专题04 期末必刷压轴题（高效培优期末专项训练）数学新教材沪教教版五四制七年级下册

**基本信息** 聚焦期末几何压轴题，以选择、填空、解答题分层覆盖翻折旋转、全等等腰、动态问题等核心考点，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择压轴题|8题|多结论判断，涉及翻折、角平分线|从图形变换到性质应用，构建“条件-结论”推理链| |填空压轴题|12题|动态几何求最值、旋转角度计算|融合动点与静态性质，体现空间观念| |解答压轴题|15题|综合探究，含“一线三等角”“将军饮马”模型|从基础证明到创新应用，培养逻辑推理与模型意识|

专题04 期末必刷压轴题 考点01 选择压轴题 考点02 填空压轴题 考点03 解答压轴题 考点01 选择压轴题 1．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，是边的中点，将沿翻折，点落在点处，交于点，的面积恰好是面积的．小丽在研究这个图形时得到以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定；过点D作，由是边的中点，的面积恰好是面积的可得，由可得，进而可证明，即可得出结论. 【详解】解：过点D作，如图所示： 由折叠可得：，，，，， 是边的中点， ∴，， 的面积恰好是面积的， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴，， ∴， ∴在与中 ∴， ∴，， 又∵，， ∴，. 故①、②皆正确. 故选：C． 2．（24-25七年级下·上海·期末）如图，现有一张长方形纸片，点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点．若.，则的度数为（　　） A．104° B．106° C．96° D．132° 【答案】C 【分析】由平行线的性质得到，．根据得到，由折叠得到，．即可由，根据三角形的内角和定理可得，由周角的定义得到答案．此题考查了平行线的性质、折叠的性质、邻补角等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴． ∴，． ∴， ∵点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点， ∴，，． ∴ ． ∴， ∴． 故选：C． 3．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，分别平分和，过点作交于点，交于点，那么下列结论： ①；②为等腰三角形；③的周长等于的周长；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】①根据平分线的性质、平行线的性质，借助于等量代换可求出∠DBF＝∠DFB；②同理可得②的结论；③用特殊值法，当为等边三角形时，连接，根据等边三角形的性质，角平分线定义和等腰三角形的判定便可得出，进而得，便可得出；的周长不等于的周长；④利用两次三角形的内角和，以及平分线的性质，进行等量代换，可求的和之间的关系式． 【详解】解：①∵是的角平分线， ∴， 又， ， ，故①正确； ②同理， ， 为等腰三角形故②正确； ③假设为等边三角形，则，如图，连接， ∵， ， 的周长， ∵F是的平分线的交点， ∴第三条平分线必过其点，即平分， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ， ， ， ， ， 即的周长的周长，故③错误； ④在中，（1）， 在中，， 即（2）， 得，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质，以及三角形内角和定理解答，涉及面较广，需同学们仔细解答．尤其是第③小题在常规方法不能判断正误时，可采用的特殊值法进行判断，也即是举反例的方法． 4．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，在中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H． 则对于以下结论：①；②；③；④；其中错误的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，三角形内角和定理．掌握相关性质是解题的关键．根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②④；根据和判断③即可． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵分别平分， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴；故④正确； ，， ， ， ， ，故③错误； 故选：C． 5．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，在中，，将沿直线l翻折，点B落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠问题，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质及三角形外角的性质是解题的关键．设与交于点，由折叠的性质可得，由三角形外角的性质可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：如图，设与交于点，    由折叠的性质可得：， 由三角形外角的性质可得： ， ， 故选：B． 6．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图：．按下列步骤作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作圆弧，交射线于点F．连结；②以点F为圆心，长为半径作圆弧，交弧于点G；③连结、．作射线．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（    ） A． B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】由作法得OC= OF = OG，FG= FC，根据线段垂直平分线的判定方法可判断OF垂直平分CG，则可对B选项进行判断;利用C点与G点关于OF对称得到∠FOG = ∠FOC =30°，则可对A选项进行判断;通过判断△OCG为等边三角形可对C选项进行判断;利用含30度的直角三角形三边的关系得到 OC = 2CM，加上CF> CM，FC= FG，则可对D选项进行判断. 【详解】由作法得OC=OF= OG，FG= FC，则OF垂直平分CG， 所以B选项的结论正确； ∵C点与G点关于OF对称 ∴∠FOG=∠FOC=30°， ∴∠AOG =60°， 所以A选项的结论正确; ∴△OCG为等边三角形， OG = CG， 所以C选项的结论正确; 在Rt△OCM中，∵∠COM =30° ∴OC = 2CM， ∵CF > CM， FC= FG， ∴ OC ≠2FG， 所以D选项的结论错误 故选：D. 【点睛】本题考查含30度的直角三角形、线段垂直平分线的判定、尺规作图、三角形的三边关系，等边三角形，熟练应用所学知识点判断是关键，利用尺规作图步骤分析是重点 7．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，在中，点D是的中点，连接，点E在上，且，于点F．若，，则的面积为（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 【答案】C 【分析】本题考查三角形的面积及三角形的中线和高，掌握三角形面积计算公式、“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键．连接，利用三角形面积公式求出的面积，再根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”求出的面积即可． 【详解】解：如图，连接． ∵点D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴． 故选：C． 8．（24-25七年级下·上海静安·期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，其中，，，当且点在直线的上方时，如果三角板的直角边与边平行，那么的度数为（    ）．    A．30或60 B．60或120 C．45或60 D．30或120 【答案】D 【分析】分两种情况：当时；当时，然后分别利用平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： 当时，如图：    ∵， ， ， ； 当时，如图：    ∵， ； 综上所述：如果三角板的直角边与边平行，那么的度数为或， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，分两种情况讨论是解题的关键． 考点02 填空压轴题 9．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）如图， 在长方形中，厘米，厘米，点E为中点，已知点P在线段上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段上由点C向点B运动，如果与恰好全等，那么点Q的运动速度是________厘米/秒． 【答案】6或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解一元一次方程的实际应用．设运动时间为t秒，点Q的运动速度是厘米/秒，根据题意可得：，，，再进行分类讨论即可①当时， ②当时． 【详解】解：设运动时间为t秒，点Q的运动速度是厘米/秒． 根据题意可得：，，， ∵厘米，点E为中点， ∴厘米， ①当，时， ， 解得：， ∴厘米， ∴厘米， ∴； ②当，时， ， 解得：， ∴点Q的运动速度为（厘米/秒）， 故答案为：6或． 10．（24-25七年级下·上海·期末）如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一动点，则最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，垂线段最短，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键． 由线段垂直平分线的性质可得，则，当点A，点M，点D共线且时，有最小值，即有最小值为的长，由面积公式可求解． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当点A，点M，点D共线且时，有最小值，即有最小值为的长， ∵， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）如图，将含有锐角的三角板绕的锐角顶点C逆时针旋转一个角度到，若、相交于点F，，则旋转角是______． 【答案】/度 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形的外角的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 设旋转角，先根据旋转的性质得，再利用三角形内角和得到，由等腰三角形的性质可得出，根据三角形外角的性质可得出答案． 【详解】解：设旋转角为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，是等腰直角三角形，，D是斜边的中点，，E、F分别是边、上，若，，则的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，连接，由题意可得，，，证明，得出，，即可推出为等腰直角三角形，求出，由勾股定理可得，从而可得，再由三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， ∵是等腰直角三角形，，D是斜边的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以3厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为__________时，能够使与全等． 【答案】厘米秒或厘米秒 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用（行程问题）等知识点．利用全等三角形的判定方法，分两种情况讨论：或，分别求解即可． 【详解】解：设点运动的时间为秒， 则（厘米），厘米， ， 当，时，， ，，运动的时间相等， 的运动速度是厘米秒； 当，时，， 是中点， （厘米）， ∵， ∴， 解得：， ∴厘米秒； 当点的运动速度为厘米秒或厘米秒时，能够使与全等， 故答案为：厘米秒或厘米秒． 14．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，点P是三角形内部一点，且满足．如果，，则的度数是_______． 【答案】/度 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，添加合适的辅助线是解题的关键．延长到点D，使得，连接，延长交于点，证明，得到,，进一步证明是等边三角形，得到，则平分，得到垂直平分，则，得到，则，即可求出． 【详解】解：延长到点D，使得，连接，延长交于点， ∵．， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 15．（24-25七年级下·上海松江·期末）在中，，，直线经过点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、．如果，，那么__________． 【答案】8或2 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，分两种情况讨论，一是点B、点C在直线l同侧，由于点D，于点E，得，而，，由，，推导出，可根据证明，则，，求得；二是点B、点C在直线l异侧，同理可证明，则，，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，点B、点C在直线l同侧， ∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 如图2，点B、点C在直线l异侧， ∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 综上所述，的长为8或2． 故答案为：8或2． 16．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图在中，，点D为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则的度数是______． 【答案】/度 【分析】连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，然后根据等腰三角形的性质得出垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可． 【详解】解：如图，连接、， ，为的平分线， ， 又∵， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ， ∴， ∵为的平分线，， ∴直线为底边上的中线和高线所在的直线， 即垂直平分， ∴， ， 将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合， ∴， ， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 17．（24-25七年级下·上海·期末）在中，，点在的三边上运动，当成为等腰三角形时，顶角的度数是 ___． 【答案】或或80 【分析】 作出图形，然后分点在上与上两种情况讨论求解． 【详解】 解：①如图1，点在上时，，顶角为， ②，， ， 如图2，点在上时，若，顶角为， 如图3，若，则顶角为， 综上所述，顶角为或或． 故答案为：或或80． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直观． 18．（24-25七年级下·上海·期末）如图，将长方形纸条折叠，．按如图折叠，，则_____． 【答案】/115度 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到，由折叠的性质得到，即可通过平行线的性质求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（24-25七年级下·上海·期末）如图，中，，，垂足为D，将绕点C顺时针旋转，得到，点B的对应点E落在上，若，则的度数为______°． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．先证明是等边三角形，再求得，据此求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，是线段的垂直平分线， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，证明，得出，说明当最小时，最小，根据垂线段最短，得出最小，即当点E与点N重合时，最小，即最小，求出最小值即可． 【详解】解：如图所示，以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，如图所示： ∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当点E与点N重合时，最小，即最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 又∵， ∴（平行线间间距相等）， ∴的最小值为4， 故答案为：4. 考点03 解答压轴题 21．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）在锐角三角形中，点D、E分别在边上，连接，将沿翻折后，点A落在边上的点P，当和都为等腰三角形时，我们把线段称为的完美翻折线，P为完美点． (1)如图1，在等边三角形中，边的中点P是它的完美点，已知其完美翻折线的长为4，那么等边三角形的周长＝ ． (2)如图2，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，求此时的度数． (3)如图3，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，请判断点P到边的距离是否相等？并说明你的判断理由． 【答案】(1)24 (2) (3)点P到边的距离相等，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形的折叠问题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握相关内容，根据三角形的内角和定理和外角定理构造等量关系求解． （1）根据翻折的性质可得，根据等边三角形的性质可得，则，是等边三角形，得是等边三角形，进一步得出，从而可得答案； （2）连接，设，根据三角形的外角定理和等腰三角形的性质可得，，最后根据即可求解； （3）连接，过P作于点H，于点N，设，根据可得，则为的平分线，． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵P为的完美点， ∴，和是等腰三角形， ∵ ∴和是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴等边三角形的周长为， 故答案为：24． （2）连接，设， ∵为的完美翻折线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵和是等腰三角形，且都为顶角 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． （3）解：连接，过P作于点H，于点N， ∵为的完美翻折线， ∴，和是等腰三角形， 设， ∴， ∴， ∵为顶角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，为的平分线， ∴， 所以，点P到边的距离相等． 22．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，点D在上，点M为的中点．    (1)连接，延长与相交于点F，请根据要求画出图形，并说明． (2)再连接，已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应边相等． （1）根据题意画出图形，通过证明，得出，即可得出； （2）通过证明，得出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵点M为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴．    （2）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点M为的中点， ∴．    23．（24-25七年级下·上海·期末）在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时， ； (2)当等于何值时，？请说明理由； (3)在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，，见解析 (3)存在，或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，进而可以解决问题； （2）当时，与全等，理由为：根据，且度数，求出与度数，再由外角性质得到，根据，利用即可得证； （3）点在滑动时，的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当；；，分别求出夹角的大小即可． 本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：当时，；理由如下： ∵，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴（）； （3）解：存在是等腰三角形；理由如下： ∵是等腰三角形， ，， ①当时， ∴， 即， ∴； ②当时，是等腰三角形， ∴，即， ∴； ③当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 即， ∴， 此时点与点重合，点和重合， ∵点不与，重合， ∴，舍去， 综合所述，存在是等腰三角形；或． 24．（24-25七年级下·上海·期末）在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件． 已知：如图1，，直线分别交于点E，F．的角平分线与的角平分线交于点G． (1)直线有何位置关系？直接写出结论 ． (2)在图1的基础上，分别作的角平分线与的角平分线交于点M，得到图2，求的度数． (3)如图3，，直线分别交于点E，F，点O在直线之间，且在直线右侧，的角平分线与的角平分线交于点P，请直接写出与满足的数量关系 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质定理是解题的关键 ． （1）由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，由三角形内角和定理求出，推出； （2）过M作，得到，由平行线的性质推得到，同理，由角平分线定义得到，即可求出； （3）由角平分线定义得到，而，得到． 【详解】（1）解：（1）如图1，直线，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图2，过M作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵平分，平分， ∴， ∴， 由（1）知， ∴； （3）解：，理由如下： ∵平分，平分， ∴， ∴， 由（2）的证明可得：， ∴． 故答案为：． 25．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）综合与实践 【问题情境】课外数学社团开展活动时，指导老师提出了如下问题：如图1，在中，若，为边上的中点，试求中线长的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下解决方法：如图，延长到点，使，连接．请根据小明同学的方法思考： （）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是_______． ．    ．      ．       ． （）求中线长的取值范围． 【解决问题】 （）老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，和都是等腰直角三角形，，是的中线，若，求的长． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据全等三角形的判定即可求解； （）由全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系解答即可求解； （）延长至，使，连接，可证，可得，，再证明，得到，即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：（）为边上的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴的理由是， 故选：； （）∵， ∴， ∵， ∴， 即； （）延长至，使，连接， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 26．（24-25七年级下·上海宝山·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到_________，推理依据是___________．进而得到_________，_________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，，， (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）通过证明，再根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）作，利用“K字模型”的结论可得，故可推出，再证即可证明结论； （3）作，利用“K字模型”的结论可得，进一步可证即可求解． 【详解】（1）解：∵过点B作于点C，过点D作于点E． ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：，，，． （2）证明：如图：作， 由“K字模型”可得： ∴， ， ∵， ∴， ∴，即：点G是的中点． （3）解：，理由如下： 如图：作， ∵四边形和为正方形， ∴， 由“K字模型”可得：， ，， ， ∴ ， ∴∴． 27．（24-25七年级下·上海崇明·期末）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系 ． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵点P是和的平分线的交点， ∴， （2）解：∵外角，的角平分线交于点Q， ∴ ， ∴； （3）解：延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； ∵ ， ∴； 如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 28．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)当或或时，是等腰三角形 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识． （1）根据全等三角形的性质得到，，再证明，即可证明是等边三角形； （2）先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形； （3）分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形．理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ， ∴． ①当时，则，即， ∴； ②当时，则，即， ∴； ③当时，则，即， ∴． 综上所述：当或或时，是等腰三角形． 29．（24-25七年级下·上海松江·期末）已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． (1)如图（1），如果，证明：； (2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质等知识． （1）由线段垂直平分线的性质得，即可得出结论； （2）证明，得，，再证明是等边三角形，得到，然后证明，得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，P是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 30．（24-25七年级下·上海松江·期末）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度； （2）设，． ①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 【答案】（1）90；（2）①，理由见解析；②当点D在射线BC．上时，a+β=180°，当点D在射线BC的反向延长线上时，a=β． 【分析】（1）可以证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，证明∠ACB＝45°，即可解决问题； （2）①证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，β＝∠B＋∠ACB，即可解决问题； ②证明△BAD≌△CAE，得到∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性质即可解决问题． 【详解】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS） ∴∠ABC=∠ACE=45°， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， 故答案为：； （2）①． 理由：∵， ∴． 即． 又， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ②如图：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE， ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°， ∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°， 即：∠BCE+∠BAC=180°， ∴α+β=180°， 如图：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE， ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， 又∵AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE， ∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°， ∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB， ∴∠BAC=∠BCE． ∴α=β； 综上所述：点D在直线BC上移动，α+β=180°或α=β． 【点睛】该题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点． 31．（24-25七年级下·上海宝山·期末）已知，点为平面内的一点，． (1)当点在如图①的位置时，求与的数量关系． 解： ．（根据如图填射线的画法） 因为， 所以 （ ）． 所以（两直线平行，内错角相等）； （请继续完成接下去的说理过程） (2)当点在如图②的位置时，与的数量关系是 （直接写出答案）； (3)在（2）的条件下，如图③，过点作，垂足为点，与的平分线分别交射线于点、，回答下列问题（直接写出答案）：图中与相等的角是 ， 度． 【答案】(1)过点作；；；；如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行；见解析 (2) (3)，45 【分析】（1）过点作，先根据平行线的判定与性质可得，，再根据角的和差、等量代换即可得出结论； （2）过点作，先根据平行线的判定与性质可得，，再根据、角的和差即可得出结论； （3）过点作，先根据平行线的判定与性质可得，从而可得，再结合（2）的结论可得，然后根据角平分线的定义可得，最后根据即可得出答案 【详解】（1）解：如图①，过点作， ， （如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行）． ． ， ． ． ， ． ． （2）解：如图②，过点作， ． ， ． ． ， ． ． ． 故答案为：． （3）解：如图③，过点作， ， ， ． ， ， ． ． ， 由（2）已得：， ； 平分， ． 平分， ． ， 故答案为：，45． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键． 32．（24-25七年级下·上海宝山·期末）已知，分别以、为边作和，且，，，连接与，、分别是与的中点． (1)如图，若，则______； (2)如图，若，则______； (3)如图，若，试探究与的数量关系，并给予证明． 【答案】(1)； (2)； (3)，证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，证明≌，可得，，，根据、分别是与的中点，可得，即可证明，可得，，即可求得，即可解题． （）根据（）中结论即可求得的值，即可解题； （）根据（）中结论即可求得的值，即可解题． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵、分别是与的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：同（1）可证，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：同（1）可证，， ∵， ∴， ∵， ∴． 33．（24-25七年级下·上海·期末）我们知道：如果两个三角形的两边及其中一边的对角对应相等简称“SSA”，那么这两个三角形不一定全等． (1)如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且CD>BD，连接AD，那么在△ABD和△ACD中，AD=AD，AB=AC，∠B=∠C，请判断：△ABD和△ACD____（填“全等”或“不全等”）．遇到这种情况，我们可以添加一定的辅助线构造出全等的三角形：如图2，在（1）的条件下，在CD上取一点E，使得AE=AD，连接AE，请判断△ABD和△ACE是否全等？并说明理由． (2)如图3，在四边形ABCD中，CA平分∠BAD，∠ABC+∠ADC=180°，求证：CD=CB． (3)如图4，已知△ABC是边长为5cm的等边三角形，点E在CA的延长线上且AE=1.5cm，连接EB，在线段BC上取一点F，使得EB=EF，连接EF，求BF的长．（直接写答案） 【答案】(1)不全等，△ABD和△ACE全等，理由见解析 (2)见解析 (3)3.5cm 【分析】（1）根据SSA，直接判断△ABD和△ACD不全等，根据等腰三角形的性质得∠ADE=∠AED，进而即可得到结论； （2）在AB上取一点E，使得∠ADC=∠AEC，从而得，进而得∠CEB=∠B，进而即可得到结论； （3）先推出∠EBA=∠FEC，在AC上取一点M，使得FM=MC，则∠EAB=∠FME=120°，从而得，进而即可得到答案． 【详解】（1）解：在△ABD和△ACD中，AD=AD，AB=AC，∠B=∠C， △ABD和△ACD不全等， 故答案为：不全等； △ABD和△ACE全等，理由如下： ∵AD=AE， ∴△ADE是等腰三角形， ∴∠ADE=∠AED， ∴∠ADB=∠AEC， 又∵AB=AC，∠B=∠C， ∴； （2）证明：在AB上取一点E，使得∠ADC=∠AEC， ∵CA平分∠BAD， ∴∠DAC=∠EAC， 又∵AC=AC，∠ADC=∠AEC， ∴（AAS）， ∴CD=CE， 又∵∠ABC+∠ADC=180°，∠CEB+∠AEC=180°，∠ADC=∠AEC， ∴∠ABC=∠CEB， ∴CE=CB， ∴CD=CB； （3）解：在AC上取一点M，使得FM=MC， ∵ EB=EF， ∴∠EBF=∠EFB， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°，BC=5cm， ∴∠EBF=∠EBA+60°，∠EFB=∠FEC+60°，∠EAB=120°， ∴∠EBA=∠FEC， ∵∠ACB=60°，FM=MC， ∴△CFM是等边三角形， ∴FM=FC，∠CMF=60°， ∴∠EAB=∠FME=120°， ∴（AAS）， ∴AE=FM， ∴AE=CF=1.5cm， ∴BF=BCCF=3.5cm． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形和等边三角形是解题的关键． 34．（24-25七年级下·上海·期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图．直线是一条输气管道，，是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站，向两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（　　） A. B.C.  D. (2)如图，草地边缘与小河河岸在点处形成夹角，牧马人从地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由． 【答案】(1) (2)最短路径如图，理由见详解 【分析】本题主要考查了轴对称的最短路线问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）作点关于直线的对称点，连接，根据轴对称和垂直平分线的性质可得正确选项． （2）作点关于直线和的对称点和，连接和，连接，分别交直线和于点和，连接和，根据轴对称和垂直平分线的性质可得最短路径． 【详解】（1）解：∵作点关于直线的对称点，连接，故直线是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴铺设管道最短的是选项， 故选：． （2）解：作点关于直线和的对称点和，连接和，连接，分别交直线和于点和，连接和，如图： 根据对称的性质可得直线和分别是和的垂直平分线， ∴， ∴ ， 根据两点之间线段最短，即可得出路径最短为． 35．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知是等边三角形，，点P从点A出发，沿射线以的速度运动，过点P作交射线于点E，同时点Q从点C出发沿的延长线以的速度运动，连接、，设点P的运动时间为． (1)当点P在边上，且不与点、重合时，求证：； (2)直接写出的长（用含t的代数式表示）； (3)在不添加字母和连接其它线段的条件下，当图中等腰三角形的个数大于3时，直接写出t的值和对应的等腰三角形的个数．（请写出所有的可能性） 【答案】(1)证明过程见解析； (2)当时，的长为；当时，的长为； (3)当时，等腰三角形有5个；当时，等腰三角形有4个． 【分析】本题考查等边三角形，等腰三角形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确理解图形的运动过程． （1）由等边三角形的性质和平行线的性质，可得角之间的关系和线段长度之间的关系，利用“”即可证得结论； （2）根据运动时间进行分类讨论，写出每种情况对应的线段长度即可； （3）根据题意可知，当或时，等腰三角形的个数大于3，写出对应的等腰三角形即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， 根据点的运动过程可知，， ∴， 在和中， ， ∴ （2）解：根据题意可知，点从点到点所需时间为， 当时，， 当时，， 答：当时，的长为；当时，的长为． （3）解：当时，如图，有5个等腰三角形：、、、、， 当时，如图，有4个等腰三角形：、、、， 答：当时，等腰三角形有5个；当时，等腰三角形有4个． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 期末必刷压轴题 考点01 选择压轴题 考点02 填空压轴题 考点03 解答压轴题 考点01 选择压轴题 1．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，是边的中点，将沿翻折，点落在点处，交于点，的面积恰好是面积的．小丽在研究这个图形时得到以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误 2．（24-25七年级下·上海·期末）如图，现有一张长方形纸片，点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点．若.，则的度数为（　　） A．104° B．106° C．96° D．132° 3．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，分别平分和，过点作交于点，交于点，那么下列结论： ①；②为等腰三角形；③的周长等于的周长；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③④ 4．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，在中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H． 则对于以下结论：①；②；③；④；其中错误的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 5．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，在中，，将沿直线l翻折，点B落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图：．按下列步骤作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作圆弧，交射线于点F．连结；②以点F为圆心，长为半径作圆弧，交弧于点G；③连结、．作射线．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（    ） A． B．垂直平分 C． D． 7．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，在中，点D是的中点，连接，点E在上，且，于点F．若，，则的面积为（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 8．（24-25七年级下·上海静安·期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，其中，，，当且点在直线的上方时，如果三角板的直角边与边平行，那么的度数为（    ）．    A．30或60 B．60或120 C．45或60 D．30或120 考点02 填空压轴题 9．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）如图， 在长方形中，厘米，厘米，点E为中点，已知点P在线段上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段上由点C向点B运动，如果与恰好全等，那么点Q的运动速度是________厘米/秒． 10．（24-25七年级下·上海·期末）如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一动点，则最小值为______． 11．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）如图，将含有锐角的三角板绕的锐角顶点C逆时针旋转一个角度到，若、相交于点F，，则旋转角是______． 12．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，是等腰直角三角形，，D是斜边的中点，，E、F分别是边、上，若，，则的面积为_______． 13．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以3厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为__________时，能够使与全等． 14．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，点P是三角形内部一点，且满足．如果，，则的度数是_______． 15．（24-25七年级下·上海松江·期末）在中，，，直线经过点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、．如果，，那么__________． 16．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图在中，，点D为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则的度数是______． 17．（24-25七年级下·上海·期末）在中，，点在的三边上运动，当成为等腰三角形时，顶角的度数是 ___． 18．（24-25七年级下·上海·期末）如图，将长方形纸条折叠，．按如图折叠，，则_____． 19．（24-25七年级下·上海·期末）如图，中，，，垂足为D，将绕点C顺时针旋转，得到，点B的对应点E落在上，若，则的度数为______°． 20．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为______． 考点03 解答压轴题 21．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）在锐角三角形中，点D、E分别在边上，连接，将沿翻折后，点A落在边上的点P，当和都为等腰三角形时，我们把线段称为的完美翻折线，P为完美点． (1)如图1，在等边三角形中，边的中点P是它的完美点，已知其完美翻折线的长为4，那么等边三角形的周长＝ ． (2)如图2，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，求此时的度数． (3)如图3，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，请判断点P到边的距离是否相等？并说明你的判断理由． 22．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，点D在上，点M为的中点．    (1)连接，延长与相交于点F，请根据要求画出图形，并说明． (2)再连接，已知，求的长． 23．（24-25七年级下·上海·期末）在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时， ； (2)当等于何值时，？请说明理由； (3)在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 24．（24-25七年级下·上海·期末）在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件． 已知：如图1，，直线分别交于点E，F．的角平分线与的角平分线交于点G． (1)直线有何位置关系？直接写出结论 ． (2)在图1的基础上，分别作的角平分线与的角平分线交于点M，得到图2，求的度数． (3)如图3，，直线分别交于点E，F，点O在直线之间，且在直线右侧，的角平分线与的角平分线交于点P，请直接写出与满足的数量关系 ． 25．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）综合与实践 【问题情境】课外数学社团开展活动时，指导老师提出了如下问题：如图1，在中，若，为边上的中点，试求中线长的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下解决方法：如图，延长到点，使，连接．请根据小明同学的方法思考： （）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是_______． ．    ．      ．       ． （）求中线长的取值范围． 【解决问题】 （）老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，和都是等腰直角三角形，，是的中线，若，求的长． 26．（24-25七年级下·上海宝山·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到_________，推理依据是___________．进而得到_________，_________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 27．（24-25七年级下·上海崇明·期末）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系 ． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求的度数． 28．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 29．（24-25七年级下·上海松江·期末）已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． (1)如图（1），如果，证明：； (2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 30．（24-25七年级下·上海松江·期末）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度； （2）设，． ①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 31．（24-25七年级下·上海宝山·期末）已知，点为平面内的一点，． (1)当点在如图①的位置时，求与的数量关系． 解： ．（根据如图填射线的画法） 因为， 所以 （ ）． 所以（两直线平行，内错角相等）； （请继续完成接下去的说理过程） (2)当点在如图②的位置时，与的数量关系是 （直接写出答案）； (3)在（2）的条件下，如图③，过点作，垂足为点，与的平分线分别交射线于点、，回答下列问题（直接写出答案）：图中与相等的角是 ， 度． 32．（24-25七年级下·上海宝山·期末）已知，分别以、为边作和，且，，，连接与，、分别是与的中点． (1)如图，若，则______； (2)如图，若，则______； (3)如图，若，试探究与的数量关系，并给予证明． 33．（24-25七年级下·上海·期末）我们知道：如果两个三角形的两边及其中一边的对角对应相等简称“SSA”，那么这两个三角形不一定全等． (1)如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且CD>BD，连接AD，那么在△ABD和△ACD中，AD=AD，AB=AC，∠B=∠C，请判断：△ABD和△ACD____（填“全等”或“不全等”）．遇到这种情况，我们可以添加一定的辅助线构造出全等的三角形：如图2，在（1）的条件下，在CD上取一点E，使得AE=AD，连接AE，请判断△ABD和△ACE是否全等？并说明理由． (2)如图3，在四边形ABCD中，CA平分∠BAD，∠ABC+∠ADC=180°，求证：CD=CB． (3)如图4，已知△ABC是边长为5cm的等边三角形，点E在CA的延长线上且AE=1.5cm，连接EB，在线段BC上取一点F，使得EB=EF，连接EF，求BF的长．（直接写答案） 34．（24-25七年级下·上海·期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图．直线是一条输气管道，，是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站，向两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（　　） A. B.C.  D. (2)如图，草地边缘与小河河岸在点处形成夹角，牧马人从地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由． 35．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知是等边三角形，，点P从点A出发，沿射线以的速度运动，过点P作交射线于点E，同时点Q从点C出发沿的延长线以的速度运动，连接、，设点P的运动时间为． (1)当点P在边上，且不与点、重合时，求证：； (2)直接写出的长（用含t的代数式表示）； (3)在不添加字母和连接其它线段的条件下，当图中等腰三角形的个数大于3时，直接写出t的值和对应的等腰三角形的个数．（请写出所有的可能性） 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $