吉林长春市第二实验中学2025-2026学年度下学期高一期中考试数学试题

2025-2026学年度下学期期中考试 长春中当资班中翠 高一数学试题 CHANOCHP SEOOND DOERINENTAL HOH SCNOOL 本试卷分选择题和非选择题两部分，共19题，共150分，共3页。考试时间为120分钟。考 试结束后，只交答题卡。 第1卷选择题 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求） 1.已知复数z满足z(3+)=3+6,其中1为虚数单位，则z的虚部为( A B c. 2.已知点M(2,2)和N(5,-2),点P在x轴上，且∠MPN为直角，求点P的坐标( A.(1,0)或(6,0)B.(4,0)或(3,0) c.(2,0) D.(7,0) 3.已知a,i,c表示不同的直线，B表示不同的平面；给出下面四个命题： (1)着allB,aca,则ollB；(2)若anB=a,bca,ccB,be,则ala: )若a1lf,bcB,则ab:(4)a上B,beB,则a⊥b. 上面四个命题正确的有(y A.(1),(3)B.(2),(4) C.(1),(2),(4)D(1D,.(3),(4). cs.a 4,在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且asinC=bcosA+acos则△AB0一定为0) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 5.若图锥的母线长为1，其侧面展开图的面积为公，则这个图维的体积为( D.3 3 高一数学试题 6.在直三梭柱ABC-AB,C,中，AC=AM,D,E,F分别是梭AB,BG,CC的中点， 则异面直线AF与DE所成角的余弦值是) A, D.25 5 c.5 5 7.如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长A为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面 爬行一圈到SA的中点C,则小虫爬行的最短距离为() A(P) A.25 B.2W5 C.42 D.2W5 8.《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题；分 为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三 斜求积术”中提出了已知三角形三边a,b,c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价， 其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幕，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜暴 减上，余四约之，为实；一为从隔，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即 现有△ABC满足sin Arsin B.i血C=2:3:√F,且△ABC的面积 S=6√3，请运用上述公式判断下列结论错误的是()1 A,△ABC的周长为10+2W瓦 B.BC三个内角A,B,C满足2C=A+B C.AMBC外接圆的直径为W② D.△ABG的中线CD的长为32 第1页共3页 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9.下列说法正确的是( A.已知同=1，l=2,则万a+2列的最小值为6 B.已知向量a=(1,2),方=(1,1)，且a与a+8的夹角为锐角，则2的取值范围是 C.在△ABC中，若AB.BC<0,则△ABC为钝角三角形 D.已知西=(25,2)，4C=（-15),则在4C上的般影向量的坐标为(5,3) 10.对于复数乞，3，乙，下列说法正确的是 A.若z<0,则z2>0 8.若z250,则z∈R 0若>x则>安 D,若测 11如图，在棱长为3的正方体ABCD-ABCD中，P是侧面ADDA,内的一点，E是线段CC上 的一点，则下列说法正确的是) B B A.过点A,P,E的平面截该正方体所得的截面图形不可能为五边形 B.当点P是线段4D的中点时；存在点E,使得AE⊥平面PBD; C.存在点P,E,使得平面BD,P∥平面EBD D:当E为棱CG的中点且PE=3反时，点P的轨迹长度为元 高一 第山卷 非选择题 三、填空题（本小题共3题，每题5分，共15分） 12已知四面体BCD的顶点都在球O的跳面土且AB=3BC=CD=2W2,xD=VF一BD=4, 则球O的体积为 13.如图，在AABC中，AD=2DB,4E=C,BE与CD相交于点P,若AP=xAB+MC 2 (x,y∈R),则x+y= 14.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c已知 ccosA ccosB a cos C五cosC =3,则： tanA tan B 的最小值为 四、解答题（本小题共5题，共77分，.解答应写出文字说明，证明过程或演步骤） 15.(13分)已知同=2同=4，a÷=25 倒若(26)L(a+2),求实数的值： (2)求a.与3泣+6的夹角的余弦值： 第2页共3页 16.(15分)在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为√5-1海里的B处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距离A为2海里的C处有一艘缉私艇奉命以V海里/分钟的速度追截走私船， 此时、走私船正以1海里/分钟的速度从B处向北偏东30°方向逃窜、 北 B 西一 4 东 南 (1)问C船与B船相距多少海里？C船在B船的什么友向3 (2)问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间 17.(15分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,△ABC的面积为S,外接圆半径R=4, 且d2+e2--45s. 3 (1)求b: (②)若a=3c,∠CBA的平分线交AC于D,求BD的长度. 高一数学试题 I8.(17分)已知四楼锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB11CD,∠DAB=90,CD=AB, 平面PADL平面ABCD,M是PB的中点： B (I)求证：CMII平面PAD: (2)求证：CD⊥PA: (3)设梭PC与平面ADM交于点W,求 的值. 19.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为凌形，∠BAD=60°，AC与 BD交于点O,PO⊥平面ABCD,PO=√5，点M为PB的中点，点E是线段AD上的动点. 当EMII平面PCD时，DE=1. B (I)求AD: (②)求点D到平面PBC的距离； 3)设DE 受元=入，探究当元为何值时，直线PE与平面PBC所成的角最大， 第3页共3页 2025-2026学年度下学期期中考试 高一数学答案及评分标准 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案B A AD AB 题号11 答案BCD 8.D【详解】因为sinA:sinB:sinC=2:3:√7， 由证弦定理可得a:b:c=2:3:V7, 设a=2m,b=3m、c=V7m(m>0), 所以S= 7m2.4m2 7m2+4m2-9m227 =65 14 2 整理可得35m=65,所以m2=4,可得：m=2, 2 所以a=4,b=6,c=2W万 对于A:VABC的周长为4+6+2√7=10+2N7,故选项A正确： 对于B:由余弦定理得：，c0sC一心+L6+6因为0<C<五 2ab 2×4×6 所C-骨质以4B子-套、所以VC三个内角么aC满足 2C=A+B,故选项B正确： 所以6+)=1f20+)=5+32>0,则2>月 当a与a+25共线且同向时，+2=2牛2，解餐元=0， 1 2 所2的取值高国是心回.B不正确 C,由B.C<0可知∠ABC的外角为钝角，所以∠ABC为锐角， 故不能判断VABC为钝角三角形，故C错误： D:AB在AC上的投影向量的坐标为： 丽4C4花_西：cc.25-25到片63故D正确。 AC4CC 4 10.AB【详解】因为2<0，所以z是负实数，则z2>0:故A正确： 令z=a+bi,a,beR,因为2>0，则(a+bi)2=a2-b2+2abi>0, 所以ab=0,a2-b>0,即b=0,.所以zeR,故B正确： 假设名=1+i名=1，=V2,名=1，满足>l 但是亏=2i,对1，是虚数不能比做大小，故C错误： 假设名==2，由于云=1，号▣-4，潮足寸>，但是引名<，故D错误。 11.BCD【详解】A选项，当P为AD中点，E为CC中点时， 在BC上取点2，使C2=CB,在AG上取点T,使C7=4CB 连接4T、T,则T1M.则四边形TO1M为平行四边形，则7AID1, 对于C:由正弦定理知.V0c外接圆直径2Rc2识4 ain 3 ,故选项C 正确： 对于D:如图2CD=C+CB,所以4C而=(C1+G丽-c+c+2C.CB, 所以4|e可=+可+2ceos季即 4可=6+4+2x6x4×=76,解得：C回=D,所以V/BC的中镜cD 的长为√⑨，故选项D不正确： 故选：D. 9.AD【详解】A,因为 i-(a+2b)=a-i+26°=1x2×cos(a,)+25=2cos(a,+8≥2x(-)+8=6. 当a,b反向共线时等号成立，故A正确： B:a+5=（1+2,2+),由a与a+5的夹角为锐角得，a-(a+6)>0, 在平面ABCD内过点P作PNIAT,交C于N,则PNIA, 连接AP,A2,E2,N2,`则同理可证EOPA, 则五边形APNE2为过点A,P,E的平面截该正方体所得的截面，故A错误： D N CI B B选项，当点E,C重合时，AE⊥平面PBD, 若P是线段AD的中点，则P为AD和AD的交点， 因为.C%⊥平面4RCD,RB也平面ARCD,所以CC⊥RD, 因为4G⊥BD,AG∩CC=C,AC,CCc平面ACC,所以RD1平面 ACC 因为AC平面ACC,所以BD止AC 同理可证，BA上AC, 因为R4BD=R,BABDE平面A1D-所仪4G1平面RAD, 即AE⊥平面PBD,故B正确： C选项：当P为M中点，E为CC中点时，平面B,D,PW平面EBD, 因为BQBD,BDc平面EBD,·RDt平面EBD:则RD,∥平面EBD: 因为PBDE,又DEC平面EBD,RPa平面EBD,则RP∥平而EBD, 又PORD=R,则平面BDP∥平面EBD,故C正确： D A D选当E为梭CC的中点且PE=3√反时，点P的轨迹长度为π 取线段DD,的中点O,连接OE,OP,则OE⊥平面ADDA, 因为OPc平面ADD,A,所以OE⊥OP, 因为PE=3√2，OE=3,所以OP=3, 测点P在以O为圆心，3为半径且位于侧面ADD,A内的圆上， 该圆分别交AD,AD于点M,M2, 因为0M=30=所以2MOn-手则∠MOM,=号 则亚=恋+-网西=mc+-川恋=-历+号c, (2-2m=1-n 又B,Ac不共线，故3 ,解得 m=2 3 —【#相】-3得2， 7 abcosC 由正弦定理箱，血in+sin4s血CcosE, sin Asin BcosC 化简得，1 1 33 tan tan B tanC 若amC<0,则c为钝角，且L+ 1 am才0, 则tan 4,tan B中至少有一个小于零， 即么B中至少有一个纯角，与一个三角形中至多有一个纯角矛盾，所以 tanC>0, 1 因为anC=tam[R-(4+]=-am(4+B)=nA二m8=nn月Y/ tan B'tanA 1 3 tan B'tan A 所以 1 1 tan B'tan A 故点P的轨迹长度为于×3=不，故D正确， 故选：BCD 2.警号【详解】因为8-，c=G02点，0-厅，B0=4, 所以AB2+AD2=9+7=16=BD2,BC+CD2=8+8=16=BD2, 所以AB⊥AD,CB⊥CD, 由直角三角形的性质可知，BD的中点到AB,C,D的距离相等，即为球心O, 所以球0的半径为宁8D=2,所以球0的体职7.每-号 33 故答案为，32π 3 13.号【详解】设D乎=mDC,me(0,1,正-而=D丽=mDc=m(不C-而)， 则示=mc+-m)而=mC+-m号疝=2-+mc, 设B硬=nB死，n∈(0，)，亚-丽=丽=n距=n(正-)， 令=6，则m+a>0,且(6a+小水船=3，即 3mn=3-(m+nm）2. 因为m2+m≥2mm,所以(m+nP≥4mm,即3mns3m七 所以g-a+s3+n,即(m+≥号， 4 所以m+n≥22 7 所以品立+品的最小值为2。 1 7 15.13分)0-号 g 【详解】(1)因为凤=2，同=4a+=25、所以2++2a-6=12,即 ā6=-4：一-2分 因为(2ā-k6)1(a+26),所以(2ā-k)(a+25)=0,-3分 2+(4-k)a6-25f=0,2x4+4-k)×(-4)-2kx16=0,-一5分解 得大=号一6分 (2)a(3ā+66)=38+6a6=3×4+6×(-4)=-12,8分