精品解析：山西阳泉市郊区2025-2026学年第二学期期末学业质量监测 八年级 数学试卷

2025—2026学年第二学期期末学业质量监测 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本小题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 下列二次根式中，不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 6，8，12 B. 7，24，26 C. 5，12，13 D. 4，5，6 3. 在证明三角形的中位线定理过程中，体现的数学思想主要是（ ） A. 数形结合思想 B. 转化思想 C. 分类讨论思想 D. 方程思想 4. 已知不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 习总书记提出：“希望孩子们养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书正当时，莫负好时光，如图的折线统计图反映了某学习小组名学生的课外阅读量．则本组学生课外阅读量的中位数和众数依次是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，在菱形中，连接，有以下结论：①当时，菱形是正方形；②当时，菱形是正方形，下列说法正确的是（ ） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①错误，②错误 D. ①正确，②正确 7. 某县区始终秉持“安全与健康第一”的教育理念，为积极推动大课间活动，开展了大课间创新大赛，从“创意与特色”、“节奏与配合”、“文明与安全”等三个方面计算成绩．下表是甲、乙两所学校的成绩，则成绩更稳定的是（ ） 学校 创意与特色 节奏与配合 文明与安全 平均分 甲 8 6 10 8 乙 9 8 7 8 A. 甲 B. 乙 C. 一样 D. 不确定 8. 下列哪幅图能最好地刻画小刚放学回家这段时间离家距离与时间之间的关系（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，将直线以每秒2个单位长度向右平移秒，当直线与四边形有公共点时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的对角线与相交于点是边上一点，连接，过点作，垂足为．若，，，则的周长是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为_______． 12. 如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集是______． 13. 数学兴趣小组的同学们打算为校园内的一块菱形空地设计一个小型花园（如图），要在对角线上修建一条人行步道，步道上选取点作为灌溉点．已知菱形空地的周长为米，总面积为平方米，为了提前规划水管长度，需要计算出喷头到和的距离和的总长度．即______． 14. 如图，经过点A的一束光线照射到平面镜（x轴）上的点B处，反射后的光线交y轴于点，若反射光线的函数关系式为，则入射光线的函数关系式为__________． 15. 如图，正方形的边长为 4，点是边的中点，连接，将沿直线 翻折到正方形 所在的平面内，得、延长交于点， 和的平分线相交于点，连接，则的面积为______． 二、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）计算：； （2）先化简，再求值，，其中．（结果保留小数点后两位） 17. 年月日，某校开展以“珍爱地球人与自然和谐共生”为主题的竞赛活动，竞赛成绩分为，，，四个等级，依次记为分，分，分，分，学校随机抽取了名学生的成绩进行整理，绘制如下统计图： （1）补全统计图； （2）求被抽查学生的平均成绩； （3）学校决定，给成绩在分及以上的同学授予“生态保护先锋”称号．根据上面的统计结果，估计该校名学生中将获得“生态保护先锋”称号的人数． 18. 如图，在中，对角线，交于点，平分，交于点． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：四边形是平行四边形． 19. 科学技术的不断更新，推动了先进机器的更新速度，为加快生产效率，某工厂准备购买A、B两种机器共20台（两种机器都需购买），总费用不超过2200元．已知购买A、B两种机器的单价分别是150元、100元，A、B两种机器每台的质量分别是25千克、75千克．设购买A机器x台，购买机器的总费用为y元，根据上述信息解答下列问题： （1）求y关于x的函数表达式，并直接写出x的取值范围； （2）购买的机器需要运输汽车运送到工厂里，若运输汽车的车载货量为1400千克，购买方案有哪几种，并确定最省钱的购买方案． 20. 探究蜡烛在密闭容器中的燃烧时间与容器中的含氧量之间的关系． 素材一 在蜡烛燃烧过程中会消耗氧气．因此，随着燃烧时间的不断增长，容器内的氧气含量越来越低，当容器内的含氧量约为时，蜡烛会熄灭． 素材二 使用氧气含量检测仪器定时测量密闭容器中的氧气含量，记录数据，并根据数据绘制出如图所示的函数图象．其中为燃烧时间，为氧气含量． 完成下列任务 任务一 当燃烧时间为时，密闭容器中的氧气含量是多少？ 任务二 请预测当蜡烛燃烧多长时间时，会因为氧气不足而熄灭？ 21. 阅读与理解 下面是王宇同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 正方形网格中“无刻度直尺作图”问题初探 正方形网格中使用无刻度直尺作图是一种经典的几何构造问题，其核心是仅用无刻度直尺和给定网格，通过有限的步骤完成特定的几何构造任务，如：构造线段上的特殊点或与线段相关的特殊角等．如图1，在正方形网格中，已知线段和的端点均为格点，利用无刻度的直尺解决下面的问题． 类型一：构造特殊点 问题1：求作线段的中点F． 思路：如图2，第一步：延长到E； 第二步：利用网格构造线段，满足且； 第三步：连接、、．与相交于点F． 则四边形是平行四边形（依据1）所以，点F即为线段中点．（依据2） 类型二：构造角平分线 问题2：求作的平分线． 思路：如图3，延长到D使得，利用网格构造线段，满足且，连接、，则为的平分线． 任务： （1）问题1中“依据1”的内容是______；“依据2”的内容是：______． （2）请用无刻度的直尺在图1中参照问题1的思路，作线段的中点M（保留作图痕迹）； （3）请用无刻度的直尺在图4中参照问题2的思路，作的平分线（保留作图痕迹）． 22. 阅读与探究 我们知道研究几何图形的一般路径是“定义——性质——判定——应用”，请大家阅读下面的材料，完成相应的任务： 等腰五边形图形定义：如图，在凸五边形中，，，，像这样的五边形叫作等腰五边形，其各部分元素名称如图所示．由定义，结合图形，我们直接可以得到：等腰五边形的两条上腰相等、两条下腰相等，两个旁角相等．并且等腰五边形具有某种对称性，且它的其他元素也存在特殊的结论． （1）任务一：性质探究 已知：如图，在凸五边形中，，，．猜想与的数量关系，并说明理由； （2）任务二：判定探究 已知：如图，在凸五边形中，，，．求证：凸五边形是等腰五边形； （3）任务三：应用拓展 已知：如图4，在凸五边形中，，，，．直接写出此时等腰五边形的面积． 23. 综合与探究 问题情景：数学课上，老师画出一个四边形（如图1所示），并依次标记了各边，，，的中点E，F，G，H．要求同学们对以下问题进行探究． （1）探究一：四边形是平行四边形吗？说明你的理由． （2）探究二：如图2，点P是四边形内一点，且满足，，，点E，F，G，H分别为边，，，的中点，猜想四边形的形状，并证明你的猜想； （3）探究三：若改变（2）中的条件，使，其他条件不变，请说出此时四边形的形状，并写出证明过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末学业质量监测 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本小题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 下列二次根式中，不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】能与合并的二次根式是化简后被开方数为的同类二次根式，将各选项化简后判断被开方数即可得到结果． 【详解】解：A.，被开方数为，是的同类二次根式，可以合并，本选项不符合题意； B.，被开方数为，是的同类二次根式，可以合并，本选项不符合题意； C.，被开方数为，是的同类二次根式，可以合并，本选项不符合题意； D.，化简后是整数，不是被开方数为的二次根式，不能与合并，本选项符合题意． 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 6，8，12 B. 7，24，26 C. 5，12，13 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】勾股数是三个正整数，且满足两较小数的平方和等于最大数的平方，根据定义计算各组数验证即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，∴6，8，12不是勾股数，不符合题意； B、∵，， ∴，∴7，24，26不是勾股数，不符合题意； C、∵，， ∴ ，∴5，12，13是勾股数，符合题意； D、∵，， ∴，∴4，5，6不是勾股数，不符合题意． 3. 在证明三角形的中位线定理过程中，体现的数学思想主要是（ ） A. 数形结合思想 B. 转化思想 C. 分类讨论思想 D. 方程思想 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵证明三角形中位线定理时，通常通过构造辅助线，将三角形中位线的相关问题，转化为已学的平行四边形性质问题来推导结论， ∴该过程主要体现了转化思想． 4. 已知不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的解集确定  的符号以及直线与  轴的交点坐标，进而判断函数图象． 【详解】解：∵不等式， ∴， ∵不等式的解集是， ∴，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限． 5. 习总书记提出：“希望孩子们养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书正当时，莫负好时光，如图的折线统计图反映了某学习小组名学生的课外阅读量．则本组学生课外阅读量的中位数和众数依次是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查折线统计图、中位数、众数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．分别根据折线统计图和中位数、众数定义求解即可． 【详解】解：学生课外阅读量的本数为：，，，，，，，，，，，，， 中间的数据为， 中位数为 ， 出现次数最多的数据为， 众数为． 故选：B． 6. 如图，在菱形中，连接，有以下结论：①当时，菱形是正方形；②当时，菱形是正方形，下列说法正确的是（ ） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①错误，②错误 D. ①正确，②正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定以及菱形的性质，解题的关䋖是熟练掌握正方形和菱形的相关判定定理与性质． 分别分析当时，菱形的形状，以及当时，菱形的形状，从而判断对错． 【详解】解：①当时，菱形又是矩形，判定菱形是正方形， ②当时，推出是等边三角形，得到，不能判定菱形是正方形， ∴①正确，②错误． 故选：A． 7. 某县区始终秉持“安全与健康第一”的教育理念，为积极推动大课间活动，开展了大课间创新大赛，从“创意与特色”、“节奏与配合”、“文明与安全”等三个方面计算成绩．下表是甲、乙两所学校的成绩，则成绩更稳定的是（ ） 学校 创意与特色 节奏与配合 文明与安全 平均分 甲 8 6 10 8 乙 9 8 7 8 A. 甲 B. 乙 C. 一样 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查方差的计算，利用方差比较稳定性等，熟练掌握方差的计算方法是解题关键． 通过计算两所学校成绩的方差比较稳定性，方差小的更稳定． 【详解】解：∵平均分均为8，甲学校成绩：， ∴方差 ， 乙学校成绩：， ∴方差 ， ∵ ， ∴乙学校方差更小，成绩更稳定， 故选：B． 8. 下列哪幅图能最好地刻画小刚放学回家这段时间离家距离与时间之间的关系（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象，首先要理解横纵坐标表示的含义，能够通过图象得到函数是随自变量的变化进行怎样的变化，分清函数值是增大还是减小．根据横轴表示时间，纵轴表示所剩路程，路程随时间的增大而减少判断即可． 【详解】解：小刚放学回家这段时间离家距离随时间的增大而减少，到家时距离为，故选项D符合题意． 故选：D． 9. 如图，，将直线以每秒2个单位长度向右平移秒，当直线与四边形有公共点时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换及一次函数的性质，根据题意，分别求出平移后的直线经过点B和点D时的函数解析式，进而可得出平移的距离，据此可解决问题． 【详解】解：将代入得， 解得， 所以直线l与x轴的交点坐标为． 令平移后的直线函数解析式为， 当平移后的直线经过点B时，， 解得， 所以此时直线的函数解析式为， 则． 当平移后的直线经过点D时， ， 解得， 所以此时直线的函数解析式为， 令得，， 解得， 所以， 所以当直线l与四边形有公共点时，t的取值范围是：． 故选：A． 10. 如图，正方形的对角线与相交于点是边上一点，连接，过点作，垂足为．若，，，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由正方形性质及等腰直角三角形性质求出正方形边长，再表示出的周长，结合已知相等线段转化求解即可． 【详解】解：正方形的对角线与相交于点，，则， 在等腰中，，，则， 即正方形的边长为， ， ， 则的周长是． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为_______． 【答案】96 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到是直角三角形是解题的关键．同时考查了直角三角形的面积公式． 连接，先由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，然后由三角形面积即可得出结论．． 【详解】解：如图，连接． ，，， ， 又，， ， 是直角三角形，， 这块地的面积的面积的面积． 故答案为：96． 12. 如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握根据函数图象的位置确定不等式的解集是解题的关键．根据两个函数图象的交点，结合不等式的几何意义（正比例函数图象在一次函数图象下方或重合时的取值范围）来确定解集． 【详解】解：由图象可知，正比例函数与一次函数交于点，当时，即的图象在图象下方或重合，此时 故答案为：． 13. 数学兴趣小组的同学们打算为校园内的一块菱形空地设计一个小型花园（如图），要在对角线上修建一条人行步道，步道上选取点作为灌溉点．已知菱形空地的周长为米，总面积为平方米，为了提前规划水管长度，需要计算出喷头到和的距离和的总长度．即______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由菱形性质及题中已知条件得出菱形空地的边长及面积，利用等面积法得到，代入已知条件计算即可． 【详解】解：连接，如图所示： ， 菱形空地的周长为米， ， 菱形空地的总面积为平方米， ， 则， ． 14. 如图，经过点A的一束光线照射到平面镜（x轴）上的点B处，反射后的光线交y轴于点，若反射光线的函数关系式为，则入射光线的函数关系式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握光的反射定律及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．将坐标代入，求出b，从而求得反射光线的函数关系式，当时，求出对应x的值，从而求得点B的坐标；求出点C关于x轴的对称点的坐标，由光的反射定律可知，点在入射光线上，进而利用待定系数法求出入射光线的函数关系式即可． 【详解】解：将坐标代入，得，解得， 反射光线的函数关系式为， 当时，， 解得， ， 根据光的反射定律，点关于x轴的对称点在入射光线上， 设入射光线的函数关系式为（m、n为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 入射光线的函数关系式为． 15. 如图，正方形的边长为 4，点是边的中点，连接，将沿直线 翻折到正方形 所在的平面内，得、延长交于点， 和的平分线相交于点，连接，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明，可得，设，则，根据勾股定理可得，再利用角平分线的性质得到点到的距离相等，利用面积之比即可解答，正确作出辅助线，利用勾股定理列方程解得是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， ，， 点E是边的中点， , 将沿直线翻折得， ，, ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得, 即， 解得， ， 和的平分线相交于点H， 点到的距离相等， ． 二、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）计算：； （2）先化简，再求值，，其中．（结果保留小数点后两位） 【答案】（1）2 （2）， 【解析】 【分析】（1）二次根式的混合运算按照：先乘方，再乘除，最后加减依次计算，将二次根式化为最简二次根式，再计算有理数加减法即可． （2）化为最简二次根式，合并被开方数相同的最简二次根式，代入已知条件计算后得出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 将代入上式，得：． 17. 年月日，某校开展以“珍爱地球人与自然和谐共生”为主题的竞赛活动，竞赛成绩分为，，，四个等级，依次记为分，分，分，分，学校随机抽取了名学生的成绩进行整理，绘制如下统计图： （1）补全统计图； （2）求被抽查学生的平均成绩； （3）学校决定，给成绩在分及以上的同学授予“生态保护先锋”称号．根据上面的统计结果，估计该校名学生中将获得“生态保护先锋”称号的人数． 【答案】（1）统计图如图所示： （2） （3）估计该校名学生中约有人将获得“生态保护先锋”称号． 【解析】 【分析】（1）用抽取的总人数减去已知等级人数，求出等级的人数，即可补全条形统计图； （2）根据平均数的定义求解即可； （3）用总人数乘以样本中成绩在分及以上的人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：由统计图可知，、、等级的人数分别为人、人、人， ∵学校随机抽取了名学生的成绩进行整理， ∴等级的人数为（人）， ∴补全统计图如下：略 【小问2详解】 解：由（1）可得，等级的人数为人， ∴被抽查学生的平均成绩为（分）， 答：被抽查学生的平均成绩为分． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校名学生中约有人将获得“生态保护先锋”称号． 18. 如图，在中，对角线，交于点，平分，交于点． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了基本尺规作图—角平分线，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用角平分线的作法进行作图即可； （2）根据平行四边形的性质得出相等的角，根据角平分线得出，证明，得出相等的边，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 19. 科学技术的不断更新，推动了先进机器的更新速度，为加快生产效率，某工厂准备购买A、B两种机器共20台（两种机器都需购买），总费用不超过2200元．已知购买A、B两种机器的单价分别是150元、100元，A、B两种机器每台的质量分别是25千克、75千克．设购买A机器x台，购买机器的总费用为y元，根据上述信息解答下列问题： （1）求y关于x的函数表达式，并直接写出x的取值范围； （2）购买的机器需要运输汽车运送到工厂里，若运输汽车的车载货量为1400千克，购买方案有哪几种，并确定最省钱的购买方案． 【答案】（1）且x为整数） （2）购买方案有3种，最省钱的购买方案是购买2台A机器，18台B机器 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答； （1）根据题意可以得到与的函数解析式，并直接写出的取值范围； （2）根据运输汽车的车载货量为1400千克，可以得到相应的不等式，从而以得到相应的购买方案，再根据（1）中函数关系式和一次函数的性质即可求得最省钱的购买方案． 【小问1详解】 解：由题意可得，， 总费用不超过2200元， ， 解得， 关于的函数表达式是：且为整数）． 【小问2详解】 解：该运输汽车的车载货量为1400千克， ， 解得， 由（1）知，， 且为整数， 可取2，3，4， 购买方案有以下3种： 方案一：购买2台机器，18台机器； 方案二：购买3台机器，17台机器； 方案三：购买4台机器，16台机器． 即总费用， ， 随的增大而增大． 当时，总费用最少，此时． 答：最省钱的购买方案是购买2台机器，18台机器． 20. 探究蜡烛在密闭容器中的燃烧时间与容器中的含氧量之间的关系． 素材一 在蜡烛燃烧过程中会消耗氧气．因此，随着燃烧时间的不断增长，容器内的氧气含量越来越低，当容器内的含氧量约为时，蜡烛会熄灭． 素材二 使用氧气含量检测仪器定时测量密闭容器中的氧气含量，记录数据，并根据数据绘制出如图所示的函数图象．其中为燃烧时间，为氧气含量． 完成下列任务 任务一 当燃烧时间为时，密闭容器中的氧气含量是多少？ 任务二 请预测当蜡烛燃烧多长时间时，会因为氧气不足而熄灭？ 【答案】任务一：；任务二：340s 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 任务一：先利用待定系数法求出一次函数解析式，然后再进行计算即可解答； 任务二：利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】解：任务一：设蜡烛熄灭前，氧气含量与燃烧时间之间的函数关系式为： 把代入中得： ， 解得， ， 当时，， ∴当燃烧时间为时，密闭容器中的氧气含量是； 任务二：当容器内的含氧量约为时，蜡烛会熄灭， ∴把代入中得：， 解得：， ∴当蜡烛燃烧340s时，会因为氧气不足而熄灭． 21. 阅读与理解 下面是王宇同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 正方形网格中“无刻度直尺作图”问题初探 正方形网格中使用无刻度直尺作图是一种经典的几何构造问题，其核心是仅用无刻度直尺和给定网格，通过有限的步骤完成特定的几何构造任务，如：构造线段上的特殊点或与线段相关的特殊角等．如图1，在正方形网格中，已知线段和的端点均为格点，利用无刻度的直尺解决下面的问题． 类型一：构造特殊点 问题1：求作线段的中点F． 思路：如图2，第一步：延长到E； 第二步：利用网格构造线段，满足且； 第三步：连接、、．与相交于点F． 则四边形是平行四边形（依据1）所以，点F即为线段中点．（依据2） 类型二：构造角平分线 问题2：求作的平分线． 思路：如图3，延长到D使得，利用网格构造线段，满足且，连接、，则为的平分线． 任务： （1）问题1中“依据1”的内容是______；“依据2”的内容是：______． （2）请用无刻度的直尺在图1中参照问题1的思路，作线段的中点M（保留作图痕迹）； （3）请用无刻度的直尺在图4中参照问题2的思路，作的平分线（保留作图痕迹）． 【答案】（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分； （2）如图，点M即为所求； （3）如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质求解； （2）取格点D，E，连接交于点M即可； （3）延长到格点D，取格点E，连接，，连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作图略； 证明：连接，，， 根据题意得，， ∴四边形是平行四边形 ∴点M即为线段中点； 【小问3详解】 作图略； 证明：由网格得， ∴四边形是菱形 ∴平分． 22. 阅读与探究 我们知道研究几何图形的一般路径是“定义——性质——判定——应用”，请大家阅读下面的材料，完成相应的任务： 等腰五边形图形定义：如图，在凸五边形中，，，，像这样的五边形叫作等腰五边形，其各部分元素名称如图所示．由定义，结合图形，我们直接可以得到：等腰五边形的两条上腰相等、两条下腰相等，两个旁角相等．并且等腰五边形具有某种对称性，且它的其他元素也存在特殊的结论． （1）任务一：性质探究 已知：如图，在凸五边形中，，，．猜想与的数量关系，并说明理由； （2）任务二：判定探究 已知：如图，在凸五边形中，，，．求证：凸五边形是等腰五边形； （3）任务三：应用拓展 已知：如图4，在凸五边形中，，，，．直接写出此时等腰五边形的面积． 【答案】（1），理由如下： 理由：如图，连接，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接， 在中，∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴凸五边形是等腰五边形； （3）． 【解析】 【分析】（1）连接，，通过证明，得到对应边、对应角相等，进而根据等边对等角和角的和差关系得证结论． （2）连接，根据等边对等角得到，通过证明，得到对应角相等，进而根据角的和差关系得证结论． （3）延长交的延长线于点，连接，连接交于点，根据等腰五边形的性质得到，，通过证明是等边三角形，得到，，进而根据勾股定理得到，进而得到的面积，根据特殊角的直角三角形的性质得到，进而得到，继而得到答案． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图，延长交的延长线于点，连接，连接交于点， 由题意可知，凸五边形是等腰五边形， ∴是等腰五边形的对称轴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 23. 综合与探究 问题情景：数学课上，老师画出一个四边形（如图1所示），并依次标记了各边，，，的中点E，F，G，H．要求同学们对以下问题进行探究． （1）探究一：四边形是平行四边形吗？说明你的理由． （2）探究二：如图2，点P是四边形内一点，且满足，，，点E，F，G，H分别为边，，，的中点，猜想四边形的形状，并证明你的猜想； （3）探究三：若改变（2）中的条件，使，其他条件不变，请说出此时四边形的形状，并写出证明过程． 【答案】（1）四边形是平行四边形． 理由：如图1中，连接． ∵点E，H分别为边，的中点， ∴，． ∵点F，G分别为边，的中点， ∴，． ∴，． ∴四边形是平行四边形． （2）四边形是菱形． 证明：如图2中，连接，， ∵， ∴，即． 又∵，， ∴， ∴． ∵点E，F，G分别为边，，的中点， ∴，． ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． （3）四边形是正方形． 证明：如图2中，设与交于点O，与交于点M，与交于点N． ∵， ∴， ∵． ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）连接，根据三角形中位线的性质得到，，，，推出，，即可证明； （2）如图2中，连接，交于点O，证明，得到，然后结合三角形中位线的性质即可证明； （3）如图2中，设与交于点O，与交于点M，与交于点N，证明，结合四边形是菱形即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $