专题07 全等三角形压轴7几何模型（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题07 全等三角形压轴7几何模型 题型1 一线三等角模型（K 型）（常考模型） 题型5 半角模型（常考模型） 题型2 手拉手模型（旋转型）（常考模型） 题型6 截长补短模型（常考模型） 题型3 倍长中线模型（常考模型） 题型7 多模型叠加（期末压轴必考） 题型4角平分线模型（常考模型） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 一线三等角模型（K 型）（常考模型）（共15小题） 1.在中，，，过点C作直线，于点M，于点N． (1)若在外（如图1）， 求证：； (2)若与线段相交（如图2），且，，则 2．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； (2)如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值． 3．（2026七年级下·上海·专题练习）解决问题 (1)如图1，为等边三角形，，，求证：； (2)如图2，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A，C作于点E，于点F．则线段，，的数量关系为________； (3)如图3所示，在中，，，于点E，于点D，，，求的长． 4．在等腰中，，，点在直线上．且于点，于点． (1)当直线处于图1位置时，若，，则___________，___________． (2)当直线处于图1位置时，求证：． (3)当直线处于图2位置时，猜想，，之间的数量关系，并证明． 5．【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；在中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点，易证，若，，则 ； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上，且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，连接，求的面积． 6.问题：如图①，在直角三角形中，，于点，可知（不需要证明）； (1)探究：如图②，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且，于点，于点．证明：； (2)证明：如图③，点、在的边、上，点、在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：； (3)应用：如图④，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________． 7．模型意识以及知识运用 (1)【感知模型】如图1，正方形的顶点在直线上，分别过点、作于，于．则______． (2)【模型应用】如图2所示，在中，，，于，于，，，则的长为______． (3)【模型变式】如图3，在中，，点、分别是边、上一点，连接、交于点．点是上一点，连接，若，求证：． 8．结合图形，解答下列问题： (1)【模型呈现】某兴趣小组从赵爽弦图（图①）中提炼出三角形全等的模型（图②），由图中可以通过推理得到，进而得到______，______．我们可以把这个数学模型称为“一线三等角”模型： (2)【类比应用】如图③，在中，，点、、都在直线上，并且．若，，求的长； (3)【拓展探究】如图④，正方形中，，，直接写出的面积______． 9.【问题】已知：是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上的两点，且， 【探究】嘉嘉、琪琪和乐乐对上面的问题展开了探究，请阅读他们的探究过程并解答下列问题： (1)如图1，若直线经过的内部，且，射线在上．嘉嘉给出的条件是“”，猜想与的数量关系是 (2)如图2，琪琪改变了嘉嘉的条件，变为“”其余条件不变，请你探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由 (3)如图3，乐乐改变了直线的位置，使经过的外部，，请写出、、三条线段之间的数量关系： （不要求证明） 10.综合与实践 央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． 【模型感知】 一线三等角模型是初中数学三角形全等知识点考察的经典模型，在同一条直线上，依次分布三个相等的角，两角外侧各有一个三角形，由此构成的几何图形叫做一线三等角模型． (1)如图1，，射线在这个角的内部，点在的边上，且于点，于．则___________；线段、、之间的数量关系为___________． 【模型应用】 (2)如图2．点在的边、上，点在内部的射线上．已知，．求证：． 【类比探究】 (3)如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，则___________． 11.（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 12．【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 13.在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 14．【问题初探】 （1）如图①，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，则，，的数量关系是_____________； 【变式探究】 （2）如图②， 在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．已知，，求的长； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，的大小关系，并说明理由． 15．某数学兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 【问题初探】 (1)已知：点、、在同一条直线上，，，请利用图1，说明． 【内化迁移】 (2)在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边，在的右侧作，使，． ①如图3，当点在线段上时，过点作于，当时，________； ②如图4，连接，交直线于点，点在运动过程中，若，请直接写出的长． 题型2 手拉手模型（旋转型）（常考模型）（共10小题） 16．（25-26八年级上·上海长宁·月考）（1）如图1，和是等腰直角三角形，，，连接，，构建“手拉手”模型，可证明________；在此基础上，我们把如图2的画斜线部分称为“蝴蝶型”，可通过证明得到________； （2）如图3，和是等边三角形，，连接，，的延长线与相交于点．求的度数； （3）如图4，在和中，，，，，连接，．则直线与直线的夹角为________度． 17．在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形． (1)如图①，和都是等腰三角形，，，，连接、，与全等的三角形是________，和的数量关系是_______； (2)如图②，和都是等腰直角三角形，，，，连接、交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图③，在中，以、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数． 18． 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 19.综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 20．已知与中，，连接与相交于点，与相交于点． (1)如图1所示，证明：； (2)如图2所示，当时，求的度数； (3)如图3所示，当时，求的等量关系． 21.本学期，我们学习了“特殊化”问题解决策略，面对一般性问题，可以先考虑特殊情形，通过取特殊点、特殊位置、特殊数据等简化问题，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性问题． 【问题提出】如图①，和都是等腰三角形，，，，且点A、C、D在同一直线上，和有怎样的关系？ 【问题解决】 如图②中，先设，点A、C、D在同一直线上，则与互余，与互余，可得，再结合相等边就可以证明，根据全等就可以得到，再根据全等三角形的对应角，结合对顶角，就能推出，即： (1)在图③中，若，点A、C、D在同一直线上，判断说明和数量关系，并求的度数； (2)在图④中，若，点A、C、D在同一直线上，则和的数量关系是____，_____； (3)通过上述特殊化研究，解决在【问题提出】中，和有怎样的数量关系和位置关系．（位置关系即求） 22． 已知为等边三角形． (1)如图1，点D为边上一点，以为边作等边，连接，求证：； (2)如图2，当点D在边的延长线上时，以为边作等边， 判断线段、、的关系，并说明理由； (3)如图3，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点E，连接，交于点F．直接写出线段，，之间存在何种数量关系． 23.点分别是等边三角形的边和上的点，且，连接． (1)如图1，若，将绕着点顺时针旋转，得到，连接和．求证： ①为等边三角形； ②探究线段，与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，当时，若为的中点，连接，求证：． 24.综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 （1）如图1，A，O，D三点共线，与的数量关系是：_______． 【模型应用】 （2）如图2，设，相交于点P，，相交于点Q．若，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，M，N分别为，的中点，连接，，，直接判断与的数量关系与位置关系． 25.如图1，在中，，点D为边的中点，交于点E．点F为线段上一点，连接，，将线段绕点A逆时针旋转至，连接． (1)求证：； (2)若，． ①如图2，连接交于H，当与的面积之比是，求的值； ②如图3，延长交于点M，当时，试求出的度数及的面积（注意：面积用含a，b的代数式表示）． 题型3 倍长中线模型（常考模型）（共15小题） 26．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．（2026七年级下·上海·专题练习）如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是____________． 28．（24-25八年级上·上海闵行·月考）如图，中，，为的边的中线，在延长线上截取．求证：． 29．（24-25八年级上·上海普陀·期中）求证：如果一个三角形一边上的中线平分这条边所对的内角，那么这个三角形是等腰三角形．如图所示，小普同学按照题目要求画出了以及边上的中线，请你依据此图完成命题的证明． 已知：如图，在中，_______________． 求证：_______________． 证明： 30．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，是边上的中线，如果，求证：． 证明：延长至点，使，连接（请完成后续证明） 31．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）． ①延长到E，使得； ②再联结，可得_______，从而把、、转化在中； ③利用全等三角形性质和三角形三边关系可得______________，则的取值范围是：_______（在横线上填空）． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． （2）思考：已知，如图2，是的中线，，，（点F和点E在同侧），试探究线段与的数量和位置关系并加以证明．    32．（24-25八年级上·上海·期中）倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．某同学在学习过程中，遇到这样的一个问题：如图1：在中，，，求边上的中线的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决方法：延长到点E，使．请根据他们的方法解决以下问题： （1）求的取值范围：_________． 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题： 如图：已知，，，为的中点； （2）如图 2，若A、C、D三点共线，，，求； （3）如图3，若A、C、D三点不共线，，求证：． 33.八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起探究吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形__________________； 【理解与应用】 （2）如图2，是的中线，若，，设，求x的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点Q在的延长线上，，若，求的长度． 34.如图，在中，若，，求边上中线的取值范围通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路． 思路将绕着点旋转，使得和重合，得到 思路延长到，使得，连接，根据可证得． 根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，求的取值范围． 35.原题再现：如图，和相交于点，，．求证：． 本题可通过“”证明得到或，进而得到，除此结论外，你还能由得到与的关系是 ； 模型迁移：如图，中，，，是的中线，求长的取值范围； 拓展运用：如图，中，是的中线，分别以，为边作和，且，，，求证：． 36．（1）问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如图，是的中线，若，，求长和长的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了长的取值范围为______； （2）方法探究：但是他们怎么也算不出长的取值范围，经小组讨论后发现：延长至点．使，连接，如图．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出长的取值范围，请写出解答过程； （3）方法应用：如图，在中，点在上，且，过点作，交于点，且．求证：平分． 37.【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是_____． A．       B．        C．        D． （2）求得的取值范围是_____． A．        B．        C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”和“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于、交于，且．求证：． 38.【学习问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （）①由已知和作图能得到，依据是 ；            ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ； 【学习反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【类比运用】 （）如图，是中点，点在上，且，求证：； 【拓展运用】 （）如图，已知直线，点、是直线上两点，点、是直线上两点，点是线段中点，且，两平行线、间的距离为．求证：． 39．（25-26七年级下·广东深圳·期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)【问题背景】如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线的取值范围．请按照上述思路，写出求解的取值范围的完整过程； (2)【变式思考】如图2，中，是中线，分别以为腰向外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】如图3，在四边形中，对角线相交于点，点是的中点，，当时，求的长． 40.【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： 【历史文献】倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究．古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础．数学文献中，倍长中线作为标准术语被确立于世纪，成为初等几何常见技巧． (1)【问题背景】 如图，中，，，是中线，则的取值范围是______； (2)【变式思考】 如图，中，是中线，分别以，为腰在外作等腰和等腰，，，，连接，求证：； (3)【探究延伸】 如图，在四边形中，对角线，相交于点，将沿着翻折，点的对应点为，，点是的中点，，当时，求的长． 题型4角平分线模型（常考模型）（共3小题） 41.【阅读理解】角平分线把角等分，从而得到相等的角，所以结合角平分线构造全等三角形是常用的方法． （1）如图1，平分，点，分别在和上，且于点．请补全下列证明： 证明：平分，________， ， ， 在和中， ， （________）． ，． 【类比解答】（2）如图2，在中，平分，于，若，，求的度数． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，，平分，交的延长线于点，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 42．情境阅读： 在我国北宋时期，著名数学家贾宪在其所著的《黄帝九章算法细草》（九卷）中提出：勾（直角边）、弦（斜边）分别相等的两个直角三角形全等，即我们今天所说的“”定理．我们将斜边重合的两个直角三角形称为“共同体三角形”，用尺规按照下面的操作方法可以画出这种类型的全等直角三角形． 实践操作： 如图①，是的平分线，以所在直线为对称轴画一对全等的直角三角形，其步骤如下： 第一步：以点O为圆心，任意长为半径画弧，交于点B，交于点C； 第二步：分别过点B，C作的垂线与交于点A，则． 问题解决： （1）如图②，在中，，，分别是，的平分线；交于点F，则的度数等于________． （2）在（1）的条件下，请判断与之间的数量关系，并说明理由． 探究发现： （3）如图③，在中，若不是直角，（1）中的其他条件不变，试问（2）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 43.探究与证明 【问题情境】 (1)利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据___________，证明，则（即点为的中点）． 【类比解答】 (2)如图2，在中，平分于，若，通过上述构造全等的办法，可求得___________． 【拓展延伸】 (3)如图3，中，平分，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【实际应用】 (4)如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点作于．已知面积为26，则划出的的面积是___________？ 题型5 半角模型（常考模型）（共5小题） 44．（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 45．【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 46.【阅读材料】面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略． 【活动主题】根据以上材料，同学们在数学活动课上以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． 【问题背景】如图，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且请探究线段，，之间的数量关系． (1)【特殊情形】任务：如图，当时，其他条件不变，请探究线段，，之间的数量关系． 下面是学习委员琳琳的解题过程，请将剩余内容补充完整． 解：如图，延长到点，使得，连接． 在和中， 所以，所以，． 所以． 因为，所以． …… (2)【一般性问题】任务：小梦同学发现在如图所示的四边形中，任务中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由． 47.如图：在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） (2)如图，若在四边形中，，，分别是、上的点，且，（）中结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图，在四边形中，，，分别是边、延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 48．已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段 的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①，当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明________；即可得出线段 之间的数量关系是________． (2)如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． 题型6 截长补短模型（常考模型）（共3小题） 49．（25-26八年级上·上海普陀·月考）在中，，平分交边于点，，则____________°． 50.实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得． 【类比探究】 （1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明． 【方法运用】 （2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 51.同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题． (1)（1）在中，平分，，求证：；任选下面一种方法，并写出完整的证明过程： 方法一：如图①，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图②，延长到点F，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题． (2)如图③，在中，，交于点H，直接写出之间的等量关系________． (3)如图④，在中，平分，，分别为的角平分线，，，直接写出________． 题型7多模型叠加（共4小题） 52．（24-25七年级下·上海·阶段检测）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 53.点为等边所在平面内一点，连接，，，且． (1)如图，点P在外部，若，，则的长为 （直接写出结果）； (2)点在内部，连接． ①如图2，若，求的值； ②如图3，D为边中点，连接，求的度数． 54．阅读与思考 尺规作图之截长补短法尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题，解决更多的数学问题．截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 【问题解决】：如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法；延长到点使，再连接，把、、集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 解：延长到点使，连接， 在和中， ， ， ， （______）， 即…… 请你认真阅读以上内容，完成下列任务： (1)任务一：写出上述证明过程中空缺处的依据是______． (2)任务二：请结合图1补全上述证明过程； (3)任务三：如图2，在四边形ABCD中，，，分别是边上的两点，且，求证． 55.【探究实践】某数学兴趣小组准备了一些等腰三角形纸板平放在同一平面上进行探究．比如把等腰三角形的顶角顶点重合在一起，位置摆放可以进行变化．设， ，该数学兴趣小组对与的数量关系展开积极探究，组员们提出了自己的猜想或发现： (1)探究一：如图1，当时，连接、交于点O，小林发现一个结论：．小亚证明了小林发现的结论是对的，请你写出小亚的证明过程； (2)探究二：如图2，连接，得到四边形，点P始终在四边形内部．小海对小美说：点E是边的中点，当时，发现线段与线段存在一定的数量关系，你知道这个数量关系吗？请你帮小美回答这个问题，并说明理由； (3)探究三：如图3，在探究二条件的基础上，小君同学将图3的三角板固定，将另外一个三角板绕点P旋转，设计了一道题：若F为边所在直线上一点，，当E、P、F三点共线时，请直接写出的度数（结果用含的式子表示）． $扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题07全等三角形压轴7几何模型 题型归纳·内容导航 题型1一线三等角模型(K型)（常考模型） 题型5半角模型（常考模型） 题型2手拉手模型（旋转型）（常考模型) 题型6截长补短模型（常考模型） 题型3倍长中线模型（常考模型） 题型7多模型叠加（期末压轴必考） 题型4角平分线模型（常考模型） 题型通关·靶向提分 题型1一线三等角模型(K型)（常考模型）（共15小题） 1.在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线MN,AM⊥MN于点M,BN⊥MN于点N. M 图1 图2 (1)若MN在ABC外（如图1），求证：MN=AM+BN; (2)若MN与线段AB相交（如图2），且AM=2.4,BN=0.9,则MN=- 【详解】(1)证明：：AM⊥MN,BN⊥MN, ∠AMC=∠CNB=90°. ∠ACB=90°， ∴.∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°， .∠MAC=∠NCB. 在△AMC和△CNB中， ∠AMC=∠CNB ∠MAC=∠NCB, AC=CB △AMC≌△CNB(AAS, 1/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .AM CN,MC=NB. MN =NC +CM, .MN AM BN (2)解：：AM⊥MN,BN⊥MN, ∠AMC=∠CNB=90°， .∠MAC+∠ACM=90°， :∠ACB=90°， .∠ACM+∠NCB=90°， ∠MAC=∠NCB, 在△ACM和△CBN中， ∠AMC=∠CNB ∠MAC=∠NCB, AC=CB :△ACM≌ACBN(AAS), .AM=CN=2.4,CM=BN=0.9, .MN=CN-CM=2.4-0.9=1.5. 2.(24-25七年级下.上海崇明·期中)如图1，AB=10cm,AC⊥AB,BD1AB,垂足分别为A、B, AC=Tcm.点P在线段AB上以3cms的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线BD上运动， 它们运动的时间为(s)（当点P运动结束时，点Q运动随之结束)， D A>P A-P 图1 图2 (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与BP9是否全等？此时线段PC和线段 PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； (2)如图2，若“AC⊥AB,BD⊥AB"改为“LCAB=∠DBA”,点Q的运动速度为xcmS,其他条件不变，当 △ACP与BPQ全等时，求出相应的x与t的值， 【答案】(1)△ACP≌△BPQ,PC⊥PQ 2r=3,1=1:x=21,1=5 3 2/109 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)解：当t=1时，△ACP与BPQ全等；线段PC和线段PQ的位置关系是：PC⊥PQ,理由如 下： :点Q的运动速度与点P的运动速度相等，都是3cms,且运动的时间t=ls, ∴AP=3cm,BQ=3cm, .AP=BO=3cm, .AB =10cm, .BP=AB-AP =7cm, 又：AC=7cm, .AC BP =7cm, :AC⊥AB,BD⊥AB, ∠A=∠B=90°， 在△ACP与BPO中， AP=BO ∠A=∠B=90°， AC=BP .△ACP≌△BPQ(SAS), .∠C=∠BPQ, 在Rt△APC中，∠C+∠APC=90°， ∠BPQ+∠APC=90°， ∠CPQ=180°-（∠BPQ+∠APC)=90°， ·PC⊥PQ; (2)依题意得：AP=3tcm,BQ=xtcm, .AB =10cm, .BP=AB-AP=10-3t(cm), 又：AC=7cm,∠CAB=∠DBA, ①当AP=BQ,AC=BP时，△ACP≌△BPQ, 由AP=BQ,得：31=xt, 解得：x=3, 由AC=BP,得：7=10-31， 3/109 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得：t=1, ②当AP=BP,AC=BQ时，△ACP≌△BQP, 由AP=BP,得：31=10-3t, 解得：=了 由AC=BQ,得：7=xt, 5 。x=7, 3 解得：x=2 综上所述：当1=1时，x=3cm5:当1=时，x= 3 5 cm/s. 3.(2026七年级下·上海.专题练习)解决问题 E D 609 B D 图1 图2 图3 (1)如图1，ABC为等边三角形，BD=CF,∠EDF=60°，求证：△BDE≌△CFD; (2)如图2，正方形ABCD的顶点B在直线1上，分别过点A,C作AE⊥1于点E,CF⊥1于点F.则线段 EF,AE,CF的数量关系为一： (3)如图3所示，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D,DE=4cm, AD=6cm,求BE的长. 【详解】(1)解：：△ABC是等边三角形， .∠B=∠C=60°. :∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°. :∠EDF=60°， :∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°， :ZBED Z CDF. 在BDE和△CFD中， 4/109 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠B=∠C ∠BED=∠CDF, BD=CF △BDE≌△CFD(AAS). (2)解：EF=AE+CF; 理由：：四边形ABCD是正方形， ∠ABC=90°，AB=BC. ∠ABE+∠CBF=180°-∠ABC=90° AE⊥1，CF⊥1， ·∠AEB=∠CFB=90°. :∠ABE+∠EAB=90° ·LEAB=∠CBF. 在△ABE和BCF中， ∠AEB=∠CFB ∠EAB=∠CBF, AB=BC △ABE≌△BCF(AAS). :AE=BF,BE =CF. :EF BE BF AE CF (3)解：：∠ACB=90°， :∠BCE+∠ACD=90°. :BE⊥CE,AD⊥CE, :∠CEB=LADC=90°. LBCE+LCBE=90°. .∠CBE=∠ACD. 在△BCE和△CAD中， I∠CBE=∠ACD ∠CEB=∠ADC, BC=AC 5/109 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .△BCE≌△CAD(AAS. :BE CD,CE AD =6cm. :BE =CD CE-DE=6-4=2cm. 4.在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点C在直线I上，且AD⊥I于点D,BE⊥I于点E. B !Dh B 图1 图2 (1)当直线1处于图1位置时，若AD=3,BE=1,则CD= CE= (2)当直线1处于图1位置时，求证：DE=AD+BE. (3)当直线1处于图2位置时，猜想AD,BE,DE之间的数量关系，并证明. 【详解】(1)解：：AD⊥1，BE11, .∠ADC=∠CEB=90°， .∠CAD+∠ACD=90°， :∠ACB=90°， .LBCE+LACD=90°， ∴∠CAD=∠BCE, 又：AC=BC, :△CAD≌△BCE(AAS), ∴CD=BE=I,CE=AD=3; (2)解：由(1)得CD=BE,CE=AD, :DE=DC+CE=AD+BE (3)解：：AD⊥1，BE⊥1， ∠ADC=∠CEB=90°， .∠CAD+∠ACD=90°， :∠ACB=90°， ∠BCE+LACD=90°， .ZCAD ZBCE 6/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又：AC=BC, .△CAD≌ABCE(AAS), .CD=BE,CE=AD, .DE=CE-CD=AD-BE 5.【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在 ABC中，∠ABC=90°，AB=BC;在△DEF中，∠DEF=90°，∠EDF=30°)，并提出了相应的问题. 【发现】(1)如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段DF上时，过点A作 AM⊥DF,垂足为点M,过点C作CN⊥DF,垂足为点N,易证△ABM≌△BCN,若AM=2,CN=7 ,则MW= 【类比】(2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段DE上，且顶点A在线段EF上时，过点 C作CP⊥DE,垂足为点P,猜想线段AE,PE,CP之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】(3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点B在线段EF上时，若 BE=1,连接CE,求△BCE的面积 D D B A E 图1 图2 图3 【详解】解：(1)：△ABM≌△BCN,AM=2,CN=7, .AM=BN=2,BM=CN=7, .MN =BM BN =9. (2)PE=CP-AE,理由如下： :∠ABC=90°， ∴.∠ABE+∠CBE=90°， CP⊥BE, ∠CPB=90°， .∠BCP+∠CBP=90°， 7/109 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABE=∠BCP, :∠AEB=90°， ∠AEB=∠CPB=90°， AB=BC, .△ABE≌△BCP(AAS, .AE=BP,BE=CP, BE =BP+PE, PE=BE-BP CP-AE: ∴PE=CP-AE. (3)延长FE,过点C作CP⊥FE于P,则LBPC=90°， D E B :∠ABE+∠EBC=∠ABC=90°，LABE+∠BAE=180°-LAEB=90°， ∠EBC=LBAE, :∠AEB=∠CPB=90°，AB=BC, △ABE≌△BCP(AAS, ∴CP=BE=1, 1 6.问题：如图①，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,可知LBAD=∠C(不需要证明)： 8/109 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M B B D 图① 图② 图③ 图④ (1)探究：如图②，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且 AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D,证明：ABD≌CAF; (2)证明：如图③，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2 分别是△ABE、CAF的外角.己知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证：ABE≌CAF; (B)应用：如图④，在ABC中，AB=AC,AB>BC.点D在边BC上，CD=2BD,点E、F在线段AD 上，∠1=∠2=∠BAC.若ABC的面积为15，则△ACF与BDE的面积之和为 【详解】(1)证明：：CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D, ∠AFC=∠BDA=90°， M B 图② ∠MAN=90°， LACE=∠BAD=90°-∠CAE, 又AB=AC, △ABD≌aCAF(AAS; (2)证明：：∠I=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF,且∠1=∠BAC, ∠ABE=∠CAF, :∠2=∠CAF+∠ACF,∠BAC=∠BAE+∠CAF,且L2=LBAC, ∠BAE=LACF, 又：AB=AC, △ABE≌△CAF(ASA; 9/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)解：同(2)可得，ABE≌CAF, SABE=S.CAF :CD=2BD, 5m-35.4-15=5, .△ACF与BDE的面积之和为5 7.模型意识以及知识运用 B D E D人 E 图1 图2 图3 (1)【感知模型】如图1，正方形ABCD的顶点B在直线I上，分别过点A、C作AE⊥1于E,CF⊥I于F.则 △ABE≌· (2)【模型应用】如图2所示，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,BE⊥CE于E,AD⊥CE于D, DE=12cm,AD=18cm,则BE的长为_cm. B)【模型变式】如图3，在ABC中，AB=AC,点D、E分别是边AC、BC上一点，连接AE、BD交于 点G.点F是AE上一点，连接CF,若LBAC=LBGE=LEFC,求证：AG=CF. 【详解】(1)解：由题意，：AE⊥1于E,CF⊥1于F, .∠AEB=∠BFC=90°，∠ABE+∠BAE=90°. :四边形ABCD是正方形ABCD, AB=BC,∠ABC=90°， .∠ABE+∠CBF=90°， ∴∠BAE=∠CBF, △ABE≌△BCF(AAS); (2)解：：AD⊥CE,BE⊥CE, ∴∠ADC=∠BEC=90°， :∠DCA+∠BCE=90°，LDCA+∠DAC=90°， ∴∠DAC=∠BCE, 10/109 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又：AC=BC, :.△ACD≌△CBE(AAS, .CE AD=18cm,CD=BE, .BE CD =CE-DE =18-12=6(cm) (3)证明：：LBGE=LBAG+∠ABG,LBAC=∠BAG+LCAF, :∠BAC=LBGE, :∠BAG+∠ABG=∠BAG+∠CAF, ∠ABG=∠CAF, 又：∠EFC=CAF+LACF, ∴∠BAG+∠CAF=∠CAF+LACF, ∴∠BAG=LACF, 又：AB=AC, ,△ABG≌△CAF(ASA, :AG =CF. 8.结合图形，解答下列问题： a b B 朱买黄实 赵爽弦图 B 图① 图② 图③ 图④ (1)【模型呈现】某兴趣小组从赵爽弦图（图①）中提炼出三角形全等的模型（图②），由图中 ∠BCA=LBAD=LAED=90°可以通过推理得到△ABC≌△DAE,进而得到AC=一，BC=一·我 们可以把这个数学模型称为“一线三等角“模型： (2)【类比应用】如图③，在△ABC中，AB=AC,点D、A、E都在直线I上，并且 LBDA=∠AEC=LBAC=a,若BD=4,CE=5,求DE的长； (3)【拓展探究】如图④，正方形ABCD中，AE⊥DE,DE=5,直接写出△CDE的面积 【答案】(1)DE,AE (2)DE的长为9 11/109 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：：△ABC≌aDAE, .AC=DE,BC=AE. (2)解：：∠AEC=∠BAC=Q. :∠EAC+∠ACE=180°-a,∠EAC+∠DAB=180°-a, .∠ACE=∠DAB, 又：∠BDA=∠AEC,AB=AC, .△BDA≌△AEC(AAS, .BD=AE=4,DA=CE=5, .DE=DA+AE=9. (3)解：将图④转变为赵爽弦图，如下图所示： 故此可得出DE=CF=5, ·S,cne=)x DExCF=25 1 2 2 9.【问题】已知：CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB,E、F分别是直线CD上的两点，且 ∠BEC=∠CFA=La, B B E D D 图1 图2 图3 【探究】嘉嘉、琪琪和乐乐对上面的问题展开了探究，请阅读他们的探究过程并解答下列问题： (1)如图1，若直线CD经过∠BCA的内部，且E,F射线在CD上.嘉嘉给出的条件是“∠BCA=a=90°”， 猜想BE与CF的数量关系是_ 12/109 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，琪琪改变了嘉嘉的条件，变为“0°<∠BCA<180°，La+∠BCA=180°"其余条件不变，请你探究 EF、BE、AF三条线段之间的数量关系，并说明理由 (3)如图3，乐乐改变了直线CD的位置，使CD经过∠BCA的外部，∠a=∠BCA,请写出EF、BE、AF三 条线段之间的数量关系：一（不要求证明） 【详解】(1)解：：∠BEC=∠CFA=La,∠BCA=a=90°， :∠BEC=∠AFC=90°， :LBCE+LACF=90°，LCBE+∠BCE=90°， .∠CBE=LACF, 在△BCE和CAF中， ∠EBC=∠ACF ∠BEC=∠AFC, BC=AC △BCE≌ACAF(AAS), BE=CF; (2)解：EF=BE-AF,理由如下： ∠BEC=∠a,∠a+LACB=180°，∠a+∠BCE+∠CBE=180°， .∠ACB=∠BCE+∠CBE, :∠ACB=LBCE+LACF, ∠CBE=LACF, 在△BCE和CAF中， ∠CBE=∠ACF ∠BEC=∠AFC, BC=AC .△BCE≌ACAF(AAS, .BE=CF,CE AF :EF=CF-CE BE-AF (3)解：：LBEC=LCFA=La,La=LBCA, 又：∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=I80°， :ZEBC+ZBCE ZBCE +ZACF 13/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠EBC=∠ACF, 在BEC和△CFA中， ∠EBC=∠FCA ∠BEC=∠CFA, BC=CA △BCE≌ACAF(AAS, :AF =CE,BE=CF, EF CE+CF, :EF=BE +AF. 10.综合与实践 央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”， 几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、 推理，以解决新的问题， 【模型感知】 一线三等角模型是初中数学三角形全等知识点考察的经典模型，在同一条直线上，依次分布三个相等的角， 两角外侧各有一个三角形，由此构成的几何图形叫做一线三等角模型. M B D D E 12 CN B H 图1 图2 图3 (1)如图1，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B,C在∠MAN的边AM,AN上，且AB=AC,CF⊥AE 于点F,BD⊥AE于D.则∠ABD+∠ACF= °；线段BD、DF、FC之间的数量关系为 【模型应用】 (2)如图2.点B,C在∠MAN的边AM、AN上，点E,F在∠MAN内部的射线AD上.已知AB=AC, ∠1=∠2=∠BAC.求证：ABE≌CAF. 【类比探究】 (3)如图3，过ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG(正方形的4条边都相等，4个角 14/109 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 都是直角)，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I,若BH=4,CH=7,则AI= 【详解】(1)证明：CF⊥AE,BD⊥AE, ∠ADB=∠CFA=90°， ∠ABD+∠BAD=90°， :∠MAN=90°， ∠CAF+LBAD=90°， :LABD=∠CAF, :∠CAF+∠FCA=90°， ∴∠ABD+∠ACF=90°， 在△ABD和CAF中， ∠ABD=∠CAF ∠ADB=∠CFA AB=AC △ABD≌△CAF(AAS), :BD=AF,CF AD, AF AD+DF, :BD=CF+DF; (2):∠1=∠2，∠1+∠AEB=180°，∠2+∠CFA=180°， ·∠AEB=LCFA, :∠I=∠ABE+∠EAB,LBAC=∠EAB+∠CAF,∠1=∠2=∠BAC, ∠ABE=∠CAF, 在△ABE和CAF中， ∠ABE=∠CAF ∠AEB=∠CFA AB=CA ∴△ABE≌△CAF(AAS: (3)如图，过点E作EM⊥HI于M,过点G作GN⊥HI的延长线于N, 15/109 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E Nh-- G D :.∠EMI=∠GNI=90°， B H :∠BAH+∠EAM=90°，LBAH+∠ABH=90°， ∴.∠EAM=∠ABH, 在△ABH和△EAM中， ∠AHB=∠EMA ∠ABH=∠EAM AB=AE △ABH≌△EAM(AAS), :BH AM=4,AH =EM, 同理可得：△AHC≌△GNA, ∴CH=AN=7,AH=GN, 即：EMGN,MN=AN-AM=7-4=3, 在△EMI和△GNI中， ∠EMI=∠GNI ∠EIM=∠GIN EM=GN △EMI≌△GNI(AAS, :MI-NI=IMN=3 2 ÷AI=AM+MM=4+3- 22 11.(1)如图1，C、A、E在一条直线上，∠BAD=90°，AB=AD,BC⊥CA于点C,DE⊥AE于点E.求证： BC=AE (2)如图2，EA⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,计算图中实线所围成的图形ABCDE的面积. (3)如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC、DE,且BC⊥AF于点F,DE与AF交 于点G,若BC=21,AF=12,求△ADG的面积. 16/109 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E G D 61 4 G 图1 图2 图3 【详解】证明：(1)证明：：∠BAD=90° .LBAC+LDAE=90°， :BC⊥AC,DE⊥AC, .∠ACB=∠DEA=90°， ∠BAC+∠ABC=90°， ∠ABC=∠DAE, 在ABC和△DAE中， ∠ABC=DAE ∠ACB=∠DEA, BA=AD △ABC≌△DAE(AAS, ∴BC=AE; (2)解：由(1)中模型可知，△AEP≌△BAG,△CBG≌△DCH, .AP=BG=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CH=BG=3, 则S实线国成的图形ABCDE= 4+056+4-3x63x6x3x43x4=50: 2 (3)解：过点D作DP⊥AG于P,过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q, 由(1)中模型可知，△AFB≌△DPA,△AFC≌△EQA, DP=AF,EO=AF,BF=AP,FC=AO, .DP=EO=AF =12, :DP⊥AG,EQ⊥AG, 17/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图3 ∴.∠DPG=∠EQG=90°， ∠DGP=∠EGQ △DPG≌AEOG(AAS), DG=GE,PG=GO, :BF=AP,FC=AO, .BC=BF+FC=AP+AO, BC=21, .AP+AO=21, .AP+AP+PG+GO=21, .AP+AP+PG+PG=21, AP+PG=10.5, .AG=10.5, 4G-DP=x10.5x12=63」 12.【基础回顾】 (1)如图1，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线1经过点A,分别从点B,C向直线1作垂线，垂 足分别为D,E.求证：△ABD≌△CAE; H B B E A D A A B GC 图1 图2 图3 【变式探究】 (2)如图2，在ABC中，AB=AC,直线I经过点A,点D,E分别在直线I上，如果 ∠CEA=LADB=∠BAC,求证：ED=BD+CE; 18/109 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以ABC的边AB,AC为一 边向外作△BAD和△CAE,其中∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,AG是边BC上的高，延长 GA交DE于点H,设△ADH的面积为S,△AEH的面积为S2,猜想S,S2大小关系，并说明理由. 【详解】(1)证明：：BD1直线1，CE⊥直线1， .∠BDA=∠AEC=90°， ∴∠DAB+∠DBA=90°， :∠BAC=90°， ∠DAB+∠EAC=90°. ∠DBA=LEAC. 在△ABD和△CAE中， I∠BDA=∠AEC=90° ∠DBA=∠EAC AB=AC △ABD≌ACAE(AAS); (2)证明：：∠EAB是△ABD的外角， LEAB=LADB+∠DBA. ∠EAC+LBAC=LADB+∠DBA, :∠ADB=∠BAC, .∠EAC=∠DBA. 在△EAC和△DBA中， ∠EAC=∠DBA ∠CEA=∠ADB, AC=AB △EAC≌△DBA(AAS. .CE AD,EA=BD. .ED=EA+AD=BD CE; (3)S,S2大小关系是：S,=S, 19/109 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 理由如下： 过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M,过点E作EN⊥AH于点N,如图所示： D G AG⊥BC, ∠AGB=∠M=90°. ∠ABG+∠BAG=90°. :∠BAD=90°， ∴LBAG+LDAM=90°. LABG=∠DAM. 在△ABG和△DAM中， ∠AGB=∠M=90° ∠ABG=∠DAM, AB=AD △ABG≌DAM(AAS. :AG=DM 同理可证明：△AGC≌△ENA, ∴AG=EN. .DM EN. S=AH.DM,S:=AH.EN, 1 2 .S=S:. 13.在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E. 20/109 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M M N D 图1 图2 N 图3 (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①△ADC≌△CEB; ②DE=AD+BE; (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE; (3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系， 并加以证明. 【详解】(1)证明：①：∠ACB=90°， ∠ACD+∠BCE=90°. :AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E, ∠ADC=∠CEB=90°， ∴.∠BCE+∠CBE=90°， :ZACD ZCBE. 在△ADC和△CEB中， ∠ADC=∠CEB ∠ACD=∠CBE AC=BC :.△ADC≌△CEB(AAS): ②由①得△ADC≌△CEB, .AD=CE,DC=BE, .DE=DC+CE=BE+AD; (2)证明：：∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°， ∠ACD=∠CBE. 在△ADC和ACEB中， 21/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ADC=∠CEB=90° ∠ACD=∠CBE AC=BC :△ADC≌△CEB(AAS), .AD=CE,DC=BE, :DE CE-CD=AD-BE (3)解：DE=BE-AD. 由上述可知△ADC≌△CEB, .AD=CE,DC=BE, .DE=CD-CE BE-AD 14.【问题初探】 (1)如图①，∠BAC=90°，AB=AC,直线1经过点A,分别从点B,C向直线I作垂线，垂足分别为D, E,则DE,BD,CE的数量关系是 【变式探究】 (2)如图②， 在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线I经过点A,分别从点B,C向直线I作垂线，垂足分别为D, E.已知BD=10,CE=5,求DE的长； 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以ABC的边AB,AC为一 边向外作△BAD和△CAE,其中∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,AF是边BC上的高.延长FA 交DE于点G,设△ADG的面积为S,△AEG的面积为S2,猜想S,,S2的大小关系，并说明理由. B A A B 图① 图② 图③ 【详解】解：(1)DE=BD-CE; :从点B,C向直线1作垂线，垂足分别为D,E, LBDA=∠AEC=90°=∠BAC, 22/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ABD=∠CAE=90°-∠BAD, 又：AB=AC, △ABD≌△CAE(AAS), :BD=AE,AD=CE, .DE=AE-AD BD-CE (2):BD⊥1，CE⊥1， :∠BDA=90°=∠AEC, ·在Rt△BDA中，∠DAB+∠DBA=90°， :∠BAC=90°， ∠DAB+∠EAC=180°-∠BAC=90°， ∠DBA=LEAC, 在△BDA和△AEC中， ∠BDA=∠AEC ∠DBA=∠EAC, AB=AC △BDA≌△AEC(AAS): :AE=BD=10,AD=CE=5, DE=AE+AD=10+5=15; (3)S与S2之间的数量关系是：S,=S,,理由如下： 如图3，过点D作DM⊥AG交AG的延长线于点M,过点E作EN⊥AG于点N, 刀 E B F :AF是ABC的高，DM⊥AG, ∠AFB=∠M=90°， ∠FAB+∠FBA=90°， :∠BAD=90°， 23/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠MAD+∠FAB=90°， ∴∠FBA=∠MAD, 在△FBA和△MAD中， ∠AFB=∠M ∠FBA=∠MAD, AB=AD △FBA≌△MAD(AAS, :AF DM, 同理证明：△FAC≌△NEA(AAS, .AF EN, .DM =EN, :△ADG的面积为S,= 21G-DM,a4EG的面积为S,=24G:EN， .S1=S, 15.某数学兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1 和图2所示的“一线三等角”型. b 朱实 黄实 图1 图2 A B D C 图3 图4 【问题初探】 (1)已知：点B、C、D在同一条直线上，AC=CE,∠ABC=∠ACE=∠EDC=90°，请利用图1，说明 24/109 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 △ABC≌△CDE. 【内化迁移】 (2)在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,点D为射线BC上一动点（点D不与点B重合），连接AD, 以AD为直角边，在AD的右侧作ADE,使∠DAE=90°，AD=AE. ①如图3，当点D在线段BC上时，过点E作EF⊥AC于F,当CD=I时，CF= ②如图4，连接BE,交直线AC于点M,点D在运动过程中，若S△ABD=5S△AME,请直接写出BD的长. 【详解】(1)解：：∠ACE=∠EDC=90°， ∴.∠ACB+LDCE=90°，LCED+LDCE=90°. ∠ACB=∠CED. 在ABC和△CDE中 ∠ABC=∠EDC,∠ACB=∠CED,AC=CE, △ABC≌△CDE(AAS. (2)解：①∠DAE=∠AFE=90°， ∴∠DAC+∠FAE=90°，∠AEF+∠FAE=90°. ∠DAC=LAEF. 在△ADC和△AEF中， ∠DAC=∠AEF,∠ACD=∠AFE,AD=AE. △ADC≌△AEF(AAS). .CD=AF =1. ∴CF=AC-AF=3. ②(I)当点D在BC上运动时，如图所示. D :△ADC≌△AEF, .AC=EF. AC=BC=4, 25/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .BC=EF =4. 在△BCM和△EFM中， LBCM=∠EFM,∠BMC=∠EMF,BC=EF, △BCM≌△EFM(AAS). ∴.CM=FM. 设CD=x,则AF=x,BD=4-x,CM=4,x=2- 2 AM AC-CM=2+* 2 S△ABD=5S△AME, 2 解得x=-12 (舍去)· (Ⅱ)当点D在BC的延长线上运动，且点M在线段AC上时，如图所示，过点E作CA的垂线，交CA的 延长线于点F,设CD=x. F E M B ■■ C D 同(1)的证明，可得△ACD≌△EFA, .CD=AF=x,EF AC=4. 同(2)②(I)的证明，可得△BCM≌△EFM, CM=FM=4+x=2+, 2 “AM=2+)-x=2- 2 2 :S△HBD=5S△AWE, 号n=4,时4+x4=52-4 解得x2 7 26/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BD=BC+CD= (Ⅲ)当点D在BC的延长线上运动，且点M在线段CA的延长线上时，如图所示，过点E作CA的垂线， 交CA的延长线于点F,设CD=x, B D 同(1)的证明，可得△ACD≌△EFA, .CD=AF=x,EF AC=4. 同(2)②(I)的证明，可得△BCM≌△EFM, CM=FM=4+E=2+. 2 2 =2+4=2. :S△MBD=5S△4ME, BD.AC=5XAMEF 4+x)x4=5xx-2x4 2 22 解得x= 28 3 .BD=BC+CD=40 综上所述， BD= 3 题型2手拉手模型（旋转型）（常考模型）（共10小题） 16.(25-26八年级上上海长宁.月考)(1)如图1，ABC和ADE是等腰直角三角形，AB<AD, ∠BAC=∠DAE=90°，连接BD,CE,构建“手拉手”模型，可证明BD=_ 一；在此基础上，我们把如 图2的画斜线部分称为“蝴蝶型”，可通过证明得到BD⊥一； (2)如图3，ABC和ADE是等边三角形，AD<AB,连接BD,CE,BD的延长线与CE相交于点F,求 ∠BFC的度数； (3)如图4，在ABC和ADE中，AB=AC,AD=AE,AD<AB,LBAC=LDAE=40°，连接BD, CE.则直线BD与直线CE的夹角为度， 27/109 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 图3 图4 【答案】(1)CE,CE;(2)60度；(3)40 【详解】解：(1)：∠BAC=∠DAE=90°， :∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE, :ABC和ADE是等腰直角三角形， .AB=AC,EA=DA, ·△BAD≌ACAE SAS), BD=CE,∠BDA=LCEA, 如图，AD与EC交点为H,BD与EC交点为M, .∠AHE=∠CHD, .∠AHE+∠CEA=∠CHD+LBDA, :∠EAD=90°， LAHE+LCEA=∠CHD+∠BDA=90°， ∴∠BMC=∠DMH=90°， BD⊥CE, 故答案为：CE,CE. B (2):ABC和ADE是等边三角形， .AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°， LBAC-LDAC=LDAE-LDAC,即∠BAD=LCAE, △ABD≌△ACE SAS, 28/109 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BD=CE,∠ABD=∠ACE, 设BF与AC相交于点G,则LAGB=∠FGC, ∠BFC=∠BAC=60°： B (3)延长BD交CE于点F,设BD,AC交于点G, :∠BAC=∠DAE=40°， B 图4 ∠BAC+∠DAC=∠DAC+∠DAE, .∠BAD=∠CAE, 又AB=AC,AD=AE, △ABD≌△4CE(SAS, BD=CE,∠ABD=∠ACE, :∠AGB=LCGF, ∠CFB=∠BAC=40°， 即直线BD与直线CE的夹角为40°； 故答案为：40. 17.在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三 角形构成.在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形. 图① 图② 图③ 29/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)如图①，ABC和ADE都是等腰三角形，AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠DAE,连接BD、CE,与 △ADB全等的三角形是 ,BD和CE的数量关系是； (2)如图②，ABC和ADE都是等腰直角三角形，AB=AC,AE=AD,LBAC=∠DAE=90°，连接BD、 CE交于点P,请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图③，在ABC中，以AB、AC为边分别向ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接BE 、CD交于点P,请直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数. 【详解】(1)解：：∠DAE=∠BAC, .LDAE+LBAE=∠BAC+∠BAE. ∠DAB=∠EAC, 在△DAB和△EAC中， AD=AE ∠DAB=∠EAC, AB=AC .△DAB≌△EAC(SAS), .BD=CE, 故答案为：△AEC,BD=CE; (2)解：BD=CE且BD⊥CE; 理由如下：：∠DAE=∠BAC=90°， ∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE. ∠DAB=∠EAC. 在△DAB和△EAC中， AD=AE ∠DAB=∠EAC, AB=AC .△DAB≌△EAC(SAS), ∴.BD=CE,∠DBA=∠ECA, :∠ECA+LECB+LABC=90°， ∠DBA+∠ECB+∠ABC=90°， ∠DBC+∠ECB=90°， 30/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠BPC=180°-（∠DBC+∠ECB)=90°， BD⊥CE, 综上所述：BD=CE且BD⊥CE; (3)解：BE=CD,∠PBC+∠PCB=60°，理由如下： :△ABD和△ACE是等边三角形， .AD=AB,AC=AE,∠ADB=∠ABD=∠BAD=LCAE=60°， ∠BAD+LBAC=∠CAE+∠BAC, .∠CAD=∠EAB, 在△ACD和△AEB中， AD=AB ∠CAD=∠EAB, AC=AE ∴△ACD≌△AEB(SAS, CD=BE,∠ADC=∠ABE, .∠BPD=180°-∠PBD-∠BDP =180°-∠ABE-∠ABD-∠BDP =180°-∠ABD-(∠ABE+∠BDP) =180°-∠ABD-(∠ADC+∠BDP) =180°-∠ABD-∠ADB =60°， .∠PBC+∠PCB=∠BPD=60° 18. ABC和△DBE是两个角都是45°的等腰直角三角形(BA=BC,BE=BD,∠DBE=∠ABC=90°) 的三角板， 【问题初探】 (1)当两个三角板如图(1)所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接AD、CE,请证明： AD=CE; 【类比探究】 (2)当三角板ABC保持不动时，将三角板DBE绕点B顺时针旋转到如图(2)所示的位置，判断AD与 CE的数量关系和位置关系，并说明理由. 31/109 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D D B 图(1) 图(2) 【详解】(1)证明：在AADB和aCEB中， BD=BE ∠ABD=∠CBE, AB=CB △ADB≌ACEB(SAS), ·AD=CE; (2)解：AD=CE,AD⊥CE,理由如下： 如图，过点C作CH垂直于DA的延长线于点H,交BD于点O, D :∠ABC=LDBE=90°， .∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC, ∴∠ABD=∠CBE, 在△ABD和△CBE中， AB=BC ∠ABD=∠CBE, BD=BE △ABD≌△CBE(SAS), AD=CE,∠ADB=∠CEB, :∠DOH=∠EOB, .∠DHO=∠EBD=90°， 32/109 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AD⊥CE. 19.综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知 识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地. D A E B E D 图1 图2 【发现问题】 (1)如图1，在ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF,连接BE,CF,延长BE交CF 于点D.则BE与CF的数量关系为： 【类比探究】 (2)如图2，在ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=I20°，连接BE,CF,延长 BE,FC交于点D.请猜想BE与CF的数量关系及LBDC的度数，并说明理由. 【详解】解：(1)：∠BAC=∠EAF, ∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE, 即∠BAE=∠CAF, 在△ABE和△ACF中， AB=AC ∠BAE=∠CAF, AE=AF ∴.△ABE≌△ACF(SAS, .BE=CF, 故答案为：BE=CF. (2)BE=CF,LBDC=60°， 理由如下：：∠BAC=∠EAF, .ZBAC-ZEAC ZEAF-ZEAC, 33/109 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即LBAE=∠CAF, 在△ABE和△ACF中， AB=AC ∠BAE=∠CAF, AE=AF :△ABE≌△ACF(SAS), .AEB AFC,BE=CF, :∠EAF=120°，AE=AF, ∠AEF=LAFE=30°， ∠BDC=∠BEF-∠EFD=∠AEB+30°-∠AFC-30=60°. 20.己知ABC与ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠EAD,连接BD与EC相交于点F,BD与AC相 交于点G. A 图1 图2 图3 (1)如图1所示，证明：△ABD≌△ACE; (2)如图2所示，当∠BAC=90°时，求∠BFC的度数； (3)如图3所示，当AB‖CE时，求DF,AB,EC的等量关系. 【详解】(1)证明：：∠BAC=∠EAD, ∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD, .∠BAD=∠CAE, 在△BAD和△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE .△ABD≌△ACE(SAS): 34/109 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：：∠BAC=∠EAD ∠BAC+∠CAD=∠EAD+LCAD .∠BAD=∠CAE 在△BAD和△CAE中 AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE △BAD≌ACAE(SAS） ·∠ABD=∠ACE. 在△BAG和△CFG中，∠BGC=∠BAC+∠ABD=∠GFC+∠ACE .∠GFC=LBAC :∠BAC=90 ∠BFC=90°. (3)解：同理可证明△BAD≌aCAE,∠BFC=∠BAC, :BD=CE, :AB∥CE, .LACE=∠BAC,∠BFC=∠ABF, ∠BFC=∠BAC, :ZACE=ZBAC ZBFC ZABF, 过点G作GM⊥AB交AB,CE于点M,N, 图3 .∠AMG=∠BMG=90 .GM=GM ∴.△AMG≌△BMG(AAS,同理△FNG≌△CNG(AAS) 35/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .GF=GC,AG=BG, :AG+GC=BG+GF, :BF =AC. 又AB=AC, DF=BD-BF EC-AB. 即DF=EC-AB 21本学期，我们学习了“特殊化”问题解决策略，面对一般性问题，可以先考虑特殊情形，通过取特殊点、 特殊位置、特殊数据等简化问题，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性问题， 图① 图② 图③ 图④ 【问题提出】如图①，△0AB和△OCD都是等腰三角形，OA=OB,OC=OD,LA0B=LC0D=a,且点 A、C、D在同一直线上，AC和DB有怎样的关系？ 【问题解决】 如图②中，先设a=90°，点A、C、D在同一直线上，则∠AOC与∠B0C互余，∠BOD与∠BOC互余， 可得∠AOC=∠BOD,再结合相等边就可以证明△AOC≌△BOD,根据全等就可以得到AC=DB,再根据 全等三角形的对应角，结合对顶角，就能推出∠ADB=90°，即AC1DB: (1)在图③中，若a=60°，点A、C、D在同一直线上，判断说明AC和DB数量关系，并求∠ADB的度数： (2)在图④中，若a=30°，点A、C、D在同一直线上，则AC和DB的数量关系是一，∠ADB=一： (3)通过上述特殊化研究，解决在【问题提出】中，AC和DB有怎样的数量关系和位置关系.（位置关系即 求∠ADB) 【详解】(1)解：AC=BD,∠ADB=60°，说明如下： 36/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图所示，设AD,OB交于点T, :∠A0B=∠C0D=a=60°， ∠A0B-LBOC=∠COD-∠B0C, .∠A0C=∠B0D, 0A=0B,0C=0D, :.A0AC≌a0 BD(SAS), .AC=BD,∠OAC=∠OBD, :∠AT0=∠BTD, 180°-∠0AC-∠AT0=180°-∠0BD-∠DTB, ∠ADB=∠A0B=60°； (2)解：如图所示，设AD,OB交于点T, B :∠A0B=∠C0D=&=30°， .∠A0B+∠B0C=∠COD+∠BOC, ∴∠A0C=∠B0D, 0A=0B,0C=0D, AOAC≌△OBD(SAS, .AC=BD,∠OAC=LOBD, :∠AT0=∠BTD, 180°-∠0AC-∠AT0=180°-∠0BD-∠DTB, 37/109 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠ADB=∠A0B=30°； (3)解：如图所示，设AD,OB交于点T, :∠A0B=∠C0D=a, .∠A0B-B0C=LC0D-∠BOC, .∠A0C=∠B0D, ,0A=0B,0C=0D, :.△OAC≌OBD(SAS, AC=BD,∠OAC=∠OBD, :∠ATO=∠BTD, 180°-∠0AC-∠AT0=180°-∠0BD-∠DTB, ∴∠ADB=∠AOB=Q. 22.已知ABC为等边三角形. D C F B 图1 图2 图3 (1)如图1，点D为边BC上一点，以AD为边作等边ADE,连接CE,求证：△ABD≌△ACE; (2)如图2，当点D在边BC的延长线上时，以AD为边作等边ADE,判断线段AC、CD、CE的关系， 并说明理由； (3)如图3，以AC为腰作等腰直角三角形ACD,取斜边CD的中点E,连接AE,交BD于点F,直接写出线 段BF,AF,DF之间存在何种数量关系 【详解】(1)证明：：ABC和ADE都是等边三角形， 38/109 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=AC=BC,AD=AE,LBAC=LDAE=60°， ∴LBAC-∠CAD=∠DAE-LCAD, 即∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE .△ABD≌△ACE(SAS); (2)解：AC、CD、CE之间存在的数量关系是：AC=CE-CD,理由如下： 如图，连接CE, B CDF :ABC和ADE都是等边三角形， ∴AB=AC=BC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°， .∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, .∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE △ABD≌△4CE(SAS, .BD=CE, .CE-CD=BD-CD=BC=AC, .AC=CE-CD (3)解：BF=DF+AF. 证明：在BF上截BG=DF,连接AG, 39/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AB=AD,LBAD=∠BAC+∠CAD=I50°， ∠ABG=∠ADF-I80-∠B1D=15, 在△BAG和△DAF中， 「AB=AD ∠ABG=∠ADF, BG=DF △BAG≌△DAF(SAS, AG=AF,∠BAG=∠DAF, :△ACD为等腰直角三角形， .∠ADE=45°， :E为斜边CD的中点， .AE⊥CD, .∠AED=90°， ∠DAE=45°， 、∠BAG=45°， .∠GAF=150°-∠BAG-∠DAF=60°， ∴△AGF为等边三角形， AF=FG, .BF=BG FG DF +AF 23.点E、D分别是等边三角形ABC的边AB和BC上的点，且AE=BD,连接DE· 40/109 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 (1)如图1，若AE<BE,将DE绕着E点顺时针旋转60°，得到EF,连接BF和DF·求证： ①aEFD为等边三角形； ②探究线段BF,BD,与BC的数量关系，并说明理由. 2如图2，当4E<BE时，若G为DE的中点，连接4G,CG,求证：Sc, 【详解】(1)①证明：由旋转可得：DF=DE,∠EDF=60°， ·△EFD是等边三角形； ②BC=BF+2BD,理由为： 在BA上截取BM=BD,连接DM, :△ABC是等边三角形， .∠B=60°，AB=BC, ∴.△BDM是等边三角形， BD=DM=BM,∠BDM=60°， :DF=DE,∠EDF=60°， ∠BDF=∠MDE, ∴：△FBD≌△EMD, BF=EM, 又：AE=BD, .BC BA BM ME+AE BD+BF BD 2BD+BF D (2)证明：延长AG到点N,使得GN=AG,连接NB,ND,NC, :G是ED的中点， 41/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .EG=GD, 又：∠AGE=∠NGD, .△AGE≌△NGD, :AE DN,LEAG =ZDNG,AG=GN,SEG SNGD, :ABII DN, .∠ABC=∠BDN=60°， ∴△BDN是等边三角形， BD=DN=BN,∠DBN=60°=∠ABC, 过点D作DP⊥AB于点P,过点N作NQ⊥BC于点Q, .△BDP≌△BNQ, :DP=NO, 又：AB=BC，,AE=BD, :BE =CD, S.BDE =S.NCD “S.4Cw=S四边形4GDc+S.DGN+S.DCw=S四边形AGDc+SGAE+S.EDB=S.4BC, 又：AG=GN, 1 :.S.4CG= 2 2 B D 24.综合与探究 在AOB和△COD中，OA=OB,OC=OD,∠A0B=∠C0D. 【模型呈现】 (1)如图1，A,O,D三点共线，AC与BD的数量关系是： 【模型应用】 42/109 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，设AC,BD相交于点P,AC,OB相交于点O.若LAOB=40°，求∠APD的度数. 【拓展延伸】 (3)如图3，∠AOB=∠COD=90°，M,N分别为AC,BD的中点，连接OM,ON,MN,直接判断OM与 ON的数量关系与位置关系. 图1 图2 图3 【答案】(1)AC=BD:(2)140°；(3)0M=0N,0M⊥0N 【详解】解：(1)：∠A0B=∠C0D, ∴∠AOB+∠B0C=∠COD+∠BOC, 即∠A0C=∠BOD, 在△AOC和△BOD中， OA=OB ∠AOC=∠BOD, OC=OD ..AOCABOD(SAS), .AC=BD. 故答案为：AC=BD (2)同(1)可得，△A0C≌aB0D, ∠OAC=∠OBD, 在△AOQ和BPQ中，OAQ OBD,LAQ0=LBQP, :AOO BPO, :A0940, ∴.∠BP0=40°， .APD 180 BPO 140, (3)0M=0N,OM⊥ON. 43/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 理由如下：同(1)可得，△A0C≌△B0D, ∴∠OAC=∠OBD,AC=BD, :M,N分别为AC,BD的中点， :AM =TAC,BN=IBD, 2 2 .AM =BN, 在△AOM和△BON中， OA=OB ∠OAC=∠OBD, AM=BN .△AOM≌△BON(SAS), .OM=ON,∠AOM=∠BON, :∠A0B=90°， 即∠A0M+∠M0B=90°， .∠B0N+∠M0B=90°， 即∠MON=90 ∴.OM⊥ON. 25.如图1，在Rt△ABC中，AB=AC,点D为AB边的中点，DE∥BC交AC于点E.点F为线段DE上一 点，连接AF,BF,将线段AF绕点A逆时针旋转90°至AG,连接CG. D E 图1 图2 图3 (1)求证：△ABF≌△ACG; (2)若DF=a,EF=b. ①如图2，连接FG交4C于H,当△4GH与AAFH的面积之比是3：2，求2的值： ②如图3，延长DE交GC于点M,当AF∥GC时，试求出LGAC的度数及△GFM的面积（注意：面积用 含a,b的代数式表示)· 【详解】(1)证明：如图，连接FG, 44/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G D E B :将线段AF绕点A逆时针旋转90°至AG, :AG=AF,∠GAF=90°， :在Rt△ABC中，AB=AC, .∠BAC=90°， .∠GAF=∠BAC, ∴∠GAF-∠FAE=∠BAC-∠FAE,即LFAB=LGAC, 在△ABF和△ACG中， AB=AC ∠FAB=∠GAC, AF=AG .△ABF≌△4CG(SAS). (2)解：①如图，连接GE,过点A作AM⊥FG于点M,作AP⊥DE于点P,过点E作EN⊥FG于点N, G :△AGH与△AFH的面积之比是3：2， GH·AM S4=2 GH 3 1 FH·AM :AB=AC, ∠ABC=∠ACB, :DE∥BC, ∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB, ∠ADE=∠AED, 45/109 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·AD=AE, :AB=AC,点D为AB边的中点， ÷AB=AD=AB=AC, 2 点E为AC边的中点， 1 由(1)可知，△ABF≌△ACG, S.ABF =S.ACG GHAM+GHEN-GHM+EN) S.u-S.m+.m-FHAM+FH.EN=FH(AM+EN), 2 S。4EE= H(AM+EN)FH_2 2 S.ADF GH(AM+EN)GH 3 1 S匹= F.AP 2 EF b IDF.AP DE-a' :62 a 3 ②如图，连接GE, M FE B :将线段AF绕点A逆时针旋转90°至AG, ∠FAG=90°， :AF∥GC, .∠AGC=180°-∠FAG=90°， 由(1)可知，△ABF≌△ACG, ∠GCA=∠FBA,BF=CG :点D为AB边的中点，点E为AC边的中点， 46/109 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 BD-AB:CE-74C. AB=AC, .BD CE, 在BDF和△CEG中， BD=CE ∠FBD=∠GCE, BF=CG .△BDF≌aCEG(SAS), .∠BDF=LCEG,EG=DF=a, 由①可知，AD=AE, 由(1)可知，∠DAE=90°， .∠AED=∠ADE=45°， ∠CEG=∠BDF=180°-∠ADE=135°， :∠MEC=∠AED=45°， .∠GEM=∠CEG-∠MEC=90°，即GE⊥FM, :AF∥GC, .∠FAE=∠MCE, 在△FAE和△MCE中， ∠FAE=∠MCE AE=CE ∠FEA=∠MEC aFAE≌SMCE(ASA), .ME FE=b, .FM FE+ME =2b, S.or FM-GE-x2bxab :∠GEM=90°， ∠GEF=180°-∠GEM=90°， ∠GEF=∠GEM, 47/109 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在△GEF和△GEM中， EF=EM ∠GEF=∠GEM, GE=GE △GEF≌aGEM(SAS), .∠GFE=∠GME, :AF∥GC, ∴.∠AFE=LEMC, ∠4FG+∠GFE=180-LGME=180-LGFE,即∠GFE=180°-∠AFG, :将线段AF绕点A逆时针旋转90°至AG, AG=AF,∠GAF=90°， .∠AFG=∠AGF=45 :∠GFE=180°-∠AFG180°-45° =67.5°， 2 2 :∠AED=45°， ∴.∠FHE=180°-∠GFE-∠AED=67.5°， :∠AHG=∠FHE=67.5°， .∠GAC=180°-∠AHG-LAGH=67.5°. 题型3倍长中线模型（常考模型）（共15小题） 26.(25-26八年级上·上海浦东新期中)如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=5,AC=3, 则AD的取值范围是() B∠ A.1<AD<4B.2<AD<8 C.3<AD<5 D.4<AD<8 【答案】A 【详解】解：延长AD至E,使AD=ED, 48/109 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D C AD是BC边上的中线， 3 :BD =CD, :∠BDE=∠CDA, aBDE≌ACDA(SAS),， :EB=AC=3, AB-EB<AE<AB+EB, 2<2AD<8, 1<AD<4, 故选：A。 27.(2026七年级下.上海.专题练习)如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，AC=3,AD=5,则AB 的取值范围是 B D 【答案】7<AB<13 【详解】解：如图，延长AD至E,使DE=AD=5,连接CE, D E :AD为BC边上的中线， :BD=CD, 在△ABD和△ECD中， 49/109 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AD=DE ∠ADB=∠EDC, BD=CD .△ABD≌△ECD (SAS), .AB=EC, AC=3,AE=AD+DE=10, .7<EC<13, .AB的取值范围是：7<AB<13 28.(24-25八年级上·上海闵行·月考)如图，ABC中，AB=AC，,CE为ABC的AB边的中线，在AB延 长线上截取BD=BA.求证：CD=2CE. B 【详解】证明：延长CE至点F,使得FE=CE,连接BF,如图所示： A F :CE为ABC的AB边的中线， .BE AE, :∠BEF=LAEC, .△BEF≌△AEC(SAS), BF=AC,∠EBF=∠A, AB=AC,BD =BA, .BF=BD,ACB ABC, :∠CBD=∠A+∠ACB,∠CBF=∠ABC+∠EBF, :ZCBF Z CBD, CB=CB, △CBF≌aCBD(SAS), 50/109 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .CD CF=2CE. 29.（24-25八年级上·上海普陀期中)求证：如果一个三角形一边上的中线平分这条边所对的内角，那么 这个三角形是等腰三角形.如图所示，小普同学按照题目要求画出了ABC以及BC边上的中线AD,请你 依据此图完成命题的证明. B D 己知：如图，在ABC中， 求证： 证明： 【详解】已知：如图，在ABC中，AD平分∠CAB,交BC边于点D,且CD=BD, 求证：AB=AC. 证明：如图，延长AD至E,使DE=AD,连接CE, 在△ABD和△ECD中， AD=DE ∠ADB=∠EDC, CD=BD :△ACD≌△EBD(SAS), ∠BAD=∠E,AB=CE, :AD平分∠CAB, :ZCAD Z BAD, .∠CAD=∠E, :AC=CE, 51/109 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AB=AC. 30.(24-25七年级下.上海松江期末)如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，如果AB>AC,求证： ∠DAC>∠BAD. 证明：延长AD至点E,使DE=AD,连接BE(请完成后续证明) D 【详解】解：延长AD至点E,使DE=AD,连接BE,如图所示： B E :AD是BC边上的中线， .BD=CD, 在BDE和△CDA中， DE=AD ∠BDE=∠CDA, BD=CD △BDE≌aCDA(SAS), ∴BE=AC,∠E=∠DAC, AB AC, .AB>BE, ·∠E>∠BAD, .∠DAC>∠BAD 31.(24-25八年级上·上海浦东新·期中)(1)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1， ABC中，AB=14,AC=8,求BC边上的中线AD的取值范围. 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）. 52/109 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①延长AD到E,使得DE=AD; ②再联结BE,可得△DBE≌ ,从而把AB、AC、2AD转化在△ABE中； ③利用全等三角形性质和三角形三边关系可得一<AE<一，则AD的取值范围是： （在 横线上填空)· 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的己知条 件和所求证的结论转化到同一个三角形中。 (2)思考：已知，如图2，AD是ABC的中线，AB=AF,AC=AE,∠BAF=LCAE=90°（点F和点 E在BC同侧)，试探究线段AD与EF的数量和位置关系并加以证明. B 图1 图2 【详解】解：(1)延长AD到E,使得DE=AD, :AD是BC边上的中线， :BD=CD, 在△DBE和△DCA中， BD=CD ∠BDE=∠CDA, DE=DA △DBE≌△DCA(SAS, .BE AC=8, AB-BE AE<AB+BE, .AB-AC<AE<AB+AC,14-8<AE<14+8, 3<AD<11, 故答案为：△DCA,AB-AC,AB+AC,3<AD<I1; (2)2AD=EF,AD⊥EF,理由如下： 延长AD至H,使DH=AD,连接CH,如图2所示： 53/109 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B H 图2 由(1)得：△ABD≌△HCD, ∠BAD=∠H,AB=CH, :∠BAF=∠CAE=90°， ∠BAC+∠EAF=180°，即∠BAD+∠CAD+∠EAF=180°， :∠H+∠CAD+∠ACH=180°， ∠ACH=∠EAF, :△ABF和△ACE是等腰直角三角形， .AB=AF,AC=AE, :CH=AF, 在△ACH和△EAF中， CH=EF ∠ACH=∠EAF, AC=AE ·.△ACH≌△EAF(SAS), .AH=EF,∠HAC=∠AEF, :2AD=EF. 延长DA交EF于G, ∠EAC=90°， .∠HAC+∠EAG=90°， ∠AEF+∠EAG=90°， ∴.∠AGE=90°， AD⊥EF. 32.(24-25八年级上·上海期中)倍长中线是初中数学一种重要的数学思想.某同学在学习过程中，遇到 这样的一个问题：如图1：在ABC中，AB=6,AC=4,求BC边上的中线AD的取值范围，经过和小组 54/109 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 同学的探讨，共同得到了这样的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD.请根据他们的方法解决以下问题： p B 图1 图2 图3 (1)求AD的取值范围： 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题： 如图：已知∠BAC+∠CDE=180°，AB=AC,DC=DE,P为BE的中点； (2)如图2，若A、C、D三点共线，AC:CD=3:5,S△BP=6,求S边形ABED: (3)如图3，若A、C、D三点不共线，AP=PD,求证：AB上AC· 【详解】(1)解：延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,如图， B 它 在△ADC和△EDB中， CD=BD ∠ADC=∠EDB, AE=ED .△ADC≌△EDB(SAS), .AC BE =4, AB-BE AE AB+BE, .6-4<2AD<6+4, .1<AD<5, 故答案为：1<AD<5; (2)解：如图，延长DP交AB延长线于点F, 55/109 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E ◇ B ∠BAC+∠CDE=180°， AF∥DE(同旁内角互补，两直线平行)， .∠PFB=∠PDE,∠PBF=∠PED, :P为BE的中点， :BP=PE, 在△BPF和△EPD中， ∠PFB=∠PDE ∠PBF=∠PED, PB=PE △BPF≌aEPD(AAS), .BF DE,PD=PF S.PBF =S.PDE, “S阳边形4BED=S.4DP, DC=DE, .DC=BF, AB=AC,AC CD=3:5, AB:BF=3:5, S.BP S.aPF AB BF=3:5, SA4BP=6, .S.BPF =10, 则S。APF=16, :PF PD, S.ADP=S.4FP, Sg边形4BED=S.4DP=2SPF=32; (3)证明：延长DP至点F,使得PF=PD,连接BF、AF、AD,如图， 56/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由(1)同理易证：△DPE≌△FBP(SAS, BF=DE=CD,∠E=∠FBP, :∠BAC+∠CDE=180°，且LABP+∠BAC+LCAD+LADC+LCDE+LE=360°， .∠ABP+∠E+∠CAD+∠CDA=180°， .∠ABF+∠CAD+∠CDA=180°， :∠CAD+∠ACD+∠ADC=180°， ∠ABF=LACD, 在△ABF和△ACD中， AB=AC ∠ABF=∠ACD, BF=CD △ABF≌△4CD (SAS), AF=AD,LBAF=∠CAD, 在△APF和△APD中， AF=AD AP=AP, PF=PD .△APF≌△APD(SSS), ∠APD=∠APF=180°÷2=90°， AP=PD, .∠PAD=45°， 同理可得，∠PAF=45°， ∠FAD=90°， ∠BAC=90°， 57/109 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB⊥AC. 33.八年级(1)班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起探究吧. 【探究与发现】 (1)如图1，AD是ABC的中线，延长AD至点E,使ED=AD,连接BE,写出图中全等的两个三角形 ； 【理解与应用】 (2)如图2，EP是ADEF的中线，若EF=10,DE=6,设EP=x,求x的取值范围； (3)如图3，AD是ABC的中线，∠BAC=∠ACB,点Q在BC的延长线上，QC=BC,若AD=13,求 AQ的长度. 图1 图2 图3 【答案】(1) ADC≌EDB;(2)2<x<8;(3)26 【详解】解：(1)：AD是ABC的中线， .BD=CD, :∠ADC=LEDB，ED=AD, △ADC≌△EDB(SAS: △ADC≌△EDB: (2)如图2，延长EP至点Q,使PQ=PE,连接FO, E 证明△EDP≌△QFP(SAS), .FO=DE=6. 在△EFQ中，EF-FQ<QE<EF+FQ 即10-6<2x<10+6, x的取值范围是2<x<8; 故答案为：2<x<8; 58/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图3，延长AD到点M,使MD=AD,连接BM, M AM=2AD=2DM· :AD是ABC的中线， ∴.BD=CD, 在△BMD与△CAD中， MD=AD ∠BDM=∠CDA BD=CD △BMD≌△CAD(SAS), BM=CA,∠ACB=∠MBC, :∠BAC=∠ACB, .∠BAC=∠MBC, AB=BC, :LACQ=∠BAC+LABC,∠MBA=∠MBC+LABC, ∴.∠ACO=∠MBA OC=BC, .OC=AB. 在△ACQ与△MBA中， CA=BM ∠ACQ=∠MBA OC=AB ∴.△ACQ≌△MBA(SAS), A0=AM=2AD=2×13=26. 34.如图，在ABC中，若AB=10,AC=8,求BC边上中线AD的取值范围·通过分析、思考，小丽同学形 成两种解题思路。 59/109 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D 思路上将△ADC绕着点D旋转180°，使得CD和BD重合，得到△EDB; 思路2：延长AD到E,使得DE=AD,连接BE,根据SAS可证得ADC≌EDB· 根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，求AD的取值范围. 【答案】1<AD<9 【详解】解：思路k如图所示，将△ADC绕着点D旋转180°，使得CD和BD重合，得到△EDB; B E 由题意得， ADC≌EDB, ·DE=AD,BE=AC “AC=8, :BE=AC=8,AE=2AD, AB-BE<AE AB+BE,AB=10, .10-8<2AD<10+8, 1<AD<9 思路2：如图，延长AD到E,使得DE=AD,连接BE, D E 60/109 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AD=ED 在△ADC和△EDB中， ∠ADC=∠EDB, CD=BD △ADC≌△EDB(SAS）, ∴BE=AC=8,AE=2AD, AB-BE<AE AB BE, 10-8<2AD<10+8, 1<AD<9. 35.原题再现：如图1，AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD.求证：AB∥CD. 本题可通过"SAS”证明aOAB≌△OCD得到∠C=∠A或∠D=∠B,进而得到AB∥CD,除此结论外，你还能 由△OAB≌△OCD得到AB与CD的关系是-： 模型迁移：如图2，ABC中，AC=7,CB=5,CM是ABC的中线，求CM长的取值范围： 拓展运用：如图3，ABC中，CM是ABC的中线，分别以AC,BC为边作△ACE和△BCD,且 LACE=LBCD=90,AC=CE,BC=CD,求证：CM=DE, M 图1 图2 图3 【详解】解：原题再现：：OA=OC,OB=OD,∠A0B=LCOD, .△OAB≌△OCD(SAS), .AB=CD, 故答案为：AB=CD; 模型迁移：如图，延长CM至点N使NM=CM,连接AN, 61/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :CM是ABC的中线， ∴AM=BM, :LAMN=∠BMC, ∴△MAN≌△MBC(SAS), .AN BC=5, 在△ACN中，AC-AN<CN<AC+AN, .2<CN<12, .1<CM<6; 拓展运用：如图，延长CM至点N使NM=CM,连接AN, 同理可证△MAN≌△MBC, AN=BC,∠ANM=∠BCM, AN∥BC, ∠CAN+LBCA=180°， :∠ACE=∠BCD=90°， ∠ECD+∠BCA=360°-180°=180°， .∠CAN=∠ECD, BC=CD, .AN =CD, 在△CAN和△ECD中， EC=CA ∠ECD=∠CAN, CD=AN △CAN≌△ECD(SAS), .DE CN, 62/109 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CM=DE 36.(1)问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如图①，AD是ABC的中线，若 AB=7,AC=5,求BC长和AD长的取值范围.他们利用所学知识很快计算出了BC长的取值范围为； (2)方法探究：但是他们怎么也算不出AD长的取值范围，经小组讨论后发现：延长AD至点E,使 DE=AD,连接BE,如图①.可证出△ACD≌△EBD,利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化 到△ABE中，进而求出AD长的取值范围，请写出解答过程； (3)方法应用：如图②，在ABC中，点E在BC上，且DE=DC,过点E作EFI‖AB,交AD于点F, 且EF=AC.求证：AD平分∠BAC. B 图① 图② 【详解】(1)解：：AB=7,AC=5, .7-5<BC<7+5, 即2<BC<12: 故答案为：2<BC<12: (2)解：如图，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE, B D C:AD是a△ABC的中线， E :CD BD, 'CD=BD,∠ADC=∠BDE,AD=DE, △ADC≌△EDB(SAS), :BE=AC=5, 在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE, 7-5<AE<7+5,即2<AE<12, ∴.2<2AD<12, 63/109 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .1<AD<6; (3)证明：如图所示，延长AD,取DH=AD,连接EH, B D C:DC=DE,∠ADC=∠EDH,AD=DH, H △ADC≌△HDE(SAS, .∠H=∠DAC,EH=AC, EF=AC, :EF=EH, .∠EFH=∠H, .∠DAC=∠EFH, EF‖AB, ∠EFH=∠BAD, ∠DAC=∠BAD, AD平分∠BAC. 37.【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： D D 图1 图2 如图1，ABC中，若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得 到了如下的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD,请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到ADC≌EDB的理由是一， A.SSS B.SAS C.AAS D.HL 64/109 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求得AD的取值范围是 A.2<AD<8 B.2≤AD≤8 C.4<AD<16 D.4≤AD≤16 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”和“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的己知条件和所求 证的结论集中到同一个三角形中. 【问题解决】 (3)如图2，AD是ABC的中线，BE交AC于E、交AD于F,且AE=EF,求证：AC=BF. 【详解】(1)：AD是ABC中线， :CD =BD, 在△ADC和△EDB中， AD=ED ∠ADC=∠BDE, CD=BD .△ADC≌△EDB(SAS); 故答案为：B; (2):由(1)知：ADC≌EDB, :BE=AC=6,AE =2AD, :在△ABE中，AB=10,由三角形三边关系定理得：10-6<2AD<10+6, 2<AD<8; 故答案为：A; (3)证明：如图2，延长AD到M,使AD=DM,连接BM, F E D C:AD是ABC中线， M 图2 :CD=BD :在△ADC和△MDB中， 65/109 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DC=DB ∠ADC=∠MDB DA=DM ∴△ADC≌△MDB(SAS), :BM=AC,LCAD=∠M, AE EF, LCAD=∠AFE, ∠AFE=∠BFD, ∠BFD=∠CAD=LM, :BF=BM AC, :AC=BF. 38.【学习问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围. 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE,请 根据小明的方法思考并解答： m B B B 图1 图2 图3 图4 (1)①由已知和作图能得到△ADC≌△EDB,依据是-； A.SSS B.SAS C.AAS D.HL ②由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是-： 【学习反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段， 把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中 【类比运用】 (2)如图3，E是BC中点，点A在DE上，且LBAE=∠CDE,求证：AB=CD; 【拓展运用】 (3)如图4，己知直线m‖n,点A、D是直线m上两点，点B、C是直线n上两点，点P是线段CD中点， 66/109 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 且AP⊥BP,两平行线m、间的距离为4.求证：PAPB=2AB. 【详解】(1)解：①延长AD至点E,使DE=AD,连接BE,如图， B E :AD是中线， .BD=CD, 在△ADC和△EDB中， AD=ED ∠ADC=∠EDB, CD=BD △ADC≌△EDB(SAS, :△ADC≌△EDB的依据是SASB; ②：△ADC≌△EDB, .AC=BE=6, AB=8, ∴.8-6<AE<8+6, ∴.2<2AD<14, 1<AD<7: (2)证明：延长DE至点F,使FE=ED,连接BF,如图， D A F :E是BC的中点， 67/109 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .BE =CE, 在△EDC和△EFB中， DE=FE ∠DEC=∠FEB, CE=BE △EDC≌△EFB(SAS), DC=FB,∠D=∠F, :∠BAE=LCDE, .∠F=∠BAE, :BA=BF, :AB=CD (3)证明：延长BP交AD于点H,过点P作EF⊥m于点E,EF⊥n于点F,如图， m n B h1--- H D 则EF=4, mlln, .∠EDP=∠FCP, 在△CPF和△DPE中， ∠CPF=DPE CP=DP ∠FCP=∠EDP △CPF≌△DPE(ASA, :.FP=EP=-EF=2, 在△BPF和△HPE中， 68/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BFP=∠HEP=90° PE=PE ∠BPF=∠HPE △BPF≌△HPE(ASA), :BP=HP, AP⊥BP, AP为BH的垂直平分线， :AB=AH, S.am-1AHPE=3APPH, 2 2 :AH PE=APPH, .AB×2=PAPB, ∴.PAPB=2AB. 39.（25-26七年级下广东深圳期中)在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法， B D D 图1 图2 图3 (1)【问题背景】如图1，AD是ABC的中线，AB=8,AC=5,求AD的取值范围. 我们可以延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,根据SAS可证△ADC≌△EDB,所以BE=AC.接下 来，在△ABE中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线AD的取值范围，请按照上述 思路，写出求解AD的取值范围的完整过程； (2)【变式思考】如图2，ABC中，AD是中线，分别以AB,AC为腰向外作等腰R1△ABE和等腰RIAACF, AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠CAF=90°，连接EF.求证：EF=2AD; (3)【探究延伸】如图3，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点E,∠BAC+∠BAD=180°，点F是BC 的中点，∠CEF=∠ADB,当EF=6时，求BD的长. 【详解】(1)解：如图，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE, 69/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D C:AD是ABC的中线， ! 图1 ∴.CD=BD, :'∠ADC=∠EDB,DE=AD, ∴△ADC≌△EDB(SAS), .BE=AC=5, AB-BE AE<AB+BE,AB=8, .8-5<AE<8+5, .3<AE<13, .DE=AD, :AE 2AD, .3<2AD<13, 解得： <AD<3 即AD的取值范围为： 03 (2)证明：如图2，延长AD至G,使DG=AD,连接BG,则AG=2AD, A :D为BC的中点， B D G 图2 ∴CD=BD 70/109 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠ADC=∠GDB,DG=AD, ∴△ADC≌△GDB(SAS), .∠C=∠GBD,AC=BG, ∴.AC∥BG, .∠ABG+∠BAC=180°， AC=AF, ..BG=AF, .·∠BAE=∠CAF=90° ·∠EAF+∠BAC=180°， ∴.∠ABG=∠EAF、 在△EAF和△ABG中， EA=AB ∠EAF=∠ABG AF=BG ∴.△EAF≌△ABG(SAS), ..AG=EF, .EF =2AD; (3)解：如图3，延长EF到G,使得EF=FG,连接CG,延长CA到H,使得AH=AD,连接BH, H D :F是BC的中点， 图3 G ∴.CF=BF, :∠EFB=∠CFG,EF=FG, ∴.△BEF≌△CGF(SAS), ∴.BE=CG,∠G=∠BEF, .CG∥BE, 71/109 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠BEH=∠GCE :∠BAC+∠BAH=180°，∠BAC+∠BAD=180°， ∴，∠BAH=∠BAD, 在△BAH和△BAD中， AB=AB ∠BAH=∠BAD AH=AD ∴△BAH≌△BAD(SAS), BH=BD,∠H=∠ADB, :∠ADB=∠CEF, .∠H=∠CEF, 又：∠BAH=∠BAD,BE=CG, ∴.△HBE≌△EGC(AAS), .EG=BH=BD=2EF=2×6=12, 即BD=12. 40.【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： 【历史文献】倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究.古希腊数学家欧几里得《几何原本》 虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础.数学文献中，倍长中线作为标准术 语被确立于20世纪，成为初等几何常见技巧. 图1 图2 图3 (1)【问题背景】 如图1，ABC中，AB=8,AC=6,AD是中线，则AD的取值范围是： (2)【变式思考】 如图2，ABC中，AD是中线，分别以AB,AC为腰在外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,AB=AE, AC=AF,∠BAE=∠CAF=90°，连接EF,求证：EF=2AD; (3)【探究延伸】 72/109 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图3，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点E,将△ABD沿着AB翻折，点D的对应点为H, ∠BAC+∠BAD=180°，点F是BC的中点，∠CEF=∠ADB,当EF=6时，求BD的长. 【详解】(1)解：延长AD到点E,使DE=AD,连接CE, D E :AD是中线， .BD=CD, 在△ABD和△ECD中， BD=CD ∠ADB=∠EDC, AD=ED △ABD≌△ECD(SAS), .CE=AB=8, 在△ACE中，CE-AC<AE<CE+AC, 8-6<2AD<8+6, 2<2AD<14, .1<AD<7, 故答案为：1<AD<7; (2)解：延长AD至点G,使DG=AD,连接CG, B D G :AD是中线， .BD =CD, 73/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在△ABD和△GCD中， BD=CD ∠ADB=∠GDC, AD=GD aABD≌aGCD(SAS), AB=GC,∠ABD=∠GCD, .ABI GC, ∠BAC+∠ACG=180°， :∠BAE=∠CAF=90°， ∠BAC+∠EAF=180°， ∴∠EAF=∠ACG, AB=AE,AB=GC, .AE=GC, 在△AEF和△CGA中， 「AE=CG ∠EAF=∠ACG, AF=CA .△AEF≌△CGA(SAS), :EF AG, :AG=AD+DG=2AD, ∴EF=2AD; (3)解：延长EF到点M,使FM=EF,连接BM, H B M :F是BC的中点， .BF=CF, 74/109 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在△ECF和△MBF中， CF=BF ∠CFE=∠BFM, EF=MF △ECF≌AMBF(SAS), .CE=BM,∠CEF=∠M, :∠CEF=∠ADB, ∠M=∠ADB, 由翻折性质可知：BD=BH,∠ADB=∠AHB,∠BAD=∠BAH, :∠BAC+∠BAD=180°， ∠BAC+∠BAH=180°， H、A、C三点共线， .∠AEB=∠CEF, ∴∠AEB=∠M, 在△BEH和△EBM中， [∠AEB=∠M ∠BEH=∠EBM, BH=EM △BEH≌△EBM(AAS), .BH EM, BD=BH, .BD BH EM EM =EF+FM =2EF,EF=6, BD=2×6=12. 题型4角平分线模型（常考模型）（共3小题） 41.【阅读理解】角平分线把角等分，从而得到相等的角，所以结合角平分线构造全等三角形是常用的方法. (1)如图1，OP平分∠M0N,点A,B分别在OM和ON上，且AB⊥OP于点C.请补全下列证明： 75/109 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 NB P C力 M- A 图1 证明：：OP平分∠MON,∠AOC=_ AC⊥OP, ∠AC0=∠BC0=90°， 在△AOC和△BOC中， ∠AOC= 0C=0C ∠ACO=∠BCO △A0C≌△B0C ( .:.AO=BO,AC=BC. 【类比解答】(2)如图2，在ABC中，CD平分∠ACB,AE⊥CD于E,若LEAC=65°，∠B=35°， 求∠DAE的度数。 【拓展延伸】(3)如图3，在ABC中，AB=AC,∠A=90°，CD平分∠ACB,BE⊥CD交CD的延长 线于点E,试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论 B B 图2 图3 【详解】(1)证明：：OP平分∠MON, .LA0C=∠B0C, :AC⊥OP, ∠AC0=∠BC0=90°， 在△AOC和△BOC中， [∠AOC=∠BOC 0C=0C ∠ACO=∠BCO .△AOC≌△B0CASA. 76/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .AO=BO,AC=BC. (2)解：延长AE,交BC于点F, A D E B 图2 :CD平分∠ACB, LACE=∠FCE, :AE⊥CD于E, ∴∠CEA=LCEF=90°， .∠EFC=LEAC=65°， :∠B=35°， .∠DAE=65°-35°=30°， ∠DAE的度数为30°. (3)BE=ICD. 、) 证明：延长BE、CA,交于点G, E :CD平分∠ACB, .∠GCE=LBCE, :BE⊥CD交CD的延长线于点E, ∴.∠CEB=∠CEG=90°， 在aCEB和△CEG中， ∠BCE=∠GCE CE=CE ∠CEB=∠CEG :△CEB≌△CEG(ASA), 77/109 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :BE =GE, :BE=1BG, 2 :∠CEB=90°，∠CAB=90°，LBDE=∠CDA, .∠BAG=90°=∠CAD,∠GBA=∠DCA, 在△BAG和△CAD中， ∠ABG=∠ACD AB=AC ∠BAG=∠CAD △BAG≌△CAD(ASA, .BG CD, :BE=LCD 2 42.情境阅读： 在我国北宋时期，著名数学家贾宪在其所著的《黄帝九章算法细草》（九卷）中提出：勾（直角边）、弦（斜 边)分别相等的两个直角三角形全等，即我们今天所说的“HL”定理.我们将斜边重合的两个直角三角形称 为“共同体三角形”，用尺规按照下面的操作方法可以画出这种类型的全等直角三角形. 实践操作： 如图①，OP是∠MON的平分线，以OP所在直线为对称轴画一对全等的直角三角形，其步骤如下： 第一步：以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OM于点B,交ON于点C; 第二步：分别过点B,C作OM,ON的垂线与OP交于点A,则Rt△AOB≌Rt△AOC· ① 2 问题解决： (1)如图②，在ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD,CE分别是∠BAC,∠ACB的平分线；AD,CE交 于点F,则上EFA的度数等于 (2)在(1)的条件下，请判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由. 探究发现： 78/109 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图③，在ABC中，若∠ACB不是直角，(1)中的其他条件不变，试问(2)中结论是否仍然成立？ 若成立，请证明；若不成立，请说明理由 【详解】(1)解：：∠ACB=90°，∠B=60°， ∠BAC=30°， :AD,CE分别是∠BAC,∠ACB的平分线， 04c-B4c=1524c=4cB=45 ∴.∠EFA=∠DAC+∠ACE=15°+45°=60°， 故答案为：60°； (2)解：FE=FD,理由如下： D G ② 如图②，在AC上截取AG=AE,连接FG, :AD是∠BAC的平分线， ∠EAF=∠GAF, AF=AF, △AEF≌△4GF(SAS, ∴FE=FG,∠EFA=∠GFA=60° ∴∠GFC=180°-60°-60°=60°， :∠DFC=∠EFA=60°， ∠DFC=LGFC, :CE是∠ACB的平分线， .∠GCF=LDCF, CF=CF, ∴△GCF≌ADCF(ASA), .FD=FG .FE=FD: 79/109 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：成立，理由如下： 如图③，在AC上截取AH=AE,连接FH, R F H ③ 同(2)可证明△AEF≌△AHF(SAS), ∴FE=FH,∠EFA=∠HFA, :AD,CE分别是∠BAC,∠ACB的平分线， DMc-5B4C∠ACE=5cB ∠DaC+∠ACE-ACB+B4C=∠ACB+∠B1C-l80-∠=60 ∴∠EFA=∠DAC+∠ACE=60°， 同(2)可证明△FDC≌AFHC(ASA), :FD=FH, .FE FD. 43.探究与证明 B NB 0 D A M A 图1 图2 图3 图4 【问题情境】 (1)利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分∠MON.点A为0M上一点，过点A作 AC⊥OP,垂足为C,延长AC交ON于点B,可根据 ,证明△A0C≌△B0C,则 A0=BO,AC=BC(即点C为AB的中点)· 【类比解答】 (2)如图2，在ABC中，CD平分∠ACB,AE⊥CD于E,若LEAC=63°，LB=37°，通过上述构造全等的办 80/109 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 法，可求得∠DAE=】 【拓展延伸】 (3)如图3，ABC中，AB=AC,LBAC=90°，CD平分LACB,BE⊥CD,垂足E在CD的延长线上，试探究 BE和CD的数量关系，并证明你的结论. 【实际应用】 (4)如图4是一块肥沃的三角形土地，其中AC边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地 进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取∠ACB的角平分线CD;②过点A作AD⊥CD于D.己知 BC=12,AC=10,△ABC面积为26，则划出的△ACD的面积是 【详解】(1)解：：0P平分∠M0N, .∠A0C=∠B0C, AC⊥OP, ∠AC0=∠BC0=90°， 在△AOC和aBOC中， ∠AOC=∠BOC OC=OC ∠ACO=∠BCO aAOC≌△BOC(ASA), :.AO=BO,AC=BC: (2)解：如图，延长AE交BC于点F, D E B 由(1)可知，△AEC≌△FEC(ASA), .∠EFC=∠EAC=63°， :∠EFC=∠B+∠DAE, :LDAE=∠EFC-LB =63°-37° =26°； 81/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)解：BE=CD,证明如下： 2 如图，延长BE、CA交于点F, E B 则LBAF=180°-∠BAC=90°=∠CAD, :BE⊥CD, .∠BED=90°=∠BAC, :∠BDC=∠ABF+∠BED=∠ACD+∠BAC, ∠ABF=LACD, 又：AB=AC, △ABF≌△4CD(ASA), :BF =CD, 由(1)可得，BE=FE=BF, .BE=。CD: (4)解：如图，延长AD交BC于E, B E 。================ 由(1)可知，AD=ED,EC=AC=10, .S.ACD=S.ECD S.4Bc=26,BC=12 :S4eE-12 吕6 82/109 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 65 3 1 65 6 题型5半角模型（常考模型）（共5小题） 44.(1)如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF=45°，连接EF,探究 BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由： (2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=I80°，E、F分别是BC、DC上的点，且 ∠EAF= ∠BAD,此时(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由. 2 E B B 图① 图② 【详解】解：(1)EF=BE+DF 证明：延长CB到M,使得BM=DF 连接AM D ☆ E 四边形ABCD是正方形 M .AB=AD,∠D=∠ABM 又：BM=DF .△ADF≌△ABM(SAS) ·AF=AM,∠1=∠2 :∠EAF=45 .∠1+∠3=450 ,∠2+∠3=∠MAE=45°=LEAF 83/109 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又：AE=AE ∴△EAM≌△EAF(SAS) :EF EM =BE BM 又：BM=DF .EF EB+DF (2)EF=BE+DF 证明：延长CB到M,使得BM=DF 连接AM C R D E ∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠4=180° M .∠D=∠4 又：AB=AD,BM=DF ,△ADF2△ABM(SAS) .AF=AM,∠1=∠2 :EF-号∠BD .∠1+∠3=∠EAF ∴.∠MAE=∠2+∠3=∠EAF 又：AE=AE .△EAM≌△EAF(SAS) .EF EM BE+BM 又：BM=DF :EF EB+DF 45.【基本模型】 (1)如图1，ABCD是正方形，∠EAF=45°，当E在BC边上，F在CD边上时，请你探究BE、DF与EF之 间的数量关系，并证明你的结论. 84/109 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【模型运用】 (2)如图2，ABCD是正方形，∠EAF=45°，当E在BC的延长线上，F在CD的延长线上时，请你探究BE、 DF与EF之间的数量关系，并证明你的结论 B E B 图1 图2 【详解】解：(1)结论：EF=BE+DF. 理由：如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF', D E 图1 则：∠F'AB=∠DAF,∠ABF'=∠D=90°，AF=AF',BF'=DF, ∠ABF'+∠ABC=180°，即：F,B,E三点共线， :∠EAF=45°， .∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°， ∠BAF'+∠BAE=45°， ∠EAF'=∠EAF=45°， 在△AEF和△AEF'中， AF=AF' ∠EAF=∠EAF', AE=AE ∴.△AEF≌△EAF(SAS), :EF EF', 又EF'=BE+BF', .EF BE +DF 85/109 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)结论：EF=BE-DF, 理由：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF', F E F 图2 则：BF'=DF,AF'=AF, 同法(1)可得：△AEF≌△AEF'(SAS), :EF=EF', 又EF'=BE-BF'=BE-DF, ∴EF=BE-DF. 46.【阅读材料】面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般 性的问题，这就是特殊化策略， 【活动主题】根据以上材料，同学们在数学活动课上以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究. 【问题背景】如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=I80°，E,F分别是边BC,CD上的点， 且∠EAF=∠BAD,请探究线段EF,BE,FD之间的数量关系. B E 图1 图2 图3 (1)【特殊情形】任务1：如图2，当∠B=∠D=90°时，其他条件不变，请探究线段EF,BE,FD之间的数 量关系 下面是学习委员琳琳的解题过程，请将剩余内容补充完整， 解：如图3，延长EB到点G,使得BG=DF,连接AG, 86/109 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB=AD 在△ABG和△ADF中， ∠ABG=∠ADF=90° BG=DF 所以△ABG≌△ADF(SAS),所以AG=AF,∠BAG=∠DAF. 所以∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE. 因为∠EAF=BAD,所以∠GAE=∠EAF … (2)【一般性问题】任务2：小梦同学发现在如图1所示的四边形ABCD中，任务1中的结论仍然是成立的， 请你写出结论并说明理由。 【详解】(1)解：如图3，延长EB到点G,使得BG=DF,连接AG, AB=AD 在△ABG和△ADF中， ∠ABG=∠ADF=90° BG=DF 所以△ABG≌△ADF(SAS), 所以AG=AF,∠BAG=∠DAF. 所以LBAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE. 因为∠EAF= 24BAD 所以∠GAE=∠EAF. AG=AF 在△GAE和△FAE中， ∠GAE=∠FAE, AE=AE 所以△GAE≌△FAE(SAS). 所以EG=EF. 因为EG=BG+BE=BE+DF, 所以EF=BE+FD. (2)解：EF=BE+FD,理由如下： 如图，延长CB至点M,使BM=DF,连接AM. 87/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M B 因为LABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°， 所以∠ABM=∠D AB=AD 在△ABM和△ADF中， ∠ABM=∠D, BM=DF 所以△ABM≌△ADF(SAS). 所以AM=AF,∠BAM=∠DAF· 因为∠E4F-号B4D, 所以∠BAE+∠DAF=∠EAF. 所以∠EAM=∠BAE+∠BAM=∠BAE+∠DAF=∠EAF. AM=AF 在△MAE和△FAE中， ∠EAM=∠EAF, AE=AE 所以△MAE≌△FAE(SAS),所以EM=EF. 因为EM=BM+BE=BE+DF, 所以EF=BE+FD. 47.如图1：在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E,F分别是BC,CD上的点， 且∠EAF=60°，探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系， 88/109 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G D B E 图1 图2 图3 (1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再 证明△AEF≌△AGF,可得出结论，他的结论应是-；（直接写结论，不需证明） (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADF=180°，E,F分别是BC、CD上的点，且 ∠E4F-B1D,(1)中结论是否仍然成立，并说明理由： (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=I80°，E,F分别是边BC、CD延长线上的点，且 ∠EAF=!∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系， 并证明. 【详解】(1)解：如图1，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, 在AABE和△ADG中， (AB=AD ∠B=∠ADG, BE=DG :.△ABE≌△ADG(SAS), ∴AE=AG,∠BAE=∠DAG, ∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF, 即∠GAF=∠BAE+∠DAF, :∠BAD=120°，∠EAF=60°， ∴∠BAE+∠DAF=120°-60°=60°， ∠GAF=60°， LGAF=∠EAF, 在△AGF和△AEF中， 89/109 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AF=AF ∠GAF=∠EAF, AG=AE △AGF≌△AEF(SAS), :FG=EF, .FG=DF+DG, :EF BE +FD, 故答案为：EF=BE+FD; (2)解：(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立. 证明：如图2中，延长CB至M,使BM=DF,连接AM, B 图2 :∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°， ∠1=∠D, 在△ABM与△ADF中， (AB=AD ∠1=∠D, BM=DF ·.△ABM≌AADF(SAS, AF=AM,∠2=∠3， :∠EAF=∠BAD, 2 :∠2+∠4= 2 ∠BAD=∠EAF, ∠3+∠4=∠EAF, 即∠MAE=∠EAF, 在△AME与△AFE中， 90/109 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AM=AF ∠MAE=∠EAF, AE=AE .△AME≌aAFE(SAS), .EF ME, EF=BE +BM EF BE+DF (3)解：结论EF=BE+FD不成立，结论：EF=BE-FD. 证明：如图3中，在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG, 图3 :∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°， .∠B=∠ADF, 在△ABG与△ADF中， AB=AD ∠ABG=∠ADF, BG=DF .△ABG≌AADF(SAS, ∴∠BAG=∠DAF,AG=AF, ∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=2∠BAD, ∴∠GAE=∠EAF, AE=AE, .△AEG≌aAEF(SAS), .EG=EF, 91/109 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 EG BE-BG, ∴.EF=BE-FD 48.已知，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD边上的点.且 ∠EAF=∠BAD.探究线段BE、EF、DF的数量关系。 B 图① 图② 备用图 备用图 (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①，当∠B=∠D=90°，小宁探究此问题的方法是： 延长EB到点G,使BG=DF,连接AG,请你补全小宁的解题思路：先证明△ABG≌ ；再证明 △AEG≌ 一；即可得出线段BE、EF、DF之间的数量关系是」 (2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD,LB+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且 ∠EAF=∠BAD,（1)中的结论是否仍然成立？请写出证明过程. 2 【详解】(1)解：如图所示，延长EB到点G,使BG=DF,连接AG, G B E ∠ABG=180°-∠ABC=90°， ∠ABG=∠D, 又：AB=AD,BG=DF, ·△ABG≌AADF(SAS), AG=AF,∠BAG=∠DAF, :∠EaF-BAD, ·∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠BAD=∠EAF, .∠EAG=∠BAE+∠BAG=∠BAE+∠DAF=∠EAF, 92/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又：AE=AE :.△AEG≌△AEF(SAS, .EG=EF, EG=BE +BG BE+DF .:EF =BE +DF (2)解：(1)中的结论仍然成立，证明如下： 如图，延长EB到点G,使BG=DF,连接AG, D GB :∠ABC+∠D=180°，∠ABG+∠ABC=180°， ∠D=∠ABG, 又：AB=AD,BG=DF, △ABG≌△ADF(SAS), .AG=AF,∠BAG=∠DAF, :∠E4F-B4D, :∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠BAD=∠EAF, 2 ∠EAG=∠BAE+∠BAG=∠BAE+∠DAF=∠EAF, 又：AE=AE △AEG≌△AEF(SAS, :EG=EF, :EG=BE +BG=BE+D F .EF =BE DF 题型6截长补短模型（常考模型）（共3小题） 49.(25-26八年级上·上海普陀·月考)在ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC交AC边于点D, BC=AB+AD,则∠ABC= 93/109 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】45 【详解】解：设∠ABC=x, AB=AC, ∴∠ABC=LC=x, 在BC上取一点E,使BE=AB,连接DE, B :BD平分∠ABC, .∠ABD=∠CBD, BD=BD, ∴.△ABD≌aEBD(SAS), AD=DE,∠A=∠DEB, BC=AB+AD=BE+AD BC=BE +EC, .AD=DE=EC, :ZEDC ZC=x, :∠DEB=∠C+LEDC, .∠A=2∠C=2x, ∴.x+2x+x=180°， x=45°， .∠ABC=45°， 故答案为：45. 50.实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等.那么， 不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组 的同学们对此展开探究： 例如，如图1(1)，在ABC中，AB>AC,怎样证明∠C>∠B呢？ 94/109 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB>AC,所以点C落在AB上的点C处（如图1(2）)·由 LAC'D=∠C,∠ACD>∠B,可得∠C>∠B. C B B (1) (2) 图1 【类比探究】 (1)如图2，在ABC中，∠C>∠B,类比上述的方法，请证明AB>AC. 图2 【方法运用】 (2)如图3，在ABC中，∠C=2∠B,若AD⊥BC,写出AC,CD,BD之间的数量关系并说明理由. D 图3 【详解】(1)证明：把ABC翻折，使点B落在点C上，折痕分别交AB、BC于点D、E D B E 由翻折的性质可知，CD=BD, AD+CD>AC, ·AD+BD=AB>AC,即AB>AC; [方法运用] (2)解：BD=AC+CD,理由如下： 如图(3)，在BD上取E,使DE=CD,连接AE, 95/109 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :DE=CD,∠ADE=90°=∠ADC,AD=AD, C (3) ∴.△ADE≌△ADC(SAS), AE=AC,∠AED=∠C=2∠B, :∠AED=∠B+∠BAE, ∠B=∠BAE, ·BE=AE=AC, .BD=BE DE AC CD BD AC +CD 51.同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过 轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题， 图① 图② 图③ 图④ (1)(1)在ABC中，AD平分∠BAC,∠ABC=2LC,求证：AC=AB+BD;任选下面一种方法，并写 出完整的证明过程： 方法一：如图①，在AC上截取AE,使得AE=AB,连接DE,可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图②，延长AB到点F,使得BF=BD,连接DF,可以得到等腰三角形，进而解决问题。 (2)如图③，在ABC中，∠ABC=2LC,AH⊥BC交BC于点H,直接写出AB、BH、BC之间的等量关系 (3)如图④，在ABC中，AD平分∠BAC,∠ABC=2LC,AD、BG分别为∠BAC、∠ABC的角平分线， AB=5,BD=3,AG= 8，直接写出GC=」 25 【详解】(1)若选择方法一. 证明：如图①，在AC上截取AE,使得AE=AB,连接DE, :AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD. 96/109 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又：AD=AD, .△ABD≌△AED(SAS. .BD=ED,∠B=∠AED, :∠ABC=2LC, .∠AED=2∠C, :∠AED=∠EDC+∠C, .∠EDC=LC, ∴ED=EC=BD, ∴AC=AE+EC=AB+BD. 若选择方法二 证明：如图②，延长AB到点F,使得BF=BD,连接DF, :AD平分∠BAC, ∠BAD=∠CAD. 又：BF=BD, ∠F=∠BDF. ∠ABC=∠F+∠BDF=2∠F. :∠ABC=2LC, ∠F=∠C AD=AD △AFD≌△4CD(AAS). .AF AC, .AF AB+BF=AB+BD, ∴AC=AB+BD. (2)解：在CH上取点G,使BH=GH, BL 图③ 97/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AH⊥BC,BH=GH, .AB=AG, ∠B=∠AGB, ZABC =2ZC,ZAGB=ZC+ZGAC ∠C=LGAC, ..AG=GC, .AB=GC, .CG+BG=AB +2BH BC. 故答案为：AB+2BH=BC; (3)解：：AD平分∠BAC, 点D到AC的距离等于点D到AB的距离， SAABD=AB SAACD AC' S.A=BD S.4cDCD’ AB BD AC CD AB AG 同理， BC CG 25 设CG=x,CD=y,则BC=BD+CD=3+y,AC=AG+CG= +x 5 3 25 25 +x, 5 =8, 8 y+3 x 39 8, ·CG=39 … 故答案为： 39 8 题型7多模型叠加（共4小题） 52.(24-25七年级下.上海阶段检测)某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的 基本图形. 98/109 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E M A A H 图① 图② 图③ (1)如图①，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线1经过点A,BD⊥直线1，CE⊥直线1，垂足分别 为D、E.可证得：DE、BD、CE的数量关系为-； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将(1)中的条件改 为：在ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线1上，并且有LBDA=LAEC=LBAC=Q,其中a为任 意钝角.请问(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以ABC的边AB、 AC为腰向外作等腰直角△ABE和△ACG,其中LBAE=∠CAG=90°，若AH⊥BC,垂足为点H,延长HA 交EG于点M.求证：点M是EG的中点. 【详解】(1)解：DE、BD、CE的数量关系为：DE=BD+CE,理由如下： 如图1所示： B 3 A E 图① :BD⊥L,CE⊥I, ∴∠BDA=∠AEC=90°， .∠1+∠2=90°， 在ABC中，∠BAC=90°， .∠1+∠3=90°， ∠2=∠3， AB=AC, △ABD≌△CAE(AAS), .BD=AE,AD=CE, 99/109 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .DE=AE+AD =BD CE 故答案为：DE=BD+CE; (2)解：(1)中的结论成立，证明如下： 如图2所示： B -l A E 图② :∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,AB=AC, ∠1+∠3=180°-∠BAC=180°-a, 在△ABD中，∠1+∠2=180°-∠BDA=180°-a, ∠2=∠3， :∠BDA=∠AEC=a,AB=AC, .△ABD≌△CAE(AAS), ∴.BD=AE,AD=CE, .DE=AE+AD =BD+CE; (3)解：证明：过点E作EN∥AG,交AM的延长线于点N,如图3所示： iN G M E A H 图③ :△ABE和aACG都是等腰直角三角形，且LBAE=LCAG=90°， .AB=AE,AC=AG, :AH⊥BC, ∠ABC+∠HAB=90°， :∠BAE=90°， 100/109