专题03 平行四边形（7大考点）（期末真题汇编，河南专用）八年级数学下学期

**基本信息** 聚焦平行四边形7大高频考点，汇编河南多地期末真题，融合传统建筑、平面镶嵌等文化情境，梯度覆盖基础应用与综合证明 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|21|多边形内角和、平行四边形判定|结合天坛十二边形考内角和（题3）| |填空|10|性质计算、中位线长度|动点问题动态探究平行四边形存在性（题7）| |解答|22|判定证明、性质综合|中位线与角平分线综合证明（题52）|

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03 平行四边形 ☆7大高频考点概览 考点01多边形及其内角和 考点02利用平行四边形的性质求解 考点03添一个条件成为平行四边形 考点04证明四边形是平行四边形 考点05平行四边形的判定与性质综合 考点06与三角形中位线有关的求解问题 考点07与三角形中位线有关的证明 目地城赠点则 多边形及其内角和 1.(24-25八年级下·河南郑州·期末)“花影遮墙，峰峦叠窗”，是描述中国传统建筑中的借景窗棂，窗 棂中蕴含了许多数学元素.如图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，如图②是这种窗棂中的部分图案.若 ∠1+∠3+∠5=168°，则∠2+∠4+∠6= 度 5 图① 图② 2.(24-25八年级下·河南平顶山期末)把等边三角形、正方形、正五边形如图摆放，则∠1+∠2+∠3 的度数是 1/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.（24-25八年级下·河南郑州·期末)如图，天坛祈年殿的圆形三重檐象征“天圆”，其底座实际为十二 边形，呼应中国传统历法中的“十二月”与“十二时辰”.该底座所有内角之和为 度】 4.(24-25八年级下·河南驻马店期末)北师大版八年级下学期数学综合实践课“平面图形的镶嵌”中指 出：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就 是平面图形的镶嵌，下列多边形中，不能作平面镶嵌的是() A.三角形 B.四边形 C.正五边形 D.正六边形 5.(24-25八年级下·河南郑州期末)学校对美术教室进行改造升级，为了让教室地面更有特色，在选择 地砖时选中了一款正八边形地砖，我们在学完“平面图形的镶嵌”后，知道正八边形不能密铺地面，请你 再选择一款地砖进行搭配，使其能密铺地面，则可以选择() A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 目地 城考点02 利用平行四边形的性质求解 6.(24-25八年级下·河南郑州·期末)已知▣ABCD的周长为20，AD=4,则AB的长为() A.6 B.8 c.10 D.12 7.(24-25八年级下·河南信阳·期末)如图，在口ABCD中，已知AD=20cm,点P在AD上以1cm/s的 速度从点A向点D运动，点Q在CB上以4C/s的速度从点C出发在CB上往返运动.两点同时出发，当 点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为tst>0.当t=时，四边形PDCQ是平行 四边形 2/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P D 8.(24-25八年级下·河南商丘期末)在平行四边形ABCD中，∠B=40°，则∠D的度数为() A.40° B.50° C.90 D.140° 9.(24-25八年级下·河南洛阳·期末)平行四边形的对角 10.(24-25八年级下·河南平顶山·期末)如图，在口ABCD中，BE是∠ABC的平分线，交AD于点E, 过点D作DF|BE,交BC于点F,求证：CF=CD. E D B 11.(24-25八年级下河南周口·期末)如图，在口ABCD中，BE平分∠ABC交CD延长线于点E,作 CF⊥BE,垂足为点F. 4 (1)求证：BF=EF; (2)若AB=8,DE=4,求口ABCD的周长. 12.(2425八年级下·河南周口期末)在口ABCD中，AB=7,BC=8.则口ABCD的周长是 13.(24-25八年级下·河南郑州·期末)如图，口ABCD的周长为40cm,AE⊥BC,AF⊥CD, AE=4cm,AF=6cm,下列说法错误的是() D B A.BC=12cm B.CD=8cm C.口ABCD的面积是48cm2 D.CF=DF 3/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 14.(24-25八年级下·河南许昌·期末)在口ABCD中，∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比可能是 () A.1:1:2:2 B.2:1:1:2 c.1:2:3:4 D.2:1:2:1 15.(24-25八年级下·河南郑州期末)如图，E是平行四边形ABCD内任一点，若阴影部分的面积为6， 则平行四边形ABCD的面积是() A.9 B.12 C.15 D.18 16.(2425八年级下·河南开封期末)如图，在平行四边形ABCD中，若∠B+∠D=110°，则∠A的 度数为() A A.110° B.115° C.125° D.130° 17.(24-25八年级下·河南南阳·期末)在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点O的直 线EF分别交AD于点E,交BC于点F,S△AoE=3,S△BOF=7,则平行四边形ABCD的面积是() A.48 B.40 C.32 D.24 18.(24-25八年级下·河南南阳期末)在平行四边形ABCD中，∠A与∠B的度数之比为2：3，那么∠A 的度数为 19.(24-25八年级下·河南驻马店·期末)如图，在口ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E.若 ∠2=110°，则∠1的度数为() 4/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A.20° B.30° C.45° D.50° 20.(24-25八年级下·河南南阳·期末)在口ABCD中，若∠A=40°，则∠C的度数是() A.40° B.50 C.60° D.130 21.(24-25八年级下·河南新乡期末)在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,若AC=12,则OA 的长为() A.3 B.4 C.5 D.6 目地城诗点03 添一个条件成为平行四边形 22.(24-25八年级下·河南平顶山期末)如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O, 点E,F分别是AO,CO上的点，连接BE,BF,DE,DF,添加下列条件不能判定四边形BFDE为平行 四边形的是() E A.AF=CE B.BD=EF C.∠FDB=∠EBDD.DE‖BF 23.(24-25八年级下·河南周口·期末)如图，要使四边形ABCD为平行四边形，则需要添加的条件是 () /105° A.∠B=∠AB.AD=BC C.AB=DC D.∠B+∠C=180° 24.(24-25八年级下·河南郑州·期末)如图，在四边形ABCD中，ABCD,添加下列一个条件后，能 判定四边形ABCD是平行四边形的是() 5/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B A.∠ADB+∠CBD=180° B.AB=BC C.AD=BC D.AD‖BC 25.(24-25八年级下·河南期末)如图，口ABCD的对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别在OB和 OD上.请你添加一个条件，使四边形AECF是平行四边形，并说明理由. y D (1)添加的一个条件是： (2)说明理由. 目地城诗点04 证明四边形是平行四边形 26.(24-25八年级下·河南周口·期末)如图，在四边形ABCD中，AB‖CD,∠B=∠AED (1)求证：四边形BCDE是平行四边形： (2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求AE的长. 27.(24-25八年级下·河南信阳·期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,延长BD至点 E,延长DB至点F,使BF=DE B (1)求证：四边形AFCE是平行四边形： (2)若CE⊥CA,∠EOC=60°，试判断BD与EF之间的数量关系，并说明理由. 28.（24-25八年级下·河南周口·期末)数学课上，老师让同学们证明命题“对角线互相平分的四边形是平 行四边形”的正确性，小琪同学先任意画出△ABC,再取边AC的中点O,连接BO并延长至点D,使 6/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OB=OD,连接AD、CD,并写出了如下尚不完整的已知和求证， 已知：如图，在四边形ABCD中，OA=,OB=OD. 求证：四边形ABCD是 D C (1)补全己知和求证： (2)小琪同学的思路是利用三角形全等进行解题，请你帮他完成证明过程. 29.(24-25八年级下·河南郑州·期末)如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，某数学 学习小组要在AC上找两点E、F,使四边形BEDF为平行四边形，现在，小智、小慧两个同学给出了两种 不同的方案如下： 小智的方案：分别取AO,CO的中点E,F: 小慧的方案：作BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F: D D D E B 小智的方案 小慧的方案 你的方案 (1)请你在两个方案中任选一个证明四边形BEDF为平行四边形： (2)请你给出一种和他们不同的方案，用文字表达你的方案，并在图中标记字母（不必证明）· 30.(24-25八年级下·河南商丘期末)如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点M,N 分别在OD,OB上，连接CM,AN. M B (1)给出以下条件：①OC=OA;②∠1=∠2；③OM=ON. 请你从中选取两个条件证明△CMO≌△ANO, (2)在(1)中你所选条件的前提下，添加DM=BN,则四边形ABCD是平行四边形吗？试加以证明. 7/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 31.(24-25八年级下·河南洛阳·期末)如图，△ABC与△ADE都是等边三角形，CD=BF,求证：四边 形CDEF的对角线互相平分. B D 32.(24-25八年级下·河南新乡·期末)如图，四边形ABCD为矩形，其对角线AC、BD交于点O,对角 线AC上的点E和F满足AE=CF, 求证：四边形EBFD为平行四边形 E B 33.(24-25八年级下·河南三门峡期末)如图，在四边形ABCD中，ABCD,点E在边AB上， 请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，解决下列问题： (I)求证：四边形BCDE为平行四边形： (2)若AD⊥AB,AD=6,AE=3V2,求线段BC的长. 目地城诗点05 平行四边形的判定与性质综合 34.(24-25八年级下·河南周口期末)如图，在4×4的方格中，每个小正方形的边长都是1.若四边形 ABDC的面积记作S1,四边形ECDF的面积记作S2,则S1与S2的大小关系是 8/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 35.(24-25八年级下·河南新乡·期末)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE=5,CE‖BD 若AC=6,BD=10,则四边形OCED的周长为() D B A.8 B.11 C.16 D.20 36.(24-25八年级下·河南安阳期末)如图，点P是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，过点P作 EF‖BC,分别交AB,CD于点E、F连接PA,PC.若BE=2,PF=6,∠ABC=30°，则图中阴影部分 的面积为 37.(24-25八年级下·河南南阳·期末)如图，在口ABCD中，四个角的平分线分别相交于点E、F、G、 H D (1)求证：四边形EFGH是矩形： (2)连接EG,若AB=10,AD=7,求EG的长， 38.(24-25八年级下·河南焦作·期末)某数学兴趣小组发现平行四边形（邻边不相等）的对角平分线互相 平行 合作探究：同学们讨论时，甲同学提出一组对角平分线互相平行的四边形是平行四边形；乙同学说“不对， 应该是一组对角相等，且这一组对角的平分线互相平行的四边形是平行四边形”， 9/14 多学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)哪位同学的意见正确？ (填写序号：①甲正确②乙正确③都不正确) (2)如果你认为哪位同学的意见正确，请就下面的图形写出已知条件并给予证明：如果认为两个人的说 法都不正确，请说明理由. 己知：如图，四边形ABCD中，DF、BE ,DF‖BE. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 拓展探究：同学们改变条件，继续研究，请帮助同学们计算下面的问题： (3)一组对角互补，且这一组对角的平分线互相平行的四边形相邻三边的长依次是V5、2、V3,这个四 边形的面积是 39.(24-25八年级下·河南平顶山期末)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,DE⊥AC 于点E,BF⊥AC于点F,连接BE,DF D (1)证明：四边形BFDE为平行四边形： (2)若AD=13,DE=12,DC=20,请直接写出四边形BFDE的面积 40.(24-25八年级下·河南郑州期末)如图，在口ABCD中，连接BD D B (I)尺规作图：作BD的垂直平分线，垂足为O,交AD于点E,交BC于点F: (2)在(1)所作的图形中，连接AF,CE,求证：四边形AFCE是平行四边形： (3)点M,N分别为射线OA,OC上的动点（不与O重合），连接ME,EN,NF,FM.若四边形 EMFN为平行四边形，则AM,CN满足的数量关系是 目地城诗点06 与三角形中位线有关的求解问题 41.(24-25八年级下·河南郑州·期末)如图是小朋友们喜爱的跷跷板，横板AC绕其中点O上下转动，当 10/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 小朋友离地面的最大距离CB为120cm时，跷跷板另一端点A刚好接触地面，点D是AB的中点，则立柱 OD的高度为() O A D B 77777777777777n A.30cm B.40cm C.50cm D.60cm 42.(24-25八年级下·河南漯河·期末)如图，DE是△ABC的中位线，BF平分∠ABC,且 ∠AFB=90°，若AB=7,BC=11,则EF的长为() A.1.5 B.2.5 C.2 D.3 43.(2425八年级下·河南商丘·期末)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点H、E、F分别是边AB、BC、 CA的中点，若EF+CH=8,则CH的值为() A.3 B.4 C.5 D.6 44.(24-25八年级下·河南平顶山·期末)如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是 AB中点，且AE+EO=5,则平行四边形ABCD的周长为() A.20 B.16 C.12 D.8 45.(24-25八年级下·河南信阳·期末)如图，在△ABC中，D,E分别为AB,AC的中点，点F在线段 DE上，且AF⊥BF,若AB=6,BC=10,则EF的长为· 46.(24-25八年级下·河南驻马店·期末)如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O, 11/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AC⊥CD,若E是BC边的中点，BD=20,AC=12,则OE的长为() A D B A.3 B.4 C.8 D.16 47.(24-25八年级下·河南平顶山期末)如图，∠BAC的平分线交△ABC的中位线DE于点F,若 AC=8,AB=6,则EF的长为 E 48.(24-25八年级下河南许昌·期末)已知在△ABC中，AC=10Cm,点D、E分别是AC、BC的中点， 连接DE,在DE上有一点F,EF=1Cm,连接AF,CF,若AF⊥CF,则AB= 49. (24-25八年级下·河南郑州·期末)如图，△ABC的周长为12，点D,E在边BC上，∠ABC的平分 线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M,若BC=5,则MN的长度为 A M 50.(24-25八年级下·河南郑州期末)如图，△ABC中，D,E分别是BC,AC的中点，BF平分 ∠ABC,交DE于点F,若BC=6,AC=9,AB=14,则EF的长是 12/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D C 51.(24-25八年级下·河南郑州期末)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AD平分 ∠BAC,且AD⊥BD,AB=3,若E为BC边的中点，则DE的长度为· B E 目地 城诗点0☑ 与三角形中位线有关的证明 52.(24-25八年级下·河南平顶山期末)如图1，点F为△ABC的边BC的中点，连接AF并延长到点D, 使得AF=FD,延长AB到点E,使得AB=BE,连接CD,ED, E E 图1 图2 (1)求证：四边形BCDE是平行四边形： (2)如图2，在图1的基础上，当△ABF为等腰直角三角形，∠ABF=90°，且AD=4时，求四边形 BCDE的面积. 53.(24-25八年级下·河南郑州·期末)(1)回归课本 请用文字语言表述三角形的中位线定理： (2)回顾证法 证明三角形中位线定理的方法很多，下面是其中一种添加辅助线构图的方法.请结合图2，补全求证及证 明过程， 13/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D D E --万 B 图1 图2 已知：在△ABC中，点D,E分别是AB,AC的中点， 求证： 证明：过点C作CF‖AB,与DE的延长线交于点F… 14/14 专题03 平行四边形 7大高频考点概览 考点01多边形及其内角和 考点02利用平行四边形的性质求解 考点03添一个条件成为平行四边形 考点04证明四边形是平行四边形 考点05平行四边形的判定与性质综合 考点06 与三角形中位线有关的求解问题 考点07与三角形中位线有关的证明 1．（24-25八年级下·河南郑州·期末）“花影遮墙，峰峦叠窗”，是描述中国传统建筑中的借景窗棂，窗棂中蕴含了许多数学元素．如图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，如图②是这种窗棂中的部分图案．若，则_________度．地 城 考点01 多边形及其内角和 【答案】348 【分析】本题考查多边形的外角和的应用．熟练掌握多边形的外角和为，是解题的关键．根据多边形的外角和为，求出另外三个外角的和，再根据补角的定义，进行求解即可． 【详解】解：如图： ∵多边形的外角和为，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 2．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）把等边三角形、正方形、正五边形如图摆放，则的度数是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形的内角问题，三角形内角和定理，根据题意可得等边三角形的一个内角度数为，正方形的一个内角的度数为，正五边形的一个内角的度数为，则由平角的定义可得，，，进而可得，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵等边三角形的一个内角度数为，正方形的一个内角的度数为，正五边形的一个内角的度数为， ∴，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，天坛祈年殿的圆形三重檐象征“天圆”，其底座实际为十二边形，呼应中国传统历法中的“十二月”与“十二时辰”．该底座所有内角之和为________度． 【答案】 【分析】本题主要考查多边形内角和公式：，解题的关键是熟练掌握此公式．根据多边形内角和公式直接计算即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）北师大版八年级下学期数学综合实践课“平面图形的镶嵌”中指出：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌，下列多边形中，不能作平面镶嵌的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】C 【分析】本题考查了平面图形镶嵌，平面图形镶嵌的条件是围绕一点的各多边形内角之和为360°；判断各选项能否镶嵌，需计算其内角是否能整除360°． 【详解】解：三角形（选项A）：任意三角形内角和为180°，可通过两两拼接成平行四边形，平移铺满平面；若为正三角形，内角60°，，可围成一点，能镶嵌； 四边形（选项B）：任意四边形内角和为360°，通过旋转、平移可调整角度铺满平面；例如，四个四边形可绕一点拼接； 正五边形（选项C）：内角为，，非整数，无法整除，故正五边形不能单独镶嵌； 正六边形（选项D）：内角为，，三个正六边形可围成一点，能镶嵌； 故选C． 5．（24-25八年级下·河南郑州·期末）学校对美术教室进行改造升级，为了让教室地面更有特色，在选择地砖时选中了一款正八边形地砖．我们在学完“平面图形的镶嵌”后，知道正八边形不能密铺地面，请你再选择一款地砖进行搭配，使其能密铺地面，则可以选择（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】B 【分析】本题考查平面镶嵌，平面镶嵌的条件是每个顶点处的各多边形内角之和为.正八边形的每个内角为，需找到另一正多边形，其内角能与正八边形内角组合成的整数倍. 【详解】解：正八边形的每个内角为 ； ∵正三角形的内角为，需满足 ，解得 （非整数，不满足）； 正方形的一个内角为，若每个顶点处安排2个正八边形和1个正方形，则内角和为 ，满足条件； 正五边形的一个内角为 ；需满足 ，解得 （非整数，不满足）； 正六边形的一个内角为为 ；需满足 ，解得 （非整数，不满足）； ∴只有正方形能与正八边形组合密铺； 故选B. 地 城 考点02 利用平行四边形的性质求解 6．（24-25八年级下·河南郑州·期末）已知的周长为，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质． 根据平行四边形的性质，可得，，结合已知计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：A ． 7．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发在上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为．当______时，四边形是平行四边形． 【答案】4或 【分析】此题重点考查平行四边形的判定、分类讨论数学思想的运用、一元一次方程的应用等知识与方法，正确地用代数式表示线段和线段的长是解题的关键．由平行四边形的性质得，，而点P在上，点Q在上，则，所以当时，四边形是平行四边形，求得当点Q与点B重合时，；当点Q返回点C时，，再分两种情况求t的值，一是当时，则，求得；二是当时，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 点P在上，点Q在上， ， 当时，四边形是平行四边形， 当点Q与点B重合时，则， 解得：； 当点Q返回点C时，则， 解得， 当时，由得， 解得； 当时，由得， 解得， 当或时，四边形是平行四边形， 故答案为：4或 8．（24-25八年级下·河南商丘·期末）在平行四边形中，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等，直接求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 故选：A． 9．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）平行四边形的对角______． 【答案】相等 【分析】此题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的对角相等求解即可． 【详解】解：平行四边形的对角相等， 故答案为：相等． 10．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，是的平分线，交于点，过点作，交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，根据平分线的定义，可设，根据平行线的性质得，根据平行四边形的性质得，，则，，进而可得结论． 【详解】证明：平分， 设， ， ， ∵， ，， ， ， ， ． 11．（24-25八年级下·河南周口·期末）如图，在中，平分交延长线于点E，作，垂足为点F． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质. （1）根据平行四边形的性质及角平分线的定义可证明，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题； （2）根据平行四边形的性质得到，进而求出，根据，求出的长，进而计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为． 12．（24-25八年级下·河南周口·期末）在中，，．则的周长是________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质． 根据平行四边形的对边相等得到所有边长，再计算周长即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的周长， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，的周长为，，，，，下列说法错误的是（   ） A． B． C．的面积是 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理，利用平行四边形的对边相等是解题的关键． 由平行四边形的对边相等可得一组对边的和为20，设为未知数，利用两种方法得到平行四边形的面积相等，可得的长，乘以4即为平行四边形的面积，再利用勾股定理通过计算的长，即可判断． 【详解】解：∵的周长为， ， 设为x， ， ， 解得：， 即，，故选项A、B正确，不符合题意； ∴平行四边形的面积是，故选项C正确，不符合题意； 在中，， ， 在中，， ，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 14．（24-25八年级下·河南许昌·期末）在中，，，，的度数之比可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的两组对角分别相等判定即可求解． 【详解】解：在中，，， 观察四个选项，只有D选项中，符合题意， 故选：D． 15．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，E是平行四边形内任一点，若阴影部分的面积为6，则平行四边形的面积是（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积． 过E作，延长交于N，由平行四边形的性质推出，，得到，由三角形的面积公式得到的面积的面积，于是的面积． 【详解】解：过E作，延长交于N， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的面积，的面积， ∴的面积的面积， ∴的面积． 故选：B． 16．（24-25八年级下·河南开封·期末）如图，在平行四边形中，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，平行线的性质是解决问题的关键．根据平行四边形，，进而得，推出，再根据得，由此即可得出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ∴， ， ， ． 故选：C． 17．（24-25八年级下·河南南阳·期末）在平行四边形中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交于点E，交于点，则平行四边形的面积是（   ） A．48 B．40 C．32 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，利用平行四边形的性质可证明，所以可得的面积为3，进而可得的面积为10，又因为的面积的面积，进而可得问题答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 18．（24-25八年级下·河南南阳·期末）在平行四边形中，与的度数之比为，那么的度数为_____． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练运用平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的邻角互补，可求的度数． 【详解】解： 设， 四边形是平行四边形 故答案为：． 19．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）如图，在中，交对角线于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质，平行线的性质，根据三角形外角的定义及性质计算得出，再由平行四边形的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 故选：A． 20．（24-25八年级下·河南南阳·期末）在中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟悉平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行边形性质中对角相等可知，． 【详解】四边形是平行四边形，， ， 故选：A． 21．（24-25八年级下·河南新乡·期末）在中，对角线相交于点O，若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角线互相平分求解即可． 【详解】∵中，， ∴． 故选D． 地 城 考点03 添一个条件成为平行四边形 22．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，平行四边形的两条对角线，相交于点，点E，F分别是，上的点，连接，，，，添加下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是添加条件判断平行四边形，全等三角形的判定与性质，熟记平行四边形的判定方法是解本题的关键． 根据平行四边形的性质与全等三角形的性质逐一分析，结合平行四边形的判定方法可得结论． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， ∴四边形是平行四边形，故A不符合题意； ， ， ， ∵， ， ∴四边形是平行四边形，故C不符合题意； ∵， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形，故D不符合题意； 当，此时不能判定四边形是平行四边形，故B符合题意； 故选：B． 23．（24-25八年级下·河南周口·期末）如图，要使四边形为平行四边形，则需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，根据已知条件可得，再根据平行四边形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：由图可得， ， A、添加，可得，推出与不平行，四边形不是平行四边形； B、添加，四边形中一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形为平行四边形； C、添加，四边形中一组对边平行且相等，能判定四边形为平行四边形； D、添加，可得，四边形中仅一组对边平行，不能判定四边形为平行四边形； 故选：C． 24．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题关键．根据平行四边形的判定逐项分析即可． 【详解】解：A、添加无法推出四边形是平行四边形，选项错误； B、添加，无法推出四边形是平行四边形，选项错误； C、添加无法推出四边形是平行四边形，选项错误； D、添加，由两组对边分别平行可以推出四边形是平行四边形，选项正确； 故选：D． 25．（24-25八年级下·河南·期末）如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． (1)添加的一个条件是：______； (2)说明理由． 【答案】(1)，答案不唯一 (2)见解析 【分析】（1）从对角线的角度思考，添加条件即可； （2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可． 本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）解：从对角线的角度思考，可以添加， 故答案为：．不唯一 （2）证明：∵的对角线与相交于点O，     ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 地 城 考点04 证明四边形是平行四边形 26．（24-25八年级下·河南周口·期末）如图，在四边形中，， (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）证明可得结论； （2）利用平行四边形的性质求出，再利用勾股定理求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形BCDE是平行四边形， ∴， ∵，， ∴． 27．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，在矩形中，对角线与交于点O，延长至点E，延长至点F，使． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键． （1）由矩形的性质得到，，进而得到，根据平行四边形的判定即可证得结论； （2）根据矩形的性质和直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ∵， ， 四边形是平行四边形； （2）解：， 理由：四边形是矩形， ∴， ，， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴． 28．（24-25八年级下·河南周口·期末）数学课上，老师让同学们证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的正确性，小琪同学先任意画出，再取边的中点，连接并延长至点，使，连接、，并写出了如下尚不完整的已知和求证． 已知：如图，在四边形中，_____， 求证：四边形是_____． (1)补全已知和求证； (2)小琪同学的思路是利用三角形全等进行解题，请你帮他完成证明过程． 【答案】(1)，平行四边形 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可； （2）证明即可． 【详解】（1）解：如图，在四边形中， 求证：四边形是平行四边形． 证明：， 四边形是平行四边形； 故答案为：，平行四边形； （2）证明：在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 29．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在平行四边形中，点O是对角线的中点，某数学学习小组要在上找两点E、F，使四边形为平行四边形，现在，小智、小慧两个同学给出了两种不同的方案如下： 小智的方案：分别取的中点E，F； 小慧的方案：作于点E，于点F； (1)请你在两个方案中任选一个证明四边形为平行四边形； (2)请你给出一种和他们不同的方案，用文字表达你的方案，并在图中标记字母（不必证明）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）①连接，根据平行四边形的性质得出，求得，即可得出结论； ②根据平行四边形的性质得出，易判定，再证，得出，即可得出结论； （2）在上取，即可得到四边形为平行四边形． 【详解】（1）证明：①如图，连接， ∵在中，点O是对角线的中点， ∴， ∵E，F分别为的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形； ②如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：如图，在上取，即可得到四边形为平行四边形，理由如下： 连接， ∵在中，点是对角线的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 30．（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图，在四边形中，对角线，相交于点O，点M，N分别在，上，连接，． (1)给出以下条件： ①；②； ③． 请你从中选取两个条件证明． (2)在（1）中你所选条件的前提下，添加，则四边形是平行四边形吗？试加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，平行四边形的判定； （1）分别选择两个条件再根据全等三角形的判定定理证明即可； （2）证明，结合证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：若选①和②，证明如下： 在和中， ， ∴； 若选①和③，证明如下： 在和中， ， ∴； 若选②和③，证明如下： 在和中， ， ∴； （2）解：四边形是平行四边形， 若选①和②，证明如下： 由（1）可知， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 若选①和③，证明如下： ∵，， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 若选②和③，证明如下： 由（1）可知， ∴， ∵，， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 31．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，与都是等边三角形，，求证：四边形的对角线互相平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，平行的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接，先证明，得到，，从而推出为正三角形，接着证明，，得到四边形为平行四边形，从而得证． 【详解】证明：连接，如图所示： 和三角形均为正三角形， ，，，． ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 为正三角形， ，． ， ． 与平行且相等， 四边形为平行四边形， 四边形的对角线互相平分． 32．（24-25八年级下·河南新乡·期末）如图，四边形为矩形，其对角线交于点O，对角线上的点和满足． 求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定．由矩形的性质可得，结合已知得，即可得证． 【详解】证明：四边形为矩形， ， ， ，即， 四边形为平行四边形． 33．（24-25八年级下·河南三门峡·期末）如图，在四边形中，，点在边上，_____． 请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，解决下列问题：    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)选择①，见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键： （1）选择①，根据，得到，即可得证；选择②，得到，即可得证； （2）勾股定理求出的长，进而得到即可． 【详解】（1）选择①， 证明：， ， ，， 四边形为平行四边形；． 选择②， 证明：，， ， ， 四边形为平行四边形； （2）， ， 在中，，，， ． 四边形为平行四边形 ． 线段的长为． 地 城 考点05 平行四边形的判定与性质综合 34．（24-25八年级下·河南周口·期末）如图，在 的方格中，每个小正方形的边长都是1．若四边形的面积记作，四边形ECDF的面积记作，则与的大小关系是_________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形是判定及性质，平行四边形的判定及性质，由矩形及平行四边形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：由方格得， ， ， 四边形是矩形， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故答案为：． 35．（24-25八年级下·河南新乡·期末）如图，的对角线相交于点，，．若，则四边形的周长为（    ） A．8 B．11 C．16 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．由四边形是平行四边形得到，，再证明四边形是平行四边形，则，即可求解周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴周长为：， 故选：C． 36．（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，点P是平行四边形的对角线上一点，过点P作，分别交，于点E、F连接．若，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】6 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质，过点P作，交于点M，于点N，过点P作于点G，根据平行四边形的判定与性质得出，，再根据直角三角形的性质求得，再利用平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点P作，交于点M，于点N，过点P作于点G， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：6． 37．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，在中，四个角的平分线分别相交于点、、、． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、角平分线的定义、平行线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是关键． （1）由平行四边形的性质和角平分线定义求出，则，同理，则，再由矩形的判定即可得出结论； （2）延长，交于，依据平行四边形的性质，即可得到，进而得出的长．再判定四边形是平行四边形，即可得到． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ，分别平分与， ，， ， ， 同理：， ， 四边形是矩形． （2）解：如图所示，延长，交于， ∵，平分， ， ， 又， ． 平分，平分， ， 又， ， ． 四边形是平行四边形， ，， 又平分，平分， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， ． 38．（24-25八年级下·河南焦作·期末）某数学兴趣小组发现平行四边形（邻边不相等）的对角平分线互相平行． 合作探究：同学们讨论时，甲同学提出一组对角平分线互相平行的四边形是平行四边形；乙同学说“不对，应该是一组对角相等，且这一组对角的平分线互相平行的四边形是平行四边形”． （1）哪位同学的意见正确？________．（填写序号：①甲正确②乙正确③都不正确） （2）如果你认为哪位同学的意见正确，请就下面的图形写出已知条件并给予证明；如果认为两个人的说法都不正确，请说明理由． 已知：如图，四边形中，________，． 求证：四边形是平行四边形． 拓展探究：同学们改变条件，继续研究，请帮助同学们计算下面的问题： （3）一组对角互补，且这一组对角的平分线互相平行的四边形相邻三边的长依次是、2、，这个四边形的面积是___________． 【答案】（1）②；（2）分别是，的平分线，且；证明见解析；（3）或 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，注意进行分类讨论． （1）举反例说明甲的说法不正确即可；根据解析（2）证明乙的说法正确即可； （2）根据平行线的判定和性质证明，，即可证明四边形为平行四边形； （3）分两种情况：四边形中，，、分别平分、，且，，，；四边形中，，、分别平分、，且，，，，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：（1）一组对角平分线互相平行的四边形是平行四边形说法不正确，如图所示： 四边形中，分别是，的平分线，且，但四边形不是平行四边形，故甲同学说法不正确； “一组对角相等，且这一组对角的平分线互相平行的四边形是平行四边形”，因此乙同学说法正确；理由见解析（2）； （2）已知：如图，四边形中，分别是，的平分线，且，． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵分别是，的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （3）如图，四边形中，，、分别平分、，且，，，，连接， ∵、分别平分、， ∴， ， ∵， ∴， ， ∴， ， ∴， 如图，连接， 在中，根据勾股定理得： ， 在中，根据勾股定理得： ， ∴ ； 如图，四边形中，，、分别平分、，且，，，，连接， 同理可得：， 在中，根据勾股定理得： ， 在中，根据勾股定理得： ， ∴ ； 综上分析可知：四边形的面积为：或． 39．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若，，，请直接写出四边形的面积______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识． （1）四边形是平行四边形得到，证明，得到，即可证明四边形为平行四边形； （2）求出，，得到，即可得到四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积 故答案为： 40．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，连接． (1)尺规作图：作的垂直平分线，垂足为O，交于点E，交于点F； (2)在（1）所作的图形中，连接，，求证：四边形是平行四边形； (3)点M，N分别为射线，上的动点（不与O重合），连接，，，．若四边形为平行四边形，则，满足的数量关系是________． 【答案】(1)见详解 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质即可得到结论． （2）根据线段垂直平分线的性质得到．根据平行四边形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得．根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形； （3）如图，根据平行四边形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示． （2）证明：垂直平分， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， 又 ∵，即， ∴四边形是平行四边形； （3）解：， 理由：如图， ∵四边形是平行四边形， ， ∵四边形为平行四边形， ， ， 即， 故答案为：， 【点睛】本题考查了作图－基本作图，垂直平分线的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键． 地 城 考点06 与三角形中位线有关的求解问题 41．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图是小朋友们喜爱的跷跷板，横板绕其中点上下转动，当小朋友离地面的最大距离为时，跷跷板另一端点刚好接触地面，点是的中点，则立柱的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，根据题意可得是的中位线，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 42．（24-25八年级下·河南漯河·期末）如图，是的中位线，平分，且，若，则的长为（    ） A．1.5 B．2.5 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形的性质，解题的关键是利用相关定理和性质推导线段之间的关系． 是三角形的中位线，求得的长，在中，是的中点，，求出，进而得出的长． 【详解】∵是三角形的中位线，， ∴， 在中，是的中点，， 则， ∴， 故选：C． 43．（24-25八年级下·河南商丘·期末）在中，，点、、分别是边、、的中点，若，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理．根据直角三角形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，再根据，进而求得． 【详解】解：∵，点是边的中点， ∴， ∵、分别是边、的中点， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 44．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，平行四边形的对角线相交于点是中点，且，则平行四边形的周长为（   ） A．20 B．16 C．12 D．8 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理，属于中考常考题型．首先由中位线的判定与性质得到，再由，推出即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，即是的中点， ∵是的中点， 是的中位线，且， ∴， ∵， ∴，即， ∴平行四边形的周长， 故选：A． 45．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，在中，D，E分别为的中点，点F在线段上，且，若，，则的长为______． 【答案】2 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半，直角三角形斜边中线等于斜边一半，是解题的关键． 根据三角形中位线定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，进而求出 【详解】解：，E分别为的中点， 是的中位线， ， 在中，D为的中点，， 则， ， 故答案为： 46．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，若E是边的中点，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，证明为的中位线是解题的关键．先利用勾股定理求出，再证明为的中位线，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵E是边的中点，， ∴， 故选：B． 47．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，的平分线交的中位线于点，若，，则的长为________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了三角形的中位线性质，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是根据三角形的中位线得出，，求出，根据平行线的性质和角平分线的定义得出，根据等腰三角形的判定得出，再求出即可． 【详解】解：是的中位线，，， ，，， ， 平分， ， ， ， ∴． 故答案为：1． 48．（24-25八年级下·河南许昌·期末）已知在中，，点D、E分别是的中点，连接，在上有一点F，，连接，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线即可求得，根据三角形中位线的性质即可求得的长． 【详解】解：， ， 在中，点D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵点D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 49．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，的周长为12，点D，E在边上，的平分线垂直于，垂足为N，的平分线垂直于，垂足为M，若，则的长度为_____ 【答案】1 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定及性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 先证明，根据全等三角形的性质得到，，同理得到，，根据三角形周长公式求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵的周长为12， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 同理可得：，， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ． 故答案为：1． 50．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，中，，分别是，的中点，平分，交于点，若，，，则的长是_____． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质、角平分线的定义，根据三角形中位线定理求出、，根据平行线的性质、角平分线的定义得到，计算即可． 【详解】解：∵D、E分别是、的中点， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 51．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，，平分，且，，若E为边的中点，则的长度为________． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形，三角形全等的性质与判定，三角形的中位线定理等，熟练掌握相关知识点，并作出合适的辅助线是解题的关键； 延长交于F，证明，得，再利用三角形的中位线定理求解． 【详解】延长交于F， ，， ， 平分， ， 又， ， 又， ， ， ， 为的中点，， 为的中位线， ． 故答案为：． 地 城 考点07 与三角形中位线有关的证明 52．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图1，点为的边的中点，连接并延长到点，使得，延长到点，使得，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，在图1的基础上，当为等腰直角三角形，，且时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定，勾股定理，中位线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据题意得为的中位线， 则，进而得出，结合，即可得证； （2）根据为等腰直角三角形，得出，则，即，由（1）知，四边形BCDE是平行四边形，根据平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：， 为的中位线， 为BC的中点， ． ， 四边形BCDE为平行四边形． （2）， ． 为等腰直角三角形， ， ，即． 即， ， 由（1）知，四边形BCDE是平行四边形， ． 53．（24-25八年级下·河南郑州·期末）（1）回归课本 请用文字语言表述三角形的中位线定理：______． （2）回顾证法 证明三角形中位线定理的方法很多，下面是其中一种添加辅助线构图的方法．请结合图2，补全求证及证明过程． 已知：在中，点分别是的中点． 求证：______． 证明：过点作，与的延长线交于点…… 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据三角形的中位线定理直接阐述即可； （2）过点作，与的延长线交于点，证明，再证四边形是平行四边形，即可证明结论． 【详解】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 故答案为：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半； （2）求证：，． 证明：过点作，与的延长线交于点． ∴， ∵点分别是的中点， ∴，， 在和中， ． ，． ，． 四边形是平行四边形， ，， 又， ，． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $