精品解析：山西省太原市2025-2026学年第二学期八年级期末数学试卷

2025~2026学年第二学期八年级期末学业诊断 数学 （考试时间：上午8：00—9：30） 说明：本试卷为闭卷笔答，不允许携带计算器．答题时间90分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑． 1. 若分式有意义，则x的值不可能是（ ） A. B. 2 C. D. 1 2. 银行是银行提供的综合性移动金融服务平台，旨在为用户提供便捷金融服务．下面是某银行中的四个应用图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. 账户总览 B. 转账汇款 C. 公益捐款 D. 电子工资单 3. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形中，对角线与相交于点O，．添加下列一个条件后，能使四边形成为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 5. 将分式化成最简分式的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，点D在边的垂直平分线上，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 折纸发源于中国，是一项历史悠久、流行广泛的民间艺术．如图，是用正方形纸折出的正九边形，这个正九边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线与直线相交于点，与轴正半轴交于点．关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 同学们做物理实验，在水平桌面上放置A、B两个物体．已知物体A对桌面的压力为，物体B对桌面的压力为，且物体B与桌面的接触面积（即桌面的受力面积）比物体A与桌面的接触面积大．设物体A与桌面的接触面积为，若物体A、B对桌面的压强之比为，则根据“压强压力受力面积”这一公式，可列出方程为（ ） A. B. C. D. 10. 图，某物流公司计划在一条笔直的道路l上新设两个物流转运点P，Q，两转运点的间距固定为a（即）．无人驾驶物流车每天从起点A出发，先到转运点P取物品，然后沿道路l到转运点Q取物品，最后送到道路另一侧的快递驿站B．为节能提效，物流公司希望无人驾驶物流车所走的总路程最短．下列四种关于转运点P，Q位置的设计方案中，符合物流公司要求的是（ ） A. 于点 B. 于点 C. 且，交于点 D. 交于点 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案填写在答题卡相应的位置． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为________． 12. 如图，已知中，，分别延长线段，到点D，E，使，，连接．若，则的长为_______． 13. 平行四边形具有不稳定性．如图，小明用四根细木条钉成一个平行四边形木框，保持其一边不动，调整木框得到同一平面内的，点落在的内部．已知，，则的度数为_______． 14. 班级劳动课组织同学们制作可循环使用的纯棉布袋．制作前，采购剪刀、针线等工具需花费36元，单个布袋的布料及配件成本为4.5元．若班级总经费不超过300元且全部用于制作布袋，则最多可制作_______个这种布袋． 15. 如图中，，，O为的中点，连接．点E为延长线上的一点，连接，将线段绕点O顺时针旋转，点E的对应点F恰好落在边上．若，则的面积为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分）解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤． 16. 因式分解： （1）； （2）． 17. 解不等式组并将其解集表示在如图所示的数轴上． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 赛龙舟是中国端午节最重要的节日民俗活动之一．近年端午期间各地举行的龙舟赛更承载着同舟共济的精神，引领着全民健身的风潮．为备战某次龙舟赛，甲、乙两支龙舟队进行2000米追逐赛训练．已知甲队的平均速度是乙队平均速度的1.25倍，且甲队行完全程比乙队行完全程用时少100秒．求本次训练中乙龙舟队的平均速度． 20. 如图，在中，点E是的中点，的延长线与的延长线相交于点F．连结、．请判断四边形的形状，并说明你的理由． 21. 按要求完成下列各题 （1）【观察·思考】 观察下列式子：，，，，…容易发现，对于真分数，将其分子、分母同时加上一个数a（），所得分数比原分数大，即．请证明这个结论正确． 分析：要说明，可证明． 证明：将原分数“”与所得分数“”作差，得 因为， 所以，… 所以，． 请将上述证明过程补充完整． （2）【联系·推广】 将（1）中的结论推广到一般情形： 对于任意分数（），将其分子、分母同时加上一个数c（），则原分数与所得分数的大小关系是 （填“>”“<”或“=”）． 22. 阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 直腰分线 【定义对象】 连接三角形的一个顶点和它对边上的一点（顶点除外）的线段，将原三角形分割成两个三角形，如果其中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，那么称这条线段为该三角形的直腰分线． 【概念理解】 定义—性质： 问题1：如图1，在中，，．若是的直腰分线，则的度数为 ，的度数为 ． 定义—判定： 问题2：如图2，在中，，．点G是边上一点，连接．若，求证线段是的一条直腰分线． 问题3：…… 任务： （1）“问题1”中的“ ”处空缺的内容依次为 ， ； （2）①请补全图2（要求：用尺规作线段，使，垂足为点G．标明字母，保留作图痕迹，不写作法）； ②证明线段是的一条直腰分线； （3）如图3，已知中，，，．请直接写出所有直腰分线的长． 23. 综合与探究 问题情境：已知中，，，点O是边的中点．将绕点O顺时针旋转得到，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，射线交线段于点P． 初步探究： （1）如图1，当点E在的内部时，猜想线段与的数量关系，并说明理由； 深入探究： （2）如图2，当点E恰好落在边上时，线段，交于点M，连接． ①判断线段与的数量关系，并说明理由； ②将图2中的沿射线的方向平移，点D，E，F的对应点分别为点，，．已知，，当以，，O为顶点的三角形是等腰三角形，且为腰时，请直接写出点D，之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期八年级期末学业诊断 数学 （考试时间：上午8：00—9：30） 说明：本试卷为闭卷笔答，不允许携带计算器．答题时间90分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑． 1. 若分式有意义，则x的值不可能是（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式有意义时分母不为0，可求出x不能取的值，即可得到答案． 【详解】解：∵ 分式有意义， ∴ ， 解得 ， 因此的值不可能是， 故选D. 2. 银行是银行提供的综合性移动金融服务平台，旨在为用户提供便捷金融服务．下面是某银行中的四个应用图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. 账户总览 B. 转账汇款 C. 公益捐款 D. 电子工资单 【答案】B 【解析】 【分析】中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，故本选项合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不合题意． 3. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，不是多项式，故不是因式分解，不符合题意； B、，等式右边不是整式乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、是整式乘法，故不是因式分解，不符合题意． 4. 如图，四边形中，对角线与相交于点O，．添加下列一个条件后，能使四边形成为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”判断选项即可． 【详解】解：四边形中，对角线与相交于点O， 若，， 则四边形成为平行四边形， 经验证，BCD选项均不能判定四边形成为平行四边形． 5. 将分式化成最简分式的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， ∴将分式化成最简分式的结果是． 6. 在中，点D在边的垂直平分线上，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质和外角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先根据垂直平分线得到，然后根据等边对等角和外角的知识，即可求解； 【详解】解：∵在中，点D在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， 故选：D； 7. 折纸发源于中国，是一项历史悠久、流行广泛的民间艺术．如图，是用正方形纸折出的正九边形，这个正九边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】边形的内角和公式：． 【详解】正九边形的内角和． 8. 如图，直线与直线相交于点，与轴正半轴交于点．关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】数形结合观察直线在直线的下方时所对应的自变量的取值范围即不等式的解集． 【详解】解：由函数图像可知：当时，． 9. 同学们做物理实验，在水平桌面上放置A、B两个物体．已知物体A对桌面的压力为，物体B对桌面的压力为，且物体B与桌面的接触面积（即桌面的受力面积）比物体A与桌面的接触面积大．设物体A与桌面的接触面积为，若物体A、B对桌面的压强之比为，则根据“压强压力受力面积”这一公式，可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意分别表示A、B对桌面的压强，再结合给定的压强比，列出对应方程即可． 【详解】解：由题意得，物体B与桌面的接触面积为， ∵物体A、B对桌面的压强之比为， ∴，整理得． 10. 图，某物流公司计划在一条笔直的道路l上新设两个物流转运点P，Q，两转运点的间距固定为a（即）．无人驾驶物流车每天从起点A出发，先到转运点P取物品，然后沿道路l到转运点Q取物品，最后送到道路另一侧的快递驿站B．为节能提效，物流公司希望无人驾驶物流车所走的总路程最短．下列四种关于转运点P，Q位置的设计方案中，符合物流公司要求的是（ ） A. 于点 B. 于点 C. 且，交于点 D. 交于点 【答案】C 【解析】 【分析】根据若使总路程最短，其中的长度不变，则只需最小即可，将与转化为首尾衔接的路径，由此求解即可． 【详解】解：当且， 则有四边形为平行四边形， ∴， 当点，点Q，点B，三点共线时，最小， 即符合物流公司要求的是：  二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案填写在答题卡相应的位置． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称点的性质，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键； 利用关于原点对称的点的横坐标与纵坐标均互为相反数即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为5， ∴点关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：． 12. 如图，已知中，，分别延长线段，到点D，E，使，，连接．若，则的长为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据中位线的判定和性质得出，进而可求解． 【详解】解：∵，， ∴点A，点B分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴． 13. 平行四边形具有不稳定性．如图，小明用四根细木条钉成一个平行四边形木框，保持其一边不动，调整木框得到同一平面内的，点落在的内部．已知，，则的度数为_______． 【答案】35 【解析】 【分析】由，，且在平行四边形内部，故．在平行四边形中，． 【详解】解：∵，，且点落在的内部．， ∴． 在平行四边形中， ∴． 14. 班级劳动课组织同学们制作可循环使用的纯棉布袋．制作前，采购剪刀、针线等工具需花费36元，单个布袋的布料及配件成本为4.5元．若班级总经费不超过300元且全部用于制作布袋，则最多可制作_______个这种布袋． 【答案】58 【解析】 【分析】根据“总经费元”建立不等式求解即可． 【详解】解：设最多可制作x个布袋， 固定工具成本36元，单个布袋布料及配件成本为4.5元，总经费不超过300元， 故，解得， 则最多可制作58个这种布袋． 15. 如图中，，，O为的中点，连接．点E为延长线上的一点，连接，将线段绕点O顺时针旋转，点E的对应点F恰好落在边上．若，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过 作 于 ，过  作 于 ，先利用三线合一和勾股定理求出，进而求出即，再在  中求出，进而求出，再设 ，则 ，再在  中，由勾股定理解出，进而得到，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过 作 于 ，过  作 于 ， ∵ ，， 是  中点， ∴ ，平分 ， ∴，， 在  中，， ∴ ，， ​， ∵， ∴， ∴在中，，， ∴， 在 中，由勾股定理： ， 故 ， 在  中： ​​，​，  ∴， 设 ，则 ， 在  中，由勾股定理 ，代入得：  展开化简得：，解得 （负的舍去）， 即 ， ∴ ， ∴的面积为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分）解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤． 16. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取a，再使用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提取，再进行运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解不等式组并将其解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】；解集数轴上表示如图所示： 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，找出两个解集的公共解集，再在数轴上表示即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为， 该不等式组的解集在数轴上表示为：略 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 19. 赛龙舟是中国端午节最重要的节日民俗活动之一．近年端午期间各地举行的龙舟赛更承载着同舟共济的精神，引领着全民健身的风潮．为备战某次龙舟赛，甲、乙两支龙舟队进行2000米追逐赛训练．已知甲队的平均速度是乙队平均速度的1.25倍，且甲队行完全程比乙队行完全程用时少100秒．求本次训练中乙龙舟队的平均速度． 【答案】本次训练中乙龙舟队的平均速度为4米/秒 【解析】 【分析】设本次训练中乙龙舟队的平均速度为x米/秒，则甲龙舟队的平均速度为米/秒，根据时间路程速度，然后列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设本次训练中乙龙舟队的平均速度为x米/秒，则甲龙舟队的平均速度为米/秒．根据题意，得 ． 解得，． 经检验，是原方程的解． 答：本次训练中乙龙舟队的平均速度为4米/秒． 20. 如图，在中，点E是的中点，的延长线与的延长线相交于点F．连结、．请判断四边形的形状，并说明你的理由． 【答案】四边形为平行四边形，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定， 连接，，首先由平行四边形的性质得到，然后证明出，得到，进而证明即可． 【详解】四边形为平行四边形， 理由：如图所示：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 21. 按要求完成下列各题 （1）【观察·思考】 观察下列式子：，，，，…容易发现，对于真分数，将其分子、分母同时加上一个数a（），所得分数比原分数大，即．请证明这个结论正确． 分析：要说明，可证明． 证明：将原分数“”与所得分数“”作差，得 因为， 所以，… 所以，． 请将上述证明过程补充完整． （2）【联系·推广】 将（1）中的结论推广到一般情形： 对于任意分数（），将其分子、分母同时加上一个数c（），则原分数与所得分数的大小关系是 （填“>”“<”或“=”）． 【答案】（1）证明：将原分数“”与所得分数“”作差，得 ． 因为， 所以，，． 所以，，即． 所以，． （2）< 【解析】 【分析】本题通过作差，然后进行异分母的分式减法计算，再根据已知条件判断分子和分母的符号，即可判断作差后的分式的正负． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 22. 阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 直腰分线 【定义对象】 连接三角形的一个顶点和它对边上的一点（顶点除外）的线段，将原三角形分割成两个三角形，如果其中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，那么称这条线段为该三角形的直腰分线． 【概念理解】 定义—性质： 问题1：如图1，在中，，．若是的直腰分线，则的度数为 ，的度数为 ． 定义—判定： 问题2：如图2，在中，，．点G是边上一点，连接．若，求证线段是的一条直腰分线． 问题3：…… 任务： （1）“问题1”中的“ ”处空缺的内容依次为 ， ； （2）①请补全图2（要求：用尺规作线段，使，垂足为点G．标明字母，保留作图痕迹，不写作法）； ②证明线段是的一条直腰分线； （3）如图3，已知中，，，．请直接写出所有直腰分线的长． 【答案】（1）40，10 （2）①如图，线段即为所求． ②证明：，． ． ，． ． ． ，且点G在边上， 即是直角三角形，是等腰三角形， ∴线段是的一条直腰分线 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据三角形的直腰分线的定义可知，然后利用角度关系即可求解； （2）①根据尺规作图步骤作图即可；②证明是直角三角形，是等腰三角形，即可得证； （3）分别过三点往对边作垂线，分别进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵是的直腰分线， ∴， 在中，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图过点作于点， ∴， ∴为直角三角形，为等腰三角形， ∴为直腰分线， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②如图过点作于点， ∴， ∴为直角三角形，为等腰三角形， ∴， ∴为的直腰分线， ∴， ∴， ∴； ③如图过点作于点， ∴，，， ∴，， ∴不存在等腰三角形，故不是的直腰分线； 综上，直腰分线的长为或． 23. 综合与探究 问题情境：已知中，，，点O是边的中点．将绕点O顺时针旋转得到，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，射线交线段于点P． 初步探究： （1）如图1，当点E在的内部时，猜想线段与的数量关系，并说明理由； 深入探究： （2）如图2，当点E恰好落在边上时，线段，交于点M，连接． ①判断线段与的数量关系，并说明理由； ②将图2中的沿射线的方向平移，点D，E，F的对应点分别为点，，．已知，，当以，，O为顶点的三角形是等腰三角形，且为腰时，请直接写出点D，之间的距离． 【答案】（1），理由如下： 如图所示，连接， 绕点O旋转得到， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）①，理由如下： 绕点O旋转得到， ，，， ∵点O是的中点， ， ， ， ， ， 由（1）得， ，， ， ， ， ， 是的中位线， ． ②或或 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质证明，即可证明； （2）①利用旋转的性质证明是的中位线，即可得到线段与的数量关系；②当时，在中，利用建立方程求解即可；当时，在中，利用建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略； ②当时，如图所示： 由（2）得，，， 由平移的性质可得：，， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴，解得：或， ∵此时， ∴此时， 当时，如图所示： ∴此时在中，，解得：或， ∴此时； 当时，如图所示： ∴此时， ∴在中，， ∴，解得：（负舍）， ∴此时， 综上：点D，之间的距离为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $