湖南永州市第一中学等校2026届高三考前模拟数学试题

高三数学参考答案 一、二、选择题 题号1 3 8 9 10 11 答案 B A C D B D ABD ABD ACD 1.B【解析】CuA={x∈Nx≤1}={0,1}，故选B. 2.A 【解桥依题意=茶侣书侣书-合=1-发选A 3.C【解析)BC-AC-AB=(4-3,4-3)=(1,1),所以BC=√2，故选C. x-1>0, 4.B【解析】因为函数f(x)是定义在R上的增函数，f(log(x一1))<f(1),所以《 x-1<2, 解得1<x<3,所以x的取值范围是(1,3).故选B. 5D【解折】因为f)的最小正周期为4,4-2=2=子f④)=(2+)=-f2)=-4,故选D (另法：正弦函数图象相邻的最大、最小值间隔半个周期) 6.B【解析】将x=1代入等式两边，得3=a十a1十a2十a十a4,另外a即x的系数，因为(x一1)4展开式的通项公式 为T+1=C4x4r(-1)',r∈{0,1,2,3,4}，所以a1x=x+Cx(-1)3=-3.x,即a=-3,所以a+2a1十a2十a十a4= 3十a1=0,故选B. 7.A【解析】抛物线y=8x的焦点为F(2,0),由MA∥x轴，点M8,2),得A(号，2)， 由抛物线的光学性质，得点A,F,B共线，设B(宫)O<0),则”-名0 -2-2 8 解得%=一8，%=2（舍），点B(8,一8)，于是|BF=8十2=10.故选A 8.D【解析】由画数y=+nx,xE(0,十o),得/=一是+设切点坐标为(a),>0, 则切线的斜率及=名十名所以切线方程为y一%（是+）红一” 共中%去+nx,即切线方程为y去-血-（是十》x一需）， 鉴理可得)-(-是+2)x+品+n6一1，又周为直线y=x十b与商线y=士+nx湘切， 所以6-是+n美-1，设g)=是+hx一1，x>0,则gx)=一号+日 令名()=-是+士=0，解得=2，当0<2时，gx)0,g()在(0,2)上单羽递减： 当x>2时，g(x)>0,g(x)在(2，十∞)上单调递增， 故函鼓g(x)在x=2时取得板小值g(2)=号+lh2-1=h2,且当x→十∞时，g()→+0， 综上所述，函数g(x)的值域为[ln2,十∞)，故实数b的取值范围是[ln2,十∞).故选D. 数学参考答案(L6)1 9.ABD【解析】因为S3-S6十S,=a1十a2十a十a,十a8十a=2a5X3=12,所以a=2, 又a4=6,所以d=as,0=一2，故AB正确； 因为an=a+(n-3)d-6+(n-3)·(-2)-12-2n, 又5.=a22-7+1m=-(口-号》'+，所以当n=5或6时，5取得录大值，故C错误： 2 对于D:因为|an|=|12-2n= 12-2n6所以前30项和为(a十a+十a,)-(a十a十…+an）=25,-S 12n-12,n≥7， =2×30一(-570)=630，故D正确.故选ABD. 10,ABD【解析】对于A:因为事件A,不豆为对立李件，P(A)=, 所以P()=1-P(A)=2,故A正确； 对于B:因为事件A,B相互独立，P(A)=,P(B)=, 则PAUB)=PCA)+P(B)-PA)合+号音×分-号改BE扇： 对于C:由P(AB)=P(B|A),可得P(A)=P(B)或P(AB)=0,当P(AB)=0时不能得出P(A)=P(B),故C 错误； 对于D:因为P(AB)=P(A)-P(AB),P(AB)=P(B)-P(AB), 又P(AB)=P(AB),所以P(A)=P(B),故D正确.故选ABD. ACD【解析】时于A:依题意得a=AP=2V3,6=5,所以后-号，故A正确；一 对于B:(法-)由选项A可知描国C后+苦=1，P(一后，0)， 由D(x,),x∈[-23,23]，则DF到=√(x+6)+=√(x+6)+6(1-) √合2+26x+2-√(+2后)-25+， 当=-2时，DFn=25+号X(-25)=2原-6. (法=)设D0m,m.则1DF=25+号mm∈[-2w5,2v5],所以DFlm=2+号×(-25)=25-6，故 B错误； 对于C:指圆C号+苦=1，候题意得国D:x一mP十(y一m=4, 因为点Dm0为满圈上一点，所以号+若-1，得=61-登）， 直线OMy=kx,ON:y=kx,与国D相切，所以km是=2，，m”=2, √1十 √1十经 平方整理得k1,k2为方程(m2-4)k-2mmk十n2-4=0的两根， 所以角点=二4 61-)-4 m2-4=m2-4 2,故C正确； 对于D:设M(西n),N(w),由选项C知6=路=一号，所以听3呢=子， C1 C2 =6(1-)=6(1-),所以36(1-)(1-)=寻， 整理得+或=12，听+=6(1-)十6(1-)=6， |OM2+|ON|2=x+y+x2+y2=18, 由基本不等式|OM2+IONI2≥21OM|ON|,得1 OMON|≤9， 当且仅当OM=|ON|时等号成立.所以OM·ION的最大值为9.故选ACD. 数学参考答案(L6)一2 三、填空题 12.0【解析】由已知得f(x)=2f(0)cosx,所以f(0)=2f(0)cos0=2f(0),所以f(0)=0. 13.令【解析】因为4=2，a1=S.十2，当m=1时，a=S十2=a十2=4； 当n≥2时，由an=2十Sn-1,a+1=2十Sn,两式相减得an+1一an=Sn一Sm-1=an, 即a+1=2an,又a2=2a1,所以数列{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以an=2. 所以0)=装由a+1)-水a)-生脚》-芸=220， 即2n+1>m2,得n=1或n=2.所以f(1)<f(2)<f(3)>f(4)>f(5)>…, 所以m0=8)-器-景 148【解析]以AOB所在的平面建立直商坐标系，AB为x铂，AB的垂直平分复为y轴， |AB=4,则A(-2,0),B(2,0),设P(c,y),由PA=√5|PB|, 则(x十2)2+y2=5(x一2)2+5y,即(x一3)2+y2=5,故，点P轨迹是以C(3,0)为圆心，r=5为半径的圆. 当P绕AB为轴旋转一周时，|PA|,|PB|不变，依然满足|PA|=√5|PB引， 故空间中点P的轨迹为以C为球心，半径为r=5的球，同时P在球O上，故P在两球的交线所在的圆上.球心距 为|CO=√TOB2+BC2-2OB·BC cos120°=√21， 因为0O=(5+4CP+0P,所以△0CP为直角三角形，P的锐避半径为X4-45,周 长为2πm1=2xX4Y105_8105 21 21π. 四、解答题 15.【解析】(1)根据树高与树的胸径的散，点图，可判断两个变量是线性相关. 12 x: 根据题中所给数据，得n=12,x= =1 348 =29,… 12 12 …1分 y= 12 26422， 12 …2分 12 xy:-12x 所以r= 7793-12×29×22=137 ≈0.95>0.75. 24×6 144 …4分 ∑-12 由于r的值接近于1，故相关性较强.… …5分 故两个变量线性相关，且相关程度较强 6分 (2)由(1)知n=12,x=29,y=22. …7分 12 xy:-12x 所以名= =7793-12×29×2=13 12 576 ≈0.24，…9分 c-12x2 24 a=y-ia=22-0.24X29≈15.04.……11分 所以经验回归方程为y=0.24x十15.04.…12分 当x=45时，y=0.24×45+15.04=25.84,即树高的预测值大约为25.84m. 故树高关于胸径的经验回归方程为y=0.24x十15.04，预测胸径为45cm的树高为25.84m…13分 数学参考答案(L6)一3 16.【解析](1)因为S=6 csinA,又4W3S=d2-6-,所以43×bcinA=d-6-, 即2W5 bcsin A=a2-bC2.…2分 由余弦定理a2=b+c2-2 bccos A,即a2-b-c2=-2 bccos A. … 3分 所以2W3 bcsin A=-2 bccos A,… 4分 所以1mA=-号，又0CA<,所以A-要 … 61 6分 (2)在△ABD中，由正弦定理得sinBAD_sinB_sinB BD AD d 则sin∠BAD=BDsin B ……… d 8分 在△ACD中，由正弦定理得sinCAD_sinC=sinC CD AD d 则sin∠CAD=CDsin C d, …10分 因为sin∠BAD+sin∠CAD_3 b 2a' 所以sin∠BAD+sin∠CAD_BDsin B+CDsin C_3 b bd cd 2a' …12分 C 由正孩定理得A品BC即A身B业C, …13分 a b 所以BDB+CDC_BDinA CDaip4_(BD+CD a bd cd ad ad ad 2ad 2d' 所以2浸=2爱，即a=3d.学 …15分 17.【解析】(1)由f(x)=2xe1,得f(x)=2(1十x)e1,可得f(-1)=0, …1分 当x∈（一o∞，一1）时，f(x)<0,函数f(x)在（一∞，一1）上单调递减， 当x∈(-1，十∞)时，f(x)>0,函数f(x)在（一1，十∞）上单调递增，… … 3分 所以fm=f-ID=一是。 4分 (2)由2e>(x+2)1+inx), 当xe(o,]时，lnx+10,不等式2e>(e+)1+h)恒咸立； …6分 当ze(日+o)时，hx+10,不等天2g>(e+)1+n)化为2>1+ln2, 当x=1时，不等式的左边=右边，所以x≠1，…7分 @当（日1）时令）=斧一-1+n,得)-三云 x(1+x)<0, 所以量g在（合，）上单调说减，所以9(e>g1=0,即纤>1十n,8分 令y=e1-x,y=e1-1=0,得x=1, 则x∈(-o∞，1)时，y<0,y单调递减；x∈(1，十∞)时，y>0,y单调递增， 所以y=e1-x>e-1-1=0,所以e1>x,… …10分 听以2xe号>21>1十lnx；. 11分 ②当x∈(1，+o)时，由2e二 >1+lhx,得2>1+n3. 1十x2 令k(x)= 计r(x)-1+nx 2e-1 x 到数✉)20，高数6在，十o)上单两港地，所以6)1)=1 由n<x-1,得7()<L,所以不学式>中h空成立，………14分 路上，不等式f>(十2）1+lnx)的解集为0,1U1,十o》.… …15分 数学参考答案(L6)一4 18.【解析】(1)因为三棱柱ABC-A1BC为直三棱柱，所以AA⊥平面ABC, ACC平面ABC,所以AA1⊥AC, …1分 又因为AB⊥AC,AA1C平面ABB1A1,ABC平面ABB1A1,AA∩AB=A, 所以ACL平面ABBA1,…3分 AB1C平面ABBA1,所以AC⊥AB1. ……4分 (2)(i)设AB=a,依题设以A为坐标原，点，AC,AB,AA1分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系， B 则A(0,0,0),A(0,0W2),B(0,aW2),C(2,0,0),D0,号，0，C(2,0w2), A方=(0，号，-2)，Bt=(2,-,-V2), 因为AD1BC,所以A方.BC-0,即-号+2=0，解得a=2,…6分 则B(0,2W2),D(0,1,0), 得CD=(-2,1,0),BD=(0,-1,-√2)， 设平面BCD的法向量为n1=(,M,为)， m1·CD=0,-2x十y=0, 由 得 令为=2，所以n=（(1,2,一√2)， …8分 m1·BD=0,”-y-√2名=0 又0店=0E以在G到干面CD服的定高-容群气箭 1X0+2×0-√2×W2 _27 7 …9分 (i)设平面CCD的法向量为n2=(2,2,a),又C市=(-2,1,0)，CC=(0,0,N2), m·CD=0,-2x十=0 由 得 n,.C=0,2=0, 令y2=2,所以n2=(1,2,0), …10分 取BC中，点Q,则Q(1,1,0),连接PQ,AQ, B 因为AC=AB=2,AB⊥AC,所以AQ⊥BC, 在R△ABC中，AC=AB=2,所以BC=2反，AQC=E, CC⊥平面ABC,AQC平面ABC,所以AQ⊥CC,… …12分 CCC平面BB1CC,BCC平面BB1CC,CC∩BC=C,所以AQ⊥平面BBCC,…13分 因为PQC平面BBCC,所以AQ⊥PQ, 因为AQ=√2，AP=2,所以PQ=√AP2-AQ=√2，…14分 所以点P的轨迹是以Q为圆心√2为半径的半圆， 设P(x,%,),则AP=(x,%,),x∈[0,2]，%∈[0,2]， 数学参考答案(L6)一5 因为PQ=√2，AP=2,所以{ (x0-1)2+(y6-1)2+号=2， 整理得：x十=2，…15分 x6++好=4， 设AP与平面C1CD的夹角为a, 则sina=|cos(AP,nz)川= 1A2·L=|+2l=|(x十为)+6=1%+2| …16分 APl·ln2 2W5 2W5 2√5 因为6∈[0,2]，所以sin∈5,25， L5’5」 所以AP与平面C,CD所成角的正弦值的取值范国为[5,25 L5,5 17分 19.【解析】(1)因为双曲线T的渐近线x士ay=0与圆x2十(y-2)2=3相切， 所以2=5，解得a=厅，所以双商线r的方程为号-了=1.… …3分 √1+a (2)由(1)得a=3,b=1,则|F1F2|=2c=2√a2+6=4,… 4分 不妨设|PF|=m,|PF2|=n,m>n>0,设P到x轴的距离为h, 因为PQ为∠FPF2的平分线，则∠F1PQ=∠F2PQ, …5分 所以之8QI_Pe1oaE0 SAPF.Q ,…6分 IQF:IhPF:IPQI sin/F,PQ 需 所以m=2n,又|PF-|PF2=m-n=2√3，所以m=2n=4√3，… …7分 所以△PFF2的周长为|PF|十|PF2|十|FF2|=4√3+23+4=65+4.…8分 (3)由题设，当P。(3,0),点P在x轴上时，由对称性可知P:一定在x轴上， 点P。(3,0),记=3，一般地：记，点P(x,0)(i∈N),点P+1(x+1,0), Eo E 设直线AB:的方程为x=ty十x,设点A:(xAy%),B(xgy%), 联立 r=y+,得：-3)y+2zy+立-3=0， x2-3y=3, 所以，t2-3≠0，△=42x-4(2-3)(x-3)=12(t+x-3)>0, 由银与泰发的关系可得%十为=兰4十到=心乳十为)十2=汽十2= 2tx: 6x: 故线段AB,的中点为M(g,兰) …10分 同理，直线DE:的方程为x=一 1 立y十x4,(1-32≠0)， 当t≠士1时，由P+1,M,N:三点共线可知，kp,M,=MN, 数学参考答案(L6)一6 txi txi txi 即 2-3 1-38Tt2-3 3xt2 3xi …12分 -1-32十2-3 整理可得x1=号，即当点P的坐标为(，0)时，则点P1的坐标为（受，0）， 3 当=士1时，=xw=,此时MN,过P(侵，0)，综上P1(侵，0)， 故当点卫3,0)时，得：P(3×0,P,(3×(》,0…,卫.(3×()'，0)， …13分 由题意可知，△QRP.的面积为S.=×1×[3()”-1]-(侵)-2 …14分 房产吉·吉有传5 所以号+发+++发<号+（号》+（号）广+…+（号） …16分 (号--得2 …17分 1- 数学参考答案(L6)一7高三数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试 卷上无效。 p 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 剑 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.已知全集U=N,集合A={x∈Nx>1),则CuA= A{1) B.{0,1) C.[0,1] D.(-∞，1] 2.若之·(2+i)=3一i,则之= A.1-i B.1+i C.-1+i D.-1-i h 3.已知向量AB=(3,3),AC=(4,4),则1BC1= 思 ,A.(1,1) B.(-1,-1) C.√2 D.2 4.已知函数f(x)是定义在R上的增函数.若f(1og2(x一1))<f(1),则x的取值范围是 A.(1,2) B.(1,3) C.(2,+∞) D.(3,+∞) 5.已知函数f(x)=4sin(wx十p)的最小正周期为4，且f(2)=4,则f(4)= 9 A.-1 B.-2 C.0 D.-4 6.若(x+2)+(x-1)4=ao十a1x十a2x2+ax3十a4x,则a+2a1十a2十a3十a4= A.-1 B.0 C.-4 D.4 7.抛物线的光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反 之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.设抛物线y2=8x的 焦点为F,一条平行于x轴的光线从点M(8,2)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物 线上的另一点B射出，则|BF!= A.10 B.12.5 C.15 D.30 数学试题(L6)第1页（共5页） &.已知直线y=x十6与曲线)=十1nx相切，则实数石的取值范围是 A.[1,2) B.(-∞，1] C.(0,ln2] D.[ln2,+∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知数列{am}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn,S3一S6十S=l2,aa=6,则 A.a5=2 B.d=-2 C.当Sn取得最大值时，n=6或n=7 D.数列(|an)的前30项和为630 10.已知事件A,B均为随机事件，则下列结论正确的是 A若P(A)=2,则P(A)=号 B若事件A,B相互独立，P(A)=,P(B)=号，则P(AUB)=号 C.若P(A|B)=P(B|A),则P(A)=P(B) D.若P(AB)=P(AB),则P(A)=P(B) 1.如图，在平面直角坐标系0中，椭圆C斧+芳-1(。>6>0)的上顶点为A,左焦点为，且 |OF=√6，|AF=2√，点D为椭圆上一点，圆D的半径为2，过原点O作圆D的两条切线 OM,ON分别交椭圆于M,N,若直线OM,ON的斜率都存在，分别记为1，k2,则 A椭圆C的离心率为号 B.DF的最小值为√一√3 C4:的值为一司 D.OM|ON的最大值为9 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.已知函数f(x)=2f(0)sinx,则f(0)=0 13.已知数列(a,)的前n项和为S,若a=2,a+1=S,十2，记f(n)=(n∈N),则f(m)的最大 an 值为 14.设A,B是半径为4的球O的表面上两定点，且AB=4,球O的表面上一动点P满足 |PA=√5|PB引，则点P的轨迹长度为 数学试题(L6)第2页（共5页） 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 大兴安岭是我国的重要的木材供应基地，为实现“绿水青山就是金山银山”理念，大兴安岭林 区制订了“百万亩人工林”的植树造林计划，该地林业科研人员对近10年的人工林研究发现： 一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高.由于测量树高比测量 胸径困难，因此科研人员希望由胸径预测树高.在研究树高y(单位：m)与胸径x(单位：c)之 间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据，并根据数据作出如下的散点图. ↑树高/m 26 24 22 20 18 1 15 20 25 3035 40 胸径/cm 12 862山=Cx·9z=C尽8圣透踢 2-122=24,2i-12 i= =6. (1)推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数r(精确到0.01)，并推断它们的相关 程度； (2)试根据以上数据建立树高关于胸径的经验回归方程（系数精确到0.01），并预测胸径为 45cm的树高， 附：相关系数r= ,回归方程y=x+a中，6=兰一网 -,a=y-a. 数学试题(L6)第3页（共5页） 16.(本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,且4V3S=a2--2. (1)求A的大小； 2)已知点D在BC边上，AD-d,且AD+CA业-品证明：a=3d b 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=2xe-1. (1)求函数f(x)的极小值； (2)求不等式f四>(x+)1+nx)的解集 数学试题(L6)第4页（共5页） 18.(本小题满分17分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC (1)证明：AC⊥AB1; (2)已知AB的中点是D,AC=2,AA1=2,A1D⊥BC (i)求点C到平面CDB的距离； ()点P是矩形BB1CC(包含边界)内任一点，且AP=2,求AP与平面C1CD所成角的 正弦值的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知双曲线r:若-y=1(a>0)的渐近线与圆2+（一2）2=3相切. (1)求双曲线Γ的方程； (2)记双曲线T的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线T上，若∠F1PF2的平分线交x轴 于点Q,且|FQ=2|F2Q,求△PFF2的周长； (3)过点P。(3,0)作两条互相垂直的直线☑和12，直线1交双曲线T于Ao,B,两点，直线l2 交双曲线T于Do,E两点，M,No分别是AB,DoEo的中点，直线MN过定点P1;再 过点P1作两条互相垂直的直线l和U,l3交双曲线T于A1,B1两点，交双曲线T于 D1,E两点，M,W1分别是A1B1,DE的中点，直线M1N1过定点P2,重复上述方式可 以得到点列：P1,P2,P3,…,Pn.已知R(1,0),S(1,1),记△RSPn(n≥1，n∈N·)的面积为 5,证明写十发十写+…叶安<2 数学试题(L6)第5页（共5页）