AD是 BC边上的高，求BC的长 8/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B 10.(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)合与实践 【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型.两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组 成的图形叫手拉手模型。 (I)如图I,己知ABC和ADE都是等边三角形，连接BE,CD,求证：BE=CD; D 图1 图2 图3 【模型应用】 (2)如图2，已知ABC和ADE都是等边三角形，将ADE绕点A旋转一定的角度.当点D在CB的延 长线上时，求证：AB+BD=BE; 【类比探究】 (3)如图3，已知ABC和ADE都是等边三角形.当点D在射线BC上时，过点E作EF⊥AB于点F.直 接写出线段AB,BF与BD之间存在的数量关系。 目目 考点04 等边三角形的判定及性质 一、选择题 1.(24-25八下·山西运城期末)如图，在口ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线 上的点E处.若∠B=60°，AB=3,则ADE的周长为() A.12 B.15 C.18 D.19 9/18 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 2.(24-25八下山西忻州期末)如图，点P在∠M0N内，点P关于OM、ON的对称点分别为E、F,若 EF=OP,则∠MON的度数是() A.15° B.30° C.45° D.60° 3.(24-25八下山西大同期末)如图，如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，AB=2BC,DE平分 ∠ADC,对角线AC、BD相交于点O,连接OE,下列结论中正确的有() ①∠BDC=30°；②AD=2OE;③DE=BC;④OD=AD. D B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4.(24-25八下山西忻州原平县期末)如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE平分 ∠BAD,分别交BC,BD于点E,P,连接OE,∠ADC=60°，AB=BC=2,则下列结论：① ∠CAD=30:②Sm=48-4C:@0E=号4D,④8D=2万.正确的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 5.(24-25八下山西运城盐湖区·期末)如图，在ABC中，AC=AB=8,∠A=60°，点E在边BC上， BE=5,射线CD⊥BC,垂足为点C,点P是射线CD上的一动点，点F在线段AB上，当EP+PF的值最 小时，则BF= 10/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B 6.(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)如图，在三角形ABC中，AB=AC,∠B=60°，AD是BC边上的高， E为AC边上一点，P为AD上一个动点，若AD=10,则PC+PE的最小值为· B 0 7.(24-25八下山西临汾大宁县2025年6月期末期末)如图所示，点P,E分别为等边ABC的边AB, AC上的点，连接PE,PE⊥AC于点E,点Q为BC延长线上一点，且PA=CQ,连接PQ交AC于点D, 若CD=3,BQ=10,则AE的长为· A B 三、解答题 8.(24-25八下山西晋中介休期末)如图，在ABC中，AB=AC,∠ACB>60°，在AC边上取点D,连接 BD,使BD=BC.以AD为一边作等边ADE,且使点E与点B位于直线AC的同侧，∠EAB=2∠BAC. (I)求∠BDE的度数： (②)点F在AB上，连接DF,DF=BD,请判断BDF是否是等边三角形，并说明理由. 11/18 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 9.(24-25八下山西晋中太谷县期末)如图，在等边ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，且 DE∥BC,过点D作DF⊥DE交CA的延长线于点F. B (1)求∠F的度数： (2)若EF=6,求AE的长 10.(24-25八下山西太原期末)【问题情境】 在等边ABC中，射线AP平分∠CAB,交BC于点O,点E是AP上一动点，LEBF=60°，BF=BE,连接 AF,CF. D O 图I 图Ⅱ 图Ⅲ 【探究发现】 (1)如图I,若点E在线段A0上. ①求证：△ABE≌△CBF; ②写出∠CAF与∠AFC间的数量关系并说明理由； (2)如图Ⅱ，若点E在射线OP上，(1)中∠CAF与∠AFC间的数量关系是否成立？若成立，说明理由； 若不成立，写出新的数量关系，并进行证明； 【拓广延伸】 (3)如图Ⅲ，点E,D在射线OP上，AO=OD,AC=CF,连接DB,求∠EBD的度数. 目目 考点05 线段垂直平分线的判定与性质 一、选择题 1.(24-25八下·山西晋中太谷县期末)如图，ABC中，BD平分∠ABC,BC的垂直平分线交BC于点E, 交BD于点F,连接CF,若∠A=80°，∠ABD=20°，则∠ACF的度数是() 12/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E A.20 B.40° C.45° D.60° 2.(24-25八下·山西晋中太谷县期末)如图，在四边形ABCD中，AB=AD=12,BC=DC,∠A=60°，点 E在AD上，连接BD,CE相交于点F,CE∥AB.若CE=7,则CF的长为() A.4 B.3.5 C.2 D.1 3.(24-25八下·山西运城稷山县期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC<BC,分别以点A、B为圆心， 大于？AB的长为半径画弧，两弧交于D,E两点，直线DE交BC于点F,连接AF,以点A为圆心，AF 为半径画弧，交BC延长线于点H,连接AH,若△AFH的周长为12，则BC的长为() D米 A.4 B.6 C.8 D.12 4.(24-25八下山西运城闻喜县期末)如图，在ABC中，AD⊥BC,垂足为点D,EF垂直平分AC,交 BC于点E,交AC于点F,连接AE,若BD=DE,ABC的周长为I6,AF=3,则DC的长为() D B A.4 B.5 C.6 D.7 二、填空题 5.(24-25八下山西运城期末)如图，在等边ABC中，点D,E分别是BC,AC的中点，AD=8cm,点P 是AD边上的一个动点，当PC+PE最小时，求∠CPE=. 13/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 6.(24-25八下·山西朔州怀仁期末)如图，在ABC中，BC=10cm,AC的垂直平分线交BC于D,连接 AD,AB的垂直平分线交AD于F,则BDF的周长是 cm. 三、解答题 7.(24-25八下·山西长治县期末)如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD,作DE⊥AB交AB于点 E,DF⊥AC交AC于点F,且AD平分∠BAC,，连接EF, E D (1)证明：AD垂直平分EF. (2)若△ABC的周长为18，面积为24，BC=6,求DE的长. 8.(24-25八下山西运城稷山县期末)如图，在ABC中，AB=13,AC=12,BC=5,DE是AB的垂直平 分线，DE分别交AC,AB于点E,D. D (I)求证：ABC是直角三角形： (2)求CE的长. 9.(24-25八下·山西长治期末)如图，在RIAABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AB于点D,交BC 于点E,连接CD,AE. 14/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 B E (1)若∠B=30°，求∠CAE的度数： (2)在(1)的条件下，求证：点E在线段CD的垂直平分线上. 10.(24-25八下山西运城稷山县期末)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC>90°，AB,AC的垂直平分线乙 ,交于点P,连接AP,交BC于点D. (1)求证：AP为BC的垂直平分线； (2)若BC=6AD=2,则AP= 目目 考点06 角平分线的判定与性质 一、选择题 1.(24-25八下·山西运城稷山县期末)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，按下列步骤作图：①以点B为圆心， 以适当长为半径画圆弧，分别与AB,BC交于点D,E,连接DE;②分别以点D,E为圆心，以大于 DE的长为半径画圆弧，两弧相交于点F;③作射线BF交AC于点G.若AG=4,BC=12,则△BCG的 2 面积为() E A D A.16 B.24 C.36 D.48 2.(2425八下·山西忻州神池期末)计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路MN∥PQ,小路AB与 MN,PQ均相交.若要在小路MN上修建一个凉亭O,使其到小路AB,P2的距离相等，关于如图所示的 甲、乙两个方案，下列判断正确的是(). 15/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 N M 甲方案 乙方案 A.只有甲对 B.只有乙对 C.甲、乙均对 D.甲、乙均不对 3.(24-25八下·山西忻州代县·期末)如图，CD是等腰三角形ABC底边上的中线，BE平分∠ABC,交CD于 点E.若△BCE的面积为7，DE=2,则AC的长为() D A.3.5 B.5 C.7 D.14 4.(24-25八下·山西运城期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别 交AC、AB于点M、N,再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O,作射线AO交BC于 点D,已知AB=10,AC=6,P为边AB上一个动点，则PD的最小值为() B B. 5-3 C.2 D.3 二、填空题 5.(24-25八下山西大同左云县期末)如图，在ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,AB=10,∠BAC,∠ABC的 平分线交于点D,DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F,则CE的长为· 6.(24-25八下山西大同期末)OP平分∠A0B,PA⊥0A于A,且PA=6,若点Q在射线OB上运动，则 PQ的取值范围是_· 三、解答题 7.(24-25八下山西运城期末)如图，AD为ABC的角平分线，DE1AB,于点E,DF⊥AC于点F,连 16/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 接EF交AD于点G. B D (1)求证：AD垂直平分EF; (2)若LBAC=60°，猜测DG与AG间有何数量关系？请说明理由， 8.(24-25八下山西忻州期末)如图，在ABC中，∠ABC=∠ACB,BD⊥AC于点D,E是BC上一点， 连接AE,与BD相交于点O,连接OC,DE,且OB=OC. (1)求证：AE垂直平分BC; (2)若LOED=L0DE,求证：CO平分∠ACB; (3)若∠BAC=60°，求证：△CDE是等边三角形. 9.(24-25八下·山西吕梁汾阳期末)【课本重现】如图1，在三角形纸片ABC中，AB=8cm,BC=6cm, AC=5cm,沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD. (1)求△AED的周长. 【知识应用】如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的 点E处，折痕为BD,过点E作∠BED的平分线交BD于点P连接AP, (2)若CD=3cm,AB+BC=16cm,求ABC的面积； (3)求证：AP平分∠CAB. (图1) (图2) 10.(24-25八下·山西昌梁交口县期末)在ABC中，∠A=a,BD平分∠ABC,交AC于点D. 17/18 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 D D R B E 图1 图2 (1)如图1，E是BC上一点，且∠BED=180°-a. (i)若a=90°，求证：AD=DE. (ii)若a≠90°，探究AD与DE的数量关系. (2)如图2，若AB=AC,Q=100°，BD=5,AD=2,求BC的长. 18/18