第六章-第八章综合检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦复数、立体几何、向量、解三角形四大模块，以跨章节综合题构建知识网络，通过空间想象与逻辑推理提升数学思维与应用能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数|3题|纯虚数判定、几何意义|从代数运算到复平面表征，构建数与形的联系| |立体几何|8题|体积表面积、空间角、线面关系、外接球|从静态几何体性质到动态轨迹问题，深化空间观念| |向量|3题|数量积、投影向量|从线性运算到向量工具性应用，体现运算能力| |解三角形|3题|边角关系、面积、最值|从定理应用到实际问题建模，培养模型观念|

第六至八章综合检测 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B A A C D A B AC ABD ABD 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 【解析】C 由， 所以． 2. 已知一圆台的上底面半径为1，高为，体积为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【解析】B 设圆台的下底面半径为r， 由题意知， 整理得，解得（负值舍去）， 设圆台的母线长为，则， 所以该圆台的侧面积为. 3. 若向量满足，则（ ） A. B. C. 8 D. 12 【解析】A ，得， 所以. 4. 长方体中，，则异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【解析】A 连接， 所以异面直线与所成角是异面直线与所成角是， 因为，所以， 所以，所以. 5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．则△ABC的形状为( ) A. 正三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 【解析】C 由知，， ∴＝， ，， ， ∴， ∵在△ABC中，， ∴， ∵，∴， 即△ABC为直角三角形． 6. 如图，正三棱柱 的各棱长均为1，的中点为D，上有两个动点，且 则下列结论中错误的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 平面 D. 的面积与的面积相等 【解析】D 对于A：，点为的中点，所以，由正三棱柱 有：平面平面， 又平面平面，平面，又平面，所以，故A正确； 对于B：由平面，所以为点到平面的距离，又， 所以，，所以，故B正确； 对于C：由正三棱柱 ，平面平面，又平面， 所以平面，故C正确； 对于D：取的中点为，连接，由，，所以， ，，所以，故D错误. 7. 在平面四边形ABCD中，，若，则（　　） A. B. 2 C. D. 【解析】A 以AC所在直线为x轴，AC的垂直平分线为y轴， 建立平面直角坐标系（点D在x轴上方）， 设，则， ， 因为，所以 所以，解得，所以. 8. 如图，在正四面体中，放置1大、4小共个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则个球的体积之和为（   ） A． B． C． D． 【解析】B 在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于，连接， 则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，， 由正四面体的体积为，得，解得， 由，解得， 则，最大球半径， 因此最大球的体积为； 小球也可看作一个小的正四面体的内切球，则小正四面体的高， 因此最小球半径， 因此最小球的体积为，所以5个球的体积之和为. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知非零复数在复平面内对应的点分别为为坐标原点，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 若，则存在实数，使得 D. 若，则 【解析】AC 对A，即，两边平方可得，A对； 对，取，则，当，B错； 对，即，两边平方可得， 故，故，因此存在实数，使得，C对； 对，取，但，D错. 10. 在中，，，的面积为，则（    ） A．外接圆的面积为 B． C．是等边三角形 D．的周长是 【解析】ABD 由三角形面积公式：， 代入得： ，解得， 由余弦定理，代入得： ， 结合得， 因此，得， 选项A： 由正弦定理（为外接圆半径）， 代入得： ，得，外接圆面积，A正确， 选项B： 由正弦定理，， 得，代入， ，B正确， 选项C： 若为等边三角形，则边长为3，面积为，矛盾，C错误， 选项D： 周长为，D正确. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（   ） A．若是线段的中点，则四面体的体积为 B．若，则点的轨迹长度是 C．若存在点，使平面，则长度的最小值是 D．若为棱的中点，三棱锥的顶点都在球的表面上，则球的表面积为 【解析】ABD 对于A，当是线段的中点，此时点到平面的距离为2， 所以，A正确. 对于B，若，又，且平面， 则， 点的轨迹是正方形内以点为圆心，1为半径的四分之一圆弧， 的轨迹长度为，B选项正确； 对于C，取线段的中点，线段的中点， 当点位于线段上时，，平面，平面，所以平面， 又，平面，平面，所以平面， ，，平面，所以平面平面， 平面，平面， 此时有，，，， 所以为直角三角形，当位于点时，长度的最小值是，C错误. 对于D，因为平面，把三棱锥补成长方体， 则直径长为， 则球的表面积为，D正确. 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，向量在向量方向上的投影向量为___________.（用坐标表示） 【解析】由于，则，即与向量方向相同的单位向量为， 又，则， ∴向量在向量方向上的投影向量为. 13. 如图所示，在正四棱柱中，，，，分别是棱，，，的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则只需满足条件__________时，就有平面．（注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况） 【解析】连接，，，如图所示： 则，，且，， 平面平面，只需，则平面， 平面． 故答案为：点与点重合（点只要在线段上即可）. 14. 如图，在中，∠BAC＝，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是______. 【解析】由，可得， 所以． 由，可得． 因为P为CD上一点，所以设，， 则， 因为，所以，解得，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，其中，为虚数单位. （1）若为纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围. 【解析】（1）∵为纯虚数， ∴，解得 （2）由在复平面内对应的点在第一象限， ∴，解得或 ∴实数的取值范围为 16. 已知向量、满足，，且. （1）若，求实数值； （2）求与的夹角. 【解析】（1）因为向量、满足，，且， 即，解得， 因为，即, 解得. （2）因为， ， 因此. 因为，因此，即与的夹角为. 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点.    (1)求证：平面 (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）证明：连接交于，连接，   是三角形中边上的中位线，， 又平面，平面，平面. （2）证明平面，平面，， 又四边形是矩形，，，，平面， 平面，平面，， 又是的中点，，， ，，平面，平面. （3）如图，取中点为，连接，    在中，，分别为线段，的中点， 故，，平面，平面， ， 由（2）得平面，平面，， ，，，又，， ， 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 则，解得，故， 直线与平面所成角的正弦值为. 18. 在中，已知a，b，c分别三个内角A，B，C的对边，且，点D为边AB上一点． （1）求角C； （2）已知D是边AB上一点，． ①若，求的最小值； ②若存在，使得，且，求的周长． 【解析】（1）由正弦定理得， 即有 ，又三角形内角和为，所以， 即有，因为，所以，即. （2）①由余弦定理得， 又基本不等式得，故有，当且仅当时取等， 由得， 即 ， 所以的最小值是2； ②由已知得， 即，即， 即，即，又，所以可知三角形边AB上的高为2， 由等面积法得 ，即，即， 由①知，所以有 ，即， 所以，因此三角形的周长为． 19. 如图（1），已知平面五边形中，是边长为的正三角形，，，将和分别沿AC，AD向上翻折至，使得在面ACD的同侧，且二面角的平面角和二面角的平面角的大小都为． (1)如图（2），当时，求证：平面ACD； (2)设该五面体外接球的球心为，半径为． （i）当时，求到平面的距离； （ii）求的最小值． 【解析】（1）翻折前：过B，E分别作AC，AD的垂线，垂足分别为F，G，分别延长BF，EG交CD于点H，M 翻折后：如图所示，则二面角的平面角和二面角的平面角分别为和 因为，则平面平面ACD， 因此， 因为是边长为的正三角形，， 所以都是直角三角形， 由面积相等，得， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面平面ACD， 因此平面； （2）（i）取AC的中点，连接为的外心， 过作交于点， 因为为正三角形， 所以， 故二面角的平面角为， 设为该五面体的外接球球心，由对称性知，该五面体的外接球，即三棱锥的外接球则面， 则到平面的距离为， 由题可知， ， 所以， 因此到平面的距离为； （ii）二面角的平面角为， 面， ， 因此， 所以， 则， 故， ， 所以， 当且仅当，即时取等号， 因此的最小值为. 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六至八章综合检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 2. 已知一圆台的上底面半径为1，高为，体积为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 3. 若向量满足，则（ ） A. B. C. 8 D. 12 4. 长方体中，，则异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．则△ABC的形状为( ) A. 正三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 6. 如图，正三棱柱 的各棱长均为1，的中点为D，上有两个动点，且 则下列结论中错误的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 平面 D. 的面积与的面积相等 7. 在平面四边形ABCD中，，若，则（　　） A. B. 2 C. D. 8. 如图，在正四面体中，放置1大、4小共个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则个球的体积之和为（   ） A． B． C． D． 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知非零复数在复平面内对应的点分别为为坐标原点，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 若，则存在实数，使得 D. 若，则 10. 在中，，，的面积为，则（    ） A．外接圆的面积为 B． C．是等边三角形 D．的周长是 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（   ） A．若是线段的中点，则四面体的体积为 B．若，则点的轨迹长度是 C．若存在点，使平面，则长度的最小值是 D．若为棱的中点，三棱锥的顶点都在球的表面上，则球的表面积为 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，向量在向量方向上的投影向量为___________.（用坐标表示） 13. 如图所示，在正四棱柱中，，，，分别是棱，，，的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则只需满足条件__________时，就有平面．（注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况） 14. 如图，在中，∠BAC＝，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是______. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，其中，为虚数单位. （1）若为纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围. 16. 已知向量、满足，，且. （1）若，求实数值； （2）求与的夹角. 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点.    (1)求证：平面 (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 18. 在中，已知a，b，c分别三个内角A，B，C的对边，且，点D为边AB上一点． （1）求角C； （2）已知D是边AB上一点，． ①若，求的最小值； ②若存在，使得，且，求的周长． 19. 如图（1），已知平面五边形中，是边长为的正三角形，，，将和分别沿AC，AD向上翻折至，使得在面ACD的同侧，且二面角的平面角和二面角的平面角的大小都为． (1)如图（2），当时，求证：平面ACD； (2)设该五面体外接球的球心为，半径为． （i）当时，求到平面的距离； （ii）求的最小值． ( 第 1 页 共 16 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $