第七单元 分数乘法（期末复习讲义-培优版）知识梳理+13个考点讲练+4个奥数拓展+真题演练 共71题-2025-2026学年苏教版数学五年级下册真题汇编必刷压轴练

2025-2026学年苏教版数学五年级下册期末真题汇编培优讲练 第七单元 分数乘法『期末复习精编讲义』（培优版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+13个考点讲练4个奥数拓展+真题演练 共71题） 同学你好，该份讲义用于苏教版五年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 分数与整数相乘 3 知识点二 分数与分数相乘 4 知识点三 分数与小数相乘 4 知识点四 积与因数的大小关系 4 知识点五 分数混合运算 5 知识点六 分数简便计算 5 知识点七 分数乘法解决问题 5 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 分数与整数相乘 6 高频考点二 求一个数的几分之几的问题 7 高频考点三 分数乘分数的计算 9 高频考点四 分数乘分数的应用 12 高频考点五 分数乘小数的计算 14 高频考点六 分数乘小数的应用 15 高频考点七 分数的连乘运算的计算 16 高频考点八 分数的连乘运算的应用 18 高频考点九 连续求一个数的几分之几是多少的问题 19 高频考点十 因数和积的大小关系（分数乘法) 22 高频考点十一 倒数的认识 23 高频考点十二 与倒数有关的综合计算 24 高频考点十三 自然数与倒数的和或差的问题 26 奥数拓展一 分数乘分数的运算与应用 30 奥数拓展二 分数连乘运算与应用 31 奥数拓展三 因数和积的大小关系 33 奥数拓展四 与倒数有关的综合计算 35 优选真题 实战演练 36 知识点一 分数与整数相乘 1. 分数与整数相乘表示的意义 （1）分数乘整数表示求几个相同加数的和的简便运算或者求一个分数的几倍是多少。 （2）整数乘分数表示求一个整数的几分之几是多少。 注意：分数乘整数和整数乘分数所表示的意义在叙述方面略有区别，但二者并无本质不同。 2. 分数与整数相乘的计算法则 分数与整数相乘，分母不变，分子乘整数作分子，即：。 注意：能约分的先约分。 知识点二 分数与分数相乘 1.分数乘分数表示的意义 分数乘分数表示求一个数的几分之几是多少。 2.分数乘分数的计算法则 分数乘分数，把分母乘分母的积作为新的分母，分子乘分子的积作为新的分子，即：。 注意：能约分的先约分。 知识点三 分数与小数相乘 1. 分数乘小数表示的意义:表示求一个小数的几分之几是多少。 2.分数乘小数的计算法则 （1）先把小数统一成分数，再按照分数乘分数的计算法则计算； （2）如果所乘分数可以化为有限小数，也可以把分数统一成小数再计算； （3）如果小数和分母能直接约分，可以先约分再计算比较简便。 注意：能约分的先约分。 知识点四 积与因数的大小关系 1. 一个不为0的数乘大于1的数，积比原来的数（大）； 2. 一个不为0的数乘小于1的数，积比原来的数（小）； 3. 一个不为0的数乘等于1的数，积等于原来的数； 4. 用字母表示积与因数的关系： 在a×b=c中，若b>1，则c>a；若b=1，则c=a；若b<1，则c<a。 补充：积的变化规律和积不变的规律 1. 一个因数乘（或除以）一个数（不为0），积也随着乘（或除以）这个数。 2. 当一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数除以（或乘）同一个数时，积不变。 知识点五 分数混合运算 1. 分数的连乘运算顺序与整数连乘运算顺序相同，同级运算，（从左往右）依次计算。 2. 没有括号的，先算乘法，再算（加减法）；有括号的，先算括号里面的，再算括号外面的。 注意：能约分的先约分。 知识点六 分数简便计算 整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。 1. 乘法交换律:两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，用字母表示为a×b=b×a。 2. 乘法结合律:三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)。 3. 乘法分配律:两个数的和或差与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加或相减，这叫做乘法分配律，用字母表示： （1）乘法分配律：（a×（b+c）=a×b+a×c）。 （2）乘法分配律的逆运算：（a×b+a×c=a×（b+c））。 4. 运用乘法运算律进行简便计算的方法 一看，观察算式的特点； 二想，想一想运用哪种运算律能使计算简便； 三算，按运算律计算出结果。 5. 注意。 进行分数乘法混合运算时，不能被题中的数诱导，盲目地“简算”，要严格按照乘法运算律进行简算。 知识点七 分数乘法解决问题 1. 寻找单位“1” （1）（“占”、“是”、“比”）的后面。 （2）在分率句中，“分率”的前面。 2. 写等量关系式 （1）“的”相当于“×”、“占”、“是”、“比”相当于“=”； （2）分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量； （3）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量×（1±分率）=分率对应量。（已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的几分之几是多少） 3. 画线段图 （1）两个量的关系：画两条线段图； （2）部分和整体的关系：画一条线段图。 4. 求一个数的几分之几是多少的解题方法 求一个数的几分之几是多少，（单位“1”的量）×对应的分率=对应分量 5. 连续求一个数的几分之几是多少的解题方法 单位“1”的量×分数＝对应量（比较量）。 6. 已知一个数量比另一个数量多（或少）几分之几，求这个数量的解题方法 方法一：单位“1”的量±单位“1”的量×另一个数量比单位“1”多(或少)的几分之几＝另一个数量； 方法二：单位“1”的量×（1±另一个数量比单位“1”多(或少)的几分之几）＝另一个数量。 高频考点一 分数与整数相乘 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·广西桂林·期末）15分( )时    吨( )千克 【答案】 /0.25 625 【思路引导】根据进率：1时＝60分，1吨＝1000千克；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【规范解答】（1）15÷60＝（时），所以15分＝时； （2）×1000＝625（千克），所以吨625千克。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·山西临汾·期末） 吨＝( )千克      650立方分米＝( )立方米 45分＝( )时     2.04立方分米＝( )升( )毫升 【答案】 750 0.65/ 0.75/ 2 40 【思路引导】1吨＝1000千克，1立方米＝1000立方分米，1时＝60分，1立方分米＝1升＝1000毫升。高级单位换算成低级单位需要乘进率，低级单位换算成高级单位要除以进率。 【规范解答】，所以吨＝750千克。 ，所以650立方分米＝0.65立方米。 ，所以45分＝0.75时。 2.04立方分米＝2.04升 ，所以2.04立方分米＝2升40毫升 【变式训练2】（25-26六年级上·河南平顶山·期末）科学创客小组设计了甲、乙两个机器人，将它们放在相距8米的直线跑道两端，并遥控它们同时出发，相向而行。10秒后，甲走了全程的，乙走了全程的。这时两个机器人相距多少米？ 【答案】米 【思路引导】把全程看作单位“1”，10秒后，甲走了全程的，乙走了全程的，单位“1”已知，用全程乘、，分别求出甲、乙走的路程；然后用全程减去甲、乙走的路程，就是此时甲、乙相距的距离。 【规范解答】8×＝3（米） 8×＝（米） 8－3－ ＝5－ ＝（米） 答：这时两个机器人相距米。 高频考点二 求一个数的几分之几的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏南通·期末）古人说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。意思是说：一尺长的木棍，每天截取一半，永远也截取不完。照这样推算，第2天截取后剩下的长度占这根木棍的；第（    ）天截取后剩下的长度占这根木棍的。 【答案】；6 【思路引导】把初始木棍长度看作单位“1”，每天截取一半，即剩下的部分是前一天的。 （1）根据求一个数的几分之几是多少用乘法，用总长乘，求出第1天截取的长度，也是第1天剩余的长度；再用第1天剩余的长度乘，求出第2天剩余的长度。 （2）依次用前一天剩下的长度乘，列举看第几天剩下的占全长的。 【规范解答】（1）第1天截取了这根木棍的，那么第1天截取后剩下的长度占这根木棍的1×＝；第2天截取后剩余的长度为×＝，即第2天截取后剩下的长度占这根木棍的。 （2）第1天截取后剩下的长度：1×＝ 第2天截取后剩下的长度：×＝ 第3天截取后剩下的长度：×＝ 第4天截取后剩下的长度：×＝ 第5天截取后剩下的长度：×＝ 第6天截取后剩下的长度：×＝ 所以，第6天截取后剩下的长度占这根木棍的。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）两根同样长的铁丝，一根用去了，另一根用去了米，剩下的铁丝相比，（    ）。 A．第一根长 B．第二根长 C．同样长 D．无法比较哪根长 【答案】D 【思路引导】“用去”是指用去原长的，具体长度随原长变化；“用去米”是固定长度。分情况看：若原长1米，两者用去长度相同，剩下同样长；若原长大于1米，第一根用去的更长，第二根剩下的长；若原长小于1米，第一根用去的更短，第一根剩下的长；据此分析解答。 【规范解答】原长1米：第一根用去长度：（米），两根用去长度相等，剩下长度相同。 原长3米：第一根用去长度：（米），因为1＞，第二根剩下更长。 原长0.3米：第一根用去长度：（米），因为0.1＜，第一根剩下更长。 由于铁丝原长不确定，剩下的铁丝长度无法比较。 故答案为：D 【考点剖析】分率（）的实际长度依赖于“单位1（铁丝原长）”，而具体量（米）是固定值——当单位1的长度不确定时，分率对应的实际量会变化，因此无法直接比较结果。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·北京密云·期末）一满杯100%纯牛奶，小明先喝了全部的，然后在牛奶杯中添满水再喝。比较小明两次喝100%纯牛奶的量，结果是（    ）。 A．第一次多 B．第二次多 C．两次一样多 D．无法确定 【答案】A 【思路引导】把满杯100%纯牛奶看作单位“1”，因为第一次喝了全部的，第二次添满水再喝了全部的，这时杯子里只有（1－）杯100%纯牛奶，第二次喝的100%纯牛奶为（1－）×，计算出结果，比较即可。 【规范解答】（1－）× ＝× ＝ ＝ ＞，则＞，所以第一次喝的100%纯牛奶多。 故答案为：A 【考点剖析】这道题的易错点在于：第一次的单位“1”是全部纯牛奶，第二次喝的时候，剩下的纯牛奶已经不是原来的单位“1”了，容易误以为第二次喝的还是以最初的纯牛奶为单位“1”，导致直接算成，忽略了要先算剩下的纯牛奶量。 高频考点三 分数乘分数的计算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·河北唐山·期末）湿地公园要修一条长km的步道，第一次修了它的，还剩( )km：第二次修了km，最后还剩( )km。 【答案】 /0.5 /0.25 【思路引导】解答这道题需明确：求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率。题目中已知湿地公园要修一条长km的步道，第一次修了它的，则修了km的，用求出第一次修了的，再用总量km减去第一次修了的，就是还剩下的。用还剩下的直接减去第二次修了的km就是最后还剩下的。 【规范解答】根据分析： 所以，第一次修了它的，还剩km。 所以，第二次修了km，最后还剩km。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏泰州·期末）数学课上，老师带领大家“回头看”乘法计算的算理，小明所在的小组写出这样一组算式： 30×50＝（3×10）×（5×10）＝（3×5）×（10×10）＝15×100 0.3×0.5＝（3×0.1）×（5×0.1）＝（3×5）×（0.1×0.1）＝15×0.01 他们发现：整数乘法算理与小数乘法算理之间有着密切的联系。请你想一想：分数乘法的算理是不是也与整数、小数乘法算理之间有着密切的联系？并完成以下填空。 (1)（____×____）×（____×____） (2)（____×____）×（____×____） ＝（____×____）×（____×____） 【答案】(1) 3 7 (2) 5 2 5 2 【思路引导】解答这道题需理解分数的分数单位：把单位“1”平均分成若干份，其中的一份或几份可以用分数表示，其中的一份叫分数单位。这道题的核心是理解分数乘法和整数、小数乘法在算理上的一致性。解题关键是把每个分数拆分成“整数乘分数单位”的形式，再用乘法交换律和乘法结合律，把整数部分和分数单位部分分别相乘。据此解答。 【规范解答】（1） （2） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）解方程。          【答案】；； 【思路引导】（1）根据等式的基本性质，方程两边同时乘； （2）方程两边同时减去45，两边再同时除以4； （3）先把方程左边化简为，两边再同时除以8即可。 【规范解答】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 高频考点四 分数乘分数的应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·陕西延安·期末）西西假期去奶奶家玩，坐车的路程占全程的，走路的路程是坐车的，走路的路程占全程的几分之几？若西西家到奶奶家的路程是28千米，走路的路程是多少千米？ 【答案】；4千米 【思路引导】根据坐车的路程占全程的，走路的路程是坐车的，用坐车的路程占全程的分率×走路的路程是坐车的分率，即可求出走路的路程占全程的几分之几； 把西西去奶奶家的路程看作单位“1”，用西西家到奶奶家的路程×走路的路程占全程的分率，求出走路的路程。 【规范解答】×＝ 28×＝4（千米） 答：走路的路程占全程的，走路的路程是4千米。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·浙江杭州·期末）小敏第一次喝了一杯咖啡的，第二次喝了剩下的，小敏两次喝了这杯咖啡的几分之几？（请先画一画，再算一算，尽可能写详细一些，让老师能看懂你是怎样想的。） 【答案】 【思路引导】把整杯咖啡平均分成3份，喝了其中的一份，也即第一次喝了一杯咖啡的，还剩下这杯咖啡的。再把剩下的咖啡平均分成4份，也即把这杯咖啡的平均分成4份，其中3份是这杯咖啡的。将两次喝这杯咖啡的分率相加，求出总共喝了整杯咖啡的几分之几。 【规范解答】 第一次喝整杯咖啡的： 第二次喝整杯咖啡的： 两次共喝： 答：小敏两次喝了这杯咖啡的。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24六年级上·山西太原·期末）养鱼密度不能太高，否则由于高密度的饲养会让水中溶解氧不足，鱼缸里的鱼儿就容易出问题。水族界有个比较公认的算法，那就是一升水大约能养1厘米长的一条鱼，比如10升水就大约能养10厘米长的一条鱼或者养1厘米长的10条鱼。小红妈妈买了一个长米、宽米、高0.4米的鱼缸，最多能养多少条10厘米长的锦鲤？ 【答案】12条 【思路引导】已知长方体说鱼缸的长、宽、高，根据长方体的体积（容积）公式V＝abh，以及进率“1立方米＝1000升”，求出鱼缸的容积； 已知10升水就大约能养10厘米长的一条鱼，用鱼缸的容积除以10升，即可求出最多能养10厘米长锦鲤的数量。 【规范解答】××0.4 ＝×0.4 ＝0.3×0.4 ＝0.12（立方米） 0.12立方米＝120升 120÷10＝12（条） 答：最多能养12条10厘米长的锦鲤。 高频考点五 分数乘小数的计算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）看图只列式（或方程）不计算。 【答案】4.5× 【思路引导】看图，将整体平均分成5份，未知数占其中的3份，那么它是整体的。求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率，据此列式。 【规范解答】4.5×＝2.7（km） 未知部分是2.7km。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·陕西西安·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.7( )3.7×0.99    4.25＋0.1( )4.25×0.5    6.6×( )6.6÷10 0.5时( )50分    6.5吨( )6吨6千克    3.2×5.1( )0.32×51 【答案】 ＞ ＞ ＜ ＜ ＞ ＝ 【思路引导】一个数（0除外）乘一个小于1的数，积小于原数； 一个小数加上另一个小数，结果大于这个小数； 计算出6.6×的结果，再计算出6.6÷10的结果，然后进行比较； 1时＝60分，1吨＝1000千克，根据进率统一单位，再进行比较； 如果一个因数乘几，另一个因数除以相同的数（0除外），那么积不变。 【规范解答】根据分析： ①0.99＜1，所以3.7＞3.7×0.99； ②4.25＋0.1的结果肯定大于4.25，因为0.5＜1，那么4.25×0.5＜4.25，所以4.25＋0.1＞4.25×0.5； ③6.6×＝0.066，6.6÷10＝0.66，所以6.6×＜6.6÷10； ④0.5×60＝30（分），那么0.5时＝30分，所以0.5时＜50分； ⑤6÷1000＝0.006（吨），6＋0.006＝6.006（吨），那么6吨6千克＝6.006吨，所以6.5吨＞6吨6千克； ⑥3.2÷10＝0.32，观察发现3.2变为0.32是除以10，5.1×10＝51，而5.1变为51是乘10，所以3.2×5.1＝0.32×51。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24六年级下·河南信阳·期末）下列各式，（    ）的结果最小。 A．3.14× B．3.14×0.875 C．3.14× D．3.14÷1.25 【答案】A 【思路引导】分别计算出各选项算式的结果，比较即可。小数乘分数，将分数化成小数，根据小数乘除法的计算方法进行计算即可。 【规范解答】A．3.14×＝3.14×0.75＝2.355 B．3.14×0.875＝2.7475 C．3.14×＝3.14×1.125＝3.5325 D．3.14÷1.25＝2.512 2.355＜2.512＜2.7475＜3.5325 3.14×的结果最小。 故答案为：A 高频考点六 分数乘小数的应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）2022年北京冬奥会在北京和张家口举办。京张高铁于2016年上半年开工，2020年底建成，全长约174千米。原来乘火车从北京到张家口最快用3时12分，最慢用5时33分。建成高铁后，乘高铁所用的时间仅是原来最快时间的。高铁通车后从北京到张家口乘高铁大约需要多长时间？ 【答案】60分 【思路引导】低级单位换高级单位除以进率，根据1时＝60分，用12÷60再加上3时即可化为单名数，然后根据求一个数的几分之几是多少，用乘法解答即可。 【规范解答】3时12分＝3.2时 3.2×＝1（时）＝60（分） 答：高铁通车后从北京到张家口乘高铁大约需要60分钟。 【考点剖析】本题考查求一个数的几分之几是多少，明确用乘法是解题的关键。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）某水果店购进水果2.1吨，第一周卖出，第二周卖出吨，两周共卖出多少吨水果？ 【答案】2吨 【思路引导】根据题意，把购进水果的总吨数看作单位“1”，第一周卖出全部的，用水果的总吨数乘，求出第一周卖出水果的吨数，再加上第二周卖出水果的吨数，即是这两周共卖出水果的吨数。 【规范解答】2.1×＋ ＝＋ ＝＋ ＝2（吨） 答：两天共卖出2吨。 【考点剖析】区分“”和“吨”的不同，前者是分率，后者是具体的数量。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）芳芳和爸爸到哈尔滨自驾游，在地图上查询牡哈两地相距314.4千米。他们从牡丹江出发后行驶了全程的，还有多少千米到达哈尔滨？ 【答案】104.8千米 【思路引导】把从牡丹江到哈尔滨的全程看作单位“1”，从牡丹江出发行驶了全程的，则还剩下全程的（1－），根据求一个数的几分之几是多少，用全程乘（1－），即可求出还剩的路程。 【规范解答】314.4×（1－） ＝314.4× ＝104.8（千米） 答：还有104.8千米到达哈尔滨。 【考点剖析】本题考查分数乘法的应用，找出单位“1”，单位“1”已知，根据分数乘法的意义解答。 高频考点七 分数的连乘运算的计算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·湖南长沙·期末）一列分数：、、、…，第10个分数是( )，这列分数的积是( )。 【答案】 【思路引导】该列分数的规律是第n个分数为，因此第10个分数可直接得出。分数的积是从到的连续乘积，通过观察分子和分母的构成，发现中间项相互抵消，最终结果为。 【规范解答】 一列分数：、、、…，第10个分数是，这列分数的积是。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24六年级上·江苏盐城·期末）估计×××…的结果，叙述正确的是（    ）。 A．大于0而小于 B．大于而小于1 C．等于1 D．大于1而小于2 【答案】A 【思路引导】一个数（0除外），乘小于1的数，积比原数小，据此分析。 【规范解答】＜1，＜1，＜1，所以×××…的结果大于0而小于。 故答案为：A 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）只列式不计算。 【答案】72×× 【思路引导】把跳绳的人数看作单位“1”，跳绳的有72人，踢球的人数占跳绳人数的，跑步的人数占踢球人数的，已知一个数，连续求这个数的几分之几是多少用分数连乘计算，据此解答。 【规范解答】72×× ＝60× ＝30（人） 所以，跑步的有30人。 高频考点八 分数的连乘运算的应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（23-24六年级上·四川达州·期末）小卖部的货架上有3种笔，其中钢笔有84支，铅笔支数是钢笔的，中性笔支数是铅笔的。小卖部的货架上有中性笔多少支？ 【答案】50支 【思路引导】钢笔有84支，铅笔支数是钢笔的，把钢笔的支数看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出铅笔的支数；中性笔支数是铅笔的，把铅笔的支数看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出中性笔的支数，据此解答。 【规范解答】84×× ＝70× ＝50（支） 答：小卖部的货架上有中性笔50支。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）学校图书馆有图书4500本。其中科技书占总本数的，文艺书的本数是科技书的，求学校有文艺书多少本？ 【答案】600本 【思路引导】根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少用乘法，用图书馆图书的总数乘即可求出科技书的本数，再用科技书的本数乘，可求出文艺书的本数。 【规范解答】由分析可得： 4500×× ＝2000× ＝600（本） 答：学校有文艺书600本。 【考点剖析】本题主要考查了分数乘法的应用，解题的关键是明确求一个数的几分之几是多少，用乘法。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）养鱼密度不能太高，否则由于高密度的饲养会让水中溶解氧不足，鱼缸里的鱼儿就容易出问题。水族界有个比较公认的算法，那就是一升水大约能养1厘米长的一条鱼，比如10升水就大约能养10厘米长的一条鱼或者养1厘米长的10条鱼。小红妈妈买了一个长米、宽米、高米的鱼缸，最多能养多少条18厘米长的锦鲤？ 【答案】6条 【思路引导】根据长方体体积＝长×宽×高，求出鱼缸容积，根据1立方米＝1000升，统一单位。因为10升水就大约能养10厘米长的一条鱼，鱼缸容积÷10＝能养的10厘米长的鱼的条数，10厘米长的鱼的条数×10＝能养的鱼的总长度，能养的鱼的总长度÷18＝能养的18厘米长的鱼的条数，结果用去尾法保留近似数。 【规范解答】 （立方米） ＝120（升） 120÷10＝12（条） 12×10＝120（厘米） 120÷18≈6（条） 答：最多能养6条18厘米长的锦鲤。 【考点剖析】关键是掌握并灵活运用长方体体积公式，掌握分数乘法的计算方法。 高频考点九 连续求一个数的几分之几是多少的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级下·广西河池·期末）《庄子·天下》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思就是：一根一尺长的木棍，今天取它的一半，即，明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……这样取下去，永远也取不完。照这样推算，第四天截取的长度占最初木棒长度的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】将原长1尺看作单位“1”，第一天取它的一半为：1×＝（尺），取走一半剩下一半，则取走的长度和剩下的长度是一样的，则第一天剩下的长度是尺；第二天取第一天剩下长度的一半，把第一天剩下的尺当作单位“1”，则第二天取的长度为：×＝（尺）；第三天取第二天剩下长度的一半，第二天剩下的长度是尺，以第二天剩下的尺为单位“1”，则第三天取的长度为：×＝（尺）；第四天取第三天剩下长度的一半，第三天剩下的长度是尺，所以第四天取的长度为：×＝（尺）。用尺除以1尺，即可求出第四天截取的长度占最初木棒长度的几分之几。 求一个数的几分之几是多少，用乘法计算； 求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算。 【规范解答】1×＝（尺） ×＝（尺） ×＝（尺） ×＝（尺） ÷1＝ 即第四天截取的长度占最初木棒长度的。 故答案为：D 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24六年级下·江苏常州·期末）《庄子》有言：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”。意思是：一根1尺长的木棍（尺，中国古代长度单位），第一天取走它的一半，第二天取走剩下的一半，第三天再取走剩下的一半……这样取下去，永远也取不完。按这样的方法，第四天取过后，这根木棍一共被取走了( )尺。 【答案】 【思路引导】由题意可知，第一天取走它的（尺），第二天取走（尺），第三天取走（尺），第四天取走（尺），把四天取走的相加即可。 【规范解答】（尺） （尺） （尺） （尺） （尺） 《庄子》有言：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”。意思是：一根1尺长的木棍（尺，中国古代长度单位），第一天取走它的一半，第二天取走剩下的一半，第三天再取走剩下的一半……这样取下去，永远也取不完。按这样的方法，第四天取过后，这根木棍一共被取走了尺。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）人体血液在主动脉中的流动速度约为20厘米/秒，在静脉中的流动速度约为主动脉中的，在毛细血管中的流动速度大约只有静脉中的。血液在毛细血管中每秒约流动( )厘米。 【答案】/0.05 【思路引导】将主动脉中的流速看作单位“1”，主动脉中的流速×静脉中的流速对应分率＝静脉中的流速；再将静脉中的流速看作单位“1”，静脉中的流速×毛细血管中的流速对应分率＝毛细血管中的流速。 【规范解答】20×× ＝8× ＝（厘米） 血液在毛细血管中每秒约流动厘米。 【考点剖析】关键是确定单位“1”，理解分数乘法的意义。 高频考点十 因数和积的大小关系（分数乘法) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·江苏盐城·期末）两根一样长的绳子，第一根用去，第二根用去米，那么两根绳子用去的长度相比（    ）。 A．第一根长 B．第二根长 C．一样长 D．无法比较 【答案】D 【思路引导】已知第一根绳子用去，因为绳子的原长不确定，所以第一根绳子用去的长度也不确定，需分情况讨论绳子原长，得到第一根用去的长度，再与第二根绳子用去的长度比较，得出结论。 【规范解答】设绳子原长为x米，那么第一根绳子用去的长度为x米。 当x＝1米时： 第一根绳子用去的长度为1×＝（米），第二根绳子也用去米，两根绳子用去的长度相同，那么剩下的长度也相同。 当x＞1米时： 因为一个数（0除外）乘大于1的数，积比原数大，所以x＞，即第一根绳子用去的长度大于第二根绳子用去的长度，那么第二根绳子剩下的长。 当0＜x＜1米时： 因为一个数（0除外）乘小于1（0除外）的数，积比原数小，所以x＜，即第一根绳子用去的长度小于第二根绳子用去的长度，那么第一根绳子剩下的长。 由于绳子原长不确定，无法比较两根绳子用去的长度，也无法确定两根绳子剩下部分的长短关系。 故答案为：D 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·重庆南川·期末）如果（，，均大于0），那么，，这三个数中（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】乘积相同的情况下，一个乘数越大，另一个乘数越小，在这三个算式中，比较出、、的大小，再比较出a、b、c的大小，选出答案。 【规范解答】根据分析： 因为＜＜， 所以a＞b＞c； 故答案为：A 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·江苏扬州·期末）下面的算式中，计算结果最大的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】四个选项中均有因数，所以根据两个不为0的数相乘，其中一个数不变，另一个数越大，积越大，据此解答。 【规范解答】 最大，所以最大。 故答案为：B 高频考点十一 倒数的认识 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·山西太原·期末）将如图折成正方体后，相对的两个面上的数互为倒数，那么★×△＝( )。 【答案】 【思路引导】先确定相对面：正方体展开图中，相对的面不相邻。观察展开图，★的相对面是，△对应的相对面是 1；再根据乘积为1的两个数互为倒数，解答即可。 【规范解答】由分析可知： △是1的倒数，1的倒数是1，即△＝1； ★等于的倒数，是＝，它的倒数是，即★＝。 因此★×△＝1×＝。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏南京·期末）请在图中添上一个正方形，使它成为一个正方体的展开图。如果这个正方体每个面上都写有不同的数，并且每相对两个面上的数互为倒数，那么b表示的数是（    ）。 【答案】4 【思路引导】相对的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的两个对面，“z”字两端处的小正方形是正方体的对面，则“b”的对应面为“”，根据互为倒数的两个数乘积为1，即可确定b表示的数。 【规范解答】 解： 即b表示的数是4。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·河北承德·期末）下列各题中，互为倒数的是（    ）。 A．8.3和3.8 B．和 C．0.4和2.5 【答案】C 【思路引导】乘积是1的两个数互为倒数。根据倒数的意义，把各选项中的两个数相乘，积为1的两个数互为倒数。 【规范解答】A．8.3×3.8＝31.54，积不为1，所以8.3和3.8不互为倒数，不符合题意； B．×＝，积不为1，所以和不互为倒数，不符合题意； C．0.4×2.5＝1，积为1，所以0.4和2.5互为倒数，符合题意。 故答案为：C 高频考点十二 与倒数有关的综合计算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·安徽亳州·期末）如果，则a（    ）b。 A．＜ B．＞ C．＝ D．无法确定 【答案】A 【思路引导】可以根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数，以及求一个数的倒数的方法：把分子分母调换位置；假设两个算式的积是1，则a是的倒数，b是的倒数，再比较和的大小，先通分，再按同分母分数大小比较方法，分子大的分数就大。据此解答。 【规范解答】假设 则， ， ，即 所以a＜b。 故答案为：A 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24六年级上·河南郑州·期中）0.3的倒数与的积是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】乘积是1的两个数互为倒数，据此用1除以0.3即可求出它的倒数，再乘即可解答。 【规范解答】1÷0.3× ＝1÷× ＝1×× ＝ 则0.3的倒数与的积是。 故答案为：B 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·河北保定·期末）a的倒数是它本身，b没有倒数，那么( )。 【答案】 【思路引导】乘积是1的两个数互为倒数，1的倒数是它本身，0乘任何数都得0，因此0没有倒数，据此确定a和b的值，将a和b的值代入，计算即可。 【规范解答】a的倒数是它本身，则a是1，b没有倒数，则b是0。 。 高频考点十三 自然数与倒数的和或差的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏南通·期末） (1)在图中表示出的计算过程和结果。 (2)研究乘法计算时，可以从计数单位的角度思考，例如： 50×30 ＝（5×10）×（3×10） ＝（5×3）×（10×10） ＝15×100 ＝1500 0.5×0.3 ＝（5×0.1）×（3×0.1） ＝（5×3）×（0.1×0.1） ＝15×0.01 ＝0.15 同样，在分数乘法中，我们也可以从计数单位的角度来思考。请照样子写出和（）的计算过程。 ＝（____×____）×（____×____） ＝（____×____）×（____×____） ＝____×____ ＝____ ＝（____×____）×（____×____） ＝（____×____）×（____×____） ＝____×____ ＝____ 【答案】(1)，图见详解 (2) 见详解 【思路引导】（1）把长方形看作单位“1”。把单位“1”平均分成5份，涂色其中的2份，表示出，再把长方形的平均分成3份，涂色其中的2份，表示出的，也就是。 （2）观察50×30与0.5与0.3的计算过程，是把两个因数的计数单位的个数相乘得到新的计数单位的个数，再把计数单位相乘得到新的计数单位，最后把新的计数单位的个数和新的计数单位相乘得到积。 可以把拆分成2个，把拆分成2个，先把它们的个数相乘，再把它们的计数单位相乘，再把新的计数单位的个数和新的计数单位相乘，最后算出积。 可以把拆分成个，把拆分成个，先把它们的个数相乘，再把它们的计数单位相乘，再把新的计数单位的个数和新的计数单位相乘，最后算出积。 【规范解答】（1） （2） ＝ ＝ ＝ ＝                                     ＝ ＝ ＝ ＝ 【考点剖析】（1）把长方形平均分成5份，涂色其中的2份，表示出，再把长方形的平均分成3份，涂色其中的2份，表示出的，也就是。 （2）把两个因数的计数单位的个数相乘得到新的计数单位的个数，再把计数单位相乘得到新的计数单位，最后把新的计数单位的个数和新的计数单位相乘得到积。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏泰州·期末）找规律，填一填。 (1)0.5，，0.75，( )，，( )。 (2)如下图所示，第四次截去还剩下( )，第( )次截去还剩下。 第一次截去还剩下 第二次截去还剩下 第三次截去还剩下 …… …… 【答案】(1) /0.8 (2) 六 【思路引导】①需要将小数转为分数，观察分子和分母的变化规律，再根据规律填数。 ②观察每次截去后剩下部分的规律，利用乘法运算来确定每次截去后剩下的部分，进而找出与剩余部分对应的截去次数。 【规范解答】（1） ，，：分子依次是1、2、3，分母依次是2、3、4，且分母比对应的分子大1。空缺处应该填和。 因此，0.5，，0.75，，，。 （2）通过题目观察，每次截去后剩下的部分是上一次剩下部分乘，第三次截去后剩下。 那么第四次截去后剩下：。 第五次截去后剩下：。 第六次截去后剩下：。 因此，第四次截去还剩下，第六次截去还剩下。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏南通·期末）观察下列式子，然后解决问题。 ，，… (1)试猜想：____________。 (2)运用（1）中猜想得到的规律计算： ① ② 【答案】(1) (2)① ② 【思路引导】（1），可以写成； ，可以写成； ，可以写成； …… 由此可知，这类分数可以写成分母中第一个乘数的倒数减去第二个乘数的倒数的形式，即 ，据此解答。 （2）①直接应用 ，将写成，写成，写成…写成，消去中间项，得，计算可得结果。 ②已知6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5…72＝8×9，90＝9×10，将写成的形式，应用 ，消去中间项，得，计算可得结果。 【规范解答】（1） （2）① ② 【考点剖析】①本类题型适用于分子为1，分母为两个连续非0自然数乘积的分数连加运算，核心公式为 （n为非0自然数）。 ②遇到分母为非连续自然数乘积但可分解为两个连续自然数乘积的变式（如、），需先对分母分解因数，转化为 的形式，再消去中间项，最后计算出结果。 奥数拓展一 分数乘分数的运算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）在我们的日常生活中，纸随处可见。室内装修用的壁纸、阅读时的报纸、易消耗的餐巾纸，可以说纸为日常生活带来了极大的改变。也正是由于人们对纸的大量需求，作为造纸原料的树木砍伐量也在与日俱增。为了更好地节约资源，人们开始寻找更高效地利用纸张的办法，再生纸就是一个不错的选择。1千克废纸大约可生产千克的再生纸。如果每人每月回收千克废纸，那么一个班40人一个月回收的废纸大约能生产多少千克再生纸？ 【答案】30千克 【思路引导】根据题意，先用每人每月回收废纸的质量乘40，求出40人一个月回收废纸的质量，再乘1千克废纸大约可生产再生纸的质量即可。 【规范解答】×40× ＝× ＝30（千克） 答：一个班40人一个月回收的废纸大约能生产30千克再生纸。 【考点剖析】本题考查分数乘法的应用，掌握分数乘法的计算法则是解题的关键。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）甲数是18，乙数是甲数的，丙数是乙数的，丙数是（    ）。 A．32.4 B．22.5 C．10 【答案】C 【思路引导】求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，据此用18乘求出乙数，再用乙数乘即可求出丙数。 【规范解答】18×× ＝15× ＝10 则丙数是10。 故答案为：C 【考点剖析】本题考查分数连乘的运算。掌握“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”是解题的关键。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）《庄子·天下》中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是说：一尺长的木棍，每天截取一半，永远也截取不完。照这样推算，第三天截取的长度占木棍长度的( )，前三天共截取木棍长度的( )。 【答案】 【思路引导】每天截取一半，则每次截取的和剩下的一样多，第一天截取的是木棍总长度的 ，第二天截取的是的，即×＝ ，第三天截取的是的，即×＝，再把前三天截取的长度相加即可。 【规范解答】××＝，，第三天截取的长度占木棍长度的； ＋×＋×× ＝＋＋ ＝ 前三天共截取木棍长度的。 【考点剖析】此题考查了分数乘法与加法的综合应用，明确求一个数的几分之几用乘法计算。 奥数拓展二 分数连乘运算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025·湖北十堰·小升初真题）如图，平行四边形的面积是84平方厘米。 （1）阴影部分的面积是多少平方厘米？ （2）丙三角形的面积是甲三角形面积的几分之几？（列式计算） 【答案】（1）18平方厘米 （2） 【思路引导】（1）将平行四边形面积看作单位“1”，乙丙的面积是平行四边形面积的，平行四边形面积×乙丙对应分率＝乙丙的面积；再将乙丙的面积看作单位“1”，乙丙合起来的大三角形和乙三角形等高，三角形的面积＝底×高÷2，因此乙的底÷乙丙合起来的大三角形的底＝乙的面积占乙丙面积的几分之几，乙丙的面积×乙的对应分率＝乙的面积，即阴影部分的面积； （2）将甲的面积看作单位“1”，甲的面积＝乙丙的面积，1－乙的面积占乙丙面积的几分之几＝丙三角形的面积是甲三角形面积的几分之几。 【规范解答】（1）6÷（6＋8） ＝6÷14 ＝ 84×× ＝42× ＝18（平方厘米） 答：阴影部分的面积是18平方厘米。 （2）1－＝ 答：丙三角形的面积是甲三角形面积的。 【考点剖析】关键是确定单位“1”，并明确乙的对应分率。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24六年级下·江苏·小升初复习）如图，长方形的面积是120平方厘米，这个长方形的一条长被4条距离相等的平行线平均分成了3份，则涂色三角形的面积是( )平方厘米。 【答案】40 【思路引导】阴影部分的面积等于长方形面积的一半减去底是长方形对角线、高等于相邻两条平行线的三角形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据解答即可。 【规范解答】 （平方厘米） 图中阴影部分的面积是40平方厘米。 【考点剖析】本题主要考查了组合图形的面积，将图形分割再根据等高三角形面积与底边长的关系进行求解是本题解题的关键。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）为庆祝建党一百周年，实验小学举办了个人红歌演唱比赛。获奖（一等奖、二等奖和三等奖）的一共有27人，其中获得一等奖的人数是获奖总人数的，获得二等奖的人数是获得二、三等奖总人数的，获得三等奖的有多少人？ 【答案】15人 【思路引导】先把获奖总人数看作单位“1”，获得一等奖的人数是获奖总人数的，那么获得二、三等奖的总人数是获奖总人数的（1－），单位“1”已知，用乘法求出获得二等奖和三等奖的总人数； 再把获得二、三等奖总人数看作单位“1”，获得二等奖的人数是获得二、三等奖总人数的，那么获得三等奖的人数是获得二、三等奖总人数的（1－），单位“1”已知，用乘法求出获得三等奖的人数。 【规范解答】 （人） 答：获得三等奖的有15人。 【考点剖析】本题考查分数乘法的应用，区分两个单位“1”的不同，明确求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 奥数拓展三 因数和积的大小关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·北京昌平·期末）甲数的倒数大于乙数的倒数（甲、乙均不为0），这两个数相比较（    ）。 A．甲数大 B．乙数大 C．同样大 D．无法确定哪个大 【答案】B 【思路引导】甲数的倒数为，乙数的倒数是（甲、乙均不为0），乘积是1的两个数互为倒数，所以（甲、乙均不为0）。乘法算式中，一个乘数越大，对应的另一个乘数越小。据此解答。 【规范解答】（甲、乙均不为0） 因为＞，所以甲数＜乙数，即乙数大。 故答案为：B 【考点剖析】本题关键在于根据倒数的意义表示出两个乘积相等的式子，再根据积不变的规律比较大小。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24六年级上·江苏连云港·期中）为非零自然数，如果，那么不可能是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据一个数乘以一个小于 的数，积小于这个数；一个数乘以一个大于 的数，积大于这个数即可。 【规范解答】因为， 所以， 因为， 所以， 所以的取值在之间且不等于和， 所以不可能是， 故答案为： 【考点剖析】本题考查了分数的乘法运算法则，分数的大小比较规则，熟练运用分数的乘法法则是解题的关键。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24六年级上·山西临汾·期中）已知m＞0，如果×m＜m（ab两数都大于0），则a＞b。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数；一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数；据此解答。 【规范解答】已知m＞0，如果×m＜m，则＜1，即是一个真分数，所以a＞b。原说法正确。 故答案为：√ 奥数拓展四 与倒数有关的综合计算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·江苏·课后作业）两个连续奇数的倒数差是，这两个连续奇数是多少？ 【答案】13和15 【思路引导】假设两个连续的奇数为n、n＋2，求出两个连续奇数的倒数差，结果为，和的分子相同，把的分母分解质因数，即可推断出这两个连续的奇数。 【规范解答】假设两个连续的奇数为n、n＋2， 答：这两个连续奇数是13和15。 【考点剖析】本题考查了倒数的有关计算，需要明确两个连续的奇数相差2，进而可得两个连续奇数的倒数差分子为2。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2024五年级下·全国·专题练习）三个不同质数的倒数之和是，这三个质数分别是多少？ 【答案】3、5、7 【思路引导】假设这三个质数分别是a、b、c，那么它们的倒数之和就是，即这三个质数的最小公倍数是它们的乘积，已知倒数之和是，所以abc＝105，把105分解质因数就可求出三个质数。 【规范解答】假设这三个质数分别是a、b、c 。 ，因为a、b、c都是质数，所以分母是这三个质数的最小公倍数； 将105分解质因数：105＝3×5×7 代入验证符合题意； 答：这三个质数分别是3、5、7。 【考点剖析】熟练掌握倒数的意义以及分解质因数的方法是解题的关键。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）某人在计算，，，这四个分数的平均值时，误将其中一个分数看成了它的倒数，他计算出的平均值与正确的结果最多相差（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】两个相乘的乘积是1，这两数互为倒数。在分数中，分母比分子大1的分数比较大小，分母越小分数就越小。则。的倒数是，的倒数，的倒数是，的倒数是，这四个分数中最小，反而它的倒数最大，相差也就最大，相差，那么平均值也相差最大。四个分数的分母不一样，比较难计算，可以设四个分数的和为A，再进行化简计算。 【规范解答】设上面四个分数的和为A 没有看错的平均数为：A÷4＝ （A＋）÷4 ＝（A＋）× ＝ ＝ 故答案为：A 1．（25-26六年级上·河北廊坊·期末）一根铁丝长米，第一次用去全长的，第二次用去米，则（    ）。 A．第一次用的铁丝多 B．第二次用的铁丝多 C．两次用的铁丝一样多 D．无法判断哪次用的铁丝多 【答案】B 【思路引导】由题意可知，铁丝长米，先求出第一次用去全长的，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”，求第一次用去的长度，列式为；再与第二次用去的米比较即可。 【规范解答】（米） （米） 米＜米 第二次用去的铁丝多。 故答案为：B 2．（25-26六年级上·广东广州·期末）下图中阴影部分能表示的是（    ）。 A． B． C． D．以上都不可以 【答案】A 【思路引导】先计算出×的积，再根据分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中的1份或几份的数叫做分数，据此解答。 【规范解答】×＝ 把长方形看作单位“1”，平均分成20份，取其中的3份涂色，如图：，即表示×＝。 阴影部分能表示的是。 故答案为：A 3．（25-26六年级上·江苏泰州·期末）一小学排球队、篮球队和田径队的队员人数之间的关系，如下图所示。根据图中信息，同学们列出了四个等量关系，其中正确的（    ）。 ①篮球队人数×＝排球队人数    ②篮球队人数×＝田径队人数 ③排球队人数×＝田径队人数    ④排球队人数×＝田径队人数 A．只有②③ B．只有②④ C．只有①②④ D．有①②③④ 【答案】A 【思路引导】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。根据题意，排球队人数的是篮球队的人数；篮球队人数的是田径队人数；排球队人数的（）是田径队人数。 【规范解答】①篮球队人数的不是排球队人数。该等量关系错误。 ②根据篮球队人数的是田径队人数，写出等量关系篮球队人数×＝田径队人数。该等量关系正确。 ③根据排球队人数的（）是田径队人数，写出等量关系排球队人数×＝田径队人数。该等量关系正确。 ④排球队人数的不是田径队人数。该等量关系错误。 所以，等量关系正确的有②③。 故答案为：A 4．（25-26六年级上·江苏常州·期末）两根同样长的彩带，第一根用去了米，第二根用去了全长的，比较两根彩带剩下的彩带。（    ） A．第一根长 B．第二根长 C．一样长 D．无法比较 【答案】D 【思路引导】解答这道题的关键是明确：求一个数的几分之几是多少，用一个数乘分率。这道题的关键在于区分“具体数量”和“分率”的不同含义。第一根用去的是具体长度：米，是一个固定的数值。第二根用去的是全长的，是一个分率，它的实际长度取决于彩带原来的总长度。先用全长这个单位“1”乘求出用去的，再用全长减去用去的就是剩下的。因为彩带的原长未知，所以第二根用去的实际长度也无法确定，因此剩下的长度也无法比较。 【规范解答】根据分析： 可以分三种情况来讨论： 当彩带原长为 1 米时： 第一根剩下：（米） 第二根剩下： （米） 米＞米 此时，第二根剩下的更长。 当彩带原长大于 1 米时（如 2 米） 第一根剩下：（米） 第二根剩下： （米） 米＝米，则米＜米 此时，第二根剩下的更长。 当彩带原长小于 1 米时（例如米） 第一根剩下：－＝0（米） 第二根剩下： （米） 0米＜米 此时，第二根剩下的更长。 当彩带原长为 3 米时： 第一根剩下：（米） 第二根剩下： （米） 此时，两根剩下的一样长。 由于彩带的原长未知，会出现多种不同的结果，所以无法比较两根彩带剩下的长度。 故答案为：D 【考点剖析】在解决这类问题时，一定要注意题目中给出的是具体数量还是分率，当单位“1”的大小不确定时，分率对应的具体量也无法确定，因此无法进行比较。 5．（25-26六年级上·河北邢台·期末）下面选项中，算式不可以列成“”的是（      ）。 A．4个相乘 B．求4个相加的和 C．求的4倍 【答案】A 【思路引导】试题要求判断哪个选项不能列成算式“” 该算式表示为4个相加的和或求的4倍 需逐项分析选项是否符合此含义。 【规范解答】A．4个相乘，即，表示连乘运算，不可以列成，A选项错误； B．求4个相加的和，即，符合给定算式的含义，B选项正确； C．求的4倍，即×4＝，符合给定算式的含义，C选项正确。 故答案为：A 6．（25-26六年级上·四川眉山·期末）先观察，再照样子写一写。 (1)例：20×30＝（10×2）×（10×3）＝（10×10）×（2×3）＝100×6 0.2×0.3＝（0.1×2）×（0.1×3）＝（0.1×0.1）×（2×3）＝0.01×6 ( )。 (2)例： 把写成上面的和或差的形式( )。 【答案】(1) (2)/ 【思路引导】（1）分析题目，20表示2个十，30表示3个十，据此把20×30写成（10×2） ×（10×3），再利用乘法交换律和乘法结合律写成（10×10） ×（2×3）；0.2表示2个0.1，0.3表示3个0.1，据此把0.2×0.3写成（0.1×2） ×（0.1×3），再利用乘法交换律和乘法结合律写成（0.1×0.1） ×（2×3）；表示2个，表示3个，据此把写成，再利用乘法交换律和乘法结合律写成，再计算即可。 （2）分析题目，写成和的形式，用分母6乘（1＋2）作分母，第一个分数的分子为1，第二个分数的分子为2，再相加；写成差的形式，用分母6乘（3－1）作分母，第一个分数的分子为3，第二个分数的分子为1，再相减。即把写成和的形式为两个分母为21×（1＋2），第一个分子为1，第二个分子为2，写成加法算式即可。把写成差的形式为两个分母为21×（3－1），第一个分子为3，第二个分子为1，写成减法算式即可。 【规范解答】（1） 。 （2）把写成上面的和的形式为，写成差的形式为。 7．（25-26六年级上·四川达州·期末）如果a与互为倒数，那么a的分数单位是( )，a再添上( )个这样的分数单位就是最小的质数。 【答案】 3 【思路引导】根据互为倒数的两个数相乘等于1，可求得a的值，将单位“1”平均分成若干份，表示其中这样一份的数为分数单位，即可求得a的分数单位。由最小的质数是2，将2变成和a分数单位相同且等于2的分数，与a相减，求得结果，分子是几，即为a再添上几个这样的分数单位就是最小的质数。 【规范解答】因为，所以a＝，所以a的分数单位是。因为最小的质数为2，，所以a再添上3个这样的分数单位就是最小的质数。 8．（25-26六年级上·吉林长春·期末）小球从10米的高处自由下落，每次反弹高度是下落高度的，它的第三次反弹达到的高度是( )米。 【答案】 【思路引导】把10米的高度看作单位“1”，每次的反弹高度是下落高度的，用10×，求出第一次反弹高度；再把第一次反弹的高度看作单位“1”，第二次反弹高度是下落高度的，用第一次反弹的高度×，即可求出第二次反弹的高度；再把第二次反弹的高度看作单位“1”，第三次反弹高度是下落高度的，用第二次反弹的高度×，即可求出第三次反弹的高度，由此解答即可。 【规范解答】10×＝（米） （米） （米） 因此，它的第三次反弹达到的高度是米。 9．（24-25六年级上·江苏南京·期末）一名叫巴尔末的数学教师成功从光谱数据，，，，…中得到用于氢原子谱线波长的经验公式，从而打开了光谱奥秘的大门。按照这种规律，第7个数据是( )。 【答案】 / 【思路引导】分析光谱数据，，，，…，分子依次是9、16、25、36，对应32、42、52、62，可知第n个数的分子是（n＋2）2；分母依次是5、12、21、32，可用对应的分子减4得到。 当n＝7时，分子是（7＋2）2＝81，分母是对应分子减4，即81－4＝77。 【规范解答】当n＝7时， （n＋2）2 ＝（7＋2）2 ＝92 ＝81 81－4＝77 所以第7个数据是。 【考点剖析】分别观察分子、分母的规律，计算得到对应（第7个数据）的分子与分母，进而得到结果。 10．（24-25六年级上·湖北黄石·期末）商场有牛奶300件，卖出后，又运进剩下的，商场的牛奶仍然有300件。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】卖出牛奶总件数的，是把牛奶的总件数看作单位“1”，还剩下（1－），根据求一个数的几分之几是多少，用乘法，列式：300×（1－），求出剩下的牛奶有多少件；又运来剩下的，是把剩下的牛奶看作单位“1”，同样根据分数乘法的意义，求出运来的牛奶是多少件，加上之前剩下的件数，求出这时牛奶的总件数，与题目中的件数比较即可判断。 【规范解答】300×（1－） ＝300× ＝240（件） 240＋240× ＝240＋48 ＝288（件） 现在商场的牛奶有288件，原题说法错误。 故答案为：× 11． （23-24五年级下·四川成都·期末）的是多少，可以如图表示。 ( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】把一个大长方形看作单位“1”，把它平均分成7份，其中的4份表示，再把这4份看作一个整体，把它平均分成3份，其中的1份就表示的是多少，据此画图解答即可。 【规范解答】 第一个图表示把大长方形看作一个整体，把它平均分成7份，第二个图表示把大长方形平均分成3份，第三个图表示平均分成21份，阴影部分占1份，表示的是多少，不符合题意。 所以原题的图表示错误。 故答案为：× 12．（23-24六年级下·四川成都·期末）笑笑买课外书用了自己零花钱的，淘气买课外书也用了自己零花钱的，他们花的钱一样多。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】第一个是把笑笑的零花钱看作单位“1”，第二个是把淘气的零花钱看作单位“1”，假设笑笑的零花钱是30元，而淘气的零花钱是60元，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，分别算出他们零花钱的是多少，再判断。 【规范解答】假设笑笑的零花钱是30元，而淘气的零花钱是60元。 （元） （元） 笑笑买课外书用了自己零花钱的，淘气买课外书也用了自己零花线的，他们花的钱不一定一样多。原题说法错误。 故答案为：× 13．（25-26六年级上·四川凉山·期末）一本漫画书，小希第一天看了全书的，第二天看了剩下页数的，两天看的同样多。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】解答这道题需明确：求一个数的几分之几是多少，用乘法。可以将全书的页数设为页，根据小希第一天看了全书的，第二天看了剩下页数的这两个条件，表示出第一天和第二天看的页数作比较即可。第一天看了全书的，单位“1”是全书的页数，即看了的，则第一天看了页。第二天看了剩下页数的，单位“1”是剩下的页数，剩下的页数页，则第二天看了的，据此求出第二天看了的页数，最后用第一天看的页数和第二天看的页数作比较即可。 【规范解答】设全书有页。 第一天看的页数： （页） 剩余页数： （页） 第二天看的页数： （页） 比较和。 因为，所以与不相等，因此两天看的页数不相同。 故答案为：× 【考点剖析】这道题的关键是理解题目中的两个所对应的单位“1”是不同的，第一个对应的单位“1”是全书的页数，第二个对应的单位“1”是剩下的页数。 14．列算式计算。 已修了，还剩下多少米？ 【答案】160米 【思路引导】把这条路的长度看作单位“1”，已修了，则还剩这条路的（1－），再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算即可。 【规范解答】400×（1－） ＝400× ＝160（米） 15．解方程。                          【答案】；x＝；x＝16 【思路引导】（1）根据等式的性质，在方程两边同时乘即可； （2）根据等式的性质，在方程两边同时加上即可； （3）先计算方程的左边，把原方程化为，再根据等式的性质，在方程两边同时除以2即可。 【规范解答】 解： 解： 解： 16．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 （1）            （2）    （3） 【答案】（1）0；（2）1；（3） 【思路引导】（1）应用加法交换律以及减法的性质：a＋b＋c＝a＋c＋b，a－b－c＝a－（b＋c）。 （2）应用减法的性质：a－（b－c）＝a－b＋c。 （3）分数裂项：（a≠0）。 【规范解答】（1） ＝ ＝0 （2） ＝ ＝1 （3） ＝（1－）＋（－）＋（－）＋（－）＋（－） ＝1－ ＝ 17．（25-26六年级上·山西临汾·期末）韩叔叔下班途中到加油站加95号汽油。加油前的油表显示和当日部分油价如图所示，汽车油箱的容积为48升，韩叔叔的加油卡里还有270元，能将油箱加满吗？ 【答案】不能 【思路引导】将油箱容积看作单位“1”，由图可知，汽油还剩整个油箱容积的，那么需要加的油是整个油箱容积的（1－），根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”，用48乘（1－）求出需要加的油量；当日95号汽油价格是8.39元/升，根据“单价×数量＝总价”，用需要加的油量乘8.39求出加油总费用；最后将加油总费用与270进行比较即可。 【规范解答】48×（1－）×8.39 ＝48××8.39 ＝36×8.39 ＝302.04（元） 302.04＞270 答：不能将油箱加满。 18．（25-26六年级上·广东深圳·期末）陶瓷厂有一种宽是60厘米的长方形瓷砖，技术改良后，瓷砖的宽增加了，这样瓷砖的面积就增加了2000平方厘米。技术改良后的瓷砖面积是多少平方分米？（先在图中画出增加的部分，再解答） 【答案】画图见详解；80平方分米 【思路引导】瓷砖的宽增加了，则宽增加了（）厘米，由此即可画图； 增加的面积为长方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，用增加的面积2000平方厘米除以增加的宽度20厘米即可求出瓷砖的长度，再根据长方形的面积公式即可求出技术改良后的瓷砖面积，再根据1平方分米＝100平方厘米即可换算。 【规范解答】 （厘米） 2000÷20＝100（厘米） 100×（60＋20） ＝100×80 ＝8000（平方厘米） 8000÷100＝80（平方分米） 答： 技术改良后的瓷砖面积是80平方分米。 19．（25-26六年级上·江苏南通·期末）说理题。 根据“一根电缆，第一次用去它的，第二次用去m，要求第几次用去的长一些，我们无法判断。但是如果将条件改成“一根电缆，第一次用去它的，第二次用去m，就可以确定第一次用去的长，请先填空，再说明理由。（可以计算或者画图） 【答案】；理由见详解 【思路引导】解答这道题的关键是理解原来的题里，第一次用去，第二次用去米。假如总长1米时，第一次用米，和第二次一样长；总长2米时，第一次用米，比第二次长。所以没法判断。 现在要让“第一次用的一定长”，就得让“第一次的占比”足够大，大到不管总长多少，第一次用的长度都超过米。 假设第一次用总长的，则剩下的长度：总长×（1－）＝总长×。 即第一次为总长×，剩下的长度为总长× 第二次用去米，是从剩下的部分里用的，所以米＜第一次的长度。据此解答。 【规范解答】现在要让“第一次用的一定更长”，就得让“第一次的占比”足够大，这样就能使第一次用的长度都会超过米。 所以第一次用的占比只要大于就可以保证上面的结果。 如一根电缆，第一次用去它的，第二次用去m，就可以确定第一次用去的长。（答案不唯一） 【考点剖析】这类题的关键是：要让“第一次用的一定更长”，就选“大于的占比”——因为占比超过总长的一半，第一次用的长度就超过总长的一半，第二次最多用去剩下的，所以第一次肯定更长。 20．现有含糖量为的糖水200克，要把它变成含糖量为的糖水，需要加糖多少克？ 【答案】25克 【思路引导】含糖量为的糖水200克，含水的质量为200×（1－）＝180（克），含糖量为的糖水，水重量是180÷（1－），计算出结果，再减去200克即可。 【规范解答】200×（1－） ＝200× ＝180（克） 180÷（1－） ＝180÷ ＝180× ＝225（克） 225－200＝25（克） 答：需要加糖25克。 【考点剖析】此题抓住了水的质量不变来求浓度为的糖水质量，这是解题的关键。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏教版数学五年级下册期末真题汇编培优讲练 第七单元 分数乘法『期末复习精编讲义』（培优版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+13个考点讲练4个奥数拓展+真题演练 共71题） 同学你好，该份讲义用于苏教版五年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 分数与整数相乘 3 知识点二 分数与分数相乘 4 知识点三 分数与小数相乘 4 知识点四 积与因数的大小关系 4 知识点五 分数混合运算 5 知识点六 分数简便计算 5 知识点七 分数乘法解决问题 5 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 分数与整数相乘 6 高频考点二 求一个数的几分之几的问题 7 高频考点三 分数乘分数的计算 7 高频考点四 分数乘分数的应用 8 高频考点五 分数乘小数的计算 9 高频考点六 分数乘小数的应用 9 高频考点七 分数的连乘运算的计算 10 高频考点八 分数的连乘运算的应用 11 高频考点九 连续求一个数的几分之几是多少的问题 11 高频考点十 因数和积的大小关系（分数乘法) 12 高频考点十一 倒数的认识 12 高频考点十二 与倒数有关的综合计算 13 高频考点十三 自然数与倒数的和或差的问题 13 奥数拓展一 分数乘分数的运算与应用 15 奥数拓展二 分数连乘运算与应用 15 奥数拓展三 因数和积的大小关系 16 奥数拓展四 与倒数有关的综合计算 16 优选真题 实战演练 17 知识点一 分数与整数相乘 1. 分数与整数相乘表示的意义 （1）分数乘整数表示求几个相同加数的和的简便运算或者求一个分数的几倍是多少。 （2）整数乘分数表示求一个整数的几分之几是多少。 注意：分数乘整数和整数乘分数所表示的意义在叙述方面略有区别，但二者并无本质不同。 2. 分数与整数相乘的计算法则 分数与整数相乘，分母不变，分子乘整数作分子，即：。 注意：能约分的先约分。 知识点二 分数与分数相乘 1.分数乘分数表示的意义 分数乘分数表示求一个数的几分之几是多少。 2.分数乘分数的计算法则 分数乘分数，把分母乘分母的积作为新的分母，分子乘分子的积作为新的分子，即：。 注意：能约分的先约分。 知识点三 分数与小数相乘 1. 分数乘小数表示的意义:表示求一个小数的几分之几是多少。 2.分数乘小数的计算法则 （1）先把小数统一成分数，再按照分数乘分数的计算法则计算； （2）如果所乘分数可以化为有限小数，也可以把分数统一成小数再计算； （3）如果小数和分母能直接约分，可以先约分再计算比较简便。 注意：能约分的先约分。 知识点四 积与因数的大小关系 1. 一个不为0的数乘大于1的数，积比原来的数（大）； 2. 一个不为0的数乘小于1的数，积比原来的数（小）； 3. 一个不为0的数乘等于1的数，积等于原来的数； 4. 用字母表示积与因数的关系： 在a×b=c中，若b>1，则c>a；若b=1，则c=a；若b<1，则c<a。 补充：积的变化规律和积不变的规律 1. 一个因数乘（或除以）一个数（不为0），积也随着乘（或除以）这个数。 2. 当一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数除以（或乘）同一个数时，积不变。 知识点五 分数混合运算 1. 分数的连乘运算顺序与整数连乘运算顺序相同，同级运算，（从左往右）依次计算。 2. 没有括号的，先算乘法，再算（加减法）；有括号的，先算括号里面的，再算括号外面的。 注意：能约分的先约分。 知识点六 分数简便计算 整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。 1. 乘法交换律:两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，用字母表示为a×b=b×a。 2. 乘法结合律:三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)。 3. 乘法分配律:两个数的和或差与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加或相减，这叫做乘法分配律，用字母表示： （1）乘法分配律：（a×（b+c）=a×b+a×c）。 （2）乘法分配律的逆运算：（a×b+a×c=a×（b+c））。 4. 运用乘法运算律进行简便计算的方法 一看，观察算式的特点； 二想，想一想运用哪种运算律能使计算简便； 三算，按运算律计算出结果。 5. 注意。 进行分数乘法混合运算时，不能被题中的数诱导，盲目地“简算”，要严格按照乘法运算律进行简算。 知识点七 分数乘法解决问题 1. 寻找单位“1” （1）（“占”、“是”、“比”）的后面。 （2）在分率句中，“分率”的前面。 2. 写等量关系式 （1）“的”相当于“×”、“占”、“是”、“比”相当于“=”； （2）分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量； （3）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量×（1±分率）=分率对应量。（已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的几分之几是多少） 3. 画线段图 （1）两个量的关系：画两条线段图； （2）部分和整体的关系：画一条线段图。 4. 求一个数的几分之几是多少的解题方法 求一个数的几分之几是多少，（单位“1”的量）×对应的分率=对应分量 5. 连续求一个数的几分之几是多少的解题方法 单位“1”的量×分数＝对应量（比较量）。 6. 已知一个数量比另一个数量多（或少）几分之几，求这个数量的解题方法 方法一：单位“1”的量±单位“1”的量×另一个数量比单位“1”多(或少)的几分之几＝另一个数量； 方法二：单位“1”的量×（1±另一个数量比单位“1”多(或少)的几分之几）＝另一个数量。 高频考点一 分数与整数相乘 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·广西桂林·期末）15分( )时    吨( )千克 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·山西临汾·期末） 吨＝( )千克      650立方分米＝( )立方米 45分＝( )时     2.04立方分米＝( )升( )毫升 【变式训练2】（25-26六年级上·河南平顶山·期末）科学创客小组设计了甲、乙两个机器人，将它们放在相距8米的直线跑道两端，并遥控它们同时出发，相向而行。10秒后，甲走了全程的，乙走了全程的。这时两个机器人相距多少米？ 高频考点二 求一个数的几分之几的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏南通·期末）古人说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。意思是说：一尺长的木棍，每天截取一半，永远也截取不完。照这样推算，第2天截取后剩下的长度占这根木棍的；第（    ）天截取后剩下的长度占这根木棍的。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）两根同样长的铁丝，一根用去了，另一根用去了米，剩下的铁丝相比，（    ）。 A．第一根长 B．第二根长 C．同样长 D．无法比较哪根长 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·北京密云·期末）一满杯100%纯牛奶，小明先喝了全部的，然后在牛奶杯中添满水再喝。比较小明两次喝100%纯牛奶的量，结果是（    ）。 A．第一次多 B．第二次多 C．两次一样多 D．无法确定 高频考点三 分数乘分数的计算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·河北唐山·期末）湿地公园要修一条长km的步道，第一次修了它的，还剩( )km：第二次修了km，最后还剩( )km。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏泰州·期末）数学课上，老师带领大家“回头看”乘法计算的算理，小明所在的小组写出这样一组算式： 30×50＝（3×10）×（5×10）＝（3×5）×（10×10）＝15×100 0.3×0.5＝（3×0.1）×（5×0.1）＝（3×5）×（0.1×0.1）＝15×0.01 他们发现：整数乘法算理与小数乘法算理之间有着密切的联系。请你想一想：分数乘法的算理是不是也与整数、小数乘法算理之间有着密切的联系？并完成以下填空。 (1)（____×____）×（____×____） (2)（____×____）×（____×____） ＝（____×____）×（____×____） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）解方程。          高频考点四 分数乘分数的应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·陕西延安·期末）西西假期去奶奶家玩，坐车的路程占全程的，走路的路程是坐车的，走路的路程占全程的几分之几？若西西家到奶奶家的路程是28千米，走路的路程是多少千米？ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·浙江杭州·期末）小敏第一次喝了一杯咖啡的，第二次喝了剩下的，小敏两次喝了这杯咖啡的几分之几？（请先画一画，再算一算，尽可能写详细一些，让老师能看懂你是怎样想的。） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24六年级上·山西太原·期末）养鱼密度不能太高，否则由于高密度的饲养会让水中溶解氧不足，鱼缸里的鱼儿就容易出问题。水族界有个比较公认的算法，那就是一升水大约能养1厘米长的一条鱼，比如10升水就大约能养10厘米长的一条鱼或者养1厘米长的10条鱼。小红妈妈买了一个长米、宽米、高0.4米的鱼缸，最多能养多少条10厘米长的锦鲤？ 高频考点五 分数乘小数的计算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）看图只列式（或方程）不计算。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·陕西西安·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.7( )3.7×0.99    4.25＋0.1( )4.25×0.5    6.6×( )6.6÷10 0.5时( )50分    6.5吨( )6吨6千克    3.2×5.1( )0.32×51 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24六年级下·河南信阳·期末）下列各式，（    ）的结果最小。 A．3.14× B．3.14×0.875 C．3.14× D．3.14÷1.25 高频考点六 分数乘小数的应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）2022年北京冬奥会在北京和张家口举办。京张高铁于2016年上半年开工，2020年底建成，全长约174千米。原来乘火车从北京到张家口最快用3时12分，最慢用5时33分。建成高铁后，乘高铁所用的时间仅是原来最快时间的。高铁通车后从北京到张家口乘高铁大约需要多长时间？ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）某水果店购进水果2.1吨，第一周卖出，第二周卖出吨，两周共卖出多少吨水果？ 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）芳芳和爸爸到哈尔滨自驾游，在地图上查询牡哈两地相距314.4千米。他们从牡丹江出发后行驶了全程的，还有多少千米到达哈尔滨？ 高频考点七 分数的连乘运算的计算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·湖南长沙·期末）一列分数：、、、…，第10个分数是( )，这列分数的积是( )。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24六年级上·江苏盐城·期末）估计×××…的结果，叙述正确的是（    ）。 A．大于0而小于 B．大于而小于1 C．等于1 D．大于1而小于2 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）只列式不计算。 高频考点八 分数的连乘运算的应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（23-24六年级上·四川达州·期末）小卖部的货架上有3种笔，其中钢笔有84支，铅笔支数是钢笔的，中性笔支数是铅笔的。小卖部的货架上有中性笔多少支？ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）学校图书馆有图书4500本。其中科技书占总本数的，文艺书的本数是科技书的，求学校有文艺书多少本？ 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）养鱼密度不能太高，否则由于高密度的饲养会让水中溶解氧不足，鱼缸里的鱼儿就容易出问题。水族界有个比较公认的算法，那就是一升水大约能养1厘米长的一条鱼，比如10升水就大约能养10厘米长的一条鱼或者养1厘米长的10条鱼。小红妈妈买了一个长米、宽米、高米的鱼缸，最多能养多少条18厘米长的锦鲤？ 高频考点九 连续求一个数的几分之几是多少的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级下·广西河池·期末）《庄子·天下》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思就是：一根一尺长的木棍，今天取它的一半，即，明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……这样取下去，永远也取不完。照这样推算，第四天截取的长度占最初木棒长度的（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24六年级下·江苏常州·期末）《庄子》有言：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”。意思是：一根1尺长的木棍（尺，中国古代长度单位），第一天取走它的一半，第二天取走剩下的一半，第三天再取走剩下的一半……这样取下去，永远也取不完。按这样的方法，第四天取过后，这根木棍一共被取走了( )尺。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）人体血液在主动脉中的流动速度约为20厘米/秒，在静脉中的流动速度约为主动脉中的，在毛细血管中的流动速度大约只有静脉中的。血液在毛细血管中每秒约流动( )厘米。 高频考点十 因数和积的大小关系（分数乘法) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·江苏盐城·期末）两根一样长的绳子，第一根用去，第二根用去米，那么两根绳子用去的长度相比（    ）。 A．第一根长 B．第二根长 C．一样长 D．无法比较 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·重庆南川·期末）如果（，，均大于0），那么，，这三个数中（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·江苏扬州·期末）下面的算式中，计算结果最大的是（    ）。 A． B． C． D． 高频考点十一 倒数的认识 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·山西太原·期末）将如图折成正方体后，相对的两个面上的数互为倒数，那么★×△＝( )。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏南京·期末）请在图中添上一个正方形，使它成为一个正方体的展开图。如果这个正方体每个面上都写有不同的数，并且每相对两个面上的数互为倒数，那么b表示的数是（    ）。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·河北承德·期末）下列各题中，互为倒数的是（    ）。 A．8.3和3.8 B．和 C．0.4和2.5 高频考点十二 与倒数有关的综合计算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·安徽亳州·期末）如果，则a（    ）b。 A．＜ B．＞ C．＝ D．无法确定 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24六年级上·河南郑州·期中）0.3的倒数与的积是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·河北保定·期末）a的倒数是它本身，b没有倒数，那么( )。 高频考点十三 自然数与倒数的和或差的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏南通·期末） (1)在图中表示出的计算过程和结果。 (2)研究乘法计算时，可以从计数单位的角度思考，例如： 50×30 ＝（5×10）×（3×10） ＝（5×3）×（10×10） ＝15×100 ＝1500 0.5×0.3 ＝（5×0.1）×（3×0.1） ＝（5×3）×（0.1×0.1） ＝15×0.01 ＝0.15 同样，在分数乘法中，我们也可以从计数单位的角度来思考。请照样子写出和（）的计算过程。 ＝（____×____）×（____×____） ＝（____×____）×（____×____） ＝____×____ ＝____ ＝（____×____）×（____×____） ＝（____×____）×（____×____） ＝____×____ ＝____ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏泰州·期末）找规律，填一填。 (1)0.5，，0.75，( )，，( )。 (2)如下图所示，第四次截去还剩下( )，第( )次截去还剩下。 第一次截去还剩下 第二次截去还剩下 第三次截去还剩下 …… …… 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏南通·期末）观察下列式子，然后解决问题。 ，，… (1)试猜想：____________。 (2)运用（1）中猜想得到的规律计算： ① ② 奥数拓展一 分数乘分数的运算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）在我们的日常生活中，纸随处可见。室内装修用的壁纸、阅读时的报纸、易消耗的餐巾纸，可以说纸为日常生活带来了极大的改变。也正是由于人们对纸的大量需求，作为造纸原料的树木砍伐量也在与日俱增。为了更好地节约资源，人们开始寻找更高效地利用纸张的办法，再生纸就是一个不错的选择。1千克废纸大约可生产千克的再生纸。如果每人每月回收千克废纸，那么一个班40人一个月回收的废纸大约能生产多少千克再生纸？ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）甲数是18，乙数是甲数的，丙数是乙数的，丙数是（    ）。 A．32.4 B．22.5 C．10 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）《庄子·天下》中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是说：一尺长的木棍，每天截取一半，永远也截取不完。照这样推算，第三天截取的长度占木棍长度的( )，前三天共截取木棍长度的( )。 奥数拓展二 分数连乘运算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025·湖北十堰·小升初真题）如图，平行四边形的面积是84平方厘米。 （1）阴影部分的面积是多少平方厘米？ （2）丙三角形的面积是甲三角形面积的几分之几？（列式计算） 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24六年级下·江苏·小升初复习）如图，长方形的面积是120平方厘米，这个长方形的一条长被4条距离相等的平行线平均分成了3份，则涂色三角形的面积是( )平方厘米。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）为庆祝建党一百周年，实验小学举办了个人红歌演唱比赛。获奖（一等奖、二等奖和三等奖）的一共有27人，其中获得一等奖的人数是获奖总人数的，获得二等奖的人数是获得二、三等奖总人数的，获得三等奖的有多少人？ 奥数拓展三 因数和积的大小关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·北京昌平·期末）甲数的倒数大于乙数的倒数（甲、乙均不为0），这两个数相比较（    ）。 A．甲数大 B．乙数大 C．同样大 D．无法确定哪个大 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24六年级上·江苏连云港·期中）为非零自然数，如果，那么不可能是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24六年级上·山西临汾·期中）已知m＞0，如果×m＜m（ab两数都大于0），则a＞b。( )（判断对错） 奥数拓展四 与倒数有关的综合计算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·江苏·课后作业）两个连续奇数的倒数差是，这两个连续奇数是多少？ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2024五年级下·全国·专题练习）三个不同质数的倒数之和是，这三个质数分别是多少？ 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）某人在计算，，，这四个分数的平均值时，误将其中一个分数看成了它的倒数，他计算出的平均值与正确的结果最多相差（    ）。 A． B． C． D． 1．（25-26六年级上·河北廊坊·期末）一根铁丝长米，第一次用去全长的，第二次用去米，则（    ）。 A．第一次用的铁丝多 B．第二次用的铁丝多 C．两次用的铁丝一样多 D．无法判断哪次用的铁丝多 2．（25-26六年级上·广东广州·期末）下图中阴影部分能表示的是（    ）。 A． B． C． D．以上都不可以 3．（25-26六年级上·江苏泰州·期末）一小学排球队、篮球队和田径队的队员人数之间的关系，如下图所示。根据图中信息，同学们列出了四个等量关系，其中正确的（    ）。 ①篮球队人数×＝排球队人数    ②篮球队人数×＝田径队人数 ③排球队人数×＝田径队人数    ④排球队人数×＝田径队人数 A．只有②③ B．只有②④ C．只有①②④ D．有①②③④ 4．（25-26六年级上·江苏常州·期末）两根同样长的彩带，第一根用去了米，第二根用去了全长的，比较两根彩带剩下的彩带。（    ） A．第一根长 B．第二根长 C．一样长 D．无法比较 5．（25-26六年级上·河北邢台·期末）下面选项中，算式不可以列成“”的是（      ）。 A．4个相乘 B．求4个相加的和 C．求的4倍 6．（25-26六年级上·四川眉山·期末）先观察，再照样子写一写。 (1)例：20×30＝（10×2）×（10×3）＝（10×10）×（2×3）＝100×6 0.2×0.3＝（0.1×2）×（0.1×3）＝（0.1×0.1）×（2×3）＝0.01×6 ( )。 (2)例： 把写成上面的和或差的形式( )。 7．（25-26六年级上·四川达州·期末）如果a与互为倒数，那么a的分数单位是( )，a再添上( )个这样的分数单位就是最小的质数。 8．（25-26六年级上·吉林长春·期末）小球从10米的高处自由下落，每次反弹高度是下落高度的，它的第三次反弹达到的高度是( )米。 9．（24-25六年级上·江苏南京·期末）一名叫巴尔末的数学教师成功从光谱数据，，，，…中得到用于氢原子谱线波长的经验公式，从而打开了光谱奥秘的大门。按照这种规律，第7个数据是( )。 10．（24-25六年级上·湖北黄石·期末）商场有牛奶300件，卖出后，又运进剩下的，商场的牛奶仍然有300件。( )（判断对错） 11． （23-24五年级下·四川成都·期末）的是多少，可以如图表示。 ( )（判断对错） 12．（23-24六年级下·四川成都·期末）笑笑买课外书用了自己零花钱的，淘气买课外书也用了自己零花钱的，他们花的钱一样多。( )（判断对错） 13．（25-26六年级上·四川凉山·期末）一本漫画书，小希第一天看了全书的，第二天看了剩下页数的，两天看的同样多。( )（判断对错） 14．列算式计算。 已修了，还剩下多少米？ 15．解方程。                          16．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 （1）            （2）    （3） 17．（25-26六年级上·山西临汾·期末）韩叔叔下班途中到加油站加95号汽油。加油前的油表显示和当日部分油价如图所示，汽车油箱的容积为48升，韩叔叔的加油卡里还有270元，能将油箱加满吗？ 18．（25-26六年级上·广东深圳·期末）陶瓷厂有一种宽是60厘米的长方形瓷砖，技术改良后，瓷砖的宽增加了，这样瓷砖的面积就增加了2000平方厘米。技术改良后的瓷砖面积是多少平方分米？（先在图中画出增加的部分，再解答） 19．（25-26六年级上·江苏南通·期末）说理题。 根据“一根电缆，第一次用去它的，第二次用去m，要求第几次用去的长一些，我们无法判断。但是如果将条件改成“一根电缆，第一次用去它的，第二次用去m，就可以确定第一次用去的长，请先填空，再说明理由。（可以计算或者画图） 20．现有含糖量为的糖水200克，要把它变成含糖量为的糖水，需要加糖多少克？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $