精品解析：天津市南开区美达菲中学2025-2026学年高二年级下学期5月期中考试数学试题

2025—2026美达菲高二下学期期中考试数学 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.该运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（ ） A. 10.9 B. -10.9 C. 5 D. -5 【答案】D 【解析】 【分析】先对函数求导，然后把代入即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 令，得瞬时速度为． 故选：D. 2. 每天从甲地到乙地的飞机有5班，高铁有趟，动车有6趟．某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【详解】已知每天从甲地到乙地的飞机有5班，高铁有趟，动车有6趟， 由分类加法原理，完成这件事共有种． 3. 对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图2．由这两个散点图可以判断（ ） A. 变量与正相关，与正相关 B. 变量与正相关，与负相关 C. 变量与负相关，与正相关 D. 变量与负相关，与负相关 【答案】B 【解析】 【分析】根据散点图点的变化关系确定正负相关性即可. 【详解】由变量，的散点图，知随增大，也增大，变量与正相关， 由变量，的散点图，知随增大，减小，与负相关. 故选：B 4. 设随机变量，已知，则（ ） A. 0.025 B. 0.050 C. 0.950 D. 0.975 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态分布得对称性，即可解出. 【详解】随机变量服从正态分布, 故选: 5. 若随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是（ ） A. (－∞，2] B. [1，2] C. (1，2] D. (1，2) 【答案】C 【解析】 【分析】根据分布列可得P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，即可确定m的取值范围. 【详解】由随机变量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8， 则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2]． 故选：C 6. 若的展开式中常数项为15，则实数a的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式确定常数项的表达式，结合已知常数项的值列方程求解实数a。 【详解】首先写出展开式的通项， 要求常数项，令的指数为0，即，解得. 将代入通项，得常数项为 ，计算得，因此常数项为. 由题知常数项为15，故 ，解得，即. 7. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求函数的零点判断图像与轴的交点，结合函数值的正负区间以及时的极限状态（或求导分析单调性）即可排除错误选项。 【详解】令，即，因为恒成立，所以， 解得或，数图像与轴有两个交点和。 观察选项：A选项：当时图像一直在轴下方，不符合时，故排除A； B选项：当时图像有部分在轴下方，而当时，，，所以，故排除B； D选项： 由导数可知，当时，函数单调递增，D 选项在时单调递减，故排除D； C选项：图像过原点，在时函数值为正且先增后减（存在极大值），在后先减后增（存在极小值），符合函数性质. 8. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，已知甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列情况共有（ ） A. 72种 B. 54种 C. 36种 D. 27种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名， 分2种情况讨论： ①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况， 剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况， 此时有种名次排列情况； ②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有种情况， 剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况， 此时有种名次排列情况； 则一共有种不同的名次排列情况， 故选：． 9. 若函数恰好有四个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意转化为与和共有两个交点，利用导数研究单调性极值，数形结合得解. 【详解】因为，所以不是的零点， 当时，令，得， 令， 由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令， 则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，， 且当趋近正无穷时，趋近2，如图所示， 所以当时，与的图象有且仅有四个交点， 此时函数恰好有四个零点. 故选：C. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 已知函数，则曲线在处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出导函数，根据导数的几何意义得出切线的斜率，代入点斜式方程，即可求出切线方程. 【详解】由可得，∴. ∵. 所以曲线在处的切线方程为， 即. 故答案为：. 11. 下面是一个列联表，则______． X Y 合计 a 合计 b 【答案】 【解析】 【详解】由列联表的性质可知，解得， ． 12. 安排A，B，C，D，E，F共6名大学生到甲，乙，丙三地支教，每名学生只去一地，每地安排两名学生，其中A不去甲地，则不同的安排方法共有________． 【答案】60 【解析】 【分析】首先不考虑A的限制，将6名学生2人一组安排到甲，乙，丙三地支教，求出可能的安排情况数，再去掉A去甲地的情况数即为所求. 【详解】1、若6名学生可任意安排，则共有种， 2、A去甲地的情况有种， ∴A不去甲地的安排方法共有种. 故答案为： 13. 的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 【答案】-28 【解析】 【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解. 【详解】因为， 所以的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为-28 故答案为：-28 14. 若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】讨论函数的单调性，确定其极小值点与极小值，由给定条件探讨极小值点位置、区间上函数值与极小值的关系即可作答. 【详解】由得， 所以当或时，，当时，， 于是得在和上都单调递增，在上单调递减， 当时，取得极小值， 因在区间上存在最小值，而函数最值不可能在开区间端点处取得， 于是得，且， 即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 15. 新冠病毒存在人际间传播现象，即存在A传B，B又传C，C又传D的传染现象，那么A，B，C就被称为第一代､第二代､第三代传播者.假设一个身体健康的人被第一代､第二代､第三代传播者感染的概率分别为0.9，0.8，0.7.已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会的人中有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，若小明参加宴会仅和感染的10个人中的一个有所接触，则被感染的概率为___________；若小明被感染，则是被第三代传播者感染的概率为___________. 【答案】 ①. 0.83##； ②. . 【解析】 【分析】设事件“小明与第一代传播者接触”，事件“小明与第二代传播者接触”，事件“小明与第三代传播者接触”，事件“小明被感染”，则，，，，，，根据事全概率公式以及贝叶斯公式计算可得答案. 【详解】设事件“小明与第一代传播者接触”，事件“小明与第二代传播者接触”， 事件“小明与第三代传播者接触”，事件“小明被感染”， 则，，， ，，， 所以小明被感染的概率为 ； 小明被感染,则是被第三代感染的概率为 故答案为：0.83；. 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 毕业季有位好友欲合影留念，现排成一排，如果： （1）、两人不排在一起，有几种排法？ （2）、两人必须排在一起，有几种排法？ （3）不在排头，不在排尾，有几种排法？ 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）利用插空法可求出排法种数； （2）利用捆绑法可求出排法种数； （3）分两种情况讨论：①若在排尾；②若不在排尾.分别求出每一种情况的排法种数，由加法原理计算可得出答案. 【详解】（1）将、插入到其余人所形成的个空中，因此，排法种数为； （2）将、两人捆绑在一起看作一个复合元素和其他人去安排， 因此，排法种数为； （3）分以下两种情况讨论： ①若在排尾，则剩下的人全排列，故有种排法； ②若不在排尾，则有个位置可选，有个位置可选，将剩下的人全排列，安排在其它个位置即可，此时，共有种排法. 综上所述，共有种不同的排法种数. 【点睛】本题考查了排列、组合的应用，同时也考查了插空法、捆绑法以及分类计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题. 17. 设． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助赋值法，令代入计算即可得； （2）结合（1）中所得，再令代入计算即可得； （3）借助二项式的展开式的通项公式计算可得每项系数的正负，结合（2）中所得即可得解. 【小问1详解】 令，则有， 即； 【小问2详解】 令，则有， 即， 又， 则； 【小问3详解】 对，有，且， 则当为奇数时，为负数，当为偶数时，为正数， 故. 18. 设是函数的一个极值点，曲线在处的切线斜率为8. （1）求的单调区间； （2）若在闭区间上的最大值为10，求的值. 【答案】（1）单调递增区间是和，单调递减区间是 （2）4 【解析】 【分析】（1）求导后，根据求出，再利用导数可求出单调区间； （2）根据（1）中函数的单调性求出最值，结合已知的最值列式可求出结果. 【小问1详解】 ，由已知得， 得，解得． 于是， 由，得或，由，得， 可知是函数的极大值点，符合题意， 所以的单调递增区间是和，单调递减区间是. 【小问2详解】 由（1）知， 因为在区间上是单调递减函数，在上是单调递增函数， 又， 所以的最大值为，解得. 19. 甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望; (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大? 【答案】(1) 甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2； (2)甲通过面试的概率较大． 【解析】 【分析】（1）设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为，，由于，，分别写出分布列，再求期望值均为； （2）由于均值相等，可通过比较各自的方差. 【详解】（1）设为甲正确完成面试题的数量，为乙正确完成面试题的数量， 依题意可得：， ∴，，， ∴X的分布列为： X 1 2 3 P ∴． ， ∴，， ，， ∴Y的分布列为： Y 0 1 2 3 P ∴． （2）， ， ∵， ∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大． 【点睛】本题考查超几何分布和二项分布的应用、期望和方差的计算，考查数据处理能力，求解时注意概率计算的准确性. 20. 已知函数，其中． （1）若曲线在点处的切线的斜率为2，求的值； （2）求函数的单调区间； （3）设函数在区间上的最大值和最小值分别为，，求使得不等式成立的的最小值． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，分和两种情况讨论求解即可； （3）结合（2）易得函数在上单调递增，再结合题设将问题转化为，令，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【小问1详解】 由，则， 则，解得． 【小问2详解】 由，则， 当时，，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令，得， 若，由，得；由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 若，由，得；由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问3详解】 由（2）知，当时，函数在区间单调递增， 当时，， 当且仅当，即时等号成立，则函数在上单调递增； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，则函数在上单调递增. 综上所述，函数在上单调递增， 所以． 由，得， 令，则， 由，得或． 当变化时，与的变化情况如下表： 1 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以在和上单调递增，在上单调递减． 又因为，，且， 所以当时，；当时，． 即当且仅当时，恒成立， 所以使得成立的的最小值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026美达菲高二下学期期中考试数学 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.该运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（ ） A. 10.9 B. -10.9 C. 5 D. -5 2. 每天从甲地到乙地的飞机有5班，高铁有趟，动车有6趟．某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3. 对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图2．由这两个散点图可以判断（ ） A. 变量与正相关，与正相关 B. 变量与正相关，与负相关 C. 变量与负相关，与正相关 D. 变量与负相关，与负相关 4. 设随机变量，已知，则（ ） A. 0.025 B. 0.050 C. 0.950 D. 0.975 5. 若随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是（ ） A. (－∞，2] B. [1，2] C. (1，2] D. (1，2) 6. 若的展开式中常数项为15，则实数a的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，已知甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列情况共有（ ） A. 72种 B. 54种 C. 36种 D. 27种 9. 若函数恰好有四个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 已知函数，则曲线在处的切线方程为______. 11. 下面是一个列联表，则______． X Y 合计 a 合计 b 12. 安排A，B，C，D，E，F共6名大学生到甲，乙，丙三地支教，每名学生只去一地，每地安排两名学生，其中A不去甲地，则不同的安排方法共有________． 13. 的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 14. 若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是_________. 15. 新冠病毒存在人际间传播现象，即存在A传B，B又传C，C又传D的传染现象，那么A，B，C就被称为第一代､第二代､第三代传播者.假设一个身体健康的人被第一代､第二代､第三代传播者感染的概率分别为0.9，0.8，0.7.已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会的人中有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，若小明参加宴会仅和感染的10个人中的一个有所接触，则被感染的概率为___________；若小明被感染，则是被第三代传播者感染的概率为___________. 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 毕业季有位好友欲合影留念，现排成一排，如果： （1）、两人不排在一起，有几种排法？ （2）、两人必须排在一起，有几种排法？ （3）不在排头，不在排尾，有几种排法？ 17. 设． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 18. 设是函数的一个极值点，曲线在处的切线斜率为8. （1）求的单调区间； （2）若在闭区间上的最大值为10，求的值. 19. 甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望; (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大? 20. 已知函数，其中． （1）若曲线在点处的切线的斜率为2，求的值； （2）求函数的单调区间； （3）设函数在区间上的最大值和最小值分别为，，求使得不等式成立的的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $