专题05 分式与分式方程 4大高频考点（期末真题汇编，山西专用北师大版）八年级数学下学期

**基本信息** 山西多地八年级下册期末试题汇编，聚焦分式及基本性质、运算、解方程、应用四大高频考点，通过基础题与真实情境应用题结合，适配期末复习巩固。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|14题|分式有意义条件、最简分式、方程根的判断|结合函数自变量取值（考点01）考查分式意义| |填空题|8题|分式化简、代数式有意义范围|设置物理电阻并联公式应用（考点03）| |解答题|19题|分式混合运算、方程应用、解题纠错|含城市更新工程（考点04）等实际问题，融入解题过程错误分析（考点02）|

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05分式与分式方程 ☆4大高频考点概览 考点01分式及基本性质 考点02分式的运算 考点03解分式方程 考点04分式方的应用 目目 考点01 分式及基本性质 一、选择题 1.(24-25八下山西临汾尧都区期末分式-的值为0，则(). x-1 A.x=-1 B.x=1 C.x=±1 D.x=0 2.(24-25八下·山西临汾大宁县2025年6月期末期末)下列分式中是最简分式的是(). A.3a 6b B.atb a2+b2 C.a+b a2-b2 D.92 3.(2425八下山西晋城泽州县部分学校期末将分式少中的x,y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的 'x+y 值() A.扩大为原来的2倍 B.扩大为原来的4倍 C.扩大为原来的8倍 D,不变 4.(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校期末)下列分式中，有意义的条件为x≠3的是() 1 A. 2x-6 B. x+3 C._x D.3 x+3 x-1 5.(24-25八下·山西临汾尧都区期末)下列各式的变形中，正确的是() A.na n B.n、n2 C.nna D.”=n-a ma m mm m ma m m-a 6,2425八山西临汾曲沃县期末分式X事 在实数范围内有意义，则x的取值范围是() A.x>1 B.x<-1 C.x≠1 D.x≤1 Sab 7.(Q4-25八下山西运城盐湖区：期末把分式a-b的分于分母中的a,6都扩大为原来的2倍，则分式的 值() A.不变 B.缩小为原来的) C.扩大为原来的4倍 D.扩大为原来的2倍 1/8 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 二、填空题 8,(2425八下山西晋中灵石县烟末若代数式名有意义，则实数x的取值范围是 9.(2425八下·山西临汾古县·期末)化简： x--x x-1 10.(24-25八下山西吕梁汾阳期末)在函数y=上中，自变量x的取值范围是 目目 考点02 分式的运算 一、选择题 1.(2425八下山西晋中灵石县期末化简m÷2m的结果是() m-3m-3 A.2 B C.m D.月 2.(24-25八下·山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)物理学中的电路分为串联电路和并联电路，如图是 一个并联电路，两电阻的阻值分别为R,R,并联电路的总电阻阻值为R,三者之间的关系为反R+R, 11.1 ,则用R,飞表示R结果正确的是(. A.R=R+R B.R= RR2 RR R+R2 C.R=R+R 2 D.R=2 R+R 二、填空题 1 )2 3.(24-25八下·山西临汾曲沃县期末)计算： 的结果是 2x 4.(24-25八下·山西晋中介休期末)化简： 16-m2m+3 的结果为 m2+6m+94-m 三、解答题 5.(24-25八下山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)化简： x+x）x2-9 x+3x-32x 6.(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校期末)(1)解分式方程： 2x.=1-5 2x+5 5x-2 (2)化简： I 1 .(xty-x-y 2x x+y 2x 7.2425八下山西长治长了县期利D计第：-(-2-（写 +20250; 2/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解方程：2+1=2-x x-33-x 8.(24-25八下·山西临汾尧都区·期末)计算： ()计算： 2÷2a-4+1 a-1a2-12-a (2)解方程： 3x2 =3 x+2x-2 9.Q45八下山丙运城盐湖区期利下面是小缸化简分式？一2x(2二-2的过程，话认真阅该。并 、x-1 完成相应的任务 1 第一步 [ 2x_2(x- 第二步 1.2x-2x-2 x-1 第三步 1 -2 Γ(x-x-i 第四步 1x-1 （x-1)2-2 第五步 1 =2x+2 第六步 ()化简过程中，第一步进行因式分解变形时，应用的乘法公式是，第二步变形的依据是 (②)上述解答过程中第 步开始出现错误.错误的原因是、 (3)请写出正确的化简过程. 10.(24-25八下·山西临汾尧都区期末)下面是小聪同学进行分式运算的过程，请仔细阅读并完成任务. 解》 2x-2 x2+2x+1 x+1x-3 2x-2 x+1x+1 x2+2x+1 …第一步 -2. 2x-2 …第二步 x+1x2+2x+1 3/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -2(x+1)2 第三步 x+12(x-1 =x+1 .第四步 x-1 (1)任务一：小聪同学的求解过程从第 步开始出现错误； (2)任务二：请你写出正确的计算过程. 目目 考点03 解分式方程 一、选择题 1.24-25八下山西运城盐湖区期末)分式方程一+2=，L的根是《) x-2 2-x A.x=2 B.无解 C.x=4 D.x=0 2.(2425八下山西临汾曲沃县期末村解分式方程-+3=，2时，去分母后变形正确的是() x-3 3-x A.1-x+3(x-3)=2 B.1-x+3(x-3=-2 C.1-x+3=2 D.1-x+3=-2 3,心425八下山西酯沙候马期未为于尖数、b定义一种新运算©为：a®b=。二6这里等式右边 14了，则方程x⑧1-5 是通常的实数运算。例如：1⑧4=2-？ -1的解是() -1 A.x=6 B.x=5 C.x=4 D.无解 二、填空题 4.2425八下山西临汾侯马期末)已知关于x的方程2-m-1=,工的解为非负数，则m的取值范围是 x-33-x 5.(24-25八下山西晋中左权县期末)如图，把电阻值分别为R,R的两电阻并联后接入某电路中，已知其 总电阻值R(单位：2)满足 。-。+.若R的电阻值是1Q,R的电阻值是3Q,则R的电阻值是 RR R2 2. 4/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三、解答题 6.(24-25八下山西运城稷山县期末)(1)因式分解(a2+1)2-4a2 5 (2)解方程： +4 2x-32x-3 7.(24-25八下·山西运城盐湖区.期末)(1)先化简，再求值： 11）.x+2 x-3-9+6+9’其中r=1. (2)解方程： 4=5-2x-1 2-x x-2 8.(24-25八下山西晋中介休期末)计算： 2x+3≥1 (1)解不等式组 x-2+1> 2x-1,并把解集表示在数轴上； 2 3 (2)解分式方程： X-1= 2x x-1 3x-3 9.(24-25八下山西太原期末)解分式方程： 2-x+1=1. x-33-x 10.(24-25八下·山西晋中灵石县期末)习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程，请你认 真阅读并完成相应任务： 习题2：解方程： 解：方程两边同乘(x2-1),得 习题1：计算： -t_a 1 a-1"a+l' x2-1,x(x2- L=x2-1 1 x2-1x+1 解：原式a+l(a-可a+打 a 第一步 第一步 1 （a+1(a-1 -(a+1)(a-1)+-a a+a+(a-1 1+x(x+1=x2-1 第二 ..第二步=1+aa-1) …第三 必 x=-2 第三步 步 检验：当x=-2时，x2-1≠0 …… =a2-a+1 ……第四步 第四步 原方程得解是x=-2. 第五步 任务： (1)习题1中第一步进行因式分解变形时，应用的乘法公式是，习题2中第一步变形的依据是 5/8 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (2)习题1的解答过程是从第 步开始出现错误的，习题2的解答过程是从第 步开始出现错误的； (3)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程. 目目 考点04 分式方程的应用 一、选择题 1.(24-25八下·山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)近日，太原市为推进城市更新，提升城市品质，迎 泽西大街、新建路维修改造工程全面开工.其中一段长4km的道路工程由某工程队单独来做，原计划每天 完成m,实际上…根据题意可列方程为400-40-2.根据方程可得文中省略的内容为()。 x+100 A.每天多完成100m,结果提前2天完成 B.每天少完成100m,结果推迟2天完成 C.每天多完成100m,结果推迟2天完成 D.每天少完成100m,结果提前2天完成 2.(24-25八下·山西太原期末)2025年3月14日是第六个“国际数学日”，中国邮政发行《数学之美》特种 邮票.某网店在“6-18”年中大促活动当天，售出“小版邮票册”和“邮票合集套装”共35套.其中，“小版邮票 册”的销售额为970元，“邮票合集套装”的销售额为1050元，己知“小版邮票册”的单价比“邮票合集套装”的 单价贵55元.聪聪和明明根据这一情境，分别列出如下方程 聪聪：970 1050 =55 35-x 明明： 9701050 .=35 y+55 y 下列判断正确的是() A.聪聪设的未知量x表示“小版邮票册”的单价 B.聪聪设的未知量x表示“小版邮票册”的数量 C.明明设的未知量y表示“小版邮票册”的单价 D.明明设的未知量y表示“小版邮票册”的数量 二、填空题 3.(24-25八下·山西临汾曲沃县·期末)某企业积极响应政府号召，更新生产线，淘汰落后产能，己知生产线 更新后每天比更新前多生产200件产品，生产线更新后生产1200件产品的时间与更新前生产800件产品的 时间相同，若设更新后生产线每天生产x件产品，则可列方程为 三、解答题 4.(24-25八下山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)2025年4月23日至25日，第四届全民阅读大会在 6/8 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 山西省太原市举办，以“培育读书风尚建设文化强国”为主题，大会期间揭晓了2024年度“中国好书”名单.某 校计划购进“中国好书”名单中《中国文化之美》和《中华文明的形成》这两种图书供学生阅读，其中《中国 文化之美》的单价比《中华文明的形成》的单价贵30%，用910元购买《中国文化之美》的数量比用800 元购买《中华文明的形成》的数量少1本.求这两种图书的单价. 5.(2425八下·山西晋城泽州县部分学校期末)为了改善居住环境，政府对老旧街区进行改造，在某道路改 造过程中，需要铺设3000米排水管道，为了在雨季来临前完成任务，工程指挥部合理调配人员，加强了工 程一线的人力，使得每天完成的工作量比原计划增加了20%，结果提前4天完成任务.问原计划每天完成 多少米？ 6.(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)2025年春节电影档掀起观影热潮，特别是《哪吒之魔童闹海》，截止 到2月23日全球票房超135亿，登顶动画电影票房排行榜，五一假期小明一家自驾去哪吒传奇主题公园游玩. Ai 20公 (1)从小明家到主题公园的路程为150千米，其中高速公路路段与普通公路路段的长度比为4：1，已知高速公 路行驶的平均速度是普通公路路段行驶速度的2倍，经过1.8小时后到达目的地.求汽车在高速路段行驶的 平均速度是多少？ (2)小明计划用不超过300元购买《哪吒之魔童闹海》主题手办，哪吒手办单价35元，敖丙手办单价40元.他 准备买一些送给表弟表妹，要求敖丙手办数量比哪吒手办多1个.请问小明最多能买几个哪吒手办？ 7.(2425八下·山西太原期末)某校初二共550名学生需租用大型客车参加生物学实验和信息科技操作考试， 学校要求仅租用一种车型且座位刚好坐满.某汽车租赁公司提供A、B两种适配客车，其中每辆A型客车比 每辆B型客车的乘客座位数多10%.若单独租用A型客车比单独租用B型客车的数量少1辆，求每辆A型 客车和每辆B型客车的乘客座位数， 8.(24-25八下·山西临汾侯马期末)某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨 9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多 300千克. ()该种干果的第一次进价是每千克多少元？ 7/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)如果超市将这种干果全部按每千克9元的价格出售，售完这种干果共盈利多少元？ 9.(24-25八下山西晋中介休，期末)随着“足球进校园”项目的推进，足球逐渐融入学生生活.某校计划课后 服务开设足球兴趣班，打算用6000元购进某种品牌的足球，经调查发现，该品牌足球单价比原来上涨了20%， 这样购买的足球数量比原计划减少了8个，求此品牌足球原来的价格. 10.(24-25八下山西晋城阳城县·期末)山西素有“杂粮王国”之称，不仅种类繁多，而且产量也是位居全国前 列，山西谷子更被誉为“杂粮中的金珠子”.山西某县采用生物降解渗水膜旱作技术种植谷子，现在的亩产量 比原来增加了20%，现在产出6000斤谷子所需的种植面积比原来少了2亩，求该县原来谷子的亩产量？ 8/8 专题05 分式与分式方程 4大高频考点概览 考点01分式及基本性质 考点02分式的运算 考点03解分式方程 考点04分式方程的应用 地 城 考点01 分式及基本性质 1、 选择题 1．(24-25八下·山西临汾尧都区·期末)分式的值为，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值为的条件，分式的值为，需分子的值为且分母的值不为，据此解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得， 故选：． 2．(24-25八下·山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)下列分式中是最简分式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了最简分式，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式．通过检查各选项分子和分母的公因式情况即可判断． 【详解】A．，故不是最简分式； B．，分子与分母无公因式（平方和不能因式分解），故是最简分式； C．，故不是最简分式； D．，故不是最简分式． 故选：B． 3．(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校·期末)将分式中的的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．扩大为原来的8倍 D．不变 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握其性质，正确计算是解题的关键．设原分式为，根据分式的性质，得新分式为，进而解答即可． 【详解】解：设原分式为， 将的值同时扩大为原来的2倍后，新分式为， ∴分式的值扩大为原来的8倍， 故选：C． 4．(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校·期末)下列分式中，有意义的条件为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：A、要使分式有意义，则，即，故符合题意； B、要使分式有意义，则，即，故不符合题意； C、要使分式有意义，则，即，故不符合题意； D、要使分式有意义，则，即，故不符合题意． 故选：A． 5．(24-25八下·山西临汾尧都区·期末)下列各式的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，即分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变；需逐一分析各选项是否符合该性质． 【详解】选项A：；分子分母同时约去，则，否则分式无意义；故A一定成立； 选项B：；右边为左边的平方，显然不相等（如，时，左边为，右边为），故B错误； 选项C：；分子分母同时乘以，根据分式基本性质，若，等式成立；若，则分式无意义，因此C不正确； 选项D：；分子分母同时减去，不符合分式基本性质（如，，时，左边为，右边为），故D错误； 故选：A． 6．(24-25八·山西临汾曲沃县·期末)分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据题意，由分式有意义的条件，可得，进而得出答案． 【详解】解：∵分式在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故选：C． 7．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)把分式的分子分母中的a，b都扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的4倍 D．扩大为原来的2倍 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质成为解题的关键． 把分式中的a、b分别用代替，再利用分式的基本性质化简即可解答． 【详解】解：，即分式的值不变． 故选：A． 2、 填空题 8．(24-25八下·山西晋中灵石县·期末)若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式分母不能为零求出结果即可． 【详解】解：代数式有意义， ， ， 故答案为：． 9．(24-25八下·山西临汾古县·期末)化简：______． 【答案】x 【分析】本题考查了约分．先将分子因式分解，再约分即可求解． 【详解】解：， 故答案为：x． 10．(24-25八下·山西吕梁汾阳·期末)在函数中，自变量的取值范围是________； 【答案】 【分析】本题考查求函数自变量的取值范围，根据分式成立的条件求解即可．熟练掌握分式的分母不等于零是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 故答案为：． 地 城 考点02 分式的运算 1、 选择题 1．(24-25八下·山西晋中灵石县·期末)化简的结果是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，把除法变成乘法后进行约分即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 2．(24-25八下·山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)物理学中的电路分为串联电路和并联电路，如图是一个并联电路，两电阻的阻值分别为，，并联电路的总电阻阻值为R，三者之间的关系为，则用，表示R结果正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．先把等式的右边通分，再求倒数即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 2、 填空题 3．(24-25八下·山西临汾曲沃县·期末)计算：的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方； 分式的分子、分母分别进行乘方运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．(24-25八下·山西晋中介休·期末)化简： 的结果为_____________． 【答案】 【分析】此题是分式的乘法运算．先把分子分母能因式分解的进行因式分解，再进行约分化简． 【详解】解：． 故答案为：． 3、 解答题 5．(24-25八下·山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果即可． 【详解】解：． 6．(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校·期末)（1）解分式方程：；     （2）化简：． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查了解分式方程与分式的混合运算，正确求解是解题的关键； （1）方程两边同乘，把分式方程化为整式方程，即可求解，最后检验即可； （2）利用乘法分配律，可以简化运算． 【详解】解：（1）， 方程两边同乘，得：， 解得：， 检验：当时，， 所以是原方程的解； （2）． 7．(24-25八下·山西长治长子县·期末)（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）无解 【分析】（1）先计算绝对值、乘方运算、负整数指数幂及零指数幂，再计算有理数乘法，最后由有理数加减运算求解即可得到答案； （2）按照分式方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1求解，再验根即可得到答案． 【详解】解：（1）； （2）， 去分母得， 解得， 检验：当时，最简公分母得， 即是原分式方程的增根， ∴原方程无解． 8．(24-25八下·山西临汾尧都区·期末)计算： (1)计算： (2)解方程： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解分式方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先把分子分母因式分解，然后计算除法，即可求解； （2）先把分式方程化为整式方程，解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： 去分母得 解得 检验：当时 是原方程的解． 9．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)下面是小红化简分式的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：         第一步         第二步         第三步             第四步             第五步                 第六步 (1)化简过程中，第一步进行因式分解变形时，应用的乘法公式是____，第二步变形的依据是______． (2)上述解答过程中第______步开始出现错误．错误的原因是______． (3)请写出正确的化简过程． 【答案】(1)完全平方公式；分式的基本性质 (2)三；括号前面是“”号，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号 (3)见解析 【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质． （1）观察解答过程可得答案； （2）观察解答过程知第三步开始出现错误，原因的括号前面是“”号，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号； （3）先通分算括号内的，把除化为乘，再分解因式约分． 【详解】（1）解：观察解答过程可得，第一步进行因式分解变形时，应用的乘法公式是完全平方公式，第二步变形的依据是分式的基本性质； 故答案为：完全平方公式，分式的基本性质； （2）解：观察解答过程知，解答过程中第三步开始出现错误． 错误的原因是括号前面是“”号，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号； 故答案为：三，括号前面是“”号，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号； （3）解：． 10．(24-25八下·山西临汾尧都区·期末)下面是小聪同学进行分式运算的过程，请仔细阅读并完成任务． 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)任务一：小聪同学的求解过程从第________步开始出现错误； (2)任务二：请你写出正确的计算过程． 【答案】(1)二 (2) 【分析】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据分式的混合运算法则进行分析，即可解题； （2）利用分式的混合运算法则进行正确计算，即可解题． 【详解】（1）小聪同学的求解过程从第二步开始出现错误； （2）． 地 城 考点03 解分式方程 1、 选择题 1．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)分式方程的根是（   ） A． B．无解 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程乘以转化为整式方程求解，并检验解是否使分母为零解答即可． 【详解】解：两边同时乘以得， 解得：， 经检验：是原方程的增根， ∴原方程无解， 故选：B． 2．(24-25八下·山西临汾曲沃县·期末)解分式方程时，去分母后变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断． 【详解】解：方程变形得：， 去分母得：， 故选：B． 3．(24-25八下·山西临汾侯马·期末)对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是（   ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程以及新定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：， 去分母，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 故选：C． 2、 填空题 4．(24-25八下·山西临汾侯马·期末)已知关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是____． 【答案】 且 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，一定要注意分式方程的最简公分母不能为0． 先解关于x的方程可得，再根据方程的解x为非负数可得且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：， 去分母得： 解得 ∵分母 ，即 ，代入解得：， ∴， 又∵关于x的方程解为非负数，即， ∴， ∴. 综上， 的取值范围是 且 。 5．(24-25八下·山西晋中左权县·期末)如图，把电阻值分别为，的两电阻并联后接入某电路中，已知其总电阻值R（单位：Ω）满足．若R的电阻值是1Ω，的电阻值是3Ω，则的电阻值是__________Ω． 【答案】1.5 【分析】本题主要考查解分式方程，关键是掌握分式方程化简的方法和步骤． 根据题意，将，代入，再化简解方程即可． 【详解】解：∵， 将，代入上式，得， 解得， 经验证，符合． 故答案为：． 3、 解答题 6．(24-25八下·山西运城稷山县·期末)（1）因式分解 （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是因式分解，分式方程的解法； （1）先利用平方差公式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先去分母，化为整式方程，再解整式方程，并检验即可． 【详解】解：（1） （2）， 方程两边都乘，得， ∴， ∴， ∴， 经检验是原方程的根． 7．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)（1）先化简，再求值：，其中． （2）解方程：． 【答案】（1）；；（2） 【分析】本题主要考查分式的化简求值及分式方程的解法，熟练掌握分式的化简求值及分式方程的解法是解题的关键． （1）先把分子分母进行因式分解，然后再进行分式的除法运算，最后代入值求解即可； （2）先去分母，然后再进行求解方程即可． 【详解】解：（1）原式． 当时，原式； （2）方程两边同时乘，得 解这个方程，得 检验：当时，， 所以，是原方程的根． 8．(24-25八下·山西晋中介休·期末)计算： (1)解不等式组，并把解集表示在数轴上； (2)解分式方程：． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，解分式方程，掌握相关解法是解题关键． （1）先求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可． （2）将方程两边乘以化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； 【详解】（1）解：， 解不等式①，可得， 解不等式②，可得， 该不等式的解集为， 将其表示在数轴上如图所示： （2）解：， 两边都乘以，得：． 解得：， 检验：时，， 分式方程的解为． 9．(24-25八下·山西太原·期末)解分式方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程去分母，转化为整式方程，求解并检验即可． 【详解】解：方程两边都乘，得， 移项、合并同类项得， 把系数化为1，得 ， 检验： 时，， 所以，是原方程的解． 10．(24-25八下·山西晋中灵石县·期末)习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程，请你认真阅读并完成相应任务： 习题1：计算：． 解：原式        ……第一步 ……第二步                         ……第三步                            ……第四步 习题2：解方程： 解：方程两边同乘，得         ……第一步               ……第二步                          ……第三步 检验：当时，    ……第四步 ∴原方程得解是．         ……第五步 任务： (1)习题1中第一步进行因式分解变形时，应用的乘法公式是______，习题2中第一步变形的依据是______； (2)习题1的解答过程是从第______步开始出现错误的，习题2的解答过程是从第______步开始出现错误的； (3)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】(1)平方差公式；等式的基本性质2 (2)第二步；第二步 (3)见详解 【分析】（1）习题1中，第一步将分母分解因式为：，这是利用因式分解的平方差公式；习题2中，第一步去分母，方程两边各项都乘以，这是利用等式性质2； （2）习题1中，第二步通分结果为：，而题目第二步错误地给整个分式乘公分母化为整式；习题2中，​第二步错误：化简时未因式分解约分：错误写法：(实际应为正确步骤：； （3）习题1，利用平方差公式将分式的分母因式分解，根据分式的基本性质将分式通分，最后按同分母分式的加减法进行运算；习题2，根据等式的性质2，将方程两边乘去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行求解． 【详解】（1）解：习题1中，第一步进行因式分解变形时应用了乘法的平方差公式；习题2中第一步变形的依据是等式的基本性质2（等式两边同时乘以同一个不为零的整式，等式仍然成立） （2）解：习题1的解答过程是从第二步开始出现错误的；习题2的解答过程是从第二步开始出现错误的； （3）解：习题1正确过程如下： 原式 ， ​， ， ． 习题2正确过程如下： 去分母，得 ， 去括号，得， 移项合并同类项，得，                      检验：当时，    ∴原方程的解是． 地 城 考点04 分式方程的应用 1、 选择题 1．(24-25八下·山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)近日，太原市为推进城市更新，提升城市品质，迎泽西大街、新建路维修改造工程全面开工．其中一段长的道路工程由某工程队单独来做，原计划每天完成xm，实际上……根据题意可列方程为．根据方程可得文中省略的内容为（    ）． A．每天多完成100m，结果提前2天完成 B．每天少完成100m，结果推迟2天完成 C．每天多完成100m，结果推迟2天完成 D．每天少完成100m，结果提前2天完成 【答案】A 【分析】本题主要查了分式方程的应用．根据方程 ， 表示原计划天数， 表示实际天数，方程表明原计划天数比实际天数多2天，即实际提前2天完成，且实际每天完成量比原计划多100m． 【详解】解：∵ 原计划每天完成米，总路程4000m， ∴ 原计划天数为天． ∵ 实际每天完成m， ∴ 实际天数为天． ∵ 方程表示原计划天数减实际天数等于2， ∴ 实际比原计划提前2天完成，且实际每天多完成100m． ∴ 文中省略的内容为“每天多完成100m，结果提前2天完成”． 故选A 2．(24-25八下·山西太原·期末)2025年3月14日是第六个“国际数学日”，中国邮政发行《数学之美》特种邮票．某网店在“6-18”年中大促活动当天，售出“小版邮票册”和“邮票合集套装”共35套．其中，“小版邮票册”的销售额为970元，“邮票合集套装”的销售额为1050元，已知“小版邮票册”的单价比“邮票合集套装”的单价贵55元．聪聪和明明根据这一情境，分别列出如下方程 聪聪： 明明： 下列判断正确的是（    ） A．聪聪设的未知量表示“小版邮票册”的单价 B．聪聪设的未知量表示“小版邮票册”的数量 C．明明设的未知量表示“小版邮票册”的单价 D．明明设的未知量表示“小版邮票册”的数量 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程中未知数的实际意义．题目中涉及两个未知数，需根据方程结构判断未知数的实际意义．聪聪的方程通过单价差建立等式，而明明的方程通过总数量建立等式． 【详解】解：聪聪的方程为， 方程左边为两个分数相减，右边为单价差55， ∵“小版邮票册”的单价比“邮票合集套装”的单价贵55元， ∴为“小版邮票册”的单价，为“邮票合集套装”的单价， ∴表示“小版邮票册”的数量， 故选项B正确，选项A错误； 明明的方程为 ， 方程左边为两个分数相加，右边为总数量35， ∵“小版邮票册”的销售额为970元，“邮票合集套装”的销售额为1050元， ∴为“小版邮票册”的数量， 为“邮票合集套装”的数量， ∴ 表示“邮票合集套装”的单价， 故选项C、D均错误． 故选：B． 2、 填空题 3．(24-25八下·山西临汾曲沃县·期末)某企业积极响应政府号召，更新生产线，淘汰落后产能，已知生产线更新后每天比更新前多生产200件产品，生产线更新后生产1200件产品的时间与更新前生产800件产品的时间相同，若设更新后生产线每天生产x件产品，则可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用； 设更新后生产线每天生产x件产品，则更新前生产线每天生产件产品，根据时间相同列方程即可． 【详解】解：设更新后生产线每天生产x件产品，则更新前生产线每天生产件产品， 由题意得：， 故答案为：． 3、 解答题 4．(24-25八下·山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)2025年4月23日至25日，第四届全民阅读大会在山西省太原市举办，以“培育读书风尚  建设文化强国”为主题，大会期间揭晓了2024年度“中国好书”名单．某校计划购进“中国好书”名单中《中国文化之美》和《中华文明的形成》这两种图书供学生阅读，其中《中国文化之美》的单价比《中华文明的形成》的单价贵，用910元购买《中国文化之美》的数量比用800元购买《中华文明的形成》的数量少1本．求这两种图书的单价． 【答案】《中华文明的形成》的单价为100元，《中国文化之美》的单价为130元 【分析】本题考查了分式方程的应用．设《中华文明的形成》的单价为x元，则《中国文化之美》的单价为元，根据“用910元购买《中国文化之美》的数量比用800元购买《中华文明的形成》的数量少1本”列出分式方程，据此求解即可． 【详解】解：设《中华文明的形成》的单价为x元，则《中国文化之美》的单价为元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴． 答：《中华文明的形成》的单价为100元，《中国文化之美》的单价为130元． 5．(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校·期末)为了改善居住环境，政府对老旧街区进行改造，在某道路改造过程中，需要铺设3000米排水管道，为了在雨季来临前完成任务，工程指挥部合理调配人员，加强了工程一线的人力，使得每天完成的工作量比原计划增加了，结果提前4天完成任务．问原计划每天完成多少米？ 【答案】125米 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出方程求解是解题的关键． 设原计划每天完成米，现每天完成，再根据结果提前4天完成任务，建立方程求解即可． 【详解】设原计划每天完成米， 则原计划完成任务共需天， 现每天完成的工作量比原计划增加了， 则每天完成，完成任务共需天， 又因为结果提前4天完成任务， 所以， 解得， 经检验符合题意，且是原方程的解， 答：原计划每天完成125米． 6．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)年春节电影档掀起观影热潮，特别是《哪吒之魔童闹海》，截止到月日全球票房超亿，登顶动画电影票房排行榜，五一假期小明一家自驾去哪吒传奇主题公园游玩． (1)从小明家到主题公园的路程为千米，其中高速公路路段与普通公路路段的长度比为，已知高速公路行驶的平均速度是普通公路路段行驶速度的2倍，经过小时后到达目的地．求汽车在高速路段行驶的平均速度是多少？ (2)小明计划用不超过元购买《哪吒之魔童闹海》主题手办，哪吒手办单价元，敖丙手办单价元．他准备买一些送给表弟表妹，要求敖丙手办数量比哪吒手办多个．请问小明最多能买几个哪吒手办？ 【答案】(1)千米时； (2)个． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找出数量关系，列出分式方程和不等式是解题的关键． （）设汽车在普通公路路段行驶的平均速度为千米时，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）设小明购买了个哪吒手办，根据题意得，然后解不等式并检验即可． 【详解】（1）解：设汽车在普通公路路段行驶的平均速度为千米时， 根据题意，得：， 解得：， 经检验：是原方程的根，且符合实际， （千米时） 答：汽车在高速公路路段行驶的平均速度为千米时； （2）解：设小明购买了个哪吒手办， 根据题意，得， 解得：， ∵为正整数且取最大值， ∴， 答：小明最多能买个哪吒手办． 7．(24-25八下·山西太原·期末)某校初二共550名学生需租用大型客车参加生物学实验和信息科技操作考试，学校要求仅租用一种车型且座位刚好坐满．某汽车租赁公司提供A、B两种适配客车，其中每辆型客车比每辆型客车的乘客座位数多．若单独租用型客车比单独租用B型客车的数量少1辆，求每辆A型客车和每辆B型客车的乘客座位数． 【答案】每辆型客车有55个乘客座位，每辆型客车有50个乘客座位 【分析】本题考查了分式方程的应用． 根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设每辆型客车有个乘客座位， ∵每辆型客车比每辆型客车的乘客座位数多， ∴每辆型客车有个乘客座位， ∵共550名学生，单独租用型客车比单独租用B型客车的数量少1辆， ∴． 解得：． 经检验，是原方程的根． （个）   答：每辆型客车有55个乘客座位，每辆型客车有50个乘客座位． 8．(24-25八下·山西临汾侯马·期末)某超市用元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了，购进干果数量是第一次的倍还多千克． 该种干果的第一次进价是每千克多少元？ 如果超市将这种干果全部按每千克元的价格出售，售完这种干果共盈利多少元？ 【答案】（1）该种干果的第一次进价是每千克5元；（2）售完这种干果共盈利6900元． 【分析】（1）设该种干果的第一次进价是每千克元，则第二次进价是每千克元，根据第二次购进干果数量是第一次的倍还多千克列方程求出x的值即可； （2）根据销售总额-进货总额即可得答案． 【详解】（1）设该种干果的第一次进价是每千克元，则第二次进价是每千克元 ∵第二次购进干果数量是第一次的倍还多千克， ∴， 解得， 经检验是方程的解， 答：该种干果的第一次进价是每千克元． （2）=18900-12000（元）． 答:超市销售这种干果共盈利元. 9．(24-25八下·山西晋中介休·期末)随着“足球进校园”项目的推进，足球逐渐融入学生生活．某校计划课后服务开设足球兴趣班，打算用6000元购进某种品牌的足球，经调查发现，该品牌足球单价比原来上涨了20%，这样购买的足球数量比原计划减少了8个，求此品牌足球原来的价格． 【答案】125元 【分析】设此品牌足球原来的价格为x元，根据：用6000元购进某种品牌的足球，经调查发现，该晶牌足球单价比原来上涨了20%，这样购买的足球数量比原计划减少了8个，建立分式方程即可. 【详解】解：设此品牌足球原来的价格为x元， 由题意列得方程 解得，经检验符合题意； ∴此品牌足球原来的价格为125元． 10．(24-25八下·山西晋城阳城县·期末)山西素有“杂粮王国”之称，不仅种类繁多，而且产量也是位居全国前列，山西谷子更被誉为“杂粮中的金珠子”．山西某县采用生物降解渗水膜旱作技术种植谷子，现在的亩产量比原来增加了，现在产出6000斤谷子所需的种植面积比原来少了2亩，求该县原来谷子的亩产量？ 【答案】该县原来谷子的亩产量斤 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式是解题的关键．等量关系式：原来产出6000斤谷子所需的种植面积现在产出6000斤谷子所需的种植面积亩，据此列方程，即可求解． 【详解】解：设该县原来谷子的亩产量斤，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义， 答：该县原来谷子的亩产量斤． 1 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $