专题04 特殊的平行四边形（8大考点）（期末真题汇编，河南专用）八年级数学下学期

**基本信息** 河南多地市八年级下期期末真题汇编，聚焦特殊平行四边形8大高频考点，涵盖矩形、菱形、正方形的性质应用、判定证明及折叠动态综合问题，适配期末复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约20题|矩形性质（如第1题）、菱形性质（如第26题）|基础巩固，结合几何直观考查性质应用| |填空|约15题|矩形折叠（如第13题）、正方形动态问题（如第45题）|能力提升，突出空间观念与分类讨论| |解答|约22题|菱形判定（如第36题）、正方形综合探究（如第55题）|创新应用，融合推理能力与跨情境探究，贴合期末命题趋势|

专题04 特殊的平行四边形 8大高频考点概览 考点01利用矩形的性质求解 考点02矩形与折叠问题 考点03证明四边形是矩形 考点04利用菱形的性质求解 考点05证明四边形是菱形 考点06 利用正方形的性质求解 考点07证明四边形是正方形 考点08正方形的性质与判定综合 1．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，在矩形中，是对角线，，延长到E，使，则的度数为（   ）地 城 考点01 利用矩形的性质求解 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，由矩形的性质可得，，，由平行线的性质和等腰三角形的性质可求，即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于O， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级下·河南三门峡·期末）如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形外角性质，直角三角形两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合矩形的性质得，根据等边对等角，直角三角形两个锐角互余，得，再运用三角形外角性质，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：连接，交于点，如图所示： ∵四边形是矩形 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级下·河南南阳·期末）已知，如图，O是矩形对角线的交点，平分，则的度数为____________． 【答案】30° 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及角平分线的性质，解题的关键是利用矩形的性质和等边三角形的判定与性质来求解角度． 先根据矩形性质得出相关角和边的关系，再结合角平分线性质推出三角形的特殊性质，最后计算出的度数． 【详解】解：四边形是矩形，， ， 是等边三角形， ， 平分， ， ， ， ． 4．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，在矩形中，，，，垂足为点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质得，根据勾股定理求出长，利用面积求出长，于是得到问题的答案． 此题重点考查矩形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，推导出，并且正确地求出的长是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， ， 于点， ， ， 故选：． 5．（24-25八年级下·河南南阳·期末）在矩形中，，点为的中点，取的中点，连接、，当为直角三角形时，的长为______． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，先证明，可得，，再分和两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴，， 当时，如图，则， ∴为等腰直角三角形， ∴； ②当时，如图，则， ∵点为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或， 故答案为：或． 6．（24-25八年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，．则的度数为______． 【答案】60度/ 【分析】本题考查矩形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和等边三角形的性质． 先利用矩形的性质得出，所以，得出是等边三角形，即，据此解答即可． 【详解】解：四边形是矩形，对角线，相交于点， ， ， 是等边三角形， ． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·河南南阳·期末）矩形对角线与相交于，若，则______． 【答案】2 【分析】本题主要考查矩形的性质，根据矩形的性质可求解． 【详解】解：矩形中，， ∴， 故答案为：2． 8．（24-25八年级下·河南许昌·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，平分交边于点．若，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据已知条件，易证是等边三角形，则，得，由勾股定理得，由平分交边于点，得，则，得，由即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 平分交边于点， ， ， ， ， 故选C． 9．（24-25八年级下·河南南阳·期末）在矩形中，，点为的中点，连接，取的中点，连接，当为直角三角形时，的长为__________． 【答案】1或 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质．先证明，可得，，，再分和两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴，，， 当时，如图，则， ∴和都为等腰直角三角形， ∴； ②当时，如图，则， ∵点为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴ ∴； 综上，的长为1或， 故答案为：1或． 10．（24-25八年级下·河南开封·期末）如图，在矩形中，，依据尺规作图的痕迹，则的度数是（   ）度． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，尺规作图作角平分线，尺规作图作垂线，角平分线的性质，平行线的性质．先根据矩形的性质得到，由作图痕迹得到，，则，最后根据平行线的性质作答即可． 【详解】解： 如图，∵矩形， ∴， 由作图痕迹可知平分， ∴， 由作图痕迹可知垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 11．（24-25八年级下·河南许昌·期末）如图，在矩形中，，平分，交于点，连接，恰好平分，的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，过点C作于点F，证明出是等腰直角三角形，得到，勾股定理求出，然后得到，证明出是等腰直角三角形，得到，勾股定理求出，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点C作于点F ∵在矩形中， ∴，， ∵平分 ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∵恰好平分，， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 12．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点垂直平分，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质． 由矩形的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，可证是等边三角形，可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴． 地 城 考点02 矩形与折叠问题 13．（24-25八年级下·河南信阳·期末）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，小亮同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②．请根据以上的操作，已知，，则线段的长是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质得，由折叠得，，所以四边形是正方形，则，而，则，所以，由，且，得，求得，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，推导出，并且求得是解题的关键． 【详解】解：如图①，四边形是矩形， ， 由折叠得， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， 如图②，，， ， ， 四边形是矩形， ， ， 由折叠得， ， ， ， 解得， ， 故选：C． 14．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，在矩形中，，，点为边上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的平分线上时，的长为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠问题和勾股定理，解题的关键是找出折叠前后相等的线段． 连接，过作，交于点，于点，作交于点，先利用勾股定理求出，再分两种情况利用勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接，过作，交于点，于点，作交于点， 点的对应点落在的角平分线上， ， 设，则， ， 又折叠图形可得， ，解得或， 即或． 在中，设， 当时，，，， ， 解得，即， 当时，，，， ， 解得，即． 故选：． 15．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，已知矩形纸片，，，点在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为______． 【答案】或3 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理的运用，掌握矩形与折叠的性质是关键． 根据矩形与折叠，分类讨论：如图所示，，点在线段上，为直角三角形；如图所示，，为直角三角形；数形结合分析是关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 如图所示，，点在线段上，为直角三角形， ∵将沿所在的直线折叠，连接， ∴，垂足为点，，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴，整理得，， 解得，， ∴； 如图所示，，为直角三角形， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴； 综上所述，当为直角三角形时，线段的长为或， 故答案为：或 ． 16．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）如图，将矩形纸片放入以所在直线为x轴，边上一点O为坐标原点的直角坐标系中，连结，将纸片沿折叠，使得点C落在边上点处，若，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质以及勾股定理的运用；解决问题的关键是运用勾股定理计算有关线段的长解题时注意方程思想的运用．依据折叠的性质以及勾股定理，即可得出的长，进而得到，再根据勾股定理可得，中，列方程求解即可得到，进而得出点C的坐标． 【详解】解：矩形纸片中，，， ∴， ， 中，， ， 设，则， 中，， ∴， 解得， ， 又点C在x轴上， 点C的坐标为， 故选：B． 17．（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，将矩形沿翻折，使点C的对应点与点A重合，点D的对应点为，若，则折痕的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形与折叠问题，勾股定理；过E点作交于点；根据矩形与折叠的性质求出，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：过E点作交于点； ∵为矩形，； ∴， 根据翻折得到： 设则， 在中，， 即， 解得：， ∴， 同理， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得， 故选：A． 18．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，在矩形中，是的中点，将沿直线折叠后得到，延长交于点．若，则______． 【答案】3 【分析】本题考查的是矩形折叠问题及勾股定理的应用，由折叠得，证明，得出，设，则，根据勾股定理列方程求出即可． 【详解】解：在矩形中，， ， 是的中点，将沿直线折叠后得到， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：3． 19．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）在矩形中，，，点P在边上，将沿着折叠，若点A的对应点恰落在矩形的对称轴上，则______． 【答案】或 【分析】此题考查了矩形折叠问题，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识，根据题意分两种情况讨论，如图，当点落在上时，得到，由折叠得到，，然后根据勾股定理求解即可；如图，当点落在上时，证明出是等边三角形，得到，然后得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】分两种情况：①如图，点M，N分别是，的中点，当点落在上时， 则直线是矩形的对称轴， ∴四边形，是矩形， ∴， ∵将沿着折叠得到， ∴，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得： ∴； ②如图，点H，Q分别是，的中点，当点落在上时，连接， 则直线是矩形的对称轴， ∴四边形，是矩形， ∴， ∴ 由折叠得， ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴由折叠得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 综上所述：的长为或． 故答案为：或． 20．（24-25八年级下·河南开封·期末）数学活动课上，兴趣小组以“矩形折叠”为主题开展探究活动，矩形纸片，，． 操作一：对折矩形纸片，使与重合，折痕为； 操作二：再次对折，使矩形纸片的边与重合，展开纸片，得到两条折痕和； 操作三：在上取一点P，把沿折叠，使点A落在矩形内部点R处，把纸片展平，连接． (1)特例探究 如图①，当时，与的数量关系为________． 延长交于点Q，如图②，与的数量关系为________． (2)深入探究 如图③若改变点P在上的位置，把沿折叠，点A的对应点为点R，延长交于点Q，请判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 当时，把沿折叠，点A的对应点为点R，延长交于点Q，直接写出的长． 【答案】(1)； (2)，见解析 (3)2或 【分析】（1）由折叠的性质可得，利用直角三角形的性质即可得到答案；再连接，由折叠的性质得到，结合，易证，即可得出结论； （2）同理（1）得，即可得出结论； （3）分点P在点上方和下方两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵矩形纸片，，， ∴，， ∵， 由折叠的性质可得， 在中， ∴； 连接， 由折叠的性质得到， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解：，理由如下： 连接， 同理（1）得， ∴； （3）解：由折叠的性质得，， 当点P在点上方时，如图： ∵， ∴，， ∴， 设，则， 由（2）知， 在中，， ∴， 解得：，即； 当点P在点下方时，如图： 同理得：， 设，则， 由（2）得， 在中，， ∴， 解得：，即； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识．熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键． 地 城 考点03 证明四边形是矩形 21．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）如图，要使成为矩形，则可添加一个条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解答本题的关键．由矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：根据矩形的判定方法， A、添加，根据邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到平行四边形为矩形，所以本选项错误，不符合题意； B、添加，不能得到平行四边形为矩形，所以本选项错误，不符合题意； C、由平行四边形的性质得到，添加多余，不能得到平行四边形为矩形，所以本选项错误，不符合题意； D、添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形，能得到平行四边形为矩形，所以本选项正确，符合题意； 故选：D． 22．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，已知四边形是平行四边形，下列条件中能判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形是矩形逐一判断即可． 【详解】解： A、，能判定为菱形，不能判定为矩形，本选项不符合题意； B、，能判定为矩形，本选项符合题意； C、，能判定为菱形，不能判定为矩形，本选项不符合题意； D、，不能判定为矩形，本选项不符合题意； 故选：B． 23．（24-25八年级下·河南许昌·期末）如图，的对角线，相交于点，，．请从下面三个选项中，选择一个作为条件，使是矩形：①；②；③． (1)你添加的条件是_____；（填序号） (2)在（1）的条件下，求证：是矩形． 【答案】(1)①或②或③ (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，矩形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）选一个条件即可； （2）利用平行四边形的性质结合三角形全等的判定与性质证明即可． 【详解】（1）解：①或②或③； （2）证明：选①， ，， ， 在和中，， ， ． 四边形为平行四边形， ，， ，即， 四边形是矩形； 选②， 证明：，， ， 在和中，， ， ∴ ∴． 四边形为平行四边形， ，， ，即， 四边形是矩形． 选③， 证明：四边形为平行四边形， ，，，． ，， 在和中，， ， ， ， ， ， ． ，， ，即， 四边形是矩形． 24．（24-25八年级下·河南开封·期末）如图，小明能用一根绳子检查一个书架的侧边与上、下底垂直，他的依据是（   ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定． 【详解】解：小明用一根绳子检查一个书架的侧边与上、下底垂直，推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形． 故选：C． 25．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，为的外角的平分线，，垂足为F，点D为上一点，连接，交于点O．在不添加新的辅助线的前提下，请补充一个条件：__________，使得四边形为矩形，并说明理由． 【答案】补充条件（答案不唯一），理由见解析 【分析】本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题关键．补充条件，理由：先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的判定可得，最后根据矩形的判定即可得． 【详解】解：补充条件，理由如下： ， ， ∴， ∵为的外角的平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 地 城 考点04 利用菱形的性质求解 26．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，在菱形中，，，过菱形的对称中心分别作边、的垂线，交各边于点、、、，则四边形的周长为______． 【答案】/ 【分析】 先证明 ，从而证明是等边三角形，求出，同理可证，，都是等边三角形，然后求出，，即可． 【详解】解：连接，， 四边形是菱形，， ，，， ， ，， ，， ， 在中，，， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， 同法可证，，，都是等边三角形， ，， 四边形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 27．（24-25八年级下·河南漯河·期末）若菱形较小的内角是，较短的一条对角线长是2，则该菱形的周长是（　　） A．8 B． C． D．16 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 由菱形较小的内角为且较短对角线长为2，可知该对角线将菱形分成两个等边三角形，从而菱形的边长等于对角线长，进而求得周长． 【详解】解：如图 在菱形中，有，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选A． 28．（24-25八年级下·河南新乡·期末）在菱形中，对角线、相交于点O，，，点P为线段上一动点（含端点），若为等腰三角形，则的长为______． 【答案】5或8或 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握相关知识点，会分类讨论是解题的关键； 根据四边形是菱形，得，再用勾股定理推出，根据为等腰三角形， 分或或，结合勾股定理求解，综合可得结果． 【详解】四边形是菱形，， ，， ， 若为等腰三角形，则或或， 又点P为线段上一动点， 当时，点P与点C重合，； 当时，如图1，； 当时，如图2， 设，则， 在中，， 由勾股定理得，， 即，解得； 综上可知，的长为5或8或． 故答案为：5或8或． 29．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）如图，在菱形中，，，是对角线上的一个动点，过点作交直线于点，交直线于点，将沿折叠，使点落在射线上的点处，连结．当是以为顶角的等腰三角形时，的长为______． 【答案】或 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，折叠的性质，掌握菱形的判定和性质是关键． 根据菱形，折叠的性质可证四边形是菱形，得到，根据点的运动，分类讨论：当点在线段上时；当点在射线上时；数形结合分析即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，平分，即， ∵，将沿折叠，使点落在射线上的点处， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形， ∴， 当点在线段上时，，是以为顶角的等腰三角形， ∴， ∴； 当点在射线上时，，是以为顶角的等腰三角形，如图所示， 同理，四边形是菱形，， ∵， ∴； 综上所述，当是以为顶角的等腰三角形时，的长为或， 故答案为：或 ． 30．（24-25八年级下·河南新乡·期末）如图，菱形的顶点A在轴上，于点．将菱形沿折叠，点的对应点为，连接．若，且点的横坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点的横坐标为，可得，则可求得，即可得到点坐标． 【详解】解：记交轴于点， 由折叠的性质得， 四边形为菱形，， ，， ， ， ， 点的横坐标为， ， ， ， ， 则点的坐标为． 31．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，在菱形中，，，动点E、F分别在线段上，且，则____________，的最小值为____________．    【答案】 【分析】连接，过点作于，先证明、都是等边三角形，得到，进而证明得到，进一步证明是等边三角形，得到，则当与重合时，此时最小，即最小，最小值为，利用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于，    ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴、都是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当与重合时，此时最小，即最小，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理以及最小值等知识，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 32．（24-25八年级下·河南许昌·期末）如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则菱形的面积为（   ） A．12 B．15 C．20 D．24 【答案】D 【分析】本题主要考查了求菱形的面积，菱形的面积等于其对角线乘积的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，对角线，相交于点，若，， ∴， 故选：D． 33．（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点．点P和点E分别为上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查轴对称中的光线反射问题（最短线路问题），菱形的性质，角平分线的性质，垂线段最短，勾股定理，利用菱形的性质求面积，学会利用垂线段最短解决最短线路问题是解题的关键． 【详解】解：过作于交于点，过作于点， ∵四边形是菱形， ∴且、互相平分，平分， ∴， ∵垂线段最短， ∴，即的最小值为线段的长度， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：， ∴， ∴， ∴的最小值． 故答案为：． 34．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，菱形的两条对角线相交于点O，若菱形的周长为，，则菱形的面积是（   ） A．12 B．24 C．40 D．48 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，先根据菱形的对角线互相垂直平分得到，则由勾股定理可得，进而得到，最后根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，且菱形的周长为20， ∴， ∵菱形的两条对角线相交于点O，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 故选：B． 35．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，菱形的对角线的长分别为6和是对角线上的任意一点（点不与点重合），且交于点交于点，连接，则阴影部分的面积是（　　） A．24 B．20 C．12 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质与判定，根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求出菱形的面积，进而可得，可证四边形是平行四边形，可得，进而可证明阴影部分面积． 【详解】解：菱形的对角线的长分别为6和8， 菱形的面积，，， ， ，， ∴， 四边形是平行四边形， ， 阴影部分的面积， 故选：C． 地 城 考点05 证明四边形是菱形 36．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）如图，在矩形中，点是对角线的中点，过点作直线交于点，交于点，连接、． (1)请你判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键． （1）由“”可证，可得，再根据可证四边形是平行四边形，再结合可得结论； （2）由勾股定理列式可求的长，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 四边形是矩形， ， ． 点是的中点， ， 在和中， ， ≌， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴． 37．（24-25八年级下·河南周口·期末）如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、 (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由可证 ，可得，可证四边形是平行四边形，即可求解； （2）由勾股定理可求的长，由菱形的性质可得，由菱形的面积公式可求解． 【详解】（1）证明：为矩形， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：垂直平分， ， ， 四边形是菱形， ， 四边形的面积 38．（24-25八年级下·河南许昌·期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若矩形中，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)24 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握相关知识点是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质得到，即可证明； （2）根据勾股定理求得，求出，根据矩形的对角线相等且互相平分得到，再由菱形是轴对称图形得到． 【详解】（1）证明：∵，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 四边形是菱形； （2）解：矩形中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 39．（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图，在矩形中，是对角线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线，分别交，于点，（保留作图痕迹，不写作法）． (2)证明（1）中得到的四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了垂直平分线的作法、垂直平分线的性质、矩形的性质、菱形的证明等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接运用尺规作垂直平分线即可； （2）由矩形的性质可得，则．在由垂直平分线的性质可得、，进而得到，易证四边形是平行四边形．再结合即可证明结论． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）证明：四边形为矩形， ， ． 由作图：的垂直平分线是， ∴，， ，， ， ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． 40．（24-25八年级下·河南新乡·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点，，． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键； （1）先证明四边形为平行四边形，再根据矩形的性质，得到，即可得出结论； （2）证明四边形为平行四边形，得到，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， ∴， ， 四边形为菱形； （2）解：如图， 由（1）知：四边形为菱形， ， 又在矩形中， ， 又 ， 四边形为平行四边形， 41．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，已知在平行四边形中，平分交于点E，点F在上，，连接交于点O，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理， （1）根据平行四边形得，有，由角平分线得，则有，进一步得，即可证明菱形； （2）由菱形的性质得和，利用勾股定理求得，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵平分， ， ， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ， 是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ， ∴， ， ， ， ∴的长为5． 42．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，为等腰三角形，．将沿直线向右平移到的位置． (1)连接，请判断四边形的形状，并说明理由． (2)连接，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，见解析 (2)8 【分析】本题考查了勾股定理、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、平移的性质等知识，熟练掌握勾股定理和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）由平移的性质得，，再证明四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）设交于点O，由菱形的性质得出，，，再由勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 由平移的性质可知， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：平移可知， ． 由（1）知四边形是菱形， ， ， 在中，根据勾股定理得， 的长为8． 地 城 考点06 利用正方形的性质求解 43．（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，若点，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形．过点作轴，过点作轴，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证：，，又因为点在第一象限，所以可知点的坐标是． 【详解】解：如下图所示，过点作轴，过点作轴， 点的坐标是， ，， 四边形为正方形， ，， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， 点的坐标是． 故选：A． 44．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图是一块大正方形地板砖，其图案是由四个全等的五边形和一个小正方形组成，若大正方形地板砖的边长为，是的中点，则图案中小正方形的边长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、一元一次方程的应用等知识，推导出是解题的关键． 设，、、为大正方形的三个顶点，、为五边形的顶点，因为大正方形由四个全等的五边形和一个小正方形组成，大正方形的边长为，所以，，，，则四边形是矩形，所以，，可证明，由，得，则，求得，所以小正方形的边长为，于是得到问题的答案． 【详解】解：设，、、为大正方形的三个顶点，、为五边形的顶点，则， 大正方形由四个全等的五边形和一个小正方形组成，大正方形的边长为， ，，，， 四边形是矩形， ，， ，，且， ， ， ， 是的中点， ， ， 解得， 小正方形的边长为， 故选：B． 45．（24-25八年级下·河南开封·期末）如图，正方形的对角线交于点，点是直线上一动点．若，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理．作点关于直线的对称点，再连接，运用两点之间线段最短得到为所求最小值，再运用勾股定理求线段的长度即可． 【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，再连接，其与的交点即为点，再作交于点， ∵与关于对称， ∴，，当且仅当，，在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时， ∵正方形，点为对角线的交点， ∴， ∵与关于对称， ∴， ∴， 在中，， 即：的最小值为． 故答案为：． 46．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，在正方形中，点E在边上，连接，过点D作于点F，过点B作于点G，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 由正方形的性质得，再证明，根据证明，得，，从而可求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：C． 47．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）如图①是第24届国际数学家大会的会徽，其示意图如图②，其是由四个全等的直角三角形构成．若，正方形的面积为68，则正方形的面积为______． 【答案】8 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次根式的应用，全等三角形的性质等知识，由正方形的面积为68，，设，则，根据勾股定理求出，进而求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的面积为68， ∴， 设， ∵， ∴， 在中，， ∴， 整理得：， 解得：（负值已舍去）， ∴，， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∴正方形的面积为， 故答案为：8． 48．（24-25八年级下·河南鹤壁·期末）如图所示，已知正方形的面积为2，点、在对角线上且，若四边形的面积为1，则_______． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，菱形的判定和性质，设正方形的对角线交于点，根据正方形的对角形相等且垂直平分，面积等于对角线乘积的一半，求出的长，证明四边形为菱形，根据菱形的面积公式求出的长即可． 【详解】解：设正方形的对角线交于点， 则：，，， ∴正方形的面积， ∴（负值舍去）； ∵，， ∴， ∴，互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∴四边形的面积， ∴； 故答案为：1． 地 城 考点07 证明四边形是正方形 49．（24-25八年级下·河南商丘·期末）已知四边形为平行四边形，从下列条件中：①；②；③；④，任选其中两个，不能判定四边形为正方形的组合是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查正方形的判定方法：先判定四边形是菱形，再判定四边形是矩形；或先判定四边形是矩形，再判定四边形是菱形；那么四边形一定是正方形；根据正方形的判定方法解答即可． 【详解】解：选项A（①②）： 条件①：平行四边形邻边相等，说明是菱形， 条件②：同理，邻边相等，仍为菱形， 两条件均使四边形为菱形，但无法保证存在直角，故不能判定为正方形； 选项B（②③）： 条件②使平行四边形为菱形， 条件③（对角线相等）使平行四边形为矩形，故能判定四边形为正方形； 选项C（①④）： 条件①使平行四边形为菱形， 条件④：菱形邻角互补，又相等则每个角为，故能判定四边形为正方形； 选项D（②④）： 条件②使平行四边形为菱形， 条件④同理使每个角为90°，故能判定四边形为正方形； 故选：A． 50．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，平行四边形的对角线交于点O，分别过点C、D作，连接交于点E． (1)求证：． (2)用“矩形、菱形、正方形”填空： ①当满足时，四边形为____________； ②当满足时，四边形为____________； ③当满足时，四边形为____________． 【答案】(1)见解析 (2)①菱形；②矩形；③正方形 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形，正方形和矩形的判定，熟练掌握相关判定方法，是解题的关键： （1）先证明四边形是平行四边形，得到，平行四边形的性质，推出，利用证明即可； （2）①根据斜边上的中线，得到，即可得出结论；②根据三线合一，得到，即可得出结果；③根据①②即可得出结果． 【详解】（1）证明：， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） ， ，                             ∵平行四边形的对角线交于点O， ， ， ； （2）由（1）知：四边形为平行四边形， ∵平行四边形的对角线交于点O， ∴为的中点， ①当满足时，则：， ∴四边形为菱形； ②当满足时，则：， ∴， ∴四边形为矩形； ③当满足时，由①②可知，四边形为正方形． 51．（24-25八年级下·河南漯河·期末）如图，在矩形中，平分交边于点．过点作交边于点．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查矩形的性质，正方形的判定，等腰三角形的判定．由矩形可得，，又，得到矩形，根据平行线的性质与角平分线的定义得到，进而，得证矩形是正方形． 【详解】证明：∵在矩形中，，， 又， ∴四边形是矩形． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． 52．（24-25八年级下·河南开封·期末）我们可以将命题：“三角形两边中点的连线平行于第三边，且等于第三边的一半”做如下推理： 已知：如图，在中，，分别是，的中点， 求证：，且． 证明：过点作的平行线交的延长线于点，即， ______， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形，______ ，，______ ，； （1）请在上面括号内标注理由； 【知识应用】请直接利用命题结论解决（2）（3）小题： （2）如图，已知点、、、是四边形各边中点，，，求证：四边形为正方形． （3）请利用图的结论解决图问题：在平行四边形中，，，，点、分别是边，上的动点，连接，，点是上的中点，点是上的中点，连接，直接写出的最大值与最小值的差． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对边平行且相等；（2）见解析；（3） ． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，正方形的判定，三角形中位线定理，能够作出适当的辅助线是解题的关键． （1）由平行四边形的判定与性质可得出结论； （2）证出，同理：，得出，则四边形是平行四边形，由正方形的判定可得出结论； （3）连接，过点作，垂足为，根据三角形中位线定理得出，再由勾股定理分别求出的长度即可求解． 【详解】（1）证明：过点作的平行线交的延长线于点，即， 两直线平行，内错角相等， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ，，平行四边形的对边平行且相等 ，； 故答案为：两直线平行，内错角相等；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对边平行且相等； （2）证明：点、是、的中点， ， 同理：， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形为正方形． （3）解：的最大值与最小值的差为． 连接，过点作，垂足为， 点是上的中点，点是上的中点， 为的中位线， ， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 的最大值为，最小值为， 的最大值与最小值的差为． 地 城 考点08 正方形的性质与判定综合 53．（24-25八年级下·河南新乡·期末）如图，在矩形中，，，将沿折叠，使点B落在F处，当为直角三角形时，的长为________． 【答案】6或3 【分析】本题考查的是折叠变换的性质，掌握折叠变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．当为直角三角形时，需要分类讨论：分与两种情况，通过勾股定理列方程求解． 【详解】解：当时，三点共线， 设长为x，则， 由翻折可得，， 由勾股定理的， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 当时，四边形为正方形， ∴， 故答案为：6或3． 54．（24-25八年级下·河南信阳·期末）在物理学中，测量是科学研究和日常生活中获取物理量信息的重要手段．数学与物理联系紧密，在数学社团课上，老师让同学们以测量的方式来研究“三角板的平移” (1)【操作探究】 操作一：将两个全等的等腰直角三角板的两条斜边重合，按如图①所示的方式放置； 操作二：将三角板沿方向平移至图②的位置．此时点与点不重合，且． 操作三：测量图②中与的长度． 根据以上操作，填空： 图②中与的数量关系是________．四边形的形状是_______． (2)【类比探究】 小安将两个等腰直角三角板换成两个的直角三角板继续探究（如图③），已知三角板的直角边的长为，过程如下：将三角板按（1）中的方式操作，如图③，在平移过程中，四边形的形状是否能为菱形？若不能，请说明理由；若能，请求出此时的长． (3)【拓展探究】 在（2）的探究过程中，当为等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)，平行四边形 (2) (3)的长为或 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，平移的性质，利用等腰三角形的性质分类讨论是解题的关键． （1）由平移的性质可得，可得结论； （2）先证四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，即可求解； （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：∵和是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵将三角板沿方向平移， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：，平行四边形； （2）能．连接， ∵， ∴， ∵将三角板沿方向平移， ∴． ∴四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是菱形， ∵， ∴此时是等边三角形． ∴， ∴； （3）当时，为等腰三角形，如图， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ， ， 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形， 如图，过点B作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴不合题意舍去， 综上所述：的长为或． 55．（24-25八年级下·河南新乡·期末）【问题情境】小明在期末复习时，遇到了这样一个问题：如图1，在正方形中，点分别在边上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）请直接判断：(填“=”或“”)； 在“问题情境”的基础上，小明继续探索以下问题： 【探究活动1】 （2）如图2，在正方形中，点分别在边和上，且，垂足为．那么与相等吗？证明你的结论； 【探究活动2】 （3）如图3，在（2）的条件下，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处． ①四边形是正方形吗？请说明理由； ②如图4，点在上，若，且，直接写出的最小值为___________． 【答案】（1）（2），理由见详解，（3）①是，理由见详解；② 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）过点作，证明，由此可得； （3）①连接，证明，所以；由折叠可知，，由四边形内角和和平角的定义可得，所以，则，所以四边形是菱形，再由“有一个角是直角的边形是正方形”可得结论； ②作交的延长线于点，作交于点，可证，由此可得，易证为等腰直角三角形，所以，则，可得，；作点关于的对称点，则，可得，求出的值即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 如图，过点作，交于点，交于点， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）①是，理由如下： 连接． 由（2）的结论可知：． ∵四边形是正方形， ， 在和中， ， ∴， ， 由折叠可知：． ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为菱形， 又∵， ∴四边形为正方形． ②作交的延长线于点，作交于点． ， ， ，， ， ，． ，， 为等腰直角三角形， ， ． ， ，， 作点关于的对称点，则，， ． 作交的延长线于点， 则， ， 的最小值， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的判定和性质，正方形的性质和判定，折叠的性质，轴对称的性质等，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 56．（24-25八年级下·河南安阳·期末）数学活动课上，老师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动． 将直角的顶点放在正方形的对角线上（点不与点、重合）其中直角边与交于点，直角边与交于点． (1)发现： 如图1，当与垂直时，线段和的数量关系是______；四边形的形状是______； (2)探究 如图2，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化，若变化，请写出新的数量关系；若不变，请给出证明； (3)拓展： 当与不垂直时，以为邻边构造矩形，连接，请直接写出的度数． 【答案】(1)；正方形 (2)的结论不变，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由正方形的性质得到，平分，又，，得到四边形是矩形，因此，根据角平分线的性质可得,则可证明四边形是正方形； （2）过点作于点，作于点．由正方形得到，平分，因此四边形是矩形，．进而有，从而，进而证得，得证； （3）分情况讨论：过点作于点，作，交的延长线于点，证得，得到，根据角平分线的判定得到平分；连接，过点作于点，过点作交延长线于点，，矩形是正方形，即可作答． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，平分， ，， ， 四边形是矩形， ∴ ， 四边形是正方形； （2）解：的结论不变，理由如下： 如图所示，过点作于点，于点， ， 四边形是正方形， ，平分， 四边形是矩形，， ， ， ， 即， ， ； （3）解：过点作于点，作，交的延长线于点， 则， 由（2）有，且四边形是矩形， 四边形是正方形， ，， 在四边形中，， 即， ， ， ， ， ， ，， 平分， 四边形是正方形， ， ， ， 的度数为； 如图，连接，过点作于点，过点作交延长线于点， ， 四边形是矩形， ∴， 又， ， ， ， ∴， 又∵，， ， ， 矩形是正方形， 是对角线， ， 的度数为或． 【点睛】本题是正方形综合题，考查正方形的判定及性质，角平分线的判定，全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用相关知识． 57．（24-25八年级下·河南新乡·期末）如图1，E，F，G，H分别是矩形各边的中点，连接交于点M，连接交于点N，将四边形称为矩形的“中顶点四边形”． (1)求证：中顶点四边形为平行四边形． (2)如图2，连接交于点O，可得M，N两点都在上，当中顶点四边形是菱形时，试判断矩形中与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)（或），理由见解析 【分析】本题主要查了平行四边形的判定，正方形的判定，勾股定理： （1）根据矩形的性质以及中点的定义，可证明四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，即可求证； （2）根据菱形的定义可得，可得到矩形是正方形，再由勾股定理解答，即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ． 点分别是矩形各边的中点， ， 四边形为平行四边形． 同理四边形为平行四边形， ， 四边形是平行四边形． （2）解：（或） 理由：∵中顶点四边形是菱形， ∴，即． 四边形是矩形， 矩形是正方形， ∴ 由勾股定理，得． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 专题04 特殊的平行四边形 ☆8大高频考点概览 考点01利用矩形的性质求解 考点02形与折叠问题 考点03证明四边形是矩形 考点04利用菱形的性质求解 考点05证明四边形是菱形 考点06利用正方形的性质求解 考点07证明四边形是正方形 考点08正方形的性质与判定综合 目目考点 利用矩形的性质求解 1.(24-25八年级下河南洛阳·期末)如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，∠ADB=38°，延长CB到 E,使CE=BD,则∠AEC的度数为() B A.38 B.52° C.62° D.71 2.(24-25八年级下·河南三门峡期末)如图，延长矩形ABCD的边DC至点E,使CE=BD,连接AE, 若∠DBC=a,则∠E的度数是() B A.45°-号 B.30°+号 C. D.a-45 3.(24-25八年级下·河南南阳·期末)已知，如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分 ∠BAD,∠A0D=120°，则∠AE0的度数为 B 4.(24-25八年级下·河南洛阳期末)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,BE⊥AC,垂足为点E 1/17 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 ,则BE=() B C A.2.4 B.2.5 C.2.6 D.2.7 5.(24-25八年级下·河南南阳·期末)在矩形ABCD中，AB=2,点E为CD的中点，取AE的中点F,连 接BE、BF,当△BEF为直角三角形时，BC的长为 6.(24-25八年级下·河南省直辖县级单位·期末)如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, AB=4,OD=4.则∠A0B的度数为. D B 7.(24-25八年级下·河南南阳·期末)矩形ABCD对角线AC与BD相交于0，若AC=4,则0D= 8.(24-25八年级下·河南许昌·期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0，AE平分 ∠BAD交BC边于点E.若AB=OB=2,则EC的长为() D B A.2y5 B.2 C.25-2 D.2W5-1 9.(24-25八年级下·河南南阳期末)在矩形ABCD中，AB=2,点E为AB的中点，连接DE,取DE的 中点F,连接CE,CF,当△CEF为直角三角形时，BC的长为 10.(24-25八年级下·河南开封期末)如图，在矩形ABCD中，∠a=67·,依据尺规作图的痕迹，则 ∠ACB的度数是()度. 2/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.66 B.67 C.68 D.69 11.(24-25八年级下·河南许昌期末)如图，在矩形ABCD中，AB=2,BE平分∠ABC,交AD于点E 连接EC,EC恰好平分∠BED,DE的长为() A E D A.2-2 B.2-1 c.2 D.22-2 12.(24-25八年级下·河南信阳期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0，AE垂直平分 OD,AD=2,求BE的长. D B 目目 考点02 矩形与折叠问题 13. (24-25八年级下·河南信阳期末)在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，小亮同学进行了如下操 作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折叠出一个正方形ABEF,然后把纸片展平；第二步： 将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕MN,如图②.请根据以上的操作，已知 AB=8,AD=12,则线段BM的长是() D B B M 图① 图② 3/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.1 B. C.2 D.月 14.(24-25八年级下·河南洛阳·期末)如图，在矩形ABCD中，AD=5,AB=7,点E为边DC上一个动 点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D落在∠ABC的平分线上时，DE的长为() B A. B.3 C.2 D.或 15.(24-25八年级下·河南南阳·期末)如图，已知矩形纸片ABCD,AB=10,BC=6,点P在边BC上， 连接AP,将△ABP沿AP所在的直线折叠，点B的对应点为B',把纸片展平，连接BB,CB,当 △BCB为直角三角形时，线段CP的长为 D 16.(24-25八年级下河南驻马店·期末)如图，将矩形纸片ABCD放入以BC所在直线为x轴，BC边上一 点O为坐标原点的直角坐标系中，连结OD,将纸片ABCD沿OD折叠，使得点C落在AB边上点C处，若 AB=5,BC=3,则点C的坐标为() B O A.（0,) B.(30) C.（o,等) D.(等，0) 17.(24-25八年级下·河南安阳期末)如图，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对应点与点A重合，点 D的对应点为D,若AD=9cm,AB=3cm,则折痕EF的长为() 4/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A.10 cm B.8cm C.2cm D.33cm 18,(24-25八年级下·河南信阳期末)如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折 叠后得到△GBE,延长BG交CD于点F.若AB=8,BC=45,则DF= G B 19.(24-25八年级下·河南洛阳·期末)在矩形ABCD中，AB=5cm,AD=8cm,点P在边AD上，将 △ABP沿着BP折叠，若点A的对应点A恰落在矩形ABCD的对称轴上，则AP= cm A B 20.(24-25八年级下河南开封期末)数学活动课上，兴趣小组以“矩形折叠”为主题开展探究活动，矩形 纸片ABCD,AB=6,AD=8. 操作一：对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合，折痕为EF; 操作二：再次对折，使矩形纸片EFCD的边EF与CD重合，展开纸片，得到两条折痕GH和MN; 操作三：在AG上取一点P,把△ABP沿BP折叠，使点A落在矩形ABCD内部点R处，把纸片展平，连 接BRPB,PR D G H G G H G R EP F P P M M M R 图① 图② 图③ 备用图 (1)特例探究 5/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 如图①，当∠ABP=30°时，PR与PB的数量关系为 延长PR交GH于点Q,如图②，QR与QH的数量关系为 (2)深入探究 如图③若改变点P在AG上的位置，把△ABP沿BP折叠，点A的对应点为点R,延长PR交GH于点Q, 请判断QR与QH的数量关系，并说明理由. (3)拓展应用 当PM=1时，把△ABP沿BP折叠，点A的对应点为点R,延长PR交GH于点Q,直接写出QH的长， 目目 考点03 证明四边形是矩形 21.(24-25八年级下·河南驻马店期末)如图，要使☐ABCD成为矩形，则可添加一个条件是() B A.AB=AD B.AB=AC C.AD=BC D.AC=BD 22.(24-25八年级下·河南洛阳·期末)如图，己知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中能判定 口ABCD为矩形的是() A.AB=BC B.AC=BD C.AC⊥BD D.AB⊥BD 23.(24-25八年级下·河南许昌期末)如图，☐ABCD的对角线AC,BD相交于点0，AE⊥BD, DF⊥AC.请从下面三个选项中，选择一个作为条件，使□ABCD是矩形：①AE=DF;②AF=DE: ③BE=CF. D E B (1)你添加的条件是；（填序号） 6/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (2)在(1)的条件下，求证：□ABCD是矩形. 24.(24-25八年级下·河南开封期末)如图，小明能用一根绳子检查一个书架的侧边与上、下底垂直，他 的依据是() A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形B.对角线相等的四边形是矩形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.有三个角是直角的四边形是矩形 25.(24-25八年级下·河南南阳期末)如图，在△ABC中，AB=AC,AG为△ABC的外角∠BAE的平 分线，BF⊥AG,垂足为F,点D为BC上一点，连接DF,交AB于点O.在不添加新的辅助线的前提下， 请补充一个条件： ,使得四边形AFBD为矩形，并说明理由. E GF 目目 考点04 利用菱形的性质求解 26. (24-25八年级下·河南洛阳·期末)如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠A=120°，过菱形ABCD的 对称中心O分别作边AB、BC的垂线，交各边于点E、F、G、H,则四边形EFGH的周长为 A E H G 27.(24-25八年级下·河南漯河期末)若菱形较小的内角是60°，较短的一条对角线长是2，则该菱形的周 长是() A.8 B.4V5 C.4+23 D.16 28.(24-25八年级下·河南新乡·期末)在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AC=8,BD=6 ,点P为线段AC上一动点（含端点），若△PAB为等腰三角形，则AP的长为一 7/17 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 B OP D 29.(24-25八年级下·河南驻马店期末)如图，在菱形ABCD中，AB=5,AC=8,P是对角线AC上的 一个动点，过点P作EF⊥AC交直线AD于点E,交直线AB于点F,将△AEF沿EF折叠，使点A落在射 线AC上的点A处，连结AD·当△ACD是以∠ACD为顶角的等腰三角形时，AP的长为 30.(24-25八年级下·河南新乡期末)如图，菱形ABC0的顶点A在x轴上，CD⊥AB于点D.将菱形 ABCO沿CD折叠，点B的对应点为B',连接CB.若∠B=45°，且点B的横坐标为-2，则点B的坐标 为() YA B A.（-2V2-2,2) B.（-22+2,2)C.（-2-2,4)D.(-4V2) 31.(24-25八年级下河南南阳期末)如图，在菱形ABCD中，∠ADC=120°，AB=2,动点E、F分 别在线段AB、BC上，且BE=CF,则∠EDF= EF的最小值为 F B 32.(24-25八年级下，河南许昌·期末)如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0，若 AC=6,BD=8,则菱形ABCD的面积为() 8/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A D B A.12 B.15 C.20 D.24 33.(24-25八年级下·河南安阳·期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点 O,AC=63,BD=8V3.点P和点E分别为BD,CD上的动点，则PE+PC的最小值为 34.(24-25八年级下·河南南阳·期末)如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O,若菱形的周长为20， AC=8,则菱形的面积是() D A.12 B.24 C.40 D.48 35.(24-25八年级下·河南南阳·期末)如图，菱形ABCD的对角线的长分别为6和8，G是对角线AC上的 任意一点（点G不与点A,C重合），且GE‖BC交AB于点E,GF‖CD交AD于点F,连接EF,则阴影部 分的面积是() B A.24 B.20 C.12 D.10 目目 考点05 证明四边形是菱形 36.(24-25八年级下·河南驻马店期末)如图，在矩形ABCD中，点0是对角线AC的中点，过0点作直线 9/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EF⊥AC交AD于点E,交BC于点F,连接CE、AF. E/ (①)请你判断四边形AFCE的形状，并说明理由； (2)若AB=6,BC=12,求四边形AFCE的面积. 37.(24-25八年级下·河南周口·期末)如图，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分 别交于点E、F, D (I)求证：四边形AFCE是菱形. (2)若AE=5,AC=8,求四边形AFCE的面积. 38.(24-25八年级下河南许昌·期末)如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AEBD, EDIAC. E B C (I)求证：四边形AODE是菱形； (2)若矩形ABCD中，AB=6,AC=10,求四边形AODE的面积. 39.(24-25八年级下·河南商丘期末)如图，在矩形ABCD中，AC是对角线. 10/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (I)请用无刻度的直尺和圆规作AC的垂直平分线，分别交AB,CD于点M,N(保留作图痕迹，不写作法)· (2)证明(1)中得到的四边形ANCM是菱形 40.(24-25八年级下·河南新乡·期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,DGAC, CGBD. C D (I)求证：四边形0CGD为菱形； (2)连接0G,若BC=18,求0G的长. 41.(24-25八年级下·河南南阳·期末)如图，已知在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E, 点F在AD上，AF=AB,连接BF交AE于点O,连接EF. F O B (I)求证：四边形ABEF是菱形； (2)若BF=8,AE=6,求CD的长. 42.(24-25八年级下·河南南阳·期末)如图，△ABC为等腰三角形，BA=BC=5,AC=6.将 △ABC沿直线BC向右平移到△DCE的位置. D B C (I)连接AD,请判断四边形ABCD的形状，并说明理由. (2)连接BD,求BD的长. 11/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点06 利用正方形的性质求解 43.(24-25八年级下河南商丘期末)如图，在平面直角坐标系中，四边形0ABC为正方形，若点 C(-1,2),则点A的坐标为() A.(2,1) B.(1,2) C.(1,3) D.(3,1) 44.(24-25八年级下·河南洛阳·期末)如图是一块大正方形地板砖，其图案是由四个全等的五边形和一个 小正方形组成，若大正方形地板砖的边长为4dm,A是0E的中点，则图案中小正方形的边长为() D A B A.1dm B V2dm C.v3dm D.2dm 45.(24-25八年级下·河南开封期末)如图，正方形ABCD的对角线交于点0，点E是直线BC上一动点.若 AB=6,则AE+OE的最小值是 D B 46.(24-25八年级下·河南南阳·期末)如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，连接CE,过点D作 DF⊥CE于点F,过点B作BG⊥CE于点G,若BG=3,DF=9,则FG的长为() C B E A.4 B.5 C.6 D.11 12/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 47.(24-25八年级下，河南驻马店·期末)如图①是第24届国际数学家大会的会徽，其示意图如图②，其是 由四个全等的直角三角形构成.若AH:DH=5:3,正方形ABCD的面积为68，则正方形EFGH的面积 ① ② 48.(24-25八年级下·河南鹤壁·期末)如图所示，已知正方形ABCD的面积为2，点E、F在对角线AC上 且AE=CF,若四边形BEDF的面积为1，则EF=一· D 目目 考点07 证明四边形是正方形 49. (24-25八年级下·河南商丘期末)已知四边形ABCD为平行四边形，从下列条件中：①AB=AD;② CB=CD;③AC=BD;④∠ADC=∠BCD,任选其中两个，不能判定四边形ABCD为正方形的组合是 () A.①② B.②③ C.①④ D.②④ 50.(24-25八年级下·河南南阳期末)如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,分别过点C、 D作CFIBD,DFIAC,连接BF交AC于点E. (I)求证：△FCE兰△BOE. (②)用“矩形、菱形、正方形”填空： 13/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①当△ADC满足∠ADC=90·时，四边形0CFD为 ②当△ADC满足AD=CD时，四边形OCFD为 ③当△ADC满足AD=CD,∠ADC=90°时，四边形OCFD为 51.(24-25八年级下·河南漯河·期末)如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交边BC于点E.过点E作 EFDC交边AD于点F.求证：四边形EFDC是正方形. 52.(24-25八年级下·河南开封期末)我们可以将命题：“三角形两边中点的连线平行于第三边，且等于第 三边的一半”做如下推理： A D E G H 图1 图2 图3 己知：如图1，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点， 求证：DE引BC,且DE=专BC. 证明：过点C作AB的平行线交DE的延长线于点F,即CFAB, ÷∠DAE=∠ECF), :E是AC的中点， ·AE=EC, 在△ADE和△CFE中， I∠AED=∠CEF AE=EC 、∠DAE=∠ECF ·△ADE≌△CFE(ASA), ·AD=CF,DE=EF=DF, :D是AB的中点， :BD=AD, 14/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 BD=CF, :四边形DBCF是平行四边形，() ÷DFIBC,DF=BC,() DF BC,DE=BC; (1)请在上面括号内标注理由； 【知识应用】请直接利用命题结论解决(2)(3)小题： (2)如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB,AC⊥DB,求证：四边形 MNPQ为正方形 (3)请利用图1的结论解决图3问题：在平行四边形ABCD中，∠C=135°，AB=2,AD=3,点G H分别是边CD,BC上的动点，连接AG,GH,点E是AG上的中点，点F是GH上的中点，连接EF,直接 写出E的最大值与最小值的差. 目目 考点08 正方形的性质与判定综合 53.(24-25八年级下·河南新乡·期末)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,将∠B沿AE折叠，使 点B落在F处，当△CEF为直角三角形时，BE的长为 B 54.(24-25八年级下·河南信阳·期末)在物理学中，测量是科学研究和日常生活中获取物理量信息的重要 手段.数学与物理联系紧密，在数学社团课上，老师让同学们以测量的方式来研究“三角板的平移” A D B B B ① ② ③ (1)【操作探究】 操作一：将两个全等的等腰直角三角板的两条斜边重合，按如图①所示的方式放置； 操作二：将三角板ACD沿CA方向平移至图②的位置.此时点C与点C不重合，且CC<CA, 15/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 操作三：测量图②中AA与CC的长度， 根据以上操作，填空： 图②中AA与CC的数量关系是 四边形ABCD'的形状是 (2)【类比探究】 小安将两个等腰直角三角板换成两个30°的直角三角板继续探究（如图③），己知三角板的直角边AB的长 为5cm,过程如下：将三角板ACD按(1)中的方式操作，如图③，在平移过程中，四边形ABCD'的形状 是否能为菱形？若不能，请说明理由；若能，请求出此时CC的长 (3)【拓展探究】 在(2)的探究过程中，当△BCC为等腰三角形时，请直接写出CC的长. 55.(24-25八年级下·河南新乡·期末)【问题情境】小明在期末复习时，遇到了这样一个问题：如图1， 在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF,垂足为M,那么AE与BF相等吗？ (1)请直接判断：AE.---BF(填“=”或“≠”)： 在“问题情境”的基础上，小明继续探索以下问题： G D B EC 图1 图2 图3 图4 【探究活动1】 (2)如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE⊥BF,垂足为M.那么GE 与BF相等吗？证明你的结论； 【探究活动2】 (3)如图3，在(2)的条件下，当M在正方形ABCD的对角线AC上时，连接BG,将△BMG沿着BG翻 折，点M落在点M处 ①四边形BMGM是正方形吗？请说明理由； ②如图4，点P在AC上，若AB=6,且AC=3AP,直接写出MP+MB的最小值为 56.（24-25八年级下·河南安阳·期末)数学活动课上，老师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动. 将直角∠MEN的顶点E放在正方形ABCD的对角线AC上（点E不与点A、C重合）其中直角边EM与BC交 于点F,直角边EN与CD交于点G. 16/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D D -入N E G B M B M 图1 图2 备用图 (1)发现： 如图1，当EF与BC垂直时，线段EF和EG的数量关系是；四边形EFCG的形状是 (2)探究 如图2，当EF与BC不垂直时，请判断EF与EG之间的数量关系是否发生变化，若变化，请写出新的数量 关系；若不变，请给出证明； (3)拓展： 当EF与BC不垂直时，以EF,EG为邻边构造矩形EFHG,连接CH,请直接写出∠BCH的度数 57.(24-25八年级下河南新乡期末)如图1，E,F,G,H分别是矩形各边的中点，连接BH,DE交于点 M,连接BG,DF交于点N,将四边形BMDN称为矩形ABCD的“中顶点四边形”. H 图1 图2 (I)求证：中顶点四边形BMDN为平行四边形. (②)如图2，连接AC,BD交于点O,可得M,N两点都在AC上，当中顶点四边形BMDN是菱形时，试判断 矩形ABCD中AB与BD的数量关系，并说明理由. 17/17