精品解析：甘肃庆阳市2025-2026学年八年级下学期半期教学质量评估数学试卷

2025—2026学年度第二学期八年级半期教学质量评估 数学 注意事项： 1．本试卷共120分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数为非负数． 根据二次根式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 故选：C． 2. 下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查算术平方根，二次根式的性质．根据算术平方根的定义和二次根式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、，原选项错误，不符合题意； D、，原选项正确，符合题意； 故选：D． 3. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组是“勾股数”的是（ ） A. 2，3，5 B. 7，8，9 C. 3，4，5 D. 5，12，11 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数．注意：三个数必须是正整数，利用勾股数定义进行判断即可． 【详解】解：A、，2，3，5不是勾股数，故不符合题意； B、，则7，8，9不是勾股数，故不符合题意； C、，则3，4，5是勾股数，故符合题意； D、，则5，12，11不是勾股数，故不符合题意； 故选：C． 4. 如果一个正多边形每个外角都等于，那么它是正（ ）边形 A. 三 B. 四 C. 五 D. 六 【答案】D 【解析】 【分析】正多边形的外角和是，这个正多边形的每个外角相等，因而用除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数． 本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键． 【详解】解：这个正多边形的边数： 故选：D 5. 如图，，两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量，间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，，并且测出的长为16米，则，间的距离为（ ） A. 8米 B. 16米 C. 24米 D. 32米 【答案】D 【解析】 【分析】先确定D、E分别是、的中点，判断是的中位线，依据三角形中位线定理，可得到和的数量关系．结合已知的长度，根据所得数量关系即可计算的长度． 【详解】由题意可知：是的中点，是的中点， ∴是的中位线． ∴． ∵米， ∴米，即、间距为32米． 6. 如图，矩形的对角线相交于点O，，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的对角线相等且相互平分即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7. 如图，在中，对角线、相交于点O，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形对边平行且相等是解题关键．根据平行四边形的性质逐项判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 只有B选项正确， 故选：B． 8. 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 2026 B. 2025 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026． 故选：A． 9. 如图，长方形中，，，把这个长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，是折痕，的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理． 根据折叠的性质可得，利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵长方形， ∴， ∵将此长方形折叠，使点B与点D重合， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图，在中，用直尺和圆规作的平分线交于点E，若，，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由作图可得，则为等腰三角形，由等腰三角形的性质可得，，结合勾股定理可得，由平行四边形的性质可得，结合平行线的性质得出，从而可得，即可得出结果． 【详解】解：由作图可得：， ∴为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 一棵树在离地面处折断，树的顶端落在离树干底端处，这棵树折断之前的高度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，利用勾股定理求出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示， 在中，，，， ， ， 树折断之前高， 故答案为：． 12. 化简的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质化简求得答案即可． 本题考查二次根式的性质及化简，熟练掌握计算法则是解题关键． 【详解】解：． 故答案为： 13. 如图，在菱形中，添加一个条件使其成为正方形，你添加的条件是________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定方法，①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，③对角线互相垂直的矩形是正方形，④一组邻边相等的矩形是正方形． 根据①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，添加条件即可． 【详解】解：∵有一个角是直角的菱形是正方形， ∴添加的条件是． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图所示，数轴上点所表示的数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，先根据勾股定理求出圆弧半径，结合图形即可得到答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，圆弧半径为， ∴数轴上点所表示的数是， 故答案为：． 15. 已知菱形的周长为，一条对角线长为，则这个菱形的面积是______． 【答案】24 【解析】 【分析】题目主要考查菱形的性质及勾股定理解三角形，理解题意是解题关键． 根据菱形的性质，先求另一条对角线的长度，再运用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解． 【详解】解：如图，在菱形中，． ∴，， ∴ ． ∴面积 故答案为：24． 16. 观察下列各式： ，，… 请利用你所发现的规律， 计算，其结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知等式总结规律，将所求算式各项展开后，利用裂项相消法计算即可． 【详解】解：由已知各式可得规律：， 因此   ． 三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】应用二次根式的加减法法则进行计算即可得出答案． 【详解】解：原式= = 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减法，熟练掌握二次根式的加减法运算法则进行求解是解决本题的关键． 18. 如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，在直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边的平方，据此列式求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 19. 如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点，． 求证：平行四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合已知角相等推导出对角线相等，再根据“对角线相等的平行四边形是矩形”完成证明． 【详解】证明：∵ 四边形 是平行四边形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∵ 四边形 是平行四边形，且 ， ∴ 平行四边形 是矩形． 20. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并计算． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 21. 如图，在四边形中，AD//BC，点、在上，AE//CF，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据AD//BC、AE//CF得出等角，再证明，得到，从而证明四边形是平行四边形． 【详解】∵AD//BC （两直线平行，内错角相等） 又∵AE//CF （两直线平行，内错角相等） 在与中， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 【点睛】本题考查平行四边形的判定，解决本题的关键是熟知平行四边形的判定定理． 22. 如图，一架梯子 长 ，斜靠在一竖直的墙上，此时梯子顶端 A到地面的距离为． （1）求梯子底端B到墙角O的距离； （2）如果梯子的顶端 A沿墙下滑，那么梯子底端 B 将向外移动多少米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用． （1）在中，直接利用勾股定理求解即可． （2）在中，直接利用勾股定理可得，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴ ， ∴梯子底端B到墙角O的距离为：． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴． ∴梯子底端 B 将向外移动． 四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，在四边形中，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解答的关键． 连接，根据勾股定理的逆定理判断出为直角三角形，且，然后利用三角形的面积求解即可． 【详解】解：如图，连接． 在中，， ，则． ， ． 为直角三角形，且． ． 24. 光伏产业作为可再生能源领域的重要组成部分，近年来在全球范围内实现了快速发展．某大厦在矩形屋顶中安装了两块正方形的光伏发电板，两块光伏板沿屋顶长边恰好并排排列，其面积分别为和．求屋顶未利用区域（阴影部分）的面积． 【答案】屋顶未利用区域（阴影部分）的面积为 【解析】 【分析】本题考查二次根式运算的实际应用，数形结合表示出阴影部分矩形的长和宽，并运用二次根式乘法运算求解是解决问题的关键．先由题中两个正方形面积分别为和，直接开平方得到边长，进而表示出阴影部分矩形长和宽，再由矩形面积公式代值求解，由二次根式乘法运算计算即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，正方形的面积为，则边长为； 正方形的面积为，则边长为； 阴影部分矩形长为，宽为，则屋顶未利用区域（阴影部分）的面积为， 答：屋顶未利用区域（阴影部分）的面积为． 25. 如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的周长为30，且，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）30 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形．再结合直角三角形的性质可得，即可得证； （2）设，．则，，由勾股定理可得，求出，即可得出结果． 【小问1详解】 证明：点是的中点， ． ， ∴四边形是平行四边形． 是直角三角形，点是的中点， ． 四边形是菱形． 【小问2详解】 解：设，． 的周长为，． ，． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴． ∵点、分别是、的中点， ∴， ∵， ∴． ∴． 答：四边形的面积为30． 26. 项目主题：面积公式的实际应用 素材一：古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，） 素材二：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：（其中a，b，c为三角形的三边长） 任务一：若一个三角形三边长依次为7，8，9，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形三边长依次为7，6，9，即，，， ∴＝______（填最终结果） 根据海伦公式可得＝______（结果化到最简） 任务二：请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 【答案】任务一：11，；任务二： 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，正确计算是关键． 任务一：把数值代入直接计算即可； 任务二：先求出，，，再代入秦九韶公式计算即可． 【详解】解：任务一：∵一个三角形三边长依次为7，6，9，即，，， ∴， 根据海伦公式可得 ， 故答案为：11，； 任务二：设三角形的三边长分别是，，， ，，， 秦九韶公式： ． 27. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，已知，，点D是的中点，动点P以2个单位长度/秒的速度由点C出发，沿运动至点B，设动点P的运动时间为t秒． （1）则______，四边形为平行四边形； （2）若四边形为平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由； （3）在线段上是否存在一点N，使得以O、D、P、N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3 （2）矩形，理由见解析 （3）存在，t的值为或 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质可得，根据平行四边形的性质得，构建一元一次方程，解方程，即可求解； （2）利用平行四边形的性质证得四边形为平行四边形，结合即可求证； （3）分点N在点P的左边，点N在点P的右边两种情况，利用菱形的性质结合勾股定理分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形，，， ∴，， ∵点D是的中点， ∴， ∵动点P以2个单位长度/秒的速度由点C出发，沿运动至点B，设动点P的运动时间为t秒， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 即， 解得：． 故答案为：3． 【小问2详解】 解：四边形为矩形，理由如下： 由（1）可知，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形为矩形． 【小问3详解】 解：存在，分两种情况： ①如图，当点N在点P的右侧时， 由（1）可知，，，， ∵四边形为菱形， ∴， 在中，， ∴， 解得：； ②如图，当点N在点P左侧时， ∵四边形为菱形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当t的值为或时，以O、D、P、N为顶点的四边形为菱形． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，解一元一次方程，熟练掌握以上知识点，注意分类讨论是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期八年级半期教学质量评估 数学 注意事项： 1．本试卷共120分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组是“勾股数”的是（ ） A. 2，3，5 B. 7，8，9 C. 3，4，5 D. 5，12，11 4. 如果一个正多边形每个外角都等于，那么它是正（ ）边形 A. 三 B. 四 C. 五 D. 六 5. 如图，，两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量，间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，，并且测出的长为16米，则，间的距离为（ ） A. 8米 B. 16米 C. 24米 D. 32米 6. 如图，矩形的对角线相交于点O，，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 7. 如图，在中，对角线、相交于点O，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 2026 B. 2025 C. D. 9. 如图，长方形中，，，把这个长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，是折痕，的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，在中，用直尺和圆规作的平分线交于点E，若，，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 一棵树在离地面处折断，树的顶端落在离树干底端处，这棵树折断之前的高度是______． 12. 化简的结果是_____． 13. 如图，在菱形中，添加一个条件使其成为正方形，你添加的条件是________． 14. 如图所示，数轴上点所表示的数为__________． 15. 已知菱形的周长为，一条对角线长为，则这个菱形的面积是______． 16. 观察下列各式： ，，… 请利用你所发现的规律， 计算，其结果为______． 三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 如图，在中，，，，求的长． 19. 如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点，． 求证：平行四边形是矩形． 20. 计算： 21. 如图，在四边形中，AD//BC，点、在上，AE//CF，且．求证：四边形是平行四边形． 22. 如图，一架梯子 长 ，斜靠在一竖直的墙上，此时梯子顶端 A到地面的距离为． （1）求梯子底端B到墙角O的距离； （2）如果梯子的顶端 A沿墙下滑，那么梯子底端 B 将向外移动多少米？ 四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，在四边形中，，求四边形的面积． 24. 光伏产业作为可再生能源领域的重要组成部分，近年来在全球范围内实现了快速发展．某大厦在矩形屋顶中安装了两块正方形的光伏发电板，两块光伏板沿屋顶长边恰好并排排列，其面积分别为和．求屋顶未利用区域（阴影部分）的面积． 25. 如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的周长为30，且，求四边形的面积． 26. 项目主题：面积公式的实际应用 素材一：古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，） 素材二：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：（其中a，b，c为三角形的三边长） 任务一：若一个三角形三边长依次为7，8，9，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形三边长依次为7，6，9，即，，， ∴＝______（填最终结果） 根据海伦公式可得＝______（结果化到最简） 任务二：请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 27. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，已知，，点D是的中点，动点P以2个单位长度/秒的速度由点C出发，沿运动至点B，设动点P的运动时间为t秒． （1）则______，四边形为平行四边形； （2）若四边形为平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由； （3）在线段上是否存在一点N，使得以O、D、P、N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $