专题04 函数 3大高频考点式（期末真题汇编，山西专用人教版）八年级数学下学期

**基本信息** 聚焦函数三大核心考点，精选山西多地期末真题，融合科技（如纳米气凝胶）与生活（如天然气收费）情境，梯度设计提升应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约10题|函数概念（常量变量判断）、图像识别（行程问题）|结合智能机器人送餐图像分析运动状态| |填空|约7题|自变量取值范围、函数值计算|以蓄水池放水数据考查一次函数应用| |解答|约5题|分段函数关系式、跨学科探究|项目式学习结合人体数据建立身高与脚长函数模型，综合题分析浮力实验中弹簧测力计示数与深度关系|

专题04 函数 3大高频考点概览 考点01函数的概念 考点02自变量与函数值 考点03函数的图像 地 城 考点01 函数的概念 1、 选择题 1．(25-26八下·山西大同·期末)刘老师到加油站加油，如图，这是他所用的加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（ ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 2．(25-26八下·山西忻州·期末)下图是某年部分节气对应的白昼时长示意图，白昼时长=（12-日出时刻）2=（日落时刻-12）2．下列结论中正确的是（   ） A．立夏这天的日出时刻是5:30 B．白昼时长在12 h～15 h的有10天 C．立冬这天的日落时刻是17:00 D．小满时白昼时间最长 3．(25-26八下·山西运城芮城县部分学校·期末)我国很早就利用风能进行发电，如图，在发电的过程中，发电机组的输出功率随风速的变化而变化．这一过程中，自变量是（    ） A．风速 B．输出功率 C．发电机 D．以上都不对 4．(24-25八下·山西朔州右玉县右玉教育集团初中部·期末)已知正方形的周长与其边长之间的函数关系式为，其中是（    ） A．函数 B．函数值 C．常量 D．自变量 2、 填空题 5．(25-26八下·山西太原太原新希望双语学校等校·期末)移动公司推出的“动感青春”套餐中流量计费规则如下（每月使用流量为） 不收费 超出的部分按元计费 超出的部分按元计费 则李明月使用流量费用y元与x的函数关系为_________． 6．(25-26八下·山西晋中左权县等3地·期末)我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如下表： 温度 100 150 200 250 … 导热率K（） 0.15 0.2 0.25 0.3 … 根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为______℃． 3、 解答题 7．(25-26八下·山西晋中太谷区·期末)天然气收费标准因地而异，某城市按以下规定分档收取居民管道天然气费：第一档用气量（每户每月26立方米及以下），按每立方米元收费；第二档用气量（每户每月26立方米以上至38立方米及以下），按每立方米元收费；第三档用气量（每户每月38立方米以上），按每立方米元收费．设小丽家某月用气量为x立方米，应交管道天然气费为y元． (1)小丽家5月份的用气量为30立方米，则小丽家该月应交管道天然气费_______元 (2)当时，写出y与x之间的关系式； (3)若小丽家10月份的管道天然气费为元，求她家这个月的用气量？ 8．(24-25八下·山西临汾部分学校·期末)阅读与思考 下面是云舒同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的问题． 寒假时我和妈妈一起去移动营业厅办业务，我发现了通话时间和电话费之间的函数关系，我做了以下研究： 将通话时间和相应的电话费列表格如下： 通话时间/分 1 2 3 4 5 6 … 电话费/元 0.15 0.3 0.45 0.6 0.75 0.9 … 我思考了以下几个问题： (1)自变量是__________，因变量是__________， (2)电话费（元）与通话时间（分）之间的关系式是什么？ (3)若妈妈通话10分钟，则需付话费多少元？ (4)若妈妈某次通话后，需付话费元，则妈妈通话多少分钟？ 地 城 考点02 自变量与函数值 1、 选择题 1．(24-25八下·山西临汾古县部分学校·期末)函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．(23-24八下·山西临汾尧都区临汾兴国实验学校·期末)在函数中，自变量的取值范围是______． 3．(23-24八下·山西吕梁交口县部分学校·期末)如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加．根据小球速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系，第时小球的速度为______． 4．(24-25八下·山西临汾霍州部分多校联考·期末)已知蓄水池有水，现匀速放水，池中水量和放水时间的关系如下表所示，则放水后，池中水量为（   ） 放水时间 0 1 2 3 4 … 池中水量 50 48 46 44 42 … A． B． C． D． 2、 填空题 5．(24-25八下·山西吕梁汾阳·期末)在函数中，自变量的取值范围是________； 6．(24-25八下·山西临汾侯马·期末)函数中，自变量的取值范围是_____． 7．(24-25八下·山西阳泉盂县多校联考·期末)5．函数的自变量x的取值范围是___． 地 城 考点03 函数的图像 1、 选择题 1．(24-25八下·山西吕梁交口县·期末)下列曲线中不能表示y是x的函数的是（　　） A．B．C．D． 2．(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校·期末)如图所示是某物体做直线运动时的路程随时间变化的图象，由图象判断下列说法错误的是（    ） A．时，物体通过的路程为 B．在整个时间内，物体运动的平均速度为 C．物体运动的总路程为 D．物体在内的速度比内的速度大 3．(24-25八下·山西朔州怀仁·期末)如图①，动点P从菱形的顶点A出发，沿边匀速运动，到达点C时P停止；设点P运动的路程为x，它与对角线交点O之间的距离为，如图②是y与x之间的函数图象，当点P运动至边的中点时，函数值y等于（ ） A． B． C．4 D．6 4．(24-25八下·山西阳泉部分学校·期末)人工智能的发展使得智能机器人送餐成为一种时尚．如图，某餐厅的机器人小乐和小文从出餐口出发，准备给相距的客人送餐，小乐比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．若小乐行进的时间为（单位：），小乐和小文行进的路程，（单位：）与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．小乐比小文先出发 B．小文提速后的速度为 C．小乐的速度为 D．小文比小乐提前到达客人位置 5．(24-25八下·山西临汾尧都区·期末)如图①，在正方形中，点在边上，且，点沿从点运动到点．设点到边的距离为，，随变化的函数图象如图②所示，则图②中函数图象的最低点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2、 选择题 6．(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校·期末)综合与实践我们已经知道，描述函数的方法通常有三种：“列表法”、“图象法”、“表达式法”，这三种表示方法各有优缺点，在实际应用中常常会结合使用，以便更好地理解和研究函数的性质解决实际问题、现在就用我们所学过的函数知识来解决下面问题： 问题情境：如图1，红雨学习小组在测浮力的实验中，将一圆柱体金属块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动逐渐浸入到水里，研究发现从金属块刚接触水面到恰好完全浸入水中时，弹簧测力计的示数（单位：）是金属块浸入水中的深度（单位：）的一次函数．通过记录弹簧测力计的示数与金属块浸入水中的深度得到如下表： cm 0 1 2 3 4 5 6 … N 6 5.5 4.75 4.5 4 4 4 … (1)在处理数据时，组员小明同学发现在上表的数据中有一组数据记录错误．请在图2中，通过描点的方法画出函数图象，观察判断哪一组数据是错误的，并求出正确的值； (2)由物理学知识可知，当金属块的下表面刚好与水面接触时，；当金属块入水后，，若某一时刻该金属块所受的浮力为，求此时金属块浸入水中的深度． 7．(24-25八下·山西朔州怀仁·期末)项目式学习 问题背景：人体中蕴含着丰富的数学规律，从宏观结构到微观分子，例如：头顶到肚脐与肚脐到脚底的比例接近黄金比：多数器官呈左右对称……某数学活动小组对以下问题展开了探究． 数据收集：经过调查发现，当人的大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离d是身高y的函数，人的身高y和脚长x之间也近似存在一个函数关系如图①该小组同学收集了大量不同人群的相关数据，并将数据整理得到下表部分数据不完整： 脚长 … m … 身高（平均值） … 160 165 170 175 180 … 指尖距离 … 20 … 建立模型： (1)根据表中数据呈现的规律，判断两指尖的距离d是身高y的______函数（填“一次”或“正比例”），则指间距离d与身高y的函数解析式为______； (2)如图②，小组同学描出了表中数据对应的点，观察图象、写出人的身高y和脚长x之间的函数解析式______，表格中的数据______. 问题解决： (3)“光明”中学计划开展一次学生素质拓展训练，为了合理分配场地，将每个团队位置划分为一个长方形，数学小组利用上面研究得出的结论测量长方形空地的长和宽．已知成员A的身高为．她测得长方形的长约为13个脚长，成员B的身高为．他测得长方形的宽约为13个指尖距离，求长方形空地的长和宽．（结果保留整数） 1 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数 3大高频考点概览 考点01函数的概念 考点02自变量与函数值 考点03函数的图像 地 城 考点01 函数的概念 1、 选择题 1．(25-26八下·山西大同·期末)刘老师到加油站加油，如图，这是他所用的加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（ ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 【答案】B 【详解】解：∵常量是固定不变的量，变量是变化的量， ∴单价是不变的量，而金额随着数量的变化而变化， ∴常量是单价． 故选B． 2．(25-26八下·山西忻州·期末)下图是某年部分节气对应的白昼时长示意图，白昼时长=（12-日出时刻）2=（日落时刻-12）2．下列结论中正确的是（   ） A．立夏这天的日出时刻是5:30 B．白昼时长在12 h～15 h的有10天 C．立冬这天的日落时刻是17:00 D．小满时白昼时间最长 【答案】C 【详解】解：A、由图象可得，立夏这天的白昼时长为14小时， 日出时刻． 解得日出时刻 立夏这天的日出时刻是故A选项中的结论错误，不符合题意； B、由图象可得，白昼时长在小时的有天，故B选项中的结论错误，不符合题意； C、由图象可得，立冬这天的白昼时长为10小时， 日落时刻 解得日落时刻 立冬这天的日落时刻是故C选项中的结论正确，符合题意； D、由图象可得，夏至时白昼时间最长，为15小时，故D选项中的结论错误，不符合题意． 故选：C． 3．(25-26八下·山西运城芮城县部分学校·期末)我国很早就利用风能进行发电，如图，在发电的过程中，发电机组的输出功率随风速的变化而变化．这一过程中，自变量是（    ） A．风速 B．输出功率 C．发电机 D．以上都不对 【答案】A 【详解】解：∵发电机组的输出功率随风速的变化而变化， ∴自变量为风速，因变量为发电机组的输出功率． 故选：A． 4．(24-25八下·山西朔州右玉县右玉教育集团初中部·期末)已知正方形的周长与其边长之间的函数关系式为，其中是（    ） A．函数 B．函数值 C．常量 D．自变量 【答案】D 【详解】解：正方形的周长随着边长的变化而变化， 是自变量， 故选：D． 2、 填空题 5．(25-26八下·山西太原太原新希望双语学校等校·期末)移动公司推出的“动感青春”套餐中流量计费规则如下（每月使用流量为） 不收费 超出的部分按元计费 超出的部分按元计费 则李明月使用流量费用y元与x的函数关系为_________． 【答案】 【详解】根据题意得：当时， 即 6．(25-26八下·山西晋中左权县等3地·期末)我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如下表： 温度 100 150 200 250 … 导热率K（） 0.15 0.2 0.25 0.3 … 根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为______℃． 【答案】500 【详解】解：由表格可得，温度每增加，导热率增加， ∴当导热率为时，温度为： ， 故答案为：500． 3、 解答题 7．(25-26八下·山西晋中太谷区·期末)天然气收费标准因地而异，某城市按以下规定分档收取居民管道天然气费：第一档用气量（每户每月26立方米及以下），按每立方米元收费；第二档用气量（每户每月26立方米以上至38立方米及以下），按每立方米元收费；第三档用气量（每户每月38立方米以上），按每立方米元收费．设小丽家某月用气量为x立方米，应交管道天然气费为y元． (1)小丽家5月份的用气量为30立方米，则小丽家该月应交管道天然气费_______元 (2)当时，写出y与x之间的关系式； (3)若小丽家10月份的管道天然气费为元，求她家这个月的用气量？ 【答案】(1)90； (2) (3)她家这个月的用气量为36立方米 【详解】（1）解：元， ∴小丽家该月应交管道天然气费90元； （2）解：由题意得， ； （3）解：当时，， ， ∴该月她家的用气量大于26立方米且小于38立方米， 则，解得， 答：她家这个月的用气量为36立方米． 8．(24-25八下·山西临汾部分学校·期末)阅读与思考 下面是云舒同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的问题． 寒假时我和妈妈一起去移动营业厅办业务，我发现了通话时间和电话费之间的函数关系，我做了以下研究： 将通话时间和相应的电话费列表格如下： 通话时间/分 1 2 3 4 5 6 … 电话费/元 0.15 0.3 0.45 0.6 0.75 0.9 … 我思考了以下几个问题： (1)自变量是__________，因变量是__________， (2)电话费（元）与通话时间（分）之间的关系式是什么？ (3)若妈妈通话10分钟，则需付话费多少元？ (4)若妈妈某次通话后，需付话费元，则妈妈通话多少分钟？ 【答案】(1)通话时间，电话费 (2) (3)需付话费元 (4)妈妈通话32分钟． 【详解】（1）解：甲、乙两地打电话需付的电话费y（元）是随时间t（分钟）的变化而变化的， 自变量是通话时间，因变量是电话费， 故答案为：通话时间，电话费； （2）解：根据表格可得，每分钟话费为0.15元， 电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的关系式为； （3）解：当时，， 所以，需付话费元； （4）解：当时，， 所以，妈妈通话32分钟． 地 城 考点02 自变量与函数值 1、 选择题 1．(24-25八下·山西临汾古县部分学校·期末)函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：函数中，， 解得， 即自变量的取值范围是； 故选：A． 2．(23-24八下·山西临汾尧都区临汾兴国实验学校·期末)在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：在函数中，∵， ∴自变量的取值范围是． 故答案为： 3．(23-24八下·山西吕梁交口县部分学校·期末)如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加．根据小球速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系，第时小球的速度为______． 【答案】 【详解】解：由题意，得， 当时，， 故答案为：． 4．(24-25八下·山西临汾霍州部分多校联考·期末)已知蓄水池有水，现匀速放水，池中水量和放水时间的关系如下表所示，则放水后，池中水量为（   ） 放水时间 0 1 2 3 4 … 池中水量 50 48 46 44 42 … A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意知，水池中水量每分钟减少， 设水池中剩余水量为，放水时间为 ∴， ∴当时，． 即当放水时，水池中有水． 故选：C． 2、 填空题 5．(24-25八下·山西吕梁汾阳·期末)在函数中，自变量的取值范围是________； 【答案】 【详解】解：由题意可得，， 故答案为：． 6．(24-25八下·山西临汾侯马·期末)函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 7．(24-25八下·山西阳泉盂县多校联考·期末)5．函数的自变量x的取值范围是___． 【答案】 【详解】解：在实数范围内有意义， 则；解得 故答案为 地 城 考点03 函数的图像 1、 选择题 1．(24-25八下·山西吕梁交口县·期末)下列曲线中不能表示y是x的函数的是（　　） A．B．C．D． 【答案】B 【详解】解：A、C、D中的曲线都满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，能表示y是x的函数，不符合题意； B中的曲线对于x的每一个取值，y与之对应的值不唯一，不能表示y是x的函数，符合题意． 2．(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校·期末)如图所示是某物体做直线运动时的路程随时间变化的图象，由图象判断下列说法错误的是（    ） A．时，物体通过的路程为 B．在整个时间内，物体运动的平均速度为 C．物体运动的总路程为 D．物体在内的速度比内的速度大 【答案】C 【详解】解：A：由题图知，时，物体通过的路程为说法正确，不符合题意． B：整个时间内，物体通过的路程为，则物体的平均速度，B说法正确，不符合题意． C：由图可知，物体通过的总路程为，故C说法错误，符合题意； D：内物体速度， 内物体速度， 故物体在内的速度比内的速度大，D说法正确，不符合题意． 故选：C． 3．(24-25八下·山西朔州怀仁·期末)如图①，动点P从菱形的顶点A出发，沿边匀速运动，到达点C时P停止；设点P运动的路程为x，它与对角线交点O之间的距离为，如图②是y与x之间的函数图象，当点P运动至边的中点时，函数值y等于（ ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【详解】解：根据函数图象，可得，， 由菱形，得，， ， 当点P运动至边的中点时，是的中位线， ， 故选：A． 4．(24-25八下·山西阳泉部分学校·期末)人工智能的发展使得智能机器人送餐成为一种时尚．如图，某餐厅的机器人小乐和小文从出餐口出发，准备给相距的客人送餐，小乐比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．若小乐行进的时间为（单位：），小乐和小文行进的路程，（单位：）与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．小乐比小文先出发 B．小文提速后的速度为 C．小乐的速度为 D．小文比小乐提前到达客人位置 【答案】C 【详解】解：结合图象可知，由图象可知，小乐的图象从开始，小文的图象从开始，所以小乐比小文先出发，故A选项错误，不符合题意； ∵当时，，当时，， ∴小文提速前的速度是， ∵小文出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴小文提速后速度为，故B选项错误，不符合题意； 故提速后小文行走所用时间为：， ∴， ∴， ∴小乐的速度为， ∴C选项说法正确符合题意； ∴； ∴，故D选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 5．(24-25八下·山西临汾尧都区·期末)如图①，在正方形中，点在边上，且，点沿从点运动到点．设点到边的距离为，，随变化的函数图象如图②所示，则图②中函数图象的最低点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：四边形是正方形， ，， 设， ， ，， 根据图象，当时，， ， 解得：， ，，， 正方形， 点与点关于直线对称， 连接，交于点， 当点与点重合时，取得最小值， ， 设此时点关于直线的对称点为， 根据题意，，、、三点共线， 根据正方形的性质，得点到边的距离为，点到边的距离也为， ， ， 解得：， 故图②中函数图象的最低点的坐标为， 故选：D． 2、 选择题 6．(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校·期末)综合与实践我们已经知道，描述函数的方法通常有三种：“列表法”、“图象法”、“表达式法”，这三种表示方法各有优缺点，在实际应用中常常会结合使用，以便更好地理解和研究函数的性质解决实际问题、现在就用我们所学过的函数知识来解决下面问题： 问题情境：如图1，红雨学习小组在测浮力的实验中，将一圆柱体金属块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动逐渐浸入到水里，研究发现从金属块刚接触水面到恰好完全浸入水中时，弹簧测力计的示数（单位：）是金属块浸入水中的深度（单位：）的一次函数．通过记录弹簧测力计的示数与金属块浸入水中的深度得到如下表： cm 0 1 2 3 4 5 6 … N 6 5.5 4.75 4.5 4 4 4 … (1)在处理数据时，组员小明同学发现在上表的数据中有一组数据记录错误．请在图2中，通过描点的方法画出函数图象，观察判断哪一组数据是错误的，并求出正确的值； (2)由物理学知识可知，当金属块的下表面刚好与水面接触时，；当金属块入水后，，若某一时刻该金属块所受的浮力为，求此时金属块浸入水中的深度． 【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）解：依题意，如图所示： 观察判断这数据是错误的， ∵弹簧测力计的示数（单位：）是金属块浸入水中的深度（单位：）的一次函数． ∴设， 把分别代入， 得， ∴， ∴， 把代入， 得， （2）解：当金属块的下表面刚好与水面接触时，； ∴当时，， 当金属块入水后，，若某一时刻该金属块所受的浮力为， 即， 由（1）得， 把代入，得， 解得． ∴若某一时刻该金属块所受的浮力为，求此时金属块浸入水中的深度为． 7．(24-25八下·山西朔州怀仁·期末)项目式学习 问题背景：人体中蕴含着丰富的数学规律，从宏观结构到微观分子，例如：头顶到肚脐与肚脐到脚底的比例接近黄金比：多数器官呈左右对称……某数学活动小组对以下问题展开了探究． 数据收集：经过调查发现，当人的大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离d是身高y的函数，人的身高y和脚长x之间也近似存在一个函数关系如图①该小组同学收集了大量不同人群的相关数据，并将数据整理得到下表部分数据不完整： 脚长 … m … 身高（平均值） … 160 165 170 175 180 … 指尖距离 … 20 … 建立模型： (1)根据表中数据呈现的规律，判断两指尖的距离d是身高y的______函数（填“一次”或“正比例”），则指间距离d与身高y的函数解析式为______； (2)如图②，小组同学描出了表中数据对应的点，观察图象、写出人的身高y和脚长x之间的函数解析式______，表格中的数据______. 问题解决： (3)“光明”中学计划开展一次学生素质拓展训练，为了合理分配场地，将每个团队位置划分为一个长方形，数学小组利用上面研究得出的结论测量长方形空地的长和宽．已知成员A的身高为．她测得长方形的长约为13个脚长，成员B的身高为．他测得长方形的宽约为13个指尖距离，求长方形空地的长和宽．（结果保留整数） 【答案】(1)一次， (2)，25 (3)长方形空地的长约为，宽约为 【详解】（1）解：根据表中数据呈现的规律，判断两指尖的距离d是身高y的一次函数， 设， 把和代入得， 解得， 指间距离d与身高y的函数解析式为， 故答案为：一次，； （2）解：设人的身高y和脚长x之间的函数解析式为， 把，代入得， 解得， 人的身高y和脚长x之间的函数解析式为， 把，代入得， 故答案为：，25； （3）解：将代入，得， 解得， 所以长方形空地的长为， 将代入，得， 所以长方形空地的宽为， 答：长方形空地的长约为，宽约为． 1 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $