23.3 一次函数与方程（组）、不等式 第2课时 一次函数与二元一次方程(组) 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦“一次函数与二元一次方程（组）”核心内容，通过问题导入链（如二元一次方程与一次函数的联系、解方程组与求交点坐标的对比）搭建学习支架，衔接一次函数和二元一次方程的已有知识，引导学生建立知识关联。 其亮点在于以“探索新知”为核心，通过画图、描点等活动培养学生几何直观（数学眼光），从“数”与“形”两角度推理（数学思维）方程组解与交点坐标的联系，结合气球上升、租车费用等实际问题（数学语言）渗透模型意识。采用问题驱动和探究式教学，小结明确三者关系，助力学生构建知识网络，既提升数形结合能力，也为教师提供清晰教学路径与分层作业设计。

23.3 一次函数与方程（组）、不等式 第2课时 一次函数与二元一次方程(组) 主讲人：时间：Powerpoint Design ---------------------------第2课时 一次函数与二元一次方程(组)深海楠木2026.05 3.利用一次函数图象的性质，解决实际问题。 2.经历用函数观点分析二元一次方程(组)的过程，进一步体会类比思想、分类讨论思想。 1.理解一次函数的图象与二元一次方程(组)的关系。 4.体会数学知识的融会贯通，发现数学的美，激发学生的学习兴趣。 素养目标 1.理解一次函数的图象与二元一次方程(组)的关系。知识与思想目标素养目标2.经历用函数观点分析二元一次方程(组)的过程，进一步体会类比思想、分类讨论思想。3.利用一次函数图象的性质，解决实际问题。4.体会数学知识的融会贯通，发现数学的美，激发学生的学习兴趣。 1. 二元一次方程x+y=5和一次函数y=－x+5之间有什么联系？ 2.（1）解二元一次方程组 x+y=5， 2x－y=1； （2）求直线y=－x+5和直线y=2x－1交点的坐标． 对比（1）中方程组的解与（2）中交点的坐标，你有什么发现？ 问题导入 探索新知（一） 我们知道，方程2x－y=1可以转化为y=2x－1，它们有相同的解．y=2x－1对应一次函数y=2x－1. 类似地，对于二元一次方程2x－y=3，可以将其写成一次函数___________的形式． y=2x－3 （1）画出一次函数y=2x－3的图象； （2）找出一次函数y=2x－3的几组解； （3）将（2）中找出的几组解在平面直角坐标系中描出，你发现了什么? x=﹣1，y=﹣5 x=0，y=﹣3 x=1，y=﹣1 x=2，y=1 x=3，y=3 x=4，y=5 y=2x－3 找出的几组解在平面直角坐标系中描出后，均在直线y=2x－3上． y=2x－3 （4）在一次函数y=2x－3的图象上的点的坐标都是二元一次方程2x－y=3的解吗? 归纳结论 由于每个含未知数x和y的二元一次方程都可以转化为y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线．这条直线上每个点的坐标(x, y)都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方程的解(x, y)为坐标的点都在这条直线上． 二元一次方程 二元一次方程的解 一次函数 一条直线 一次函数 两变量的值 直线上 点的坐标 对应 对应 对应 对应 （1）求一次函数 y=2x－1 与 y=－ 的图象的交点坐标，你有哪些方法？ + y O －1 2 1 3 x 2 －2 －1 1 3 y = 2x － 1 P (1,1) y = －x + 解：从函数值考虑，两条直线相交时，交点处自变量相等，函数值也相等（交点的横、纵坐标均相等），所以所以2x－1=－+，解得x=1，代入y=2x－1，得y=1，所以交点坐标为(1, 1). 探索新知（二） 2x－y=1， 3x+5y=8， （2）解方程组 并结合（1）中的交点坐标，谈一谈你的发现. y O －1 2 1 3 x 2 －2 －1 1 3 y = 2x － 1 P (1,1) y = －x + 解方程组 得 2x－y=1， 3x+5y=8， x=1， y=1. 发现：（1）中两条直线交点的坐标(x, y)的值即为方程组的解． 归纳结论 从数的角度看： 解这样的方程组相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是何值； 由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线. 从形的角度看： 解这样的方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 典型例题 例1 如图,一次函数y= kx+b与y=x+2的图象相交于点P(m,4),则关于x的方程 kx+b=x+2的解是( ) A. x=1 B. x=2 C. x=3 D. x=4. 例2 如图，在平面直角坐标系中，直线y=- 2x和y=ax+2相交于点A(m,1),则不等式- 2x< ax+2的解集为( ) A.x< B. x<1 C. x>1 D.x>− B D 例3 同时释放两个探测气球，1 号气球从距离地面 5 m 高处出发，以 1 m/s 的速度上升；2 号气球从距离地面 15 m 高处出发，以 0.5 m/s 的速度上升. 两个气球都上升了 1 min. （1）分别写出表示两个气球所在位置的高度 y（单位：m）关于上升时间 x（单位：s）的函数解析式； = 起始高度+上升高度. 解：气球上升时间x满足0≤x≤60. 对于1号气球，y关于x的函数解析式为y=x+5. 对于2号气球，y关于x的函数解析式为y=0.5x+15. 典型例题 （2）两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？ 从“数”的角度看：就是对于x的某个值(0≤x≤60)，函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y. 由此可列二元一次方程组 y = x + 5， y = 0.5x + 15. 解这个方程组，得 x = 20， y = 25. 这就是说，当气球上升 20 s时，两个气球都距离地面 25 m. 从“形”的角度看：同一坐标系中，这两条直线的交点坐标为(20, 25)，这说明气球上升20s时，两个气球都距离地面25m. y/m O 10 5 15 20 25 x/s 10 5 15 20 y = x + 5 y = 0.5x + 15 P (20,25) 1. 一次函数 y = 2x－3 与 y = ax + 2 的图象的交点坐标 的解和 a 的值. y = 2x － 3. y = ax + 2. 为 (2,1)，请确定方程组 解：由题意知方程组 y = 2x － 3， y = ax + 2. 的解为 x = 2， y = 1. x = 2， y = 1. 把 代入 y = ax + 2，得 2a + 2 = 1，解得 a = －. 选自教材第130页 练习 第2题 练习 2. 刘伟一家计划星期日租用新能源汽车自驾出游. 在甲公司 租车，需收取固定租金 80 元，在此基础上再按 14 元/ h 计费；在乙公司租车，无固定租金，按 30 元/h 计费. 当他 家租车多长时间时，租用甲、乙两个公司汽车的费用相同？ 解：设租车时间为 x h，租用甲、乙两个公司汽车的费用分别 为 y1元、y2元. 由题意可得 y1 = 80 + 14x，y2 = 30x . 令 y1 = y2，即 80 + 14x = 30x，解得 x = 5. 因此，当他家租车 5 h 时，租用甲、乙两个公司汽车的费用相同. 选自教材第130页 练习 第3题 （1）求每种付酬方案中y关于x的函数解析式； 方案一：y=40x. 方案二：y=20x+600. 3.某销售公司推销一种产品，设x(单位：件)是每月推销产品的数量，y(单位：元)是付给推销员的月报酬.公司付给推销员的月报酬的两种方案如图所示，推销员可以任选一种与公司签订合同，看图解答下列问题： （2）当推销产品多少件时，选择方案一与选择方案二所得报酬相同？报酬是多少？ 根据题意列方程组，得 y=40x， y=20x+600. x=30， y=1200. 解得 答：当推销产品30件时，选择方案一与选择方案二所得报酬相同，报酬是1200元． （3）若推销员某月推销产品35件，则他选择哪种方案所得报酬更高？ 结合（2）中的答案和函数图象可得，当月推销产品35件时，选择方案一所得报酬更高． 4.直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y=2 的解的是( ). C 1.如图,在平面直角坐标系中,直线y=—2x和y= ax+2相交于点A(m,1),则关于x，y的二元一次方程组 的解为( ) 2.如图，一次函数 与 的图象交于点A(3，2)，它们与x轴的交点横坐标分别为1和一1，则不等式 的解集为( ) A. x>3 B. x<- 1 C. x>1 D.- 1<x<1. 课堂检测 C D A. B. C. D. 【课堂检测】 1.如图,在平面直角坐标系中,直线y=—2x和y= ax+2相交于点A(m,1),则关于x，y的二元一次方程组 的解为(C)检测题目1活动四：课堂检测2.如图，一次函数 与 的图象交于点A(3，2)，它们与x轴的交点横坐标分别为1和一1，则不等式 的解集为(D) A. x>3 B. x<- 1 C. x>1 D.- 1<x<1.检测题目23.一次函数. 与 的图象如图所示，则不等式 mx+n>- x+a的解集为(A) A. x>3 B. x<3 C. x<2 D. x>2.检测题目34.如图，直线 与直线 相交于点P(1,b)。 (1)求b的值; (2)不解关于x，y的方程组 请你直接写出它的解。 解:(1)∵P(1,b)在直线l₁上, ∴b=1+1,即b=2。检测题目4学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解。师生活动学以致用，课堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，帮助每个学生有所收获、有所提高。检测意义 3.一次函数. 与 的图象如图所示，则不等式 mx+n>- x+a的解集为( ) A. x>3 B. x<3 C. x<2 D. x>2. 4.如图，直线 l₁:y=x+1与直线 l₂:y=mx+n相交于点 P(1,b) (1)求b的值;(2)不解关于x，y的方程组 ，请你直接写出它的解. 解:(1)∵P(1,b)在直线 l₁上,∴b=1+1,即b=2. (2) A 课堂检测 课堂小结 二元一次方程组的解 两个一次函数图象的交点坐标 两个二元一次方程的公共解 课后分层作业 基础层：教材第130页习题23.3第 3题. 2.当k为何值时，直线2k+1=5x+4y与直线k=2x+3y的交点在第四象限？ 联立 5x+4y=2k+1， 2x+3y=k. 解得 x= ， y= . 因为它们的交点在第四象限，所以x>0，y<0，即 解得 <k<2. 提升层： $