重难点01 勾股定理 6大高频考点式（期末真题汇编，山西专用人教版）八年级数学下学期

**基本信息** 聚焦勾股定理6大高频考点，汇编山西多地期末真题，突出文化传承与实际应用，梯度覆盖证明、折叠、建模等核心能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|8题|全部6个考点|结合赵爽弦图、总统证法证明勾股定理，折叠问题综合几何变换，实际应用融入台风、测量等生活场景| |选择题|12题|考点2-6|最短路径问题涉及立体图形展开，逆定理应用结合网格作图| |填空题|6题|考点2、4、5|折叠问题求边长，实际应用中树折断、蚂蚁爬行距离计算|

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 重难点01勾股定理 ☆6大高频考点概览 考点01勾股定理的证明方法 考点02勾股定理与折叠/翻折问题 考点03用勾股定理构造图形解决问题 考点04勾股定理的实际应用 考点05求最短路径（勾股定理的应用） 考点06勾股定理的逆定理及其应用 目目 考点01 勾股定理的证明方法 一、解答题 1.(24-25八下山西忻州期末)勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证 明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者。 D b B H B 图1 图2 图3 (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯加菲尔德的“总统证法”图形，∠A=∠B=∠CED=90°，AD=BE=a, AE=BC=b,DE=CE=c,请依据图1推导勾股定理. (2)如图2，在ABC中，AC=10,BC=17,AB=21,CH⊥AB,垂足为H,求CH的长 (3)如图3，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C,D为两个村庄（看作两个点）， AD⊥AB,BC⊥AB,垂足分别为A,B,AD=24千米，BC=16千米，现要在AB上建造一个供应站P, 使得PC=PD,请用尺规作图在图中作出P点的位置并直接写出AP的距离.（不写作法，保留作图痕迹） 2.(25-26八下·山西大同期末)【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用 它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于2，另一种是等于四个直角三角形 与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为a,b,小正方形的边长为b-Q,即 2b×4+(b-a,从而得到等式e2-6x4+b-a,化简便行结论a+公=c.这里用两种求法来我示 同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”. 1/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 6 a a B a b D B 图1 图2 图3 【方法运用】 (1I)将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（△ABC≌△CDE,∠B=∠D=90°），使BC和CD在一条直 线上，连接AE,请用a,b,C分别表示出梯形ABDE,ABC,△CDE,△ACE的面积，再探究这四个 图形面积之间的关系，证明：a2+b2=c2. 【方法迁移】 (2)如图3，在ABC中，AD是BC边上的高，AB=6,AC=7,BC=8,设CD=x,求x的值. 3.(24-25八下山西晋中平遥县期末)【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图1所示的方 式摆放，点E与点B重合，点C,B,F在一条直线上，连接AD,ABC的三边长分别为a,b,Ca>b ,利用四边形ACFD的面积的不同求法，列等量关系，可证得勾股定理. D b a B(E)b B(F 图1 图2 1 (1D根据梯形面积公式得到：Scm=2a+ba+):根据面积求和得到： S四边形ACFD=S△HBC+S△BDF+S△HBD= (用含a,b,c的式子表示)： ②利用面积的等量关系，整理得出： (2)【探究】童童将△DEF从图1的位置开始沿BC向左移动，直到点F与点B重合时停止，如图2所示， AB与DE交于点O.童童在图2中也尝试利用四边形ACFD的面积对勾股定理进行证明.请你帮助她完成 证明过程； (3)【应用】在图2的基础上，若四边形AEBD的面积为112.5，AC的长为9，求BC的长. 4.(24-25八下·山西晋中榆次区·期末)动手操作：用4张全等的直角三角形纸片如（图1，两直角边长分别 是α，b,斜边长为c),拼成含有正方形的图案如（图2）.拼图时，直角三角形纸片不能互相重叠 2/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 心 图1 图2 图3 图① 图② 图③ (1)【探究】研究发现可利用面积的方法证明勾股定理，在图2中，大正方形的面积可表示为(a-b)?+4× 也可表示为 因此化简可得 (2)【实践】如图①、②、③分别是利用4个全等的直角三角形组合成的新图形，图中间的四边形为正方形， 其中图 可以证明勾股定理. (3)【应用】将图1中的两个三角形拼成如图3所示的图形，试比较代数式a2c2+ab2与c·-b的大小. (④)【发现】聪聪认真观察图3后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程. 5.(24-25八下·山西太原·期末)【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基 石” 在我国最早对勾股定理进行证明的是汉代的数学家赵爽.如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三 角形（直角边分别为a,b,斜边为c)拼成，用它进行证明勾股定理； 图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为α，b,斜边 为c)和直角边为c的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理. C D H db B 图1 图2 图3 (I)在直角三角形中，直角边分别为α，b,斜边为c,从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理 a2+b2=c2. (2)勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是 A.函数思想 B.整体思想 C.分类讨论思想D.数形结合思想 【知识应用】 (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,该村为方便村民取水决定 在河边新建一个取水点H(A,H,B在同一条直线上)，并新修一条路CH,现测得CA=1千米，AB=2.1千 米，BC=1.7千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路CH的长， 目目 考点02 勾股定理与折叠/翻折问题 3/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 一、选择题 1.(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)已知如图，折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处，己 知AB=8cm,BC=10cm,则EC=()cm A B A.3 B.4 C.5 D.6 2.(2425八下山西晋中太谷县期末)如图，Rt△ABC中，AB=8,BC=6,∠B=90°，M,N分别是边 AC,AB上的两个动点.将ABC沿直线MN折叠，使得点A的对应点D落在边BC的三等分点处，则线 段BN的长为() M D B A.3 B C.3或15 D.3或 3.(2425八下山西晋中介休·期末)如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=15,AC=25,沿过 点A的直线将纸片折叠，使点B落在BC上的点D处，折痕交BC于点F,再折叠纸片，使点C与点D重 合，折痕交AC于点E,交BC于点G,则DE的长度为() B A.6 B.7 C.8 D.9 4.(2425八下·山西晋中左权县期末)如图，己知ABC为等腰直角三角形，AB=AC=8,点E为AC上一 点，且CE=2,点D为边AB上一点，连接DE,将ADE沿DE折叠得到△A'DE,若EA的延长线恰好经 过点B,则AD的长为() 4/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D A.2 B.3 C.4 D.6 二、填空题 5.(24-25八下·山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm,AD=9cm ,将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF,则△ABE的面积为 cm2. 6.(24-25八下·山西大同期末)如图，一直角三角形纸片，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm, BC=8cm,点D在BC上，现将AC沿直线AD折叠，使它落在AB上，点C的对应点为点E,则DE的长 为 cm. B 7.(24-25八下·山西大同阳高县·期末)如图，长方形ABCD中，点E在边AB上，将长方形ABCD沿直线DE 折叠，点A恰好落在边BC上的点F处，若AD=5,DC=3,则BF的长是· D B 三、解答题 8.(24-25八下山西朔州怀仁·期末)如图，长方形纸片ABCD中，沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交 AD于点F,AB=4,BC=6. 5/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)证明：AF=CF; (2)求AF的长. 9.(24-25八下山西阳泉盂县·期末)综合与探究 问题情境：如图1，在ABC纸片中，∠ABC=90°，点D是边BC上的一个动点，连接AD,将ABC沿 AD折叠，得到△ADC,点C的对应点为C. 4 B 图1 图2 备用图 操作计算： (1)如图2，当点C落在AB的延长线上时，BD=3,CD=5. ①求线段CB的长 ②求线段AB与AC的长 (2)连接BC',CC',若AB=6,AC=4V6,当△BC'D是以BD为一条直角边的直角三角形时，请直接写 出CC2的值， 10.(24-25八下山西晋城泽州县部分学校期末)如图，将直角三角形ABC纸片沿AD折叠，使点B落在AC 延长线上的点E处.若AC=3,BC=4,求图中阴影部分的面积 B E 目目 考点03 勾股定理构造图形解决问题 一、选择题 6/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(24-25八下·山西吕梁柳林县期末)如图，在四边形ABCD中，AC1BD于点0，那么下列结论正确的是 () D B A.0A2+0C2=0B2+0D2 B.AD2+CD2=AB2+BC2 C.AD2+BC2=AB2+CD2 D.AB2+OC2=CD2+0A2 2.(24-25八下山西朔州怀仁期末)如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE=0.8m,将它往前推 3m至C处时（即水平距离CD=3m),踏板离地的垂直高度CF=2.6m,它的绳索始终拉直，则绳索AC的 长是() D B ------E A.3.2m B.3.3m C.3.4m D.3.6m 3.(24-25八下山西运城稷山县期末)如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有 一个由传感器控制的门铃A,如图①所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，即AC≤5m,门铃就会自 动发出语音“欢迎光临”如图②所示，一个身高1.5m的学生走到D处，即CD=1.5m,门铃恰好自动响起， 则BD的长为() A 4.5m 4.5m B B ① ② A.3米 B.4米 C.5米 D.7米 4.(24-25八下山西大同部分学校联考期末)如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上， 装有一个由传感器控制的门铃A,如图①所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，即AC≤5m,门铃就 7/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 会自动发出语音“欢迎光临”.如图②所示，一个身高1.5m的学生走到D处，即CD=1.5m,门铃恰好自动响 起，则BD的长为() 4.5m 4.5m B B ① ② A.2米 B.3米 C.4米 D.5米 二、解答题 5.(24-25八下山西运城稷山县期末)如图，在ABC中，∠C=90°，AC=4,AB=45 B (1)求BC的长度： (2)D是BC上的一点，并且AD=DB,求BD的长. 6.(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm,AC=3cm，,动点P从 点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为s, B>P C C 图1 备用图① 备用图② (I)若点P运动到BC的中点时，t的值为 (2)若BP=AP,求BP的长； (3)当△ABP为直角三角形时，求t的值 目目 考点04 勾股定理的实际应用 一、选择题 1.(24-25八下·山西大同期末)一根长2米的木棍(AB)斜靠在竖直的墙上（点A在墙面，点B在地面），木 棍的顶端A到地面的距离是1.2米.小明说：如果将木棍的顶端沿OA方向向上移动0.4米，那么木棍的底 8/14 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 端向左移动0.4米；小亮说：如果将木棍的顶端沿OA方向向下移动0.4米，那么木棍的底端向右移动0.4 米.下面判断正确的是() B A.小明正确 B.小亮正确 C.两人都正确 D.两人都不正确 2.(24-25八下·山西朔州怀仁期末)如图，小外同学想测量墙面AB的高度，用卷尺发现长度不够，于是想 到用课堂上学到的知识解决，他找到一根没有弹性的绳子，把绳子的一端挂到A点，拉直紧贴墙面到B点， 发现绳子还多出0.5米：然后把绳子拉直，当绳子末端C刚好接触地面时，量出BC=2.5米，则墙面的高度 AB为()米 A.6 B.5.5 C.5.2 D.5 3.(24-25八下·山西吕梁柳林县·期末)如图，有一只喜鹊在一棵2m高的小树AB上觅食，它的巢筑在与该树 水平距离(BC)为12m的一棵大树CM上，大树高CM=8m,喜鹄的巢位于树顶下方1m的D处，当它听 到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为2m/s,那么它要飞回巢中所需的时间至少是() M A.6.5s B.6s C.5.5s D.5s 二、填空题 4.(24-25八下·山西临汾兴国实验学校等校期末)如图，受台风影响，一棵8米高的树被风刮断了，树顶落 在离树根4米处，则折断处的高度AB为 米 9/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B 5.(24-25八下·山西大同部分学校联考期末)如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东60°方向 距离12海里的B处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线 追赶，半小时后在点C处将其追上，我军巡逻艇的航行路程AC= 海里。 北F 北G 三、解答题 6.(2425八下山西晋城阳城县期末)如图，某中学门口有一条东西方向的公路，在中学门口有两条长度均 为150米的通道PA,PB通往公路旁的两个公交站A,B,且A、B的距离是180米.为了行车安全，在公 路旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且∠PCB=30°，公路限速30千米/小时（约 8.33米/秒).一辆汽车经过BC区间用时15秒，试判断该车是否超速，并说明理由.（参考数据√2≈1.414， V5≈1.732，V5≈2.236) 30°C A B C 7.(2425八下山西忻州期末)台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域 内形成极端气候，有极强的破坏力.如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线 由东向西移动，己知点C为一海港，且点C与A,B两点的距离分别为300km、400km,且∠ACB=90°， 过点C作CE⊥AB于点E,以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域. 10/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 》东 B (1)求监测点A与监测点B之间的距离； (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； (3)若台风的速度为25kmh,则台风影响该海港多长时间？ 8.(24-25八下山西忻州繁峙县·期末)如图，在一条东西走向的街道1上有两个快递投放点B,C. BC=12km,快递投放点C的正北方向有一小区A,小区A到快递投放点B的距离为13km. 4 B (1)求小区A到快递投放点C的距离， (2)在街道1上有另一个快递投放点D到小区A与快递投放点B的距离相等，求快递投放点B,D之间的距 离 目目 考点05 求最短路径（勾股定理的应用） 一、选择题 1.(2425八下·山西晋城泽州县部分学校期末)如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作 是一个长方体去掉一个半圆柱，中间可供滑行部分的截面是弧长为18m的半圆，其边缘AB=CD=30m,点 E在CD上，CE=6m·一位滑板爱好者从点A出发滑到点E,则他滑行的最短路程为() B A.18m B.24m C.30m D.36m 2.(24-25八下·山西大同期末)如图是放在水平地面上的一个长方体盒子，其中AB=9,BC=6,BF=5, 点M在棱AB上，且AM=3,点N是FG的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N,则 它需要爬行的最短路程为() 11/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.10 B.V106 C.V130 D.9 3.(24-25八下·山西朔州县期末)如图，有一棱长为3的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点A到点 D拉一条捆绑线绳，使线绳经过ABFE、BCGF、EFGH、CDHG四个面，则所需捆绑线绳的长至少为() G B A.313 B.15 C.9 D.515 二、填空题 4.(24-25八下山西阳泉·期末)如图，圆柱玻璃容器高6cm,底面周长为8cm,在容器内壁距下端A处有一 只蚂蚁.在蚂蚁正对面容器内上底点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到峰蜜所爬行的最短距离是 B 三、解答题 5.(24-25八下·山西忻州原平县期末)如图1，某公园内有一条笔直的马路EF,马路EF同侧有观景台A、 凉亭B,己知AC⊥EF于点C,BD⊥EF于点D,AC=700m,BD=100m,CD=800m. A A B B -F F EC D ECG D 图1 图2 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】 12/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 观景台A与凉亭B之间的直线距离AB= m;(直接写出结果) (2)【核心探究】如图2，现计划在路段CD之间放置一个自动售货点G,使G到A,B两处的距离相等，该 自动售货点G应修建在离点C多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路EF边上设置一个便民服务点M,使得M到A、 B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出M到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）. 目目 考点06 勾股定理的逆定理及其应用 一、选择题 1.(25-26八下·山西长治·期末)在ABC中，∠A的对应边为a,∠B的对应边为b,∠C的对应边为c给出 下列命题： ①若ABC是直角三角形，若a=1,b=√2，则c=√5； ②若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则ABC是直角三角形； ③若LB=90°，则：a2+b2=c2; ④若a:b:c=3:5:4,则∠C=90°； 其中，正确命题的个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 2.(24-25八下·山西长治期末)已知∠BAD=90°，AB=4,AD=3,BC=13,CD=12,连接BD,则 LBDC的度数为° B 三、解答题 3.(25-26八下山西昌梁期末)如图，方格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点 称为格点.ABC的三个顶点均在格点上.请用无刻度的直尺按下列要求画图.（保留作图痕迹，体现作图 过程) B (I)在方格纸中，画出△ADC(点D在格点上)，满足△ADC与ABC的面积相等： 13/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (2)画出ABC的高EC; (3直接写出的值. BE 4.(24-25八下·山西忻州期末)如图，连接四边形ABCD的对角线AC,己知∠B=90°，BC=1,AB=V3, CD=2,AD=22. D B (1)求AC的长； (2)求四边形ABCD的面积. 5.(24-25八下·山西忻州期末)如图，在ABC中，AB=10,BC=m,AC=n,且m,n满足 √m-6+n-8=0,D,E分别是边AC,BC上的动点，连接DE,将△DCE沿直线DE折叠得到△DFE, 点F恰好落在边AB上. (1)求证：ABC是直角三角形： (2)如图，若D为AC的中点，求证：∠BFE=∠DEF; 14/14 重难点01 勾股定理 6大高频考点概览 考点01勾股定理的证明方法 考点02勾股定理与折叠/翻折问题 考点03用勾股定理构造图形解决问题 考点04勾股定理的实际应用 考点05求最短路径（勾股定理的应用） 考点06勾股定理的逆定理及其应用 地 城 考点01 勾股定理的证明方法 一、解答题 1．(24-25八下·山西忻州·期末)勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，，，，请依据图1推导勾股定理． (2)如图2，在中，，，，，垂足为，求的长． (3)如图3，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，现要在上建造一个供应站，使得，请用尺规作图在图中作出点的位置并直接写出的距离．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2) (3)图形见解析，的距离为16千米 【分析】（1）用两种方法表示出梯形的面积，再根据它们相等整理即可证明结论； （2）设，分别在和中，表示出，列出方程，求出x，再利用勾股定理即可求出的值. （3）先根据，作的垂直平分线交于P，设千米，则千米，根据勾股定理列式代入数值计算化简，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ， 整理得： （2）解：设 ∵ ∴ ∴和都是直角三角形 在中， 在中， ∴ ∵，， 则 解得，即 在中，由勾股定理，得. （3）解：如图，连接，作的垂直平分线交于P，点P即为所求， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ， ， 解得 2．(25-26八下·山西大同·期末)【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为，，小正方形的边长为，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 (1)将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（，），使和在一条直线上，连接．请用，，分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：． 【方法迁移】 (2)如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据全等三角形的性质及直角三角形两锐角互余推出，再根据可得证； （2）在中得，在中得，据此得到关于的方程，求解后可得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，，， 观察图形可知：， ∴， ∴； （2）解：∵是边上的高， ∴， ∵，，，设， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即的值为． 3．(24-25八下·山西晋中平遥县·期末)【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，点与点重合，点，，在一条直线上，连接， 的三边长分别为，，，利用四边形的面积的不同求法，列等量关系，可证得勾股定理． (1)①根据梯形面积公式得到：；根据面积求和得到：________（用含a，b，c的式子表示）； ②利用面积的等量关系，整理得出：________； (2)【探究】童童将从图1的位置开始沿向左移动，直到点与点重合时停止，如图2所示，与交于点．童童在图2中也尝试利用四边形的面积对勾股定理进行证明．请你帮助她完成证明过程； (3)【应用】在图2的基础上，若四边形的面积为112.5，的长为9，求的长． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）①利用三角形面积公式求解即可； ②利用等面积法得到，化简即可； （2）利用梯形的面积公式得到，再由得到，即可得到，整理式子即可． （3）由求出的值，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）解：①； ②： ； （2）证明：连接，， ， 如图1所示：，则由平移的性质可得在图2中， ∴ ， ∴， 整理可得：； （3）解：∵， ∴ ∴， 解得：或（舍去）， ∴在中，． 4．(24-25八下·山西晋中榆次区·期末)动手操作：用4张全等的直角三角形纸片如（图1，两直角边长分别是a，b，斜边长为c），拼成含有正方形的图案如（图2）．拼图时，直角三角形纸片不能互相重叠 (1)【探究】研究发现可利用面积的方法证明勾股定理，在图2中，大正方形的面积可表示为_____________，也可表示为_____________，因此化简可得_____________． (2)【实践】如图①、②、③分别是利用4个全等的直角三角形组合成的新图形，图中间的四边形为正方形，其中图_____________可以证明勾股定理． (3)【应用】将图1中的两个三角形拼成如图3所示的图形，试比较代数式与的大小． (4)【发现】聪聪认真观察图3后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 【答案】(1)，， (2)① (3) (4)见解析 【分析】（1）利用三角形与正方形面积公式表示出大正方形的面积，再建立等式化简，即可解题；（2）类比（1）中解题方法，分别用不同的方式表示大正方形的面积，建立等式化简，即可解题； （3）由得到，再因式分解所给的代数式，即可判断； （4）类比（1）中解题方法，分别用不同的方式表示梯形的面积，建立等式化简，即可解题． 【详解】（1）解：正方形的面积可表示为，也可表示为， 因此， 化简可得， 故答案为：，，； （2）图①中大正方形的面积可表示为，也可表示为， 因此可得， 整理得， 故在图①、②、③中，图①可证明勾股定理， 故答案为：①； （3）， ， ，， ； （4）证明：图3中梯形的面积可表示为，也可表示为， 因此可得 ∴． 5．(24-25八下·山西太原·期末)【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”． 在我国最早对勾股定理进行证明的是汉代的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）拼成，用它进行证明勾股定理； 图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）和直角边为c的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理． (1)在直角三角形中，直角边分别为a，b，斜边为c，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理． (2)勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是_______； A．函数思想         B．整体思想         C．分类讨论思想         D．数形结合思想 【知识应用】 (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 【答案】(1)见解析 (2)D (3)新修路的长为0.8千米 【分析】（1）在图1中，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，列出式子后化简即可证明；在图2中，梯形的面积等于三个三角形的面积之和，列出式子后化简即可证明． （2）勾股定理的验证过程体现了数形结合思想，据此即可解答； （3）当时，最小，能最大限度节省铺路的费用．设千米，则（千米），根据勾股定理列出方程，求解即可解答． 【详解】（1）解：根据赵爽弦图进行证明： ∵， ∴， ∴； 根据“总统证法”进行证明： ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是数形结合思想． 故选：D； （3）解：当时，最小，能最大限度节省铺路的费用． 设千米，则（千米） ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴千米， ∴（千米）． 答：新修路的长为0.8千米． 地 城 考点02 勾股定理与折叠/翻折问题 1、 选择题 1．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)已知如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵长方形， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， . 2．(24-25八下·山西晋中太谷县·期末)如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 【答案】C 【分析】根据题意，分点D在上且靠近点B的三等分点时和点D在上且靠近点C的三等分点时两种情形，设，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：①当点D在上且靠近点B的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ②当点D在上且靠近点C的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， 综上所述，或． 3．(24-25八下·山西晋中介休·期末)如图，在三角形纸片中，，，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在上的点D处，折痕交于点F，再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交于点E，交于点G，则的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】先根据折叠得到，，，，然后根据直角三角形的两个锐角互余以及折叠的性质，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠性质得：，，，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 4．(24-25八下·山西晋中左权县·期末)如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】求出，由勾股定理可得，设，由折叠得，，由勾股定理求出，在中，由勾股定理建立方程求出的值即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 设，则 由折叠得，，， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得， ∴． 2、 填空题 5．(24-25八下·山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为______． 【答案】6 【分析】设，则，由折叠的性质得到，在中，，解得，即可求得三角形的面积． 【详解】解：长方形纸片中，， 设，则， 将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合， ， 在中，， ， 解得， ， ． 6．(24-25八下·山西大同·期末)如图，一直角三角形纸片，在中，，，，点D在上，现将沿直线折叠，使它落在上，点C的对应点为点E，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换的性质，勾股定理的应用，先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长，然后根据勾股定理即可求得．掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ 将该纸片沿直线折叠，使点落在斜边上的点处， ∴，，， ∴， 设， ∴，， 在中，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 7．(24-25八下·山西大同阳高县·期末)如图，长方形中，点在边上，将长方形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则的长是______． 【答案】1 【分析】由折叠得，然后根据矩形的性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠得， ∵四边形是长方形 ∴， ∴ ∴． 3、 解答题 8．(24-25八下·山西朔州怀仁·期末)如图，长方形纸片中，沿折叠，使点落在点处，交于点，，． (1)证明：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据长方形的性质得到，进而得到，根据折叠的性质可知，根据等角对等边可证； （2）设，据长方形的性质得到，，，则，由（1）知，根据勾股定理求出x的值即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴； （2）解：设， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， 由（1）知， ∴， 在中，根据勾股定理： ， 即， 解得， ∴． 9．(24-25八下·山西阳泉盂县·期末)综合与探究 问题情境：如图1，在纸片中，，点D是边上的一个动点，连接AD，将沿AD折叠，得到，点C的对应点为． 操作计算： (1)如图2，当点落在的延长线上时，，． ①求线段的长． ②求线段与的长． (2)连接，，若，，当是以为一条直角边的直角三角形时，请直接写出的值． 【答案】(1)①；②， (2)或 【分析】（1）①利用折叠的性质和勾股定理求解即可． ②先求出，由折叠的性质得出，设，，然后根据勾股定理建立方程求解即可进一步得出答案． （2）分两种情况，当和当，画出图形求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 由折叠的性质可知：， 在中，， ∴． ②∵，． ∴， 由折叠的性质可知， 设，， 在中，， 即， 解得， 故，． （2）解：分两种情况： 当时，如下图： 在中，， 由折叠的性质可知， 设， 在中，． 当时，如下图： 则， 由折叠的性质可知， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，则， ∴， ∴． 综上：的值为或． 10．(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校·期末)如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，求图中阴影部分的面积 【答案】 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理．由勾股定理求出，设    ，则，根据求出得到的长，再根据三角形面积公式求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴ 图中阴影部分的面积是． 地 城 考点03 勾股定理构造图形解决问题 1、 选择题 1．(24-25八下·山西吕梁柳林县·期末)如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ， 只有C选项结论正确 2．(24-25八下·山西朔州怀仁·期末)如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设的长为，则，可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ， 设的长为，则， ， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴绳索的长是． 3．(24-25八下·山西运城稷山县·期末)如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图①所示，人只要移至该门铃m及m以内时，即m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”如图②所示，一个身高m的学生走到处，即m，门铃恰好自动响起，则的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，确定直角三角形进行求解是解题的关键． 根据已知条件得到，在中利用勾股定理计算即可； 【详解】解：由题意可知，，，，则， 在中，由勾股定理得：， ， 即门铃恰好自动响起，则的长为米； 故选：． 4．(24-25八下·山西大同部分学校联考·期末)如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高的学生走到D处，即，门铃恰好自动响起，则的长为（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，则，再由勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，，，，则， 在中，由勾股定理得：， ∴米， 即门铃恰好自动响起，则的长为4米， 故选：C． 2、 解答题 5．(24-25八下·山西运城稷山县·期末)如图，在中，． (1)求的长度； (2)D是上的一点，并且，求的长． 【答案】(1)8 (2)5 【分析】（1）直接运用勾股定理求解即可； （2）设，则，然后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴． （2）解：设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 6．(24-25八下·山西运城盐湖区·期末)如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)若点运动到的中点时，的值为_______； (2)若，求的长； (3)当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)2或 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而得的长，再除以点运动的速度即可求解． （2）由题知当时，，， 在中，根据勾股定理列方程求出t的值，即可得的长． （2）分两种情况：①当为直角时，点P与点C重合；②当为直角时，利用勾股定理求解即可得． 本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 若点运动到的中点，则， 则． （2）解：由题知， 如图，当时，，， 在中，， ∴， 解得， ∴． （3）解：如图①，当为直角时，点P与点C重合，，即； 如图②，当为直角时，，， 在中，， 在中，， 即， 解得 ． 故或时，为直角三角形． 地 城 考点04 勾股定理的实际应用 1、 选择题 1．(24-25八下·山西大同·期末)一根长2米的木棍斜靠在竖直的墙上（点A在墙面，点B在地面），木棍的顶端A到地面的距离是1.2米．小明说：如果将木棍的顶端沿方向向上移动0.4米，那么木棍的底端向左移动0.4米；小亮说：如果将木棍的顶端沿方向向下移动0.4米，那么木棍的底端向右移动0.4米．下面判断正确的是（    ） A．小明正确 B．小亮正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】A 【分析】首先利用勾股定理求出，然后分别根据小明和小亮的说法画出图形，利用勾股定理求解判断即可． 【详解】解：根据题意得，米，米， ∴（米） 如图，将木棍的顶端沿方向向上移动0.4米得到， ∴米，米 ∴（米） ∴（米） ∴（米） ∴木棍的底端向左移动0.4米，故小明正确； 如图，将木棍的顶端沿方向向下移动0.4米得到， ∴米，米 ∴（米） ∴（米） ∴ ∴木棍的底端向右移动米，故小亮错误． 2．(24-25八下·山西朔州怀仁·期末)如图，小外同学想测量墙面的高度，用卷尺发现长度不够，于是想到用课堂上学到的知识解决，他找到一根没有弹性的绳子，把绳子的一端挂到点，拉直紧贴墙面到点，发现绳子还多出0.5米：然后把绳子拉直，当绳子末端刚好接触地面时，量出米，则墙面的高度为（    ）米 A．6 B．5.5 C．5.2 D．5 【答案】A 【分析】设墙面高度为米，根据题意表示出绳子长度即斜边的长，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设墙面高度为米， 绳子紧贴墙面到点还多出米， 绳子的总长度为米， 绳子拉直后末端刚好接触地面， 斜边的长度等于绳子的总长度， 即， 在中，，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 墙面的高度为米． 3．(24-25八下·山西吕梁柳林县·期末)如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是． 2、 填空题 4．(24-25八下·山西临汾兴国实验学校等校·期末)如图，受台风影响，一棵米高的树被风刮断了，树顶落在离树根米处，则折断处的高度为__________米． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握直角三角形边长之间的关系是解题的关键． 假设的长度为米，故长度为米，根据勾股定理，可求出的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，可知三角形为直角三角形， 根据勾股定理，得， 设的长度为米，故长度为米，结合米， 可得方程， 解得， 故的长度为米， 故答案为：． 5．(24-25八下·山西大同部分学校联考·期末)如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东 60°方向距离12海里的B处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，我军巡逻艇的航行路程_______海里． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意在中利用勾股定理求出的长是解题的关键． 先根据题意结合方位角的描述求出以及的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点处追上走私船， ∴海里， 在中，海里，海里， ∴海里， 答：我军巡逻艇的航行路程为海里． 故答案为15． 3、 解答题 6．(24-25八下·山西晋城阳城县·期末)如图，某中学门口有一条东西方向的公路，在中学门口有两条长度均为米的通道，通往公路旁的两个公交站，，且的距离是米．为了行车安全，在公路旁的点和点设置区间测速装置，其中点在点的东侧，且，公路限速千米/小时（约米/秒）．一辆汽车经过区间用时秒，试判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据，，） 【答案】该车没有超速．理由见解析 【分析】过点作交于点，根据三线合一可求出的长，然后在中，利用勾股定理可求出的长，再在中，根据含角直角三角形的性质结合勾股定理可求得的长，从而可得的长，然后计算出速度判断即可． 【详解】解：该车没有超速．理由如下： 如图，过点作交于点， 由题意可得，米，米， 米， 在中，（米）， 在中，， （米）， （米）， 米， 汽车经过区间用时秒， 该车的速度为（米/秒）， ， 该车没有超速． 7．(24-25八下·山西忻州·期末)台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离； (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； (3)若台风的速度为，则台风影响该海港多长时间？ 【答案】(1)监测点A与监测点B之间的距离为 (2)海港C会受到此次台风的影响，见解析 (3)台风影响该海港持续的时间为 【分析】（1）利用勾股定理进行求解； （2）利用等面积法求出的长度，然后进行比较即可； （3）以C为圆心，长为半径画弧，交于D，F，根据勾股定理求出的长，得出，最后根据速度即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：中，， ∴根据勾股定理得， 答：监测点A与监测点B之间的距离为； （2）解：海港C受台风影响， 理由：中，， ， ， ， 海港C会受到此次台风的影响； （3）解：如图，以C为圆心，长为半径画弧，交于D，F， 则． 在中，， ， 台风的速度为， ． 答：台风影响该海港持续的时间为． 8．(24-25八下·山西忻州繁峙县·期末)如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．，快递投放点C的正北方向有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求小区A到快递投放点C的距离． (2)在街道l上有另一个快递投放点D到小区A与快递投放点B的距离相等，求快递投放点B，D之间的距离． 【答案】(1)小区A到快递投放点C的距离为 (2)快递投放点B，D之间的距离为 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设，则，根据勾股定理列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵小区A在点C的正北方向， ∴， ∴，， ∴， ∴小区A到快递投放点C的距离为； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴快递投放点B，D之间的距离为． 地 城 考点05 求最短路径（勾股定理的应用） 1、 选择题 1．(24-25八下·山西晋城泽州县部分学校·期末)如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘，点E在上，．一位滑板爱好者从点A出发滑到点E，则他滑行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将半圆面展开成矩形，连接．则是最短距离，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将半圆面展开如图所示，连接． 根据题意，得，． 在中，由勾股定理，得 ， 所以他滑行的最短距离为． 2．(24-25八下·山西大同·期末)如图是放在水平地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，则它需要爬行的最短路程为（   ） A．10 B． C． D．9 【答案】A 【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图1， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴它需要爬行的最短路程为10． 3．(24-25八下·山西朔州县·期末)如图，有一棱长为3的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点到点拉一条捆绑线绳，使线绳经过、、、四个面，则所需捆绑线绳的长至少为（    ） A． B．15 C．9 D． 【答案】A 【分析】把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到捆绑线绳的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于两个棱长，另一条直角边长等于个棱长，利用勾股定理可求得． 【详解】解：如图，将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段即为最短路线， 展开后由勾股定理得：， ∴，即有：（负值舍去）． 2、 填空题 4．(24-25八下·山西阳泉·期末)如图，圆柱玻璃容器高，底面周长为，在容器内壁距下端A处有一只蚂蚁．在蚂蚁正对面容器内上底点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离是________． 【答案】/厘米 【分析】根据题意得到圆柱体的展开图，确定A、B的位置，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：圆柱体侧面展开图如下： ∵底面周长为， ∴， ∵圆柱玻璃容器高， ∴， 在中，， ∴蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为． 3、 解答题 5．(24-25八下·山西忻州原平县·期末)如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，． 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】 观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果） (2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）． 【答案】(1)1000 (2)自动售货点应修建在离点C100米处 (3) 【分析】（1）连接，过点B作于点G，易得四边形是矩形，再由勾股定理即可求的长； （2）设，则，由勾股定理分别表示出、，再根据，列方程求解即可； （3）作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则到A、B两处的距离之和最小值即为，易得四边形是矩形，由勾股定理求即可； 【详解】（1）解：如图，连接，过点B作于点G， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，； （2）解：设，则， ∴，， ∵到A，B两处的距离相等， ∴， ∴， 解得， ∴自动售货点应修建在离点100米处； （3）解：如图，作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则，， 可知四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 即到A、B两处的距离之和最小值为． 地 城 考点06 勾股定理的逆定理及其应用 1、 选择题 1．(25-26八下·山西长治·期末)在中，的对应边为a，的对应边为b，的对应边为c给出下列命题： ①若是直角三角形，若，，则； ②若，则是直角三角形； ③若，则：； ④若，则； 其中，正确命题的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题涉及了勾股定理，三角形内角和定理，直角三角形的判定，三角形边与角的对应关系． 【详解】解：逐个判断命题： ① 未说明哪一个角是直角，需分情况讨论： 当为斜边时，； 当为斜边时，； 不一定为，故①错误． ② 设，，， 三角形内角和为， ，解得， ，是直角三角形，故②正确． ③ ， 是斜边，由勾股定理得， 与命题中不符，故③错误． ④ 设，，， ， ，不是，故④错误． 综上，正确的命题只有个． 2、 填空题 2．(24-25八下·山西长治·期末)已知，，，，，连接，则的度数为______． 【答案】 【分析】先使用勾股定理计算出，再根据勾股定理的逆定理判断出． 【详解】解：在中，， ∵， ∴． 3、 解答题 3．(25-26八下·山西吕梁·期末)如图，方格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点均在格点上．请用无刻度的直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹，体现作图过程） (1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足与的面积相等； (2)画出的高； (3)直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用格点构造的平行线，根据平行线间的距离处处相等，可得与的面积相等； （2）取格点H，连接，与交于点E，根据，都为矩形对角线，结合图象即可得是的高； （3）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，根据三角形等面积法计算出，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图， 即为所求； （2）解：如图，取格点H，连接，与交于点E，即为所求； （3）解：由勾股定理得，，， ， ， 是直角三角形，， ， 又， ， ． 4．(24-25八下·山西忻州·期末)如图，连接四边形的对角线，已知，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）直接根据勾股定理即可求解； （）先证明是直角三角形，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴的长为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积为． 5．(24-25八下·山西忻州·期末)如图，在中，，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． (1)求证：是直角三角形； (2)如图，若D为的中点，求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据二次根式和绝对值的非负性，求得，，再根据勾股定理的逆定理证明即可； （2）连接，根据轴对称的性质可得，，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和得，证明，即可证明结论. 【详解】（1）证明：， ，， ，， ， ， ， 即是直角三角形； （2）证明：连接， 沿直线折叠得到， ，，， 为的中点，，， ， ， ， ， 即， ， ， . 1 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $