专题03 四边形 5大高频考点式（期末真题汇编，山西专用人教版）八年级数学下学期

**基本信息** 四边形专题期末试题汇编，覆盖多边形内角和、平行四边形性质与判定等5大高频考点，精选山西各地期末真题，融合文化传承与生活情境，梯度设计兼顾基础与综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约15题|多边形内角和（正十一边形内角和）、平行四边形判定（对角线条件）|结合人民币正十一边形、露营帐篷截面等真实情境| |填空|约10题|三角形中位线（中点连线性质）、特殊四边形折叠（正方形折叠落点）|融入八角窗棂、正五边形摆盘等文化元素| |解答|约15题|平行四边形旋转平移综合、筝形判定与性质探究|设计阅读材料题（如密铺小论文）、跨考点动态问题（旋转+平移）|

专题03 四边形 5大高频考点概览 考点01多边形的内角和 考点02平行四边形的性质 考点03平行四边形的判定 考点04三角形中位线 考点05特殊四边形的性质及判定 地 城 考点01 多边形的内角和 1、 选择题 1．(24-25八下·山西晋中平遥县·期末)小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正m边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，则m的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【详解】解：正五边形的内角和为：， ∵正五边形的每个内角相等， ∴正五边形的每个内角度数为：． ∵拼接处无空隙、不重叠，三个角在拼接点处构成周角， ∴正边形的一个内角度数为：． 设正边形的边数为，根据多边形内角和公式可得：， 解得． 2．(24-25八下·山西晋中榆次区·期末)小明想在帆布包上用边长相等的正方形和正八边形设计一幅平面镶嵌图，在每个顶点处需要画1个正方形和个正八边形，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：正方形每个内角为：， 正八边形每个内角为：， 由题意得：， 解得：， 故选：B． 3．(24-25八下·山西太原·期末)如图，2019年8月30日，2019年版第五套人民币正式发行，5角硬币色泽由金黄色改为镍白色，正背面内周缘由圆形调整为正十一边形．则正十一边形内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：正十一边形的内角和为， 故选：D． 2、 填空题 4．(24-25八下·山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．如图所示的地面是由等边三角形和正六边形镶嵌而成的，则图中正六边形的内角和为______°． 【答案】 【详解】解：由多边形内角和公式可得，图中正六边形的内角和为， 故答案为：． 5．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)直线与正六边形的边分别相交于点，如图所示，则__________． 【答案】/120度 【详解】解：∵是正六边形， ∴正六边形的各内角相等， ∴． ∵正六边形的内角和为：， ∴． 在四边形中，， ∴ ． ∵，， ∴． 故答案为：． 6．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)如图1，四边形中，．小文同学以图1中的四边形为“基本图形”，无缝隙、无重叠的拼成了如图2所示的图案，其外围轮廓恰好是一个正十边形，则的度数为__________． 【答案】 【详解】解：由题意可知， 解得， ∵外围轮廓恰好是一个正十边形， ∴， 如图，连接， ∵ ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．(24-25八下·山西晋中太谷县·期末)八角窗棂是中国传统建筑中一种极具特色的装饰元素，象征着天地间的和谐，寓意四面八方的吉祥．如图1是某景区的一个正八边形窗棂，其独特的几何美感为景区增添了艺术魅力，图2是该正八边形窗棂的平面示意图，其中正八边形的内角和为______°． 【答案】 【详解】解：根据多边形的内角和公式，得 正八边形的内角和为∶． 故答案为： 8．(24-25八下·山西晋中灵石县·期末)中国宴席中的摆盘艺术体现传统美学原则．如图1，将六个全等的正五边形陶瓷盘按照如图1的方式摆放，正五边形的五个顶点代表“五福”，具有美好的寓意．若将其抽象成如图2的图形，则的度数为______°． 【答案】36 【详解】解：∵正五边形每个内角的度数为 ∴． 故答案为：36． 9．(24-25八下·山西晋中介休·期末)近几年，人们把亲近自然的露营作为新的出游方式，而倡导精致露营的帐篷酒店也是备受追捧．如图是一个帐篷酒店截面图，其示意图如图所示，若，，，，则的度数为_____． 【答案】/120度 【详解】延长交于点，延长交于点，连接， 由题意得，， ∴八边形 的内角和是：， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3、 解答题 10．(24-25八下·山西晋中左权县·期末)阅读与思考：请阅读下面小论文，并完成相应学习任务． 关于同一种正多边形的平面密铺 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是，若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺．图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺． 对于一些不规则的多边形，全等三角形或全等四边形也可以进行平面密铺．图4就是利用全等的四边形设计出的平面密铺图案． 对于不规则的凸五边形，迄今为止发现了15种能用于平面密铺的五边形．德国数学家莱因哈特（1895—1941）凭借其出色的平面几何功底与直觉，从1918年开始，陆续发现了前5种五边形密铺方式．2015年，美国华盛顿大学数学教授卡西·曼夫妇发现了第15种能用于平面密铺的五边形．图5就是利用不规则的凸五边形得到的一种密铺图案．    学习任务： (1)填空：上面小论文中提到“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是”，其中体现的数学思想主要是______．（填出字母代号即可） A．数形结合思想；B．转化思想；C．方程思想 (2)图3中角1的度数是______． (3)除“正三角形”“正四边形”外，请再写出一种可以进行密铺的正多边形：______． (4)图6是图5中的一个基本图形，其中，，并且．求证． 【答案】(1)B (2) (3)正六边形 (4)见解析 【详解】（1）根据题意，对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，可得体现的数学思想主要是转化思想， 故选：B． （2）解：， 故答案为：． （3）解：∵正六边形的每个内角为，依题意，一种可以进行密铺的正多边形：正六边形， 故答案为：正六边形． （4）如图所示，连接，分别过点作垂足分别为，   ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 地 城 考点02 平行四边形的性质 1、 选择题 1．(24-25八下·山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)如图，的对角线相交于点O，且．若，，则的长为（    ）． A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ， ∵， ， ∵， ， ， ， 故选：C． 2．(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校·期末)如图，在中，，将线段水平向左平移个单位得到线段，若四边形为菱形，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】解：由平移知， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 故选：C． 3．(24-25八下·山西吕梁汾阳·期末)在平行四边形中，已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 4．(24-25八下·山西朔州怀仁·期末)如图，在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点O；③作射线，分别交于点E，交的延长线于点；若，，则下列结论不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由作图过程可知，为的平分线， ， 故A选项正确，不符合题意； 四边形为平行四边形， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故B，C选项正确，不符合题意； 结合已知条件不能得出， 故D选项不正确，符合题意． 故选：D． 2、 填空题 5．(24-25八下·山西临汾曲沃县·期末)如图，在中，的平分线交于点F，的平分线交于点E，与相交于点G．若，，，则的长为______． 【答案】 【详解】解：四边形是平行四边形，， ， 的平分线为的平分线为， ， ， ， ， ， ，   ， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 6．(24-25八下·山西太原·期末)如图，中，，于点E，将线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好落在边上，若，则___________． 【答案】 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得， ， 由旋转得， ， 过F点作交于H，如图： ， ， ∴， ， 由勾股定理得：， ， 故答案为：． 7．(24-25八下·山西晋中左权县·期末)如图，在中，M，N是，上的点，连接交对角线于点E，且E是的中点，连接，．下列结论：①；②若，，则；③若，则．其中正确的是__________．（填序号） 【答案】①②③ 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确； 如图，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴垂直平分， ∴， 故②正确； ∵，且，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确， 故答案为：①②③． 3、 解答题 8．(24-25八下·山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)综合与探究 问题情境：如图1，在中，，，为的对角线，且．将绕点C按逆时针方向旋转得到，点A，B的对应点分别是，，与交于点E，与交于点F． 操作探究： (1)如图2，． ①善思小组发现此时，请你证明这一结论； ②求的长． (2)勤学小组将从图2的位置开始沿射线BC向右平移，当以点A，，D为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形时，请直接写出平移的距离． 【答案】(1)①见解析；② (2)或或 【详解】（1）①证明：∵，， ∴， ∴， ∵将绕点C按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：∵，，， ∴， ∵将绕点C按逆时针方向旋转得到， ∴，，， 由①知，， ∴， ∴， 解得， 在中，， 即的长为； （2）解：①当时，连接交于点N，过点D作于点M，如图， ∵中，， ∴， ∵沿射线向右平移， ∴，， 由（1）知，，，则， ∵， ∴， ∴； ②当时，连接交于点N，如图， 同理，， 则； ③当时，连接交于点N，过点D作于点M，如图， 同理，， 则； 故满足以点A，，D为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形时，平移的距离为或或． 9．(24-25八下·山西大同·期末)定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“凸对四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“凸对四边形” (1)下列四边形一定是“凸对四边形”的有______（填序号）； ①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形． (2)如图2，在矩形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“凸对四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．求证：四边形是“凸对四边形”； (3)如图3，在四边形中，，，，，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“凸对四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)②④ (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：∵①平行四边形，③矩形，沿着它的一条对角线对折后不能完全重合；②菱形，④正方形，沿着它的一条对角线对折后能完全重合． ∴②菱形，④正方形一定是凸对四边形； 故答案为：②④； （2）证明：如图2，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵将沿折叠后得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形沿折叠完全重合， ∴四边形是“凸对四边形”； （3）解：若，连接，则四边形是矩形， ∴， 由（2）知，， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴； 若，连接，过点作于点，，交的延长线于点，如图， 由（2）知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，， 在中，， ∴， 整理得，（不符合题意舍去） 综上所述，的长为． 10．(24-25八下·山西吕梁柳林县·期末)综合与探究 如图，在四边形中，，，连接． (1)如图1，若，判断四边形的形状，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若，求的大小． (3)当时，过点作于点，为上的一动点，连接． ①如图，若为的中点，，，，求的长． ②如图，过点作于点，交于点，过点作．若，，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) (3)①；② 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由：，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）四边形是菱形， ， ， ， ； （3）①∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ； ②， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 连接， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 又∵， ∴ ， ， ， ， ． 地 城 考点03 平行四边形的判定 1、 选择题 1．(24-25八下·山西晋中榆次区·期末)在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列一个条件，使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A．若，此时仅知一组对边平行（）和另一组对边相等（），但无法直接推导出四边形为平行四边形，因为无法确定与是否平行或与是否相等．因此选项A不成立． B．若，结合已知，则两组对边分别相等（且），根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可直接判定四边形为平行四边形．因此选项B成立． C．若，仅说明对角线被点平分，但平行四边形的判定要求对角线互相平分（即且）．由于未给出的条件，无法确定四边形为平行四边形．因此选项C不成立． D．若，仅说明一组对角相等，但平行四边形的判定要求两组对角分别相等．无法由此推导出另一组对角相等，因此选项D不成立． 故选：B 2．(24-25八下·山西太原·期末)如图，四边形中，，添加下列一个条件后能使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由，添加， 根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”能判断四边形为平行四边形； 由，添加或或， 都不能判断四边形为平行四边形； 故选：A． 3．(24-25八下·山西运城稷山县·期末)如图，中，，在边的同侧作等边三角形，，，连接．以下结论中正确的有（    ） ①四边形是平行四边形； ②； ③； ④可以看成是绕点C顺时针旋转得到的． A．②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④ 【答案】C 【详解】解：∵，，是等边三角形， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴，，故②正确； ∴，故③正确； 同理可证， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵，且， ∴可以看成是绕点C顺时针旋转得到的，故④正确； ∴正确的结论是①②③④， 故选：C． 2、 填空题 4．(24-25八下·山西朔州怀仁·期末)两张宽度均为的纸条如图所示交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分四边形的周长为______． 【答案】 【详解】解：如图，作交的延长线于点E，交的延长线于点F， 四边形是两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起的重合部分， ，，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形的周长为， 故答案为：． 3、 解答题 5．(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校·期末)如图，在矩形中，过对角线的中点的直线与的延长线相交于点，与的延长线相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，则当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴四边形的面积，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 6．(24-25八下·山西吕梁柳林县·期末)如图，四边形为矩形，对角线，交于点，延长至点，使得，连接．求证： (1)四边形是平行四边形； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：四边形为矩形， 根据矩形的性质，，， ， ， 等量代换， 四边形是平行四边形； （2）四边形为矩形， ， 四边形是平行四边形， ， 等量代换． 7．(24-25八下·山西晋城阳城县·期末)如图，矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为t（）秒． (1)若、分别是、的中点． ①求证：以、、、为顶点的四边形始终是平行四边形（）； ②当t为何值时？以、、、为顶点的四边形是矩形； (2)若、分别是折线，上的动点，分别从、开始，与、相同的速度同时出发，当t为何值时，以、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出t的值． 【答案】(1)①见解析；②或 (2) 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∵、分别是、中点 ∴，，则 由于、速度均为，运动时间，则， ∴ 在和中 ∴ ∴，，则 ∴四边形是平行四边形； ②解：连接， ∵四边形是矩形，、是中点 ∴ 当时，四边形是矩形，分两种情况： ①、未相遇前，，则 解得； ②、相遇后， 解得， 综上，当或时，四边形是矩形． （2）解：连接、， ∵ 四边形是菱形 ∴ ，，，又 ∴ ，四边形是菱形，故 设，则 在中，由勾股定理，即 解得 则，运动路程为 速度为， 8．(24-25八下·山西临汾古县·期末)如图，在中，，于点D，过点A作，过点C作交AE于点F，连接交于点O，若，，求的周长． 【答案】18 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理可得， ∴， ∴的周长为． 9．(24-25八下·山西阳泉部分学校·期末)如图，在四边形中，，连接是的平分线，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【详解】证明：， ， 是的平分线， ， ， ， 又， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形． 10．(24-25八下·山西晋中介休·期末)在中，，分别是边的中点，延长到点，使，连结． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点O，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵分别为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：，， ， 四边形是平行四边形 ，， ， ， 在中，， 在平行四边形中，， 在中，， ． 地 城 考点04 三角形的中位线 1、 选择题 1．(24-25八下·山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)如图，明明家有一块三角形空地，其中，，E，F分别是边的中点．若他想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点E，F分别是边，的中点， ∴，，是的中位线， ∵， ∴， ∴篱笆的长为：， 故选：C． 2．(24-25八下·山西朔州怀仁·期末)若顺次连接四边形各边的中点，所得到的四边形是菱形，则原四边形对角线的几何特征是（   ） A．对角线互相垂直平分 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【答案】D 【详解】解：如图： 分别为的中点， 是的中位线， ， 同理可得：，，， 当时，，此时，四边形为菱形， 当中点四边形是菱形时，原四边形的对角线相等， 故选：D ． 3．(24-25八下·山西吕梁柳林县·期末)在四边形中，分别是的中点．若四边形为菱形，则线段与一定满足的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图： ∵、、、分别是、、、的中点， ∴分别为的中位线， ，， ∴四边形为平行四边形， 当时， ， 平行四边形为菱形， 故选：A． 4．(24-25八下·山西运城稷山县·期末)如图，在四边形中，点R，P分别是上的点，点E，F分别是，的中点，当点P在上从点C向点D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（    ） A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小 C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关 【答案】C 【详解】解：连接，如图， ∵E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点R不动， ∴大小不变， ∴线段的长不变， 故选：C． 5．(24-25八下·山西大同部分学校联考·期末)如图，在中，点D在边上，，，垂足为E．点F是的中点，若，，，则的长为（   ） A．3 B．2．5 C．2 D．1 【答案】C 【详解】解：，， ，． ∴点E是的中点， ，，点F是的中点 ，是中位线， ，， ， ． ． 故选C． 2、 填空题 6．(24-25八下·山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)如图，在中，，．将平移到的位置，使点B的对应点E恰好落在边AC的中点处，则平移的距离是______． 【答案】 【详解】解：根据题意可知平移距离是， 过点A作于点H，取的中点K，连接，． 又∵，， ∴， ∴， ∵为的中点，K是的中点， ∴，，是的中位线， ∴，， ∴， 在中，， 故答案为： 7．(24-25八下·山西阳泉盂县多校联考·期末)如图，在矩形中，点E，F分别时边的中点，连接，点G，H分别时的中点，这接，若，则的长度为_______． 【答案】 【详解】解：如图，连接并延长交于P，连接， 四边形是矩形， ， 分别是边的中点，， ， ， ， 在与中 ， ， ， ， ， 点G是的中点， ， 故答案为：． 3、 解答题 8．(24-25八下·山西晋中平遥县·期末)综合与探究 课本再现： 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 定理证明： （1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（图1）并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：D，E分别是的边的中点； 求证：，且； 知识应用 （2）①如图2，在四边形中，E，F，G，H分别是四边形各边的中点． 求证：四边形是平行四边形． ②如图，在四边形中，，点P是对角线的中点，点M是的中点，点N是的中点，请你直接写出的周长为______，面积为_____． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②； 【详解】解：（1）证明：延长至F，使，连接，如图， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵D是的中点，即， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，且； （2）①证明：连接，如图， ∵F，G分别是边的中点， ∴， ∵E，H分别是边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②解：∵点P是对角线的中点，点M是的中点，点N是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于点G，如图， 则，， ∴， ∴， ∴的周长为，面积为 故答案为：；． 9．(24-25八下·山西运城稷山县·期末)如何将任意一个大三角形分成四个全等的小三角形，如何通过剪拼的方式将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形． 如图1，在中，点D，E，F分别是边的中点，连接，，，这样就得到了四个全等的小三角形．这是利用三角形中位线定理以及判定三角形全等的基本事实就可以比较容易地证明四个小三角形全等． 如图2，在中，点D，E分别是边的中点，连接，将绕点①______按顺时针方向旋转到的位置，这样就得到了一个与面积相等的平行四边形，请在图2中用几何符号表示三角形中位线定理：______． (1)把①，②处的内容写出来； (2)把小明和小甜分别证明图2中的四边形是平行四边形的过程补充完整． 小明的证明过程如下： ∵绕点①按顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴，， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴________，， ∴四边形是平行四边形（______）； 小甜的证明过程如下： ∵绕点①按顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴，， ∵点D，E分别是边的中点， ∴，是三角形的______， ∴， ∴______，， ∴四边形是平行四边形（______）． 【答案】(1)①E，②， (2)；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；中位线；；两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【详解】（1）解：如图2，在中，点D，E分别是边的中点，连接，将绕点E按顺时针方向旋转到的位置，这样就得到了一个与面积相等的平行四边形， 在图2中用几何符号表示三角形中位线定理：，． 故答案为：①E，②，； （2）解：小明的证明过程如下： ∵绕点E按顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴，， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）； 小甜的证明过程如下： ∵绕点E按顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴，， ∵点D，E分别是边的中点， ∴，是三角形的中位线， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． 故答案为：；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；中位线；；两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 10．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)阅读与思考 下面是小明同学的数学课堂学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 利用尺规，过直线外一点作已知直线的平行线 今天的数学课上，老师给出了如下的一个问题： 如图1，已知直线和外一点，请利用尺规作的平行线，使它经过点． 同学们以小组为单位展开了讨论． 勤学小组的作法如图2： ①在直线上任取一点，连接并延长至点，使， ②在直线上再取一点，连接， ③作的垂直平分线，交于点， ④作直线．则直线即为所求． 勤学小组的证明： ，点是的中点 是的垂直平分线，点是的中点 ∴是的中位线 ∴（依据 ），即 善思小组的作法如图3： ①在直线l上取点B，C两点，②作射线，③作的角平分线，④以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，⑤作直线．则直线即为所求． 善思小组的证明：…… (1)任务一：请补充上面证明过程中的“依据”：_______． (2)任务二：请完成善思小组的证明过程． (3)任务三：用不同于材料的方法过点A作直线l的平行线．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)三角形的中位线定理 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：任务一：证明过程中的“依据”：三角形的中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）， 故答案为：三角形的中位线定理； （2）解：任务二：由作图可知：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即； （3）解：任务三： 如图4，直线m即为所求作的直线．（方法不唯一）． 地 城 考点05 特殊四边形的性质及判定 1、 选择题 1．(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校·期末)如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，，若，则下列角中与相等的角是（   ） ①；②；③ A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】D 【详解】解：四边形是平行四边形，且 四边形是菱形 ，，，， ， ， ，故①符合题意， ， ，故②符合题意， ， ， 又，， ， ， ∴， ，故③符合题意， 故选：D． 2．(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校·期末)如图，正方形的对角线与相交于点，是边上一点，连接，将沿折叠，使得点恰好落在上的点处．若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：正方形， ∴，， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是． 故选：A． 3．(24-25八下·山西朔州怀仁·期末)如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，，则的长为（ ） A．15 B．12 C．10 D．8 【答案】C 【详解】解：四边形是矩形，对角线，相交于点O， ，，且， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：C． 4．(24-25八下·山西大同·期末)如图，在菱形中，，，E是边的中点，P，M分别是AC，上的动点，连接，则的最小值是（　　） A．6 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设交于点F，在上截取，连接，作于点H， ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故选：D． 2、 填空题 5．(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校·期末)如图，在矩形中，，延长到，点是边上一点，过点作，与的平分线分别交于点，点．当点是中点时，则四边形的面积为____________． 【答案】15 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵与的平分线分别交于点，点． ∴，， ∵， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵点是中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：15． 6．(24-25八下·山西朔州怀仁·期末)如图，在边长为4的正方形中，分别是边的中点，点G在线段上，交于点．若，则的长为______． 【答案】 【详解】解：四边形是正方形，且边长为4， ，， 点分别是边的中点， ，， ， 在和中， ， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ， ， 在中，， ， 由三角形的面积公式得：， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：． 故答案为：． 3、 解答题 7．(24-25八下·山西朔州怀仁·期末)综合与实践 问题情境： 数学活动课上，同学们以矩形为背景．以“探究图形的性质”为主题，开展数学活动．如图①，在矩形中（），E是对角线上的点，且，过点E作于点F，过点C作的平行线，与的延长线交于点． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并证明； 深入探究： （2）将图①中沿射线平移，得到，点E，C，G分别对应点，，； ①如图②．当点在线段上的某一位置时，将沿所在直线翻折，得到，线段，分别与直线BC交于点，点M，猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； ②若，，当点在射线上某一位置时，重复①的操作，在此过程中平面内是否存在一点N，使得以，H，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出该矩形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）四边形是菱形，证明见解析；（2）①，理由见解析；②48或 【详解】解：（1）四边形是菱形， 证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）①，理由如下： 由平移可知，，， ， ， ， 由翻折可知，，， 又， ， ， ，即， ； ②在矩形中，，，根据勾股定理得到， 如图，过点D作于点 ， ， 在中，由勾股定理，得， ， ； 如图，当点在线段上，且时，四边形为矩形， 此时，， ； 如图，当点在线段的延长线上，且时，四边形为矩形， 此时，，， ∴， ， ． 8．(24-25八下·山西吕梁柳林县·期末)阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，并完成相应任务． 关于“矩形内折正方形的方法”的研究报告 研究人员：博学小组 成员1： 研究思路：①3个角都是▲的四边形是矩形； ②有一组邻边相等的矩形是正方形． 操作：如图1，将矩形纸片沿折痕折叠，使点B落在上的点处，则四边形即为正方形． 证明：⋯． 成员2： 操作：①如图2，E为的中点，将矩形纸片沿折痕，折叠，使A，B两点的落点重合；②如图3，将沿折痕折叠，使点E落在点处，展开后得到图4中的四边形，则四边形即为正方形． 任务： (1)研究报告中“▲”处空缺的内容： ； (2)请补全材料中“…”处的证明过程； (3)研究报告中成员2的操作得到的四边形 正方形．（填“是”或“不是”） 【答案】(1)直角 (2)见解析 (3)是 【详解】（1）解：依题意，研究报告中“▲”处空缺的内容：直角， 故答案为：直角； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠性质可得：，， ∴四边形是正方形； （3）解：连接，， ∵E为的中点， ∴， ∵将矩形纸片沿折痕，折叠，使A，B两点的落点重合， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵将沿折痕折叠，使点E落在点处， ∴，， ∴， ∴四边形即为正方形， 故答案为：是． 9．(24-25八下·山西晋城阳城县·期末)已知矩形，，，为边上的一点，将矩形沿直线翻折，点恰好落在边上的点处． (1)尺规作图：在矩形中作出点E和折痕（不写做法，保留作图痕迹）； (2)线段的长度是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图：点、折痕即为所作， ； （2）解：∵矩形，，， ∴，，， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， 设，则 由勾股定理可得：， ∴， 解得， ∴． 10．(24-25八下·山西大同部分学校联考·期末)阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“筝形”的研究报告 研究对象：筝形 研究思路：类比四边形，按照“概念—性质—判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 概念：两组邻边分别相等的四边形，称为筝形．如图1，在四边形ABCD中，，，则四边形是筝形． 判定：①两组邻边分别相等的四边形是筝形（定义）． ②有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形． 任务： (1)根据上述材料，请你写出一个符合筝形定义的特殊平行四边形______． (2)将（1）中你写出的特殊平行四边形与筝形进行对比，分别写出一条相同点和不同点． (3)请你在如图2所示的正方形网格中画出一个筝形，使得，且筝形的顶点都在格点上． 【答案】(1)菱形（答案不唯一） (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：符合筝形定义的特殊平行四边形是菱形 故答案为：菱形（答案不唯一）； （2）相同点：菱形和筝形的对角线都互相垂直； 不同点：菱形的四条边都相等，筝形的两组邻边分别相等； （3）如图所示，筝形即为所求， 理由：由网格可知，，， 由两组邻边分别相等的四边形是筝形可知筝形即为所求． 1 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03 四边形 ☆5大高频考点概览 考点01多边形的内角和 考点02平行四边形的性质 考点03平行四边形的判定 考点04三角形中位线 考点05特殊四边形的性质及判定 目目 考点01 多边形的内角和 一、选择题 1.(24-25八下·山西晋中平遥县·期末)小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正m边形硬纸片拼了一个平 面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠.如图所示，则m的值为() A.8 B.9 C.10 D.11 2.(24-25八下·山西晋中榆次区·期末)小明想在帆布包上用边长相等的正方形和正八边形设计一幅平面镶嵌 图，在每个顶点处需要画1个正方形和m个正八边形，则m的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 3.(24-25八下·山西太原·期末)如图，2019年8月30日，2019年版第五套人民币正式发行，5角硬币色泽 由金黄色改为镍白色，正背面内周缘由圆形调整为正十一边形.则正十一边形内角和为() 2019 A.360° B.12609 C.14409 D.1620° 二、填空题 4.(24-25八下·山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等常 常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的.如图所示的地面是由等边三角形和正六边形镶嵌而成的， 则图中正六边形的内角和为°. 1/19 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 99o Oo生0 5.(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)直线I与正六边形ABCDEF的边BC,DE分别相交于点M,N,如图所 示，则a+B= 9 D 6.(24-25八下·山西运城盐湖区期末)如图1，四边形ABCD中，AB=AD,BC=DC.小文同学以图1中的 四边形ABCD为基本图形”，无缝隙、无重叠的拼成了如图2所示的图案，其外围轮廓恰好是一个正十边形， 则∠ABC的度数为 ⊙ D A C 图1 图2 7.(24-25八下山西晋中太谷县·期末)八角窗棂是中国传统建筑中一种极具特色的装饰元素，象征着天地间 的和谐，寓意四面八方的吉祥.如图1是某景区的一个正八边形窗棂，其独特的几何美感为景区增添了艺 术魅力，图2是该正八边形窗棂的平面示意图，其中正八边形的内角和为。. B D 图1 图2 8.(24-25八下·山西晋中灵石县·期末)中国宴席中的摆盘艺术体现传统美学原则.如图1，将六个全等的正 五边形陶瓷盘按照如图1的方式摆放，正五边形的五个顶点代表“五福”，具有美好的寓意.若将其抽象成如 图2的图形，则∠1的度数为°. 2/19 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 9.(24-25八下·山西晋中介休期末)近几年，人们把亲近自然的露营作为新的出游方式，而倡导精致露营的 帐篷酒店也是备受追捧.如图1是一个帐篷酒店截面图，其示意图如图2所示，若AB∥CD,BE∥FG, ED∥HI,∠1=∠2=L3=∠4=∠5=∠6，则∠E的度数为 A 图1 图2 三、解答题 10.(2425八下山西晋中左权县·期末)阅读与思考：请阅读下面小论文，并完成相应学习任务. 关于同一种正多边形的平面密铺 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地把 平面的一部分完全覆盖.一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状， 例如我们铺地板时经常使用正方形地砖， 对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成(n-2)个三角形，得到其内角和是 (n-2)x180°，则一个内角的度数就是(n-2)×180°÷n,若一个内角度数能整除360°，那么这样的正n边 形就可以进行平面密铺.图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案.如图3，按照平 面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺. 对于一些不规则的多边形，全等三角形或全等四边形也可以进行平面密铺.图4就是利用全等的四边形设 计出的平面密铺图案 对于不规则的凸五边形，迄今为止发现了15种能用于平面密铺的五边形.德国数学家莱因哈特(1895一1941) 凭借其出色的平面几何功底与直觉，从1918年开始，陆续发现了前5种五边形密铺方式.2015年，美国华 盛顿大学数学教授卡西·曼夫妇发现了第15种能用于平面密铺的五边形.图5就是利用不规则的凸五边形得 3/19 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 到的一种密铺图案. D 图1 图2 图3 图4 图5 图6 学习任务： (1)填空：上面小论文中提到“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成(n-2)个三角形， 得到其内角和是(n-2)×180°”，其中体现的数学思想主要是·（填出字母代号即可） A.数形结合思想；B.转化思想；C.方程思想 (2)图3中角1的度数是 (3)除“正三角形“正四边形”外，请再写出一种可以进行密铺的正多边形： (4)图6是图5中的一个基本图形，其中∠A=60°，∠B=∠E=∠C=∠D=120°，并且AB=AE.求证 BC=DE· 目目 考点02 平行四边形的性质 一、选择题 1.(24-25八下山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且 AC1BD,若∠ABC=60°，BC=4,则BD的长为(). A.4 B.8 C.43 D.25 2.(24-25八下山西晋城泽州县部分学校期末)如图，在口ABCD中，AB=6,BC=8,将线段CD水平向左 平移n个单位得到线段MN,若四边形ABMN为菱形，则的值为() M B 4/19 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.4 B.3 C.2 D.1 3.(24-25八下山西吕梁汾阳期末)在平行四边形ABCD中，已知∠A+∠C=180°，则∠C=() A.45° B.60 C.90° D.180° 4.(24-25八下山西朔州怀仁期末)如图，在口ABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半 径画弧，分别交B1,BC于点M,店②分别以点M,N为圆心，大于号W的长为半径画弧，两或在 ∠ABC内交于点O:③作射线BO,分别交AD于点E,交CD的延长线于点F;若CD=6,DE=4,则下 列结论不一定正确的是() A E A.∠ABE=∠CBE B.BC=10 C.DE=DF D.BE=CF 二、填空题 5.(24-25八下·山西临汾曲沃县·期末)如图，在口ABCD中，∠ABC的平分线BF交AD于点F,∠BCD的平 分线CE交AD于点E,BF与CE相交于点G.若LA=60°，AB=5,EF=3,则CG的长为 B 6.(24-25八下·山西太原·期末)如图，口ABCD中，∠B=45°，AE⊥CD于点E,将线段AE绕点A顺时针 旋转60，点E的对应点F恰好落在BC边上，若AD=3√2，则CF= 7.(24-25八下山西晋中左权县·期末)如图，在口ABCD中，M,N是AD,BC上的点，连接MN交对角线 BD于点E,且E是BD的中点，连接BM,CM.下列结论：①AM=CN;②若MD=AM,∠A=90°， 则BM=CM;③若MD=2AM，则S△MNC=S△BNE·其中正确的是 ·(填序号) 5/19 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 三、解答题 8.(24-25八下·山西临汾大宁县2025年6月期末期末)综合与探究 问题情境：如图1，在口ABCD中，AB=5,BC=4,AC为口ABCD的对角线，且AC⊥BC.将ABC绕 点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,点A,B的对应点分别是A,B,A'C与AB交于点E,AB与BC交 于点F. D E B. 图1 图2 备用图 操作探究： (1)如图2，A'B'∥AC. ①善思小组发现此时EB=EC,请你证明这一结论； ②求AF的长。 (2)勤学小组将△A'B'C从图2的位置开始沿射线BC向右平移，当以点A,A,D为顶点的三角形是以AD为 腰的等腰三角形时，请直接写出平移的距离， 9.(24-25八下·山西大同期末)定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把 这个四边形称为“凸对四边形.如图1，凸四边形ABCD沿对角线AC对折后完全重合，四边形ABCD是以 直线AC为对称轴的“凸对四边形” D D M E B 图1 图2 图3 (1)下列四边形一定是“凸对四边形”的有 (填序号)： ①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形 (2)如图2，在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，四边形ABEM是以直线AE为对称轴的“凸对四边形 6/19 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (点M在四边形ABCD内部)，连接AM并延长交DC于点N.求证：四边形MECN是“凸对四边形”； (3)如图3，在四边形ABCD中，AB∥CD,AD∥BC,AB=9,AD=12,点E是BC边上的中点，四边形 ABEM是以直线AE为对称轴的“凸对四边形”（点M在四边形ABCD内部），连接AM并延长交DC于点N .当△ADN是直角三角形时，请直接写出线段CN的长. 10.(24-25八下·山西吕梁柳林县期末)综合与探究 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AD∥BC,连接AC. B EM 图1 图2 图3 (1)如图1，若AB=AD,判断四边形ABCD的形状，并说明理由. (2)在(1)的条件下，若∠BAC=55°，求∠D的大小. (3)当AB<AD时，过点A作AE⊥BC于点E,M为BC上的一动点，连接AM. ①如图2，若E为BC的中点，BC=6,CD=5,AM=√7，求CM的长. ②如图3，过点B作BF⊥AM于点F,交AE于点G,过点M作MH∥BF,若AM=BG,AG=CM,直 接写出CH与EM之间的数量关系， 目目 考点03 平行四边形的判定 一、选择题 1.(24-25八下·山西晋中榆次区·期末)在四边形ABCD中，AB=CD,对角线AC,BD相交于点O,添加下 列一个条件，使四边形ABCD成为平行四边形的是() A.AD∥BCB.AD=BC C.A0=CO D.∠ABC=∠ADC 2.(24-25八下·山西太原·期末)如图，四边形ABCD中，AB∥CD,添加下列一个条件后能使四边形ABCD成 为平行四边形的是() A.AD∥BCB.AD=BC C.AB=AD D.AB =BC 3.(24-25八下山西运城稷山县·期末)如图，ABC中，∠ABC=108°，在AC边的同侧作等边三角形 △ABD,△ACE,BCF,连接DE,EF.以下结论中正确的有() 7/19 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ①四边形BDEF是平行四边形； ②∠ADE=108°； ③BF=DE: ④△EFC可以看成是ABC绕点C顺时针旋转60°得到的. E A.②③ B.①②④ C.①②③④ D.②③④ 二、填空题 4.(24-25八下·山西朔州怀仁期末)两张宽度均为9cm的纸条如图所示交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为 60°，则重合部分四边形ABCD的周长为 cm 4 60° B 三、解答题 5.(2425八下山西晋城泽州县部分学校期末)如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点0的直线与 AD的延长线相交于点E,与CB的延长线相交于点F. (I)求证：四边形AFCE是平行四边形： (2)若AC⊥EF,则当AC=5,AF=5时，求四边形AFCE的面积， 6.(24-25八下·山西吕梁柳林县期末)如图，四边形ABCD为矩形，对角线AC,BD交于点O,延长BC至 点E,使得CE=BC,连接DE.求证： 8/19 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D O E (1)四边形ACED是平行四边形； (2)BD=DE. 7.(24-25八下·山西晋城阳城县期末)如图，矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,E、F是对角线AC上 的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s,运动时间为t(0<t<5)秒. A D G H B 备用图 (I)若G、H分别是AB、DC的中点. ①求证：以E、G、F、H为顶点的四边形始终是平行四边形(0<t<2.5): ②当t为何值时？以E、G、F、H为顶点的四边形是矩形； (2)若G、H分别是折线A-B-C,C-D-A上的动点，分别从A、C开始，与E、F相同的速度同时出发， 当t为何值时，以E、G、F、H为顶点的四边形是菱形，请直接写出t的值. 8.(24-25八下山西临汾古县期末)如图，在ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,过点A作AE∥BC, 过点C作CF∥AD交AE于点F,连接DF交AC于点O,若AB=10,BD=6,求△OFC的周长. F E D 9.(24-25八下·山西阳泉部分学校期末)如图，在四边形ABCD中，∠B=30°，连接 AC,∠ACB=∠CAD=9O°，AE是∠BAC的平分线，且BE=CD.求证：四边形AECD是平行四边形. D E 10.(24-25八下山西晋中介休期末)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E,F分别是边AB,AC的中点，延长 9/19 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BC到点D,使CD=BC,连结EF,CE,DF. 2 E (1)求证：四边形CDFE是平行四边形 (2)连结DE，,交AC于点O,若BD=9,DF=5,求DE的长. 目目 考点04 三角形的中位线 一、选择题 1.(24-25八下山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)如图，明明家有一块三角形空地ABC,其中 AB=AC=I0m,BC=8m,E,F分别是边AB,AC的中点.若他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小 鸡，则需要篱笆的长是(). A 出田田出田出田田 A.18m B.20m C.22m D.24m 2.(24-25八下·山西朔州怀仁期末)若顺次连接四边形各边的中点，所得到的四边形是菱形，则原四边形对 角线的几何特征是() A.对角线互相垂直平分 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角线相等 3.(24-25八下·山西吕梁柳林县期末)在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点.若 四边形EFGH为菱形，则线段AB与CD一定满足的关系为() A.AB=CD B.AB=2CD C.2AB=CD D.AB⊥CD 4.(24-25八下山西运城稷山县期末)如图，在四边形ABCD中，点R,P分别是BC,CD上的点，点E,F 分别是AP,RP的中点，当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是() 10/19 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D E C R B A.线段EF的长逐渐增大 B.线段EF的长逐渐减小 C.线段EF的长不变 D.线段EF的长与点P的位置有关 5.(24-25八下山西大同部分学校联考期末)如图，在ABC中，点D在BC边上，AC=CD,CE⊥AD, 垂足为E.点F是AB的中点，若AD=10,CE=12,BC=17,则EF的长为() F B D A.3 B.2.5 C.2 D.1 二、填空趣 6.(24-25八下山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)如图，在ABC中，AB=AC=10,BC=16,将 ABC平移到ADEF的位置，使点B的对应点E恰好落在边AC的中点处，则平移的距离是， 7.(24-25八下山西阳泉盂县多校联考期末)如图，在矩形ABCD中，点E,F分别时边AB,BC的中点， 连接EC,FD,点G,H分别时EC,FD的中点，这接GH,若AB=4,BC=6,则GH的长度为 A 三、解答题 8.(24-25八下山西晋中平遥县·期末)综合与探究 课本再现： 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 11/19 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 定理证明： (1)为了证明该定理，小明同学画出了图形（图1）并写出了“已知和“求证”，请你完成证明过程. 已知：D,E分别是ABC的边AB,AC的中点； 求证：DE∥BC,且DE=BC: 2 知识应用 (2)①如图2，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形. ②如图，在四边形ABCD中，AD=BC=10,∠ADB=90°，∠CBD=30°，点P是对角线BD的中点，点M 是AB的中点，点N是DC的中点，请你直接写出△PMN的周长为，面积为 D H M B 图1 图2 图3 9.(24-25八下·山西运城稷山县期末)如何将任意一个大三角形分成四个全等的小三角形，如何通过剪拼的 方式将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形 如图I,在ABC中，点D,E,F分别是AB,AC,BC边的中点，连接DE,EF,DF,这样就得到了四 个全等的小三角形.这是利用三角形中位线定理以及判定三角形全等的基本事实就可以比较容易地证明四 个小三角形全等， 如图2，在ABC中，点D,E分别是AB,AC边的中点，连接DE,将ADE绕点① 按顺时针方向旋 转180°到△CFE的位置，这样就得到了一个与ABC面积相等的平行四边形DBCF,请在图2中用几何符 号表示三角形中位线定理： D B F 图1 图2 12/19 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)把①，②处的内容写出来： (2)把小明和小甜分别证明图2中的四边形DBCF是平行四边形的过程补充完整. 小明的证明过程如下： :ADE绕点①按顺时针方向旋转180°到△CFE的位置， △ADE≌ACFE, :∠A=∠ECF,AD=CF, CF∥AB, :点D是AB边的中点， :AD BD, ..CF= ,CF∥BD, :四边形DBCF是平行四边形()： 小甜的证明过程如下： :ADE绕点①按顺时针方向旋转180°到△CFE的位置， .△ADE≌△CFE, :AD =CF,DE=FE, :点D,E分别是AB,AC边的中点， .AD=BD,DE是三角形ADE的 .BC 2DE DE+FE .BC=,BD=CF, .四边形DBCF是平行四边形(). 10.(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)阅读与思考 下面是小明同学的数学课堂学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务. 利用尺规，过直线外一点作已知直线的平行线 今天的数学课上，老师给出了如下的一个问题： 如图1，已知直线1和1外一点C,请利用尺规作1的平行线，使它经过点A. A 同学们以小组为单位展开了讨论. 图1 勤学小组的作法如图2： 13/19 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①在直线l上任取一点B,连接BA并延长至点C,使AC=AB, ②在直线l上再取一点D,连接CD, ③作CD的垂直平分线MN,交CD于点E, ④作直线AE.则直线AE即为所求. E 勤学小组的证明： B 图2 D :AC=AB,·点A是BC的中点 :MN是CD的垂直平分线，：点E是CD的中点 .AE是ABC的中位线 AE∥BD(依据_)，即AE∥1 善思小组的作法如图3： ①在直线1上取点B,C两点，②作射线BA,③作∠ABC的角平分线BD,④以A为圆 心，AB长为半径画弧，交BD于点E,⑤作直线AE.则直线AE即为所求. IA 善思小组的证明： D 图3 B (1)任务一：请补充上面证明过程中的依据”： (2)任务二：请完成善思小组的证明过程， (3)任务三：用不同于材料的方法过点A作直线1的平行线.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 目目 考点05 特殊四边形的性质及判定 一、选择题 1.(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校期末)如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD,E,F是对角线 BD上两点，AE ICF,若BE=BC,则下列角中与∠AEB相等的角是() ①∠BAE;②∠DFC;③∠DCF 14/19 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A D E B A.① B.①② C.①③ D.①②③ 2.(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校期末)如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点0，E是 BC边上一点，连接DE,将△DCE沿DE折叠，使得点C恰好落在BD上的点F处.若OA=√2，则 △BEF的周长是() A.2W2 B.2W2-2 C.2-2 D.2+2 2 3.(24-25八下山西朔州怀仁期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,若LA0B=60°， AB=5,则AC的长为() D A.15 B.12 C.10 D.8 4.(24-25八下山西大同期末)如图，在菱形ABCD中，AC=6,BD=6V3,E是BC边的中点，P,M分 别是AC,AB上的动点，连接PE,PM,则PE+PM的最小值是() A.6 B.2√5 C.2√6 D.3√5 二、填空题 15/19 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 5.(24-25八下山西晋城泽州县部分学校期末)如图，在矩形ABCD中，AC=10,BC=8,延长BC到P, 点O是边CD上一点，过点O作EF∥BC,∠BCD与∠PCD的平分线分别交EF于点E,点F.当点O是 CD中点时，则四边形ACED的面积为 -P 6.(24-25八下山西朔州怀仁期末)如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC的中点， 点G在线段DE上，AF交DE于点H,若LFGE=45°，则GF的长为· D B 三、解答题 7.(24-25八下·山西朔州怀仁期末)综合与实践 问题情境： 数学活动课上，同学们以矩形为背景.以“探究图形的性质”为主题，开展数学活动.如图①，在矩形 ABCD中(AB<BC),E是对角线AC上的点，且DE=DC,过点E作EF⊥BC于点F,过点C作DE的 平行线，与EF的延长线交于点G. E B M G ① ② 备用图 猜想证明： (1)判断四边形CDEG的形状，并证明； 深入探究： (2)将图①中△ECG沿射线EC平移，得到△E'C'G',点E,C,G分别对应点E,C,G; ①如图②.当点E在线段CE上的某一位置时，将△E'C'G沿GE'所在直线翻折，得到△E'HG',线段GE', 16/19 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 HE'分别与直线BC交于点F,点M,猜想线段HM与EE'之间的数量关系，并说明理由； ②若AB=6,BC=8,当点E在射线EC上某一位置时，重复①的操作，在此过程中平面内是否存在一点N ,使得以G',H,M,N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出该矩形的面积；若不存在，请说明理 由. 8.(24-25八下·山西吕梁柳林县·期末)阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容.请认真阅读，并完成相应任务 关于“矩形内折正方形的方法”的研究报告 研究人员：博学小组 成员1： 研究思路：①3个角都是▲的四边形是矩形； ②有一组邻边相等的矩形是正方形. 操作：如图1，将矩形纸片沿折痕AE折叠，使点B落在AD上的点B处，则四边形 ABEB'即为正方形， 证明：…. 成员2： 操作：①如图2，E为AB的中点，将矩形纸片沿折痕EF,EG折叠，使A,B两点的落 点重合；②如图3，将△EGF沿折痕FG折叠，使点E落在点E处，展开后得到图4中的 四边形EFE'G,则四边形EFE'G即为正方形. B'D G D G G D B'(A') E C B F R 分 (图1) (图2) (图3) (图4) 任务： (1)研究报告中“▲”处空缺的内容：-； (2)请补全材料中“..”处的证明过程； (3)研究报告中成员2的操作得到的四边形EFE'G_正方形.（填“是”或“不是”） 9.(24-25八下·山西晋城阳城县期末)已知矩形ABCD,AB=10,BC=8,P为AD边上的一点，将矩形 17/19 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 ABCD沿直线BP翻折，点A恰好落在CD边上的点E处. D C A (I)尺规作图：在矩形ABCD中作出点E和折痕BP(不写做法，保留作图痕迹)： (2)线段AP的长度是 10.(24-25八下山西大同部分学校联考·期末)阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务 关于“筝形的研究报告 研究对象：筝形 研究思路：类比四边形，按照“概念一性质一判定”的路径，由一般到特殊进行研究 概念：两组邻边分别相等的四边形，称为筝形.如图1，在四边形ABCD中，AB=AD, CB=CD,则四边形ABCD是筝形. B D 判定：①两组邻边分别相等的四边形是筝形（定义）. C 图1 ②有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形. 任务： (1)根据上述材料，请你写出一个符合筝形定义的特殊平行四边形· (2)将（1)中你写出的特殊平行四边形与筝形进行对比，分别写出一条相同点和不同点. (3)请你在如图2所示的正方形网格中画出一个筝形ABCD,使得AB≠BC,且筝形ABCD的顶点都在格点 上. 18/19 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 图2 19/19