专题02 实数（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材人教版

专题02 实数 算术平方根 1.定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 2.算术平方根的性质 3.算术平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 平方根 平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 立方根 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0 实数 1.无理数 （1）定义：无限不循环小数又叫无理数. （2）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （3）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 求一个数的算术平方根 【例1】（24-25七年级下·广西河池·期末）4的算术平方根是（　　） A． B． C． D．2 【变式1】（24-25七年级下·福建福州·期末）实数3的算术平方根是（    ） A． B． C．3 D． 【变式2】（24-25七年级下·北京怀柔·期末）25的算术平方根是5，可以用式子表示为（   ） A． B． C． D． 利用算术平方根的非负性解题 【例2】（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）若，则x的值是（   ） A．2025 B．1 C． D． 【变式1】（24-25七年级下·广东韶关·期末）已知实数m，n满足，则的值为（   ） A．4 B．3 C．1 D．0 求一个数的平方根 【例3】（24-25七年级下·云南临沧·期末）的平方根是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）的平方根为（    ） A． B． C． D． 已知一个数的平方根，求这个数 【例4】（24-25七年级下·云南楚雄·期末）已知一个正数的平方根是和，则的值是（    ） A．4 B． C．36 D． 【变式1】（24-25七年级下·广东东莞·期中）一个正数的两个平方根为和，则的值为______． 【变式2】（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是___________． 利用平方根解方程 【例5】（24-25七年级下·山东临沂·期末）若，则x的值为________． 【变式1】（24-25七年级下·四川南充·期末）若，则_______． 【变式2】（24-25七年级下·青海海西·期末）已知，则的值为___________． 求一个数的立方根 【例6】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）的立方根是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·安徽黄山·期末）若的立方为，则的值为（  ） A． B．或 C． D．或 平方根和立方根的综合应用 【例7】（24-25七年级下·广东广州·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【变式1】（24-25七年级下·陕西延安·期末）已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 无理数定义 【例8】（24-25七年级下·云南丽江·期末）在实数，0，，，，中，无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）下列各数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 无理数的大小估算 【例9】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知n是整数，且，则n的值是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式1】（24-25七年级下·广东云浮·期末）若一个正方形的面积是10，则它的边长大小在（   ） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 【变式2】（24-25七年级下·云南丽江·期末）估算的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 无理数整数部分的有关计算 【例10】（24-25七年级下·四川广安·期末）若的整数部分和小数部分分别是，则（　　） A． B． C．2 D． 【变式1】（24-25七年级上·山东泰安·期末）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分，类似的，的小数部分可以表示为_____． 【变式2】（24-25七年级下·四川凉山·期末）已知的算术平方根是，的立方根是3，c是的整数部分，则的平方根是___． 实数与数轴 【例11】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，面积为6的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点边上的数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·广西梧州·期末）如图，在数轴上手掌处表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 实数的大小比较 【例12】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）比较大小：7__________．（填“”“”或“”） 【变式1】（24-25七年级下·山东德州·期末）比较大小：_____1 【变式2】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）比较大小：_____．（填“”或“”） 实数的混合运算 【例13】（24-25七年级下·新疆哈密·期末）计算： (1)； (2)． 【变式1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）计算： 【变式2】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）计算： (1) (2) 程序设计与实数运算 【例14】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图是一个数值转换器，当输入的值是时，输出的值是______． 【变式1】（24-25七年级下·吉林·期末）有一个数值转换器，运算流程如图所示，当输入的x值为64时，输出的y值是（   ） A． B．2 C． D． 实数的实际应用 【例15】（24-25七年级下·江西赣州·期末）如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_________． 【变式1】（24-25七年级下·四川广元·期末）在综合实践课上，某同学用一根铁丝围成了一个面积为的正方形框架，该同学计划用同样长的一根铁丝围一个面积为的长方形框架，且长与宽的比为． (1)求正方形框架的边长． (2)该同学能围出这个长方形框架吗？请通过计算说明你的判断． 概念混淆类（根源：定义记混） 1.错：​=±4因：把算术平方根当成平方根；只带根号默认非负 2.错：带根号都是无理数因：不懂开得尽方（​,​）是有理数 3.错：负数能开平方因：忽略平方根前提a≥0，分不清平方 / 立方区别 公式乱用类（根源：不看前提） 1.错：​=a 因：漏掉绝对值，没考虑 a 是负数 2.错：随便给负数套 因：无视被开方数必须≥0 的硬性条件 3.错：平方根、立方根符号乱套 因：没记住：平方有正负，立方跟原数符号一致 审题粗心类（根源：看题不仔细） 1.问 “平方根” 只写一个正数因：审题漏关键词，把两道题混为一道 2.估算题直接乱写整数部分因：不会夹逼法，凭感觉猜 3.分不清整数部分、小数部分因：不懂无理数拆分逻辑 综合解题类（根源：不会判断正负） 数轴 + 根号 + 绝对值化简出错因：不会先判断字母正负，直接去根号、去绝对值 相反数、绝对值、倒数混搭算错因：以为实数和有理数完全一样，忽略带根号要先化简 分类速判技巧 看小数：有限 / 循环→有理数；不循环→无理数 看根号：开得尽→有理；开不尽→无理 看π：含 π 且消不掉→无理数 平方根 / 算术平方根 秒区分 1.单独√a：只取非负（算术根） 2.问 “一个数的平方根”：必带 **±** 3.根号前无字 = 正；有 ± 才是两个根 公式直接套（不踩坑） 1. → 前提：a≥0 2.=∣a∣ → 负数也要加绝对值 3. → 不用绝对值，正负原样留 符号口诀 平方拒负数，立方全收纳；根号外面看符号，根号内部不能负。 估算秒杀（夹逼法） 找相邻整数平方：如 ，4²=16，5²=25 定范围：4＜＜5 → 整数部分 4，小数部分−4 化简万能步骤 1 先判正负 → 2 去绝对值 → 3 去根号 → 4 合并计算 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数 算术平方根 1.定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 2.算术平方根的性质 3.算术平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 平方根 平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 立方根 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0 实数 1.无理数 （1）定义：无限不循环小数又叫无理数. （2）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （3）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 求一个数的算术平方根 【例1】（24-25七年级下·广西河池·期末）4的算术平方根是（　　） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查算术平方根的定义，熟练掌握定义是解题的关键， 根据算术平方根的定义，非负数x的算术平方根是非负数a，满足．4的算术平方根需满足且，由此确定答案． 【详解】解：4的算术平方根是2，用式子表示为， 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·福建福州·期末）实数3的算术平方根是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】本题考查算术平方根的概念，需明确算术平方根的定义．算术平方根是指一个非负实数的平方等于给定数时，这个非负数即为该数的算术平方根． 【分析】解：实数3的算术平方根是， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·北京怀柔·期末）25的算术平方根是5，可以用式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查算术平方根的定义，非负数a的算术平方根记作，据此即可求解，熟练掌握此定义是解题的关键． 【详解】解：5的算术平方根是5，用式子表示为， 故选：C 利用算术平方根的非负性解题 【例2】（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）若，则x的值是（   ） A．2025 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性； 根据非负数的性质，算术平方根和绝对值的值均非负，它们的和为零时，每个部分必须同时为零． 【详解】解：∵，且， ∴且， ∴，， ∴，， 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·广东韶关·期末）已知实数m，n满足，则的值为（   ） A．4 B．3 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查非负数的性质，由非负数的性质可知，绝对值和算术平方根的和为0时，每个部分都为0，由此解出m和n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵实数m，n满足， ∴ = 0， = 0， ∴， 解得，， ∴， 故选：A． 求一个数的平方根 【例3】（24-25七年级下·云南临沧·期末）的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根的概念，明确一个正数的平方根有两个，互为相反数是解题的关键． 首先根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数，列方程计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）的平方根为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，求一个数的平方根． 先计算的值，再求其平方根． 【详解】解：， ∵， ∴平方根为． 故选：C． 已知一个数的平方根，求这个数 【例4】（24-25七年级下·云南楚雄·期末）已知一个正数的平方根是和，则的值是（    ） A．4 B． C．36 D． 【答案】B 【分析】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义（一个正数有两个平方根，且互为相反数）是解本题的关键．根据一个正数有两个平方根，且互为相反数列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·广东东莞·期中）一个正数的两个平方根为和，则的值为______． 【答案】1 【分析】本题主要考查平方根，解题的关键是掌握正数的平方根有两个，且互为相反数的性质．根据平方根的性质解决此题即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根为和， ∴，解得， 故答案为：1． 【变式2】（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是___________． 【答案】25 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出a的值，从而得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∴一个正数的两个不同的平方根为， ∴这个正数为， 故答案为：． 利用平方根解方程 【例5】（24-25七年级下·山东临沂·期末）若，则x的值为________． 【答案】 【分析】本题根据平方根解方程，熟练掌握平方根的定义，是解题的关键，移项，系数化1，再利用平方根解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·四川南充·期末）若，则_______． 【答案】1或5 【分析】本题考查运用平方根解方程，方程两边直接开平方即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得，或， 故答案为：1或5． 【变式2】（24-25七年级下·青海海西·期末）已知，则的值为___________． 【答案】5或1/1或5 【分析】本题考查了平方根解方程． 方程两边同时除以2，再开平方，最后计算即可． 【详解】解：， ， ， 或， 故答案为：5或1． 求一个数的立方根 【例6】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）的立方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求立方根．根据立方根的定义和性质直接计算即可． 【详解】解： 故选：A 【变式1】（24-25七年级下·安徽黄山·期末）若的立方为，则的值为（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键，根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：由题意得：， 则， 解得：． 故选：C． 平方根和立方根的综合应用 【例7】（24-25七年级下·广东广州·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根． （1）根据立方根及算术平方根的定义即可求得，的值； （2）将，的值代入中计算后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， 解得， ∵的算术平方根是3， ∴． 解得． ∴，； （2）解：∵，， ∴． ∴的平方根为． 【变式1】（24-25七年级下·陕西延安·期末）已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)，； (2)3 【分析】本题主要考查算术平方根，立方根，熟练掌握算术平方根，立方根的概念是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根可直接列式计算； （2）由（1）及立方根的定义可直接求解． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是，的立方根是， ∴，， 解得，； （2）当，时，， ∴的立方根为3． 无理数定义 【例8】（24-25七年级下·云南丽江·期末）在实数，0，，，，中，无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义．注意带根号的数与无理数的区别：带根号的数不一定是无理数，带根号且开方开不尽的数一定是无理数．本题中，是有理数中的整数．由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及，等有这样规律的数．由此即可判定选择项． 【详解】解：在实数，0，，，，中， 无理数是：，，共2个； 故选：B． 【变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）下列各数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据立方根，算术平方根，无理数的定义判断即可．本题考查了无理数即无限不循环小数，算术平方根，立方根． 【详解】解：∵是有理数，不是无理数； 是有理数，不是无理数， 是有理数，不是无理数， 是无理数； 故选：C． 无理数的大小估算 【例9】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知n是整数，且，则n的值是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】先估算的大小，然后求出n的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·广东云浮·期末）若一个正方形的面积是10，则它的边长大小在（   ） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 【答案】C 【分析】本题考查估算无理数的大小．已知正方形的面积为10，其边长为．通过比较相邻整数的平方与10的大小关系，即可确定的范围． 【详解】解：∵ 正方形的面积为10， ∴ 边长为， ∵ ， ∴ ， ∴ 在3与4之间． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·云南丽江·期末）估算的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，先估算的范围，再估算的范围即可得解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 无理数整数部分的有关计算 【例10】（24-25七年级下·四川广安·期末）若的整数部分和小数部分分别是，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，解题关键是估算出整数部分后，然后即可得到小数部分．先求出的范围，再两边都乘以，再两边都加上，即可求出，把的值代入求出即可． 【详解】解： ， ， ， ， 即的整数部分是， 的小数部分是， 即，， ， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级上·山东泰安·期末）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分，类似的，的小数部分可以表示为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了求无理数的整数部分以及小数部分，先模仿题干的过程，得出，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴是的小数部分， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·四川凉山·期末）已知的算术平方根是，的立方根是3，c是的整数部分，则的平方根是___． 【答案】 【分析】本题考查估算无理数的大小，算术平方根、立方根，理解算术平方根、立方根的定义，掌握估算无理数的方法是正确解答的前提．根据算术平方根、立方根以及估算无理数的大小确定、、的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵的算术平方根是5， ， 解得：， ∵的立方根是3， ∴ 解得：， ∵， ∴， ∴， 是的整数部分， ， ∴， ∵25平方根为， ∴的平方根为． 故答案为;． 实数与数轴 【例11】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，面积为6的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点边上的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离．根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合A点所表示的数及间距离可得点E所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为6，且， ∴， ∵点A表示的数是，且点E在点A右侧， ∴点E表示的数为：，故B正确． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·广西梧州·期末）如图，在数轴上手掌处表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴的对应关系以及无理数的估算，解题的关键是估算出各选项中无理数的取值范围，并结合数轴判断． 先估算出每个选项中数的大致范围，再根据数轴上手掌遮挡点的位置判断该点表示的数的范围，最后对比得出答案． 【详解】解：根据题意得：在数轴上手掌处表示的数大于和小于， ∵， ∴，故C，D选项不符合题意； ∴，故A选项不符合题意；B选项符合题意； 故选：B． 实数的大小比较 【例12】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）比较大小：7__________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了无理数大小比较，通过比较平方的大小来判断原数的大小即可 【详解】解：因为，，且， 所以， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·山东德州·期末）比较大小：_____1 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，做题关键是掌握比较大小的方法．通过平方法估算的范围，进而可知的范围，则可得结果． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）比较大小：_____．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，先根据无理数的估算方法估算出的范围，进而得到与1的大小即可求解． 【详解】解：∵， ∴，则， ∴， 故答案为：． 实数的混合运算 【例13】（24-25七年级下·新疆哈密·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用算术平方根及立方根的定义计算后再算加减即可； 利用绝对值的性质，有理数的乘方法则计算后再算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）计算： 【答案】 【分析】此题考查实数的混合运算，先化简绝对值，计算算术平方根、立方根及乘方，再计算加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． （1）直接利用算术平方根与立方根、绝对值的性质分别化简，进而得出答案； （2）直接利用实数的运算法则进行计算得出答案． 【详解】（1）解： （2）解： 程序设计与实数运算 【例14】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图是一个数值转换器，当输入的值是时，输出的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了与流程图有关的实数计算，计算出的算术平方根，若结果为无理数，则输出，若结果为有理数，则把结果作为新数输入，继续求算术平方根，直至结果为无理数作为输出的结果，据此求解即可，看懂流程图是解题的关键． 【详解】解：的算术平方根是，是有理数， 的算术平方根是，是有理数， 的算术平方根是，是无理数， ∴输出的值是， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·吉林·期末）有一个数值转换器，运算流程如图所示，当输入的x值为64时，输出的y值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数的算术平方根及立方根的计算方法和无理数、程序图，解题时要注意数值如何转换．依据转换器流程，先求出64的算术平方根是8，是有理数；取立方根为2，是有理数：再取算术平方根为， 最后输出，即可求出的值． 【详解】解：的算术平方根是8，8是有理数， 取8的立方根为2，是有理数， 再取2的算术平方根为， 是无理数， 则输出， 的值是． 故选：A． 实数的实际应用 【例15】（24-25七年级下·江西赣州·期末）如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数混合运算的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据正方形的面积求其边长，然后求长方形的周长即可； （2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积，即为阴影部分的面积； 解题的关键是理解题意，掌握算术平方根的意义及相应的运算法则． 【详解】（1）解：∵两个正方形的面积分别为，， ∴小正方形的边长为， 大正方形的边长为， ∴长方形的周长为； （2）∵ ， ∴两块阴影部分的面积和为． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·四川广元·期末）在综合实践课上，某同学用一根铁丝围成了一个面积为的正方形框架，该同学计划用同样长的一根铁丝围一个面积为的长方形框架，且长与宽的比为． (1)求正方形框架的边长． (2)该同学能围出这个长方形框架吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】(1) (2)不能围出这个长方形框架，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根，利用开平方解方程，无理数的估算，熟练根据题意列出等式并利用开平方求解长方形边长是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式即可得出答案； （2）设长方形的长为，宽为，由其面积为，所以，利用平方根解方程求出，比较正方形的周长与长方形周长的大小关系即可． 【详解】（1）解：由题意得正方形框架的边长为； （2）解：不能围出这个长方形框架，理由如下： 由（1）得这根铁丝长为， 由修改后的长方形的长、宽之比为， 设长方形的长为，宽为， 由其面积为，得 ， 即， 解得（负值舍）， 长方形的周长为， ∵， ∴不能围出这个长方形框架． 概念混淆类（根源：定义记混） 1.错：​=±4因：把算术平方根当成平方根；只带根号默认非负 2.错：带根号都是无理数因：不懂开得尽方（​,​）是有理数 3.错：负数能开平方因：忽略平方根前提a≥0，分不清平方 / 立方区别 公式乱用类（根源：不看前提） 1.错：​=a 因：漏掉绝对值，没考虑 a 是负数 2.错：随便给负数套 因：无视被开方数必须≥0 的硬性条件 3.错：平方根、立方根符号乱套 因：没记住：平方有正负，立方跟原数符号一致 审题粗心类（根源：看题不仔细） 1.问 “平方根” 只写一个正数因：审题漏关键词，把两道题混为一道 2.估算题直接乱写整数部分因：不会夹逼法，凭感觉猜 3.分不清整数部分、小数部分因：不懂无理数拆分逻辑 综合解题类（根源：不会判断正负） 数轴 + 根号 + 绝对值化简出错因：不会先判断字母正负，直接去根号、去绝对值 相反数、绝对值、倒数混搭算错因：以为实数和有理数完全一样，忽略带根号要先化简 分类速判技巧 看小数：有限 / 循环→有理数；不循环→无理数 看根号：开得尽→有理；开不尽→无理 看π：含 π 且消不掉→无理数 平方根 / 算术平方根 秒区分 1.单独√a：只取非负（算术根） 2.问 “一个数的平方根”：必带 **±** 3.根号前无字 = 正；有 ± 才是两个根 公式直接套（不踩坑） 1. → 前提：a≥0 2.=∣a∣ → 负数也要加绝对值 3. → 不用绝对值，正负原样留 符号口诀 平方拒负数，立方全收纳；根号外面看符号，根号内部不能负。 估算秒杀（夹逼法） 找相邻整数平方：如 ，4²=16，5²=25 定范围：4＜＜5 → 整数部分 4，小数部分−4 化简万能步骤 1 先判正负 → 2 去绝对值 → 3 去根号 → 4 合并计算 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $