专题05 一次函数（8大考点）（期末真题汇编，河南专用）八年级数学下学期

**基本信息** 河南多地八年级下期期末真题汇编，聚焦一次函数8大高频考点，涵盖基础判断、图象变换、实际应用及几何综合，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|40题|象限判断、图象平移、增减性参数|基础题占比60%，如洛阳期末题考平移后解析式| |解答题|28题|实际应用（龙门石窟文创销售）、几何综合（平行四边形存在性）|结合地域文化情境，如商丘期末题融合牡丹文化节；分层设计，许昌期末题含动态探究|

专题05 一次函数 8大高频考点概览 考点01根据一次函数解析式判断其经过象限 考点02一次函数图象平移问题 考点03根据一次函数增减性求参数 考点04比较一次函数值的大小 考点05求一次函数解析式 考点06 一次函数与方程（组）、不等式 考点07实际问题与一次函数 考点08一次函数与几何综合 1．（24-25八年级下·河南安阳·期末）函数的图象经过（    ）地 城 考点01 根据一次函数解析式判断其经过象限 A．第一、二、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．根据一次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵一次函数中，，， ∴函数图象经过第一、三、四象限． 故选：C． 2．（24-25八年级下·河南信阳·期末）下列表示一次函数与正比例函数（a，b为常数，且）的图象的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象．将a、b与0进行比较，然后分情况讨论其图象的位置即可． 【详解】解：∵正比例函数，∴经过原点，∴排除选项C和D， 若，， 则经过一、二、三象限，经过一、三象限，没有符合题意的图象； 若，， 则经过一、三、四象限，经过二、四象限，没有符合题意的图象； 若，， 则经过二、三、四象限，经过一、三象限，没有符合题意的图象； 若，， 则经过一、二、四象限，经过二、四象限，选项A符合题意； 故选：A． 3．（24-25八年级下·河南商丘·期末）函数的图象不经过第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质．根据一次函数的图象与性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 4．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）关于函数有下列结论，其中正确的是（   ） A．图象经过点 B．若，在图象上，则 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象向下平移个单位长度后的解析式为 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的性质，涉及函数图像上的点验证、函数值比较、图像所经象限的判断以及平移后的解析式求解． 【详解】解：选项A：将代入，得，故点不在图像上，故A选项错误，不符合题意； 选项B：函数的比例系数，故随增大而减小，因为，对应，，故，故B选项错误，不符合题意； 选项C：函数，，所以直线与轴交点在轴的正半轴，且故随增大而减小，所以图像经过第一、二、四象限，而非第二、三、四象限，故C选项错误，不符合题意； 选项D：图像向下平移个单位，解析式为，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 5．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系中，已知m、n是常数，点在第二象限，则函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图象，点所在的象限；根据点所在的象限得到，由此判断出函数图象y随x的增大而减小，且与y轴交于正半轴，即可求出． 【详解】解：∵m、n是常数，点在第二象限， ∴， ∴函数的一次项系数是负数，常数项是正数， ∴函数的图象y随x的增大而减小，且与y轴交于正半轴， ∴函数的图象经过第一、第二、第四象限， 综上，选项C符合， 故选：C． 地 城 考点02 一次函数图象平移问题 6．（24-25八年级下·河南信阳·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位 【答案】D 【分析】根据下减规律，解答即可．本题考查了一次函数的平移，熟练掌握规律是解题的关键． 【详解】解：的图象，只需将函数的图象向下平移2个单位． 故选：D． 7．（24-25八年级下·河南省直辖县级单位·期末）把正比例函数的图象平移，使它过点，则平移后的函数表达式为______． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的平移，求直线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值的变化． 设平移后的直线的解析式为，再把经过的点代入即可得出答案． 【详解】解：设平移后的直线的解析式为 ∵经过点，则 解得， ∴平移后图象函数的解析式为． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）把直线向上平移4个单位后所得直线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，根据直线平移的规律，向上平移时在常数项上加相应的单位数． 【详解】解：把直线向上平移4个单位后所得直线的表达式为：． 故选：A． 9．（24-25八年级下·河南许昌·期末）将一次函数的图象向上平移3个单位长度，若平移后的函数图象与一次函数的图象重合，则______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移规律． 根据一次函数的平移规律求出m、n的值，即可求出的值． 【详解】解：将一次函数的图象向上平移3个单位长度得： ， ∵平移后的函数图象与一次函数的图象重合， ∴，， 即，， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且将一次函数的图象向下平移3个单位后经过点，则______． 【答案】 【分析】根据图象平行，得，于是向下平移3个单位后为，把代入解析式解答即可． 本题考查了一次函数图象平行的条件，平移，图象过点，熟练掌握图象平行的条件和平移是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象与正比例函数的图象平行， ∴， ∴一次函数解析式为， ∵一次函数的图象向下平移3个单位， ∴平移后的解析式为， ∵新解析式经过点， ∴ 解得， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·河南安阳·期末）将正比例函数图象向上平移1个单位，所得直线解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将函数的图象向上平移1个单位所得函数的解析式为． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）若一次函数的图象与直线平行，则这个一次函数的表达式可以是________． 【答案】（不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数的平移，熟练掌握以上知识点是解题的关键．一次函数是一条直线，根据两直线平行的问题，可得所求的一次函数解析式，只要写一个的一次函数即可． 【详解】解：一次函数的图象与直线平行，则这个一次函数的表达式可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 13．（24-25八年级下·河南三门峡·期末）将直线沿轴向下平移4个单位，可得直线的解析式为_____． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据一次函数图象的平移规则：上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的直线的解析式为：； 故答案为：． 14．（24-25八年级下·河南商丘·期末）已知一次函数的图象是由直线向左平移2个单位长度得到，则该函数解析式是________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移性质，根据一次函数的平移规律：左加右减上加下减，进行作答即可作答． 【详解】解：一次函数的图象是由直线向左平移2个单位长度得到， ． 故答案为：． 15．（24-25八年级下·河南新乡·期末）将直线沿轴向上平移3个单位长度后经过点，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数图象上点的坐标特征；由平移得平移后的函数式，再把点代入即可求解． 【详解】解：直线沿轴向上平移3个单位长度后得到函数式为； 由于过点， 则， 解得：； 故答案为：． 16．（24-25八年级下·河南濮阳·期末）已知一次函数的图象过点与． (1)求这个一次函数的解析式； (2)求当时的值； (3)直接写出将这个函数图象向上平移5个单位所对应的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质，一次函数图象的平移，正确求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）设这个一次函数解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）当时，，即可得出答案； （3）由函数图象平移的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设这个一次函数解析式为． 将与代入得： ， 解得：， 这个一次函数解析式为； （2）解：当时 （3）解：将这个函数图象向上平移5个单位所对应的函数关系式为． 地 城 考点03 根据一次函数增减性求参数 17．（24-25八年级下·河南周口·期末）请写出一个一次函数解析式，使其满足如下条件： ①随的增大而增大； ②经过点； 这个一次函数的解析式是______．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 设一次函数的解析式为，由随的增大而增大，可得出，结合一次函数的图象经过点，可得出，取，即可得出结论． 【详解】解：设一次函数的解析式为， ∵随x的增大而增大， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 当时，一次函数的解析式为， 故答案为：（答案不唯一）． 18．（24-25八年级下·河南新乡·期末）点，在一次函数的图像上，当时，，则的取取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据一次函数的性质，求解即可． 【详解】解：当时，，y随x的增大而减小， ， 故答案为：． 19．（24-25八年级下·河南周口·期末）已知一次函数． (1)若该函数图象经过原点，求该一次函数的表达式； (2)若该函数图象与轴交点在轴的上方，且随的增大而减小，求整数的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征． （1）把原点坐标代入中求出m的值，从而得到一次函数解析式； （2）根据一次函数的性质得到且，则可不等式组得到m的取值范围，然后确定整数m的值． 【详解】（1）解：把代入得， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：根据题意得且， 解得， ∴整数m的值为2． 20．（24-25八年级下·河南开封·期末）请写出一个图象过点，且随的增大而增大的函数解析式：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查一次函数的性质．根据题意及函数的性质可进行求解． 【详解】解：由一个函数过点，且随增大而增大， 可知该函数可以为(答案不唯一)； 故答案为：(答案不唯一)． 21．（24-25八年级下·河南安阳·期末）点，点在一次函数的图象上，当时，，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据一次函数的性质，建立不等式计算即可． 【详解】解：当时，， ∴y随x的增大而减小， ∴， ， 故答案为：． 22．（24-25八年级下·河南开封·期末）一次函数（k为常数，且），y随x增大而增大，则k的值可以为________．（写一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的性质，开放型题目，所写函数解析式必须满足．根据一次函数的性质，y随x的增大而增大，则，取值即可． 【详解】解：∵一次函数（k是常数，且），y随x的增大而增大， ∴， 则k的值可以为， 故答案为：（答案不唯一） 地 城 考点04 比较一次函数值的大小 23．（24-25八年级下·河南郑州·期末）若一次函数的图象上有，两点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，正确掌握相关知识是解题的关键．由，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合，即可得出． 【详解】解：， 随x的增大而减小， ， ． 故选：B． 24．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）已知点在直线上，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了比较一次函数函数值的大小，熟知一次函数的增减性是解题的关键，对于一次函数，当时，y随x增大而增大，时，y随x增大而减小．根据一次函数的增减性进行求解即可． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而减小， ∵点在直线上，， ∴， 故选：A． 25．（24-25八年级下·河南商丘·期末）若点，，在一次函数（m是常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，当时，函数值随x的增大而增大．比较各点的x值大小即可确定对应y值的大小关系． 【详解】∵一次函数中，， ∴函数图象为上升直线，y随x的增大而增大． ∵， ∴， 故选B． 26．（24-25八年级下·河南许昌·期末）已知一次函数的图象经过点，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，根据解析式可得一次函数的增减性，再根据一次函数的增减性进行求解即可． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而减小， ∵一次函数的图象经过点，，且， ∴， 故选：A． 27．（24-25八年级下·河南商丘·期末）已知点和点是一次函数图象上的点，则________．（填“”“”或“”） 【答案】＞ 【分析】本题主要考查了一次函数的函数值比较大小，熟知一次函数的增减性是解题的关键． 根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴该一次函数的函数值随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：＞． 28．（24-25八年级下·河南漯河·期末）已知一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，当时，的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查了根据一次函数的增减性判断函数值的取值范围，根据自变量，分别代入端点值计算，即可得到的取值范围． 【详解】解： ， 一次函数随的增大而减小， 当时，； 当时，， 当时，y的取值范围为． 故答案为：． 29．（24-25八年级下·河南商丘·期末）已知点，点是上的两点，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的增减性，解题的关键是熟练掌握一次函数图象的性质． 根据一次函数的增减性分析，即可得到答案． 【详解】对于一次函数， ∵， ∴， ∴， 即一次函数的系数为负， ∴函数随的增大而减小． ∵，，中， ∴， 故选：A． 30．（24-25八年级下·河南新乡·期末）已知点和在直线上，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查比较一次函数值的大小；根据一次函数的性质，当为负数时，随的增大而减小，据此即可求解； 【详解】解：∵， ∴随的增大而减小； ∵， ∴， 故选：C． 地 城 考点05 求一次函数解析式 31．（24-25八年级下·河南商丘·期末）已知是的一次函数，且当时，；当时，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，求函数的值； (3)求当时，自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)13 (3) 【分析】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定一次函数解析式、已知求函数值、已知的范围求自变量范围等知识，熟记一次函数图象与性质及相关问题解法是解决问题的关键． （1）由题意，令一次函数的解析式为，根据当时，；当时，，列方程组求解即可得到答案； （2）由（1）中所求解析式，将代入即可得到答案； （3）由（1）中所求解析式，结合一次函数图象与性质可知，一次函数中，随的增大而增大，从而将；代入解析式求出即可得到当时，自变量的取值范围． 【详解】（1）解：已知是的一次函数，令一次函数的解析式为， 当时，；当时，， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：将代入得， ， 当时，函数的值13； （3）解：由（1）知，一次函数的解析式为， ， 一次函数中，随的增大而增大， 将时，，解得； 当时，，解得； 当时，自变量的取值范围是：． 32．（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图，点，，以线段为直角边，在第一象限内作等腰直角三角形，则边所在直线的函数解析式为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴交点问题、全等三角形的性质、等腰三角形的性质、求函数解析式等知识点，正确确定点C的坐标成为解题的关键． 如图：过点C作轴，垂足为D，证明，继而求得C的坐标，然后运用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图：如图：过点C作轴，垂足为D， ∵，， ∴， ∵等腰， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为 则，解得， ∴设BC直线解析式为． 故答案为：． 33．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）写出一个经过点的一次函数的表达式：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，设表达式为，将代入求出k与b的关系，k取一个不等于0的值，求出对应的b的值即可． 【详解】解：设， 将代入，得， 解得， 当时，， 故答案为：（答案不唯一）． 34．（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴正半轴上，四边形是菱形，已知点C的坐标为，则直线的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，勾股定理． 先由勾股定理求出的长，得出点A的坐标，然后用待定系数法求解即可． 【详解】∵点C的坐标为， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 设直线的函数解析式， 把，代入，得 ， ∴， ∴． 故选C． 35．（24-25八年级下·河南鹤壁·期末）一次函数的图象交轴于点，点在轴上，且到原点的距离是2个单位长度，求直线的函数解析式． 【答案】或 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴的交点坐标，设直线的解析式为，可求出点的坐标为，再由题意可得点的坐标为或，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为． 一次函数的图象交轴于点， 令，得，解得． 点的坐标为． 点在轴上且到原点的距离为2个单位长度， 点的坐标为或． ①当点为时，与点同时代入中，得 解得 直线的解析式为． ②当点为时，与点同时代入中，同理可得直线的解析式为． 综上所述，直线的解析式为或． 地 城 考点06 一次函数与方程（组）、不等式 36．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，那么不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，核心是将不等式的求解转化为一次函数图像中对应的的取值范围，体现了数形结合的思想． 法1：结合函数图像，不等式的解集就是直线在轴上方部分对应的横坐标的取值范围； 法2：将点，点代入，可求得，将代入不等式，然后解一元一次不等式即可求解． 【详解】解：法1：直线与x轴交于点， 当时，函数图像在轴上方，此时， 不等式的解集是． 法2：将点，点代入， 得，解得， 将，代入，得， ， ， 即． 故选：． 37．（24-25八年级下·河南商丘·期末）已知直线和交于点，则关于，的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数交点与方程组解的关系，根据两条直线的交点坐标即为对应方程组的解即可求解． 【详解】解：直线和交于点， 关于，的方程组的解是， 故选：C． 38．（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图，若一次函数的图象经过点，，则不等式的解集为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据图象即可判断求解，正确理解一次函数与一元一次不等式的关系、数形结合是解题的关键．此题利用图象可知当，即时，． 【详解】解：由图象可得，当时，， 不等式的解集为 故答案为：． 39．（24-25八年级下·河南新乡·期末）直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用图像法解一元一次不等式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 不等式的解集，即为一次函数图像在轴上方的自变量的取值范围，由此求解即可． 【详解】解：由图知与轴的交点为， 不等式的解集是， 故选：C． 40．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，结合图象信息，解题的关键是熟练掌握图象在上方的部分对应的函数值大，图象在下方的部分对应的函数值小．根据两直线的交点坐标和函数的图象即可求出答案． 【详解】解：当时，直线在直线下方， ∴不等式的解集是， 故答案为：． 41．（24-25八年级下·河南许昌·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线（）相交于点，则关于的方程组的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，根据两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解，即可得到答案． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴关于的方程组的解为， 故答案为：． 42．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，已知直线与y轴交于点，与直线交于点，则它们与轴所围成的的面积是__________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题．对于，令，可求出点A的坐标，然后联立两函数解析式可求出点B的坐标，再利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：对于， 当时，， ∴点A的坐标为， ∴， 联立得：， 解得：， ∴点B的坐标为， ∴． 故答案为：6． 43．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，函数和的图象交于点，则关于x的不等式的解集为________． 【答案】 【分析】题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据交点的横坐标为，结合函数图象可得当时，直线在直线上方，即可求解． 【详解】解：函数和的图象交于点，观察图象可知，当时，直线在直线上方，关于x的不等式的解集为 故答案为：． 44．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是______． 【答案】 【分析】本题考查由一次函数图象解不等式，由题意可知关于的不等式的解集是指一次函数图象在的图象上方部分对应的取值范围，由此可解． 【详解】解：将代入，得：， 解得， ， 由图可知，当时，的图象在图象的上方， 关于的不等式的解集是， 故答案为：． 45．（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，已知一次函数和的图象交于点C，且点，点．不等式的解集是． (1)求点C的坐标； (2)求与x轴的交点B的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式，图象法求不等式的解集，是解题的关键： （1）把代入，求出，根据不等式的解集得到点的横坐标，代入解析式，求出点坐标即可； （2）待定系数法求出的解析式，进而求出点B的坐标即可． 【详解】（1）把点代入， 得，解得． ． ∵不等式的解集是， ∴点C的横坐标为． 把代入， 得． ∴点C的坐标为． （2）将代入， 得 解得 ． 当时，， 解得． 与x轴的交点B的坐标为． 46．（24-25八年级下·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点轴的负半轴上有一点． (1)求点的坐标． (2)过点作轴的垂线（垂线位于点的左侧），分别交正比例函数的图象和一次函数的图象于点，连接． ①线段的长为___________（用含的代数式表示）． ②若，求的面积． 【答案】(1) (2)①；②28 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理： （1）联立函数解析式，进行求解即可； （2）①分别求出的坐标，再根据两点间的距离公式求出线段的长即可；②过点作轴于点，勾股定理求出的长，根据，求出的值，进而求出的长，利用面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：联立函数解析式，得方程组，解得， 点的坐标为． （2）解：①由题意，可知：的横坐标均为， 当时，， ∴； 故答案为：； ②如图，过点作轴于点． 由（1），可得． 在中，由勾股定理，得． ， ． ， ，解得， ∴点， ， ∴． 47．（24-25八年级下·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点和点，直线与x轴、y轴分别交于、两点，与直线相交于点，且． (1)求一次函数的解析式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）利用待定系数法可得答案； （2）根据，，可得OA的长，即点A的坐标，从而得AB的解析式，根据函数交点坐标的性质可得点E的坐标，最后由面积公式可得答案． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点和点， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为：； （2）∵点， ∴， ∵， ∴，即， ∵直线过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线交y轴于点B， 令，则， ∴， ∵直线与直线于点E， ∴， 解得，即， ∴． 48．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与轴分别交于点、． (1)观察图象，直接写出不等式的解集是________． (2)求出点和点的坐标． (3)观察图象，直接写出不等式的解集是________________． (4)观察图象，直接写出不等式组的解集是________． 【答案】(1)； (2)，； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴的交点坐标，熟知一次函数的性质是解题的关键． （1）根据函数图象可得随x增大而增大，再根据函数的图象过点，即可得到答案； （2）利用待定系数法求出两函数解析式，再分别求出两函数的函数值为0时的自变量的值即可得到答案； （3）根据函数图象找到函数的函数值大于等于0时的取值范围即可； （4）根据函数图象找到函数的图象在函数的图象的下方，且二者都在x轴下方时的自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，函数中，随x增大而增大， ∵函数的图象过点， ∴不等式的解集是； （2）解：∵函数和的图象交于点， ∴，， ∴， ∴，， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴，； （3）解：由函数图象可得不等式的解集是； （4）解：由函数图象可得不等式组的解集是 49．（24-25八年级下·河南商丘·期末）定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”．如和为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点B，A． (1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式：_____；若点在的函数图象上，则的值是_____． (2)若一次函数图象上的一点也是它的“逆反函数”图象上的点． ①求点的坐标． ②求的面积． 【答案】(1)； (2)①点的坐标为；② 【分析】本题考查的是一次函数性质及两直线交点问题， （1）根据新定义得出的解析式，进而求出的值； （2）①联立表达式求出两直线交点；②先求出点B坐标，进而求出面积． 【详解】（1）解：一次函数的“逆反函数”的解析式：； 把点代入， ， ， 故答案为：，． （2）解：①由题意，可得是两个函数的交点，即， 解得， ， 点的坐标为． ②由两个函数解析式，可知点C的坐标， 函数，当时， ， ， 的面积． 地 城 考点07 实际问题与一次函数 50．（24-25八年级下·河南郑州·期末）“一窟一世界，一壁一史书”，洛阳龙门石窟，文化底蕴深厚．某校同学分三个小组进行“石窟中的文化”的项目式学习研究，第一小组负责调查龙门石窟的历史及结构特点：第二小组负责研究石窟中蕴含的数学知识；第三小组负责汇报和交流．下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 龙门石窟位于河南省洛阳市，始建于北魏孝文帝时期，现有2345座佛龛（kān），十万余尊造像，2800余块碑刻题记，是世界上建造时间最长、造像最多、规模最大的石窟，与敦煌莫高窟、大同云冈石窟并称为中国三大石窟． 【数学情境】 龙门石窟景区内某文创商店准备售卖A，B两种文创产品．如图是店里的一张进货单（墨迹覆盖了部分数据）：进货单 序号 规格 单位 数量 单价 金额 1 A种 件 4000 2 B种 件 3250 店员说：“这次进货，B款文创产品的单价比A款文创产品的单价少15元，A，B款文创产品的数量相同”． 【建立模型】 请你解决下列问题． (1)求A，B两款文创产品的进货单价各是多少元． (2)已知A款文创产品每件的售价为100元，B款文创产品每件的售价为80元．根据市场需求，该商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售．问：怎样进货才能使销售完这批货后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A款文创产品的进货单价是元，B款文创产品的进货单价是元 (2)购进A款文创产品件，B款文创产品40件时，获得的利润最大，最大利润时1800元 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用： （1）设款文创产品的进货单价为元，则款文创产品的进货单价为元．根据，两款文创产品的数量相同，再建立分式方程求解即可； （2）设总利润为元，购进A款文创产品件，则购进B款文创产品件，由题意得，可得．设销售完这批货后获得的利润为元，可得，再利用一次函数的性质求解即可. 【详解】（1）解：设A款文创产品的进货单价是元，则B款文创产品的进货单价是元，根据题意：， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意， 则， 答：A款文创产品的进货单价是元，B款文创产品的进货单价是元； （2）解：设总利润为元，购进A款文创产品件，则购进B款文创产品件， 根据题意，得， 解得． 根据题意，得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，最大，W的最大值为， 此时， 答：购进A款文创产品件，B款文创产品40件时，获得的利润最大，最大利润是1800元． 51．（24-25八年级下·河南信阳·期末）2025年在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上，国家卫健委提出要实施“体重管理3年行动计划”，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某羽毛球俱乐部为倡导人们积极参加健身运动，普及羽毛球运动，特推出如下活动方案： 方案一：购买一张羽毛球健身的年卡，以后每次再收取元； 方案二：不购买羽毛球健身卡，每次收取元． 设小凯每年去俱乐部打羽毛球x次，按照方案一所需费用为（元），且；按照方案二所需费用为（元），且，其函数图像如图所示． (1)请直接写出方案一的函数表达式，并写出b的实际意义：= ，b的实际意义： ； (2)年小凯给自己制定了一个健身计划，每周去俱乐部打球2次（天），他选择哪种方案所需费用更少？说明理由． 【答案】(1)；一张羽毛球健身的年卡的费用为元 (2)选择方案一费用少些，理由见详解 【分析】本题考查了待定系数法确定直线的解析式，一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法，灵活掌握应用的意义是解题的关键． （1）利用待定系数法求得的解析式，利用实际意义求出的解析式即可；b的实际意义就是年卡的费用． （2）计算出一年打球次数，比较两种方式的费用，选择费用小的方案即可． 【详解】（1）设直线， ∵直线过代入得： ， 解得：， ∴解析式为：， b的实际意义是一张羽毛球健身的年卡的费用为元； ∵不购买羽毛球健身卡每次收取元， ， ∴直线的解析式为 （2）根据题意，两种方案费用相等的次数满足方程， 解得， 当时，； 当时，； ∵每周去俱乐部打球2次（天）， ∴一年打球次数至少为， 故， ∴选择方案一费用少些． 52．（24-25八年级下·河南信阳·期末）小刚在炒菜时发现，往锅里分别倒入一勺菜籽油或一勺水，油温比水温升高得快．于是他猜测“不同物质吸热能力不同”．为了验证猜想，小刚准备了质量、温度均相同的水和菜籽油，在如图①所示的装置中同时加热，测量并记录水和菜籽油的温度与加热时间，绘制成图象如图②所示． (1)求菜籽油在加热过程中y与x的函数关系式； (2)在实验过程中，可测得在此地水的沸点为______；若某一时刻两温度计的示数相差，则加热的时间为______ 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答． （1）根据图象中的数据，可以计算出菜籽油在加热过程中的函数关系式； （2）将代入（1）中的函数解析式，求出相应的的值，然后即可得到水沸腾的温度，再求出水从开始到沸腾对应的函数解析式，即可计算出某一时刻两温度计的示数相差时对应的时间． 【详解】（1）解：设菜籽油在加热过程中y与x的函数关系式为， 由图象可知，点，在该函数图象上， ， 解得， 即菜籽油在加热过程中与的函数关系式为：； （2）解：将代入，得： ， 即在实验过程中，可测得在此地水的沸点为； 设水从开始到沸腾对应的函数解析式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即水从开始到沸腾对应的函数解析式为； 令， 解得， ， 不符合题意； 令， 解得：． 故答案为：，． 53．（24-25八年级下·河南省直辖县级单位·期末）四月的风踩着温柔的阳光漫过王屋山，一家家独具特色的文创店铺鳞次栉比，让文化的温度与春天的蓬勃撞个满怀．这是2025年济源王屋山旅游节时的一个场景．在文创市集上，某文创工作室开发A、B两种主题的书签进行销售，制作2套A主题书签和5套B主题书签的总成本为110元，制作3套A主题书签和4套B主题书签的总成本为130元． (1)求制作1套A主题书签和1套B主题书签的成本分别为多少元？ (2)现工作室要制作A、B两种主题的书签共80套推向市场，A种主题的书签每套售价100元，B种主题的书签每套售价30元，已知制作A、B两种主题的书签的总成本不能超过1400元．为使销售利润最大，请设计获得最大利润的销售方案，并求出最大利润值． 【答案】(1)制作1套A主题书签的成本是30元，1套B主题书签的成本是10元 (2)当工作室制作30套A主题书签，50套B主题书签时，销售利润最大，最大利润为3100元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数和不等式的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设制作1套A主题书签的成本是x元，1套B主题书签的成本是y元，根据制作2套A主题书签和5套B主题书签的总成本为110元，制作3套A主题书签和4套B主题书签的总成本为130元建立方程组求解即可； （2）设制作m套A主题书签，则制作套B主题书签，根据总成本不超过1400元列出不等式求出m的取值范围；设全部售出后获得的总利润为w元，根据利润计算公式求出w关于m的一次函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设制作1套A主题书签的成本是x元，1套B主题书签的成本是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：制作1套A主题书签的成本是30元，1套B主题书签的成本是10元； （2）解：设制作m套A主题书签，则制作套B主题书签， 根据题意得：， 解得：． 设全部售出后获得的总利润为w元， ∴，即， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为（元）， （套）． 答：当工作室制作30套A主题书签，50套B主题书签时，销售利润最大，最大利润为3100元． 54．（24-25八年级下·河南许昌·期末）蔬菜大棚能够人为创造适宜的生态环境，调整蔬菜的生产季节，促进蔬菜优质高产，某品种大棚蔬菜处在以下的气温条件超过，就会遭受冻害．深秋某天，气象台发布了第二天时—时的霜冻预警，室外气温（单位：）随时间（单位：）的变化图象（图象由两条有公共端点的线段组成）如图所示． (1)当时，求与的函数解析式； (2)当时，线段与轴的交点坐标是_________； (3)为避免蔬菜在秋冬季节遭受冻害，农场购入一款恒温设备，未启动恒温设备时，大棚内的温度与室外气温的变化规律基本相同，启动恒温设备后，大棚内的温度将每小时匀速上升至设定温度后维持恒温．若该蔬菜大棚在第二天时分开启恒温设备，估计是否可以避免该大棚蔬菜遭受冻害？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)可以避免；理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，掌握一次函数与图像的关系是解题的关键． （1）设时，与的函数解析式为，再将点代入并建立方程组求解即可； （2）先设与的函数解析式为，再代入将点，，求解即可； （3）先判断从时开始大棚蔬菜处在以下的气温条件．在时，大棚内的温度若能大于，就不会遭受冻害．求解当时，与的函数为，该蔬菜大棚在第二天时分开启恒温设备，即当时，代入可得开启恒温设备时大棚温度估计为，再进一步分析即可． 【详解】（1）解：设时，与的函数解析式为， 将点，，代入得， ， 解得， 所以当时，与的函数解析式为． （2）解：设时，与的函数解析式为， 将点，，代入得， ， 解得， ∴当时，与的函数解析式为， 当时，， ∴线段与轴的交点坐标是． （3）解：估计可以避免该蔬菜大棚遭受冻害，理由如下： 令，则， 解得， ∴从时开始大棚蔬菜处在以下的气温条件； 在时，大棚内的温度若能大于，就不会遭受冻害． 由（2）可知，当时，与的函数解析式为， 该蔬菜大棚在第二天时分开启恒温设备， 即当时， 代入得，故开启恒温设备时大棚温度估计为， ∵恒温设备开启后大棚内温度将每小时匀速上升， ∴再过大棚内温度将上升， ∵， ∴估计可以避免该蔬菜大棚遭受冻害． 55．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）为提升同学们综合实践活动能力，学校计划从市场上购进一批型和型两种品牌活动器材．经考查，型器材比型器材单价多元，投资元购买型器材的件数与投资元购买型器材的件数相等． (1)求型器材和型器材每件售价分别多少元？ (2)学校决定购买型器材和型器材共件，且购买型器材件数不少于型器材的件数．实际购买时，型器材实行九折优惠，型器材预付元定金后每件减免元的优惠．学校购买这批活动器材至少要花费多少元？ 【答案】(1)型每件售价元，型每件售价元； (2)学校购买这批活动器材至少要花费元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、利用一次函数求最值． 设型每件售价元，则型每件售价元，根据投资元购买型器材的件数与投资元购买型器材的件数相等，可列方程：，解方程可以求出，可得：，从而可得：型每件售价元，型每件售价元； 设购买型件，则购买型件，可得学校购买活动器材所需要的费用与之间的函数关系式是，根据购买型器材件数不少于型器材的件数，可得：，根据一次函数的性质可知当时，花费最少，把代入求值即可． 【详解】（1）解：设型每件售价元，则型每件售价元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 当时， 可得：， 答：型每件售价元，型每件售价元； （2）解：设购买型件，则购买型件， 设学校购买这批活动器材要花费元，根据题意， 解得：； ， ，随增大而增大， 取最小值， （元）， 答：学校购买这批活动器材至少要花费元. 56．（24-25八年级下·河南商丘·期末）洛阳牡丹文化节期间，某文创店推出特色商品组合促销活动．已知购买2盒牡丹酥和3盒八景糕共需132元，购买1盒牡丹酥和2盒八景糕共需78元． (1)购买1盒牡丹酥和1盒八景糕各需多少元？ (2)某游客准备购买牡丹酥和八景糕共20盒，且八景糕不超过12盒．设购买八景糕盒，所需总费用为元． ①求与之间的函数关系式． ②请你帮该游客设计一种能使总费用最少的方案，并求出最少总费用． 【答案】(1)购买1盒牡丹酥需要30元，购买1盒八景糕需要24元 (2)①；②购买牡丹酥8盒、八景糕12盒能使总费用最少，最少总费用为528元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的建立与求解，以及一次函数的实际应用．在解题中引入恰当的未知数，判断函数增减性是关键. （1）通过题目中的购买组合信息，设立二元一次方程组，解出牡丹酥和八景糕的单价； （2）①：根据总费用=牡丹酥费用+八景糕费用，再结合两种糕点各自数量和单价，建立总费用与八景糕数量之间的函数关系式； ②：分析函数的单调性，结合变量取值范围确定最小值对应的方案． 【详解】（1）解：设购买1盒牡丹酥需要元，购买1盒八景糕需要元． 根据题意，得 解得 答：购买1盒牡丹酥需要30元，购买1盒八景糕需要24元． （2）①， 与之间的函数关系式为． ②， 随的增大而减小． ， 当时，的值最小，此时． （盒）． 答：购买牡丹酥8盒、八景糕12盒能使总费用最少，最少总费用为528元． 57．（24-25八年级下·河南许昌·期末）如图，是小马同学做物体浮力实验的示意图，下方为盛水的烧杯，上方是由弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中．已知该圆柱体的重力为，高度为．小马将弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度的数据记录如下表： 圆柱体浸入水中的深度 0 1 2 3 4 弹簧测力计示数 15 13.5 12 10.5 9 (1)观察表中数据，推测弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度之间满足的函数关系是______函数关系；（填“正比例”或“一次”） (2)根据上述推测，求出弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度之间的函数解析式； (3)请你计算出当圆柱体完全浸入水中时，弹簧测力计的示数． 【答案】(1)一次 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）根据表格数据推测即可； （2）设解析式为，将相关数据代入计算即可； （3）求出时，的值即可； 【详解】（1）解：由表格可知，每增加1，减少1.5， ∴推测弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度之间满足的函数关系是一次函数关系， 故答案为：一次； （2）由（1）知，弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度之间满足一次函数关系， 设解析式为，把，与，代入解析式， 得，解得， 弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度之间的函数解析式为； （3）由题意，当时，． 当圆柱体完全浸入水中时，弹簧测力计的示数为． 58．（24-25八年级下·河南周口·期末）河南省不仅是新能源汽车制造大省，新能源汽车的销售量和渗透率也都超过了全国平均水平．某商场计划购买、两种型号的充电桩，已知型充电桩比型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买型充电桩与用20万元购买型充电桩的数量相等． (1)分别求，两种型号充电桩的单价； (2)该商场计划共购买25个，两种型号的充电桩，购买总费用不超过26万元，且型充电桩的购买数量不少于型充电桩购买数量的，求该商场购买充电桩最少花费多少钱． 【答案】(1)型充电桩的单价为0.9万元，型充电桩的单价为1.2万元 (2)25.2万元 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式． （1）设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价为万元，根据题意列出分式方程，求解即可得出答案； （2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据题意得出，求出整数解，设该商场购买充电桩的总花费为万元，得出，利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价为万元， 由题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解． ， 答：型充电桩的单价为0.9万元，型充电桩的单价为1.2万元； （2）解：设购买型充电桩个，则购买型充电桩个， 由题意，， 解得， 为非负整数， 取14或15或16． 设该商场购买充电桩的总花费为万元， 该商场购买充电桩的总花费， ，随的增大而减小， 当时，有最小值， （万元） 答：该商场购买充电桩最少花费25.2万元． 59．（24-25八年级下·河南南阳·期末）踢毽子，又叫“打鸡”，起源于汉代，盛行于南北朝和隋唐时期，不仅是一种娱乐活动，也是一种体育锻炼方式．某校为进一步推进传统体育项目进校园，计划组织九年级全体学生开展踢毽子比赛，并购买一批毽子作为比赛用品，现有A，B两种品牌的毽子可供选择．已知品牌毽子的单价比品牌贵2元，且用150元购买品牌毽子的数量是用85元购买品牌毽子数量的两倍． (1)这两种品牌毽子的单价各是多少？ (2)已知该校九年级需购买A，B两种品牌的毽子共200个，且购买品牌毽子的数量不低于品牌的，则怎样购买才能使购买费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)A品牌毽子的单价是17元，B品牌毽子的单价是15元 (2)购买品牌毽子50个，品牌毽子150个才能使购买费用最低，最低费用为3100元 【分析】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用，掌握分式方程、一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）设B品牌毽子的单价为x元，则A品牌毽子的单价为元，根据题意列关于x的分式方程并求解即可； （2）设购买费用为元，购买品牌毽子个，则购买品牌毽子个，根据题意列关于m的一元一次不等式并求其解集，设购买费用为w元，写出w关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时w值最小，求出其最小值即可． 【详解】（1）解：设品牌毽子的单价是元，则品牌毽子的单价是元． 由题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且均符合题意， 答：A品牌毽子的单价是17元，B品牌毽子的单价是15元； （2）解：设购买费用为元，购买品牌毽子个，则购买品牌毽子个． 则， 解得， ， ， 随的增大而增大． 当时，有最小值，最小值为． 此时． 答：购买品牌毽子50个，品牌毽子150个才能使购买费用最低，最低费用为3100元． 60．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）研究表明植物具有固碳能力，所谓固碳能力，就是植物在生长过程中，通过光合作用在体内吸收多少二氧化碳的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，垂柳每天固碳81克所需的种植面积是杨树每天固碳40.5克所需种植面积的3倍，而杨树每天单位面积固碳量比垂柳多0.15克． (1)求垂柳、杨树每天单位面积固碳量． (2)某园林打算种植这两种树木共600平方米，且种植垂柳的面积不少于种植杨树的面积的一半．如何种植才能使每天的总固碳量最多？最多为多少克？ 【答案】(1)垂柳每天单位面积固碳量是0.3克，杨树每天单位面积固碳量是0.45克 (2)种植200平方米垂柳、400平方米杨树可使每天的总固碳量最多，最多为240克 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用； （1）设垂柳每天单位面积固碳量为克，则杨树每天单位面积固碳量为克．由题意，得，再解方程即可； （2）设垂柳的种植面积为平方米，则杨树的种植面积为平方米．由题意，得，再解不等式即可． 【详解】（1）解：设垂柳每天单位面积固碳量为克，则杨树每天单位面积固碳量为克．由题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意．此时． 答：垂柳每天单位面积固碳量是0.3克，杨树每天单位面积固碳量是0.45克． （2）解：设垂柳的种植面积为平方米，则杨树的种植面积为平方米． 由题意，得， 解得． 设种植这两种树木每天的总固碳量为克． 则． 随的增大而减小． 当时，有最大值，最大值为．此时． 答：种植200平方米垂柳、400平方米杨树可使每天的总固碳量最多，最多为240克． 地 城 考点08 一次函数与几何综合 61．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，直线l：与x轴、y轴分别交于点A、B，且与直线m相交于点，已知直线m经过点，且与y轴交于点D． (1)求点A、B的坐标以及直线m的解析式； (2)若P为直线m上一动点， ①当时，求点P的坐标； ②在x轴上是否存在点Q，使得以点A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)①或；②存在；或或 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，一次函数面积问题，平行四边形的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． （1）分别令和求出点A、B的坐标，设直线的解析式为，代入，计算即可求出解析式； （2）①过作轴交于，利用铅锤法表示面积，根据列方程求解即可； ②分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据中点坐标公式，进行求解即可． 【详解】（1）解：令则； 令则， 解得：， ∴直线与轴、轴分别交于点、； 把代入得：， ∴， 设直线的解析式为，代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：①∵直线经过点，且与轴交于点， ∴， ∴，， ∵为直线上一动点， ∴设， 过作轴交于，则，， ∴ ∵， ∴， 整理得， 解得或， ∴或； ②存在；设，，、， 当为对角线时，根据中点坐标公式可知：， 解得：， ∴此时点Q的坐标为：； 当为对角线时，根据中点坐标公式可知：， 解得：， ∴此时点Q的坐标为：； 当为对角线时，根据中点坐标公式可知：， 解得：， ∴此时点Q的坐标为：； 综上分析可知：点Q的坐标为：或或． 62．（24-25八年级下·河南省直辖县级单位·期末）已知一次函数的图象与坐标轴分别交于点A、点B，函数与的图象交于点，如图所示． (1)填空：______，______； (2)求直线和直线与x轴所围成的三角形的面积； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)2，4 (2) (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，一次函数与几何图形，一次函数与一元一次不等式， （1）将点P的坐标代入一次函数可求出m，再将点P代入函数可得答案； （2）先求出点A的坐标，再根据点的坐标，结合三角形面积公式可得答案； （3）根据直线在直线上方时自变量的取值范围就是不等式的解集解答． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴点． ∵函数的图象经过点， ∴， 解得． 故答案为：2，4； （2）解：当时，， 解得， ∴点， ∴，点P到x轴的距离是4， ∴； （3）解：． 观察图象可知，当时，． 63．（24-25八年级下·河南南阳·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“闪光点”．例如求：的“闪光点”：联立方程，解得，则的“闪光点”为． (1)由定义可知，一次函数的“闪光点”为______； (2)若一次函数的“闪光点”为，求m、n的值； (3)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“闪光点”，若点P为平面内一个动点，使得以点A、B、O、P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】本题考查了平行四边形的性质，一次函数的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意，联立方程，求解即可； （2）根据题意，一次函数的“闪光点”为，先求出n的值，得到“闪光点”的坐标，再将坐标代入一次函数求解即可； （3）先根据直线与正比例函数无交点，得出k的值，分别求出A，B的坐标，设，分别讨论、、为对角线，再根据 平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：联立方程，解得， 则的“闪光点”为， 故答案为：； （2）解：∵一次函数的“闪光点”为， ∴， 解得， ∴一次函数的“闪光点”为， ∴， 解得； （3）解：∵直线上没有“闪光点”， ∴直线与正比例函数无交点， ∴， ∴， 当时，，则， 当时，，则， 如图所示，点P为平面内一个动点，使得以点A、B、O、P为顶点的四边形是平行四边形， 设， ①当为对角线， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ②当为对角线， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ③当为对角线， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 综上，或或． 64．（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)若直线上的点在第二象限，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求得直线的解析式即可； （2）设，根据三角形面积公式得到，解方程即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 点，点， ，解得， 直线的解析式为； （2）解：设， ， ， ， 解得， 点C在第二象限， ， ∴， 点C的坐标为． 65．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，将沿过原点的直线折叠，点A落在x轴上的点E处，折痕交边于点D，点B坐标为，四边形的面积为12． (1)点坐标为____________； (2)求直线解析式； (3)四边形的形状为____________，请说明理由； (4)坐标平面内的点使以点、、、为顶点的四边形构成平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)菱形，理由见解析 (4)或或 【分析】（1）延长，交轴于点，先求出，再根据折叠的性质可得，，然后证出四边形是平行四边形，求出，则可得，由此即可得； （2）先利用勾股定理求出的长，从而可得的长，则可得点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （3）先证出四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定即可得； （4）先求出点的坐标，再分三种情况：①当以点、、、为顶点构成的四边形是平行四边形时，②当以点、、、为顶点构成的四边形是平行四边形时，③当以点、、、为顶点构成的四边形是平行四边形时，根据平行四边形的对角线互相平分求解即可得． 【详解】（1）解：如图，延长，交轴于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵点坐标为， ∴， 由折叠的性质得：，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形的面积为12， ∴， 解得， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． （2）解：由（1）已得：， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴， 设直线解析式为， 将点，代入得：，解得， 所以直线解析式为． （3）解：四边形的形状为菱形，理由如下： 由（1）已得：， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． （4）解：由上已得：，，， ∴， ∴，， 设点的坐标为， ①当以点、、、为顶点构成的四边形是平行四边形时， ∴对角线互相平分， ∴，解得， ∴； ②当以点、、、为顶点构成的四边形是平行四边形时， ∴对角线互相平分， ∴，解得， ∴； ③当以点、、、为顶点构成的四边形是平行四边形时， ∴对角线互相平分， ∴，解得， ∴； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、一次函数的几何应用、勾股定理、折叠的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． 66．（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图，正比例函数的图像经过点，直线经过点A和点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式与一次函数的性质： （1）把点代入，可得到点A的坐标为，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）求出点F的坐标为，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得，， 解得：， ∴点A的坐标为， 设直线的函数解析式为， 把点和点代入，得：， 解得：， ∴直线的函数解析式为：． （2）解：令直线与y轴的交点为F，如图 在中，当时，， ∴点F的坐标为，即， ∵，， ∴点到y轴的距离为3，点到y轴的距离为1， ∴． 67．（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点，且与坐标轴交于、B两点． (1)求m的值及一次函数解析式； (2)求的面积； (3)在第一象限内是否存在点P，使得四边形为平行四边形，若存在请直接写出点P坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2)6 (3)存在，P坐标为 【分析】本题主要考查一次函数的图象及性质、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握一次函数的图象及性质以及平行四边形的性质是解题的关键． （1）将点代入求得m的值，再利用待定系数法求解即可； （2）直接根据坐标与图形及三角形面积公式求解即可； （3）四边形为平行四边形，则，根据点的坐标平移特点求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与正比例函数交于点， ∴，即， 将点C、A代入中， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为． （2）解：∵， ∴当时，，即 ∴， ∴的面积． （3）解：存在点P，使得四边形为平行四边形， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，即． 68．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，直线l是一次函数的图象． (1)求这个一次函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象直接写出的解集． 【答案】(1)； (2)2； (3)． 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，再根据计算求解即可； （3）结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入到中得， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：由函数图象可得的解集为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05 一次函数 ☆8大高频考点概览 考点01根据一次函数解析式判断其经过象限 考点02一次函数图象平移问题 考点03根据一次函数增减性求参数 考点04比较一次函数值的大小 考点05求一次函数解析式 考点06一次函数与方程（组）、不等式 考点07实际问题与一次函数 考点08一次函数与几何综合 目目考点0 根据一次函数解析式判断其经过象限 1.(24-25八年级下·河南安阳期末)函数y=4x-2的图象经过() A.第一、二、四象限 B.第一、二、三象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限 2.(24-25八年级下·河南信阳·期末)下列表示一次函数y=ax+b与正比例函数y=abx(a,b为常数， 且ab≠0)的图象的是( 3.(24-25八年级下·河南商丘期末)函数y=一2x+3的图象不经过第（)象限. A.- B.二 C.三 D.四 4.(24-25八年级下·河南洛阳期末)关于函数y=一2x+3有下列结论，其中正确的是() A.图象经过点(-1,1) B.若A(-2y1),B(1y2)在图象上，则y1<y2 C.图象经过第二、三、四象限 1/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D.图象向下平移1个单位长度后的解析式为y=-一2x+2 5.(24-25八年级下·河南驻马店期末)在平面直角坐标系中，已知m、n是常数，点(m,n)在第二象限， 则函数y=mx十n的图象大致是() B 目目 考点02 一次函数图象平移问题 6.(24-25八年级下·河南信阳·期末)要得到函数y=-3x-2的图象，只需将函数y=-3x的图象() A.向左平移2个单位 B.向右平移2个单位 C.向上平移2个单位 D.向下平移2个单位 7.(24-25八年级下·河南省直辖县级单位期末)把正比例函数y=2x的图象平移，使它过点(1，-2)， 则平移后的函数表达式为 8.（24-25八年级下·河南洛阳·期末)把直线y=3x一4向上平移4个单位后所得直线的表达式为() A.y=3x B.y=3x-8 C.y=3x+8D.y=3x-16 9.(2425八年级下，河南许昌·期末)将一次函数y=(m-2)x+4一n的图象向上平移3个单位长度， 若平移后的函数图象与一次函数y=3x+1的图象重合，则m十n=· 10.(24-25八年级下·河南洛阳期末)一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=3x的图象平行，且将 一次函数y=kx+b的图象向下平移3个单位后经过点A(2,一3)，则b= 11.(24-25八年级下·河南安阳期末)将正比例函数y=一2x图象向上平移1个单位，所得直线解析式 为 12.(24-25八年级下·河南洛阳期末)若一次函数的图象与直线y=-2x平行，则这个一次函数的表达式 可以是 13.(24-25八年级下，河南三门峡·期末)将直线y=3x+5沿y轴向下平移4个单位，可得直线的解析式 为 2/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 14.(24-25八年级下·河南商丘期末)己知一次函数的图象是由直线y=一x向左平移2个单位长度得到， 则该函数解析式是 15.(24-25八年级下·河南新乡·期末)将直线y=2x+m沿y轴向上平移3个单位长度后经过点(1,2)， 则m= 16.（24-25八年级下·河南濮阳·期末)己知一次函数的图象过点(3,5)与(-4，-9). ()求这个一次函数的解析式： (2)求当x=-1时y的值； (3)直接写出将这个函数图象向上平移5个单位所对应的函数关系式， 目目 考点03 根据一次函数增减性求参数 17.（24-25八年级下河南周口·期末)请写出一个一次函数解析式，使其满足如下条件： ①y随x的增大而增大； ②经过点(-1,0)： 这个一次函数的解析式是 ·(写一个即可) 18.(2425八年级下河南新乡期末)点A(xy1),B(x2y2)在一次函数y=ax+2的图像上，当 1>x2时，Y1<y2,则a的取取值范围是 19.(24-25八年级下.河南周口期末)己知一次函数y=(3m-7)x+m-1. ()若该函数图象经过原点，求该一次函数的表达式： (2)若该函数图象与y轴交点在x轴的上方，且y随x的增大而减小，求整数m的值， 20.(24-25八年级下·河南开封期末)请写出一个图象过点(0,2)，且y随x的增大而增大的函数解析式： 21,(24-25八年级下河南安阳期末)点A(xy1),点B(x2y2)在一次函数y=(a-3)x+1的图象 上，当x1>X2时，y1<y2,则a的取值范围是 22.(24-25八年级下·河南开封期末)一次函数y=kx一1(k为常数，且k≠0)，y随x增大而增大， 则k的值可以为 (写一个即可) 目目 考点04 比较一次函数值的大小 23. (24-25八年级下河南郑州期末)若一次函数y=-x+b的图象上有A(-1,y1),B(1,y2)两点， 则下列说法正确的是() A.y2y2 B.y1>y2 C.yi<y2 D.y1≤y2 24.(24-25八年级下河南驻马店期末)已知点A(-2,y1)B(1,y2)在直线y=-3x+2上，则y1与 3/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 y,的大小关系是() A.yi>y2 B.y<y2 C.y1=y2 D.无法确定 25.(24-25八年级下河南商丘期末)若点A(-3,y),B(2,y2),C(-1,y3)在一次函数 y=3x+m(m是常数)的图象上，则y,Y2,Y3的大小关系是() A.y1>y2>y3B.y2>y3>y1C.y1>y3>y2 D.y3>y2>y1 26.(24-25八年级下河南许昌期末)已知一次函数y=-4x+3的图象经过点A(-1,y1), B(2,y2),则y1与2的大小关系是（) A.yy g B.y1=y2 C.yi<y2 D.无法确定 27.(24-25八年级下河南商丘期末)已知点A(-2,y1)和点B(1,y2)是一次函数y=-2x+1图象 上的点，则y1 Y2:(填“<”“>”或“=”) 28.(24-25八年级下·河南漯河期末)已知一次函数y=一2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点， 当-1≤x<5时，y的取值范围为 29.(24-25八年级下河南商丘期末)已知点Ax1-2),点B(x24)是y=-(k2+1)x+3上的两点， 则x1与x2的大小关系是() A.X1>X2 B.X12X2 C.X1<X2 D.X1≤x2 30.(24-25八年级下河南新乡期末)已知点A(-1,y1)和B(2,y2)在直线y=-5x+b上，则y1与 y的大小关系为() A.y<y2 B.y1=y2 C.y1>y2 D.不能确定 目目 考点05 求一次函数解析式 31.(24-25八年级下·河南商丘期末)己知V是x的一次函数，且当x=1时，y=5;当x=2时，y=7. (1)求这个一次函数的解析式： (2)当x=5时，求函数y的值； (3)求当-2<y≤4时，自变量x的取值范围. 32.(24-25八年级下·河南商丘·期末)如图，点A(5,0)，B(0,4),以线段AB为直角边，在第一象限内 作等腰直角三角形ABC,则边BC所在直线的函数解析式为_： 4/16 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 B A 33.(24-25八年级下·河南驻马店期末)写出一个经过点(-2,3)的一次函数的表达式： 34.(24-25八年级下·河南商丘期末)如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴正半轴上，四边 形OABC是菱形，己知点C的坐标为(3,4)，则直线AC的函数解析式为() A.y=2x-2B.y=0.5x+2.5C.y=-2x+10D.y=-0.5x+5.5 35.(24-25八年级下·河南鹤壁期末)一次函数y=x一1的图象交x轴于点A,点B在y轴上，且到原点 的距离是2个单位长度，求直线AB的函数解析式. 目目 考点06 次函数与方程（组）、不等式 36.(24-25八年级下·河南信阳期末)如图，直线y=kx+b与x轴交于点A(-2,0),与y轴交于点 B(0,3),那么不等式kx+b>0的解集是() A.x>-2 B.x>3 C.x<-2 D.x<3 37.(24-25八年级下河南商丘·期末)已知直线y=x+b和y=ax-3交于点P(2,1),则关于x,y的 ∫y=x+b 方程组y=ax-3的解是() X=-1 （X=1 |x=2 (X=-2 A. {y=-2B.{y=2 c.y=1 D.{y=1 38.(24-25八年级下·河南商丘·期末)如图，若一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,-1),B(1,1) ,则不等式kx+b>1的解集为 5/16 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=kx+b B A 39.(24-25八年级下·河南新乡·期末)直线y=kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式 kx+b≥0的解集是() -2-10 12 -1 A.x≤0 B.x20 C.x≤2 D.x22 40.(24-25八年级下河南郑州期末)如图，直线y1=Kx+2与直线y2=mx相交于点P(1,m),则不 等式kx+2<x的解集是· y,=mx +2 41.(2425八年级下河南许昌期末)如图，在同一平面直角坐标系中，直线y=一青x+寻与直线 y=-x+骨 y=kx十b(k≠0)相交于点A(2,-1),则关于x,y的方程组 y=kx+b 的解为 kx-b 42.(24-25八年级下·河南南阳期末)如图，己知直线y=一2x十6与y轴交于点A,与直线y=x交于 点B,则它们与y轴所围成的△AOB的面积是 6/16 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B y=-2x+6 43.(24-25八年级下河南郑州期末)如图，在同一平面直角坐标系中，函数y1=2x和y2=一x+C的 图象交于点A(1,n),则关于x的不等式一x+c≤2x的解集为 44.(24-25八年级下·河南驻马店期末)如图，一次函数y=kx一3与y=一x+2的图象相交于点 P(a,是)，则关于x的不等式kx-3≥-x+2的解集是 45.(2425八年级下河南安阳期末)如图，已知一次函数y1=kx+b和y2=号x+m的图象交于点C, 且点A(-4,0),点D(0,4).不等式号x+m<kx+b的解集是x<-2. D (I)求点C的坐标； (2)求BC与x轴的交点B的坐标. 7/16 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 46.(24-25八年级下河南新乡期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，正比例函数y=一x的图象与 一次函数y=X+7的图象交于点Ax轴的负半轴上有一点P(m,0). =x+7 (1)求点A的坐标. (2)过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的左侧），分别交正比例函数y=一-x的图象和一次函数y=x+7 的图象于点B,C,连接OC. ①线段BC的长为 (用含m的代数式表示)· ②若BC=号0A,求△OBC的面积. 47.(24-25八年级下·河南周口期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，已知一次函数y=kx+b的图象 经过点C(3,0)和点D(0,6),直线y=专x+m与x轴、y轴分别交于A、B两点，与直线CD相交于点E, 且0D=30A yh D AO C (I)求一次函数y=kx+b的解析式； (2)求四边形OBEC的面积S因边形oBEC, 48.(24-25八年级下河南平顶山期末)如图，已知函数y:=2x+b和y2=ax-3的图象交于点 P(一2，-5)，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B. 8/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 y外 y=2x+b y=ax-3 -2 (1)观察图象，直接写出不等式2x+b>一5的解集是 (2)求出点A和点B的坐标. (3)观察图象，直接写出不等式ax-3≥0的解集是 (4)观察图象，直接写出不等式组ax-3<2x+b<0的解集是 49.(24-25八年级下·河南商丘期末)定义：一次函数y=kx+b(k≠0且b≠0)和一次函数 y=-bx-k为“逆反函数”.如y=x-2和y=2x-1为“逆反函数”.如图，一次函数l1:y=2x+4的 图象分别交x轴、V轴于点B,A. (1)请写出一次函数l1的“逆反函数”l2的解析式：；若点C(a,0)在l2的函数图象上，则a的值是。 (2)若一次函数1图象上的一点D也是它的“逆反函数”l2图象上的点. ①求点D的坐标。 ②求△BCD的面积， 目目 考点07 实际问题与一次函数 50.(24-25八年级下·河南郑州期末)“一窟一世界，一壁一史书”，洛阳龙门石窟，文化底蕴深厚.某校 同学分三个小组进行“石窟中的文化”的项目式学习研究，第一小组负责调查龙门石窟的历史及结构特点：第 二小组负责研究石窟中蕴含的数学知识；第三小组负责汇报和交流.下面是第三小组汇报的部分内容，请 你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题。 【背景调查】 龙门石窟位于河南省洛阳市，始建于北魏孝文帝时期，现有2345座佛龛(k),十万余尊造像，2800余 块碑刻题记，是世界上建造时间最长、造像最多、规模最大的石窟，与敦煌莫高窟、大同云冈石窟并称为 9/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 中国三大石窟， 【数学情境】 龙门石窟景区内某文创商店准备售卖A,B两种文创产品.如图是店里的一张进货单（墨迹覆盖了部分数据）： 进货单 序号 规格 单位 数量 单价 金额 1 A种 件 4000 2 B种 件 3250 店员说：“这次进货，B款文创产品的单价比A款文创产品的单价少15元，A,B款文创产品的数量相同” 【建立模型】 请你解决下列问题 ()求A,B两款文创产品的进货单价各是多少元. (2)已知A款文创产品每件的售价为100元，B款文创产品每件的售价为80元.根据市场需求，该商店计划 再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售.问：怎样进货才能使销售完这批货后 获得的利润最大？最大利润是多少元？ 51.(24-25八年级下·河南信阳期末)2025年在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上，国家卫健委 提出要实施“体重管理3年行动计划”，普及健康生活方式，加强慢性病防治.某羽毛球俱乐部为倡导人们积 极参加健身运动，普及羽毛球运动，特推出如下活动方案： 方案一：购买一张羽毛球健身的年卡，以后每次再收取10元； 方案二：不购买羽毛球健身卡，每次收取15元， 设小凯每年去俱乐部打羽毛球x次，按照方案一所需费用为1（元），且y1=kx+C;按照方案二所需 费用为y2(元)，且y,=k2X,其函数图像如图所示。 元 V 1600- 400 0 120x7次 ()请直接写出方案一的函数表达式，并写出b的实际意义：y1=-,b的实际意义：-二 (2)2025年小凯给自己制定了一个健身计划，每周去俱乐部打球2次(365天)，他选择哪种方案所需费用 更少？说明理由 10/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 52.(24-25八年级下·河南信阳期末)小刚在炒菜时发现，往锅里分别倒入一勺菜籽油或一勺水，油温比 水温升高得快.于是他猜测“不同物质吸热能力不同”，为了验证猜想，小刚准备了质量、温度均相同的水和 菜籽油，在如图①所示的装置中同时加热，测量并记录水和菜籽油的温度y(C)与加热时间x(min,绘制成 图象如图②所示. 温度计 电加热器 电加热器 ℃，菜籽油 80 60 20 45.2 x/min 菜籽油 图① 图② (1)求菜籽油在加热过程中y与x的函数关系式； (2)在实验过程中，可测得在此地水的沸点为 C;若某一时刻两温度计的示数相差42°C,则加热的时 间为 min. 53.(24-25八年级下·河南省直辖县级单位·期末)四月的风踩着温柔的阳光漫过王屋山，一家家独具特色 的文创店铺鳞次栉比，让文化的温度与春天的蓬勃撞个满怀.这是2025年济源王屋山旅游节时的一个场景. 在文创市集上，某文创工作室开发A、B两种主题的书签进行销售，制作2套A主题书签和5套B主题书 签的总成本为110元，制作3套A主题书签和4套B主题书签的总成本为130元， (I)求制作1套A主题书签和1套B主题书签的成本分别为多少元？ (2)现工作室要制作A、B两种主题的书签共80套推向市场，A种主题的书签每套售价100元，B种主题的 书签每套售价30元，己知制作A、B两种主题的书签的总成本不能超过1400元.为使销售利润最大，请设 计获得最大利润的销售方案，并求出最大利润值， 54.(24-25八年级下·河南许昌期末)蔬菜大棚能够人为创造适宜的生态环境，调整蔬菜的生产季节，促 进蔬菜优质高产，某品种大棚蔬菜处在0℃以下的气温条件超过3h,就会遭受冻害.深秋某天，气象台发 布了第二天0时一8时的霜冻预警，室外气温y(单位：℃)随时间x(单位：h)的变化图象（图象由两条 有公共端点的线段组成)如图所示. y/℃ 8 x/h 11/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (I)当0≤x≤4时，求y与x的函数解析式： (2)当4≤x≤8时，线段与x轴的交点坐标是 (3)为避免蔬菜在秋冬季节遭受冻害，农场购入一款恒温设备，未启动恒温设备时，大棚内的温度与室外气 温的变化规律基本相同，启动恒温设备后，大棚内的温度将每小时匀速上升10℃至设定温度后维持恒温.若 该蔬菜大棚在第二天4时48分开启恒温设备，估计是否可以避免该大棚蔬菜遭受冻害？并说明理由， 55.(24-25八年级下·河南洛阳期末)为提升同学们综合实践活动能力，学校计划从市场上购进一批A型 和B型两种品牌活动器材.经考查，A型器材比B型器材单价多5元，投资6000元购买A型器材的件数与投 资5000元购买B型器材的件数相等. (1)求A型器材和B型器材每件售价分别多少元？ (2)学校决定购买A型器材和B型器材共400件，且购买A型器材件数不少于B型器材的件数.实际购买时， A型器材实行九折优惠，B型器材预付1000元定金后每件减免5元的优惠.学校购买这批活动器材至少要花 费多少元？ 56.(24-25八年级下·河南商丘·期末)洛阳牡丹文化节期间，某文创店推出特色商品组合促销活动.已知 购买2盒牡丹酥和3盒八景糕共需132元，购买1盒牡丹酥和2盒八景糕共需78元. (1)购买1盒牡丹酥和1盒八景糕各需多少元？ (②)某游客准备购买牡丹酥和八景糕共20盒，且八景糕不超过12盒.设购买八景糕x盒，所需总费用为w元. ①求w与x之间的函数关系式. ②请你帮该游客设计一种能使总费用最少的方案，并求出最少总费用. 57.(24-25八年级下·河南许昌·期末)如图，是小马同学做物体浮力实验的示意图，下方为盛水的烧杯， 上方是由弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，已知该圆柱体的重力G 为15N,高度为6cm.小马将弹簧测力计示数F(N)与圆柱体浸入水中的深度h(cm)的数据记录如下表： 圆柱体浸入水中的深度 0 2 3 4 h(cm) 弹簧测力计示数F(N) 15 13.5 12 10.5 9 3 (1)观察表中数据，推测弹簧测力计示数F(N)与圆柱体浸入水中的深度h(cm)之间满足的函数关系是 12/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 函数关系；（填“正比例或“一次”) (2)根据上述推测，求出弹簧测力计示数F(N)与圆柱体浸入水中的深度h(cm)之间的函数解析式： (3)请你计算出当圆柱体完全浸入水中时，弹簧测力计的示数F 58.(24-25八年级下，河南周口·期末)河南省不仅是新能源汽车制造大省，新能源汽车的销售量和渗透率 也都超过了全国平均水平.某商场计划购买A、B两种型号的充电桩，己知A型充电桩比B型充电桩的单价 少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等. (I)分别求A,B两种型号充电桩的单价； (2)该商场计划共购买25个A,B两种型号的充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量 不少于A型充电桩购买数量的，求该商场购买充电桩最少花费多少钱， 59.（24-25八年级下河南南阳·期末)踢毽子，又叫打鸡”，起源于汉代，盛行于南北朝和隋唐时期，不 仅是一种娱乐活动，也是一种体育锻炼方式.某校为进一步推进传统体育项目进校园，计划组织九年级全 体学生开展踢毽子比赛，并购买一批毽子作为比赛用品，现有A,B两种品牌的毽子可供选择.已知A品牌 毽子的单价比B品牌贵2元，且用150元购买B品牌毽子的数量是用85元购买A品牌毽子数量的两倍. (1)这两种品牌毽子的单价各是多少？ (2)已知该校九年级需购买A,B两种品牌的键子共200个，且购买A品牌毽子的数量不低于B品牌的专，则 怎样购买才能使购买费用最低？最低费用是多少元？ 60.(24-25八年级下.河南洛阳·期末)研究表明植物具有固碳能力，所谓固碳能力，就是植物在生长过程 中，通过光合作用在体内吸收多少二氧化碳的能力.生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，垂柳每天 固碳81克所需的种植面积是杨树每天固碳40.5克所需种植面积的3倍，而杨树每天单位面积固碳量比垂柳 多0.15克. (①)求垂柳、杨树每天单位面积固碳量. (②)某园林打算种植这两种树木共600平方米，且种植垂柳的面积不少于种植杨树的面积的一半.如何种植 才能使每天的总固碳量最多？最多为多少克？ 目目 考点08 一次函数与几何综合 61.(24-25八年级下.河南信阳期末)如图，直线1：y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A、B,且与 直线m相交于点M(1,a),，己知直线m经过点C(-10),且与y轴交于点D. 13/16 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A (1)求点A、B的坐标以及直线m的解析式： (2)若P为直线m上一动点， ①当S△4PW=2S△BDN时，求点P的坐标； ②在x轴上是否存在点Q,使得以点A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 62.(24-25八年级下·河南省直辖县级单位期末)已知一次函数y=一x+6的图象与坐标轴分别交于点A、 点B,函数y=kx(k≠0)与y=-x+6的图象交于点P(2,m),如图所示. y=-x+6 (1)填空：k= ，m=; (2)求直线y=kx和直线y=一x十6与x轴所围成的三角形0AP的面积； (3)根据图象，直接写出不等式一x+6≥kx的解集. 63.(24-25八年级下·河南南阳·期末)定义：我们把一次函数y=kx+b(k≠0)与正比例函数y=x的 交点称为一次函数y=kx+b(k≠0)的闪光点”.例如求：y=2x一1的闪光点”：联立方程 (y=2x-1（x=1 y=x，解得y=1，则y=2x-1的闪光点"为(1,1) (1)由定义可知，一次函数y=-3x+2的“闪光点”为； (2)若一次函数y=mx+n的闪光点”为(3，n-1),求m、n的值： (3)若直线y=kx-3(k≠0)与x轴交于点A,与y轴交于点B,且直线y=kx-3上没有“闪光点”，若 点P为平面内一个动点，使得以点A、B、O、P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点 P的坐标 64.(24-25八年级下·河南安阳期末)如图，直线AB与x轴交于点A-3,0),与y轴交于点B(0,-2. 14/16 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求直线AB的表达式： (2)若直线AB上的点C在第二象限，且S△Boc=5,求点C的坐标. 65.（24-25八年级下河南南阳·期末)如图，在平面直角坐标系中，将☐0ABC沿过原点的直线折叠，点 A落在x轴上的点E处，折痕交AB边于点D,点B坐标为(11,4)，四边形DECB的面积为12. 0 E C (1)点D坐标为 (2)求直线DE解析式： (3)四边形OADE的形状为 ，请说明理由： (④)坐标平面内的点F使以点A、C、D、F为顶点的四边形构成平行四边形，请直接写出点F的坐标， 66.(24-25八年级下·河南商丘期末)如图，正比例函数y=6x的图像经过点A(m,6),直线AB经过点 A和点B(-3,-2) (I)求直线AB的解析式： (2)求△OAB的面积. 67.(24-25八年级下·河南商丘·期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与正比例函数 y=3x交于点C(1,m),且与坐标轴交于A(0,4)、B两点. 15/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 Y=3x B B衣 各用图 (I)求m的值及一次函数解析式： (2)求△BOC的面积； (3)在第一象限内是否存在点P,使得四边形0CPB为平行四边形，若存在请直接写出点P坐标，若不存在 请说明理由 68.(24-25八年级下·河南洛阳·期末)如图，直线1是一次函数y=kx+b的图象. 2 2 (1)求这个一次函数的解析式： (2)连接0A,求△AB0的面积； (3)根据图象直接写出0<kx十b≤2的解集. 16/16