重难点02 四边形 6大高频考点式（期末真题汇编，山西专用人教版）八年级数学下学期

**基本信息** 聚焦四边形6大高频考点，汇编山西多地期末真题，涵盖平行四边形性质判定、特殊四边形及三角形中位线，突出性质应用与综合证明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6题|平行四边形性质、矩形对角线、正方形面积|结合折叠（菱形）、中位线判定（中点四边形）| |填空题|5题|平行四边形角平分线、矩形折叠边长、正方形最值|注重几何计算与性质综合（如菱形高计算）| |解答题|多题|平行四边形判定、矩形证明、菱形实际应用|含尺规作图（角平分线）、折叠探究（矩形）、舞台升降机模型分析|

重难点02 四边形 6大高频考点概览 考点01平行四边形及其性质 考点02平行四边形及其判定 考点03与三角形的中位线有关的问题 考点04矩形的性质及判定 考点05菱形的性质及判定 考点06正方形的性质及判定 地 城 考点01 平行四边形及其性质 一、选择题 1．(24-25八下·山西朔州怀仁·期末)如图，在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点O；③作射线，分别交于点E，交的延长线于点；若，，则下列结论不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 2．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)在中，已知，，，则的面积是（   ） A．6 B． C．12 D． 3．(24-25八下·山西阳泉部分学校·期末)如图，在中，对角线．若，，则该平行四边形的周长为（    ） A．28 B．30 C．32 D．36 二、填空题 4．(24-25八下·山西大同部分学校联考·期末)如图，在中，的平分线交于点F，的平分线交于点E，与相交于点G．若，，，则的长为__________． 5．(24-25八·山西临汾曲沃县·期末)如图，在中，的平分线交于点F，的平分线交于点E，与相交于点G．若，，，则的长为______． 3、 解答题 6．(24-25八下·山西吕梁柳林县·期末)如图，校园内有一片草地，它的形状是平行四边形，已知，，，求该草地的面积． 7．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)已知：如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点．求证：． 8．(24-25八下·山西临汾古县·期末)如图，已知四边形是平行四边形． (1)实践与操作：利用尺规作的平分线，交边于点E（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)猜想与证明：试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明． 地 城 考点02 平行四边形及其判定 1、 解答题 1．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)已知：如图，四边形是平行四边形，P，Q是对角线上的两个点，且．试判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由． 2．(24-25八下·山西运城稷山县·期末)如图，在中，点E，F分别是上的两点．且．相交于点M，相交于点N． (1)写出图中除外的所有平行四边形； (2)求证：． 3．(24-25八下·山西晋中灵石县·期末)如图，是的对角线，将边沿折叠，使A点落在上的点G处，将边沿折叠，使点C落在上的点H处． 求证：四边形是平行四边形． 4．(24-25八下·山西晋中榆次区·期末)如图，在四边形中，点，是对角线上的两点，连接，，，．若四边形是平行四边形，且，请判断四边形的形状，并说明理由． 5．(24-25八下·山西晋中太谷县·期末)如图，平行四边形两条对角线，相交于点，是的中点，连接并延长至点，连接，使，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求四边形的面积． 6．(24-25八下·山西临汾古县·期末)如图，在中，，于点D，过点A作，过点C作交AE于点F，连接交于点O，若，，求的周长． 地 城 考点03 与三角形的中位线有关的问题 1、 选择题 1．(24-25八下·山西大同部分学校联考·期末)如图，在中，点D在边上，，，垂足为E．点F是的中点，若，，，则的长为（   ） A．3 B．2．5 C．2 D．1 2．(24-25八下·山西朔州怀仁·期末)若顺次连接四边形各边的中点，所得到的四边形是菱形，则原四边形对角线的几何特征是（   ） A．对角线互相垂直平分 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 2、 填空题 3．(24-25八下·山西晋中介休·期末)如图，在中，，点D是上一动点，作且，连接分别是的中点，连接，则长为__________． 3、 解答题 4．(24-25八下·山西晋中介休·期末)在中，，分别是边的中点，延长到点，使，连结． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点O，若，，求的长． 5．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)阅读与思考 下面是小明同学的数学课堂学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 利用尺规，过直线外一点作已知直线的平行线 今天的数学课上，老师给出了如下的一个问题： 如图1，已知直线和外一点，请利用尺规作的平行线，使它经过点． 同学们以小组为单位展开了讨论． 勤学小组的作法如图2： ①在直线上任取一点，连接并延长至点，使， ②在直线上再取一点，连接， ③作的垂直平分线，交于点， ④作直线．则直线即为所求． 勤学小组的证明： ，点是的中点 是的垂直平分线，点是的中点 ∴是的中位线 ∴（依据 ），即 善思小组的作法如图3： ①在直线l上取点B，C两点，②作射线，③作的角平分线，④以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，⑤作直线．则直线即为所求． 善思小组的证明：…… (1)任务一：请补充上面证明过程中的“依据”：_______． (2)任务二：请完成善思小组的证明过程． (3)任务三：用不同于材料的方法过点A作直线l的平行线．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 地 城 考点04 矩形的性质及判定 1、 选择题 1．(24-25八下·山西临汾古县·期末)如图，在矩形中，E为边上的一点，连结，过点D作，垂足为F，若，，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．(24-25八下·山西朔州怀仁·期末)如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，，则的长为（ ） A．15 B．12 C．10 D．8 2、 填空题 3．(24-25八下·山西阳泉部分学校·期末)如图，将矩形沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点，过点作的平行线，分别交于点．若，则的长为______． 4．(24-25八下·山西吕梁交城县·期末)如图，在长方形中，点E是的中点，将沿着折叠得到，延长交于点G，若，，则的长为___________________． 3、 解答题 5．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)阅读与思考 下面是某小组研究报告中的一部分，请认真阅读并按要求完成相应的任务． 关于“等腰梯形”的研究报告研究对象：梯形 研究思路：类比平行四边形，从定义及已有基本事实、定理出发，从组成要素及相关要素的角度研究梯形的性质． 研究方法：观察（测量、操作）---猜想---推理 研究内容： 一般概念：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，其中互相平行的两边叫做底，不平行的两边叫做腰．如图1，四边形中，，与不平行，则四边形是梯形． 特例研究：在一般概念的基础上，对“等腰梯形”研究如下： 定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．如图2，梯形中，，若，则称四边形为等腰梯形． 性质：根据定义，探索等腰梯形的性质，得到如下结论： 结论1：等腰梯形同一底上的两个内角相等， 即图2中，． 证明：在图2中，过点作的平行线，交于点， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形，（依据：______△_________） ∴ ．．．．．． 结论2：等腰梯形的对角线．．．．．． 任务： (1)写出材料中“△”处的依据，并补全结论1的证明过程； (2)如图3，四边形是等腰梯形，其中，，连接对角线，交于点．请根据图3，猜想，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图4，在中，，．若点是平面内一点，且以点，，，为顶点的四边形是等腰梯形，则，两点之间的距离为______________． 6．(24-25八下·山西朔州右玉县右玉教育集团初中部期末考试·期末)阅读材料，并完成下列问题． （中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是：．对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明，参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整． 证明：，， ． 又∵正方形的面积＝四个全等直角三角形的面积＋正方形的面积， ∴，整理得，即 ． (1)请将材料中证明过程空缺部分补充完整． (2)根据材料的结论解决问题：如图，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，求的长． 地 城 考点05 菱形的性质及判定 1、 选择题 1．(24-25八·山西临汾曲沃县·期末)如图，将菱形折叠，使得点B的对应点P落在对角线B上，折痕分别与，交于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八下·山西阳泉部分学校·期末)如图，在菱形中，对角线相交于点于点．若，，则的长为（  ） A． B． C． D． 2、 解答题 3．(24-25八下·山西临汾古县·期末)（1）计算：． （2）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点，，，，求证：四边形是菱形． 4．(24-25八下·山西忻州·期末)如图，在矩形中，，相交于点，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，则四边形的面积为 ． 5．(24-25八下·山西阳泉部分学校·期末)舞台升降机是舞台最常用的装置之一，主要功能是用于场面转换时，上下移动布景和演员，一般由底座、交叉撑、轴、液压器和工作台（舞台）组成．如图，是某种舞台升降机的示意图，其工作台（舞台）由四根长度相等的交叉撑支撑，上面两根交叉撑与工作台（工作台与舞台紧密贴合）相连，下面两根交叉撑与底座相连，轴分别位于四根交叉撑的中点部位（点）和连接点（点）．当舞台升降机上升或下降时，交叉撑形成的交叉角的度数会随之变化． (1)四边形的形状为______． (2)当该舞台升降机的交叉撑长为时（交叉撑的宽度忽略不计），若交叉角从减小到，舞台升高了多少米？（结果保留根号） 6．(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校·期末)如图，在矩形中，过对角线的中点的直线与的延长线相交于点，与的延长线相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，则当时，求四边形的面积． 地 城 考点06 正方形的性质及判定 1、 选择题 1．(24-25八下·山西晋中太谷区·期末)如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则（   ） A．5 B．4 C． D． 2．(24-25八下·山西吕梁交城县·期末)如图，直线经过正方形的顶点B，过点A作于点E，，F为直线上一点，且，连接，若，则的面积为（   ） A． B． C．8 D． 2、 填空题 3．(24-25八下·山西临汾尧都区·期末)在中，，，以为边在三角形外部作正方形．在正方形内部作正方形、正方形，，，、、分别表示四边形、四边形、四边形的面积，、、之间的数量关系________． 4．(24-25八下·山西临汾古县·期末)如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿着折叠，使点D的对应点G落在边上，点A的对应点为点，连接，若，，则的长为______． 5．(24-25八下·山西忻州·期末)如图，正方形的边长为2，点分别在上，且与相交于点，连接，则的最小值为_________． 6．(24-25八下·山西阳泉部分学校·期末)如图，在正方形中，为的中点，连接，过点作的垂线，垂足为，交于点为的中点，连接．若，则的长为______． 3、 解答题 7．(24-25八下·山西吕梁汾阳·期末)如图，已知点是正方形中边上一点，是的延长线上一点，分别连接，恰好． (1)用不带刻度的直尺和圆规作出的角平分线．（保留作图痕迹，不写作法和证明过程）． (2)求证：． 8．(24-25八下·山西阳泉部分学校·期末)阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．著名的古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中给出了勾股定理的一种证明方法． 如图1，分别以的直角边及斜边为边向外作正方形，正方形和正方形，连接，作分别交于点．由四边形是正方形，可得．再由，可得．易得四边形和四边形是矩形（依据）． 思路梳理： 证明“”是关键，下面是“”的证明过程： 由四边形和四边形是正方形，易得． 点在同一直线上，即． ． 同理可证．从而可证明勾股定理． 任务： (1)材料中的依据为______． (2)请你补全材料中的证明过程． (3)当不是直角三角形时，其三边关系显然不满足勾股定理．如图2，当是锐角三角形时，请直接写出与之间的关系，并利用勾股定理予以简单证明．（提示：过点作于点） 1 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 重难点02四边形 ☆6大高频考点概览 考点01平行四边形及其性质 考点02平行四边形及其判定 考点03与三角形的中位线有关的问题 考点04矩形的性质及判定 考点05形的性质及判定 考点06正方形的性质及判定 目目 考点01 平行四边形及其性质 一、选择题 1.(24-25八下山西朔州怀仁期末)如图，在。ABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半 径画弧，分别交BA,BC于点M,②分别以点M,V为圆心，大于2MN的长为半径画弧，两弧在 ∠ABC内交于点O:③作射线BO,分别交AD于点E,交CD的延长线于点F;若CD=6,DE=4,则下 列结论不一定正确的是() A A.∠ABE=∠CBEB.BC=10 C.DE=DF D.BE=CF 【答案】D 【分析】本题考查作图一基本作图、角平分线的定义、平行四边形的性质，由作图过程可知，BE为∠ABC 的平分线，可得∠ABE=LCBE,由平行四边形的性质可得AB∥CD,AD∥BC,则LAEB=∠CBE, ∠ABE=∠F,进而可得LAEB=∠CBE=∠F,则BC=CF,结合∠DEF=∠AEB,可得∠DEF=∠F,则 DE=DF=4,可得CF=BC=CD+DF=4+6=10,从而可得答案. 【详解】解：由作图过程可知，BE为∠ABC的平分线， :ZABE Z CBE, 故A选项正确，不符合题意； :四边形ABCD为平行四边形， AB∥CD,AD∥BC,CD=AB=6, ∠AEB=∠CBE,∠ABE=∠F, 1/46 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠ABE=LCBE, ∠AEB=∠CBE=∠F, :BC=CF, ,∠DEF=∠AEB, ∠DEF=∠F, .DE =DF =4, CF=CD+DF=6+4=10, BC=10, 故B,C选项正确，不符合题意； 结合已知条件不能得出BE=CF, 故D选项不正确，符合题意 故选：D 2.(24-25八下山西运城盐湖区·期末)在ABCD中，已知AB=6cm,BC=4cm,∠B=45°，则▣ABCD的 面积是()cm A.6 B.62 C.12 D.122 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理； 过点C作CE⊥AB于E,可得△BCE是等腰直角三角形，然后利用勾股定理求出CE=2√2，进而可计算 口ABCD的面积. 【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E, E B D :∠B=45°， “△BCE是等腰直角三角形， .BE =CE,BE2+CE2=BC2, 2/46 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 .2CE2=16, CE=22, 口ABCD的面积为AB.CE=6×2√2=12√2cm2, 故选：D. 3.(2425八下山西阳泉部分学校期末)如图，在口ABCD中，对角线AC1BC.若AC=6,BC=8,则该 平行四边形的周长为() B A.28 B.30 C.32 D.36 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质和勾股定理，熟练掌握它们的性质是解题的关键. 根据垂直的定义得∠ACB=90°，然后利用勾股定理求出AB,然后根据平行四边形求出各边，即可得出答 案 【详解】：AC⊥BC, .ZACB=90 在Rt△ACB中AC=6,BC=8, 根据勾股定理AB=√62+82=10. :四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AD =BC=8. .平行四边形ABCD的周长为2×(AB+BC)=2×(10+8)=36. 故选：D. 二、填空题 4.(24-25八下山西大同部分学校联考·期末)如图，在口ABCD中，∠ABC的平分线BF交AD于点F, ∠BCD的平分线CE交AD于点E,BF与CE相交于点G.若∠A=60°，AB=5,EF=3,则CG的长为 3/46 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【答案】5 【分析】根据平行四边形性质，角平分线定义，等腰三角形性质，推出 ∠AFB=∠CBF=∠ABF=60°，∠DEC=∠BCE=∠DCE=30°，AF=AB=DC=DE=5,进而推出BC, 再结合直角三角形性质，勾股定理求解，即可解题， 【详解】解：”在ABCD中，∠A=60°，AB=5,EF=3, .∠DCB=60°，∠ABC=∠D=120°，CD=AB=5, :∠ABC的平分线为BF,∠BCD的平分线为CE, .∴.∠ABF=∠CBF=60°，∠DCE=∠BCE=30°， :AD∥BC, .∠AFB=∠CBF=∠ABF=60°，∠DEC=∠BCE=∠DCE=30°， :AF AB=DC DE =5, .AE=DF=5-3=2, .BC=AD=2+3+2=7, '∠BGC=180°-∠BCE-∠CBF=90°， BG=-BC-7 2 CG=BC2-BGT13 2 故答案为：75 2 5.(24-25八山西临汾曲沃县·期末)如图，在口ABCD中，∠ABC的平分线BF交AD于点F,∠BCD的平分 线CE交AD于点E,BF与CE相交于点G.若LA=60°，AB=5,EF=3,则CG的长为· 【答】 【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识， 4/46 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 根据平行四边形性质，角平分线定义，等腰三角形性质，推出 LAFB=LCBF=LABF=60°，LDEC=LBCE=LDCE=30°，AF=AB=DC=DE=5,进而推出BC,再 结合直角三角形性质，勾股定理求解，即可解题。 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，LA=60°，AB=5,EF=3, :∠DCB=60,LABC=∠D=120°，CD=AB=5,AD∥BC, :∠ABC的平分线为BF,LBCD的平分线为CE, ∠ABF=LCBF=60°，∠DCE=∠BCE=30°， :AD∥BC, LAFB=LCBF=LABF=60°，LDEC=∠BCE=∠DCE=30°， .AF AB=D C DE=5, .AE=DF=5-3=2, .BC=AD=2+3+2=7, :∠BGC=180°-∠BCE-∠CBF=90°， 21 在RtABCG中，由勾股定理得：CG=VBC-BG_75 故答案为：75 2 三、解答题 6.(24-25八下·山西吕梁柳林县·期末)如图，校园内有一片草地ABCD,它的形状是平行四边形，已知 OC=3m,AB=10m,AC⊥BC,求该草地的面积. A D 0 B 【答案】该草地的面积为48m 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、勾股定理、平行四边形的面积公式等知识，正确地求出BC的长 是解题的关键.由平行四边形的性质得0A=OC=3m,则AC=20C=6m,由AC⊥BC,得∠ACB=90°， 而AB=10m,则BC=√AB2-AC2=8m,求得S.Acn=BC·AC=48m2,所以该草地的面积为48m2. 【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O, .0A=0C=3m, 5/46 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AC=20C=6m, :AC⊥BC,AB=10m, ∠ACB=90°， :BC=√AB2-AC2=V102-62=8m), ·S24BcD=BC·AC=48m2, 答：该草地的面积为48m2. 7.(24-25八下山西运城盐湖区·期末)已知：如图，在口ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E,∠BCD的 平分线交AD于点F.求证：AE=CF. D 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行四边形的性质及全等三角形的性质和判定，根据平行四边形的 性质可得AB=DC,∠B=∠D,∠BAD=∠BCD,再由角平分线的定义可得LBAE=∠DCF,从而证明 △ABE≌△CDF,即可证明出结论 【详解】证明：：四边形ABCD是平行四边形， AB=DC,∠B=∠D,∠BAD=∠BCD, 又：AE平分∠BAD,CF平分∠BCD, ∠BAE5BAD,ZDCF=2∠BCD, .∠BAE=∠DCF, 在△ABE和CDF中， ∠B=∠D AB=DC ∠BAE=∠DCF △ABE≌△CDF(ASA, .AE CF. 8.(24-25八下山西临汾古县期末)如图，已知四边形ABCD是平行四边形. 6/46 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B (1)实践与操作：利用尺规作∠ABC的平分线，交AD边于点E(要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法， 标明字母). (2)猜想与证明：试猜想线段AE与CD之间的数量关系，并加以证明. 【答案】(1)见解析 (2)AE=CD,见解析 【分析】本题考查尺规作图作角平分线、平行四边形的性质、等腰三角形的判定，角平分线的定义等知识， 正确作出角平分线是解答的关键。 (1)按照作角平分线的作图步骤作图即可： (2)根据平行四边形的性质和角平分线的定义推导出AB=CD,∠ABE=∠AEB，,再根据等角对等边得到 AB=AE即可证得结论 【详解】(1)解：如图，射线BE为所求. (2)解：AE=CD. 证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AB=CD, .∠AEB=∠EBC. :BE平分∠ABC, .ZABE ZCBE .∠ABE=∠AEB, .AB=AE, .AE CD. 目目 考点02 平行四边形及其判定 一、解答题 7/46 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 1.(24-25八下山西运城盐湖区期末)已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，P,Q是对角线BD上的两 个点，且BP=DQ.试判断线段AP与CQ的数量关系和位置关系，并说明理由. A 【答案】AP∥CQ,AP=CQ,见解析 【分析】方法一：利用SAS证明△ABP≌△CDQ,则可得AP=CQ,∠APB=∠CQD,进而可得 ∠APQ=∠CQP,则AP∥CQ; 方法二：利用SAS证明△ADP≌ACBQ,则可得AP=CQ,∠APD=∠CQB,进而可得AP∥CQ; 方法三：连接AC与BD交于点O,连接AQ,CP,根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形 APCQ是平行四边形，则可得AP∥CQ,AP=CQ. 【详解】解：AP∥CQ,AP=CQ,理由如下： 方法一： :四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD,AB∥CD, .∠ABP=∠CDQ, BP=DO, .△ABP≌△CDQ(SAS), .AP=CQ,∠APB=∠CQD, .∠APQ=∠CQP AP∥CQ. 方法二： :四边形ABCD是平行四边形， AD=BC,AD∥BC, ∠ADP=∠CBQ, BP=DO, BP+PQ=DQ+PQ即BQ=DP, .△ADP≌aCBQ(SAS), AP=CQ,∠APD=∠CQB, .AP∥CO: 8/46 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 方法三： 连接AC与BD交于点O,连接AQ,CP, A :四边形ABCD是平行四边形， 0A=0C,0B=0D :BP=DO, .OB-BP=OD-DO, 即OP=OQ, :.四边形APCQ是平行四边形， .AP∥CQ,AP=CQ 2.(24-25八下山西运城稷山县期末)如图，在口ABCD中，点E,F分别是AB,CD上的两点.且AE=CF ,AF,DE相交于点M,BF,CE相交于点N. (1)写出图中除口ABCD外的所有平行四边形： (2)求证：EN=MF. 【答案】(I)oAECF,oBEDF,GEMFN (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键， (1)根据平行四边形的判定定理可得答案； (2)先证四边形AECF和AECF是平行四边形，进而证明四边形EMFN是平行四边形，可得EN=MF. 【详解】(I)解：除口ABCD外的平行四边形有：口AECF,口BEDF,oEMFN. (2)证明：：四边形ABCD是平行四边形， :AB∥CD,AB=CD, :AE∥CF, 9/46 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 又：AE=CF, :四边形AECF是平行四边形， ·MF∥EN, AE=CF,AB=CD, ·BE=DF, 又：AB∥CD, :四边形BEDF是平行四边形， :EM∥NF, 又：MF∥EN, ·四边形EMFN是平行四边形， :.EN MF 3.(24-25八下·山西晋中灵石县期末)如图，BD是口ABCD的对角线，将边AB沿BE折叠，使A点落在BD 上的点G处，将边CD沿DF折叠，使点C落在BD上的点H处. 求证：四边形BEDF是平行四边形 E H 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，平行线的判定与性质， 由平行四边形的性质得AD∥CB，AB∥CD,则∠ABD=LCDB,由折叠得∠DBE=∠ABE=∠ABD, ∠BDF=∠CDF=∠CDB,则∠DBE=∠BDF,所以BE∥DF,而ED∥FB,则四边形BEDF是平行四 21 边形。 【详解】证明：：四边形ABCD是平行四边形， AD∥CB,AB∥CD, ∠ABD=∠CDB, 由折叠得∠DBE=∠ABE=}∠ABD,∠BDF=∠CDF=∠CDB, 2 ∴.∠DBE=∠BDF, BE∥DF, 10/46 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :ED∥FB, :四边形BEDF是平行四边形. 4.(24-25八下·山西晋中榆次区期末)如图，在四边形ABCD中，点E,F是对角线BD上的两点，连接AE ,AF,CE,CF,若四边形AECF是平行四边形，且BE=DF,请判断四边形ABCD的形状，并说明理 由. D E 【答案】平行四边形，理由见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握其判定方法和性质是关键. 方法一：连接AC交BD于点O,根据平行四边形的性质和判定求解即可； 方法二：判定△ADF≌△CBE,得到AD=BC,且AD‖BC,结合平行四边形的判定即可求解. 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形.理由如下： 方法一：连接AC交BD于点O, D :四边形AECF是平行四边形， B ·0A=0C,OE=0F, BE=DF, :.OE BE =OF +DF OB=OD :四边形ABCD是平行四边形： 方法二：：四边形AECF是平行四边形， :AF =CE,AF CE, .∠AFE=∠CEF, :∠AFE+∠AFD=180°，∠CEF+∠CEB=180°， .∠AFD=∠CEB, 又：BE=DF, 11/46 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 △ADF≌△CBE, ∠ADB=∠CBD,AD=BC. .AD‖BC, :四边形ABCD是平行四边形 5.(24-25八下·山西晋中太谷县期末)如图，平行四边形ABCD两条对角线AC,BD相交于点O,E是BO 的中点，连接CE并延长至点F,连接BF,使BF∥AC,连接AF, .y (1)求证：四边形AOBF是平行四边形 (2)若AB⊥AC,CD=4,BC=2V3,求四边形A0BF的面积. 【答案】(1)见解析； (212. 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边 形的性质与判定定理是解题的关键。 (1)由平行四边形的性质得到AO=OC,由平行线的性质得到LEOC=∠FBE,∠EFB=LOCE,证明 BEF≌OEC(AAS),得到BF=OC,则可得到BF=OA,据此可证明四边形AOBF是平行四边形 1 (2)由平行四边形的性质得到AB=CD=4,OA=二AC,再由勾股定理求出AC的长，进而得到OA的长， 2 再根据平行四边形面积计算公式求解即可. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .A0=0C, :E是BO的中点， .OE =BE, :BF∥AC, .ZEOC ZFBE,ZEFB=Z0CE .BEF≌OEC(AAS, ∴.BF=OC, .BF =0A, 12/46 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :BF∥AC, :四边形AOBF是平行四边形， (2)解：：ABCD是平行四边形， :AB=CD=4.OA=AC, 2 :AB1AC,即∠BAC=90°， .AC=BC2-AB2=6, 01=54c-3, S西边形0AFB=0A·AB=3×4=12. 6.(24-25八下·山西临汾古县期末)如图，在ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,过点A作AE∥BC, 过点C作CF∥AD交AE于点F,连接DF交AC于点O,若AB=10,BD=6,求△OFC的周长. F E B D 【答案】18 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的判定与性质，平行四边形的判定，先证明四边形ADCF是 矩形，可得AO=C0=OF=OD=5,再求解CF=8,从而可得答案 【详解】解：：AE∥BC,CF∥AD, :四边形ADCF是平行四边形 .AD⊥BC, .∠ADC=90°， :四边形ADCF是矩形， .DF=AC. :AB=AC, .DF=AC=AB=10, .A0=C0=OF=0D=5. 在Rt△ABD中，根据勾股定理可得AD=V102-62=8, .CF=8, 13/46 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :△OC℉的周长为0F+0C+CF=5+5+8=18. 目目 考点03 与三角形的中位线有关的问题 一、选择题 1.(24-25八下·山西大同部分学校联考期末)如图，在ABC中，点D在BC边上，AC=CD,CE⊥AD, 垂足为E.点F是AB的中点，若AD=I0,CE=12,BC=17,则EF的长为() 4 D A.3 B.2.5 C.2 D.1 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的三线合一，勾股定理，三角形的中位线定理，理解相关知识是解答 关键 根据等腰三角形的三线合一易求出DE的长度，∠DEC=90°，再用勾股定理求出CD的长度，进而得到BD的 长度，最后利用三角形的中位线定理求解. 【详解】解：：AC=CD,CE⊥AD, ∴.DE=AE,∠DEC=90°. 点E是AD的中点， :AD=I0,CE=12,点F是AB的中点 :DE=AD=xI0=5,EF是△ABD中位线， 2 CD-DE+CE3EF-D BC=17, .BD=BC-CD=17-13=4. i.EF=BD-1x4-2. 故选C. 2.(24-25八下山西朔州怀仁期末)若顺次连接四边形各边的中点，所得到的四边形是菱形，则原四边形对 角线的几何特征是() A.对角线互相垂直平分 B.对角线互相平分 14/46 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 C.对角线互相垂直 D.对角线相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质与三角形中位线的性质.注意掌握数形结合思想的应用.三角形中位 线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，首先根据题意画出图形，由四边形 EFGH是菱形，点E、F、G、H分别是边AD,AB,BC,DC的中点，利用三角形中位线定理与菱形的 性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形 【详解】解：如图： D H:E、F分别为AD、AB的中点， .EF是△ABD的中位线， .. 同理可得：FG=AC,GH-BD,HE=4C. 当AC=BD时，EF=FG=GH=HE,此时，四边形EFGH为菱形， :当中点四边形是菱形时，原四边形的对角线相等， 故选：D 二、填空题 3.(24-25八下山西晋中介休期末)如图，在RtAABC中，∠ACB=90°，AB=13,AC=5,点D是AB上一动 点，作DE∥AC且DE=2,连接BE,CD,P,Q分别是BE,DC的中点，连接PO,则PQ长为 【答案】√37 【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质. 由勾股定理得出BC=I2,取BD中点F,连接PF,QF,证出PF是BDE的中位线，FQ是△BCD的中位 15/46 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 线，由三角形中位线定理得出PF∥ED,PF=DE=1,FQ∥BC,FQ=BC=6,证出PF⊥FQ,再由勾股 定理求出PQ即可. 【详解】解：∠ACB=90°，AB=13,AC=5, :BC=AB2-AC2=12, 取BD中点F,连接PF,QF，如图所示： :P,Q分别是BE,DC的中点， ∴.PF是BDE的中位线，FO是△BCD的中位线， PF/ED.PF-DE-1FQ/BC.FQ-BC6. :DE∥AC,AC⊥BC, .PF⊥FQ, PO=PF2+FO=+6=37: 故答案为：√37. 三、解答题 4.(24-25八下山西晋中介休期末)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E,F分别是边AB,AC的中点，延长 BC到点D,使CD=BC,连结EF,CE,DF, 2 E B (I)求证：四边形CDFE是平行四边形. (2)连结DE,交AC于点O,若BD=9,DF=5,求DE的长. 【答案】(1)见解析 16/46 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 (2)DE=2N13 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理. 利用三角形中位线的性质得EF=)BC,CD∥EF,进而可得CD=EF,即可求 (2)先求出CD=EF=3,由平行四边形的性质得到CE=5,由勾股定理得到CF=4,根据平行四边形的 性质得到OF=】CF=2,由勾股定理得到OE=3,即可求出DE的长. 【详解】(1)证明：：E,F分别为AB,AC的中点， :EF∥BC,EF=BC, 2 CD∥EF, CD-1BC. 2 ·CD=EF, :.四边形DCEF是平行四边形： （2)解：D=9,CD=F=8c D=F-D-9=3 3 :四边形DCEF是平行四边形 :CE DF,DE 20E, :DF=5, CE=5, 在Rt△EFC中，CF=VCE2-EF2=4, 在平行四边形DCEF中，OF=CF=2, 在Rt△OFE中，0E=√OF2+EF2=3, .DE=20E=213. 5.(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)阅读与思考 下面是小明同学的数学课堂学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务 利用尺规，过直线外一点作已知直线的平行线 今天的数学课上，老师给出了如下的一个问题： 17/46 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图1，己知直线1和1外一点C,请利用尺规作1的平行线，使它经过点A. A. 同学们以小组为单位展开了讨论. 图1 勤学小组的作法如图2： ①在直线1上任取一点B,连接BA并延长至点C,使AC=AB, ②在直线l上再取一点D,连接CD, ③作CD的垂直平分线MN,交CD于点E, ④作直线AE.则直线AE即为所求. 勤学小组的证明： B 图2 D :AC=AB,:点A是BC的中点 :MW是CD的垂直平分线，：点E是CD的中点 :AE是ABC的中位线 AE∥BD(依据_)，即AE∥1 善思小组的作法如图3： ①在直线I上取点B,C两点，②作射线BA,③作∠ABC的角平分线BD,④以A为圆 心，AB长为半径画弧，交BD于点E,⑤作直线AE.则直线AE即为所求. 善思小组的证明：…… D 图3 B (1)任务一：请补充上面证明过程中的“依据”： (2)任务二：请完成善思小组的证明过程， (3)任务三：用不同于材料的方法过点A作直线1的平行线.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)三角形的中位线定理 18/46 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，解决本 题的关键是掌握基本作图方法， 任务一：根据三角形中位线定理即可解答： 任务二：根据作图过程及等腰三角形的性质证明即可； 任务三：根据同位角相等，两直线平行，或者内错角相等，两直线平行作图即可. 【详解】(1)解：任务一：证明过程中的依据”：三角形的中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边且 等于第三边的一半)， 故答案为：三角形的中位线定理； (2)解：任务二：由作图可知：AE=AB, .∠AEB=∠ABE, :BE平分∠ABC, ∠ABE=∠EBC, ∠EBC=∠AEB, AE∥BC,即AE∥I; (3)解：任务三： 肉4 如图4，直线m即为所求作的直线.（方法不唯一）. 目目 考点04 矩形的性质及判定 一、选择题 1.(24-25八下·山西临汾古县期末)如图，在矩形ABCD中，E为BC边上的一点，连结AE,过点D作 DF⊥AE,垂足为F,若CD=DF,AB=4,CE=2,则AD的长为() 19/46 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D E A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定，矩形的性质和勾股定理，熟练掌握相关知识并灵活运用是 解题的关键； 连接DE,可证△DEF兰△DEC,得EF=CE=2,利用△AED的面积推出AD=AE,然后在△ABE中利用勾 股定理列方程求解。 【详解】如图，连接DE, D :四边形ABCD为矩形，AB=4, B C E .CD=AB=4,AD=BC,∠B=∠C=90°， DF⊥AE, .∠AFD=∠DFE=90°， .∠DFE=LC, 又DF=CD=4,DE=DE, ∴.Rt△DEF≌Rt△DEC(HL, :EF CE=2, 1 S.=7AD-CD=TAE-DF. :AD.CD=AE.DF, :AD =AE, 设AD=AE=x,则AF=AE-EF=x-2, 在△ABE中，∠B=90°， 由勾股定理得，AB2+BE2=AE2, 即42+(x-22=x2,解得x=5, 20/46 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 AD=5, 故选：A. 2.(24-25八下·山西朔州怀仁期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,若∠A0B=60°， AB=5,则AC的长为() D A.15 B.12 C.10 D.8 【答案】C 【分析】此题重点考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，由矩形的性质得OA=OC=}4C, 2 OB=OD=BD,且AC=BD,则0A=OB,因为∠A0B=60°，所以A0B是等边三角形，则 0A=AB=5,所以AC=20A=10,于是得到问题的答案 【详解】解：：四边形ABCD是矩形，对角线AC,BD相交于点O, 0A=0c-4C,0B=0D=38D,且4C=5D, 2 0A=0B, :∠A0B=60°， :△AOB是等边三角形， 0A=AB=5, AC=20A=10, 故选：C. 二、填空题 3.(24-25八下·山西阳泉部分学校期末)如图，将矩形ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在边DC上的 点F处，折痕交AD于点E,过点E作AB的平行线，分别交BF,BC于点H,G.若AB=5,CB=4,则HG的 长为 F G 21/46 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 5 【答案】8 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理和全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟 悉矩形的性质和平行线的性质，由矩形的性质得AB=DC,∠C=90°，AD=BC,DC∥AB,由折叠得 DF=AB和AE=FE,利用勾股定理求得FC=√FB2-BC2=VAB2-BC2,则DF=2,设AE=x,则 1EFE=,DE=CG=4,在R△DEF中利用EP=DE+DF:解得AE=BG,结合折叠证得 △FHE≌AGHB(AAS),则HE=HB,设HE=HB=y,则HG=EG-HE=5-y,在RtA BHG中， B=G+GB解得y=,即可解得G 【详解】解：矩形ABCD, .AB=DC,∠C=90°，AD=BC,DC∥AB, 由折叠得BF=AB,AE=FE, AB=5,CB=4, .FC=FB2-BC2=AB2-BC2=52-42=3, DF=2, 设AE=X,则AE=FE=x,DE=CG=4-x, 在Rt△DEF中，EF2=DE2+DF2,即x2=(4-x)+22, 解得x名 4B=8G- :BG=AE=FE,LA=∠EFH=LG=90°，∠FHE=∠GHB, △FHE≌aGHB(AAS), :HE HB, 设HE=HB=y,则HG=EG-HE=5-y, 在RB8Gt.8r=6H+G8,再产=5-+（图 解符y=总 则HG=5-y=5-25=15 881 22/46 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 15 故答案为： 8 4.(24-25八下·山西吕梁交城县期末)如图，在长方形ABCD中，点E是BC的中点，将△ABE沿着AE折叠 得到△AFE,延长AF交CD于点G,若AG= 25 ’AB=8,则CG的长为 D F B 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，直角三角形全等的判定和性质，连接EG,证明 Rt△EGF≌RtAEGC(HL),结合折叠前后对应边相等，可得CG=FG=AG-AF=AG-AB,由此可解. 【详解】解：如图，连接EG, D F G:在长方形ABCD中，点E是BC的中点， B E ·BE=CE,∠B=∠C=90°， :将△ABE沿着AE折叠得到△AFE, ·AF=AB,BE=FE,LAFE=LB=90°， ·FE=CE,∠EFG=90°， 在RtAEGF和RtAEGC中， FE=CE EG=EG ·Rt△EGF≌RtAEGC(HL), 89 CG=FG=AG-AF=AG-AB=25 故答案为： 9 2 三、解答题 23/46 多学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)阅读与思考 下面是某小组研究报告中的一部分，请认真阅读并按要求完成相应的任务。 关于“等腰梯形”的研究报告研究对象：梯形 研究思路：类比平行四边形，从定义及己有基本事实、定理出发，从组成要素及相关要素的角度研究梯 形的性质. 研究方法：观察（测量、操作）-猜想推理 研究内容： 般概念：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，其中互相平行的两边叫做底，不平行的两边叫做腰.如 图1，四边形ABCD中，AD∥BC,AB与DC不平行，则四边形ABCD是梯形. A 底 D 腰 腰 特例研究：在一般概念的基础上，对“等腰梯形研究如下： B 底 图1 定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.如图2，梯形ABCD中，AD∥BC,若AB=DC,则称四边形 ABCD为等腰梯形. 性质：根据定义，探索等腰梯形的性质，得到如下结论： 结论1：等腰梯形同一底上的两个内角相等， 即图2中∠B=∠C,∠BAD=∠ADC. D 证明：在图2中，过点A作DC的平行线，交BC于点E, B E C 图2 :∠AEB=LC, :AD∥BC,AE∥DC, :四边形AECD是平行四边形，（依据： .AE=DC ·…··· 结论2：等腰梯形的对角线... 24/46 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 任务： (1)写出材料中“△”处的依据，并补全结论1的证明过程； (2)如图3，四边形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC,AB=DC,连接对角线AC,BD交于点O.请根据 图3，猜想AC,BD之间的数量关系，并证明你的结论； D B 图3 (3)如图4，在△MNP中，MN=MP=13,NP=10.若点Q是平面内一点，且以点M,N,P,Q为顶 点的四边形是等腰梯形，则P,Q两点之间的距离为 M 图4 【答案】(1)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；证明过程见解析 (2)AC=BD;证明见解析 @9g 【分析】(1)根据平行四边形的定义“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”，证明四边形AECD是 平行四边形，根据“平行四边形的对边相等”，结合等边对等角，等量代换推出∠B=∠C,根据“两直线平行， 同旁内角互补”，证明∠BAD=∠ADC,即可得出结论1： (2)由(1)得“等腰梯形同一底上的两个内角相等”，则∠ABC=∠DCB,结合AB=DC,公共边BC,利 用SAS证明△ABC≌△DCB,即可得出AC=BD: (3)当四边形MPNQ是等腰梯形，NQ∥MP,QM=NP时，连接PQ,由(2)得等腰梯形的对角线相等， 即可得出PQ=MN=13;当四边形MNPQ是等腰梯形，PQ∥MN,QM=NP时，过点M作MF⊥NP于点 F,分别过点P、Q作MN的垂线，垂足分别为点G、H,证明出四边形HGPQ是矩形，得出PQ=GH, HQ=GP,根据等腰三角形三线合一得出PF的长，根据勾股定理求出MF的长，利用三角形的面积公式， 25/46 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 S.=2PxMF=号NxGP,则计算H0=GP=MPX,根据勾股定理求出MH、NG,进-一步计 MN 算PQ=GH=MN-MH-NG即可；当NP作为底时，点Q和点M重合，不存在等腰梯形；综合得出P, Q两点之间的距离即可。 【详解】(1)解：“△”处的依据为“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”，补全结论1的证明过程如 下， 在图2中，过点A作DC的平行线，交BC于点E, .ZAEB ZC, :AD∥BC,AE∥DC, “四边形AECD是平行四边形，（依据：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形） .AE DC, 又：AB=DC, ∴AE=AB, ∴.∠B=∠AEB, .∠B=∠C, .AD∥BC, .∠BAD=180°-∠B,∠ADC=180°-∠C, .LBAD=∠ADC, “.等腰梯形同一底上的两个内角相等； (2)解：AC=BD,证明如下， :四边形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC,AB=DC,由(1)得“等腰梯形同一底上的两个内角相等”， ∴.∠ABC=∠DCB, 在ABC和△DCB中， AB=DC ∠ABC=∠DCB, BC=CB △ABC≌△OCB(SAS), .AC BD: (3)解：如图，当四边形MPNQ是等腰梯形，NQ∥MP,QM=NP时，连接PQ, 26/46 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 M :MN=MP=13,由(2)得等腰梯形的对角线相等， .P2=MW=13; 如图，当四边形MNPQ是等腰梯形，PQ∥MN,QM=NP时，过点M作MF⊥NP于点F,分别过点P、 Q作MN的垂线，垂足分别为点G、H, G H ● :∠GP9=180°-90°=90°=∠GHQ=∠HGP, :四边形HGPQ是矩形， .PO=GH,HO=GP, :MN=MP=13,NP=10, f=Nrp-x0=5,0w=P=10, MF=VMP2-PF2=V132-52=12, S.w-NPxMF-zMNxGP. ·H0=GP= NP×ME_10×12_120 MN 13 13 :MH=NG= 50 PO=GH=MN-MH-wG=13-50_50_69 131313 当NP作为底时，点Q和点M重合，不存在等腰梯形： 综上所述，P,Q两点之间的距离为69或13. 13 故答案为：13 9 或13. 6.(24-25八下·山西朔州右玉县右玉教育集团初中部期末考试期末)阅读材料，并完成下列问题. 27/46 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五.”这句话的意思是： “如果直角三角形两直角边长为3和4时，那么斜边的长为5.”上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果 ∠C=90°，BC=a,AC=b,AB=c,那么a,b,c三者之间的数量关系是：a2+b2=c2.对于这个数量关 系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形），利用 面积法进行了证明，参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整。 B 6 a 周 牌 經 图1 图2 1 证明：Suac=2ab,SE方形40e=c，SE方vw0=- 又：正方形MWPQ的面积=四个全等直角三角形的面积十正方形ABDE的面积， a+=4×h+e,整理得d2+2b+6=2a+心，即 (1)请将材料中证明过程空缺部分补充完整. (2)根据材料的结论解决问题：如图，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF,如果 AB=4,BC=8,求BE的长. G F D B 【答案】(1)(a+b)；a2+b2=c2 (2)3 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，掌握矩形的判定和性质是解题关键， (1)根据正方形MNPQ的边长为，直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方，即可得到答案： (2)设BE=x,则EC=8-x,则AE=EC=8-x,在Rt△ABE中，根据AE2=AB2+BE2,即可解答. 【详解】(1)解：：S4Bc=7ab,SE方形E=c2，S正方形wNP0=(a+b). 又：正方形MNPQ的面积=四个全等直角三角形的面积十正方形ABDE的面积， 28/46 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (a+b)2=4x5ab+c2, 2 整理得a2+2ab+b2=2ab+c2, 即a2+b2=c2. 故答案为：（a+b；a2+b2=c2. (2)设BE=x,则EC=8-x, 在矩形ABCD中，LB=90° 由折叠的性质可知，AE=EC=8-x. 在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2, 则(8-x)2=4+x2, 解得x=3, 即BE的长为3 目目 考点05 菱形的性质及判定 一、 选择题 1.(24-25八山西临汾曲沃县期末)如图，将菱形ABCD折叠，使得点B的对应点P落在对角线B上，折痕 分别与AB,BC交于点E,F.若BD=24,AC=10,则图中阴影部分的面积为() D A.60 B.100 C.120 D.240 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，由折叠得四边形BFPE是菱形， 证明S.PoE=S。OF,从而可知阴影部分面积等于菱形ABCD面积一半，即可求解 【详解】解：由折叠得，EF垂直平分PB,设BP,EF相交于点O,BE=PE,BF=PF,BO=PO, B 29/46 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :四边形ABCD是菱形， LEBO=∠FB0, 又BO=BO,∠BOE=∠BOF, △BOE≌△BOF(ASA, ∴OE=OF, =)0P.0E,Sm=50B-0F, S.POE= 2 S.POE =S.BOF, :.阴影部分面积等于aBCD的面积，即菱形ABCD面积一半， :四边形ABCD是菱形， ÷菱形ABCD的面积=4C-BD=×10x24=120, 2 :阴影部分面积=号×120=60， 故选：A 2.(24-25八下山西阳泉部分学校期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0，DE⊥AB于点 E,若∠ABC=120°，AB=8,则DE的长为() D E B A.4V5 B.4v5 C.2V3 D.25 3 3 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握菱形性 质，三线合一和勾股定理； 先依据菱形性质，结合∠ABC=120°，判定△DAB为等边三角形；再由DE⊥AB,根据等边三角形三线合一， 得4B=AB;最后在RI4DE中，用勾股定理算出DE的长. 【详解】解：：四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°， ∠DAB=60°，且AD=AB=8, .△DAB是等边三角形， 30/46 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 DE⊥AB, 根据等腰三角形三线合一的性质，E为AB中点， 4柜=4极 AB=8, 则AE=4, 在RtAADE中，AD=8,AE=4, DE=V82-42=V64-16=V48=45, 故选：A. 二、解答题 32425八下山西酯古县期为①计第：2-20+（兮八 (2)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A(-4,0),B(0,-2),C(4,0),D(0,2),求证：四 边形ABCD是菱形. D B 【答案】(1)-2；(2)见解析 【分析】本题考查负整数指数幂、零指数幂、平行四边形和菱形的判定、坐标与图形，熟练掌握菱形的判 定是解答的关键。 (1)先计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂，再加减计算即可求解； (2)先根据坐标与图形性质得到OA=OC=4,OB=OD=2,证明四边形ABCD是平行四边形，进而根据 菱形的判定定理可得结论。 【详解】(1)解：原式=2-1-3=-2： (2)证明：：四边形ABCD的顶点A-4,0),B(0,-2),C(4,0),D(0,2), 0A=0C=4,0B=0D=2, .四边形ABCD是平行四边形. 31/46 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :AC⊥BD, :四边形ABCD是菱形 4.(24-25八下·山西忻州期末)如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点O,BE∥AC,AE∥BD 公 B (1)求证：四边形AEB0是菱形 (2)若AB=6,OB=4,则四边形AEB0的面积为_· 【答案】(1)见解析 (2)67 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理， (1)根据AE∥BD,BE∥AC,可得四边形AEBO是平行四边形，根据矩形的性质可推出OA=OB,即可 得证； 1 (2)连接OE,交AB于点H,根据四边形AEB0是菱形，可得AB⊥OE,BH=三AB,OE=2OH,再根 2 据勾股定理求出OH的值，进而得到OE=20H,即可求解. 【详解】(1)解：：AE∥BD,BE∥AC, :四边形AEBO是平行四边形， :在矩形ABCD中，AC,BD相交于点O, 4c=8D,01-4C.08=D, 0A=0B, :平行四边形AEB0是菱形； (2)如图，设OE交AB于点H, 32/46 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ⊙ H B :四边形AEBO是菱形， :AB LOE,BH=1AB=3,OE=20H, :0B=4, :OH=VOB2-BH2=V42-32=V7, 0E=20H=2√万， 菱形4B0的面积为：B0E=方×6x27=65。 5.(2425八下·山西阳泉部分学校期末)舞台升降机是舞台最常用的装置之一，主要功能是用于场面转换时， 上下移动布景和演员，一般由底座、交叉撑、轴、液压器和工作台（舞台）组成.如图，是某种舞台升降 机的示意图，其工作台（舞台）由四根长度相等的交叉撑AD,BC,DE,CF支撑，上面两根交叉撑DE,CF与 工作台（工作台与舞台紧密贴合）相连，下面两根交叉撑AD,BC与底座相连，轴分别位于四根交叉撑的中 点部位（点G,H)和连接点（点C,D).当舞台升降机上升或下降时，交叉撑形成的交叉角∠CGD的度数 会随之变化、 工作台 (舞台 又撑 液压器 交叉撑 底座 (I)四边形CGDH的形状为 (2)当该舞台升降机的交叉撑长为2时（交叉撑的宽度忽略不计），若交叉角∠CGD从180°减小到60°，舞 台升高了多少米？（结果保留根号） 【答案】(1)菱形 (2)2V3m 33/46 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】(1)根据四条边都相等的四边形是菱形判断即可； (2)连接CD,作直线GH分别交CD,AB,EF于点P,M,N.证明△EFH≌△DCH,△ABG≌aDCG得 ∠FEH=∠CDH,∠ABG=∠DCG,进一步证明HN=HP=PG=GM,得出MN的长度即为舞台升高的高度. 【详解】(I):AD=BC=DE=CF,G是AD,BC的中点，H是DE,CF的中点， .CG=CH=GD=DH, :.四边形CGDH的形状为菱形. 故答案为：菱形； (2)如图，连接CD,作直线GH分别交CD,AB,EF于点P,M,N. A M B 由(1)得四边形CGDH是菱形. .MN⊥CD,HP=PG,GH平分∠CGD. .∠CGP=30°， :CG=2CP. :HE=HD=HF=HC,∠EHF=∠DHC, △EFH≌aDCH(SAS), 同理可得△ABG≌△DCG(SAS). ∴.∠FEH=∠CDH,∠ABG=∠DCG. .CD∥EF∥AB. .MN⊥AB,MN⊥EF. .HN=HP=PG=GM,即MN=4PG,MN的长度即为舞台升高的高度. :交叉撑长为2m,G为交叉撑的中点， ..CG 1m ∴.CP=m 2 34/46 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 在R△CPG中，根据勾股定理，得PG=√CG2-CP2 1-2 m). ∴.MN=2√3m. 答：舞台升高了2√3m. 6.(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校期末)如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O的直线与 AD的延长线相交于点E,与CB的延长线相交于点F (I)求证：四边形AFCE是平行四边形； (2)若AC⊥EF,则当AC=5,AF=5时，求四边形AFCE的面积. 【答案】(1)见解析 a26 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形 的判定与性质等知识点，熟练掌握特殊的四边形的判定与性质是解题的关键 (1)根据矩形的性质证明△AOE≌△COF(AAS),则AE=CF,而AD∥BC,即可证明四边形AFCE是平 行四边形； (2)先证明四边形AFCE是菱形，再由勾股定理求解FO,继而求出EF,再由菱形面积公式求解即可 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是矩形， .OA=OC,ADI BC ∴LAE0=∠CF0, .∠AOE=∠C0F, △AOE≌ACOF(AAS), .AE CF, .四边形AFCE是平行四边形： (2)解：：四边形AFCE是平行四边形，AC⊥EF, .四边形AFCE是菱形， 35/46 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.四边形AFCE的面积=二AC×EF,OF=OE, 2 :AC=5, A0 -LAC= 5 :AF=5, :F0=VAR-40=5, ·EF=2F0=5V5, ·.四边形AFCE的面积= CxEF5 2 2 目目 考点06 正方形的性质及判定 一、选择题 1.(24-25八下山西晋中太谷区·期末)如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE,BCF, △CDG,△DAH)和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE,若AE=4,AB=5,则DE=() E H B A.5 B.4 C.2√6 D.7 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质；利用全等三角形的性质得到HE，再根 据正方形和勾股定理的性质计算，即可得到答案， 【详解】：△ABE,BCF,△CDG,△DAH是四个全等的直角三角形，AE=4,AB=5, ∴AH=EB,DH=AE=4, ∴HE=AE-AH=1, :正方形ABCD, .∠DHE=90°， DE =DH2+HE2=17, 故选：D 36/46 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 2.(24-25八下·山西吕梁交城县期末)如图，直线MW经过正方形ABCD的顶点B,过点A作AE1MN于点 E,∠ABE=30°，F为直线MN上一点，且BF=BC,连接CF,若AE=2,则CBF的面积为() A M B A.85 B.4V5 C.8 D.25 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌 握相关性质内容是解题的关键.先过点C作CH⊥BF,结合正方形的性质得∠ABC=90°，AB=BC,因为 CH⊥BF,AE⊥MN,得∠AEB=∠BHC=90°，证明△HBC≌△EAB,结合30度角的直角三角形的性质以及勾 股定理得BC=2BH=4,CH=VBC2-BH?=2√万，最后由三角形面积公式进行列式计算，即可作答. 【详解】解：过点C作CH⊥BF,如图所示： D M E B H :四边形ABCD是正方形， .∠ABC=90°，AB=BC, ∠ABE+∠CBH=90°， .CH⊥BF,AE⊥MN ∴∠AEB=∠BHC=90°， .∠ABE+∠EAB=90°， 则∠HBC=∠EAB, △HBC≌△EAB, 则BH=AE=2,∠BCH=LABE=30°， 37/46 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 .BC=2BH =4,CH =BC2-BH2=23, .BF=BC, BF=4, :则CBF的面积为=BF×CH×;=4x2V5×;4W5. 2 2 故选：B. 二、填空题 3.(24-25八下山西临汾尧都区·期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC≥BC,以AB为边在三角形外部作正 方形ABDE,在正方形ABDE内部作正方形ALKJ、正方形DPQR,AL=AC,DP=BC,S,、S2、S分 别表示四边形EPMJ、四边形BLNR、四边形KMQW的面积，S、S、S之间的数量关系 S米 M P S2 N R B 【答案】S=S,+S, 【分析】设AB=c,AC=b,BC=a,求得S+S的值，再证明四边形KMQN为正方形，进而求得S的值， 在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2=c2,即可求解. 【详解】设AB=c,AC=b,BC=a, AB BD DE AE=c,AL=LK JK =AJ=b,PD=BC=PO=OR=DR=a, .BL=AB-AL=c-b,LN =BR =BD DR=c-a,JE=AE-AJ=c-b,EP DE-DP c-a, NK=LK-LN=b-(c-a)=b-c+a, S,+S2=2(c-b)(c-a)=2c2+2ab-2ac-2bc, JE BL=c-b,OR=PO, .OM=ON, 又：∠Q=∠K=90°，∠ALK=∠ABD=90°， .LK∥BD, 38/46 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ∠QNK=∠QRD=90°， :四边形KMQN为正方形， .四边形KMQN的面积为S,=NK2=(b-c+a)2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc, 在Rt△ABC中， :∠C=90°， .a2+b2=c2, :S3=2c2+2ab-2ac-2bc=S,+S2 故答案为：S=S+S2 4.(24-25八下山西临汾古县·期末)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边AB,CD上，将正方形 ABCD沿着EF折叠，使点D的对应点G落在BC边上，点A的对应点为点A,连接DG,若EF=VI0, CG=1,则GF的长为 A:----- D E 3 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理， 由正方形的性质可得AD=CD,∠A=∠ADC=∠DCG=90°.过点E作EH⊥DC于点H,则四边形ADHE 是矩形，可得AD=EH,证明△DGC≌△EFH(ASA),得到DG=EF=V0.则DC=VDG-CG2=3.设 DF=GF=x,则CF=3-x,根据勾股定理，得12+(3-x)=x2,解方程即可得到答案. 【详解】解：：四边形ABCD是正方形， .AD=CD,∠A=∠ADC=∠DCG=90°. 如图，过点E作EH⊥DC于点H, A: D G 39/46 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ∠ADH=∠DHE=∠EHF=∠A=90°， :四边形ADHE是矩形， :AD =EH, .CD=EH 由折叠得EF⊥DG,DF=GF, .∠FDG+∠DFE=90°， 又：∠FEH+∠DFE=90°， ∴.∠FDG=∠FEH, .△DGC≌△EFH(ASA), :DG=EF=10. :CG=1, DC=DG2-CG2=3. 设DF=GF=x,则CF=3-x, 在Rt△CFG中，根据勾股定理，得CG+CF2=GF2, 12+3-x2=x2, 5 解得x=3 :GF=3 5 故答案为： 5 5.(24-25八下山西忻州期末)如图，正方形ABCD的边长为2，点M,N分别在AB,AD上，且 AM=DN,DM与CN相交于点P,连接AP,则AP的最小值为 M 【答案】5-1/-1+⑤ 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质.取CD 的中点Q,连接AQ,PQ,证明△ADM≌aDCN,可得∠ADM=∠DCN,从而得到∠DPC=90°，进而得到 40/46 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 PQ=二CD=1.根据题意可得当A,P,Q在同一条直线上时，AP取得最小值.然后在Rt△ADQ中，利用勾 股定理求出AQ=√5，即可求解. 【详解】解：如图，取CD的中点Q,连接AQ,PQ M B 四边形ABCD是正方形， ∴.AD=CD=2,∠DAM=∠CDN=90°. 在△ADM和△DCN中， AD=CD ∠DAM=∠CDN, AM=DN △ADM≌△DCN(SAS, ∠ADM=LDCN, :∠ADM+∠MDC=∠DCN+∠MDC=90°， ∠DPC=90°， ∴.PQ=-CD=1. :AP2A0-P0, :当A,P,Q在同一条直线上时，AP取得最小值. 在Rt△AD0中，AQ=VAD2+DQ2=V1+22=√5， AP的最小值为AQ-PQ=V5-1. 故答案为：√5-1. 6.(24-25八下山西阳泉部分学校期末)如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，连接DE,过点A作 DE的垂线，垂足为G,交BC于点F,H为AF的中点，连接HE,BH.若HE=1,则BH的长为 41/46 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H B 【答案】5 【分析】首先证明出HE是△ABF的中位线，得到FB=2HE=2,然后证明出aDAE≌aABF(ASA),得到 AE=BF=2,然后利用勾股定理求解即可. 【详解】：E为AB的中点，H为AF的中点 .HE是△ABF的中位线 .FB=2HE=2 :在正方形ABCD中， .∠DAE=∠ABF=90°，AD=AB .∠DAG+∠BAF=90 :AF⊥DE ∠DAG+∠ADG=90 ∴.∠ADE=∠BAF .△DAE≌△ABF(ASA .AE =BF=2 .BE=AE=2 :HE是△ABF的中位线 .HE BC HE⊥AB BH=√BE2+HE2=V5. 故答案为：√5. 三、解答题 7.(24-25八下山西吕梁汾阳期末)如图，己知点E是正方形ABCD中AB边上一点，F是BC的延长线上一 点，分别连接DE,DF,EF,恰好DE=DF. 42/46 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 E (I)用不带刻度的直尺和圆规作出△DEF的角平分线DG.(保留作图痕迹，不写作法和证明过程). (2)求证：DG=EF. 2 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查作角平分线，等腰三角形的性质，作等三角形的判定与性质等知识，证明△EFD是直 角三角形是解答本题的关键。 (1)以点D为圆心，任意长为半径画弧，交DE、DF于点M、N,分别以点M、N为圆心，大于)MN为 半径画弧，两弧交于点H,作射线DH交EF于点G,则DG为aDEF的角平分线； (2)由DE=DF,DG平分∠EDF得DG为△DEF的中线，再根据HL证明ADE≌CDF,可证明ADEF是 直角三角形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”可得结论. 【详解】(1)解：如图所示，DG为△DEF的角平分线； E B (2)证明：：DE=DF,DG平分∠EDF, :DG为aDEF的中线， 在正方形ABCD中，AD=CD,∠A=∠ADC=LDCB=90°， .∠DCF=180°-∠DCB=90°， .∠A=∠DCF, 在RtAADE与RtACDF中， 43/46 多学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DE=DF AD=CD' ∴△ADE≌aCDF(HL), ∴.∠ADE=∠CDF, ∴.∠CDF+∠EDC=∠ADE+∠EDC=∠ADC=90°， LEDF=90°， :DG为Rt△DEF的中线， 8.(24-25八下，山西阳泉部分学校期末)阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务 勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具之一，也是数形结合的纽带之一，著名的 古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中给出了勾股定理的一种证明方法. 如图1，分别以Rt△ABC的直角边AC,BC及斜边AB为边向外作正方形ACHI,正方形 BCGF和正方形ABED,连接BI,CD,作CK⊥DE分别交AB,DE于点J,K.由四边形 ADEB是正方形，可得∠BAD=∠ADE=∠BED=∠ABE=90°.再由CK⊥DE,可得 ∠JKD=∠JKE=90°.易得四边形AJKD和四边形JKEB是矩形（依据）. 思路梳理： AB2=AC2+BC2 个N S正方形ABED一S正方形ACH十S正方形BCGF 证 明 个 S矩形AKD-SE方形ACHm,S矩形REB一SE方形BCGF K E 图1 “S柜形AD=SE方形4CH,S笼形KEB=SE方形BCGr”是关键，下面是“S矩彩AKD=SE方形4Cm”的证明过程： 由四边形ACHI和四边形ABED是正方形，易得△ABI≌△ADC(SAS). :∠ACB=90°，点B,C,H在同一直线上，即BH∥AI. Sa=A-AC=)SE方0m 21 2 44/46 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 同理可证S矩彩KEB=S正方形BCGF·从而可证明勾股定理. 任务： (1)材料中的依据为 (2)请你补全材料中的证明过程. (3)当ABC不是直角三角形时，其三边关系显然不满足勾股定理.如图2，当ABC是锐角三角形时，请 直接写出AC2+BC2与AB2之间的关系，并利用勾股定理予以简单证明.（提示：过点B作BP⊥AC于点P) H A B D 图2 【答案】(1)有三个角是直角的四边形是矩形 (2)证明见解析 (3)AC2+BC2>AB,证明见解析 【分析】本题考查矩形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理： (1)根据矩形的判定方法有三个角是直角的四边形是矩形进行作答即可： （2)证明S.=方4D-DK=方@·全等得到S。-S。x·进而得到5E=S形G·即可： 2 (3)过点B作BP⊥AC于点P,易得AC>AP,BC>BP,得到AC2+BC2>AP2+BP2,结合勾股定理即 可得证： 【详解】(1)解：依据是有三个角是直角的四边形是矩形， (2)补全过程如下： CK⊥DE,AD⊥DE, CK∥AD. S4C= ADDK=S矩形UKD: 1 2 .△ABI≌△ADC, SAHB1=S△ADc: 即S矩形AKD=S正方彩形ACHl· 45/46 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)AC2+BC2>AB2. 证明：如解图，过点B作BP⊥AC于点P :△ABC为锐角三角形， :点P在线段AC上，即AC>AP. .AC2>AP2. :BC BP, .BC2 BP2. .AC2+BC2>AP2+BP2. 在Rt△ABP中，根据勾股定理，得AP2+BP2=AB2. .AC2+BC2>AB2. H D E 46/46