第六单元 长方体和正方体（期末复习讲义-培优版）知识梳理+6个考点讲练+5个奥数拓展+真题演练 共52题-2025-2026学年苏教版数学五年级下册真题汇编必刷冲关练

2025-2026学年苏教版数学五年级下册期末真题汇编培优讲练 第六单元 长方体和正方体『期末复习精编讲义』（培优版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+6个考点讲练5个奥数拓展+真题演练 共52题） 同学你好，该份讲义用于苏教版五年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 4 知识点一 长方体的认识及特征 4 知识点二 正方体的认识及特征 4 知识点四 正方体的表面展开图 6 知识点五 长方体的棱长及棱长总和 7 知识点六 正方体的棱长及棱长总和 7 知识点七 长方体的表面积 7 知识点八 正方体的表面积 8 知识点九 长方体和正方体的切拼问题 8 知识点十 立方体表面染色问题 9 知识点十一 体积和容积的认识 9 知识点十二 体积和容积的单位 10 知识点十三 长方体的体积 11 知识点十四 正方体的体积 11 知识点十五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 11 知识点十六 剪角折叠求体积问题 12 知识点十七 等积变形问题 12 知识点十八 排水法求不规则物体体积 12 知识点十九 不规则及组合立体图形的表面积和体积 13 考点讲练 真题汇总 13 高频考点一 长方体表面积的计算与应用 13 高频考点二 正方体表面积的计算与应用 15 高频考点三 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 16 高频考点四 组合体的表面积（长方体、正方体） 18 高频考点五 长方体的体积的计算与应用 21 高频考点六 正方体的体积的计算与应用 22 奥数拓展一 体积的等积变形（长方体、正方体) 24 奥数拓展二 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 27 奥数拓展二 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 28 奥数拓展三 组合体的体积（长方体、正方体） 29 奥数拓展四 不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 32 奥数拓展五 表面涂色的正方体 35 优选真题 实战演练 36 知识点一 长方体的认识及特征 1. 长方体的定义：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成 （1）面：长方体有6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱：长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等； （3）顶点：长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征 4. 长方体的长、宽、高 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点二 正方体的认识及特征 1. 正方体的认识：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的长方体。 2. 正方体的组成 （1）面：正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱：正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点：正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3. 正方体的特征 （1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系 （1）转化关系：正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点：都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的面相等且平行。 （3）区别 知识点三 长方体的表面展开图 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型 （1）一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； （2）二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； （3）二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种； （4）三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2. 口诀 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 知识点四 正方体的表面展开图 1. 正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点五 长方体的棱长及棱长总和 1. 棱长总和定义：长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式：长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为L=（a+b+h）×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计算步骤。 知识点六 正方体的棱长及棱长总和 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 知识点七 长方体的表面积 1. 长方体的表面积：长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式：长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题 4. 表面积在我们生活中 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 知识点八 正方体的表面积 1. 正方体的表面积：正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式：正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中：与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点九 长方体和正方体的切拼问题 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加 （1）正方体的单次切割 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少 （1）正方体的拼接：两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接：长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题 （1）将长方体切割成若干个正方体：将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体：将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 知识点十 立方体表面染色问题 1. 立方体表面染色问题：立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的数量。 2. 染色规律 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 知识点十一 体积和容积的认识 1. 体积 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别 知识点十二 体积和容积的单位 1. 体积单位 （1）立方米（m3） 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3） 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3） 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位 （1）升（L） 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点十三 长方体的体积 1. 长方体的体积计算公式 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点十四 正方体的体积 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³ 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 知识点十五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 知识点十六 剪角折叠求体积问题 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 知识点十七 等积变形问题 1. 等积变形问题 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点十八 排水法求不规则物体体积 1. 排水法求不规则物体的体积 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十九 不规则及组合立体图形的表面积和体积 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 高频考点一 长方体表面积的计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏苏州·期末）一个长方体，如果宽增加2厘米就成了正方体，表面积就增加了72平方厘米，原来长方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 414 567 【思路引导】根据题意，一个长方体的宽增加2厘米就成了正方体，说明原来长方体的长和高相等。所以增加的面积是4个完全相同的长方形面积之和。用增加的面积除以4算出一个长方形的面积，再除以2即可算出原来长方体的长或高。用长减去2可以算出原来长方体的宽。根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高计算即可。 【规范解答】72÷4÷2＝9（厘米） 9－2＝7（厘米） 表面积：（9×7＋9×9＋7×9）×2 ＝（63＋81＋63）×2 ＝207×2 ＝414（平方厘米） 体积：9×7×9＝567（立方厘米） 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️） （25-26六年级上·江苏镇江·期末）琳琳往一个从里面量长10分米，宽8分米，高12分米的长方体空水箱里注水，当水箱里的水所形成的长方体第一次出现相对的两个面是正方形时，琳琳注入了( )升的水；当第二次出现正方形时，水与水箱接触的面积是( )平方分米。 【答案】 640 440 【思路引导】①当水箱里的水所形成的长方体第一次出现相对的两个面是正方形时，此时水面的高度等于长方体水箱的宽，即8分米。根据长方体的体积公式V＝abh，将a＝10分米，b＝8分米，h＝8分米代入公式计算。利用1立方分米＝1升进行单位换算即可。 ②当第二次出现正方形时，此时水面的高度等于长方体水箱的长，即10分米。水与水箱接触的面有5个面，底面和四周的面，接触的面积＝底面面积＋前后两面的面积＋左右两面的面积。根据底面面积＝ab，前或后面的面积＝ah，左或右面的面积＝bh，将a＝10分米，b＝8分米，h＝10分米代入公式，计算。 【规范解答】①10×8×8 ＝80×8 ＝640（立方分米） 640立方分米＝640升 ②底面面积：10×8＝80（平方分米） 前后两个面的面积： 10×10×2 ＝100×2 ＝200（平方分米） 左右两个面的面积： 8×10×2 ＝80×2 ＝160（平方分米） 80＋200＋160 ＝280＋160 ＝440（平方分米） 琳琳往一个从里面量长10分米，宽8分米，高12分米的长方体空水箱里注水，当水箱里的水所形成的长方体第一次出现相对的两个面是正方形时，琳琳注入了640升的水；当第二次出现正方形时，水与水箱接触的面积是440平方分米。 【考点剖析】明确水形成的长方体出现相对的两个面是正方形时，对应的水面高度是解题关键。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·江苏盐城·期末）明明把一个长方体木块正好锯成了两个相同的正方体，每个正方体的表面积是长方体表面积的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】把一个长方体木块正好锯成了两个相同的正方体，所以长方体的宽和高相等，且长等于宽（高）的两倍。可以设长方体的宽和高为1，则长为1的2倍。由此，正方体的棱长为1，根据长方体表面积＝长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2，正方体表面积＝棱长×棱长×6分别算出长方体和正方体表面积后，用正方体表面积除以长方体表面积。 【规范解答】设长方体的宽和高为1，则正方体的棱长为1。 每个正方体的表面积是长方体表面积的。 高频考点二 正方体表面积的计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏盐城·期末）用一根36厘米长的铁丝围成一个正方体，这个正方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 54 27 【思路引导】铁丝的长度是正方体的棱长总和，正方体有12条棱，且每条棱长度相等，因此用总长度除以12即可得到棱长，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算即可求出这个正方体的表面积；根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可求出这个正方体的体积。 【规范解答】36÷12＝3（厘米） 3×3×6 ＝9×6 ＝54（平方厘米） 3×3×3 ＝9×3 ＝27（立方厘米） 所以这个正方体的表面积是54平方厘米，体积是27立方厘米。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·安徽滁州·期末）一根细铁丝正好围成一个长8cm、宽5cm、高2cm的长方体框架，铁丝长( )cm。如果改围成一个正方体，棱长是( )cm；如果将该正方体的外面贴上一层白纸，至少需( )cm2。 【答案】 60 5 150 【思路引导】铁丝长度即为长方体的棱长总和，长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4；铁丝长度不变，所以正方体棱长总和等于长方体棱长总和，用棱长总和除以12求出正方体的棱长；所需白纸的面积即为正方体的表面积，正方体表面积＝棱长×棱长×6。 【规范解答】铁丝长度：（8＋5＋2）×4 ＝（13＋2）×4 ＝15×4 ＝60（cm） 正方体棱长：60÷12＝5（cm） 所需白纸面积：5×5×6 ＝25×6 ＝150（cm2） 高频考点三 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏淮安·期末）如图，用27个相同的小正方体搭一个大正方体，从上面拿走一些小正方体，剩下部分的表面积与原来大正方体的表面积相等的情况是（    ）。 A．拿走⑧ B．拿走②⑤ C．拿走①②③ D．拿走②③⑧⑨ 【答案】D 【思路引导】从大正方体中拿走小正方体时，表面积的变化取决于小正方体在顶点，棱，面的位置： 顶点位置的小正方体：有3个面露在外面，拿走后，会露出3个新的面，表面积不变； 棱上（非顶点）的小正方体：有2个面露在外面，拿走后，会露出4个新的面，表面积增加2个面； 面上（非棱上）的小正方体：有1个面露在外面，拿走后，会露出5个新的面，表面积增加4个面。 【规范解答】A．⑧位于面上（非棱上），共1个面露在外面，拿走后，会露出5个新的面，表面积增加4个面，不符合题意； B．②位于棱上（非顶点），⑤位于面上（非棱上），它们共3个面露在外面，同时拿走后，会露出7个新的面，表面积增加4个面，不符合题意； C．①③都位于顶点位置，②位于棱上（非顶点），它们共8个面露在外面，同时拿走后，会露出6个新的面，表面积减少2个面，不符合题意； D．②⑨位于棱上（非顶点），⑧位于面上（非棱上），③位于顶点位置，它们共8个面露在外面，同时拿走后，会露出8个新的面，表面积不变，符合题意。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏泰州·期末）如图，用n个棱长2厘米的小正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】16n＋8 【思路引导】n个棱长为2厘米的小正方体排成一排拼成长方体，长方体的长为n×2＝2n厘米，宽和高均等于小正方体的棱长。据此代入长方体表面积公式S＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2中求解即可。 【规范解答】拼成的长方体的长为2n厘米，宽和高均为2厘米，因此表面积为： （2n×2＋2n×2＋2×2）×2 ＝（4n＋4n＋4）×2 ＝（8n＋4）×2 ＝8n×2＋4×2 ＝16n＋8（平方厘米） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏徐州·期末）如图，把一个长方体分割成两个小长方体，分别按三种方式进行分割后，表面积分别增加了。原来这个长方体的表面积是( )。 【答案】94 【思路引导】三个图中，切口处增加两个面的面积分别等于原长方体的“上下”、“前后”、“左右”两个面的面积，求出原长方体“上下、前后、左右”六个面的面积之和即是原长方体的表面积。 【规范解答】30＋40＋24 ＝70＋24 ＝94（） 【考点剖析】核心是理解切口处增加两个面的面积是原长方体相对两个面的面积。 高频考点四 组合体的表面积（长方体、正方体） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏南通·期末）下图是用棱长1厘米的正方体摆成的物体。 (1)在方格图中画出从前面、右面和上面看到的图形。 (2)这个物体的表面积是( )平方厘米。至少移动( )个小正方体使它变成一个大正方体。 【答案】(1)见详解 (2) 30 2 【思路引导】（1）由正方体摆成的物体可知前后共两排一共摆三层，前排第一层一个正方体，第二层一个正方体，第三层没有，后排第一层三个正方体，第二层两个正方体，第三层一个正方体，由此画出从前面看就是三层第一层三个正方形，第二层从左向右两个正方形，第三层从左向右一个正方形，从右面看就是三层第一层两个正方形，第二层两个正方形，第三层右边一个正方形，从上面看到就是两层第一层从左向右一个正方形，第二层三个正方形。图见详解。 （2）这个物体的表面积就是露出的正方体几个面即可计算，前排第一层一个正方体露出4个面，第二层的一个正方体露出4个面，后排第一层第一个正方体露出3个面，第二个正方体露出3个面，第三个正方体露出5个面，第二层第一个正方体露出2个面，第二个正方体露出4个面；第三层一个正方体露出5个面。由图可知一共8个小正方体，所以摆出一个大正方体只能是两层每层两个，所以由图至少挪动两个使它变成一个大正方体。 【规范解答】（1）前面、右面、上面分别如下图： （2）由分析： 4＋4＋3＋3＋5＋2＋4＋5＝30（平方厘米） 所以这个物体的表面积是30平方厘米。至少移动2个小正方体使它变成一个大正方体。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·福建宁德·期末）下图中小正方体棱长都是1厘米，按下面的规律排列。 (1)图②的表面积是( )平方厘米，图③的表面积是( )平方厘米。 (2)由n个这样的小正方体排成一排组成的长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】(1) 10 14 (2)4n＋2 【思路引导】（1）图②长方体由2个小正方体排成一排，此时长方体的长为2厘米，宽为1厘米，高为1厘米。根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，可得其表面积为（2×1＋2×1＋1×1）×2，计算得10平方厘米；图③长方体由3个小正方体排成一排，此时长方体的长为3厘米、宽为1厘米、高为1厘米。其表面积为（3×1＋3×1＋1×1）×2，计算得14平方厘米； （2）由n个这样的小正方体排成一排组成的长方体，长为n厘米，宽为1厘米，高为1厘米。其表面积为（n×1＋n×1＋1×1）×2，化简即可。 【规范解答】（1）（2×1＋2×1＋1×1）×2 ＝（2＋2＋1）×2 ＝（4＋1）×2 ＝5×2 ＝10（平方厘米） （3×1＋3×1＋1×1）×2 ＝（3＋3＋1）×2 ＝（6＋1）×2 ＝7×2 ＝14（平方厘米） 图②的表面积是10平方厘米，图③的表面积是14平方厘米。 （2）（n×1＋n×1＋1×1）×2 ＝（n＋n＋1）×2 ＝（2n＋1）×2 ＝2n×2＋1×2 ＝（4n＋2）平方厘米 由n个这样的小正方体排成一排组成的长方体的表面积是（4n＋2）平方厘米。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏徐州·期末）如图，是用棱长1厘米的小正方体拼成的，这个图形的表面积是( )平方厘米。拼成这个图形一共用了( )个小正方体；至少再添加( )个这样的小正方体，就可以拼成一个大的正方体（原来的小正方体位置保持不变）。 【答案】 36 10 17 【思路引导】已知小正方体的棱长是1厘米，则每个面是边长为1厘米的小正方形，根据“正方形面积＝边长×边长”可求出每个小正方形的面积。观察这个立体图形可知，从上面观察和从下面观察，都能看到6个小正方形，从左面观察和从右面观察，都能看到6个小正方形，从前面观察和从后面观察，都能看到6个小正方形，所以无论从哪一个面观察，都能看到6个小正方形，即这个立体图形的表面积是由（6×6）个小正方形的面组合而成，用其中一个小正方形的面积乘小正方形的数量，即可求出立体图形的表面积。 观察图形可知，该立体图形有3层，最上面一层有1个小正方体，中间一层有3个小正方体，最下面一层有6个小正方体，一共有1＋3＋6＝10个小正方体。 要拼成一个大正方体，这个图形的最大边长为3厘米，因此大正方体需要3×3×3＝27个小正方体，已有10个，所以需要添加27－10＝17个小正方体。 【规范解答】1×1＝1（平方厘米） 6×6＝36（个） 1×36＝36（平方厘米） 1＋3＋6＝10（个） 3×3×3 ＝9×3 ＝27（个） 27－10＝17（个） 因此，这个图形的表面积是36平方厘米。拼成这个图形一共用了10个小正方体；至少再添加17个这样的小正方体，就可以拼成一个大的正方体（原来的小正方体位置保持不变）。 【考点剖析】可以通过三视图求组合体的表面积，观察原图形的最长边（这里为3个小正方体的边长），确定拼成的大正方体边长为3，再计算其总小正方体数，减去已用数量，即可得到需要添加的数量。 高频考点五 长方体的体积的计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·安徽滁州·期末）科学实验室里有一个正方体的容器，棱长是25厘米，里面注满了水，有一根长50厘米、横截面是12平方厘米的长方体铁棒，现将铁棒垂直插入水中，会溢出多少毫升水？ 【答案】300毫升 【思路引导】容器注满水，溢出水的体积等于铁棒浸没在水中的体积。正方体容器棱长25厘米，即水深25厘米。铁棒长50厘米，大于水深，所以浸没部分的高度为25厘米。根据长方体体积公式：体积＝底面积×高求出浸没体积，再将立方厘米换算为毫升。 【规范解答】12×25＝300（立方厘米） 300立方厘米＝300毫升 答：会溢出300毫升水。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·山西临汾·期末）计算说理：张明在超市发现一盒牛奶的长方体包装盒上标注“净含量250毫升”。他从外面量，长6厘米，宽4厘米，高10厘米。请用你学过的知识解释这个标注是否合理？ 【答案】不合理 【思路引导】先根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，求出包装盒的外部体积，再将体积单位换算为容积单位，最后与标注的净含量进行比较。根据常识，对于同一个容器，由于包装材料有厚度，其外部体积一定大于内部容积，而净含量应小于或等于容积。若计算出的外部体积小于标注的净含量，则说明标注不合理。 【规范解答】长方体包装盒的体积：6×4×10＝240（立方厘米） 240立方厘米＝240毫升 240＜250，即包装盒的体积小于标注的净含量。 又因为包装盒有一定的厚度，包装盒的体积应大于容积，容积应大于或等于净含量。 答：这个标注不合理。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·青海海西·期末）小艾的爸爸买了一个观赏鱼缸，鱼缸内部长40厘米，宽30厘米，高30厘米，放入一个高20厘米，体积为4000立方厘米的假山石后，用水流量为每分钟4立方分米的水管向鱼缸注水，至少需要多少分钟能将假山石淹没？ 【答案】 5分钟 【思路引导】假山石高20厘米，所以水位要达到20厘米才能将其完全淹没，根据“长方体体积＝长×宽×高”可得此时鱼缸内20厘米高的空间总体积为40×30×20＝24000立方厘米； 因为假山石本身占了一部分体积，所以实际需要注入的水量是总体积减去假山石的体积（4000立方厘米），即24000－4000＝20000立方厘米； 根据“1立方分米＝1000立方厘米”，将立方厘米换算成立方分米，20000立方厘米＝20立方分米； 水管流量为每分钟4立方分米，用需水量除以水管每分钟的流量，即可得到注水所需的时间。据此解答。 【规范解答】40×30×20 ＝1200×20 ＝24000（立方厘米） 24000－4000＝20000（立方厘米） 20000立方厘米＝20立方分米 20÷4＝5（分钟） 答：至少需要5分钟能将假山石淹没。 【考点剖析】水位必须达到假山石的高度（20厘米）才能将其完全淹没，而不是注满整个鱼缸；因为假山石已经占据了一部分空间，所以计算需要注入的水量时，必须用“水位到20厘米时的总体积”减去“假山石的体积”。 高频考点六 正方体的体积的计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·安徽芜湖·期末）如图，将左边圆柱容器里的水全部倒入右边空的正方体容器内，正好装满这个正方体容器。左边圆柱容器的容量是( )升。 【答案】4 【思路引导】根据题意，明确1立方分米＝1升，正方体容器的棱长为1分米，其体积即为1×1×1＝1（立方分米），而1立方分米正好等于1升。圆柱容器的水正好装满这个正方体，圆柱容器内原来的水大约占四分之一，所以圆柱容器的容量就是1×4＝4升。以此答题即可。 【规范解答】1×1×1＝1（立方分米） 1立方分米＝1升 1×4＝4（升） 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·山西太原·期末）一个正方体的长增加3分米，表面积就比原来增加60平方分米，那么，原来正方体的棱长是( )分米，体积是( )立方分米。 【答案】 5 125 【思路引导】当正方体的长增加3分米时，增加的表面积是4个完全相同的长方形的面积和，每个长方形的宽为3分米，长为原正方体的棱长。 增加的表面积÷4＝长方形的面积 长方形的面积÷宽＝长（正方体的棱长） 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 【规范解答】正方体的棱长：60÷4÷3 ＝15÷3 ＝5（分米） 正方体的体积：5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方分米） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏徐州·期末）两个同样大小的正方体木块拼成一个长方体后，表面积减少了8平方分米。原来每个正方体的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 【答案】 24 8 【思路引导】两个完全相同的正方体拼成一个长方体，拼接时会重合两个正方形面，因此减少了的表面积就是这两个正方形面的面积和，先用8除以2算出一个正方形面的面积，由此得出正方体的棱长；再根据正方体表面积公式“棱长×棱长×6”，算出表面积，根据体积公式“棱长×棱长×棱长”，算出体积。 【规范解答】8÷2＝4（平方分米）； 因为2×2＝4，所以正方体的棱长为2分米； 2×2×6＝24（平方分米）； 2×2×2＝8（立方分米）； 所以，原来每个正方体的表面积是24平方分米，体积是8立方分米。 【考点剖析】重点考查正方体与长方体拼接后的表面积变化规律、正方体表面积和体积的计算公式，解题关键在于理解两个完全相同的正方体拼成长方体时，会重合两个完全一样的正方形面，减少了的表面积就是这两个面的面积和，先据此求出正方体一个面的面积与棱长，再代入公式计算表面积和体积即可。 奥数拓展一 体积的等积变形（长方体、正方体) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏扬州·期末）一个无盖长方体玻璃容器的长、宽、高分别为12厘米、8厘米、20厘米，容器中盛了一些水，已知水面高度为10厘米。 (1)容器中有水多少毫升？（玻璃厚度不计） (2)这时水与玻璃接触部分的面积是多少平方厘米？ (3)若将一根长方体方钢竖直插入容器底部，使方钢底面与容器底面接触。已知方钢高30厘米，底面是边长为4厘米的正方形。方钢插入后水面会上涨，则上涨后水面高度是多少厘米？ 【答案】(1)960毫升 (2)496平方厘米 (3)12厘米 【思路引导】（1）把容器中的水看作一个长方体，长方体的长是12厘米，宽是8厘米，高是10厘米，利用“长方体的体积＝长×宽×高”求出容器中水的体积，最后根据“1立方厘米＝1毫升”把体积单位转化为容积单位； （2）求水与玻璃接触部分的面积就是求长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，因为水与玻璃容器的上底面没有接触，所以只需计算长方体下底面和四个侧面的面积； （3）由题意可知，插入方钢后水的体积不变，水的底面积＝容器的底面积－方钢的底面积，上涨后水面的高度＝水的体积÷水的底面积，据此解答。 【规范解答】（1）12×8×10 ＝96×10 ＝960（立方厘米） 960立方厘米＝960毫升 答：容器中有水960毫升。 （2）（12×10＋8×10）×2＋12×8 ＝（120＋80）×2＋12×8 ＝200×2＋12×8 ＝400＋96 ＝496（平方厘米） 答：这时水与玻璃接触部分的面积是496平方厘米。 （3）960÷（12×8－4×4） ＝960÷（96－16） ＝960÷80 ＝12（厘米） 答：上涨后水面高度是12厘米。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏常州·期末）学习“蜡烛的变化”这课时，小华所在的小组做了一支蜡烛。将一块棱长4厘米的正方体蜡块熔化，放入一个长2.5厘米、宽2厘米的长方体模具，制成蜡烛。 (1)原先这块正方体蜡块的表面积是多少平方厘米？ (2)这支蜡烛的高是多少厘米？（损耗忽略不计） 【答案】(1)96平方厘米 (2)12.8厘米 【思路引导】解答这道题需明确：正方体表面积＝棱长×棱长×6；正方体体积＝棱长×棱长×棱长；长方体体积＝长×宽×高，则长方体的高＝体积÷长÷宽。 （1）题目中已知正方体的棱长为4厘米，根据正方体表面积公式计算即可。 （2）将正方体蜡块熔化后制作成一个长方体蜡块，体积不变。题目中已知长方体的长为2.5厘米，宽为2厘米，先根据正方体体积公式求出蜡块体积，再根据利用体积求长方体高的公式求出长方体的高。 【规范解答】（1） （平方厘米） 答：原先这块正方体蜡块的表面积是96平方厘米。 （2） （立方厘米） （厘米） 答：这支蜡烛的高是12.8厘米。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025·湖南长沙·小升初真题）有甲、乙两种长方体容器。甲容器长、宽、高分别为10厘米、3厘米、10厘米，乙容器长、宽、高分别是5厘米、4厘米、15厘米。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？ 【答案】60立方厘米 【思路引导】根据左图可知，甲容器中装水的体积是甲容器体积的一半，根据长方体的体积公式V＝abh，即可求出水的体积；将甲容器中的水倒一部分到乙容器中，使甲、乙两个容器中的水面高度相同，此时水的总体积不变。用甲容器中水的体积除以甲、乙容器的底面积之和，即可求出此时水面的高度；再根据长方体的体积公式V＝abh，求出乙容器中水的体积，即是从甲容器倒出的水的体积，据此进行解答。 【规范解答】甲容器中水的体积：10×3×10÷2 ＝30×10÷2 ＝300÷2 ＝150（立方厘米） 底面积之和：10×3＋5×4 ＝30＋20 ＝50（平方厘米） 高：150÷50＝3（厘米） 乙容器中水的体积：5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方厘米） 答：需要从甲容器中倒出60立方厘米的水。 【考点剖析】本题的核心是抓住两个不变量：一是水的总体积不变，二是最终甲、乙容器中水面的高度相同。利用这两个条件，才能将“倒出部分水”的问题，转化为“总体积÷总底面积＝共同高度”的简单计算。 奥数拓展二 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏宿迁·期末）晓明发现一个长方体包装盒很有趣，从一个顶点出发的三条棱的长度恰好是三个连续的自然数。如果这个长方体的棱长之和是120分米，那么从一个顶点出发的三条棱的长度之和是( )分米，做这个包装盒至少需要( )平方米的硬纸板，这个包装盒最多能装( )个棱长为2分米的小正方体。 【答案】 30 5.98 100 【思路引导】已知长方体棱长之和为120分米，长方体有12条棱，包括4条长、4条宽、4条高，所以长＋宽＋高＝120÷4＝30（分米）。即从一个顶点出发的三条棱就是长、宽、高，因此三条棱的长度之和为30分米。设三条棱的长度分别为a分米、a＋1分米、a＋2分米（a为自然数）。分别计算出长方体的长、宽、高；求至少需要的硬纸板面积就是求长方体的表面积，根据长方体表面积＝2×（长×宽＋长×高＋宽×高），计算出长方体的表面积，再根据1平方米＝100平方分米，把结果的单位换算成平方米；求最多能装棱长为2分米的小正方体数量：分别用长、宽、高除以2，得出沿长度方向、沿宽度方向、沿高度方向分别能放几个（答案取整数），最后把结果相乘得到能放的小正方体的个数。 【规范解答】120÷4＝30（分米） a＋a＋1＋a＋2＝30 3a＋3＝30 3a＝27 a＝9（分米） 9＋1＝10（分米） 9＋2＝11（分米） 9＋10＋11＝30（分米） （9×10＋9×11＋10×11）×2 ＝（90＋99＋110）×2 ＝299×2 ＝598（平方分米） 598平方分米＝5.98平方米 9÷2＝4（个）……1（分米） 10÷2＝5（个） 11÷2＝5（个）……1（分米） 4×5×5＝100（个） 所以，晓明发现一个长方体包装盒很有趣，从一个顶点出发的三条棱的长度恰好是三个连续的自然数。如果这个长方体的棱长之和是120分米，那么从一个顶点出发的三条棱的长度之和是30分米，做这个包装盒至少需要5.98平方米的硬纸板，这个包装盒最多能装100个棱长为2分米的小正方体。 奥数拓展二 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·山西太原·期末）如图是用大小相同且数量相同的小正方体搭成的立体图形，下列说法中（    ）是正确的。 A．表面积相等，体积不相等 B．表面积、体积都不相等 C．表面积、体积都相等 D．表面积不相等，体积相等 【答案】C 【思路引导】由题可知：体积＝单个小正方体体积×数量；表面积＝露出的小正方体的面的总数量，观察图形数一数再进行比较即可。 【规范解答】由题可知，小正方体数量相同、大小相同，所以体积相等； 由图可知，左边图形和右边图形从前面和后面看都露出6个面，从上面和下面看都露出6个面，从左面和右面看都露出4个面，面的数量都相等，所以表面积相等。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·湖北省直辖县级单位·期末）一个正方体的体积是长方体体积的2倍，如果把它们拼摆在一起，正好能拼成一个新的长方体。新长方体的表面积比原来长方体的表面积增加了64平方厘米。新长方体的体积是( )立方厘米。 【答案】96 【思路引导】一个正方体的体积是长方体体积的2倍，如果把它们拼摆在一起，正好能拼成一个新的长方体，说明长方体有两个面是正方形，新长方体的表面积比原来长方体的表面积增加的部分就是正方体4个面的面积，据此求出正方体一个面的面积，再求出正方体棱长，再求出正方体体积，用正方体的体积除以2，求出原来长方体的体积，再把正方体和长方体的体积相加，求出新长方体体积即可。 【规范解答】64÷4＝16（平方厘米） 16＝4×4 所以正方体棱长是4厘米。 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 64＋64÷2 ＝64＋32 ＝96（立方厘米） 所以新长方体的体积是96立方厘米。 【考点剖析】解答此题要注意结合图形特点，得出增加的64平方厘米是正方体4个面的面积之和是解答此题的关键。 奥数拓展三 组合体的体积（长方体、正方体） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·江苏无锡·期末）市民广场搭了一个花台（如图）下面一个长方体，上面是一个正方体。 (1)如果要在花台的前面、后面、左面、右面和上面都插上鲜花，插花的面积一共有多少平方米？ (2)这个花台的体积是多少立方米？ 【答案】(1)148平方米 (2)136立方米 【思路引导】（1）先分析插花的面，包含长方体的前面、后面、左面、右面、上面，以及正方体的四个侧面（因为正方体的底面与长方体的上面重合，不插花）。长方体长6米，宽4米，高3米；正方体的棱长与长方体的宽相等，即4米。根据插花面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2＋棱长×棱长×4，据此把数据代入计算即可。 （2）花台的体积是长方体体积与正方体体积之和，分别用“长×宽×高”算出两者体积后相加即可。 【规范解答】（1）6×4＋6×3×2＋4×3×2＋4×4×4 ＝24＋18×2＋12×2＋16×4 ＝24＋36＋24＋64 ＝60＋24＋64 ＝148（平方米） 答：插花的面积一共有148平方米。 （2）6×4×3＝72（立方米） 4×4×4＝64（立方米） 72＋64＝136（立方米） 答：这个花台的体积是136立方米。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·江苏宿迁·期末）用几个1cm3的正方体摆一个物体，下面是从不同方向看到的图形，这个物体的体积是（    ）cm3。 A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【思路引导】 由从上面看到的图形可知，这个物体至少有3个正方体，结合从前面和右面看到的图形可知，这个物体为，则这个物体有4个正方体，这个物体的体积＝一个正方体的体积×正方体的个数，据此解答。 【规范解答】 分析可知，这个物体为。 1×（1＋3） ＝1×4 ＝4（cm3） 所以，这个物体的体积是4cm3。 故答案为：D 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·江苏扬州·期末）下图是用棱长为1厘米的正方体摆成的物体。这个物体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 34 10 【思路引导】计算该物体的表面积，需要分别数出各个方向看到的正方形的数量，再乘每个面的面积；计算体积时，数出小正方体的总个数，再乘每个小正方体的体积。据此解答。 【规范解答】从前面和后面看，各有7个小正方形，从左面和右面看，各有5个小正方形，从上面和下面看，各有5个小正方形。 六个面共有小正方形： （7＋5＋5）×2 ＝17×2 ＝34（个） 每个小正方形的面积：1×1＝1（平方厘米） 物体的表面积：1×34＝34（平方厘米） 上层小正方体的个数：1；中层小正方体的个数：4；下层小正方体的个数：5； 小正方体的总个数：1＋4＋5＝10（个） 每个小正方体的体积：1×1×1＝1（立方厘米） 物体的总体积：1×10＝10（立方厘米） 所以这个物体的表面积是34平方厘米，体积是10立方厘米。 【考点剖析】本题主要考查立体几何体中物体的表面积和体积的计算，需要掌握正方体的表面积和体积的计算方法，以及如何通过观察来数出正方体的数量。 奥数拓展四 不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏南京·期末）下图中所有的大球体积都相同，所有的小球体积也都相同。一个大球的体积是多少立方厘米？（单位：厘米） 【答案】75立方厘米 【思路引导】根据“溢出的水的体积等于放入球的体积”可知： 第2个容器中，2个大球＋1个小球，溢出的水体积＝6×6×5＝180立方厘米； 第3个容器：2个大球＋7个小球，溢出的水体积＝6×6×10＝360立方厘米，比容器的体积多360－180＝180立方厘米，又发现容器3比容器2多了6个小球，由此用180÷6可算出一个小球的体积。 再用第2个容器的体积减去一个小球的体积后再除以2即可得到一个大球的体积。 【规范解答】6×6×5 ＝36×5 ＝180（立方厘米） 6×6×10 ＝36×10 ＝360（立方厘米） 360－180＝180（立方厘米） 7－1＝6（个） 小球：180÷6＝30（立方厘米） 大球：（180－30）÷2 ＝150÷2 ＝75（立方厘米） 答：一个大球的体积是75立方厘米。 【考点剖析】关键是通过两次溢出水的体积差先求出小球的体积，进而计算出大球体积。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏南京·期末）我们来做一个数学实验。 第一步：准备一个长20厘米、宽10厘米、高15厘米的长方体玻璃容器（无盖），这个鱼缸的容积是( )升。 第二步：往里面倒入2升水，水深( )厘米。 第三步：将第一个石块完全浸没在水中，水面上升了3厘米。容器内水与玻璃内壁的接触面积增加了( )平方厘米，第一个石块的体积是( )立方厘米。 第四步：接着再放入第二个石块。完全浸没后，水溢出了。把第二个石块取出后，这时水面高度为12厘米，第二个石块的体积是( )立方厘米。 【答案】 3 10 180 600 600 【思路引导】由题可知，无盖长方体玻璃容器，长20厘米、宽10厘米、高15厘米；单位换算1升＝1000立方厘米。 求鱼缸的容积先根据长方体的体积＝长×宽×高算出鱼缸的体积，再根据1升＝1000立方厘米换算成容积单位； 求倒入2升水，水深多少厘米。先统一单位2升＝2000立方厘米，鱼缸底面积＝长×宽，最后根据长方体体积公式的逆用，高＝体积÷底面积，即可解答； 求水面上升3厘米后，水与玻璃内壁接触面积的增加量。接触面积增加的部分仅为“水面上升3厘米”对应的长方体四周侧面积，长方体侧面积＝2×（长×上升高度＋宽×上升高度），据此解答； 求第一个石块的体积，石块完全浸没，挤占了水的空间，导致水面上升，上升部分水的体积与石块体积相等。石块体积＝鱼缸底面积×水面上升高度，据此解答。 求第二个石块的体积，第二个石块完全浸没后，水溢出了之后容器被装满，石块取出后水面高度为12厘米，减少的水的体积就是石块的体积。第二个石块的体积＝底面积×（容器高度－取出石块后的水面高度），据此解答。 【规范解答】 （立方厘米） （升） 这个鱼缸的容积是3升。 （立方厘米） （平方厘米） （厘米） 往里面倒入2升水，水深10厘米。 （平方厘米） 容器内水与玻璃内壁的接触面积增加了180平方厘米。 （立方厘米） 第一个石块的体积是600立方厘米。 （立方厘米） 第二个石块的体积是600立方厘米。 【考点剖析】这道题解题的关键是熟练掌握长方体的表面积和体积及其逆运用求高，并且掌握不规则物体的体积算法。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·江苏镇江·期末）“乌鸦喝水”的故事想必同学们都知道。在一个正方体的水槽里装了一些水（如图），乌鸦只能够到水槽最上沿喝水。在水槽的旁边有大小不一的三块石头，你能选择其中的两块石头，帮助乌鸦喝到水吗？你打算怎么做？填在括号里，并通过计算解释你的做法。 我的选择：（    ）号和（    ）号。 计算过程： 【答案】②③；见详解 【思路引导】从图中可知正方体水槽棱长为15厘米，现有水面高度13厘米，因此水面至少需要上升15－13＝2厘米，乌鸦才能喝到水。水面上升的部分是一个底面为正方形（边长15厘米）、高2厘米的长方体，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，求出长方体的体积，即石头需要达到的最小总体积。分别计算任意两块石头的体积和，判断是否大于石头需要达到的最小总体积，找出符合条件的石头组合。据此解答。 【规范解答】空白处的体积：15×15×（15－13） ＝15×15×2 ＝225×2 ＝450（立方厘米） ①＋②：103＋198＝301（立方厘米）＜450立方厘米，不符合； ①＋③：103＋256＝359（立方厘米）＜450立方厘米，不符合； ②＋③：198＋256＝454（立方厘米）＞450立方厘米，符合。 因此只有②号和③号石头的组合满足要求。 答：我选择②号和③号两块石头放到水槽里，乌鸦就能喝到水了。 【考点剖析】本题的关键在于：先根据水槽总高度15厘米和现有水面高度13厘米，算出水面需上升2厘米，进而求出水面上升所需的最小体积，再通过计算两块石头的体积和，筛选出只有②号和③号石头的体积和大于该最小体积，能让水面升至水槽上沿，帮助乌鸦喝到水。 奥数拓展五 表面涂色的正方体 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏淮安·期末）如图，把一个表面涂成红色的长方体切成小正方体后，三面是红色的小正方体有( )个，仅有一面是红色的小正方体有( )个。 【答案】 8 4 【思路引导】三面是红色的小正方体都在长方体顶点的位置，数量与长方体顶点的数量相同。 仅有一面是红色的小正方体只存在于每个面的中心部分，且每个面分成3行3列以上时才会出现。 【规范解答】长方体共有8个顶点，因此三面是红色的小正方体有8个。 只有上面和下面的中心处有一面是红色的小正方体，上面有2个，下面有2个，共有4个。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏宿迁·期末）一个表面涂色的大正方体，每条棱都被平均分成5份，再切成同样大小的小正方体，两面涂色的小正方体个数是（    ）。 A．8 B．16 C．24 D．36 【答案】D 【思路引导】两面涂色的小正方体在大正方体非顶点处的棱上。每条棱被分成5份，涂两面的小正方体有5－2＝3个，正方体有12条棱，用3×12计算出涂两个面的小正方体的总数。 【规范解答】5－2＝3（个） 3×12＝36（个） 每条棱都被平均分成5份，两面涂色的小正方体个数是36个。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏扬州·期末）在一个棱长10dm的正方体表面涂上红色后，把它切割成棱长2dm的小正方体，其中两面涂色的小正方体有（    ）个。 A．8 B．24 C．36 D．48 【答案】C 【思路引导】先用大正方体棱长10dm除以小正方体棱长2dm，求出每条棱上能切出5个小正方体。两面涂色的小正方体位于棱上且不包含顶点的位置，用每条棱上的小正方体数量5减去2个顶点位置的小正方体，求出每条棱上有3个两面涂色的小正方体。正方体有12条棱，用12乘3，即可求出两面涂色的小正方体个数。 【规范解答】10÷2＝5（个） 5－2＝3（个） 12×3＝36（个） 所以两面涂色的小正方体有36个。 故答案为：C 1．（25-26六年级上·山西大同·期末）下面展开图中，沿虚线折后不能围成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】正方体展开图有以下几种，据此分析： 【规范解答】A．属于一四一型，可以折成正方体； B．属于一四一型，可以折成正方体； C．属于二三一型，可以折成正方体； D．不能折成正方体。 2．（25-26六年级上·山西临汾·期末）一个长6分米，宽4分米，高5分米的盒子，最多能放（    ）个棱长为2分米的正方体木块。 A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】B 【思路引导】先分别计算长方体盒子长、宽、高三个维度上，最多可容纳棱长2分米的正方体木块的完整个数，剩余长度不足正方体棱长的部分需舍去；再将三个维度的个数相乘，即可求出最多能摆放的木块总数量。 【规范解答】长方向可放个数：6÷2＝3（个） 宽方向可放个数：4÷2＝2（个） 高方向可放个数：5÷2＝2（个）……1（分米），剩余1分米无法摆放完整木块，取2个 总个数：3×2×2＝12（个） 3．（25-26六年级上·江苏扬州·期末）水族馆定制了两个玻璃鱼缸，从外面量两个鱼缸同样大。其中一个鱼缸用的玻璃厚度都是8毫米，另一个鱼缸用的玻璃厚度都是5毫米。比较这两个鱼缸，它们的（    ）。 A．体积不等，容积不等 B．体积不等，容积相等 C．体积相等，容积不等 D．体积相等，容积相等 【答案】C 【思路引导】求物体的体积是从物体的外面测量它的长、宽、高进行计算，而求物体的容积则必须从里面来测量它的长、宽、高，然后计算。 【规范解答】从外面量两个鱼缸同样大，因此体积相等。玻璃厚度分别是8毫米和5毫米，厚度不同，从里面测量，玻璃厚的鱼缸数据要比玻璃薄的数据小，玻璃厚的鱼缸比玻璃薄的鱼缸容积小。因此它们的体积相等，容积不等。 4．（25-26六年级上·安徽滁州·期末）把两个长是9厘米、宽是6厘米、高是4厘米的礼品盒包装在一起，至少要用（    ）平方厘米的包装纸。 A．408 B．348 C．384 D．248 【答案】B 【思路引导】要使包装纸最少，就要把两个礼品盒最大的面（9×6）叠在一起，这样减少的表面积最大，此时长方体包装纸长9厘米、宽6厘米、高4×2＝8厘米，根据“长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”即可求出需要包装纸的面积。据此解答。 【规范解答】4×2＝8（厘米） （9×6＋9×8＋6×8）×2 ＝（54＋72＋48）×2 ＝（126＋48）×2 ＝174×2 ＝348（平方厘米） 所以至少要用348平方厘米的包装纸。 5．（25-26六年级上·江苏扬州·期末）在一个棱长为a的大正方体中，挖去一个棱长为b的小正方体，图①、图②和图③是三种不同的方法。（    ）剩下的表面积最大。 A．图① B．图② C．图③ D．无法确定 【答案】A 【思路引导】只要比较挖掉小正方体后表面积和原来的表面积的增减情况图即可： ①：在大正方体的一个面中间挖去小正方体。 原来的大正方体表面减少了1个小正方形的面积，但内部又新增了5个小正方形的面积，所以整体表面积增加了4个小正方形的面积。 图②：在大正方体的一个顶点处挖去小正方体。 原来的大正方体表面减少了3个小正方形的面积，内部又新增了3个小正方形的面积，所以整体表面积不变。 图③：在大正方体的一条棱上挖去小正方体。 原来的大正方体表面减少了2个小正方形的面积，内部新增了4个小正方形的面积，所以整体表面积增加了2个小正方形的面积。 【规范解答】图①表面积比原来新增4个小正方形的面积。 图②表面积和原来一样保持不变。 图③表面积比原来新增2个小正方形的面积。 所以图①剩下的表面积最大。 【考点剖析】关键在于判断挖去小正方体的位置，从而确定表面积是增加、减少还是不变。 6．（25-26六年级上·江苏盐城·期末）张师傅要焊接一个长方体框架模型，可供使用的铁条材料如下表。为了方便，不改变铁条的长度，张师傅选择了其中的12根作为长方体框架模型的棱。 长度／厘米 25 20 15 8 数量／根 5 7 3 4 (1)这个长方体框架模型的棱长总和是( )厘米。 (2)要给这个长方体框架模型糊上一层包装纸，至少要( )平方厘米的纸。 【答案】(1)212 (2)1720 【思路引导】（1）长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。长度15厘米的铁条只有3根，不能选择。只能选择长度25厘米的4根、长度20厘米的4根、长度8厘米的4根。根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，列式计算。 （2）求包装纸的面积相当于求长方体表面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 【规范解答】（1）（25＋20＋8）×4 ＝53×4 ＝212（厘米） （2）（25×20＋25×8＋20×8）×2 ＝（500＋200＋160）×2 ＝860×2 ＝1720（平方厘米） 7．（24-25六年级上·安徽滁州·期末）用125个棱长是1厘米的小正方体能拼成一个棱长是5厘米的大正方体，要使拼成的大正方体的棱长是6厘米，还需要( )个棱长是1厘米的小正方体。 【答案】91 【思路引导】先根据正方体体积公式V＝a×a×a，求出棱长6厘米的大正方体体积，再除以棱长1厘米的小正方体体积，求出拼成棱长6厘米大正方体需要的小正方体总个数，最后用总个数减去已有的125个，即可求出还需要的数量。 【规范解答】（6×6×6）÷（1×1×1） ＝216÷1 ＝216（个） 216－125＝91（个） 8．（24-25六年级上·安徽滁州·期末）把一根长4米、宽30厘米、高30厘米的长方体木料截成完全相同的两段，表面积最少增加( )平方米。 【答案】0.18 【思路引导】根据题意，要使表面积增加最少，那么从长的中间垂直于长截成两段，求出增加的两个截面的面积即可。1米＝100厘米。 【规范解答】30厘米＝0.3米 0.3×0.3×2＝0.18（平方米） 9．（25-26六年级上·山西临汾·期末）一个长方体灯笼框架，长、宽、高恰好是三个连续自然数，且积是24，做这个灯笼框架需要竹条( )厘米，六个面糊上绵纸，需要( )平方厘米。 【答案】 36 52 【思路引导】先将24分解因数，24＝2×3×4，根据题干信息可知，长方体的长、宽、高分别是4厘米、3厘米、2厘米。 （1）需要的竹条的长度就是这个长方体的棱长总和，棱长总和＝（长＋宽＋高）×4。 （2）需要的绵纸的面积就是这个长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 【规范解答】（1）24＝2×3×4 （4＋3＋2）×4 ＝9×4 ＝36（厘米） （2）（4×3＋4×2＋3×2）×2 ＝（12＋8＋6）×2 ＝26×2 ＝52（平方厘米） 10．（25-26六年级上·江苏淮安·期末）如图①，一个无盖的长方体水箱中盛满水，水深32厘米，将水箱如图②这样倾斜倒出一部分水，此时AB的长度是8厘米，再把水箱放平如图③，这时水箱水的深度是( )厘米。 【答案】20 【思路引导】设长方体水箱的长是a厘米、宽是b厘米，长方体水箱中盛满水，水深32厘米，说明长方体水箱的高是32厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高求出长方体水箱的体积，由图②可知，A点到长方体水箱顶端的距离是32－8＝24厘米，图②中两个空白部分可以拼成一个长是a厘米、宽是b厘米、高是24厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高求出拼成的长方体的体积，再除以2就是图③空白部分的体积，用长方体水箱的体积减去空白部分的体积就是水的体积，用有水部分长方体的体积除以长方体的底面积就是这时水箱水的深度。 【规范解答】解：设长方体水箱的长是a厘米、宽是b厘米。 a×b×32＝32ab（立方厘米） a×b×（32－8）÷2 ＝ab×24÷2 ＝24ab÷2 ＝12ab（立方厘米） 32ab－12ab＝20ab（立方厘米） 20ab÷（ab）＝20（厘米） 所以这时水箱水的深度是20厘米。 【考点剖析】设长方体水箱的长是a厘米、宽是b厘米，明确图②中两个空白部分可以拼成一个长是a厘米、宽是b厘米、高是24厘米的长方体是解题的关键。 11．体积相等的两个长方体，它们的表面积也一定相等。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】长方体体积＝长×宽×高，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，根据赋值法进行解答。 【规范解答】如：长方体一：长为4厘米、宽为3厘米、高为2厘米； 体积：4×3×2 ＝12×2 ＝24（立方厘米） 表面积： （4×3＋4×2＋3×2）×2 ＝（12＋8＋6）×2 ＝26×2 ＝52（平方厘米） 长方体二：长为6厘米、宽是2厘米、高是2厘米。 体积：6×2×2 ＝12×2 ＝24（立方厘米） 表面积： （6×2＋6×2＋2×2）×2 ＝（12＋12＋4）×2 ＝28×2 ＝56（平方厘米） 52≠56，所以体积相等的两个长方体，它们的表面积不一定相等。 故答案为：× 12．把一个没有开口的长方体纸盒剪开，平铺在桌面上，需要剪开7条边。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】 长方体有12条边。为了将其剪开并平铺成一个平面图形，需要剪开部分边，使各面相连。展开图通常保留5条边作为连接边（例如，展开后各面通过共享边连接），因此需要剪开的边数为12－5＝7条。据此判断即可。 【规范解答】根据长方体的特征，一个没有开口的长方体纸盒有12条边。剪开平铺在桌面上时，需保留5条边作为连接边（即未剪开的边），以保证展开图各面相连。因此，必须剪开12－5＝7（条）边，原题说法正确。 故答案为：√ 13．（25-26六年级上·贵州毕节·期末）如图是一个长方体纸盒的展开图，把它沿虚线折叠成长方体后，计算这个纸盒的表面积。 【答案】112平方分米 【思路引导】解答这道题需明确：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。由图可知，这个长方体纸盒的长是8分米，宽是4分米，高是2分米，且展开图中相对的面都有2个。根据公式，列式为，据此计算即可。 【规范解答】 （平方分米） 所以，这个纸盒的表面积是112平方分米。 14．求下图的表面积和体积。（单位：分米） 【答案】表面积：216平方分米； 体积：208立方分米 【思路引导】根据题意，去掉小正方体，表面积不变；体积就是原来大正方体的体积减去去掉的小正方体的体积，据此列式解答。 【规范解答】表面积： 6×6×6 ＝36×6 ＝216（平方分米） 体积： 6×6×6－2×2×2 ＝216－8 ＝208（立方分米） 15．（25-26六年级上·江苏宿迁·期末）红红用48分米长的铁丝做一个长方体框架，已知长是6分米，高是2分米，那么宽是多少分米？如果给这个长方体框架的表面全部贴上卡纸，那么至少需要多少平方分米的卡纸？ 【答案】 宽：4分米，卡纸：88平方分米 【思路引导】根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，可以先求出一组长、宽、高的和，已知长和高，即可求出宽。给长方体框架表面贴卡纸，求卡纸的面积就是求长方体的表面积，利用长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可。 【规范解答】长、宽、高的和为：48÷4＝12（分米），则宽为：12－6－2＝4（分米）； 表面积为： （6×4＋6×2＋4×2）×2 ＝（24＋12＋8）×2 ＝44×2 ＝88（平方分米） 答：宽是4分米，至少需要88平方分米的卡纸。 16．（25-26六年级上·江苏扬州·期末）欢欢家进行装潢，需要粉刷家里所有的屋顶和墙壁。她量出自己卧室长4.5米，宽4米，高3米，算出卧室里门窗和衣柜的面积一共有12.3平方米，那她卧室粉刷的面积有多少平方米？ 【答案】56.7平方米 【思路引导】卧室粉刷的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2－门窗和衣柜的面积。 【规范解答】4.5×4＋4.5×3×2＋4×3×2－12.3 ＝18＋27＋24－12.3 ＝56.7（平方米） 答：她卧室粉刷的面积有56.7平方米。 17．（25-26六年级上·江苏盐城·期末）一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽5分米，高4分米。 (1)做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ (2)在鱼缸里注入60升水，水深多少分米？（玻璃厚度忽略不计） (3)再往水里放入一些鹅卵石，水面上升了0.4分米。鹅卵石的体积一共是多少立方分米？ 【答案】(1)144平方分米 (2)1.5分米 (3)16立方分米 【思路引导】（1）所需的玻璃面积就是长方体五个面的面积，即一个底面和四个侧面。计算公式为：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2； （2）1升＝1立方分米，60升＝60立方分米。根据长方体的容积＝长×宽×高，水的体积除以鱼缸的长与宽的积即可求出水深； （3）鹅卵石的体积相当于上升的水的体积，水的体积是长为8分米，宽为5分米，高为0.4分米的长方体体积，长方体体积＝长×宽×高。 【规范解答】（1）8×5＋（8×4＋5×4）×2 ＝8×5＋（32＋20）×2 ＝8×5＋52×2 ＝40＋104 ＝144（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃144平方分米. （2）60升＝60立方分米 60÷（8×5） ＝60÷40 ＝1.5（分米） 答：水深1.5分米。 （3）8×5×0.4 ＝40×0.4 ＝16（立方分米） 答：鹅卵石的体积一共是16立方分米。 18．（25-26六年级上·山西大同·期末）张晓伟家有一个长方体玻璃鱼缸，长1.2米，宽5分米，高8分米、搬家的时候不小心打碎了右面的玻璃，需要配一块。 (1)需要配的玻璃面积是多少平方分米？ (2)玻璃配好后，晓伟爸爸往鱼缸注入了450升水，鱼缸内水的高度是多少分米？ 【答案】(1)40平方分米 (2)7.5分米 【思路引导】（1）鱼缸右面是一个长方形，面积用宽×高计算。 （2）先把水的体积单位转换为立方分米，再用水的体积除以鱼缸的底面积（长×宽）得到水的高度。 【规范解答】（1）5×8＝40（平方分米） 答：需要配的玻璃面积是40平方分米。 （2）450升＝450立方分米 1.2米＝12分米 450÷（12×5） ＝450÷60 ＝7.5（分米） 答：鱼缸内水的高度是7.5分米。 19．（25-26六年级上·江苏盐城·期末）王芳找来一张长30厘米、宽24厘米的长方形彩纸，从彩纸的四个角各剪去一个边长2厘米的正方形，然后折成一个无盖的长方体纸盒。 (1)这个纸盒的容积是多少立方厘米？ (2)睿睿对涵涵说，如果从彩纸的四个角剪去的正方形边长越大，折成的无盖长方体纸盒的容积也越大。你同意这样的说法吗？用计算说明你的理由。 【答案】(1)1040立方厘米 (2)不同意；理由见详解 【思路引导】（1）从长方形彩纸的四个角剪去边长为2厘米的正方形后，折成的无盖长方体纸盒的长、宽是原长方形的长和宽各减去2个正方形边长，高为剪去正方形的边长。根据长方体容积公式，代入长、宽、高的数值即可计算。 （2）要判断“剪去的正方形边长越大，容积越大”是否正确，只需选取不同的边长（如4厘米、6厘米、8厘米）代入公式计算，比较容积大小即可发现，当边长增大到一定程度后，容积会减小，因此该说法不正确。 【规范解答】（1）长：30－2×2＝26（厘米） 宽：24－2×2＝20（厘米） 高：2厘米 26×20×2 ＝520×2 ＝1040（立方厘米） 答：这个纸盒的容积是1040立方厘米。 （2）答：不同意“剪去的正方形边长越大，折成的无盖长方体纸盒的容积也越大”的说法。理由如下：我们选取不同的正方形边长进行计算： 当正方形边长为4厘米时： ＝（30－2×4）×（24－2×4）×4 ＝（30－8）×（24－8）×4 ＝22×16×4 ＝352×4 ＝1408（立方厘米） 当正方形边长为6厘米时： ＝（30－2×6）×（24－2×6）×6 ＝（30－12）×（24－12）×6 ＝18×12×6 ＝216×6 ＝1296（立方厘米） 当正方形边长为8厘米时： ＝（30－2×8）×（24－2×8）×8 ＝（30－16）×（24－16）×8 ＝14×8×8 ＝112×8 ＝896（立方厘米） 可以看到，当边长从6厘米增加到8厘米时，容积从1296立方厘米减小到896立方厘米。因此，不同意“剪去的正方形边长越大，折成的无盖长方体纸盒的容积也越大”的说法。（答案不唯一） 【考点剖析】先根据剪去的正方形边长确定长方体的长、宽、高，再计算容积；通过举例计算可以发现，容积并非随正方形边长单调增大。 20．（25-26六年级上·山西临汾·期末）小云从一个长方体纸盒上撕下两个相邻的面，展开后如图所示。这个长方体纸盒的底面积是______cm2，体积是______cm3。 【答案】 32 320 【思路引导】先根据长方体相邻面的特征，确定长方体的长、宽、高，长方体的前面由长和高组成，右面由宽和高组成，相邻的两个面共用高这条棱，由此确定长方体的长、宽、高；再利用长方形面积公式，用长乘宽计算长方体的底面积；最后利用长方体体积公式，用长乘宽乘高计算体积。 【规范解答】长方体的长为8cm，宽为4 cm，高为10 cm 底面积：8×4＝32（cm2） 体积： 8×4×10 ＝32×10 ＝320（cm3） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏教版数学五年级下册期末真题汇编培优讲练 第六单元 长方体和正方体『期末复习精编讲义』（培优版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+6个考点讲练5个奥数拓展+真题演练 共52题） 同学你好，该份讲义用于苏教版五年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 4 知识点一 长方体的认识及特征 4 知识点二 正方体的认识及特征 4 知识点四 正方体的表面展开图 6 知识点五 长方体的棱长及棱长总和 7 知识点六 正方体的棱长及棱长总和 7 知识点七 长方体的表面积 7 知识点八 正方体的表面积 8 知识点九 长方体和正方体的切拼问题 8 知识点十 立方体表面染色问题 9 知识点十一 体积和容积的认识 9 知识点十二 体积和容积的单位 10 知识点十三 长方体的体积 11 知识点十四 正方体的体积 11 知识点十五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 11 知识点十六 剪角折叠求体积问题 12 知识点十七 等积变形问题 12 知识点十八 排水法求不规则物体体积 12 知识点十九 不规则及组合立体图形的表面积和体积 13 考点讲练 真题汇总 13 高频考点一 长方体表面积的计算与应用 13 高频考点二 正方体表面积的计算与应用 13 高频考点三 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 14 高频考点四 组合体的表面积（长方体、正方体） 14 高频考点五 长方体的体积的计算与应用 15 高频考点六 正方体的体积的计算与应用 16 奥数拓展一 体积的等积变形（长方体、正方体) 16 奥数拓展二 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 18 奥数拓展二 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 18 奥数拓展三 组合体的体积（长方体、正方体） 18 奥数拓展四 不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 19 奥数拓展五 表面涂色的正方体 20 优选真题 实战演练 20 知识点一 长方体的认识及特征 1. 长方体的定义：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成 （1）面：长方体有6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱：长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等； （3）顶点：长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征 4. 长方体的长、宽、高 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点二 正方体的认识及特征 1. 正方体的认识：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的长方体。 2. 正方体的组成 （1）面：正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱：正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点：正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3. 正方体的特征 （1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系 （1）转化关系：正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点：都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的面相等且平行。 （3）区别 知识点三 长方体的表面展开图 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型 （1）一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； （2）二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； （3）二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种； （4）三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2. 口诀 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 知识点四 正方体的表面展开图 1. 正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点五 长方体的棱长及棱长总和 1. 棱长总和定义：长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式：长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为L=（a+b+h）×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计算步骤。 知识点六 正方体的棱长及棱长总和 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 知识点七 长方体的表面积 1. 长方体的表面积：长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式：长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题 4. 表面积在我们生活中 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 知识点八 正方体的表面积 1. 正方体的表面积：正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式：正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中：与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点九 长方体和正方体的切拼问题 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加 （1）正方体的单次切割 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少 （1）正方体的拼接：两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接：长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题 （1）将长方体切割成若干个正方体：将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体：将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 知识点十 立方体表面染色问题 1. 立方体表面染色问题：立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的数量。 2. 染色规律 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 知识点十一 体积和容积的认识 1. 体积 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别 知识点十二 体积和容积的单位 1. 体积单位 （1）立方米（m3） 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3） 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3） 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位 （1）升（L） 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点十三 长方体的体积 1. 长方体的体积计算公式 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点十四 正方体的体积 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³ 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 知识点十五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 知识点十六 剪角折叠求体积问题 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 知识点十七 等积变形问题 1. 等积变形问题 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点十八 排水法求不规则物体体积 1. 排水法求不规则物体的体积 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十九 不规则及组合立体图形的表面积和体积 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 高频考点一 长方体表面积的计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏苏州·期末）一个长方体，如果宽增加2厘米就成了正方体，表面积就增加了72平方厘米，原来长方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️） （25-26六年级上·江苏镇江·期末）琳琳往一个从里面量长10分米，宽8分米，高12分米的长方体空水箱里注水，当水箱里的水所形成的长方体第一次出现相对的两个面是正方形时，琳琳注入了( )升的水；当第二次出现正方形时，水与水箱接触的面积是( )平方分米。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·江苏盐城·期末）明明把一个长方体木块正好锯成了两个相同的正方体，每个正方体的表面积是长方体表面积的（    ）。 A． B． C． D． 高频考点二 正方体表面积的计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏盐城·期末）用一根36厘米长的铁丝围成一个正方体，这个正方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·安徽滁州·期末）一根细铁丝正好围成一个长8cm、宽5cm、高2cm的长方体框架，铁丝长( )cm。如果改围成一个正方体，棱长是( )cm；如果将该正方体的外面贴上一层白纸，至少需( )cm2。 高频考点三 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏淮安·期末）如图，用27个相同的小正方体搭一个大正方体，从上面拿走一些小正方体，剩下部分的表面积与原来大正方体的表面积相等的情况是（    ）。 A．拿走⑧ B．拿走②⑤ C．拿走①②③ D．拿走②③⑧⑨ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏泰州·期末）如图，用n个棱长2厘米的小正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是( )平方厘米。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏徐州·期末）如图，把一个长方体分割成两个小长方体，分别按三种方式进行分割后，表面积分别增加了。原来这个长方体的表面积是( )。 高频考点四 组合体的表面积（长方体、正方体） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏南通·期末）下图是用棱长1厘米的正方体摆成的物体。 (1)在方格图中画出从前面、右面和上面看到的图形。 (2)这个物体的表面积是( )平方厘米。至少移动( )个小正方体使它变成一个大正方体。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·福建宁德·期末）下图中小正方体棱长都是1厘米，按下面的规律排列。 (1)图②的表面积是( )平方厘米，图③的表面积是( )平方厘米。 (2)由n个这样的小正方体排成一排组成的长方体的表面积是( )平方厘米。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏徐州·期末）如图，是用棱长1厘米的小正方体拼成的，这个图形的表面积是( )平方厘米。拼成这个图形一共用了( )个小正方体；至少再添加( )个这样的小正方体，就可以拼成一个大的正方体（原来的小正方体位置保持不变）。 高频考点五 长方体的体积的计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·安徽滁州·期末）科学实验室里有一个正方体的容器，棱长是25厘米，里面注满了水，有一根长50厘米、横截面是12平方厘米的长方体铁棒，现将铁棒垂直插入水中，会溢出多少毫升水？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·山西临汾·期末）计算说理：张明在超市发现一盒牛奶的长方体包装盒上标注“净含量250毫升”。他从外面量，长6厘米，宽4厘米，高10厘米。请用你学过的知识解释这个标注是否合理？ 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·青海海西·期末）小艾的爸爸买了一个观赏鱼缸，鱼缸内部长40厘米，宽30厘米，高30厘米，放入一个高20厘米，体积为4000立方厘米的假山石后，用水流量为每分钟4立方分米的水管向鱼缸注水，至少需要多少分钟能将假山石淹没？ 高频考点六 正方体的体积的计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·安徽芜湖·期末）如图，将左边圆柱容器里的水全部倒入右边空的正方体容器内，正好装满这个正方体容器。左边圆柱容器的容量是( )升。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·山西太原·期末）一个正方体的长增加3分米，表面积就比原来增加60平方分米，那么，原来正方体的棱长是( )分米，体积是( )立方分米。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏徐州·期末）两个同样大小的正方体木块拼成一个长方体后，表面积减少了8平方分米。原来每个正方体的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 奥数拓展一 体积的等积变形（长方体、正方体) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏扬州·期末）一个无盖长方体玻璃容器的长、宽、高分别为12厘米、8厘米、20厘米，容器中盛了一些水，已知水面高度为10厘米。 (1)容器中有水多少毫升？（玻璃厚度不计） (2)这时水与玻璃接触部分的面积是多少平方厘米？ (3)若将一根长方体方钢竖直插入容器底部，使方钢底面与容器底面接触。已知方钢高30厘米，底面是边长为4厘米的正方形。方钢插入后水面会上涨，则上涨后水面高度是多少厘米？ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏常州·期末）学习“蜡烛的变化”这课时，小华所在的小组做了一支蜡烛。将一块棱长4厘米的正方体蜡块熔化，放入一个长2.5厘米、宽2厘米的长方体模具，制成蜡烛。 (1)原先这块正方体蜡块的表面积是多少平方厘米？ (2)这支蜡烛的高是多少厘米？（损耗忽略不计） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025·湖南长沙·小升初真题）有甲、乙两种长方体容器。甲容器长、宽、高分别为10厘米、3厘米、10厘米，乙容器长、宽、高分别是5厘米、4厘米、15厘米。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？ 奥数拓展二 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏宿迁·期末）晓明发现一个长方体包装盒很有趣，从一个顶点出发的三条棱的长度恰好是三个连续的自然数。如果这个长方体的棱长之和是120分米，那么从一个顶点出发的三条棱的长度之和是( )分米，做这个包装盒至少需要( )平方米的硬纸板，这个包装盒最多能装( )个棱长为2分米的小正方体。 奥数拓展二 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·山西太原·期末）如图是用大小相同且数量相同的小正方体搭成的立体图形，下列说法中（    ）是正确的。 A．表面积相等，体积不相等 B．表面积、体积都不相等 C．表面积、体积都相等 D．表面积不相等，体积相等 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·湖北省直辖县级单位·期末）一个正方体的体积是长方体体积的2倍，如果把它们拼摆在一起，正好能拼成一个新的长方体。新长方体的表面积比原来长方体的表面积增加了64平方厘米。新长方体的体积是( )立方厘米。 奥数拓展三 组合体的体积（长方体、正方体） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·江苏无锡·期末）市民广场搭了一个花台（如图）下面一个长方体，上面是一个正方体。 (1)如果要在花台的前面、后面、左面、右面和上面都插上鲜花，插花的面积一共有多少平方米？ (2)这个花台的体积是多少立方米？ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·江苏宿迁·期末）用几个1cm3的正方体摆一个物体，下面是从不同方向看到的图形，这个物体的体积是（    ）cm3。 A．7 B．6 C．5 D．4 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·江苏扬州·期末）下图是用棱长为1厘米的正方体摆成的物体。这个物体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 奥数拓展四 不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏南京·期末）下图中所有的大球体积都相同，所有的小球体积也都相同。一个大球的体积是多少立方厘米？（单位：厘米） 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏南京·期末）我们来做一个数学实验。 第一步：准备一个长20厘米、宽10厘米、高15厘米的长方体玻璃容器（无盖），这个鱼缸的容积是( )升。 第二步：往里面倒入2升水，水深( )厘米。 第三步：将第一个石块完全浸没在水中，水面上升了3厘米。容器内水与玻璃内壁的接触面积增加了( )平方厘米，第一个石块的体积是( )立方厘米。 第四步：接着再放入第二个石块。完全浸没后，水溢出了。把第二个石块取出后，这时水面高度为12厘米，第二个石块的体积是( )立方厘米。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·江苏镇江·期末）“乌鸦喝水”的故事想必同学们都知道。在一个正方体的水槽里装了一些水（如图），乌鸦只能够到水槽最上沿喝水。在水槽的旁边有大小不一的三块石头，你能选择其中的两块石头，帮助乌鸦喝到水吗？你打算怎么做？填在括号里，并通过计算解释你的做法。 我的选择：（    ）号和（    ）号。 计算过程： 奥数拓展五 表面涂色的正方体 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏淮安·期末）如图，把一个表面涂成红色的长方体切成小正方体后，三面是红色的小正方体有( )个，仅有一面是红色的小正方体有( )个。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏宿迁·期末）一个表面涂色的大正方体，每条棱都被平均分成5份，再切成同样大小的小正方体，两面涂色的小正方体个数是（    ）。 A．8 B．16 C．24 D．36 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·江苏扬州·期末）在一个棱长10dm的正方体表面涂上红色后，把它切割成棱长2dm的小正方体，其中两面涂色的小正方体有（    ）个。 A．8 B．24 C．36 D．48 1．（25-26六年级上·山西大同·期末）下面展开图中，沿虚线折后不能围成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 2．（25-26六年级上·山西临汾·期末）一个长6分米，宽4分米，高5分米的盒子，最多能放（    ）个棱长为2分米的正方体木块。 A．10 B．12 C．14 D．15 3．（25-26六年级上·江苏扬州·期末）水族馆定制了两个玻璃鱼缸，从外面量两个鱼缸同样大。其中一个鱼缸用的玻璃厚度都是8毫米，另一个鱼缸用的玻璃厚度都是5毫米。比较这两个鱼缸，它们的（    ）。 A．体积不等，容积不等 B．体积不等，容积相等 C．体积相等，容积不等 D．体积相等，容积相等 4．（25-26六年级上·安徽滁州·期末）把两个长是9厘米、宽是6厘米、高是4厘米的礼品盒包装在一起，至少要用（    ）平方厘米的包装纸。 A．408 B．348 C．384 D．248 5．（25-26六年级上·江苏扬州·期末）在一个棱长为a的大正方体中，挖去一个棱长为b的小正方体，图①、图②和图③是三种不同的方法。（    ）剩下的表面积最大。 A．图① B．图② C．图③ D．无法确定 6．（25-26六年级上·江苏盐城·期末）张师傅要焊接一个长方体框架模型，可供使用的铁条材料如下表。为了方便，不改变铁条的长度，张师傅选择了其中的12根作为长方体框架模型的棱。 长度／厘米 25 20 15 8 数量／根 5 7 3 4 (1)这个长方体框架模型的棱长总和是( )厘米。 (2)要给这个长方体框架模型糊上一层包装纸，至少要( )平方厘米的纸。 7．（24-25六年级上·安徽滁州·期末）用125个棱长是1厘米的小正方体能拼成一个棱长是5厘米的大正方体，要使拼成的大正方体的棱长是6厘米，还需要( )个棱长是1厘米的小正方体。 8．（24-25六年级上·安徽滁州·期末）把一根长4米、宽30厘米、高30厘米的长方体木料截成完全相同的两段，表面积最少增加( )平方米。 9．（25-26六年级上·山西临汾·期末）一个长方体灯笼框架，长、宽、高恰好是三个连续自然数，且积是24，做这个灯笼框架需要竹条( )厘米，六个面糊上绵纸，需要( )平方厘米。 10．（25-26六年级上·江苏淮安·期末）如图①，一个无盖的长方体水箱中盛满水，水深32厘米，将水箱如图②这样倾斜倒出一部分水，此时AB的长度是8厘米，再把水箱放平如图③，这时水箱水的深度是( )厘米。 11．体积相等的两个长方体，它们的表面积也一定相等。( )（判断对错） 12．把一个没有开口的长方体纸盒剪开，平铺在桌面上，需要剪开7条边。( )（判断对错） 13．（25-26六年级上·贵州毕节·期末）如图是一个长方体纸盒的展开图，把它沿虚线折叠成长方体后，计算这个纸盒的表面积。 14．求下图的表面积和体积。（单位：分米） 15．（25-26六年级上·江苏宿迁·期末）红红用48分米长的铁丝做一个长方体框架，已知长是6分米，高是2分米，那么宽是多少分米？如果给这个长方体框架的表面全部贴上卡纸，那么至少需要多少平方分米的卡纸？ 16．（25-26六年级上·江苏扬州·期末）欢欢家进行装潢，需要粉刷家里所有的屋顶和墙壁。她量出自己卧室长4.5米，宽4米，高3米，算出卧室里门窗和衣柜的面积一共有12.3平方米，那她卧室粉刷的面积有多少平方米？ 17．（25-26六年级上·江苏盐城·期末）一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽5分米，高4分米。 (1)做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ (2)在鱼缸里注入60升水，水深多少分米？（玻璃厚度忽略不计） (3)再往水里放入一些鹅卵石，水面上升了0.4分米。鹅卵石的体积一共是多少立方分米？ 18．（25-26六年级上·山西大同·期末）张晓伟家有一个长方体玻璃鱼缸，长1.2米，宽5分米，高8分米、搬家的时候不小心打碎了右面的玻璃，需要配一块。 (1)需要配的玻璃面积是多少平方分米？ (2)玻璃配好后，晓伟爸爸往鱼缸注入了450升水，鱼缸内水的高度是多少分米？ 19．（25-26六年级上·江苏盐城·期末）王芳找来一张长30厘米、宽24厘米的长方形彩纸，从彩纸的四个角各剪去一个边长2厘米的正方形，然后折成一个无盖的长方体纸盒。 (1)这个纸盒的容积是多少立方厘米？ (2)睿睿对涵涵说，如果从彩纸的四个角剪去的正方形边长越大，折成的无盖长方体纸盒的容积也越大。你同意这样的说法吗？用计算说明你的理由。 20．（25-26六年级上·山西临汾·期末）小云从一个长方体纸盒上撕下两个相邻的面，展开后如图所示。这个长方体纸盒的底面积是______cm2，体积是______cm3。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $