精品解析：湖南株洲市第一中学等校2026届高三毕业生第一次模拟考试数学试卷

2026届高三毕业生第一次模拟考试 数学 本试题卷共5页，时间120分钟，满分150分. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 设复数、在复平面内对应的点关于实轴对称，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 为达成“碳达峰､碳中和”的目标，我们需坚持绿色低碳可持续发展道路，可再生能源将会有一个快速发展的阶段.太阳能是一种可再生能源，光伏是太阳能光伏发电系统的简称，主要有分布式与集中式两种方式.下面的图表是近年来中国光伏市场发展情况表，则下列结论中正确的是（ ） A. 2013~2020年，年光伏新增装机规模同比(与上年相比)增幅逐年递减 B. 2013~2020年，年光伏发电量与年份成负相关 C. 2013~2020年，年新增装机规模中，分布式的平均值大于集中式的平均值 D. 2013~2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关 4. △的内角的对边分别为，，，已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据∶lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30） A. 2021年 B. 2022年 C. 2023年 D. 2024年 6. 已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且是等差数列，则下列结论错误的是（ ） A. 等差数列 B. 是等比数列 C. 是等差数列 D. 是等比数列 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为，，为双曲线上的一点，若线段与轴的交点恰好是线段的中点，，其中，为坐标原点，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 过点作直线交圆于两点，设，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若展开式所有项的系数之和与二项式系数之和均为32，则下面结论正确的是（ ） A. B. 展开式中含系数为270 C. 展开式的第4项为 D. 展开式中含有常数项 10. 已知，是两条不相同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题中真命题有（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 11. 已知函数，若关于的方程有5个不同的实根，则实数可能的取值有（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某种元件的使用寿命超过年的概率为，超过年的概率为，若一个这种元件使用年时还未失效，则这个元件使用寿命超过年的概率为___________. 13. 若函数图象在点处的切线方程为，则的最小值为__________. 14. 回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如，，，等，显然位回文数有个：，，，，，位回文数有个：，，，，，，，． （）位回文数有__________个． （）位回文数有__________个． 四､解答题：本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且，当时，． （1）求数列的通项公式； （2）设，设，求数列的前项和为． 16. 三阶魔方为正方体结构，由26个色块组成.常规竞速玩法是将魔方打乱﹐然后在最短的时间内复原. （1）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度（秒）与训练天数（天）有关，经统计得到如下数据： （天） 1 2 3 4 5 6 7 （秒） 99 99 45 32 30 24 21 现用，作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度约为多少秒（精确到1秒）； （2）现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面.某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动，记顶面白色色块的个数为，求的分布列及数学期望. 参考数据（其中）. 参考公式： 184.5 0.37 0.55 对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，. 17. 在四棱锥中，底面为正方形，平面. （1）求证：平面； （2）求钝二面角的余弦值； （3）若存在一球心在面上，且为四棱锥的外接球，求该球体的体积和表面积；若不存在，请说明理由. 18. 已知圆与抛物线在轴下方的交点为，与抛物线的准线在轴上方的交点为，且点，关于直线对称． （1）求抛物线的方程； （2）若点，是抛物线上与点不重合的两个动点，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 19 设函数． （1）已知在点处的切线方程是，求实数，的值； （2）在第（1）问的条件下，若方程有唯一实数解，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三毕业生第一次模拟考试 数学 本试题卷共5页，时间120分钟，满分150分. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据子集的概念求得参数的值可得． 【详解】时，满足题意， 时，得，所以或，或， 所求集合为． 故选：D． 2. 设复数、在复平面内对应的点关于实轴对称，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得，利用复数的除法化简可得结果. 【详解】由题意可得，因此，. 故选：A. 3. 为达成“碳达峰､碳中和”的目标，我们需坚持绿色低碳可持续发展道路，可再生能源将会有一个快速发展的阶段.太阳能是一种可再生能源，光伏是太阳能光伏发电系统的简称，主要有分布式与集中式两种方式.下面的图表是近年来中国光伏市场发展情况表，则下列结论中正确的是（ ） A. 2013~2020年，年光伏新增装机规模同比(与上年相比)增幅逐年递减 B. 2013~2020年，年光伏发电量与年份成负相关 C. 2013~2020年，年新增装机规模中，分布式的平均值大于集中式的平均值 D. 2013~2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关 【答案】D 【解析】 【分析】根据条形图中的数据逐一分析即可得出结果. 【详解】A，2013~2020年，年光伏新增装机规模同比(与上年相比)增幅逐年递减， 前几年递增，后面递减，故A错误； B，2013~2020年，年光伏发电量与年份成正相关，故B错误； C，由图表可以看出，每一年装机规模，集中式都比分布式大， 因此分布式的平均值小于集中式的平均值，故C错误； D，根据图表可知，2013~2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重 随年份逐年增加，故每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关，故D正确. 故选：D 4. △的内角的对边分别为，，，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用正弦定理，结合已知等式可得，根据三角形内角的性质即可求. 【详解】由正弦定理知：，而， ∴，又，即， ∴. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：应用正弦定理及辅助角公式化简等式条件，根据三角形的内角及正弦函数的性质求角. 5. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据∶lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30） A. 2021年 B. 2022年 C. 2023年 D. 2024年 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数模型列不等式计算． 【详解】设在2020年后第年超过200万， 则，，，即， ，，第年满足题意．即为2024年． 故选：D． 6. 已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且是等差数列，则下列结论错误的是（ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 是等差数列 D. 是等比数列 【答案】B 【解析】 【分析】计算可知数列是各项均为正数的常数列，计算得出的表达式，结合等差数列和等比数列的定义可判断各选项的正误. 【详解】由是等差数列，可得，即，， 设等比数列的公比为， 是各项均为正数的等比数列，则，. 对于A选项，，所以，数列是等差数列，因此A正确； 对于C选项，，是常数列，且为等差数列，因此C正确； 对于D选项，，是等比数列，因此D正确； 对于B选项，，则不是常数，不是等比数列，因此B不正确. 故选：B 【点睛】方法点睛：等差数列的三种判定方法： （1）定义法：（常数）数列为等差数列； （2）等差中项法：数列为等差数列； （3）通项公式法：（、为常数，）数列为等差数列. 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法. 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为，，为双曲线上的一点，若线段与轴的交点恰好是线段的中点，，其中，为坐标原点，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】 分别写出向量的坐标，再根据得到，代入渐近线方程，即可得到答案； 【详解】设双曲线的半焦距为，则点，由题意知轴， 所以点的横坐标为，由双曲线的对称性特点不妨设点， 所以，解得， 所以点， 所以点的坐标为， 所以，， 故， 所以， 所以. 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线渐近线方程，求解进直接根据向量的数量积关系，得到关系，考查运算求解能力. 8. 过点作直线交圆于两点，设，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可知，可以将转化与的比值的范围来进行求解． 【详解】解：由已知得，圆是以为圆心，以为半径的圆． ， 点在圆的内部，故当直线经过圆心时，取得最值． （1）当时，，， 此时，取最小值为， （2）当时，，， 此时，取最大值为， 所以，， 故选：A． 【点睛】关键点点睛：分析判断点在圆的内部，从而得当直线经过圆心时，取得最值． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若展开式所有项的系数之和与二项式系数之和均为32，则下面结论正确的是（ ） A. B. 展开式中含的系数为270 C. 展开式的第4项为 D. 展开式中含有常数项 【答案】ABC 【解析】 【分析】令，可得展开式所有项的系数之和，解之求得n；可判断A选项，再运用二项式的展开式的通项公式可判断BCD选项. 【详解】令，由题意可得，∴，．∴二项式为，∴A对； ∴，令，计算可知展开式中含的系数为270，∴B对； 令，所以，所以展开式的第4项为．∴C对；令，解得，而，所以展开式中不含有常数项， 故选：ABC． 【点睛】方法点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解． 10. 已知，是两条不相同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题中真命题有（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于选项A，可以举反例判断；对于选项BD可以证明；对于选项C可以举反例. 【详解】对于选项A，平面和可能相交，所以选项A是假命题； 对于选项B，由，可知，再由，可得，故选项B是真命题； 对于选项C，直线与平面可能相交，故选项C是假命题； 对于选项D，由，可知，再由，可得，故选项D是真命题． 故选：BD 【点睛】方法点睛：空间直线平面位置关系的判断，常用的方法有：（1）举反例；（2）直接证明；（3）反证. 要根据已知条件灵活选择方法判断得解. 11. 已知函数，若关于的方程有5个不同的实根，则实数可能的取值有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】画出的函数图象，根据图象讨论的根的情况，结合二次函数的性质可求解. 【详解】当时，，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 作出的图象，如图所示， 令，则， 令，由题意得方程有两个不同的根： ①有两个不同的根，，且，， 则有，解得. ②有两个不同的根，，且，， 则有，则， 方程为，得，，满足条件. ③有两个不同的根，，且，， 因为，则， 方程为，得，，不符合题意，舍去. 综上所述，实数. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题考查函数与方程的综合应用，解题的关键是画出函数图象，根据函数图象讨论方程的根的分布情况. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某种元件的使用寿命超过年的概率为，超过年的概率为，若一个这种元件使用年时还未失效，则这个元件使用寿命超过年的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率公式进行求解即可. 【详解】设一个这种元件使用年的事件为，使用年的事件为， 则. 故答案为： 13. 若函数图象在点处的切线方程为，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的导数，表示出切线方程，得k﹣b＝•x0﹣1，令＝xex﹣1，根据函数的单调性求出k﹣b的最小值即可． 【详解】已知，得f′（x）＝ex﹣1，设切点为（x0，f（x0）），故f′（x0）＝， 故f（x）＝ex﹣x图象在点（x0，f（x0））处的切线斜率为：k＝， 所求切线方程为y＝（﹣1）（x﹣x0）+﹣x0，即y＝（﹣1）x﹣x0， 则k＝﹣1，b＝﹣•x0，则k﹣b＝•x0﹣1，令＝xex﹣1，＝ex（x+1）， 当x＜﹣1时，＜0，当x＞﹣1时，＞0，所以在上递减，在上递增， 故＝xex﹣1在x＝﹣1处取得最小值，则k﹣b的最小值是﹣1﹣. 故答案为：. 【点睛】思路点睛： 首先，求出函数的导数，设切点（x0，f（x0）），得切线的斜率，进而得切线方程， 最后，得出＝•x0﹣1，令＝xex﹣1，求导得出的单调性及最值. 14. 回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如，，，等，显然位回文数有个：，，，，，位回文数有个：，，，，，，，． （）位回文数有__________个． （）位回文数有__________个． 【答案】 ①. 90 ②. 【解析】 【详解】（）位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，  第一步，选千位和个位数字，共有种选法，  第二步，选中间两位数字，有种选法，  故位回文数有个． （）第一步，选左边第一个数字，有种选法，  第二步，分别选左边第、、、、、个数字，共有种选法，  故位回文数有个. 四､解答题：本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且，当时，． （1）求数列的通项公式； （2）设，设，求数列的前项和为． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）当时，，可得，两式相减即可求解； （2）由（1）可求得，进而可得，，利用乘公比错位相减求和即可求解. 【详解】（1）当时，，， 两式相减可得：，即， 所以，不满足， 所以数列的通项公式为； （2）当时，由，，可得， ，满足，所以， 可得，， ， ， 两式相减可得： ， 所以. 16. 三阶魔方为的正方体结构，由26个色块组成.常规竞速玩法是将魔方打乱﹐然后在最短的时间内复原. （1）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度（秒）与训练天数（天）有关，经统计得到如下数据： （天） 1 2 3 4 5 6 7 （秒） 99 99 45 32 30 24 21 现用，作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度约为多少秒（精确到1秒）； （2）现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面.某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动，记顶面白色色块的个数为，求的分布列及数学期望. 参考数据（其中） 参考公式： 184.5 0.37 0.55 对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，. 【答案】（1），13秒；（2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）先求出，根据题目数据套公式求出和，即可得到关于回归方程，求出最终每天魔方还原的平均速度； （2）列举的可能取值，分别求概率，写出的分布列求出数学期望即可. 【详解】（1）由题意可知：， ， 所以， 因此关于的回归方程为， 所以最终每天魔方还原的平均速度约为13秒. （2）由题意可知：的可能取值为3，4，6，9， ，， ， ， 所以的分布列为 3 4 6 9 所以数学期望为. 【点睛】（1）求回归方程的步骤：①求出；②套公式求出；③写出回归方程；④利用回归方程进行预报； （2）求离散型随机变量的分布列，应按以下三个步骤进行： ①明确离散型随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义； ②利用概率的有关知识求出随机变量每个取值的概率； ③按规范形式写出分布列并用分布列的性质进行检验. 17. 在四棱锥中，底面为正方形，平面. （1）求证：平面； （2）求钝二面角的余弦值； （3）若存在一球心在面上，且为四棱锥的外接球，求该球体的体积和表面积；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由已知得出，，再利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）以为坐标原点，建空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，再利用向量法即可求解； （3）利用反证法证明即可. 【小问1详解】 因为底面为正方形， 所以， 因为平面，平面， 所以， 又因为，平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 如图，以为原点，为轴， 为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 则，， 设平面的一个法向量， 则，令，则， 设平面的一个法向量， 则，令，则， 则， 因为二面角为钝二面角，二面角大小为法向量夹角的补角， 所以钝二面角的余弦值为. 【小问3详解】 不存在，理由如下： 假设存在一球心在面上，且为四棱锥的外接球， 则， 因为底面为正方形， 所以为对角线与的交点， 因为平面，平面， 所以，即， 所以，与矛盾，故假设不成立， 所以不存在一球心在面上，且为四棱锥的外接球. 18. 已知圆与抛物线在轴下方的交点为，与抛物线的准线在轴上方的交点为，且点，关于直线对称． （1）求抛物线的方程； （2）若点，是抛物线上与点不重合的两个动点，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】（1）；（2）存在；定点坐标为． 【解析】 【分析】（1）联立抛物线准线与圆的方程求得点B的坐标，再根据点A和点B关于对称获得点A的坐标，最后根据点A在抛物线上，列方程求得，最后求得抛物线的方程;（2）设，，直线的方程为，联立直线方程与抛物线方程，由韦达定理可知，，因为，所以 ，整理化简得到，最后得到直线过定点. 【详解】（1）解：将代入，得，所以， 由点，关于直线对称，可得， 将的坐标代入抛物线的方程得，解得， 所以抛物线的方程为． （2）证明：由（1）得， 设，，直线的方程为． 将直线的方程代入得，所以， 所以，． 因为，所以 ， 由题意可知，，所以． 所以，即， 所以，即， 所以直线的方程为， 直线过定点，定点坐标为． 【点睛】求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值． 19. 设函数． （1）已知在点处的切线方程是，求实数，的值； （2）在第（1）问的条件下，若方程有唯一实数解，求实数的值． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】（1）当时，求得，得到，再由，联立方程组即可求解； （2）根据题意转化为有唯一实数解，设，求得，令，利用二次函数的性质，得到函数单调性与最值，进而得到，结合的单调性，求得方程的解为，代入，即可求解. 【详解】（1）当时，可得，所以，即， 因为，即，即 联立方程组，解得，． （2）由方程有唯一实数解，即有唯一实数解， 设，则， 令， 因为，所以，且，所以方程有两异号根， 设，，因为，所以应舍去， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 当时，，取最小值， 因为有唯一解，所以，则，即， 因为，所以．（*） 设函数， 因为当时，是增函数，所以至多有一解， 因为，所以方程（*）的解为， 将代入，可得． 【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略： 1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围； 2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $