2026年河南三门峡市卢氏县第三协作区中考二模数学试题

2026年河南三门峡市卢氏县第三协作区中考二模数学试题 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1.-5的绝对值是（ ） A. B. C.-5 D.5 2.“智能机器人等六大新兴支柱产业相关产值到2030年有望扩大到10万亿元以上”“‘十五五’时期制造业、服务业预计每年将创造超过1000万个就业岗位”⋯⋯2026年全国两会上，代表委员们的“好声音”，传递着奋进“十五五”的坚定信心．数据“10万亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3.如图1所示的登封观星台是我国现存最古老的天文观测建筑，其主体“台体”可抽象为如图2所示的水平放置的实心正四棱台，该四棱台的上、下底面均为正方形，则该四棱台的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4.如图，直线AB，CD相交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5.定义一种新运算：.例如：.则（ ） A. B. C. D. 6.如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7.某校为了解九年级1000名男生1分钟跳绳次数达标情况，从九年级男生中随机抽取50名，统计他们1分钟跳绳次数，并绘制了如图所示的频数分布直方图.若1分钟跳绳次数不小于158次为满分，估计该校九年级男生1分钟跳绳为满分的有（ ） A.340名 B.520名 C.680名 D.720名 8.如图1所示的铜钱纹是中国传统经典的吉祥几何纹样，其原型是古代外圆内方的方孔圆钱，兼具“天圆地方”的哲学内涵与招财纳福的美好寓意．如图2是一组有规律的铜钱纹图案，它由若干个大小相同且相互交叠的圆组成，其中第1个图案中有2个圆，第2个图案中有5个圆，第3个图案中有8个圆⋯⋯依此规律，第200个图案中圆的个数为（ ） A.596 B.598 C.599 D.600 9.如图，正方形ABCD的顶点D在直线上，分别过点作直线l的垂线l垂足分别为，连接CE交AD于点.若CD平分，则的面积为（ ） A.16 B.32 C.48 D.64 10.如图1，在Rt中，，是BC的中点，点从点出发沿AB向终点运动，连接PC，PD.设点运动的距离为与的函数关系的图象如图2所示，其中点是函数图象的最低点，则点M的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.请写出一个比大的整数：__________. 12.不等式组的解集是__________. 13.小明有一套《丝绸之路文物（三）》特种邮票，共四枚，如图所示，上面分别印有“汉•『五星出东方利中国』锦护膊”“南北朝•神人纹银盘”“北周•凸钉玻璃碗”和“唐•胡人牵驼载丝壁画”四个文物图案．这四枚邮票除文物图案不同外，质地、规格均相同．毕业之际，小明准备把这四枚邮票中的两枚送给好朋友小亮，他将这四枚邮票背面朝上洗匀后放置在桌面上，让小亮从中随机抽取两枚，则小亮抽到的两枚邮票恰好是“南北朝•神人纹银盘”和“北周•凸钉玻璃碗”的概率是__________． 14.《崇祯历书》是明末官方编修的中西合璧天文历法巨著，系统引入西方天文学与数学，其中《大测》是其核心理论部分，是中国首部系统介绍西方三角学的著作．如图1是《大测》二卷中所绘的割圆八线图．如图2是小明根据割圆八线图绘出的图形：AB切于点A，CD切于点，交OB于点交于点于点，交于点于点.若，则BD的长为__________. 15.如图，在矩形ABCD中，.将矩形ABCD绕点旋转得到矩形AEFG，点B，C，D的对应点分别为点E，F，G，连接BE.若直线EF恰好经过点，则BE的长为__________. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.（10分）（1）计算：； （2）化简：. 17.（9分）2026年前两个月，我国新能源汽车出口58.3万辆，同比增长1.1倍，占汽车出口总量的四成以上，成为拉动汽车出口增长的核心动力.某新能源汽车厂家研发了A，B两种新车型，计划用于出口.由于装配工艺和底盘质量在出口市场中同等重要，该厂从每种车型中各随机抽取5辆试产车，分别从装配工艺和底盘质量两方面对其进行评分（满分均为10分），并对得分进行整理、描述、分析，部分信息如下． a.两种车型的装配工艺得分： A种车型： B种车型： b.两种车型的底盘质量得分统计图： c.两种车型的装配工艺和底盘质量得分统计表： 装配工艺得分 底盘质量得分 平均数 方差 中位数 方差 A种 0.56 B种 8.6 0.24 9 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中__________，____________________（填“>”“=”或“<”）． （2）如果你是该公司的决策者，你会选择哪种车型进行量产？请结合“装配工艺和底盘质量在出口市场中同等重要”的背景说明理由． 18.（9分）如图，四边形ABCD是平行四边形： （1）请用无刻度的直尺和圆规作出BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点M，N，连接BM，DN（保留作图痕迹，不写作法）． （2）求证：四边形MBND是菱形. 19.（9分）小明在野外考察时，准备利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，小明知道，当压力不变时，压强与受力面积存在一定的函数关系，为研究这个关系，小明借助自身体重，利用若干大小不同的木板（质量不计）和电子压强计进行实验，每次实验小明均竖直站立在木板上，用电子压强计测量木板对地面的压强，经过多次实验，得到了木板对地面的压强与木板面积的部分对应值，如下表： 木板面积 0.5 1 1.5 2 2.5 3 木板对地面的压强 600 300 150 120 100 （1）求与之间的函数关系式及表中的值. （2）在如图所示的平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象. （3）资料显示：这片烂泥湿地所能承受的最大压强为200Pa.小明若用一块面积为的木板，则他能否安全通过这片烂泥湿地？若能，求湿地所承受的压强；若不能，则木板面积至少需要比原来增加多少平方米才能安全通过？ 20.（9分）图1是某游乐场的一个游乐设施——“大摆锤”，图2是“大摆锤”未启动时的示意图，其中MN为水平地面，为转轴，A，B为“锤”的两个端点，为“锤”AB的中点，.“大摆锤”启动后，OP绕点旋转，从而带动点A，B在上运动，当点运动到点左侧且与点高度相同时（如图2，点运动到点处，），点运动到最高点处；同样，当点运动到点O右侧且与点高度相同时，点运动到最高点处．已知，转轴到水平地面MN的距离为12m. （1）“大摆锤”启动后，求点到水平地面MN的最小距离（结果保留根号）． （2）求左侧最高点到水平地面MN的距离（结果保留根号）. （3）在“大摆锤”从左侧最高处运动到右侧最高处的过程中，求点经过的路径长（参考数据：）. 21.（9分）某网店准备购进一批手机快充充电器（简称“快充”）和手机慢充充电器（简称“慢充”）进行销售．已知每个快充的进价比每个慢充的进价多20元，购进10个快充和5个慢充共需花费350元．这两种充电器的进价和售价如下表． 快充 慢充 进价/（元/个） 售价/（元/个） 40 15 （1）求a，b的值. （2）“五一劳动节”前夕，该网店准备购进这两种充电器共100个进行试销，根据市场需求，快充需要购进75个及以上，且快充的数量不超过慢充数量的4倍．请问共有几种进货方案？请通过计算说明理由． （3）“五一劳动节”期间，该网店开展优惠促销活动，决定对每个快充的售价优惠元，慢充的售价不变，在（2）的条件下，请直接写出：要使销售完这100个充电器获得的总利润最大，应如何进货？ 22.（10分）某蔬菜种植基地建造了一批塑料大棚（如图1），其截面（如图2）由矩形ABCD和抛物线的一部分DMC构成（点为最高点），A，B在水平地面上，曲线ADMCB为大棚外沿，CD为大棚的加固钢架．以AB所在的直线为轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系．已知，大棚最高点到水平地面的距离为8m. （1）求曲线DMC所在抛物线的表达式. （2）雨季到来，为加固大棚，准备安装三条钢架EF，EH，FG，其中点E，F在曲线DMC上（点在点右侧且不与点重合），点H，G在AB上，且四边形EFGH为矩形，求三条钢架的长度之和最多是多少米. （3）在冬季，光照时长不足，为增加光照时间，促进蔬菜光合作用，准备安装一排补光灯用于夜间补光，要求：补光灯安装在距离地面5m且与地面平行的一条直线上，每相邻2个补光灯之间的水平距离相等且不超过3m，最外侧的2个补光灯安装在曲线DMC上.则至少需要安装__________个补光灯（参考数据：）． 23.（10分）综合与实践 如图，在中，是斜边BC上的高，为线段AD延长线上一动点，连接，将线段CE绕点顺时针旋转，得到线段CF，连接AF. 【观察猜想】 （1）如图1，试猜想AF与BC的位置关系，并证明. 【迁移探究】 （2）如图2，连接BF，G是BF的中点，连接AG，试判断线段AG，CF之间的数量关系，请仅就图2所示的情形加以证明． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，当点在射线AD上时，若，请直接写出线段AG的长. 数学参考答案 试卷答题策略 难度 试题分布 卷面分值 占比 答题策略 容易题 题、题、题、20题（1）、21题（1）、22题（1）、23题（1） 86分 71.67％ 细心审题，快速答题，保证拿到基础分. 中档题 9～10题、14题、20题（2）（3）、21题（2）（3）、22题（2）、23题（2） 27分 22.5％ 控制做题时间，若卡壳超过3分钟，则先做标记跳过，保证整体节奏不乱.规范解答题书写步骤. 较难题 15题、22题（3）、23题（3） 7分 5.83％ 审题抓关键语句、精准画出图形，注意分类讨论，防止漏解，活用核心模型与公式，限时作答不恋战. 1.参考答案 D 解题思路 正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．-5是负数，所以它的绝对值是5.故选D. 命题人讲评 【预测依据】河南中考常在第1题考查正负数的意义、相反数、绝对值、实数的大小比较等.预测2026年河南中考第1题仍会考查实数的相关概念． 【临考提醒】牢记绝对值一定是非负数，做题不要看错符号，不要把绝对值与相反数、倒数混淆. 2.参考答案 A 解题思路 10万亿.故选A. 命题人讲评 【预测依据】科学记数法是河南中考的高频考点，一般以时政、经济、科技等为背景考查大数或小数用科学记数法表示.预测2026年河南中考仍会考查科学记数法. 【得分锦囊】1.熟记计数单位换算：1千万亿； 2.紧扣格式要求：表示形式为，且满足，快速排除不符合形式的选项； 3.准确数清位数和零的个数，避免指数写错，稳稳拿分. 3.参考答案 B 解题思路 正四棱台的俯视图是从上往下看得到的图形：上、下底面均为正方形，因此俯视图中有两个正方形；连接上、下底面对应顶点的侧棱，在俯视图中表现为从外正方形四个顶点到内正方形四个顶点的四条实线.故选B. 命题人讲评 【预测依据】河南中考常考查几何体的三视图，一般以生活实物、历史文物、小正方体的组合为背景，重点考查空间想象能力．预测2026年河南中考仍会考查三视图的识别． 【避坑指南】1.明确视图方向：俯视图是从上往下看，主视图是从前往后看，左视图是从左往右看，切勿混淆； 2.牢记虚实线规则：看得见的轮廓线为实线，看不见的轮廓线为虚线． 4.参考答案 A 解题思路 .又. 故选A. 命题人讲评 【预测依据】河南中考常考查与相交线和平行线相关的角度计算，涉及对顶角、邻补角、角的和差关系等基础知识点，属于高频考点.预测2026年会考查与相交线相关的角度问题. 【得分锦囊】1.看到相交线，优先找对顶角和邻补角； 2.有倍数关系就设未知数，列方程求解最稳妥； 3.计算后可代入验证，确保角度符合平角、对顶角关系. 5.参考答案 C 解题思路 ☆.故选C. 命题人讲评 【预测依据】河南中考常考查整式的运算，包含同底数景的加、减、乘、除，幂的乘方，积的乘方，完全平方公式，合并同类项等基础运算.预测2026年会以新定义的形式出题. 【临考提醒】分清幂的运算规则，不要混淆“指数相加、相减、相乘”；牢记完全平方公式有三项，不要漏掉中间项；只有同类项才能合并，看清底数、指数和符号，避免凭感觉做题、粗心失分． 6.参考答案 D 解题思路 方程有两个不相等的实数根，，即，解得.故选D. 命题人讲评 【预测依据】近10年河南中考中，一元二次方程根的判别式为必考点，涉及判断根的情况，或根据根的情况求字母的值或取值范围等．预测2026年仍会考查此考点． 【得分锦囊】一元二次方程根的情况与判别式的关系 关于的一元二次方程的根的判别式为，通常用“”表示. 一元二次方程的根的情况 判别式 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 7.参考答案 C 解题思路 样本中1分钟跳绳次数不小于158次的有（名），故估计该校九年级男生1分钟跳绳为满分的有（名）.故选C. 命题人讲评 【预测依据】河南中考常在选填题中设置一道统计基础题，依托统计图表，考查图表分析、数据计算、用样本估计总体等能力．预测2026年会结合频数分布直方图考查用样本估计总体的能力． 【避坑指南】看清关键词：大于、小于、不大于、不小于；找准对应组的频数，不多加、不漏加；列式分清分子、分母，防止计算出错． 8.参考答案 C 解题思路 第1个图案中有2个圆，；第2个图案中有5个圆，；第3个图案中有8个圆，.第个图案中有个圆，∴第200个图案中圆的个数为.故选C. 命题人讲评 【预测依据】河南中考在2025年首次在选填题中考查了数式规律探究，加大了对观察归纳、代数建模能力的考查．图形规律与数式规律本质相通、考法相近．预测2026年会在选填题中结合实际背景考查图形的规律探究. 【临考提醒】解决此类题的关键是根据所给图形找到一般规律.如本题，认真对照前3个图案，明确每往后一个图案比前一个图案多出几个圆；根据观察所得规律写出对应关系式后，代入前3个图案验证是否成立；再代入要求的图案序号，注意不要把序号代错. 9.参考答案 B 解题思路 ∵四边形ABCD是正方形，. .又（点拨：“一线三直角”全等摸型），.如图，过点作于点平分，（依据：角平分线的性质），，.又. 故选B. 命题人讲评 【预测依据】河南中考常在选填题设置以特殊四边形为背景的几何计算题，融合全等三角形、相似三角形、三角函数、轴对称的性质、勾股定理等知识点．预测2026年会在选填题中设置一道以正方形为背景的几何计算题. 【临考提醒】看到“正方形+‘一线三垂直’”，先找全等三角形；遇到“角平分线+垂直”，要想到“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”；求面积时，要找准对应的底和高，不要凭目测判断线段长. 10.参考答案 A 解题思路 如图，作点关于AB的对称点，连接CE，BE，则是等边三角形.连接DE交AB于点是BC的中点，.又.又是BC的中点，.连接PE，则，当点与点重合时，的值最小（点拔：“将军饮马”模型；依据：两点之间线段最短），最小值为ED的长.由题图2可知，当点与点重合时，，题图2中点的坐标是.故选A. 命题人讲评 【预测依据】河南中考常在选择压轴题考查“动点+特殊图形+函数图象”综合题，这类试题常以特殊四边形、特殊三角形等为载体，通过动点运动过程中面积、线段差、线段比等的变化，结合函数图象的端点、拐点或极值点，反推图形边长或参数，区分度高.预测2026年会在选择压轴题中考查此类动点与函数图象结合的几何综合问题． 【临考提醒】分析动点运动的分段过程，对应函数图象的分段变化；抓住函数图象的端点、拐点、极值点等，这些点通常对应图形中动点的特殊位置（如顶点、中点、共线点等）；利用特殊图形的性质，结合勾股定理、三角函数、方程等求解． 11.参考答案 3（答案不唯一） 解题思路 写出一个大于或等于3的整数即可. 命题人讲评 【预测依据】河南中考常在第11题考查代数式的基础概念与性质，考点覆盖分式或二次根式有意义的条件、同类项、列代数式等，设问以开放性为主．预测2026年仍会延续“开放性设问”的命题风格，考查无理数的估算． 【临考提醒】对于此题，先估算无理数的大致范围，再根据“整数”这一限制条件选择符合要求的数． 12.参考答案 解题思路 解不等式，得，解不等式，得，故此不等式组的解集为. 命题人讲评 【预测依据】河南中考对一元一次不等式组的考查，常以选填题的形式呈现，核心考查解不等式时符号的变形、解集公共部分的确定等．预测2026年会在选择题或填空题中考查一元一次不等式组的解法． 【临考提醒】1.不等式两边同除以一个负数时，不等号方向要改变； 2.分清“>”与“”、“<”与“”； 3.找公共解集时，遵循“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的口诀. 13.参考答案 解题思路 将这四枚邮票分别用A，B，C，D表示，其中B表示“南北朝•神人纹银盘”，C表示“北周•凸钉玻璃碗”，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽到B，C的结果有2种，故小亮抽到的两枚邮票恰好是“南北朝·神人纹银盘”和“北周·凸钉玻璃碗”的概率是. 命题人讲评 【预测依据】河南历年中考中，常在选择题第8题或填空题第13题设置概率问题，背景紧扣传统文化、科技成就、社会热点等，考查用画树状图法或列表法求概率．预测2026年仍会在选填题中考查此类概率问题． 【避坑指南】1.混淆“放回”与“不放回”，导致总结果数计算错误； 2.漏数或重复计数目标事件； 3.最后结果忘记约分，如本题写成而非. 14.参考答案 解题思路 为的半径，，四边形EFOG是矩形，与相切于点，与相切于点，. 命题人讲评 【预测依据】本题以《崇祯历书》为文化背景，融合圆的切线性质、垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理、三角函数等核心知识点，契合河南中考“以传统文化为载体，考查几何推理与计算”的命题趋势.预测2026年会在填空题中出现此类融合传统文化、圆与三角函数的几何综合题. 【临考提醒】1.看到切线，优先联想“切线垂直于过切点的半径”； 2.看到垂径，优先联想“垂直于弦（非直径）的直径平分弦”. 15参考答案 或 解题思路 如图1，连接DG，由旋转的性质，得， ．分以下两种情况讨论（提示：点可能在线段EF上，也可能在线段FE的延长线上）.①当线段EF经过点时，如图2，在Rt中，，由勾股定理，得.②当线段FE的延长线经过点时，如图3，同理可得.综上可知，BE的长为或. 命题人讲评 【预测依据】河南中考第15题，聚焦“特殊图形+图形变换+分类讨论”三大核心，以特殊四边形、特殊三角形为载体，结合旋转、折叠等变换，融合勾股定理、相似三角形、全等三角形等核心知识点进行考查，试题通常隐含多种情况，需分类讨论，区分度较高．预测2026年河南中考第15题仍会以特殊图形的旋转或折叠为载体，考查相似三角形、勾股定理、分类讨论思想等的综合应用. 【得分锦囊】解决此类题的关键步骤： 第一步：利用旋转或折叠的性质，找对应边、对应角，构造相似或全等三角形，实现目标线段转化（如本题将BE转化为DG）； 第二步：根据题意分情况画图，明确每种情况下的线段位置与线段关系，利用特殊图形（如矩形、直角三角形）的性质，结合勾股定理计算关键线段的长度； 第三步：代入已得到的转化关系，求解目标线段的长度，并检查结果是否为最简形式． 16.参考答案 （1）原式 （2）原式 命题人讲评 【预测依据】近5年河南中考第16题，固定采用“实数的混合运算+整式或分式的化简”两小问平方根、立方根、零指数幂、负整数指数幂、完全平方公式、因式分解等核心知识点进行考查. 预测2026年河南中考第16题仍会考查实数的混合运算及代数式的化简. 【得分锦囊】验证回代法：分式化简完成后，取一个简单数值（如本题取）分别代入原式和化简后的式子，验证结果是否一致，避免变形错误． 17.参考答案 （1）9.2 9 （2）选择B种车型进行量产. 理由：在“装配工艺和底盘质量在出口市场中同等重要”的背景下，由，可知B种车型这两个方面得分的方差均小于A种车型这两个方面得分的方差，说明B种车型质量更稳定． （答案不唯一，合理即可） 命题人讲评 【预测依据】统计综合题是河南中考的必考题型，常以真实情境为背景，结合统计图表呈现数据、分析数据，体现数学的应用价值．预测2026年河南中考会结合折线统计图、“三数一差”，考查学生的数据分析能力及根据数据作出合理决策的能力． 【临考提醒】看清统计图中的数据，避免因看错数据导致计算错误；求中位数时需将数据排序；说明理由时需结合题目中的要求及分析得到的数据进行合理描述. 18.解题思路 （1）分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，分别交AD，BC于点M，N，连接BM，DN，问题得解.（2）设MN，BD交于点.先证，得，再结合，证四边形MBND是平行四边形，最后结合，证平行四边形MBND是菱形. 参考答案 （1）如图，直线MN即为所求作. （2）证明：如图，设MN，BD交于点. ∵四边形ABCD是平行四边形，， . 又， . 又， ∴四边形MBND是平行四边形. 又， ∴四边形MBND是菱形. 命题人讲评 【预测依据】尺规作图是近8年河南中考的必考内容，且近4年常在解答题中结合几何证明考查尺规作图的实践操作．预测2026年会结合特殊四边形进行考查． 【临考提醒】1.作图规范：保留清晰的作图痕迹（如弧、交点、辅助线等），使用铅笔作图，避免涂改；标注关键字母（如本题M，N），确保作图结果与题干要求一致． 2.证明逻辑：每一步证明需有依据（如定理、性质、已知条件等），避免跳步；先分析图形关系，明确证明目标（如本题先证平行四边形，再证菱形），再按步骤规范书写. 19.解题思路 （1）根据表格中数据可判断与之间是反比例函数关系，设，代入一组对应值求得的值即可；将代入关系式，求的值.（2）根据表格中数据描点，用平滑曲线顺次连接这些点可得反比例函数的图象.（3）求出时的值，与最大压强200Pa比较，即可判断能否安全通过；求出时的值，进而计算木板面积的增加量. 参考答案 （1）由表格中数据可知，与之间是反比例函数关系， 设与之间的函数关系式为， 把代入，得，解得， 故与之间的函数关系式为. 当时，. （2）描点、画出该函数图象如图所示. （3）不能． 将代入，得. 小明不能安全通过. 由（1）可知时，. 结合图象可知，当时，， 故木板面积最小为， ， 故木板面积至少需要比原来增加才能安全通过. 命题人讲评 【预测依据】历年河南中考对反比例函数的考查，一般与几何图形或一次函数相结合，考查函数的图象与性质，预测2026年会结合跨学科背景考查反比例函数的实际应用． 【临考提醒】1.函数类型的判断：通过表格中每组对应值的乘积是否为定值，快速判断该函数是否为反比例函数； 2.作图规范：描点时坐标要准确，连线时要用平滑曲线； 3.计算要准确：在本题中，求面积增加量时，要用“最小安全面积-原面积”，不要直接用压强差计算. 20.解题思路 （1）先求的半径，再结合点到水平地面MN的距离，即可求得点到水平地面MN的最小距离.（2）先求点到OD的距离，再结合点到水平地面MN的距离，即可求得左侧最高点到水平地面MN的距离.（3）先求的度数，接着求得点经过的路径所对圆心角的度数，最后根据弧长公式求路径长. 参考答案 （1）如图，连接OA，延长OP交MN于点，交于点，则的长是“大摆锤”启动后点到水平地面MN的最小距离. 为AB的中点，. 又， ， . 故“大摆锤”启动后，点到水平地面MN的最小距离为. （2）如图，过点作于点. ， ， ， . 故左侧最高点到水平地面MN的距离为. （3）如图，， ， ∴在“大摆锤”从左侧最高处运动到右侧最高处的过程中，点经过的路径是以点为圆心，10m长为半径的圆弧，其所对圆心角的度数为， ∴点经过的路径长约为. 命题人讲评 【预测依据】预测2026年河南中考会以实际情境为背景，综合考查圆、三角函数、勾股定理等知识，强调几何模型的建立和多步推理计算，注重考查学生的数学综合素养和解决实际问题的能力． 【避坑指南】1.图形分析错误：误判点的位置关系（如本题中，将“点到水平地面MN的最小距离”理解为PE的长度），导致思路错误； 2.定义或公式误用：混淆正弦和余弦的定义或混淆弧长公式与扇形面积公式而致错. 21.解题是路 （1）根据等量关系“每个快充的进价比每个慢充的进价多20元”“购进10个快充和5个慢充共需花费350元”，列二元一次方程组求解．（2）根据不等关系“快充需要购进75个及以上，且快充的数量不超过慢充数量的4倍”，求出快充个数的取值范围，结合个数为正整数即可确定有几种进货方案．（3）列出总利润与快充数量的关系式，再结合的取值范围及一次函数的增减性分情况讨论． 参考答案 （1）由表格可知，快充的进价为元／个，慢充的进价为元／个. 由题意，得 解得 答：的值为30，b的值为10. （2）共有6种进货方案． 理由：设购进快充个，则购进慢充个. 由题意，得. ∵快充的数量不超过慢充数量的4倍， ，解得，且为整数， 或80. 答：共有6种进货方案． （3）当时，快充进80个、慢充进20个，售完这100个充电器获得的总利润最大； 当时，在满足（2）的条件下，不管快充、慢充进多少个，售完这100个充电器获得的总利润恒为500元； 当时，快充进75个、慢充进25个，售完这100个充电器获得的总利润最大． 解法提示：设销售完这100个充电器获得的总利润为元， 根据题意，得. 分以下三种情况讨论（提示：依据与0的大小关系分类讨论）． ①当时，随的增大而增大， ∴当时，最大． ②当时，不随的变化而变化，此时的值为500. ③当时，随的增大而减小， ∴当时，最大． 综上．当时，快充进80个、慢充进20个，售完这100个充电器获得的总利润最大； 当时，在满足（2）的条件下，不管快充、慢充进多少个，售完这100个充电器获得的总利润恒为500元；当时，快充进75个、慢充进25个，售完这100个充电器获得的总利润最大. 命题人讲评 【预测依据】近几年河南中考的解答题中必有一道一次函数的实际应用题，或与方程、不等式结合，或与二次函数结合，涉及方案设计型问题、方案选择型问题等.预测2026年会考查方案设计型问题. 【临考提醒】列出总利润与自变量的关系式后，根据一次项系数对一次函数增减性的影响，分情况讨论： 当时，随的增大而增大，故最大时最大； 当时，为定值，与无关； 当时，随的增大而减小，故最小时最大． 22.解题思路 （1）由顶点，利用顶点式及待定系数法求抛物线的表达式. （2）设点的横坐标为，用含的代数式表示出三条钢架的长度之和，再利用二次函数图象的性质求得最大值.（3）先求出最外侧2个补光灯之间的距离，再确定需要补光灯的最少总个数. 参考答案 （1）由题意可知，. 设曲线DMC所在抛物线的表达式为， 将代入，得，解得， ∴曲线DMC所在抛物线的表达式为. （2）设点的坐标为的长度之和为， 可得， 则. ， ∴当时，取最大值，最大值为. 答：三条钢架的长度之和最多是. （3）6 解法提示：当时，，解得， ∴最外侧的2个补光灯之间的距离为，约为14.14m. ∵每相邻2个补光灯之间的水平距离相等且不超过， ∴至少需要安装（个）补光灯（提示：如果中间安装3个补光打，检验：，不符合要求；如果中间安装4个补光灯，检验；，符合要求；如果中间安装5个补光灯，检验：，符合要求．综上可知，至少要安装6个补光灯）． 命题人讲评 【预测依据】近几年河南中考常以实际生活场景为背景，设置二次函数的实际应用题，侧重考查二次函数的表达式的确定、图象与性质等．预测2026年河南中考仍会以生活、生产等实际问题为背景，考查学生的数学建模能力． 【得分锦囊】1.优先选用顶点式：已知顶点坐标时，优先使用顶点式设表达式，能简化计算； 2.最值求解技巧：利用配方法或公式法求二次函数的最值，注意自变量的取值范围； 3.实际问题转化：将实际问题转化为数学问题，逐步求解. 23.解题思路 （1）过点作，交AD于点，证明，进而得到，即可得到.（2）连接DG，延长AG交BC于点，证明，即可得到AG，CF之间的数量关系．（3）随着点的运动，点可能在点右侧，也可能在点左侧，根据分析画出大致图形，最后分情况进行求解. 参考答案 （1）. 证明：是斜边BC上的高， . 方法一：如图1，过点作，交射线AD于点，则， ， . 由旋转的性质，得， ， ， ， . 方法二：如图2，在射线AD上截取（点不与点重合），连接CJ， 则. ， ， . 又， ， . （2）. 证明：如图3，连接DG，延长AG交BC于点. . 是BF的中点， . 又. 又. （3）线段AG的长为或. 解法提示：， . 分两种情况讨论. ①当点在点右侧时，如图4，过点作于点，则四边形ADMF是矩形， ， ， . ②当点在点左侧时，如图5，过点作于点，则四边形ADNF是矩形， ， ， . 综上可知，线段AG的长为或. 命题人讲评 【预测依据】几何探究题是河南中考必考题型，综合性较强，难度较大，一般考查特殊三角形、特殊四边形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，勾股定理，分类讨论的数学思想等.预测2026年会结合特殊三角形、动点等出题，涉及分类讨论. 【避坑指南】河南历年中考几何探究题的最后一问，常涉及分类讨论，一般有两个答案，做题时应全面分析问题，找出所有可能出现的情况，画出每种情况对应的图形，并仔细甄别，逐一排查． 学科网（北京）股份有限公司 $