5.5 分式方程（1）专项练习 2025--2026学年浙教版七年级数学下册

浙教版数学七年级下册常考题型分类同步练 5.5 分式方程（1） 一、分式方程辨析 1．下列四个选项中，是分式方程的是 （　　) A． B． C． D． 2．（2024八上·石家庄月考）下列关于的方程中，不是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024八下·泗县月考）下列关于的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、分式方程的解及解分式方程 4．（2026九下·杭州月考） 解分式方程时，去分母正确的是（　　） A． B． C． D． 5．分式方程的解是（　　） A．x=-1 B．x=1 C．x=15 D．x=8 6．（2025九上·城关期末）方程的解为（　　） A． B． C．或 D．无解 7．（2025八上·播州期末）已知关于的分式方程的解为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．-1 D．-2 8．（2026八上·柳州期末）解下列方程： （1） （2） 9．（2026八上·望城期末）解方程： （1） （2）. 10．（2026九下·温州月考）解方程： （1）； （2）． 11．（2025七下·柯城期末）小红计算和小明解方程的过程如下： 小红计算： 解：原式 ． 小明解方程： 解：方程两边同乘 得 化简得 经检验，是原方程的解． （1）在上述两位同学的解答中，有一位同学有错误，这位同学是　 　（填写“小红”或“小明”)； （2）请你写出正确的解答过程． 三、分式方程的特殊解 12．（2024八上·泰山期中）关于x的方程，有整数解，则满足条件的整数m的值有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（2022·通辽）若关于的分式方程：的解为正数，则的取值范围为（　　） A． B．且 C． D．且 14．（2026八上·兴仁期末）若关于的分式方程的解为正数，则自然数的所有值的个数为（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 15．（2024·旌阳模拟）关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围是　 　. 16．（2026八上·宽城期末）已知关于的方程． （1）求方程的解（用含的代数式表示）； （2）若这个方程的解是正数，求的取值范围． 四、分式方程的增根及无解问题 17．（2023八下·双流期末）若关于的分式方程有增根，则增根为（　　） A． B． C． D． 18．（2024八上·石家庄月考）若关于x的方程产生增根，则m的值是（　　） A． B． C．2 D．0 19．（2025八上·港南期中）若分式方程无解，则整数m的值为（　　） A． B．1 C． D．或1 20．（2025·齐齐哈尔）如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值是（　　） A． B． C．或 D．且 21．（2026八上·河北期中）已知关于的分式方程有增根，则增根是　 　． 22．（2025八上·慈利期中）已知关于x的分式方程：． （1）当时，解该分式方程； （2）若该分式方程无解，求m的值． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：分式方程，即分母含有未知数的方程。四个选项中，只有选项B满足条件。 故答案为：B. 【分析】本题根据分式方程的定义，即分母含有未知数的方程。然后观察四个选项即可做出判断。 2．【答案】D 【解析】【解答】解：A、B、C项中的方程分母中都含未知数，是分式方程，D项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程． 故答案为：D． 【分析】分母里含有未知数的方程叫做分式方程，据此逐一判断得出答案. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：①方程中，分母不含有未知数，不是分式方程； ∴结论不符合题意； ②方程中，分母含有未知数，是分式方程； ∴结论符合题意； ③方程中，分母不含有未知数，不是分式方程； ∴结论不符合题意； ④方程中，分母含有未知数，是分式方程， ∴结论符合题意. ∴分式方程有：②④. 故答案为：B． 【分析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义并结合各选项即可判断求解． 4．【答案】C 【解析】【解答】解：， 整理得， 等式两边同时乘以去分母得，， 整理得，， 故选：C ． 【分析】方程两边同时乘以，去分母解答即可. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：去分母，得：×（x-8）=1×（x-8）， x-8=7， x=15. 经检验：x=15时，x-8=7≠0， ∴x=15是原分式方程的解. 故答案为：C. 【分析】通过观察可以看出此题是解分式方程，所以，先去分母，求出x的值，再把求得的x的值代入到原分式方程的分母中去验根，如果原分式方程的分母不为0，那么这个求得的x的值就是原分式方程的解. 6．【答案】D 【解析】【解答】解： 等式两边同时乘以，得， 经检验，当时，原分式方程中，分母，因此原分式方程无意义， ∴原方程无解， 故答案为：D ． 【分析】本题观察发现，分式方程等式两边同时乘以即可先去分母，将原分式方程化简为整式方程并求解得出，然后进行检验根，发现原分式方程分母为0无意义，由此即可选出答案。 7．【答案】A 【解析】【解答】解：将代入可得：， 解得：． 故答案为：A． 【分析】根据分式方程解的定义：将代入得到关于a的方程，计算即可解答． 8．【答案】（1）解：原方程可化为， 两边同乘得：， 解得， 检验：当时，， ∴是增根， 故原方程无解. （2）解：原方程可化为， 两边同乘得：， 展开化简得，解得， 检验：当时，， ∴是增根， 故原方程无解． 【解析】【分析】（1）利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可； （2）利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可. （1）解：原方程可化为， 两边同乘得：， 解得， 检验：当时，， ∴是增根， 故原方程无解； （2）解：原方程可化为， 两边同乘得：， 展开化简得，解得， 检验：当时，， ∴是增根， 故原方程无解． 9．【答案】（1）解：两边同时乘以得 去括号得7x=4x-12 移项得7x-4x=-12 合并同类项得3x=-12 系数化为1得x=-4 检验：当x=-4时， ∴原分式方程的解为x=-4 （2）解：两边同时乘以x-2得1-2x=2(x-2)-3 去括号得1-2x=2x-7 移项得-2x-2x=-7-1 合并同类项得-4x=-8 系数化为1得x=2 检验：当x=2时， ∴原分式方程无解 【解析】【分析】(1)观察可知方程的最简公分母为，通过去分母将其转化为整式方程求解，注意要验根； (2)观察可知方程的最简公分母为x-2，通过去分母将其转化为整式方程求解，验根发现x=2为增根。 10．【答案】（1）解：， 方程两边同时乘2（x﹣1），得2x＝x﹣1， 解得：x＝﹣1， 检验：把x＝﹣1代入2（x﹣1）≠0， ∴分式方程的解为x＝﹣1； （2）解：1． 方程两边同时乘x﹣2，得2x＝x﹣2+1 解得：x＝﹣1， 检验：把x＝﹣1代入x﹣2≠0， ∴分式方程的解为x＝﹣1． 【解析】【分析】 解分式方程的核心是去分母转化为整式方程求解，最后必须检验，确保分母不为 0，避免产生增根。 11．【答案】（1）小红 （2）解： 【解析】【解答】（1） 解：原式 =2x-3+x =3x-3． 【分析】（1）根据题干中分式的加减计算过程及解分式方程的步骤；先去分母得2x-（3-x），去括号得2x-3+x，合并同类项得3x-3． （2）方程两边去分母，得，化简得. （1）由题干中的解题步骤可得小红同学的解答错误， 故答案为：小红； （2）解： 12．【答案】C 【解析】【解答】解： 方程两边同乘得： 移项合并同类项得： 解得： ∵方程有整数解，且m也为整数， ∴2-m=±1或2-m=±2，且， ∴m的值为3、0、4. 故答案为：C． 【分析】将m作为参数，解分式方程，用含m的式子表示出x，然后根据分式方程的解为整数且m为整数列出关于字母m的混合组，求解即可得出m的值. 13．【答案】B 【解析】【解答】解：∵， ∴， 解得：， ∵解为正数， ∴， ∴， ∵分母不能为0， ∴， ∴，解得， 综上所述：且， 故答案为：B． 【分析】先求出，再求出，最后求解即可。 14．【答案】A 【解析】【解答】解：原方程：； 先将右边变形：； 方程两边同乘 去分母： ； 展开并整理： 解得：，即 ； 因为解为正数： ，得 ，故 ； 分母不为零： ，得 ，得 ，得 ； 自然数m满足 且 ，则m可取 0， 1， 3，共3个值。 故答案为：A。 【分析】先解分式方程得到x的表达式，再根据“解为正数”和“分母不为零”的条件列出不等式，最后确定符合条件的自然数m的个数。 15．【答案】且 【解析】【解答】解：关于的分式方程的两边都乘以得， ， 解得， 由于关于的分式方程的解是非负数， ， 即， 又因为分式方程的增根是， 当时，即， 解得， 的取值范围是且． 故答案为：且． 【分析】 先把a看作常数，再去分母化分式方程为整式方程，再解整式方程，再根据解的取值范围求出a的取值范围，另注意在该取值范围内是否存在使分式方程出现增根的值，若存在还应排除掉这个值． 16．【答案】（1） 解： ， ， ； 当 时，即 时，分母为零，方程无解． 因此，方程的解为： 当 时，解为 ； 当 时，方程无解． （2）解：由题意得：且， ∴，且， ∴，且． 【解析】【分析】（1）将m作为常数解方程，用含m的式子表示出x，然后再检验即可得出方程解的情况； （2）根据方程的解是正数可得x＞0且x≠2，从而得到关于字母m的不等式组，求解即可得出m的取值范围. （1）解： ， ， ； 当 时，即 时，分母为零，方程无解． 因此，方程的解为： 当 时，解为 ； 当 时，方程无解． （2）解：由题意得：且， ∴，且， ∴，且． 17．【答案】A 【解析】【解答】解：x-3=0，解得：x=3， 因此分式方程的增根就是3。 故答案为：A. 【分析】在解分式方程时，去分母过程中会产生令分母为零的根，这就是增根。 18．【答案】B 【解析】【解答】解： 方程两边同乘以，得 ∵原方程有增根， ∴，即， 把代入，得， 故答案为：B． 【分析】先将分式方程转换为整式方程，再利用方程的增根可得，最后将其代入求出m的值即可. 19．【答案】D 【解析】【解答】解： 当时，方程无解，此时，； 当时，即时，方程无解，此时； 故选：D． 【分析】去分母，转换为整式方程，解方程，再根据原分式方程为解，建立关于m的一次方程，解方程即可求出答案. 20．【答案】C 【解析】【解答】 解： 去分母得：mx-x=2(1-x) 整理得 ：（1+m）x=2 ∵分式方程无解， ∴①x=1为增根，即1+m=2，解得m=1， ②1+m=0，解得m=-1， 综上所述：或 . 故答案为：C . 【分析】根据解分式方程得步骤，化简整理得（1+m）x=2；再分别讨论无解得两种情况，计算即可解答. 21．【答案】 【解析】【解答】解：∵原分式方程有增根， ∴x-2=0且2-x=0，解得x=2， ∴该分式方程的增根是x=2． 故答案为：x=2. 【分析】根据分式方程增根的判定（使分式方程分母为0的根，即为该方程的增根），令分母等于0，求解即可． 22．【答案】（1）解：当时，方程为， 去分母，得：， 解得； 检验，当时，， ∴方程的解为； （2）解：， 去分母，得：， 整理得：9x-5-m=0 解得：x= ∵分式方程无解， ∴分式方程有增根， ∴， 即 解得； 故． 【解析】【分析】（1）将m=4代入方程，然后在方程两边同时乘以2(3x-1)约去分母，将方程化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出答案； （2）将m作为常数，解分式方程，用含m的式子表示出x；根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根，第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解，求解即可. （1）解：当时，， 去分母，得：， 解得； 检验，当时，， ∴方程的解为； （2）解：， 去分母，得：， ∵分式方程无解， ∴分式方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得：； 故． 学科网（北京）股份有限公司 $