第七单元 分数乘法（期末复习讲义-提高版）知识梳理+13个考点讲练+真题演练 共59题-2025-2026学年苏教版数学五年级下册真题汇编必刷压轴练

2025-2026学年苏教版数学五年级下册期末真题汇编培优讲练 第七单元 分数乘法『期末复习精编讲义』（提高版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+13个考点讲练+真题演练 共59题） 同学你好，该份讲义用于苏教版五年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 2 知识梳理 温故知新 3 知识点一 分数与整数相乘 3 知识点二 分数与分数相乘 3 知识点三 分数与小数相乘 3 知识点四 积与因数的大小关系 3 知识点五 分数混合运算 4 知识点六 分数简便计算 4 知识点七 分数乘法解决问题 4 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 分数与整数相乘 5 高频考点二 求一个数的几分之几的问题 6 高频考点三 分数乘分数的计算 6 高频考点四 分数乘分数的应用 7 高频考点五 分数乘小数的计算 8 高频考点六 分数乘小数的应用 8 高频考点七 分数的连乘运算的计算 9 高频考点八 分数的连乘运算的应用 10 高频考点九 连续求一个数的几分之几是多少的问题 11 高频考点十 因数和积的大小关系（分数乘法) 11 高频考点十一 倒数的认识 11 高频考点十二 与倒数有关的综合计算 12 高频考点十三 自然数与倒数的和或差的问题 12 优选真题 实战演练 13 知识点一 分数与整数相乘 1. 分数与整数相乘表示的意义 （1）分数乘整数表示求几个相同加数的和的简便运算或者求一个分数的几倍是多少。 （2）整数乘分数表示求一个整数的几分之几是多少。 注意：分数乘整数和整数乘分数所表示的意义在叙述方面略有区别，但二者并无本质不同。 2. 分数与整数相乘的计算法则 分数与整数相乘，分母不变，分子乘整数作分子，即：。 注意：能约分的先约分。 知识点二 分数与分数相乘 1.分数乘分数表示的意义 分数乘分数表示求一个数的几分之几是多少。 2.分数乘分数的计算法则 分数乘分数，把分母乘分母的积作为新的分母，分子乘分子的积作为新的分子，即：。 注意：能约分的先约分。 知识点三 分数与小数相乘 1. 分数乘小数表示的意义:表示求一个小数的几分之几是多少。 2.分数乘小数的计算法则 （1）先把小数统一成分数，再按照分数乘分数的计算法则计算； （2）如果所乘分数可以化为有限小数，也可以把分数统一成小数再计算； （3）如果小数和分母能直接约分，可以先约分再计算比较简便。 注意：能约分的先约分。 知识点四 积与因数的大小关系 1. 一个不为0的数乘大于1的数，积比原来的数（大）； 2. 一个不为0的数乘小于1的数，积比原来的数（小）； 3. 一个不为0的数乘等于1的数，积等于原来的数； 4. 用字母表示积与因数的关系： 在a×b=c中，若b>1，则c>a；若b=1，则c=a；若b<1，则c<a。 补充：积的变化规律和积不变的规律 1. 一个因数乘（或除以）一个数（不为0），积也随着乘（或除以）这个数。 2. 当一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数除以（或乘）同一个数时，积不变。 知识点五 分数混合运算 1. 分数的连乘运算顺序与整数连乘运算顺序相同，同级运算，（从左往右）依次计算。 2. 没有括号的，先算乘法，再算（加减法）；有括号的，先算括号里面的，再算括号外面的。 注意：能约分的先约分。 知识点六 分数简便计算 整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。 1. 乘法交换律:两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，用字母表示为a×b=b×a。 2. 乘法结合律:三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)。 3. 乘法分配律:两个数的和或差与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加或相减，这叫做乘法分配律，用字母表示： （1）乘法分配律：（a×（b+c）=a×b+a×c）。 （2）乘法分配律的逆运算：（a×b+a×c=a×（b+c））。 4. 运用乘法运算律进行简便计算的方法 一看，观察算式的特点； 二想，想一想运用哪种运算律能使计算简便； 三算，按运算律计算出结果。 5. 注意。 进行分数乘法混合运算时，不能被题中的数诱导，盲目地“简算”，要严格按照乘法运算律进行简算。 知识点七 分数乘法解决问题 1. 寻找单位“1” （1）（“占”、“是”、“比”）的后面。 （2）在分率句中，“分率”的前面。 2. 写等量关系式 （1）“的”相当于“×”、“占”、“是”、“比”相当于“=”； （2）分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量； （3）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量×（1±分率）=分率对应量。（已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的几分之几是多少） 3. 画线段图 （1）两个量的关系：画两条线段图； （2）部分和整体的关系：画一条线段图。 4. 求一个数的几分之几是多少的解题方法 求一个数的几分之几是多少，（单位“1”的量）×对应的分率=对应分量 5. 连续求一个数的几分之几是多少的解题方法 单位“1”的量×分数＝对应量（比较量）。 6. 已知一个数量比另一个数量多（或少）几分之几，求这个数量的解题方法 方法一：单位“1”的量±单位“1”的量×另一个数量比单位“1”多(或少)的几分之几＝另一个数量； 方法二：单位“1”的量×（1±另一个数量比单位“1”多(或少)的几分之几）＝另一个数量。 高频考点一 分数与整数相乘 【典例精讲】(⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏宿迁·期末）下面算式中，结果大于1的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】(⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏宿迁·期末） ①升（    ）毫升        ②立方米＝（    ）升 ③4小时45分时            ④40分时 【变式训练2】(⭐️⭐️）（25-26六年级上·河南平顶山·期末）科学创客小组设计了甲、乙两个机器人，将它们放在相距8米的直线跑道两端，并遥控它们同时出发，相向而行。10秒后，甲走了全程的，乙走了全程的。这时两个机器人相距多少米？ 高频考点二 求一个数的几分之几的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·山西太原·期末）李奶奶家有一块面积为1公顷的长方形空地（如下图），计划种蔬菜的面积是公顷，其中的用来种油菜，计划种油菜的面积是多少公顷？在图中表示出思考的过程，再列式解答。 【变式训练1】(⭐️⭐️）（25-26六年级上·山西大同·期末）开学前夕琳琳带着钱去文具店买文具，她买了3支同样的水笔和6个同样的笔记本。水笔的单价是笔记本单价的，如果琳琳的钱都用来买水笔，能买( )支，如果琳琳的钱都用来买笔记本，可以买( )本。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏南京·期末）充足的睡眠有利于儿童生长发育，小学生每天的睡眠时间应不少于一天时间的，每天体育锻炼时间应不少于标准睡眠时间的。明明今天体育锻炼了75分钟，他每天早上7点起床，要保证充足睡眠时间，明明最迟应在( )时之前睡觉。他今天有没有达到最低体育锻炼时间( )（填“有”或“没有”）。 高频考点三 分数乘分数的计算 【典例精讲】(⭐️⭐️）（24-25六年级上·贵州贵阳·期末）。 【变式训练1】(⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏扬州·期末）数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观”，我们可以借助图形研究算式，算式（    ）可以表示右图的意义。 A． B． C． D． 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏南京·期末）同学们，本学期我们学了分数乘法，请用相关知识解决以下问题。 (1)表示( )。 (2)请你在下图中继续分一分、画一画，表示的意义。 (3)计算分数乘分数时，通常先确定积的计数单位，再确定计数单位的个数。积的计数单位是( )，有( )个这样的计数单位。 高频考点四 分数乘分数的应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·河南平顶山·期末）数学课上，老师带领大家“回头看”乘法计算道理。启思小组写出了这样一组算式，发现了整数乘法和小数乘法计算道理之间的联系。 20×30 0.2×0.3 ＝ ＝ （10×2）×（10×3） （0.1×2）×（0.1×3） ＝ ＝ （10×10）×（2×3） （0.1×0.1）×（2×3） ＝ ＝ 100×6 0.01×6 (1)启思小组会怎样表达分数乘法计算的道理呢？请以为例，写一写。 (2)观察上面几组算式，整数乘法、小数乘法、分数乘法的计算道理之间有什么相同之处？写一写你的想法。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·江苏盐城·期末）一个街心花园占地公顷，其中草坪占，花圃占地公顷，其余是人行道。人行道的面积是多少公顷？ 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·山东东营·期末）数学课上，老师带领大家“回头看”乘法计算的道理。智慧小组写出了这样一组算式，发现了整数乘法和小数乘法计算道理之间的联系。 （1）智慧小组会怎么表达分数乘法计算的道理呢？请以为例，写一写。 （2）观察上面几组算式，想一想整数乘法、小数乘法、分数乘法的计算道理之间有什么相同之处？请写出你的想法。 高频考点五 分数乘小数的计算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·河北唐山·期中）2.5dm的是( )dm；90kg比80kg多( )；( )L是24L的。 【变式训练1】(⭐️⭐️）（24-25五年级下·陕西渭南·期末）下面两个数互为倒数的是（    ）。 A．和 B．和1.5 C．0和1 D．6和0.6 【变式训练2】(⭐️⭐️）（24-25六年级上·江苏·课后作业）的是( )；1.4的是( )。 高频考点六 分数乘小数的应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·重庆巴南·期末）如图，停车场收费站的起落杆经过一辆车即为完成一次升降运动，某停车场的起落杆长米。若该收费站通过1辆车，则处于起落杆末端的点移动了多少米？（取3.14） 【变式训练1】(⭐️⭐️）（24-25六年级上·河北石家庄·期中）轩轩班级的教室后面挂着一个钟表。已知钟表的分针长12厘米，轩轩每节课时长40分钟，那么一节课的时间，钟表上分针的针尖走了多少厘米？ 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）2022年北京冬奥会在北京和张家口举办。京张高铁于2016年上半年开工，2020年底建成，全长约174千米。原来乘火车从北京到张家口最快用3时12分，最慢用5时33分。建成高铁后，乘高铁所用的时间仅是原来最快时间的。高铁通车后从北京到张家口乘高铁大约需要多长时间？ 高频考点七 分数的连乘运算的计算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级上·山东青岛·期末）看图写出等量关系式，并列式解答。 【变式训练1】(⭐️⭐️）直接写出下面各题的计算结果。 910÷70＝     5.2＋1.56＝     1.2÷0.06＝ 568－198＝     ×5.6＝     0.125×32×＝ 【变式训练2】(⭐️⭐️）（22-23六年级上·山东青岛·期末）只列式，不计算。    ________________ 高频考点八 分数的连乘运算的应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·云南玉溪·期末）据科学研究表明，成人的血液约占体重的，血液里的水约占血液的。晶晶妈妈的体重是52千克，妈妈血液里的水大约有多少千克？ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·江苏盐城·期末）兔妈妈准备给孩子们到书店购买一套《数学童话故事）共16本。兔妈妈让孩子们先分别到三家书店看一下，到哪一家买比较划算？ 小灰兔说：“甲书店，每本《数学童话故事》要6元，现在搞促销可以按原价的出售。” “我是到乙书店，发现现在买10本免费送3本，不满10本的不赠送。每本单价也是6元。”小黑兔在一边说。 小白兔迫不及待地说：“我是到丙书店，促销的方式是买3本可赠送一本，每本《数学童话故事》的单价也是6元。” 请你根据信息算一算，兔妈妈到哪家书店买比较划算？ 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）养鱼密度不能太高，否则由于高密度的饲养会让水中溶解氧不足，鱼缸里的鱼儿就容易出问题。水族界有个比较公认的算法，那就是一升水大约能养1厘米长的一条鱼，比如10升水就大约能养10厘米长的一条鱼或者养1厘米长的10条鱼。小红妈妈买了一个长米、宽米、高米的鱼缸，最多能养多少条18厘米长的锦鲤？ 高频考点九 连续求一个数的几分之几是多少的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·贵州贵阳·期末）一个球从高处落下，每次接触地面后弹起的高度是前一次下落高度的，如果这个球从3米的高度落下，第三次弹起的高度是( )米。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏扬州·期末）小学生每天的睡眠时间应不少于一天的，每天体育锻炼的时间应不少于睡眠时间的。明明今天体育锻炼了70分钟，( )最低体育锻炼时间要求（填“达到”或“没有达到”）。请计算说明：( )。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·内蒙古呼和浩特·期末）2025年4月23日是第30个世界读书日，我市开展了丰富多彩的读书主题活动。这一天新华书店新购进900册畅销图书，上午卖出了总数的，下午卖出的是上午的。 (1)下午卖出多少本图书？ (2)这一天卖出的图书占新购进图书的几分之几？ 高频考点十 因数和积的大小关系（分数乘法) 【典例精讲】(⭐️⭐️）（25-26六年级上·河南南阳·期末）甲数的等于乙数的（甲、乙均不为0），则（    ）。 A．甲＞乙 B．乙＞甲 C．甲＝乙 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·湖北随州·期末）若甲数乙数（甲、乙均不为0），则甲数＞乙数。( )（判断对错） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·重庆南川·期末）如果（，，均大于0），那么，，这三个数中（    ）。 A． B． C． D． 高频考点十一 倒数的认识 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·江苏连云港·期末）下面四个说法正确的有（    ）个。 （1）0既不是正数也不是负数。 （2）两个面积相等的梯形一定能拼成一个平行四边形。 （3）真分数的倒数都大于1。 （4）在一个数的末尾添上0或者去掉0，这个数的大小不变。 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏无锡·期末）如图为一个正方体纸盒展开图，要使它折叠成正方体后，相对的面上的两个数互为倒数，则★是（    ）。 A．2 B． C． D．1 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·广东东莞·期末）下面四幅图中的和分别表示不同的数，可以判断出（    ）中的和互为倒数。 A．线段的总长度是1 B．长方形的周长是1 C．平行四边形的面积是1 D．三角形的面积是1 高频考点十二 与倒数有关的综合计算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·甘肃庆阳·期末）0.125的倒数是( )。( )没有倒数。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江西萍乡·期中）如果两个大于0的数互为倒数，那么这两个数的和一定大于它们的积。( )（判断对错） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·甘肃定西·期末）甲数的与乙数的相等（甲、乙均不为0），则甲数大于乙数。( )（判断对错） 高频考点十三 自然数与倒数的和或差的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·四川资阳·期末）一个自然数与它的倒数的和是，这个自然数是( )。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）两个自然数的倒数和是，这两个数是（    ）。 A．2和4 B．5和6 C．2和3 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）如果两个自然数的倒数和是，那么这两个自然数是（    ）。 A．4和9 B．3和8 C．2和9 D．1和10 1．（25-26六年级上·山西大同·期末）启航小学组建了书法社团、剪纸社团和泥塑社团，三个社团成员人数之间的关系如图所示。根据图中信息，同学们写出了4组数量关系，其中正确的是（    ）。 ①书法社团人数剪纸社团人数      ②书法社团人数泥塑社团人数 ③书法社团人数泥塑社团人数   ④剪纸社团人数泥塑社团人数 A．①② B．③④ C．①③④ D．②③④ 2．（25-26六年级上·江苏苏州·期末）下图中，涂色部分表示米的是（    ）。 A． B． C． D． 3．（25-26六年级上·江苏泰州·期末）下图是一个正方体的展开图，正方体的每个面上都有一个数，且相对的两个面上的数互为倒数。那么☆×▲的结果是（    ）。 A． B． C． 4．（25-26六年级上·江苏盐城·期末）立方米＝（    ）立方分米    40分＝时 5．（25-26六年级上·山西临汾·期末）一条路长2千米，已经修了，还剩______千米；如果再修千米，还剩______千米。 6．（25-26六年级上·广西桂林·期末）9所学校邀请举行篮球比赛，每两个学校都要比赛一场，一共要比赛( )场。 7．（25-26六年级上·山西太原·期末）若和互为倒数，则2025＋2mn＝( )；若没有倒数，则2025＋2n＝( )。 8．（25-26六年级上·江苏泰州·期末）找规律，填一填。 (1)0.5，，0.75，( )，，( )。 (2)如下图所示，第四次截去还剩下( )，第( )次截去还剩下。 第一次截去还剩下 第二次截去还剩下 第三次截去还剩下 …… …… 9．（25-26六年级上·四川南充·期末）两堆各1吨重的煤，甲堆用去它的，乙堆用去吨，则两堆煤剩下的质量一样重( )。（判断对错） 10．（25-26六年级上·天津河东·期末）一个假分数的倒数一定比这个假分数小。( )（判断对错） 11．（25-26六年级上·山西太原·期末）（1）先观察，再通过计算比较大小。                   （2）根据上面算式中蕴含的规律再写一道这样的算式：_____。 （3）根据上面的规律计算：－＋－＋－。 12．简便计算。                       13．（25-26六年级上·山西太原·期末）太原地铁二号线自运营以来，长风街站、大南门站、府西街站客运量稳居前三位，表明这些车站长期是客流热点。历史数据显示，开通百日时长风街站客运量达96万人次，大南门站的客运量是长风街站的，府西街站的客运量是大南门站的，府西街站的客运量是多少万人次？ 14．（25-26六年级上·山西太原·期末）小蒙的卧室添置了一个四层书架和鱼缸。 (1)如图，书架外包装标明“书架尺寸：60厘米×30厘米×150厘米”。做这个书架，至少需要木板多少平方米？（木板材质相同，厚度忽略不计） (2)鱼缸的型号是长×宽×高120厘米×50厘米×40厘米，如果水面的高度是鱼缸高度的，那么需要装水多少升？（鱼缸玻璃的厚度忽略不计） (3)为了提升水质生态，小蒙购买了水质调节剂、用法用量为水100升用调节剂10毫升，请问需要向水中倒入调节剂多少毫升？（用上题中的水量计算） 15．（25-26六年级上·江苏宿迁·期末）李阿姨的餐馆因诚信经营生意兴隆，又扩大了门面，为此花1600元添置了4张桌子和16把椅子。椅子的单价是桌子的，桌子和椅子的单价各是多少元？ 16．（25-26六年级上·江苏盐城·期末）春节将至，李婶打算给长方体形状的阳台花架做一圈装饰围布（不做底面和顶面），花架长米，宽米，高米，做这圈围布至少需要多少平方米的布料？（忽略接头处的损耗） 17．（24-25六年级上·贵州贵阳·期末）学校六年级开展研学活动，去“坝陵河大桥”研学的有45人，去“红飘带”研学的是去“坝陵河大桥”的，去“天河潭”研学的是去“红飘带”研学的。提一个连乘的问题并解答。 18．（25-26六年级上·江苏扬州·期末）体育李老师准备购买60个篮球。同款篮球在甲、乙、丙三家网店的单价均是54元/个，但每家优惠方案不同。请你算一算：李老师到哪家网店购买最便宜？一共需要多少元？ 甲网店：一律降价 乙网店：买四送一 丙网店：每满100元减20元 19．（24-25六年级上·浙江温州·期末）一只狗被栓在一间小房子的墙角上（如图），这间小房子的底面是一个边长为5米的正方形，栓小狗的绳长16米。小狗从点A出发，将绳子拉紧顺时针跑，最多可跑多少米？ 画一画：画出小狗的运动轨迹。 算一算： 20．（24-25六年级上·河南信阳·期末）数学课上，老师带领大家“回头看”乘法计算的道理。文文所在的学习小组经过讨论交流，写出了下面这样一组算式，发现了整数乘法和小数乘法计算道理之间的联系。 （1）依据这个学习小组表达的整数和小数乘法计算道理，请试着以为例，写一写分数乘法的计算道理。 （2）观察上面几组算式，想一想整数乘法、小数乘法和分数乘法的计算道理之间有什么相同之处？写一写你的想法。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏教版数学五年级下册期末真题汇编培优讲练 第七单元 分数乘法『期末复习精编讲义』（提高版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+13个考点讲练+真题演练 共59题） 同学你好，该份讲义用于苏教版五年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 2 知识梳理 温故知新 3 知识点一 分数与整数相乘 3 知识点二 分数与分数相乘 3 知识点三 分数与小数相乘 3 知识点四 积与因数的大小关系 3 知识点五 分数混合运算 4 知识点六 分数简便计算 4 知识点七 分数乘法解决问题 4 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 分数与整数相乘 5 高频考点二 求一个数的几分之几的问题 7 高频考点三 分数乘分数的计算 8 高频考点四 分数乘分数的应用 10 高频考点五 分数乘小数的计算 12 高频考点六 分数乘小数的应用 14 高频考点七 分数的连乘运算的计算 15 高频考点八 分数的连乘运算的应用 17 高频考点九 连续求一个数的几分之几是多少的问题 19 高频考点十 因数和积的大小关系（分数乘法) 21 高频考点十一 倒数的认识 22 高频考点十二 与倒数有关的综合计算 24 高频考点十三 自然数与倒数的和或差的问题 25 优选真题 实战演练 27 知识点一 分数与整数相乘 1. 分数与整数相乘表示的意义 （1）分数乘整数表示求几个相同加数的和的简便运算或者求一个分数的几倍是多少。 （2）整数乘分数表示求一个整数的几分之几是多少。 注意：分数乘整数和整数乘分数所表示的意义在叙述方面略有区别，但二者并无本质不同。 2. 分数与整数相乘的计算法则 分数与整数相乘，分母不变，分子乘整数作分子，即：。 注意：能约分的先约分。 知识点二 分数与分数相乘 1.分数乘分数表示的意义 分数乘分数表示求一个数的几分之几是多少。 2.分数乘分数的计算法则 分数乘分数，把分母乘分母的积作为新的分母，分子乘分子的积作为新的分子，即：。 注意：能约分的先约分。 知识点三 分数与小数相乘 1. 分数乘小数表示的意义:表示求一个小数的几分之几是多少。 2.分数乘小数的计算法则 （1）先把小数统一成分数，再按照分数乘分数的计算法则计算； （2）如果所乘分数可以化为有限小数，也可以把分数统一成小数再计算； （3）如果小数和分母能直接约分，可以先约分再计算比较简便。 注意：能约分的先约分。 知识点四 积与因数的大小关系 1. 一个不为0的数乘大于1的数，积比原来的数（大）； 2. 一个不为0的数乘小于1的数，积比原来的数（小）； 3. 一个不为0的数乘等于1的数，积等于原来的数； 4. 用字母表示积与因数的关系： 在a×b=c中，若b>1，则c>a；若b=1，则c=a；若b<1，则c<a。 补充：积的变化规律和积不变的规律 1. 一个因数乘（或除以）一个数（不为0），积也随着乘（或除以）这个数。 2. 当一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数除以（或乘）同一个数时，积不变。 知识点五 分数混合运算 1. 分数的连乘运算顺序与整数连乘运算顺序相同，同级运算，（从左往右）依次计算。 2. 没有括号的，先算乘法，再算（加减法）；有括号的，先算括号里面的，再算括号外面的。 注意：能约分的先约分。 知识点六 分数简便计算 整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。 1. 乘法交换律:两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，用字母表示为a×b=b×a。 2. 乘法结合律:三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)。 3. 乘法分配律:两个数的和或差与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加或相减，这叫做乘法分配律，用字母表示： （1）乘法分配律：（a×（b+c）=a×b+a×c）。 （2）乘法分配律的逆运算：（a×b+a×c=a×（b+c））。 4. 运用乘法运算律进行简便计算的方法 一看，观察算式的特点； 二想，想一想运用哪种运算律能使计算简便； 三算，按运算律计算出结果。 5. 注意。 进行分数乘法混合运算时，不能被题中的数诱导，盲目地“简算”，要严格按照乘法运算律进行简算。 知识点七 分数乘法解决问题 1. 寻找单位“1” （1）（“占”、“是”、“比”）的后面。 （2）在分率句中，“分率”的前面。 2. 写等量关系式 （1）“的”相当于“×”、“占”、“是”、“比”相当于“=”； （2）分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量； （3）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量×（1±分率）=分率对应量。（已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的几分之几是多少） 3. 画线段图 （1）两个量的关系：画两条线段图； （2）部分和整体的关系：画一条线段图。 4. 求一个数的几分之几是多少的解题方法 求一个数的几分之几是多少，（单位“1”的量）×对应的分率=对应分量 5. 连续求一个数的几分之几是多少的解题方法 单位“1”的量×分数＝对应量（比较量）。 6. 已知一个数量比另一个数量多（或少）几分之几，求这个数量的解题方法 方法一：单位“1”的量±单位“1”的量×另一个数量比单位“1”多(或少)的几分之几＝另一个数量； 方法二：单位“1”的量×（1±另一个数量比单位“1”多(或少)的几分之几）＝另一个数量。 高频考点一 分数与整数相乘 【典例精讲】(⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏宿迁·期末）下面算式中，结果大于1的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】分别计算出四个乘法算式的结果，再与1比较大小，找出结果大于1的算式即可。 分子比分母小的分数叫做真分数，真分数＜1；分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数≥1。 【规范解答】A．＝，结果小于1，不符合题意； B．，结果大于1，符合题意； C．＝1，结果等于1，不符合题意； D．，结果小于1，不符合题意。 【变式训练1】(⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏宿迁·期末） ①升（    ）毫升        ②立方米＝（    ）升 ③4小时45分时            ④40分时 【答案】①200；②375 ③；④ 【思路引导】根据进率：1升＝1000毫升，1立方米＝1000升，1小时＝60分；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【规范解答】①×1000＝200（毫升），所以升200毫升； ②×1000＝375（升），所以立方米＝375升； ③45÷60＝（时），4＋＝（时），所以4小时45分＝时； ④40÷60＝（时），所以40分＝时。 【变式训练2】(⭐️⭐️）（25-26六年级上·河南平顶山·期末）科学创客小组设计了甲、乙两个机器人，将它们放在相距8米的直线跑道两端，并遥控它们同时出发，相向而行。10秒后，甲走了全程的，乙走了全程的。这时两个机器人相距多少米？ 【答案】米 【思路引导】把全程看作单位“1”，10秒后，甲走了全程的，乙走了全程的，单位“1”已知，用全程乘、，分别求出甲、乙走的路程；然后用全程减去甲、乙走的路程，就是此时甲、乙相距的距离。 【规范解答】8×＝3（米） 8×＝（米） 8－3－ ＝5－ ＝（米） 答：这时两个机器人相距米。 高频考点二 求一个数的几分之几的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·山西太原·期末）李奶奶家有一块面积为1公顷的长方形空地（如下图），计划种蔬菜的面积是公顷，其中的用来种油菜，计划种油菜的面积是多少公顷？在图中表示出思考的过程，再列式解答。 【答案】见详解；公顷 【思路引导】先把1公顷的长方形空地面积看作单位“1”，把它平均分成3份，取其中的2份画斜线，用分数表示为公顷； 然后把斜线部分的面积看作单位“1”，平均分成5份，网格部分占其中的4份，用分数表示为； 那么网格部分占整个长方形面积的公顷的，列式为，根据分数乘法的计算法则算出结果。 【规范解答】如图： （公顷） 答：计划种油菜的面积是公顷。 【变式训练1】(⭐️⭐️）（25-26六年级上·山西大同·期末）开学前夕琳琳带着钱去文具店买文具，她买了3支同样的水笔和6个同样的笔记本。水笔的单价是笔记本单价的，如果琳琳的钱都用来买水笔，能买( )支，如果琳琳的钱都用来买笔记本，可以买( )本。 【答案】 21 7 【思路引导】假设笔记本单价3元，把笔记本单价看作单位“1”，即可求出水笔的单价，水笔单价×数量＋笔记本单价×数量＝总钱数，总钱数÷水笔单价＝都买水笔能买的数量；总钱数÷笔记本单价＝都买笔记本可以买的数量。 【规范解答】假设笔记本单价3元。 3×＝1（元） （1×3＋3×6）÷1 ＝（3＋18）÷1 ＝21÷1 ＝21（支） （1×3＋3×6）÷3 ＝（3＋18）÷3 ＝21÷3 ＝7（本） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏南京·期末）充足的睡眠有利于儿童生长发育，小学生每天的睡眠时间应不少于一天时间的，每天体育锻炼时间应不少于标准睡眠时间的。明明今天体育锻炼了75分钟，他每天早上7点起床，要保证充足睡眠时间，明明最迟应在( )时之前睡觉。他今天有没有达到最低体育锻炼时间( )（填“有”或“没有”）。 【答案】 21 有 【思路引导】把一天24小时看作单位“1”，用24小时乘，即可计算出小学生每天标准的睡眠时间，再推算出明明最迟应在几时之前睡觉。 用每天标准的睡眠时间乘，即可计算出每天体育锻炼的最少时间，再与75分钟比较即可。 【规范解答】2410（小时） 10－7＝3（小时） 24时－3小时＝21时 101（小时） 1小时＝60分 75＞60 明明最迟应在21时之前睡觉。他今天有达到最低体育锻炼时间。 高频考点三 分数乘分数的计算 【典例精讲】(⭐️⭐️）（24-25六年级上·贵州贵阳·期末）。 【答案】；； 【思路引导】乘积为1的两个数互为倒数，要求括号里的数，直接计算对应已知分数的倒数即可，求一个分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母调换位置。 【规范解答】的倒数是，的倒数是，的倒数是。 因此。 【变式训练1】(⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏扬州·期末）数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观”，我们可以借助图形研究算式，算式（    ）可以表示右图的意义。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】将整个看成单位“1”，平均分成6份，取其中的5份，就是；再将这5份看成单位“1”，平均分成4份，取其中的3份，就是的，即。 【规范解答】A．算式的意义是：将整个看成单位“1”，平均分成6份，取其中的5份，就是；再将这5份看成单位“1”，平均分成4份，取其中的3份，就是的，符合题意。 B．的意义是：将整个看成单位“1”，平均分成4份，取其中的1份，就是；再将这1份看成单位“1”，平均分成6份，取其中的5份，就是的，不符合题意。 C．的意义是：将整个看成单位“1”，平均分成4份，取其中的3份，就是；再将这3份看成单位“1”，平均分成6份，取其中的1份，就是的，不符合题意。 D．的意义是：将整个看成单位“1”，平均分成24份，取其中的20份，不符合题意。 故答案为：A 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏南京·期末）同学们，本学期我们学了分数乘法，请用相关知识解决以下问题。 (1)表示( )。 (2)请你在下图中继续分一分、画一画，表示的意义。 (3)计算分数乘分数时，通常先确定积的计数单位，再确定计数单位的个数。积的计数单位是( )，有( )个这样的计数单位。 【答案】(1)求的是多少 (2)见详解 (3) 8 【思路引导】（1）分数乘分数表示求一个数的几分之几，据此可知×表示求的是多少； （2）分数的意义：把一个整体平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数，分母是分成的份数，分子表示占其中的几份；先把整个图形平均分成3份，把其中的2份涂成灰色，用分数表示是，再把灰色部分平均分成5份，把其中的4份涂成黑色，用分数表示是，黑色部分表示×的结果； （3）在分数中，分母是几，那么分数单位就是几分之一，分子决定它有几个分数单位；结合分数乘法的计算方法，分子相乘决定了新的分数单位，分母相乘决定了有几个新的分数单位；分数乘分数：分子与分子的乘积作分子；分母与分母的乘积作分母，能约分的要先约分。 【规范解答】（1）×表示求的是多少； （2） （3）×＝＝ 计算分数乘分数时，通常先确定积的计数单位，再确定计数单位的个数。积的计数单位是，有8个这样的计数单位。 高频考点四 分数乘分数的应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·河南平顶山·期末）数学课上，老师带领大家“回头看”乘法计算道理。启思小组写出了这样一组算式，发现了整数乘法和小数乘法计算道理之间的联系。 20×30 0.2×0.3 ＝ ＝ （10×2）×（10×3） （0.1×2）×（0.1×3） ＝ ＝ （10×10）×（2×3） （0.1×0.1）×（2×3） ＝ ＝ 100×6 0.01×6 (1)启思小组会怎样表达分数乘法计算的道理呢？请以为例，写一写。 (2)观察上面几组算式，整数乘法、小数乘法、分数乘法的计算道理之间有什么相同之处？写一写你的想法。 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路引导】（1）将分数拆解分为“分数单位×个数”的形式，可拆为：×5；可拆为：×4，根据乘法交换律和结合律，将计数单位与个数分别相乘得（×）×（5×4），据此解答。 （2）整数、小数、分数乘法的计算道理，都是先把数拆分为“计数单位×个数”的形式，再利用乘法交换律和结合律，分别计算“计数单位的乘积”和“个数的乘积”，最后将两部分结果相乘。 【规范解答】（1）× ＝（×5）×（×4） ＝（×）×（5×4） ＝×20 （2）相同之处：都是拆分为“计数单位×个数”，分别计算计数单位的乘积与个数的乘积，最后将两部分结果相乘。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·江苏盐城·期末）一个街心花园占地公顷，其中草坪占，花圃占地公顷，其余是人行道。人行道的面积是多少公顷？ 【答案】 公顷 【思路引导】要计算人行道的面积，需用街心花园的总面积，减去草坪的面积（将街心花园的总面积看作单位“1”，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”，用总面积乘草坪所占的分率可得到草坪面积），再减去花圃的面积，进而得到人行道的面积。 【规范解答】草坪的面积：（公顷） 人行道的面积： （公顷） 答：人行道的面积是公顷。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·山东东营·期末）数学课上，老师带领大家“回头看”乘法计算的道理。智慧小组写出了这样一组算式，发现了整数乘法和小数乘法计算道理之间的联系。 （1）智慧小组会怎么表达分数乘法计算的道理呢？请以为例，写一写。 （2）观察上面几组算式，想一想整数乘法、小数乘法、分数乘法的计算道理之间有什么相同之处？请写出你的想法。 【答案】见详解 【思路引导】（1）有2个，有3个，将中的两个乘数分别写成（计数单位×计数单位的个数）的形式，根据乘法交换律和乘法结合律，分别将计数单位和计数单位的个数相乘，计算出新的计数单位和新计数单位的个数，再将两部分相乘即可。 （2）观察整数、小数和分数乘法的计算过程，不管是整数乘法、小数乘法还是分数乘法，都是先把乘数拆分为“计数单位×计数单位的个数”的形式，再利用乘法交换律和结合律，分别计算“计数单位的乘积”和“计数单位的个数的乘积”，最后将两部分结果相乘。 【规范解答】（1） （2）不管是整数乘法、小数乘法还是分数乘法，都是先把乘数拆分为“计数单位×计数单位的个数”的形式，分别计算“计数单位的乘积”和“计数单位的个数的乘积”，最后将两部分结果相乘。 高频考点五 分数乘小数的计算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·河北唐山·期中）2.5dm的是( )dm；90kg比80kg多( )；( )L是24L的。 【答案】 1 20 【思路引导】求一个数的几分之几是多少用乘法计算，列式为2.5×，计算即可；求一个数比另一个数多几分之几，用相差量除以另一个数，先计算相差量：90－80=10（kg），再用10÷80，计算即可；求多少L是24L的，即求24L的是多少，用乘法计算，列式为24×，计算即可。 【规范解答】2.5×＝1（dm） 即2.5dm的是1dm； 90－80＝10（kg） 10÷80＝ 即90kg比80kg多； 24×＝20（L） 即20L是24L的。 2.5dm的是1dm；90kg比80kg多；20L是24L的。 【变式训练1】(⭐️⭐️）（24-25五年级下·陕西渭南·期末）下面两个数互为倒数的是（    ）。 A．和 B．和1.5 C．0和1 D．6和0.6 【答案】A 【思路引导】根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数。逐项计算两个数的乘积，判断是否等于1。 【规范解答】A．，此选项正确。 B． ，此选项错误。 C． ，此选项错误。 D．，此选项错误。 故答案为：A 【变式训练2】(⭐️⭐️）（24-25六年级上·江苏·课后作业）的是( )；1.4的是( )。 【答案】 /0.5 0.8/ 【思路引导】根据分数乘法的意义：求一个数的几分之几是多少，用乘法，求的是多少，用×列式计算；求1.4的是多少，用1.4×列式计算即可。 【规范解答】×＝ 1.4×＝0.8 所以的是，1.4的是0.8。 高频考点六 分数乘小数的应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·重庆巴南·期末）如图，停车场收费站的起落杆经过一辆车即为完成一次升降运动，某停车场的起落杆长米。若该收费站通过1辆车，则处于起落杆末端的点移动了多少米？（取3.14） 【答案】10.99米 【思路引导】观察可知，可把起落杆看作半径，一次升降A点移动的距离即为2个圆周长的，根据圆的周长公式，代入数据可计算圆的周长，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用圆的周长乘再乘2，即可得解。 【规范解答】 （米） 答：处于起落杆末端的点移动了10.99米。 【变式训练1】(⭐️⭐️）（24-25六年级上·河北石家庄·期中）轩轩班级的教室后面挂着一个钟表。已知钟表的分针长12厘米，轩轩每节课时长40分钟，那么一节课的时间，钟表上分针的针尖走了多少厘米？ 【答案】50.24厘米 【思路引导】分针走一圈是60分，一节课的时间是40分，则一节课的时间分针尖端走过的路程是半径为12厘米圆的周长的（）；根据圆的周长＝2πr，代入数值计算出圆的周长，再乘所得结果即为一节课的时间，钟表上分针的针尖走了多少厘米。 【规范解答】 （厘米） 答：一节课的时间，钟表上分针的针尖走了50.24厘米。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）2022年北京冬奥会在北京和张家口举办。京张高铁于2016年上半年开工，2020年底建成，全长约174千米。原来乘火车从北京到张家口最快用3时12分，最慢用5时33分。建成高铁后，乘高铁所用的时间仅是原来最快时间的。高铁通车后从北京到张家口乘高铁大约需要多长时间？ 【答案】60分 【思路引导】低级单位换高级单位除以进率，根据1时＝60分，用12÷60再加上3时即可化为单名数，然后根据求一个数的几分之几是多少，用乘法解答即可。 【规范解答】3时12分＝3.2时 3.2×＝1（时）＝60（分） 答：高铁通车后从北京到张家口乘高铁大约需要60分钟。 【考点剖析】本题考查求一个数的几分之几是多少，明确用乘法是解题的关键。 高频考点七 分数的连乘运算的计算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级上·山东青岛·期末）看图写出等量关系式，并列式解答。 【答案】见详解 【思路引导】由图知：以水稻吨为单位“1”，小麦的重量是水稻的，玉米的重量相当于小麦的，求玉米有多少吨。 先求得吨的是吨，再用，即可求得玉米的重量。 由此可知等量关系式为：水稻重量×＝玉米的重量。 【规范解答】等量关系式：水稻重量×＝玉米的重量 ＝ ＝（吨） 玉米重吨。 【考点剖析】 【变式训练1】(⭐️⭐️）直接写出下面各题的计算结果。 910÷70＝     5.2＋1.56＝     1.2÷0.06＝ 568－198＝     ×5.6＝     0.125×32×＝ 【答案】13；6.76；20； 370；3.2；1 【变式训练2】(⭐️⭐️）（22-23六年级上·山东青岛·期末）只列式，不计算。    ________________ 【答案】36× 【思路引导】由图可知，排球有36个，足球的个数是排球的，篮球的个数是足球的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用36乘求出足球的个数，再乘即可求出篮球的个数；据此解答。 【规范解答】36×× ＝24× ＝18（个） 高频考点八 分数的连乘运算的应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·云南玉溪·期末）据科学研究表明，成人的血液约占体重的，血液里的水约占血液的。晶晶妈妈的体重是52千克，妈妈血液里的水大约有多少千克？ 【答案】千克 【思路引导】把人的体重看作单位“1”，成人的血液约占体重的，单位“1”已知，用妈妈的体重乘，求出妈妈血液的重量； 再把晶晶妈妈血液的重量看作单位“1”，血液里的水约占血液的，单位“1”已知，用妈妈血液的重量乘，求出妈妈血液里水的重量。 【规范解答】52×× ＝4× ＝（千克） 答：妈妈血液里的水大约有千克。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·江苏盐城·期末）兔妈妈准备给孩子们到书店购买一套《数学童话故事）共16本。兔妈妈让孩子们先分别到三家书店看一下，到哪一家买比较划算？ 小灰兔说：“甲书店，每本《数学童话故事》要6元，现在搞促销可以按原价的出售。” “我是到乙书店，发现现在买10本免费送3本，不满10本的不赠送。每本单价也是6元。”小黑兔在一边说。 小白兔迫不及待地说：“我是到丙书店，促销的方式是买3本可赠送一本，每本《数学童话故事》的单价也是6元。” 请你根据信息算一算，兔妈妈到哪家书店买比较划算？ 【答案】丙书店 【思路引导】根据题意，先计算出买一套《数学童话故事）共16本在甲、乙、丙三个书店分别需要多少钱，再比较大小即可。（1）根据求一个数的几分之几，用乘法计算，求出一本书的单价，再乘书的数量，求出在甲书店买需要用的钱数；（2）乙书店现在买10本免费送3本，所以买了10本之后，再买3本，即在乙书店买10＋3＝13本，就可以到手16本书。所以用13乘单价，就可以求出在乙书店买需要用的钱数；（3）丙书店，促销的方式是买3本可赠送一本，即买3本到手4本，所以要想到手16本，只需要买（16÷4） ×3＝12（本），用12乘单价，就可以求出在丙书店买需要用的钱数。 【规范解答】根据分析求出在甲、乙、丙三个书店分别需要多少钱： 甲书店：6××16 ＝×16 ＝4.8×16 ＝76.8（元） 乙书店：（10＋3）×6 ＝13×6 ＝78（元） 丙书店：（16÷4） ×3×6 ＝4×3×6 12×6 ＝72（元） 78＞76.8＞72 答：兔妈妈到丙书店买比较划算。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）养鱼密度不能太高，否则由于高密度的饲养会让水中溶解氧不足，鱼缸里的鱼儿就容易出问题。水族界有个比较公认的算法，那就是一升水大约能养1厘米长的一条鱼，比如10升水就大约能养10厘米长的一条鱼或者养1厘米长的10条鱼。小红妈妈买了一个长米、宽米、高米的鱼缸，最多能养多少条18厘米长的锦鲤？ 【答案】6条 【思路引导】根据长方体体积＝长×宽×高，求出鱼缸容积，根据1立方米＝1000升，统一单位。因为10升水就大约能养10厘米长的一条鱼，鱼缸容积÷10＝能养的10厘米长的鱼的条数，10厘米长的鱼的条数×10＝能养的鱼的总长度，能养的鱼的总长度÷18＝能养的18厘米长的鱼的条数，结果用去尾法保留近似数。 【规范解答】 （立方米） ＝120（升） 120÷10＝12（条） 12×10＝120（厘米） 120÷18≈6（条） 答：最多能养6条18厘米长的锦鲤。 【考点剖析】关键是掌握并灵活运用长方体体积公式，掌握分数乘法的计算方法。 高频考点九 连续求一个数的几分之几是多少的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·贵州贵阳·期末）一个球从高处落下，每次接触地面后弹起的高度是前一次下落高度的，如果这个球从3米的高度落下，第三次弹起的高度是( )米。 【答案】 【思路引导】第一次弹起：从3米落下，弹起高度是3米的。 第二次下落高度等于第一次弹起高度。第二次弹起：弹起高度是第一次弹起高度的，也就是3米的×。 第三次下落高度等于第二次弹起高度。第三次弹起：弹起高度是第二次弹起高度的，也就是3米的××。 【规范解答】3××× ＝3×（××） ＝3× ＝（米） 一个球从高处落下，每次接触地面后弹起的高度是前一次下落高度的，如果这个球从3米的高度落下，第三次弹起的高度是米。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏扬州·期末）小学生每天的睡眠时间应不少于一天的，每天体育锻炼的时间应不少于睡眠时间的。明明今天体育锻炼了70分钟，( )最低体育锻炼时间要求（填“达到”或“没有达到”）。请计算说明：( )。 【答案】 没有达到 24××＝2（小时），70分钟＜2小时 【思路引导】已知小学生每天的睡眠时间应不少于一天的，把一天24小时看作单位“1”，单位“1”已知，用一天的时间乘，求出小学生每天最低的睡眠时间； 已知小学生每天体育锻炼的时间应不少于睡眠时间的，把小学生每天最低的睡眠时间看作单位“1”，单位“1”已知，用小学生每天最低的睡眠时间乘，求出小学生每天最低的体育锻炼时间，再与70分钟进行比较，得出明明今天的体育锻炼时间是否达到最低体育锻炼时间要求。 【规范解答】24×× ＝10× ＝2（小时） 2小时＝120分钟 70分钟＜120分钟 明明今天体育锻炼了70分钟，（没有达到）最低体育锻炼时间要求。请计算说明：（24××＝2（小时），70分钟＜2小时）。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·内蒙古呼和浩特·期末）2025年4月23日是第30个世界读书日，我市开展了丰富多彩的读书主题活动。这一天新华书店新购进900册畅销图书，上午卖出了总数的，下午卖出的是上午的。 (1)下午卖出多少本图书？ (2)这一天卖出的图书占新购进图书的几分之几？ 【答案】(1)240本 (2) 【思路引导】（1）求一个数的几分之几是多少用乘法计算，即一个数（单位“1”的量）×几分之几＝部分量。据此可知：上午卖出的册数＝总册数（900册）×，下午卖出的册数＝上午卖出的册数×，也就是下午卖出的册数＝总册数××，所以求下午卖出的册数列式为900××。 （2）根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，用这一天卖出的图书（上午卖出＋下午卖出）÷新购进的图书（900册）即可解答。 【规范解答】（1）900×× ＝300× ＝60×4 ＝240（本） 答：下午卖出240本图书。 （2）上午卖出：900×＝300（本） 一天卖出：300＋240＝540（本） 540÷900＝＝＝ 答：这一天卖出的图书占新购进图书的。 高频考点十 因数和积的大小关系（分数乘法) 【典例精讲】(⭐️⭐️）（25-26六年级上·河南南阳·期末）甲数的等于乙数的（甲、乙均不为0），则（    ）。 A．甲＞乙 B．乙＞甲 C．甲＝乙 【答案】A 【思路引导】甲数的等于乙数的（甲、乙均不为0），求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，所以“甲数×＝乙数×”（甲、乙均不为0）。乘积相等的算式，一个乘数越大，对应的另一个乘数越小。据此解答。 【规范解答】由甲数的等于乙数的（甲、乙均不为0）可得甲数×＝乙数×（甲、乙均不为0）。 ＝2÷5＝0.4 ＝3÷4＝0.75 0.4＜0.75，即＜，所以甲数＞乙数。 故答案为：A 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·湖北随州·期末）若甲数乙数（甲、乙均不为0），则甲数＞乙数。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】由题意知，甲数乙数（甲、乙均不为0），要比较甲乙两数的大小，可比较和的大小，根据“积一定的情况下，一个因数小则另一个因数就大”来判断即可。 【规范解答】＝＝；＝＝ ＜即＜ 所以甲＞乙 故题干中说法正确。 故答案为：√ 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·重庆南川·期末）如果（，，均大于0），那么，，这三个数中（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】乘积相同的情况下，一个乘数越大，另一个乘数越小，在这三个算式中，比较出、、的大小，再比较出a、b、c的大小，选出答案。 【规范解答】根据分析： 因为＜＜， 所以a＞b＞c； 故答案为：A 高频考点十一 倒数的认识 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·江苏连云港·期末）下面四个说法正确的有（    ）个。 （1）0既不是正数也不是负数。 （2）两个面积相等的梯形一定能拼成一个平行四边形。 （3）真分数的倒数都大于1。 （4）在一个数的末尾添上0或者去掉0，这个数的大小不变。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】（1）0是正数、负数的分界点，比0大的是正数，比0小的是负数，0既不是正数也不是负数； （2）两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形； （3）分数的分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1；分数的倒数是将分数的分子、分母交换位置； （4）小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变；整数的末尾添上0或者去掉0，整数的大小改变。 【规范解答】（1）0既不是正数也不是负数，原说法正确； （2）两个面积相等的梯形不一定完全一样，不一定能拼成一个平行四边形，原说法错误； （3）真分数的分子＜分母；倒数是交换分子和分母的位置，此时分数的分子＞分母，大于1，原说法正确； （4）在一个小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变，原说法错误。 说法正确的有（1）（3）共2个。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏无锡·期末）如图为一个正方体纸盒展开图，要使它折叠成正方体后，相对的面上的两个数互为倒数，则★是（    ）。 A．2 B． C． D．1 【答案】B 【思路引导】 这个正方体展开图属于“2－3－1”结构，折叠成正方体，★面对应1.5面，1面对应1面，面对应面；根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数，据此解答。 【规范解答】 根据分析可知，折叠成正方体，★面对应1.5面，1面对应1面，面对应面。 1.5＝ 的倒数是，所以★是。 一个正方体纸盒展开图，要使它折成正方体后，相对的面上的两个数互为倒数，则★是。 故答案为：B 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·广东东莞·期末）下面四幅图中的和分别表示不同的数，可以判断出（    ）中的和互为倒数。 A．线段的总长度是1 B．长方形的周长是1 C．平行四边形的面积是1 D．三角形的面积是1 【答案】C 【思路引导】乘积为的两个数互为倒数。根据倒数的定义及题意可知，。据此逐一分析对比各选项即可。 【规范解答】A．根据线段图和文字说明可得，与题意不符； B．根据图形可知，长方形的长为，宽为，结合长方形的周长公式，可得，即，与题意不符； C．根据图形可知，平行四边形的底为，高为，结合平行四边形的面积公式，可得，与题意相符； D．根据图形可知，三角形的底为，高为，结合三角形的面积公式，可得，即，与题意不符。 故答案为：C 【考点剖析】本题考查对倒数概念以及不同图形相关公式的理解和运用。题目围绕倒数的定义展开，通过不同图形所给出的条件，构建关于、的关系表达式，以此来判断、是否互为倒数。 高频考点十二 与倒数有关的综合计算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·甘肃庆阳·期末）0.125的倒数是( )。( )没有倒数。 【答案】 8 0 【思路引导】一个数与它的倒数之积是1，已知一个数，运用1除以这个数即可计算得出它的倒数；0没有倒数，因为0不能作为除数或者分母，据此可得出答案。 【规范解答】1÷0.125＝8，即0.125的倒数是8。0没有倒数。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江西萍乡·期中）如果两个大于0的数互为倒数，那么这两个数的和一定大于它们的积。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据倒数的认识可知互为倒数的两个数乘积为1，且两个数中必有一个数大于或等于1，再根据加法的计算即可判断。 【规范解答】互为倒数的两个数必有一个大于或等于1，再加上另一个小于或等于1的数，它们的和一定比1大；互为倒数的两个数乘积为1。 如：的倒数是2，，，，这两个数的和一定大于积。 所以如果两个大于0的数互为倒数，那么这两个数的和一定大于它们的积。说法正确。 故答案为：√ 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·甘肃定西·期末）甲数的与乙数的相等（甲、乙均不为0），则甲数大于乙数。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】由“甲数的与乙数的相等（甲、乙均不为0）”可得：甲数×＝乙数×，假设甲数×＝乙数×＝1，分别表示出甲、乙两数，再比较即可。 【规范解答】由题意可知：甲数×＝乙数×，假设甲数×＝乙数×＝1。 则甲数＝，乙数＝，， ，所以甲数＞乙数。原题说法正确。 故答案为：√ 高频考点十三 自然数与倒数的和或差的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·四川资阳·期末）一个自然数与它的倒数的和是，这个自然数是( )。 【答案】3 【思路引导】自然数是几，它的倒数就是几分之一。化成带分数是，而＝3＋，3和互为倒数，由此可知：这个自然数是3。 【规范解答】通过分析可得： ＝＝3＋，3的倒数是，则这个自然数是3。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（2014五年级·全国·课后作业）两个自然数的倒数和是，这两个数是（    ）。 A．2和4 B．5和6 C．2和3 【答案】C 【思路引导】假设这两个自然数为a和b，则这两个自然数的倒数为和，这两个自然数的倒数和等于（＋），将各选项的数分别带入算式进行计算，即可选出正确答案。 【规范解答】根据分析，将各选项数值带入（＋） A．＋ ＝＋ ＝ 所以A不符合题意； B．＋ ＝＋ ＝ 所以B不符合题意； C．＋ ＝＋ ＝ 所以C符合题意； 故答案为：C 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）如果两个自然数的倒数和是，那么这两个自然数是（    ）。 A．4和9 B．3和8 C．2和9 D．1和10 【答案】A 【思路引导】假设出这两个自然数，表示出它们的倒数之和，找出两个自然数之间的关系，即可求出这两个自然数。 【规范解答】假设这两个自然数分别为m和n，则m的倒数为，n的倒数为。 ＋＝＝，则m＋n＝13，且mn＝36。 当m＝1，n＝12时，mn＝1×12＝12≠36； 当m＝2，n＝11时，mn＝2×11＝22≠36； 当m＝3，n＝10时，mn＝3×10＝30≠36； 当m＝4，n＝9时，mn＝4×9＝36； 当m＝5，n＝8时，mn＝5×8＝40≠36； 当m＝6，n＝7时，mn＝6×7＝42≠36；所以这两个自然数为4和9。 故答案为：A 【考点剖析】本题也可以根据选项用排除法快速找出正确答案。 1．（25-26六年级上·山西大同·期末）启航小学组建了书法社团、剪纸社团和泥塑社团，三个社团成员人数之间的关系如图所示。根据图中信息，同学们写出了4组数量关系，其中正确的是（    ）。 ①书法社团人数剪纸社团人数      ②书法社团人数泥塑社团人数 ③书法社团人数泥塑社团人数   ④剪纸社团人数泥塑社团人数 A．①② B．③④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【思路引导】把书法社团的人数看作单位“1”。根据图示，剪纸社团的人数是书法社团的，泥塑社团的人数是书法社团的（），泥塑社团的人数是剪纸社团的。 【规范解答】①把书法社团的人数看作单位“1”。书法社团人数剪纸社团人数。该数量关系正确。   ②把书法社团的人数看作单位“1”。书法社团人数泥塑社团人数。该数量关系错误。正确的是书法社团人数泥塑社团人数。 ③把书法社团的人数看作单位“1”。书法社团人数泥塑社团人数。该数量关系正确。   ④把剪纸社团的人数看作单位“1”。剪纸社团人数泥塑社团人数。该数量关系正确。   综上，数量关系正确的有①③④。 2．（25-26六年级上·江苏苏州·期末）下图中，涂色部分表示米的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】“求一个数的几分之几是多少，用具体量乘分率”，据此方法，分别计算四个选项中涂色部分的具体数量，再与米比较，确定相等的选项。 【规范解答】 A．，表示求２米的是多少米。（米），与题干不相符。 B．，表示求３米的是多少米。（米），与题干不相符。 C．，表示求米的是多少米。（米），与题干不相符。 D．，表示求米的是多少米，（米），与题干相符。 涂色部分表示米的是。 3．（25-26六年级上·江苏泰州·期末）下图是一个正方体的展开图，正方体的每个面上都有一个数，且相对的两个面上的数互为倒数。那么☆×▲的结果是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【思路引导】在正方体的平面展开图中，通过观察结合相对的面不相邻，可知3与相对，1与☆相对，2与▲相对。再根据乘积为1的两个数互为倒数，求出☆和▲的值，进而计算出☆×▲的结果。 【规范解答】因为1的倒数是1，所以☆＝1； 因为1÷2＝，即2的倒数是，所以▲＝。 ☆×▲＝1×＝ 4．（25-26六年级上·江苏盐城·期末）立方米＝（    ）立方分米    40分＝时 【答案】 750； 【思路引导】根据1立方米＝1000立方分米，1时＝60分，把高级单位化成低级单位乘进率；把低级单位化成高级单位除以进率，并根据分数与除法的关系（被除数÷除数＝），把结果用分数表示，能约分的约成最简分数即可。 【规范解答】立方米＝（×1000）立方分米＝750立方分米 40分＝（40÷60）时＝时＝时 5．（25-26六年级上·山西临汾·期末）一条路长2千米，已经修了，还剩______千米；如果再修千米，还剩______千米。 【答案】 【思路引导】先把这条路总长看作单位“1”，用1减去求出剩下长度占总长的几分之几，再用总长乘剩下的占比求出剩下长度；最后用第一次剩下的长度，减去具体再修的长度，求出最后剩下多少千米。 【规范解答】第一次剩下的长度：2×（1－） ＝2× ＝（千米） 最后剩下的长度：－＝（千米） 6．（25-26六年级上·广西桂林·期末）9所学校邀请举行篮球比赛，每两个学校都要比赛一场，一共要比赛( )场。 【答案】36 【思路引导】每两个学校都要比赛一场的意思是任意两所学校之间只进行1场比赛，不能重复计算，可以用公式进行计算。 【规范解答】 （场） 一共要比赛36场。 7．（25-26六年级上·山西太原·期末）若和互为倒数，则2025＋2mn＝( )；若没有倒数，则2025＋2n＝( )。 【答案】 2027 2025 【思路引导】互为倒数的两个数，乘积是1，即mn＝1。0没有倒数，即n＝0。将mn＝1，代入2025＋2mn计算，将n＝0，代入2025＋2n计算。 【规范解答】将mn＝1，代入2025＋2mn得： 若和互为倒数，则2025＋2mn＝2027。 将n＝0，代入2025＋2n得： 若没有倒数，则2025＋2n＝2025。 8．（25-26六年级上·江苏泰州·期末）找规律，填一填。 (1)0.5，，0.75，( )，，( )。 (2)如下图所示，第四次截去还剩下( )，第( )次截去还剩下。 第一次截去还剩下 第二次截去还剩下 第三次截去还剩下 …… …… 【答案】(1) /0.8 (2) 六 【思路引导】①需要将小数转为分数，观察分子和分母的变化规律，再根据规律填数。 ②观察每次截去后剩下部分的规律，利用乘法运算来确定每次截去后剩下的部分，进而找出与剩余部分对应的截去次数。 【规范解答】（1） ，，：分子依次是1、2、3，分母依次是2、3、4，且分母比对应的分子大1。空缺处应该填和。 因此，0.5，，0.75，，，。 （2）通过题目观察，每次截去后剩下的部分是上一次剩下部分乘，第三次截去后剩下。 那么第四次截去后剩下：。 第五次截去后剩下：。 第六次截去后剩下：。 因此，第四次截去还剩下，第六次截去还剩下。 9．（25-26六年级上·四川南充·期末）两堆各1吨重的煤，甲堆用去它的，乙堆用去吨，则两堆煤剩下的质量一样重( )。（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】甲堆用去它的，即用去甲堆质量的（是分率），用甲堆质量×，求出用掉的量。再用总量甲的总量1吨减去用掉的就是甲堆剩下的量； 乙堆用去吨（是具体量）。用乙堆的总量1吨减去用掉的就是乙堆剩下的量； 然后比较甲乙两堆煤剩下量的多少即可； 【规范解答】甲堆：（吨） 剩下：（吨） 乙堆剩下：（吨） 吨=吨 因此，两堆煤剩下的质量一样重。 故答案为：√ 10．（25-26六年级上·天津河东·期末）一个假分数的倒数一定比这个假分数小。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】假分数是分子大于或等于分母的分数。倒数是通过交换分子和分母的位置得到。当分子等于分母时，倒数等于原分数；当分子大于分母时，倒数小于原分数。因此，倒数不一定比假分数小，原题说法错误。 【规范解答】一个假分数是分子大于或等于分母的分数。例如，假分数 的倒数是 ，即1，等于原分数；假分数 的倒数是 ，。所以，一个假分数的倒数不一定比这个假分数小。原题说法错误。 11．（25-26六年级上·山西太原·期末）（1）先观察，再通过计算比较大小。                   （2）根据上面算式中蕴含的规律再写一道这样的算式：_____。 （3）根据上面的规律计算：－＋－＋－。 【答案】（1）＝；＝；＝；＝ （2）＝＋ （3） 【思路引导】（1）先计算两边算式的结果，再进行比较； （2）通过观察可知上面算式的特点：分数的分母是两个相差2的数的乘积，并且这两个数都是奇数；分子是这两个数相加的和；这样的分数值的大小等于分子是1，分母是这两个数的两个分数之和，据此写出一道算式（答案不唯一）。 （3）根据（1）中发现的规律，把算式中的每个分数看作两个分数的和，再通过去掉括号将一些分数互相抵消，从而使计算简便。 【规范解答】（1）和＋ ＝；＋＝＋＝ 因为＝，所以＝＋ 和＋ ＝；＋＝＋＝ 因为＝，所以＝＋ 和＋ ＝；＋＝＋＝ 因为＝，所以＝＋ 和＋ ＝；＋＝＋＝ 因为＝，所以＝＋ （2）如：＝＋（答案不唯一） （3）－＋－＋－ ＝（1＋）－（＋）＋（＋）－（＋）＋（＋）－（＋） ＝1＋－－＋＋－－＋＋－－ ＝－ ＝ 12．简便计算。                       【答案】30；1； ； 【思路引导】（1）根据乘法分配律进行计算； （2）先算小括号里面的除法，再根据减法的性质进行计算； （3）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的乘法，最后算括号外面的除法； （4）根据加法交换律和结合律以及减法的性质进行计算。 【规范解答】（1） ＝ ＝15×（） ＝15×2 ＝30 （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝ ＝ 13．（25-26六年级上·山西太原·期末）太原地铁二号线自运营以来，长风街站、大南门站、府西街站客运量稳居前三位，表明这些车站长期是客流热点。历史数据显示，开通百日时长风街站客运量达96万人次，大南门站的客运量是长风街站的，府西街站的客运量是大南门站的，府西街站的客运量是多少万人次？ 【答案】70万人次 【思路引导】先把长风街站的客运量看作单位“1”，大南门站的客运量是长风街站的，用乘法求出大南门站的客运量；然后把大南门站的客运量看作单位“1”，府西街站的客运量是大南门站的，再用乘法求出府西街站的客运量。 【规范解答】96×× ＝84× ＝70（万人次） 答：府西街站的客运量是70万人次。 14．（25-26六年级上·山西太原·期末）小蒙的卧室添置了一个四层书架和鱼缸。 (1)如图，书架外包装标明“书架尺寸：60厘米×30厘米×150厘米”。做这个书架，至少需要木板多少平方米？（木板材质相同，厚度忽略不计） (2)鱼缸的型号是长×宽×高120厘米×50厘米×40厘米，如果水面的高度是鱼缸高度的，那么需要装水多少升？（鱼缸玻璃的厚度忽略不计） (3)为了提升水质生态，小蒙购买了水质调节剂、用法用量为水100升用调节剂10毫升，请问需要向水中倒入调节剂多少毫升？（用上题中的水量计算） 【答案】(1)2.7平方米 (2)180升 (3)18毫升 【思路引导】（1）需要的模板是5个长60厘米，宽30厘米的木板以及两个侧面的木板和一个背面的木板。需要的木板面积＝长×宽×5＋宽×高×2＋长×高，再根据1平方米＝10000平方厘米进行单位换算。 （2）把鱼缸的高度看作单位“1”，可以求出水的高度；水的体积＝鱼缸的长×鱼缸的宽×水的高度；再根据1升＝1000毫升进行单位换算。 （3）用装水总量除以100计算出几个100升；再乘10计算需要的调节剂。 【规范解答】（1） （平方厘米） 27000平方厘米＝2.7平方米 答：至少需要木板2.7平方米。 （2）（厘米） （毫升） 180000毫升＝180升 答：需要装水180升。 （3） （毫升） 答：需要向水中倒入调节剂18毫升。 15．（25-26六年级上·江苏宿迁·期末）李阿姨的餐馆因诚信经营生意兴隆，又扩大了门面，为此花1600元添置了4张桌子和16把椅子。椅子的单价是桌子的，桌子和椅子的单价各是多少元？ 【答案】桌子200元；椅子50元 【思路引导】根据“椅子的单价是桌子的”，可以设桌子的单价为元，则椅子的单价为 元； 根据“花1600元添置了4张桌子和16把椅子”可得出等量关系：桌子的单价×桌子的数量＋椅子的单价×椅子的数量＝买桌子和椅子的总价，据此列出方程，并求解。 【规范解答】解：设桌子的单价为元，则椅子的单价为 元。 4＋ ×16＝1600 4＋4＝1600 8＝1600 ＝1600÷8 ＝200 椅子的单价：200×＝50（元） 答：桌子的单价是200元，椅子的单价是50元。 16．（25-26六年级上·江苏盐城·期末）春节将至，李婶打算给长方体形状的阳台花架做一圈装饰围布（不做底面和顶面），花架长米，宽米，高米，做这圈围布至少需要多少平方米的布料？（忽略接头处的损耗） 【答案】平方米 【思路引导】不做底面和顶面，就是求这个长方体的侧面积，长方体的侧面积＝（前面的面积＋左面的面积）×2。 【规范解答】 （平方米） 答：至少需要平方米的布料。 17．（24-25六年级上·贵州贵阳·期末）学校六年级开展研学活动，去“坝陵河大桥”研学的有45人，去“红飘带”研学的是去“坝陵河大桥”的，去“天河潭”研学的是去“红飘带”研学的。提一个连乘的问题并解答。 【答案】有多少人去“天河潭”研学？ 27人 【思路引导】分数连乘，即连续求一个数的几分之几是多少的问题，有两个单位的“1”，可以提问：有多少人去“天河潭”研学？ 将去“坝陵河大桥”研学的人数看作单位“1”，去“坝陵河大桥”研学的人数×去“红飘带”研学的对应份数＝去“红飘带”研学的人数；再将去“红飘带”研学的人数看作单位“1”，去“红飘带”研学的人数×去“天河潭”研学的对应分率＝去“天河潭”研学的人数。 【规范解答】有多少人去“天河潭”研学？ （人） 答：有27人去“天河潭”研学。 18．（25-26六年级上·江苏扬州·期末）体育李老师准备购买60个篮球。同款篮球在甲、乙、丙三家网店的单价均是54元/个，但每家优惠方案不同。请你算一算：李老师到哪家网店购买最便宜？一共需要多少元？ 甲网店：一律降价 乙网店：买四送一 丙网店：每满100元减20元 【答案】乙网店，2592元 【思路引导】甲网店：把篮球的单价看作单位“1”，降价后的价格是原来的1－，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法解答，用54×（1－）列式求出降价后篮球的单价，再乘篮球的数量求出在该网店花的钱数； 乙网店：支付4个篮球的钱，得到5个篮球，用60除以（4＋1） 求出有几组（4＋1）就送几个篮球，再用60减去送的个数，求出实际需要付钱的个数，再乘单价即可求出在乙网店花的钱数； 丙网店：根据总价＝单价×数量，用54×60列式求出篮球的总价，再除以100，求出100的个数，用100的个数乘20，求出优惠的钱数，再用总价减去优惠的钱数，就是在该网店购买需要的钱数。 最后再进行比较即可解答。 【规范解答】甲网店： 54×（1－）×60 ＝54××60 ＝48×60 ＝2880（元） 乙网店： 60÷（4＋1） ＝60÷5 ＝12（组） 54×（60－12） ＝54×48 ＝2592（元） 丙网店： 54×60÷100 ＝3240÷100 ＝32（个）……40（元） 54×60－32×20 ＝3240－640 ＝2600（元） 2592＜2600＜2880 答：在乙网店购买最便宜，一共需要2592元。 19．（24-25六年级上·浙江温州·期末）一只狗被栓在一间小房子的墙角上（如图），这间小房子的底面是一个边长为5米的正方形，栓小狗的绳长16米。小狗从点A出发，将绳子拉紧顺时针跑，最多可跑多少米？ 画一画：画出小狗的运动轨迹。 算一算： 【答案】作图见详解；53.38米 【思路引导】 如图，小狗可跑的距离＝半径16米的圆的周长＋半径（16－5）米的圆的周长＋半径（16－5－5）米的圆的周长＋半径（16－5－5－5）米的圆的周长，圆的周长＝2×圆周率×半径，据此列式解答。 【规范解答】 2×3.14×16×＋2×3.14×（16－5）×＋2×3.14×（16－5－5）×＋2×3.14×（16－5－5－5）× ＝2×3.14×16×＋2×3.14×11×＋2×3.14×6×＋2×3.14×1× ＝3.14×（2×16×）＋3.14×（2×11×）＋3.14×（2×6×）＋3.14×（2×1×） ＝3.14×（32×）＋3.14×（22×）＋3.14×（12×）＋3.14×（2×） ＝3.14×8＋3.14×5.5＋3.14×3＋3.14×0.5 ＝3.14×（8＋5.5＋3＋0.5） ＝3.14×17 ＝53.38（米） 答：最多可跑53.38米。 【考点剖析】关键是具有一定的空间想象能力，准确画出小狗跑的路线。 20．（24-25六年级上·河南信阳·期末）数学课上，老师带领大家“回头看”乘法计算的道理。文文所在的学习小组经过讨论交流，写出了下面这样一组算式，发现了整数乘法和小数乘法计算道理之间的联系。 （1）依据这个学习小组表达的整数和小数乘法计算道理，请试着以为例，写一写分数乘法的计算道理。 （2）观察上面几组算式，想一想整数乘法、小数乘法和分数乘法的计算道理之间有什么相同之处？写一写你的想法。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【思路引导】（1）根据整数乘法和小数乘法，将变为3×，将变为4×，再将两个分数乘一起，将两个整式乘一起计算即可。 （2）和分别是和的分数单位，3和4分别是和的分数单位的个数，所以等式即为分数单位相乘的积乘分数单位的个数的积的乘积。 【规范解答】（1） ＝（3×）×（4×） ＝（3×4）×（×） ＝12× ＝ （2）都是将计数单位相乘，将计数单位的个数相乘，最后将二者的结果相乘，求得结果。（答案不唯一） 【考点剖析】乘法计算道理的核心共性：无论是整数、小数还是分数乘法，本质都是“先拆分计数单位，再分别计算‘数的部分’和‘计数单位部分’的乘积，最后合并结果”，体现了乘法结合律在不同数系中的统一应用。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $