专题11 解分式方程及分式方程应用重难点汇编（六大题型）-2025-2026学年七年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版）

**基本信息** 聚焦分式方程解法、参数问题及应用，按“解法-参数-应用”逻辑递进，覆盖工程、行程等高频场景，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解分式方程|4题（含辨析题）|直接求解、过程纠错|从基本解法到规范步骤，强化验根意识| |参数问题|5题|增根、无解、解的正负性|结合分式方程根的性质，深化逻辑推理| |工程问题|4题|效率对比、任务完成|建立工作量等量关系，培养应用意识| |行程问题|4题|速度差异、时间优化|运用路程公式，提升数学建模能力| |销售问题|5题|价格、数量、利润|通过经济情境，强化数据分析与应用| |其他问题|4题|面积、浓度等|拓展跨领域应用，发展创新思维|

专题11 解分式方程及分式方程应用重难点汇编 【题型01 解分式方程】.................................................................1 【题型02 根据分式方程的根情况求参数】.................................................4 【题型03 分式方程应用-工程问题】......................................................6 【题型04 分式方程应用-行程问题】......................................................9 【题型05 分式方程应用-销售问题】......................................................10 【题型06 分式方程应用-其他问题】......................................................14 【题型01 解分式方程】 1．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（1）先去分母把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可． （2）先去分母把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【详解】（1）解： ， 方程的两边同乘以， 得， ∴， ∴ 解得：．经检验，是原方程的根． （2）解：， 方程的两边同乘以， 得， ∴， ∴， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 2．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)原方程无解 (2)原方程无解 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 经检验：当时，， ∴原方程无解； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 经检验：当时，， ∴原方程无解． 3．在解分式方程时，小明的解法如下： 解： 检验：当时， ∴原分式方程的解为 请判断小明的解答过程______（填选：正确/不正确），若不正确，请你写出正确的解答过程． 【答案】不正确，见解析 【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解法，再检验即可． 【详解】解：小明的解答过程不正确，正确解答如下： ， 两边同时乘以得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 4．如图，有两张卡片分别写有A，B两个分式． (1)化简； (2)若，请解该方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的混合运算，化简即可； （2）根据分式方程的解法求解即可； 【详解】（1）解： ． （2）解：， 方程两边同乘，得 ， ∴． 经检验，是原分式方程的解． 【题型02 根据分式方程的根情况求参数】 5．方程有增根，则的值是________． 【答案】0 【分析】先将分式方程化为整式方程，根据增根的定义确定增根的值，再代入整式方程计算即可得到的值． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母得： ， 整理得 ， 原分式方程有增根， ， 解得， 把代入得： 解得． 6．若关于x的分式方程有解，则m的取值范围是____________． 【答案】 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程．求出整式方程的解，根据分式方程有解的条件，解不能使最简公分母为零，即可确定的取值范围． 【详解】解： 方程两边同乘最简公分母，得： 展开并整理整式方程，得： 系数化为，得： ∵分式方程有解 ∴，即 解得：． 7．若关于x的分式方程 无解，则m的值为________ ． 【答案】1或2 【分析】将原方程去分母并整理，然后根据题意分两种情况求得m的值即可． 【详解】解： 原方程去分母得：， 整理得：， 当时，该方程无解，符合题意， 解得：， 当时，原分式方程无解， 那么， 即， 则， 解得：， 综上，m的值为1或2． 8．若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】本题考查了根据分式方程的情况求参数． 解分式方程得到，根据解为非负数且分母不为零的条件，列出不等式求解的取值范围即可． 【详解】解：解方程， 两边同乘，得， ∴， ∴， ∴． 由于原方程中分母， ∴， ∴， 解得． 又∵解为非负数， ∴， ∴， 解得． 因此，的取值范围是且． 故答案为：且． 9．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】本题主要考查分式方程的解，解分式方程得到，再根据解为正数且分母不为零的条件求解的取值范围． 【详解】解：， ， 解得 ， ∵解为正数， ∴， ∴． 又分母，即， ∴，即， ∴， 因此，的取值范围为且． 故答案为：且． 【题型03 分式方程应用-工程问题】 10．从智慧家居到智能网联汽车，从精准医疗诊断到量化金融风控，正深刻重塑着我们的生活场景与产业格局．无人机与自动驾驶配送凭借高效便捷、安全可靠、降本增效等优势，正逐步成为现代物流领域的重要发展方向．某无人配送公司使用自动驾驶设备运送一批物资，已知该智能设备每小时比人工多配送 20 件物资；若运送 600 件相同物资，智能设备所用时间仅为人工配送的三分之二．求人工配送每小时可运送多少件物资？ 【答案】人工每小时配送40件 【分析】设人工每小时配送x件，智能设备每小时件，根据运送 600 件相同物资，智能设备所用时间仅为人工配送的三分之二列方程求解即可． 【详解】解：设人工每小时配送x件，智能设备每小时件，由题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：人工每小时配送40件． 11．某茶叶合作社在春茶采摘季，安排甲、乙两个采茶队同时开采同一片茶园，假设两队每天各自的采茶量均恒定，已知甲队每天的采茶量是乙队每天采茶量的倍．合作社计划让两队各自独立采茶千克，实际执行时，甲队比乙队提前5天完成任务，求乙队每天采茶多少千克？ 【答案】千克 【分析】设乙队每天采茶千克，则甲队每天采茶千克，由题意得，解得． 【详解】解：设乙队每天采茶千克，则， 方程两边同乘以，得， 化简得，， 解得． 经检验，是原分式方程的解． 答：乙队每天采茶千克． 12．近年来，昭通苹果产业持续壮大，其销售渠道也日趋多元化，其中电商已成为昭通苹果销售的又一重要渠道．某电商商家计划装箱6000箱苹果进行售卖，为加快装箱进度，实际每日装箱数量为原计划的倍，最终比原计划提前1天完成全部装箱任务．求该商家原计划每天装箱多少箱？ 【答案】1000箱 【分析】设原计划每天装箱苹果，则实际每天装箱苹果，然后根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天装箱苹果，则实际每天装箱苹果． 由题意可列方程： ， 解得，， 检验，当时，最简公分母， 是原分式方程的解. 答：原计划每天装1000箱苹果． 13．某工厂为准备六一儿童节，组织工人制作飞机模型玩具．已知一个飞机模型由一个机身和两个机翼构成，用1块材料板可做个机身或个机翼． (1)现有块材料板，用多少块做机身，多少块做机翼才能使机身与机翼恰好配套？ (2)在（1）问的条件下，现由工人分组加工制作这批飞机模型，制作到刚好一半时，工厂又调配了一些工人加入制作，结果每天制作的飞机模型比原来多了，最后提前3天完成．请问原计划每天制作多少个飞机模型？ 【答案】(1)用块材料板做机身，块材料板做机翼 (2)原计划每天制作个飞机模型 【分析】（1）设出未知数，根据等量关系：制作的机翼总数机身总数，列出方程求解即可解决问题； （2）先计算飞机模型总数，设出未知数，根据提前3天完成，列出方程求解即可解决问题． 【详解】（1）解：设用x块材料板做机身，块材料板做机翼才能使机身与机翼恰好配套， 由题意得：， 解得：， ， 答：用块材料板做机身，块材料板做机翼才能使机身与机翼恰好配套． （2）解：（个） 设原计划每天制作y个飞机模型， 由题意得： 解得 经检验：是原方程的解． 答：原计划每天制作个飞机模型． 【题型04 分式方程应用-行程问题】 14．为了进一步厚植热爱祖国、热爱家乡的情怀，铸牢中华民族共同体意识．某校组织学生去聂耳故居研学，聂耳故居距学校，一部分师生乘坐大客车先行，出发后，另一部分师生乘坐小客车前往，结果同时到达．已知小客车的平均速度是大客车平均速度的倍，则大客车、小客车的平均速度分别是每小时多少千米？ 【答案】大客车的平均速度是，小客车的平均速度是 【分析】根据行驶时间的关系列分式方程求解即可． 【详解】解：设大客车的平均速度为，则小客车的平均速度为，由题意，得 ，         解得．             检验，当时，，且符合实际． ．         答：大客车的平均速度是，小客车的平均速度是．     15．一辆巡检车沿乌尉公路前往山区路段进行道路检测，全程共．出发后第一个小时按原计划速度匀速行驶，一小时后为了尽快完成检测任务，将行驶速度提高到原来的倍，最终比原计划提前50分钟到达检测终点．求这辆巡检车第一个小时的行驶速度． 【答案】 【分析】设这辆巡检车第一个小时的行驶速度为，则一小时后的行驶速度为，根据一小时后为了尽快完成检测任务，最终比原计划提前50分钟到达检测终点，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设这辆巡检车第一个小时的行驶速度为，则一小时后的行驶速度为， 由题意得： ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 答：这辆巡检车第一个小时的行驶速度为． 16．雪季来临，密云南山滑雪场成为北京滑雪爱好者的首选目的地之一．目前，从北京市区前往南山滑雪场有以下两种较为实用的出行方式． 已知雪场直通巴士的平均速度是高铁免费接驳车平均速度的倍，且方式二的总用时比方式一少24分钟（不计候车时间），求雪场直通巴士的平均速度． 【答案】雪场直通巴士的平均速度为 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设高铁免费接驳车平均速度为，则雪场直通巴士的平均速度为，根据方式二的总用时比方式一少24分钟（不计候车时间）建立方程求解即可． 【详解】解：设高铁免费接驳车平均速度为，则雪场直通巴士的平均速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴ 答：雪场直通巴士的平均速度为． 17．年月日是中国共产党成立的第周年，初心如磐，使命在肩．在国家发展的新时期，为了加快建设高效交通网，某市将要新建一批高速公路项目．已知甲、乙两地原国道长度为，改为高速公路后长度缩短为，高速公路通车后，一辆货车在高速公路上行驶的速度比在国道上行驶的速度提高了，时间上是原来在国道行驶时间的，求该货车在原国道上行驶的速度． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、正确列出分式方程是解题的关键． 设该货车在原国道上行驶的速度为，然后根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设该货车在原国道上行驶的速度为， 由题意可得，解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：该货车在原国道上行驶的速度为． 【题型05 分式方程应用-销售问题】 18．某中学在组织开展校园文化节活动时，准备购买、两种款式的纪念品．已知花费元购买款纪念品与花费元购买款纪念品的数量相同，且每件款纪念品比每件款纪念品少元． (1)款纪念品和款纪念品的销售单价各是多少元？ (2)若该学校正好用元购买、两种款式纪念品，且两种纪念品都要购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 【答案】(1)款纪念品每件元，款纪念品每件元 (2)共有种购买方案 【分析】（1）设款纪念品每件元，则款纪念品每件元，根据题意，列分式方程求解即可； （2）设购买种纪念品件，购买种纪念品件，根据题意，列二元一次方程讨论求解即可． 【详解】（1）解：设款纪念品每件元，则款纪念品每件元， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：款纪念品每件元，款纪念品每件元； （2）解：设购买种纪念品件，购买种纪念品件， ， ， ，是正整数， 或或， 答：共有种购买方案． 19．今年春节假期，昆明文旅市场呈现人气足、消费热、年味浓、时尚化的特点．在“文化体验+假日烟火”的双引擎带动下，春节假日经济热力十足，春城递出一张“来了就不想走”的城市名片、外地游客卫先生一家在即将离昆时，特意买了云南特产鲜花饼和小粒咖啡回去送给亲友，已知一盒鲜花饼的价格比一盒小粒咖啡贵40元，花1000元买的鲜花饼的盒数与花600元买的小粒咖啡的盒数相同．一盒鲜花饼和一盒小粒咖啡的价格各是多少元？ 【答案】一盒小粒咖啡的价格为60元，一盒鲜花饼的价格为100元 【分析】设一盒小粒咖啡的价格为元，则一盒鲜花饼的价格为元，根据花1000元买的鲜花饼的盒数与花600元买的小粒咖啡的盒数相同列分式方程求解即可． 【详解】解：设一盒小粒咖啡的价格为元，则一盒鲜花饼的价格为元． 根据题意可得：， 解得． 经检验：是所列方程的解，且符合题目要求， 此时． 答：一盒小粒咖啡的价格为60元，一盒鲜花饼的价格为100元． 20．2026年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”．某科技公司计划购进甲、乙两种型号的“春晚同款”机器人进行销售． (1)若购进甲型机器人3台，乙型机器人4台，共耗资27万元；若购进甲型机器人2台，乙型机器人5台，共耗资25万元．求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？ (2)在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的机器人各投入120万元分别进行采购，因市场竞争激烈和产品迭代升级，甲型机器人的进价每台降低a万元，乙型号机器人的进价每台降低万元．则所购甲型机器人的数量是所购乙型机器人的数量的，求a的值． 【答案】(1)甲型机器人每台的进价为5万元，乙型机器人每台的进价为3万元 (2)a的值为 【分析】（1）设甲、乙两种型号机器人每台的进价分别为x、y万元，根据题意列出二元一次方程组，并求解即可； （2）根据题意列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号机器人每台的进价分别为x、y万元，根据题意得： ， 解得：， 答：甲型机器人每台的进价为5万元，乙型机器人每台的进价为3万元． （2）解：根据题意得： ， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解且符合题意． 答：a的值为． 21．中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍． (1)A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？ (2)该茶店决定将所购进的A、B两种茶叶分别按每盒300元和400元的价格出售．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折全部售出．求茶店总共获利多少钱？ 【答案】(1)A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元 (2)茶店总共获利2900元 【分析】（1）设A种茶叶每盒进价为x元，再列分式方程求解； （2）先计算出购买A，B两种茶叶的盒数，再列式计算获利即可． 【详解】（1）解：设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元． （2）由(1)知购进A种茶叶(盒)， 购进B种茶叶(盒)； 根据题意得： （元）， 答：茶店总共获利元． 22．2026年重庆国际马拉松赛举办期间，山城运动氛围持续高涨．某连锁运动器材专卖店紧扣这一本土热点，计划采购一批热门运动器材投放社区门店，助力市民参与马拉松配套健身活动．已知该店花费12300元购进40副羽毛球拍和50副乒乓球拍，且每副羽毛球拍的进价比每副乒乓球拍贵60元． (1)请问每副羽毛球拍和每副乒乓球拍的进价分别为多少元？ (2)该店第一批器材很快售罄，厂家为支持“重庆马拉松惠民”活动，对两种球拍进行降价销售，每副羽毛球拍的降价金额是每副乒乓球拍降价金额的2倍．该店计划再购进一批器材，花费9000元购进羽毛球拍，花费5000元购进乒乓球拍，且购进羽毛球拍的数量比购进乒乓球拍的数量多，求该店此次购进羽毛球拍多少副？ 【答案】(1)每副羽毛球拍进价为170元，每副乒乓球拍的进价为110元 (2)该店此次购进羽毛球拍60副 【分析】（1）设每副羽毛球拍进价为x元，每副乒乓球拍的进价为y元，根据花费12300元购进40副羽毛球拍和50副乒乓球拍，且每副羽毛球拍的进价比每副乒乓球拍贵60元，列出方程组，解方程即可； （2）设每副乒乓球拍降价金额为m元，则每副羽毛球拍的降价金额为元，根据花费9000元购进羽毛球拍，花费5000元购进乒乓球拍，且购进羽毛球拍的数量比购进乒乓球拍的数量多，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设每副羽毛球拍进价为x元，每副乒乓球拍的进价为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：每副羽毛球拍进价为170元，每副乒乓球拍的进价为110元； （2）解：设每副乒乓球拍降价金额为m元，则每副羽毛球拍的降价金额为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， （元）， （副）， 答：该店此次购进羽毛球拍60副． 【题型06 分式方程应用-其他问题】 23．习总书记强调：“中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手上．”为落实这一要求，某农科院规划了两块正方形试验田开展农业技术研究，相关示意图如下．其中甲种水稻的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为米的正方形蓄水池后余下的部分，乙种水稻的试验田的边长为米．两块试验田的水稻都收获了千克． (1)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ (2)在（）的计算结果下，若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，请求出m的值． 【答案】(1)高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍； (2)． 【分析】（）根据题意分别求出两种水稻的试验田单位面积产量，然后进行除法运算即可得到结果； （）根据题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：∵甲种水稻的试验田单位面积产量：， 乙种水稻的试验田单位面积产量：， ∵， ∴， ∴ ， ∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍； （2）解：由题意，可得：， 解这个分式方程得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴． 24．列方程（组）解下列问题： 为迎接“”国际志愿者日，重庆一社区开展了“文旅引导助老服务”双主题活动．志愿者分为A组（文旅引导组，负责景点游客指引）和B组（助老服务组，负责社区老人探访帮扶）．已知A组和B组志愿者总人数为70人，其中B组志愿者人数比A组志愿者人数的一半多10人． (1)求A、B两组各有多少名志愿者？ (2)活动当天，A组需完成5400人次的游客疏导任务，B组需完成240户的老人探访任务，每名志愿者每小时可疏导游客60人次，或探访2户老人，为了平衡两组完成任务的时间，现需要从A组调配部分志愿者到B组，使得两组完成各自任务的时间相同，求从A组调到B组的志愿者人数． 【答案】(1)A组有40名志愿者，B组有30名志愿者 (2)10 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设组有名志愿者，则组有名志愿者，根据组志愿者人数比组志愿者人数的一半多10人，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值（即组志愿者的人数），再将其代入中，即可求出组志愿者的人数； （2）设从组调到组名志愿者，根据两组完成各自任务的时间相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设组有名志愿者，则组有名志愿者， 根据题意得：， 解得：， ， 答：组有40名志愿者，组有30名志愿者； （2）解：设从组调到组名志愿者， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：从组调到组10名志愿者． 25．综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)策略一：如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)策略二：如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，应选择策略_______更优． 【答案】(1)需要清水 (2)能达到洗衣目标 (3)二 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，核心是利用题目给出的浓度关系式，结合不同漂洗策略的条件进行计算，通过对比结果确定最优方案． （1）直接将已知的漂洗前后浓度代入浓度关系式，解方程求出所需清水量； （2）先将清水均分，再分两次代入浓度关系式计算最终浓度，与洗衣目标对比； （3）对比两次策略的用水量和漂洗效果，判断更优方案． 【详解】（1）解：把，，代入得， ， 解得：，经检验，符合题意， 答：只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． （2）解：第一次漂洗：把，代入得， ； 第二次漂洗：把，代入得， ； ， 进行两次漂洗，能达到洗衣目标． （3）解：由（1）和（2）的漂洗结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能节约用水，所以从洗衣用水策略方面，应选择策略二更优． 26．综合与实践：探究奶茶甜度 【阅读材料】溶液：有一种或多种溶质均匀分散在溶剂中形成的均匀、稳定的混合物． 溶质：溶液中，被溶解的物质． 溶剂：溶解溶质的物质． 浓度：把一定量溶液中所含溶质的量称为溶液的浓度．在化学中常用溶质质量分数来表示浓度． 常用公式：溶质质量分数． 溶质质量分数越大，说明溶液中溶质的相对含量越高． 比如，奶茶甜度的计算方法：奶茶甜度． 【问题背景】某奶茶店一杯克的奶茶含糖量克，称甜度为标准糖；含糖量克，称甜度为七分糖；含糖量克，称甜度为五分糖；含糖量克，称甜度为三分糖．请结合奶茶甜度的计算方法解决以下问题．（注：所加入的糖均能完全溶解．） (1)一天，小明到这家奶茶店点了一杯克七分糖奶茶，由于店员疏忽，做成了一杯克五分糖奶茶，店员再往这杯奶茶中加入了克糖．判断店员最后做出来的奶茶甜度跟七分糖甜度一样吗？ (2)为了保持奶茶店产品的品质，一杯克五分糖奶茶需要再加入多少克的糖才能跟七分糖奶茶的甜度一样？ 【答案】(1)不一样 (2)克 【分析】此题考查了分式的性质，分式方程的应用，解题的关键是正确列式． （1）根据题意表示出加入了克糖后的浓度，进而求解即可； （2）设需要在五分糖奶茶中加入克糖，才能跟七分糖奶茶甜度一样，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）不一样． 理由：七分糖奶茶甜度为， 在五分糖奶茶加入克糖后的甜度为． ，， （即）， 七分糖奶茶甜度与这杯奶茶甜度不一样． （2）设需要在五分糖奶茶中加入克糖，才能跟七分糖奶茶甜度一样， 依题意，得， 整理，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， 答：需要在五分糖奶茶中加入克糖，才能跟七分糖奶茶甜度一样． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 解分式方程及分式方程应用重难点汇编 【题型01 解分式方程】.................................................................1 【题型02 根据分式方程的根情况求参数】.................................................2 【题型03 分式方程应用-工程问题】......................................................2 【题型04 分式方程应用-行程问题】......................................................3 【题型05 分式方程应用-销售问题】......................................................5 【题型06 分式方程应用-其他问题】......................................................7 【题型01 解分式方程】 1．解分式方程： (1)； (2)． 2．解方程： (1)． (2)． 3．在解分式方程时，小明的解法如下： 解： 检验：当时， ∴原分式方程的解为 请判断小明的解答过程______（填选：正确/不正确），若不正确，请你写出正确的解答过程． 4．如图，有两张卡片分别写有A，B两个分式． (1)化简； (2)若，请解该方程． 【题型02 根据分式方程的根情况求参数】 5．方程有增根，则的值是________． 6．若关于x的分式方程有解，则m的取值范围是____________． 7．若关于x的分式方程 无解，则m的值为________ ． 8．若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是__________． 9．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是___________． 【题型03 分式方程应用-工程问题】 10．从智慧家居到智能网联汽车，从精准医疗诊断到量化金融风控，正深刻重塑着我们的生活场景与产业格局．无人机与自动驾驶配送凭借高效便捷、安全可靠、降本增效等优势，正逐步成为现代物流领域的重要发展方向．某无人配送公司使用自动驾驶设备运送一批物资，已知该智能设备每小时比人工多配送 20 件物资；若运送 600 件相同物资，智能设备所用时间仅为人工配送的三分之二．求人工配送每小时可运送多少件物资？ 11．某茶叶合作社在春茶采摘季，安排甲、乙两个采茶队同时开采同一片茶园，假设两队每天各自的采茶量均恒定，已知甲队每天的采茶量是乙队每天采茶量的倍．合作社计划让两队各自独立采茶千克，实际执行时，甲队比乙队提前5天完成任务，求乙队每天采茶多少千克？ 12．近年来，昭通苹果产业持续壮大，其销售渠道也日趋多元化，其中电商已成为昭通苹果销售的又一重要渠道．某电商商家计划装箱6000箱苹果进行售卖，为加快装箱进度，实际每日装箱数量为原计划的倍，最终比原计划提前1天完成全部装箱任务．求该商家原计划每天装箱多少箱？ 13．某工厂为准备六一儿童节，组织工人制作飞机模型玩具．已知一个飞机模型由一个机身和两个机翼构成，用1块材料板可做个机身或个机翼． (1)现有块材料板，用多少块做机身，多少块做机翼才能使机身与机翼恰好配套？ (2)在（1）问的条件下，现由工人分组加工制作这批飞机模型，制作到刚好一半时，工厂又调配了一些工人加入制作，结果每天制作的飞机模型比原来多了，最后提前3天完成．请问原计划每天制作多少个飞机模型？ 【题型04 分式方程应用-行程问题】 14．为了进一步厚植热爱祖国、热爱家乡的情怀，铸牢中华民族共同体意识．某校组织学生去聂耳故居研学，聂耳故居距学校，一部分师生乘坐大客车先行，出发后，另一部分师生乘坐小客车前往，结果同时到达．已知小客车的平均速度是大客车平均速度的倍，则大客车、小客车的平均速度分别是每小时多少千米？ 15．一辆巡检车沿乌尉公路前往山区路段进行道路检测，全程共．出发后第一个小时按原计划速度匀速行驶，一小时后为了尽快完成检测任务，将行驶速度提高到原来的倍，最终比原计划提前50分钟到达检测终点．求这辆巡检车第一个小时的行驶速度． 16．雪季来临，密云南山滑雪场成为北京滑雪爱好者的首选目的地之一．目前，从北京市区前往南山滑雪场有以下两种较为实用的出行方式． 已知雪场直通巴士的平均速度是高铁免费接驳车平均速度的倍，且方式二的总用时比方式一少24分钟（不计候车时间），求雪场直通巴士的平均速度． 17．年月日是中国共产党成立的第周年，初心如磐，使命在肩．在国家发展的新时期，为了加快建设高效交通网，某市将要新建一批高速公路项目．已知甲、乙两地原国道长度为，改为高速公路后长度缩短为，高速公路通车后，一辆货车在高速公路上行驶的速度比在国道上行驶的速度提高了，时间上是原来在国道行驶时间的，求该货车在原国道上行驶的速度． 【题型05 分式方程应用-销售问题】 18．某中学在组织开展校园文化节活动时，准备购买、两种款式的纪念品．已知花费元购买款纪念品与花费元购买款纪念品的数量相同，且每件款纪念品比每件款纪念品少元． (1)款纪念品和款纪念品的销售单价各是多少元？ (2)若该学校正好用元购买、两种款式纪念品，且两种纪念品都要购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 19．今年春节假期，昆明文旅市场呈现人气足、消费热、年味浓、时尚化的特点．在“文化体验+假日烟火”的双引擎带动下，春节假日经济热力十足，春城递出一张“来了就不想走”的城市名片、外地游客卫先生一家在即将离昆时，特意买了云南特产鲜花饼和小粒咖啡回去送给亲友，已知一盒鲜花饼的价格比一盒小粒咖啡贵40元，花1000元买的鲜花饼的盒数与花600元买的小粒咖啡的盒数相同．一盒鲜花饼和一盒小粒咖啡的价格各是多少元？ 20．2026年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”．某科技公司计划购进甲、乙两种型号的“春晚同款”机器人进行销售． (1)若购进甲型机器人3台，乙型机器人4台，共耗资27万元；若购进甲型机器人2台，乙型机器人5台，共耗资25万元．求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？ (2)在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的机器人各投入120万元分别进行采购，因市场竞争激烈和产品迭代升级，甲型机器人的进价每台降低a万元，乙型号机器人的进价每台降低万元．则所购甲型机器人的数量是所购乙型机器人的数量的，求a的值． 21．中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍． (1)A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？ (2)该茶店决定将所购进的A、B两种茶叶分别按每盒300元和400元的价格出售．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折全部售出．求茶店总共获利多少钱？ 22．2026年重庆国际马拉松赛举办期间，山城运动氛围持续高涨．某连锁运动器材专卖店紧扣这一本土热点，计划采购一批热门运动器材投放社区门店，助力市民参与马拉松配套健身活动．已知该店花费12300元购进40副羽毛球拍和50副乒乓球拍，且每副羽毛球拍的进价比每副乒乓球拍贵60元． (1)请问每副羽毛球拍和每副乒乓球拍的进价分别为多少元？ (2)该店第一批器材很快售罄，厂家为支持“重庆马拉松惠民”活动，对两种球拍进行降价销售，每副羽毛球拍的降价金额是每副乒乓球拍降价金额的2倍．该店计划再购进一批器材，花费9000元购进羽毛球拍，花费5000元购进乒乓球拍，且购进羽毛球拍的数量比购进乒乓球拍的数量多，求该店此次购进羽毛球拍多少副？ 【题型06 分式方程应用-其他问题】 23．习总书记强调：“中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手上．”为落实这一要求，某农科院规划了两块正方形试验田开展农业技术研究，相关示意图如下．其中甲种水稻的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为米的正方形蓄水池后余下的部分，乙种水稻的试验田的边长为米．两块试验田的水稻都收获了千克． (1)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ (2)在（）的计算结果下，若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，请求出m的值． 24．列方程（组）解下列问题： 为迎接“”国际志愿者日，重庆一社区开展了“文旅引导助老服务”双主题活动．志愿者分为A组（文旅引导组，负责景点游客指引）和B组（助老服务组，负责社区老人探访帮扶）．已知A组和B组志愿者总人数为70人，其中B组志愿者人数比A组志愿者人数的一半多10人． (1)求A、B两组各有多少名志愿者？ (2)活动当天，A组需完成5400人次的游客疏导任务，B组需完成240户的老人探访任务，每名志愿者每小时可疏导游客60人次，或探访2户老人，为了平衡两组完成任务的时间，现需要从A组调配部分志愿者到B组，使得两组完成各自任务的时间相同，求从A组调到B组的志愿者人数． 25．综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)策略一：如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)策略二：如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，应选择策略_______更优． 26．综合与实践：探究奶茶甜度 【阅读材料】溶液：有一种或多种溶质均匀分散在溶剂中形成的均匀、稳定的混合物． 溶质：溶液中，被溶解的物质． 溶剂：溶解溶质的物质． 浓度：把一定量溶液中所含溶质的量称为溶液的浓度．在化学中常用溶质质量分数来表示浓度． 常用公式：溶质质量分数． 溶质质量分数越大，说明溶液中溶质的相对含量越高． 比如，奶茶甜度的计算方法：奶茶甜度． 【问题背景】某奶茶店一杯克的奶茶含糖量克，称甜度为标准糖；含糖量克，称甜度为七分糖；含糖量克，称甜度为五分糖；含糖量克，称甜度为三分糖．请结合奶茶甜度的计算方法解决以下问题．（注：所加入的糖均能完全溶解．） (1)一天，小明到这家奶茶店点了一杯克七分糖奶茶，由于店员疏忽，做成了一杯克五分糖奶茶，店员再往这杯奶茶中加入了克糖．判断店员最后做出来的奶茶甜度跟七分糖甜度一样吗？ (2)为了保持奶茶店产品的品质，一杯克五分糖奶茶需要再加入多少克的糖才能跟七分糖奶茶的甜度一样？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $