专题10分式混合运算与化简求值重难点汇编（七大题型）-2025-2026学年七年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版）

**基本信息** 以7类题型系统构建分式运算与化简求值方法体系，从基础运算到特殊技巧，逻辑递进，突出运算能力与推理意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式混合运算|4题|分式四则运算法则综合应用|从分式基本运算到混合运算，夯实基础| |直接代入|4题|先化简再直接代入求值|衔接运算与求值，体现转化思想| |选择性代入|3题|化简后根据分母不为0选值|强化取值范围意识，培养严谨思维| |整体代入|3题|将已知等式变形整体代入|渗透整体思想，提升代数推理能力| |非负数性质|3题|利用平方、绝对值等非负性求条件|结合非负数概念，拓展条件挖掘能力| |倒数法|4题|取倒数转化求值问题|创新解题技巧，培养逆向思维| |新定义|4题|理解新定义并应用分式知识|提升数学语言表达与模型应用能力|

专题10 分式混合运算与化简求值重难点汇编 【题型01 分式混合运算】..............................................................1 【题型02 分式化简求值-直接代入】......................................................2 【题型03 分式化简求值-选择性代入】....................................................3 【题型04 分式化简求值-整体代入】.....................................................3 【题型05 利用非负数的性质挖掘条件求值】..............................................4 【题型06 利用“倒数法”求值】........................................................4 【题型07 新定义问题】................................................................6 【题型01 分式混合运算】 1．化简：． 2．化简：． 3．按要求完成下列计算： 化简：． 4．化简：． 【题型02 分式化简求值-直接代入】 5．先化简，再求值：，其中． 6．先化简，再求值：，其中． 7．先化简，再求值：，其中，． 8．先化简，再求值：，其中． 下面是小宇同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 (1)任务一： 以上化简步骤中，第_____步是通过约分得到的，约分的依据是__________； 第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____； (2)任务二：请直接写出该式子化简后的正确结果，并代入求值． 【题型03 分式化简求值-选择性代入】 9．先化简：，然后再从，0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 10．先化简，再求值：，其中从0，1，2中选一个恰当的数求值． 11．先化简，再从0，1，3中选择一个合适的值代入求值． 【题型04 分式化简求值-整体代入】 12．先化简，再求值，其中． 13．化简求值：，其中x满足． 14．已知：，求代数式的值． 【题型05 利用非负数的性质挖掘条件求值】 15．先化简，再求值：，其中满足式子． 16．先化简，再求值：，其中实数，满足． 17．已知，求的值． 【题型06 利用“倒数法”求值】 18．阅读下列材料： 消元求值作为解决代数式求值时一种常用方法，在实际解题过程中应用非常广泛，常见的消元方法有：代入消元法，加减消元法、比值消元法等方法，下面介绍一种倒数消元法． (1)已知，，则______； (2)已知，，求证：； (3)已知（其中、、互不相等），求的值． 19．阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． 的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 20．已知（是正整数，m叫作n的平方差倒数．例如，叫作3的平方差倒数． (1)的平方差倒数是______； (2)是n的平方差倒数，求m的值； (3)已知是某一正整数的平方差倒数（是正整数），求的最小值． 21．阅读下列解题过程： 已知，求的值 解：由，知，所以，即， 的值为2的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边取倒数，然后求出待求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”，请你用“倒数法”解答下面问题． (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【题型07 新定义问题】 22．对于实数，，，给出如下定义：若，则把实数叫作实数，的“友好数”． (1)已知，，求，的“友好数”； (2)已知，，是，的“友好数”． 用含的式子表示； 若是整数，直接写出整数的值． 23．（1）【定义】如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． 【理解】分式：①，②中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）； （2）【应用】先化简，并求取何整数时，该式的值为整数． 24．定义．若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④，其中，属于“和谐分式”的是 ；（填序号） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)先化简，结果是“和谐分式”吗？并求当取什么整数时，该式的值为整数． 25．阅读材料∶ 新定义：任意两数α、b，按规定 得到一个新数c，称所得新数c为数a、b的“快乐返校学习数”． (1)若，，求a，b的“快乐返校学习数”c； (2)若，且，求a，b的“快乐返校学习数”c； (3)若，，且a，b的“快乐返校学习数”c为正整数，求整数n的值是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 分式混合运算与化简求值重难点汇编 【题型01 分式混合运算】..............................................................1 【题型02 分式化简求值-直接代入】......................................................2 【题型03 分式化简求值-选择性代入】....................................................5 【题型04 分式化简求值-整体代入】.....................................................6 【题型05 利用非负数的性质挖掘条件求值】..............................................7 【题型06 利用“倒数法”求值】........................................................9 【题型07 新定义问题】................................................................13 【题型01 分式混合运算】 1．化简：． 【答案】 【分析】括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简． 【详解】解： ． 2．化简：． 【答案】 【详解】解： ． 3．按要求完成下列计算： 化简：． 【答案】 【分析】先对括号里面的式子进行通分，然后把分子分母都进行因式分解，把除法转化成乘法，然后约分即可得出答案． 【详解】解： 4．化简：． 【答案】 【分析】先通分化简括号内，再把除法转化为乘法约分即可． 【详解】解：原式 ． 【题型02 分式化简求值-直接代入】 5．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 6．先化简，再求值：，其中． 【答案】；2 【详解】． 解：原式 ． 将代入上式可得， 所以，原式． 7．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ； 【分析】将括号里的分式通分，再将每个分式因式分解，把除法转化为乘法，约分化简，最后代入数值计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式． 8．先化简，再求值：，其中． 下面是小宇同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 (1)任务一： 以上化简步骤中，第_____步是通过约分得到的，约分的依据是__________； 第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____； (2)任务二：请直接写出该式子化简后的正确结果，并代入求值． 【答案】(1)三，分式的基本性质；一；添括号时，括号里面的第二项没有变号； (2)，． 【分析】（1）根据分式的运算法则观察化简步骤即可知答案； 观察分式化简的步骤可知答案； （2）将分式进行正确的化简，再将代入化简之后的式子即可． 【详解】（1）解：以上化简步骤中，第三步是通过约分得到的，约分的依据是分式的基本性质， 第一步开始出现错误，这一步错误的原因是添括号时，括号里面的第二项没有变号； （2）解：， ， 当时， ． 【题型03 分式化简求值-选择性代入】 9．先化简：，然后再从，0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】 【分析】先根据分式的混合运算化简，再取代入求解即可 【详解】解：原式 ∴当时，原式 10．先化简，再求值：，其中从0，1，2中选一个恰当的数求值． 【答案】，当时，原式 【分析】先把小括号内的式子通分，然后因式分解后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定m的值，然后代入求解． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， ∵从0，1，2中选一个恰当的数 ∴当时，原式． 11．先化简，再从0，1，3中选择一个合适的值代入求值． 【答案】， 【分析】根据分式的四则混合运算对式子进行化简，根据分式有意义的条件确定，代入求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 由题意可得，不能取1和3， 将代入得，原式． 【题型04 分式化简求值-整体代入】 12．先化简，再求值，其中． 【答案】， 【详解】解： ， ， ， 原式． 13．化简求值：，其中x满足． 【答案】， 【分析】先对分式进行化简求值，然后根据得出，再代入求解即可． 【详解】解：原式 ． 由，得． 将代入，得原式＝． 14．已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简和整体代入求值．将分式分子分母因式分解后约分，完成化简，由得，整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ， ， 原式． 【题型05 利用非负数的性质挖掘条件求值】 15．先化简，再求值：，其中满足式子． 【答案】化简结果，求值结果 【分析】先根据非负数的性质求得x、y的值，再利用分式的混合运算法则化简分式，然后将x、y的值代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ； 当时，原式． 16．先化简，再求值：，其中实数，满足． 【答案】， 【分析】先根据分式混合运算法则将原式化简，再根据非负数之和等于零，分别列方程求出、值，最后代值计算即可． 本题考查分式的化简和非负数的性质，解题的关键是掌握分式混合运算法则和非负数的性质． 【详解】解：原式 ． ，且， ，，原式． 17．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，绝对值和偶次方的非负性，解题的关键是求出与的值． 根据绝对值和偶次方的非负性可求出与的值，然后利用分式的运算法则化简，代入求值即可． 【详解】解： ； ， ， 解得，， 把，代入． 【题型06 利用“倒数法”求值】 18．阅读下列材料： 消元求值作为解决代数式求值时一种常用方法，在实际解题过程中应用非常广泛，常见的消元方法有：代入消元法，加减消元法、比值消元法等方法，下面介绍一种倒数消元法． (1)已知，，则______； (2)已知，，求证：； (3)已知（其中、、互不相等），求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依据题意，根据已知条件分别求出和，然后再相乘得，然后再变形可以得解； （2）依据题意，类似（1）求出再与相乘可得，的式子，再变形可以得解； （3）依据题意，通过消元法建立关于t的方程，进而可以得解． 【详解】（1）解：由题意，，， ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：； （2）解：由题意，∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴； （3）解：由得：①， 由得：②， 把②代入①得：， ∴． ∴． 同理得：， ， ∴． ∵、、互不相等， ∴， ∴． 【点睛】本题是阅读材料问题，也是分式的化简问题，考查了分式的基本性质，有难度． 19．阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． 的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减法，倒数，理解例题的思路是解题的关键． （1）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （2）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ，即， ， ； （2） ， ，即， ， ， ． 20．已知（是正整数，m叫作n的平方差倒数．例如，叫作3的平方差倒数． (1)的平方差倒数是______； (2)是n的平方差倒数，求m的值； (3)已知是某一正整数的平方差倒数（是正整数），求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了对平方差倒数的理解，完全平方公式的应用、分式方程的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据（是正整数，m叫作n的平方差倒数，直接求解，即可解题； （2）根据“是n的平方差倒数”结合平方差倒数概念建立分式方程求解，即可解题； （3）利用因式分解化简求解即可． 【详解】（1）解：， 的平方差倒数是， 故答案为：； （2）解：由题易得，， 即， 解得， 经检验，是该方程的解， 此时； （3）解： ， ， ， ，b，n为正整数， 可取的最小值为6， 的最小值为． 21．阅读下列解题过程： 已知，求的值 解：由，知，所以，即， 的值为2的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边取倒数，然后求出待求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”，请你用“倒数法”解答下面问题． (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则． （1）同样将已知等式变形求出的值，原式变形后，将的值代入计算即可． （2）已知三等式变形后相加求出的值，原式变形后代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，知 ∴，即 ∴ 故的值为21的倒数，即为 （2）解：依题意，∵ ∴ ∴，即 ∵ ∴． 【题型07 新定义问题】 22．对于实数，，，给出如下定义：若，则把实数叫作实数，的“友好数”． (1)已知，，求，的“友好数”； (2)已知，，是，的“友好数”． 用含的式子表示； 若是整数，直接写出整数的值． 【答案】(1)， (2) ； ． 【分析】本题考查了新定义，分式的化简求值，分式的值，正确的理解题意是解题的关键． （）根据新定义，把，代入即可求出的值； （）根据新定义把，代入即可求出的值； 根据是整数，即可求出整数的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解： ，，是，的“友好数”， ∴ ； ∵是整数，且是整数， ∴． 23．（1）【定义】如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． 【理解】分式：①，②中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）； （2）【应用】先化简，并求取何整数时，该式的值为整数． 【答案】（1）②；（2），当时，该式的值为整数 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． （1）根据“和谐分式”的定义判断即可； （2）原式化简为，继而得出原式，结合分式有意义的条件可得答案． 【详解】解：（1）为整式，， 是“和谐分式”， 故答案为：②； （2）原式 ， 且， 且且， 若该分式的值为整数，则，此时分式的值． 24．定义．若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④，其中，属于“和谐分式”的是 ；（填序号） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)先化简，结果是“和谐分式”吗？并求当取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3)是，当时，该式的值为整数 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握“和谐分式”的定义是解题的关键． （1）根据“和谐分式”的定义解答即可； （2）根据“和谐分式”的定义把分式化简即可； （3）根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据分式为整数求出x的值即可． 【详解】（1）解：①，故是“和谐分式”； ②不是分式，故不是“和谐分式”； ③，故是“和谐分式”； ④，故是“和谐分式”； 属于“和谐分式”的是①③④， 故答案为：①③④； （2）解： ； （3）解： ， ∵该式的值为整数， ∴， 解得或或1或， 又∵， ∴， 即当时，该式的值为整数． 25．阅读材料∶ 新定义：任意两数α、b，按规定 得到一个新数c，称所得新数c为数a、b的“快乐返校学习数”． (1)若，，求a，b的“快乐返校学习数”c； (2)若，且，求a，b的“快乐返校学习数”c； (3)若，，且a，b的“快乐返校学习数”c为正整数，求整数n的值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查分式的化简求值，明确题意，利用题中的新定义是解题的关键． （1）把，代入式子求出答案； （2）把代入化简求解即可； （3）根据题意和题目中的定义，求出答案即可． 【详解】（1）解： ，， ； （2）解： ， 两边同时除以， 得， ， ， ， ， 故a，b的“快乐返校学习数”是； （3）解：把，代入， c为正整数，为整数， 或， 故整数的值为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $