专题04 二元一次的方程组（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材人教版

专题04 二元一次的方程组 二元一次方程（组） 1.二元一次方程 （1）概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． （2）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2.二元一次方程组 （1）概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程的解：二元一次方程组的两个方程 ，叫做二元一次方程组的解． 解二元一次方程组 （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 二元一次方程组的应用 二元一次方程组的应用的解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 题型1 二元一次方程(组)的定义 【例1】（24-25七年级下·贵州黔西南·期末）若是关于x，y的二元一次方程，则m的值为（   ） A．4 B．或2 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，绝对值，二元一次方程中两个未知数的次数均为1，系数不能为0，由此可得且，通过计算即可得解． 【详解】解：由题意知且， 解得且， ， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·广西南宁·期末）下列等式中，是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的定义判断即可． 本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数的项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程． 【详解】解：A、是二元一次方程，故此选项符合题意； B、含未知数的项的次数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； C、含有一个未知数，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； D、含有一个未知数，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·重庆·期末）下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据二元一次方程组的定义判断，二元一次方程组需满足三个条件：一共含两个未知数，二所有方程都是整式方程，三未知数的最高次数为1，逐一判断选项即可． 【详解】解： A 该方程组共含有，两个未知数，两个方程都是整式方程，未知数最高次数为1，符合二元一次方程组的定义，故A正确． B 该方程组含有，，三个未知数，属于三元一次方程组，不符合定义，故B错误． C 第二个方程不是整式方程，不符合定义，故C错误． D 方程中未知数的次数为2，不符合一次的要求，故D错误． 【变式1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的识别，解题关键是理解二元一次方程组的定义． 根据二元一次方程组的定义，判断四个方程组，再作出选择． 【详解】解：A. 满足二元一次方程组的定义，它是二元一次方程组； B. 中，方程含分式，不是整式方程，它不是二元一次方程组； C. 中，含三个未知数、、，它不是二元一次方程组； D. 中，方程含二次项，不是一次方程，它不是二元一次方程组， 故选：A． 题型2 二元一次方程的解 【例3】（24-25七年级上·云南保山·期末）若是二元一次方程的一个解，则的值等于（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，掌握其定义是解题的关键．根据二元一次方程的解的定义，将代入方程即可求解． 【详解】解： 是二元一次方程的一个解， ∴将代入得，． 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·广西河池·期末）若是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的解的意义． 将方程的解代入原方程，然后进行求解即可． 【详解】解：将代入，得， 解得， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）学校计划用600元购买A、B两种奖品，A种每个45元，B种每个75元，在钱全部用完的情况下，有（   ）种购买方案． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程的解， 设购买A种奖品x个，B种奖品y个，根据总金额600元列出方程，化简后分析x、y的非负整数解． 【详解】设购买A种奖品x个，B种奖品y个， 由题意得： 整理得， ∴ ∵y为非负整数， ∴x为5整的倍数，且， 当时，，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，为负数，舍去． 因此，共有3种购买方案． 故选：B． 题型3 解二元一次方程组 【例4】（24-25七年级下·重庆·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）的系数互为相反数，用加减消元法解即可； （2）两个方程系数既不相等也不相反，用代入消元法解即可． 【详解】（1）解：， ①②得，，即， 解得：， 把代入①得，， 解得：， ∴这个方程组的解是； （2）解：， ，得，即， 把③代入②得，， ，即， ∴， 解得：， 将代入③得，， ∴这个方程组的解是． 【变式1】（24-25七年级下·江苏连云港·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，     由①得③，         将③代入②，得，解得，         把代入③得，     原方程组的解为； （2）解： 得③， 得④， 得，解得， 把代入②得，解得， 原方程组的解为． 【变式2】（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题关键是选择合适的消元方法解方程组． （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 把②代入①，得， 解得， 把代入②，得， ∴原方程组的解为； （2）解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为． 题型4 二元一次方程组的特殊解法 【例5】（23-24七年级上·北京通州·期末）已知有理数x、y满足方程①，②，求和的值． 通过读题小凯发现题目中给出的方程是有两个未知数的方程，我们没有学习过，求值的代数式也有两个未知数．小凯观察发现如果方程①，方程②的左侧对应着相减，即：化简后恰好出现代数式，方程①的左侧与方程②的左侧的2倍相加，即：化简后恰好出现代数式，依据所学知识可得：；，因此，小凯求出：，，请你按照小凯思路解决下列问题： (1)如果，那么 ， ； (2)小凯为班集体购买活动奖品，第一次他购买了15支铅笔、5块橡皮、4本日记本共花了75元，第二次他购买了29支铅笔、9块橡皮、7本日记本共花了140元，第三次老师让小凯购买6支铅笔、6块橡皮、6本日记本共需要多少元？ (3)对于有理数x、y，我们定义一个新运算：，等式右边是我们学习过的加法和乘法运算，其中a、b、c是常数，x，y是未知数．如果，计算的值． 【答案】(1) (2)60 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的特殊解法，准确理解题意是解题的关键． （1）将两方程相加，再乘以，即可求解；将化为即可求解； （2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每个笔记本z元，根据题意得出，再将化为并求值，再求出即可； （3）先根据新定义的公式得出，再表示出，即可求解； 【详解】（1）， ， 故答案为：； （2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每个笔记本z元，由题意得 ， ∴， ∴， ∴购买6支铅笔、6块橡皮、6本日记本共需要60元； （3）∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·江西上饶·期末）【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常也会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，比如，解方程组，首先将方程②变形得，即，其次把方程①代入③得：，即，最后把代入方程①，得，所以方程组的解为． 【解决问题】 (1)请用“整体代入消元”的方法解方程组； (2)已知x、y满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握“整体代入消元”法是解此题的关键． （1）利用“整体代入消元”的方法解方程组即可； （2）利用“整体代入消元”的方法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由②可得：，即， 把方程①代入③可得：， 解得， 把代入方程①可得：， 解得：， ∴方程组的解为； （2）解：， 由①可得：， 由②可得：，即， 把方程③代入④可得：， 解得． 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握用换元、整体代换方法解方程组是解题的关键．设，可得，即可求解． 【详解】解：由，得： ， 设， 由得：， 方程组的解是， 是方程组的解， ， 解得：， 故答案为：． 题型5二元一次方程组的错解复原问题 【例5】（24-25七年级下·四川巴中·期末）一个星期天，小明和小文同解一个二元一次方程组小明把方程①抄错，求得的解为，小文把方程②抄错，求得的解为． (1)求a，b的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，解题的关键是根据题意建立关于a、b的二元一次方程组． （1）根据一个方程抄错则另一个方程没有抄错，得到关于a、b的二元一次方程组，计算即可得到答案． （2）a、b的值代入原方程，解方程组即可． 【详解】（1）解：由题意得： 由可得： 解得：， 把代入①得 解得： ∴ （2）解：把代入原方程组为： 得 解得； 把代入①得， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·四川内江·期中）甲乙两人同时解关于，的方程组，甲看错了，求得的解为；乙看错了，求得的解为，求原方程组的解． 【答案】 【分析】将代入得，，求得 ；将代入得，，求得 ，构造新方程组是计算即可． 本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：由题意知：将代入得，， 将代入得，， 方程组是 得， 将代入得， 原方程组的解是 【变式2】（24-25七年级下·河南开封·期末）小明、小文都到黑板上做同一道题：解二元一次方程组，小明得出的答案是，小文得出的答案是．老师讲评时指出，小明的答案是正确的，小文的错了．小文经检查后发现是把第二个方程中的看错了，根据上述信息，请求出字母的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．因为小明是正确的，可将小明的答案代入原方程组，得出c的值和a与b的关系，又小文做错的原因是他把c看错了，可将小文的结果代入第一个式子，从而解出a、b、c的值，从而求解． 【详解】解：由题意知： ， 又∵小文做错的原因是他把c看错了， ∴与a、b无关． 故， ∴， 解得：． 题型6 构造二元一次方程组求解 【例7】（23-24七年级下·河南安阳·期末）对，定义一种新运算▲，规定：（其中，均为非零常数），例如：．已知．则________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，理解新运算的定义是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴，解得， ∴ 故答案为： ． 【变式1】（24-25七年级下·湖南永州·期末）已知的立方根是，的算术平方根是4，c是正数且算术平方根等于本身． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、平方根的意义、解二元一次方程组等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键． （1）利用立方根的意义、算术平方根的意义求出a，b，c的值； （2）将a，b，c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】（1）∵的立方根是，的算术平方根是4， ∴， 解得： ∵c是正数且算术平方根等于本身 ∴； （2）∵，， ∴ ∴的平方根为． 【变式2】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解： ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， 解得：； 故答案为：，； （2）， ，． ， ． 解得； （3）依题意得， 解得：， ， ． 解得∶． 题型7 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【例8】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）关于的方程组的解满足，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了含参数的二元一次方程组的解法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 利用加减消元法即可求出方程组的解，然后代入求参即可． 【详解】解：， ①②，得：， ∴， 代入②得：， 解得：， ∴， ∴， 解得：． 故答案为： ． 【变式1】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知关于的方程组的解满足，则______． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组的应用能力，关键是能用合适的方法准确求解．先求得此方程组的解为，再代入求解的值． 【详解】解：解方程组得，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期末）如果方程组的解也是方程的一个解，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解． 将化为，代入求出，进而求出，将，代入求解即可． 【详解】解：可化为， 将代入得， 解得：， 将代入得：， 解得：， 将，代入得：， 解得：， 故答案为：． 题型8 方程组相同解问题 【例9】（24-25七年级下·陕西汉中·期末）已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，求的值． 【答案】6 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，将两个方程组重新组合是解题的关键． 首先根据两个方程组的解相同，先联立不含参数的方程求出方程组的解，再将解代入含参数的方程中，进而求出a，b的值，最后计算的值即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组和的解相同， ∴可得方程组：，解得：， ∴可得方程组：，解得：， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·江西新余·期末）已知关于，的方程组与有相同的解． (1)请求出这个相同的解； (2)求，的值. 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的解法，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． （1）联立两方程组中不含a，b的方程求出相同的解即可； （2）把求出的解代入剩下的方程中，再联立方程组求出a与b的值即可． 【详解】（1）根据题意，得：， 解得：； （2）将代入方程组，得：， 解得：． 【变式2】（24-25七年级下·四川德阳·期末）已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求，的值； (2)证明：无论取何值，方程组的解都是关于，的方程的解． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查同解方程组，由二元一次方程组的解求参数．理解同解方程组的概念是解题关键． （1）根据两个方程组有相同的解，即可联立两个方程组中不含，的方程，所求的解代入含，的方程，即得出关于，的方程组，解之即可； （2）将（1）所求的解代入方程的左边，再化简，即可得证． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得； 将代入含有m、n的方程得：， 解得：； （2）证明：当时，方程的左边 ， ∴无论取何值，方程组的解都是关于，的方程的解． 题型9 方案问题 【例10】（24-25七年级下·河南新乡·期末）智能清洁机器人因其高效、便捷的特征，正逐渐受到各大商场的喜爱．某商场为节省人力成本，购进了15台A、B两种型号商用智能清洁机器人，且购进的这批清洁机器人1小时恰好能处理完整个商场．已知该商场的总面积是10500平方米，关于该批清洁机器人的信息如图所示． (1)分别求出商场采购的A、B两种型号清洁机器人的数量； (2)一段时间后，该商场开了一家总面积为7000平方米的分店，计划再次购买10台这两种型号的机器人（两种型号都需要）供分店使用．要使购买的这批机器人1小时内能处理完新开的分店，有多少种采购方案？ 【答案】(1)采购的A、B两种型号清洁机器人数量分别是5台，10台 (2)共有3种购买方案，方案一：购买A型号机器人1台，B型机器人9台；方案二：购买A型号机器人2台，B型机器人8台；方案三：购买A型号机器人3台，B型机器人7台 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程组和不等式是关键． （1）设采购的、两种型号清洁机器人数量分别是台，台，根据题意列出方程组并解方程组即可； （2）根据购买的这批机器人1小时内能处理完新开的分店列不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：设采购的、两种型号清洁机器人数量分别是台，台， 根据题意，得， 解得：， 答：采购的A、B两种型号清洁机器人数量分别是5台，10台． （2）设此次购买型号机器人台，则购买型号机器人台， 根据题意，得， 解得， 是正整数， 可能取值1，2，3， 共有3种购买方案， 方案一：购买A型号机器人1台，B型机器人9台； 方案二：购买A型号机器人2台，B型机器人8台； 方案三：购买A型号机器人3台，B型机器人7台. 【变式1】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）一建筑公司租用甲、乙两种货车向工地运送水泥，共运送了两次，每一辆车都是满载运输，具体情况如下表： 甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨） 第一次 2 1 10 第二次 3 5 29 (1)甲、乙两种货车每辆分别能装水泥多少吨？ (2)现工地需要35吨水泥，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满．求有哪几种租车方案？ 【答案】(1)甲、乙两种货车每辆分别能装水泥3吨，4吨 (2)有三种租车方式，分别是租用1辆甲种货车与8辆乙种货车或租用5辆甲种货车与5辆乙种货车或租用9辆甲种货车与2辆乙种货车 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（二元一次方程）是解题的关键． （1）设每辆甲种货车能装水泥x吨，每辆乙种货车能装水泥y吨，根据第一、二次的运输情况，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车，根据租用的两种货车恰好一次运输35吨水泥，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各租车方案． 【详解】（1）解：设甲、乙两种货车每辆分别能装水泥x吨，y吨． 则有， 解方程组得：， 答：甲、乙两种货车每辆分别能装水泥3吨，4吨． （2）解：设需要租用甲种货车辆，乙种货车辆． 则， ∴ ∵，都是正整数， ∴只能取1，5，9 ，代入得为8，5，2； 答：有三种租车方式，分别是租用1辆甲种货车与8辆乙种货车或租用5辆甲种货车与5辆乙种货车或租用9辆甲种货车与2辆乙种货车． 【变式2】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）古人曰：“读万卷书，行万里路”，经历是最好的学习，研学是最美的相遇．某中学组织七年级420名师生开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是林老师和小辰同学有关租车问题的对话： 林老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元．” 小辰：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计5100元．” 根据以上师生两人对话，解答下列问题： (1)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问共有几种租车方案？ 【答案】(1)客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元 (2)共有3种租车方案 【分析】本题主要考查列方程或方程组解决实际问题，以及最优方案的问题，解题的关键是列方程需要找到等量关系式． （1）设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元，根据“60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元，租用4辆60座和2辆45座的客车，一天的租金共计5100元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用60座客车m辆，45座客车n辆，根据“租用的客车要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满”，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为自然数，可得出各租车方案，再求出各租车方案所需租车费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元； （2）解：设租用60座客车m辆，45座客车n辆， 根据题意得：， ． 又m，n均为自然数， 或或， 共有3种租车方案，方案1：租用60座客车7辆；方案2：租用60座客车4辆，45座客车4辆；方案3：租用60座客车1辆，45座客车8辆． 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某铁件加工厂用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）可以加工成图2的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 a张 正方形铁片的数量 b张 2张 则_________，_________； (2)若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图2的竖式容器和横式容器时，两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？ (3)已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选择？ 【答案】(1)3，1 (2)可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器 (3)共有2种方案可供选择，详见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，熟练掌握1个竖式无盖容器需要长方形铁片张数和正方形铁片张数， 1个横式无盖容器需要长方形铁片张数和正方形铁片张数，总价与单价和数量的关系，正确列出二元次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）根据“制作1个竖式无盖容器需要4张长方形铁片、1张正方形铁片，制作1个横式无盖容器需要3张长方形铁片、2张正方形铁片”，即可得出结论； （2）设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器，根据加工两种容器共用了170张长方形铁片和80张正方形铁片，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设采购m个竖式容器，n个横式容器，利用总价=单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各采购方案． 【详解】（1）解：制作1个竖式无盖容器需要4张长方形铁片、1张正方形铁片，制作1个横式无盖容器需要3张长方形铁片、2张正方形铁片， ． 故答案为：3，1； （2）解：设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器， 根据题意得：， 解得： 答：可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器； （3）解：设采购m个竖式容器，n个横式容器， 根据题意得：， ， 又m，n均为正整数， 或， ∴共有2种方案可供选择， 方案1：采购10个竖式容器，5个横式容器； 方案2：采购4个竖式容器，10个横式容器． 题型10 分配问题 【例11】（24-25七年级下·北京丰台·期末）青花瓷是中国瓷器主流品种之一，由于它具有白瓷如雪，青花似玉的特征，因此深受人们的喜爱．现某瓷器厂计划生产由1个茶壶和8个茶杯组成套装的青花瓷茶具．若一位工人一天只能生产200个茶杯或50个茶壶，该厂现有120名工人，如何安排生产茶杯或茶壶的工人人数使生产的茶具配套． 【答案】安排80名工人生产茶杯，40名工人生产茶壶 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用；设名工人生产茶杯，名工人生产茶壶，根据有120名工人，且1个茶壶和8个茶杯组成套装的青花瓷茶具．一位工人一天只能生产200个茶杯或50个茶壶，列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设名工人生产茶杯，名工人生产茶壶，    根据题意，得         解方程组.得             答：安排80名工人生产茶杯，40名工人生产茶壶. 【变式1】（24-25七年级下·重庆九龙坡·期末）某工厂用长方形铁片和正方形铁片（长方形铁片的宽与正方形铁片的边长相等）（如图1）加工成横式与竖式两种无盖的长方形铁容器（如图2）．（加工时接缝材料不计） (1)现用长方形铁片90个，正方形铁片50个加工成两种长方形铁容器，刚好铁片全部用完，则加工成横式与竖式长方形铁容器各多少个？ (2)把长方形铁容器用长方形铁片或正方形铁片加盖可以制作成铁盒．已知1张铁板可以加工成3个长方形铁片或4个正方形铁片．现有55张铁板，请你计算如何加工，才能充分利用好现有的这55张铁板，让加工所得的所有长方形铁片与正方形铁片刚好配套制作成铁盒，并计算可加工制作成多少个长方形铁盒？ 【答案】(1)可以加工横式长方体形容器22个，横式长方形铁容器6个 (2)可以加工成30个铁盒 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设可以加工横式长方体铁容器x个，竖式长方体铁容器y个，根据加工的两种长方体铁容器共用了长方形铁片90个、正方形铁片50个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，根据铁板总数为55张，裁成的长方形铁片和正方形铁片正好配套，即可得出关于m，n的二元一次方程，． 【详解】（1）解：设可以加工横式长方形铁容器x个，竖式长方形铁容器y个， 依题意，得：， 解得：． 答：可以加工横式长方体形容器22个，横式长方形铁容器6个． （2）解：设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，根据题意得： ， 解得：， （个）， 答：可以加工成30个铁盒． 【变式2】（23-24七年级下·北京丰台·期末）端午节是中国四大传统节日之一，粽子是端午节期间不可缺少的美食．小超妈妈了解到包3个蜜枣粽子和4个鲜肉粽子，需要糯米390克：包2个蜜枣粽子和5个鲜肉粽子，需要糯米400克． (1)求包1个蜜枣粽子和1个鲜肉粽子各需要糯米多少克？ (2)家中现有2.1千克糯米，以及足量的蜜枣和鲜肉，小超妈妈计划包蜜枣粽子和鲜肉粽子共40个，她最多能包多少个鲜肉粽子？ 【答案】(1)包1个蜜枣粽子需要50克糯米，包1个鲜肉粽子需要60克糯米 (2)小超妈妈最多能包10个鲜肉粽子 【分析】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的应用，审清题意、正确列出方程组或不等式是解题的关键． （1）根据两种不同的包法共需的总糯米克数列出方程组即可． （2）设小超妈妈包个鲜肉粽子，依据题意列出不等式，求得最大的整数解即可． 【详解】（1）解：设包1个蜜枣粽子需要克糯米，包1个鲜肉粽子需要克糯米． 根据题意得 解得 答：包1个蜜枣粽子需要50克糯米，包1个鲜肉粽子需要60克糯米 （2）设小超妈妈包个鲜肉粽子，则包个蜜枣粽子．根据题意得： ， 解得， 故取a的最大整数解10． 答：小超妈妈最多能包10个鲜肉粽子． 题型11 销售经济问题 【例12】（24-25七年级下·青海玉树·期末）骑行过程中佩戴安全头盔，可以保护头部，减少伤害．某商店经销进价分别为40元/个、30元/个的甲、乙两种安全头盔，下表是近两天的销售情况：（注：进价、售价均保持不变，利润售价进价） 时间 甲头盔销量 乙头盔销量 销售额 周一 8 10 840 周二 8 12 920 (1)求甲、乙两种头盔的销售单价； (2)若商店准备用不多于3650元的资金购进这两种头盔共100个，最多能购进甲种头盔多少个？ (3)在的条件下，商店销售完这100个头盔能否实现获利1300元的目标？若能，请给出相应的进货方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)甲种头盔的销售单价是55元，乙种头盔的销售单价是40元 (2)65个 (3)能，购进60个甲种头盔，40个乙种头盔 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设甲种头盔的销售单价是x元，乙种头盔的销售单价是y元，利用销售额=销售单价销售数量，结合近两天的销售情况，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进甲种头盔m个，则购进乙种头盔个，利用进货总价进货单价购进数量，结合进货总价不多于3650元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论； （3）利用总利润每个甲种头盔的销售利润购进甲种头盔的数量每个乙种头盔的销售利润购进乙种头盔的数量，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲种头盔的销售单价是x元，乙种头盔的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得： 答：甲种头盔的销售单价是55元，乙种头盔的销售单价是40元； （2）解：设购进甲种头盔m个，则购进乙种头盔个， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为 答：最多能购进甲种头盔65个； （3）解：根据题意得：， 解得：， 个 答：当购进60个甲种头盔，40个乙种头盔时，商店销售完这100个头盔获利1300元． 【变式1】（24-25七年级下·陕西安康·期末）“云健身”火了，也带动了小型居家健身器材的热销，某网店A，B两种健身器材的销量最高．已知售出2件A种健身器材和3件B种健身器材所得利润为700元，且售出每件A种健身器材的利润是每件B种健身器材利润的2倍． (1)求每件A种健身器材和B种健身器材的利润；（用二元一次方程组的知识解答） (2)由于需求量大，A，B两种健身器材很快售完，该店决定再次购进A，B两种健身器材共80件．如果将这80件健身器材全部售完后所得利润不低于10 000元，那么该店至少需要购进多少件A种健身器材？ 【答案】(1)每件种健身器材的利润为200元，每件种健身器材的利润为100元 (2)该店至少需要购进20件种健身器材 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是正确列出二元一次方程组和一元一次不等式． （1）设每件种健身器材的利润为元，每件种健身器材的利润为元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进件种健身器材，则购进件B种健身器材，根据总利润售出每件商品的利润销售数量结合总利润不低于元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论． 【详解】（1）解：设每件种健身器材的利润为元，每件种健身器材的利润为元， 由题意得：， 解得． 答：每件种健身器材的利润为200元，每件种健身器材的利润为100元． （2）解：设需要购进件种健身器材，则购进件种健身器材， 由题意得， 解得， ∵为整数， ∴的最小值为20． 答：该店至少需要购进20件种健身器材． 【变式2】（24-25七年级下·山东潍坊·期末）为更好地满足学生在暑假期间的阅读需求，某书店在暑假前投入90000元资金购进甲、乙两种图书共1000套，这两种图书的进价和标价如下表所示： 类别 进价（元/套） 标价（元/套） 甲 80 95 乙 105 125 (1)该书店购进甲、乙两种图书各多少套？ (2)在暑假期间，书店将甲种图书按标价销售，乙种图书打折销售，若将这1000套图书全部售完，恰好获得15000元的利润，则书店应将乙种图书按标价的几折销售？ 【答案】(1)购进甲图书套，购进乙图书套 (2)书店应将乙种图书按标价的九六折销售 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次方程的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）购进甲图书套，购进乙图书套，由此列二元一次方程组求解即可； （2）设乙图书打折，由此列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：购进甲图书套，购进乙图书套， ∴， 解得，， ∴购进甲图书套，购进乙图书套； （2）解：设乙图书打折， ∴， 解得，，即九六折， ∴书店应将乙种图书按标价的九六折销售． 题型12 几何问题 【例13】（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） (1)求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)小长方形的长为10，宽为3 (2)82 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设小长方形的长为，宽为，结合图形性质建立方程组解题即可； （2）利用割补法可得阴影部分的面积等于大的长方形面积减去9个形状、大小都相同的小长方形面积，进一步列式计算即可. 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得，解得， 答：小长方形的长为10，宽为3. （2）解：． 【变式1】（24-25七年级下·吉林白城·期末）某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)如果加工竖式容器与横式容器各1个，那么共需要长方形铁片_____张，正方形铁片_____张． (2)现有长方形铁片2025张，正方形铁片1100张，如果加工成这两种容器，刚好用完全部铁片，那么加工的竖式容器、横式容器各有多少个？ 【答案】(1)， (2)加工的竖式容器150个，横式容器475个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）观察图形，找出加工1个竖式铁容器与横式铁容器所需长方形及正方形铁皮张数，将其相加即可得出结论； （2）设可加工的竖式容器个，横式容器个，根据加工这两种铁容器正好将两种铁皮用完，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）（张），（张）． 故答案为：7；3． （2）设加工的竖式容器个，横式容器个， 根据题意，得 解得： 答：加工的竖式容器150个，横式容器475个． 【变式2】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、图2所示的图形，拼成的图1是一个长方形，图2是一个面积为的正方形． (1)求图2的边长； (2)求每个小长方形的长与宽． 【答案】(1) (2)每个小长方形的长为，宽为 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）由算术平方根的定义即可得出结论； （2）设每个小长方形的长为，宽为，根据图1和图2中的数量关系，列出二元二次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：设图2的边长为． 根据题意，得． 所以，． 答：图2的边长为． （2）解：设每个小长方形的长为，宽为． 根据题意，得 解得，． 答：每个小长方形的长为，宽为． 题型13 古代问题 【例14】（24-25八年级上·四川成都·期末）我国古代经典数学著作《孙子算经》中记载着这样一个题目：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设木长尺，绳长尺，根据题意列出方程组即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设木长尺，绳长尺， 由题意得，， 故选：． 【变式1】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，书中记载这样一个问题：今有三人共车；二车空；二人共车，九人步，问人几何？这个问题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，恰好剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则总人数为（    ） A．15人 B．39人 C．41人 D．20人 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设有辆车，乘车人数为人，根据今有若干人乘车，每三人乘一车，恰好剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设有辆车，总人数为人， 依题意得：， 解得：， 即总人数为39人， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出钱，就多了钱；如果每人出钱，就少了钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，共有人，物品的价格为钱，列出二元一次方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：共有人，物品的价格为钱， 根据题意得， 故选：． 【变式3】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）《张邱建算经》中有这样一个问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”其大意为：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？设甲原来有钱币枚，乙原来有钱币枚，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列二元一次方程组，需根据题意正确理解“多出5倍”的含义，并找到等量关系．设甲原有枚，乙原有枚，由题意可知，第一个条件中，乙给甲10枚后，甲的钱数是乙剩余钱数的6倍；第二个条件中，甲给乙10枚后两人钱数相等，据此列二元一次方程组即可． 【详解】解：设甲原有枚，乙原有枚， 则， 故选：D． 题型14 其他问题 【例15】（24-25七年级下·湖北黄石·期末）活动：二元一次方程的“图像”，在平面直角坐标系中，二元一次方程的一个解可以用一个点表示出来．标出一些以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，可以发现这些点落在同一条直线上．在这条直线上任取一点，这个点的坐标就是方程的解． 一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图像． 二元一次方程的图像是一条直线． (1)根据上述结论，在同一平面直角坐标系画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图像； (2)点、分别是图像上的点． ①是否为定值？若是，则求出的值；若不是，则说明理由． ②点R在y轴上，当时，，求出R的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)①是定值，值为2；②或 【分析】本题考查二元一次方程组，平面直角坐标系，网格中求图形面积，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）分别取两个二元一次方程的两个解，得到点到坐标，在平面直角坐标系中标出点再连接两点即可得到图像； （2）①根据题意将点分别代入中得到，，进而即可求出； ②根据题意分别得到点，坐标，设的坐标为，再分两种情况讨论：当点在轴正半轴上时，过点分别作轴、轴的垂线，过点作轴的平行线，交点分别为点，连接．当点在轴负半轴上时，结合建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：令中的、分别等于零，得到， 连接两点即可得到图像； 令中的分别等于零，得到， 连接两点即可得到图像，如图所示：（解法不一） （2）解：①由题意可得：， ， 把点代入，得：， ， ， 是定值，值为2． ②点、分别是、图像上的点， 当时，，解得，所以点坐标为； ， 当点在轴正半轴上时，过点分别作轴、轴的垂线，过点作轴的平行线，交点分别为点，连接． 设的坐标为， ， ， ， ， 解得：， ， 当点在轴负半轴上时， 同理， ， 解得：， ； 或． 【变式1】（24-25七年级下·重庆北碚·期末）某校组织了一场校园篮球赛．比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．甲队在第一轮比赛中赛了9场，负了2场，共得17分，则甲队在第一轮比赛中胜的场数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设甲队胜了场，平了场．根据总场数和得分建立方程组，解方程即可． 【详解】解：设甲队胜了场，平了场， 根据题意得， 解得 ∴甲队在第一轮比赛中胜了5场． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）为了提倡节约用水，某市根据居民每月的用水量实行阶梯水价：每户每月用水量不超过时，按一级单价收费；超过时，超过部分按二级单价收费．五月份王阿姨家用水，缴费37.6元；张奶奶家用水，缴费47.2元． (1)求该市一级水费、二级水费的单价分别是多少元？ (2)某户某月缴纳水费为63.2元时，用水量为多少？ 【答案】(1)一级水费单价为2.6元，二级水费单价为3.2元 (2)该户某月用水22立方米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程组是解题的关键． （1）设一级水费单价为x元，二级水费单价为y元，根据五月份王阿姨家用水，,缴费37.6元；张奶奶家用水，缴费47.2元，列出方程组，解方程组即可； （2）设该户某月用水m立方米，根据该户某月缴费63.2元列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设一级水费单价为x元，二级水费单价为y元， 根据题意列方程组：， 解得， 所以一级水费单价为2.6元，二级水费单价为3.2元， 答：一级水费单价为2.6元，二级水费单价为3.2元． （2）解：设该户某月用水m立方米， 则， 整理得，， 解得， 答：该户某月用水22立方米． 【变式3】（24-25七年级下·河北唐山·期末）如图，实验室桌子上放置有三组量杯，每组中两个量杯规格大小相同，每组中量杯A内均装有的水，量杯B内均装有的水． 操作一：对甲组中量杯A加水，此时量杯A内水量是量杯B内水量的2倍； 操作二：对乙组中量杯B加水，此时量杯B内水量是量杯A内水量的； 操作三：对丙组中量杯A，B分别加水，，此时两个量杯中的水均未满． (1)求x和y的值； (2)操作三中，当量杯B中水量比量杯A中水量多时，求a的最小整数值． 【答案】(1)， (2)15 【分析】本题考查了一元一次不等式的求解以及二元一次方程组的求解与实际应用，根据题目已知列出方程组和不等式是解决本题的关键 （1）根据操作一可知，此时甲组中量杯A的水量为，由量杯A内水量是量杯B内水量的2倍建立等式；操作二可知，此时乙组中量杯B的水量为，由量杯B内水量是量杯A内水量的建立等式；即可列出二元一次方程并求解； （2）根据操作三可知，此时丙组中量杯A，B的水量分别为，，由量杯B中水量比量杯A中水量多建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵每组中量杯A内均装有的水，量杯B内均装有的水， 由操作一可知，， 由操作二可知，， ∴，解得； （2）解：由（1）知，，， 此时丙组中量杯A，B分别加水，， 则量杯A的水量为，量杯B的水量为， ∵量杯B中水量比量杯A中水量多， ∴，解得， ∴a的最小整数值为15． 计算类错误（最多） 1.加减消元：同减异加记反，符号崩盘 2.等式扩倍：只乘未知数，常数项漏乘 3.去分母 / 括号：漏项、正负变号错 4.求出一解，忘记回代求第二个解 方法选择错误 1.系数 ±1 硬用加减，浪费时间还错 2.系数成倍数不用加减，盲目代入复杂化 概念混淆错误 1.分不清：二元一次方程无数解 / 方程组唯一解 2.误把单个方程的解，当成方程组的解 应用题专属错因 1.找不齐两组等量关系，只列一个方程 2.配套 / 行程题：比例、顺水逆水、路程关系理解错 3.接设元卡死，不会用间接设元 答题规范失分 1.不检验、不写答句 2.含参题漏分类讨论，取值范围不写 选法速判 （1）系数有 ±1 →优先代入消元。 （2）同未知数成倍数 →优先加减消元 （3）含分数/小数 →先去分母、化整数再算. 代入消元三 （1）变:把系数 +1的项，单独放一边 （2）代:整体塞进另一个方程，消元 （3）求:先算一个，再回代求第二个 加减消元口诀 （1）同系数，相减;异系数，相加 （2）扩倍要全员乘:未知数+常数，一个不漏 化简秒杀 （1）小数方程组:全体 x10、x100 化成整数 （2）分数方程组:两边同乘最小公分母，去分母 应用题抓分 （1）必找两句等量关系，列两个方程 （2）行程:路程=速度x时间;顺水加水流，逆水减水流 （3）配套:按比例列等式(如 1桌面配 4 桌腿) （4）难列式一换间接设元 避坑收尾 （1）算出两解必回原方程检验 （2）含参题:无解/无数解，看系数比例 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二元一次的方程组 二元一次方程（组） 1.二元一次方程 （1）概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． （2）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2.二元一次方程组 （1）概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程的解：二元一次方程组的两个方程 ，叫做二元一次方程组的解． 解二元一次方程组 （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 二元一次方程组的应用 二元一次方程组的应用的解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 题型1 二元一次方程(组)的定义 【例1】（24-25七年级下·贵州黔西南·期末）若是关于x，y的二元一次方程，则m的值为（   ） A．4 B．或2 C． D．2 【变式1】（24-25七年级下·广西南宁·期末）下列等式中，是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·重庆·期末）下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 题型2 二元一次方程的解 【例3】（24-25七年级上·云南保山·期末）若是二元一次方程的一个解，则的值等于（    ） A． B． C．2 D．3 【变式1】（24-25七年级下·广西河池·期末）若是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为（   ） A． B．4 C． D．5 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）学校计划用600元购买A、B两种奖品，A种每个45元，B种每个75元，在钱全部用完的情况下，有（   ）种购买方案． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 题型3 解二元一次方程组 【例4】（24-25七年级下·重庆·期末）解方程组： (1)； (2)． 【变式1】（24-25七年级下·江苏连云港·期末）解方程组： (1)； (2)． 【变式2】（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）解方程组： (1) (2) 题型4 二元一次方程组的特殊解法 【例5】（23-24七年级上·北京通州·期末）已知有理数x、y满足方程①，②，求和的值． 通过读题小凯发现题目中给出的方程是有两个未知数的方程，我们没有学习过，求值的代数式也有两个未知数．小凯观察发现如果方程①，方程②的左侧对应着相减，即：化简后恰好出现代数式，方程①的左侧与方程②的左侧的2倍相加，即：化简后恰好出现代数式，依据所学知识可得：；，因此，小凯求出：，，请你按照小凯思路解决下列问题： (1)如果，那么 ， ； (2)小凯为班集体购买活动奖品，第一次他购买了15支铅笔、5块橡皮、4本日记本共花了75元，第二次他购买了29支铅笔、9块橡皮、7本日记本共花了140元，第三次老师让小凯购买6支铅笔、6块橡皮、6本日记本共需要多少元？ (3)对于有理数x、y，我们定义一个新运算：，等式右边是我们学习过的加法和乘法运算，其中a、b、c是常数，x，y是未知数．如果，计算的值． 【变式1】（24-25七年级下·江西上饶·期末）【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常也会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，比如，解方程组，首先将方程②变形得，即，其次把方程①代入③得：，即，最后把代入方程①，得，所以方程组的解为． 【解决问题】 (1)请用“整体代入消元”的方法解方程组； (2)已知x、y满足方程组，求的值． 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的二元一次方程组的解为______． 题型5二元一次方程组的错解复原问题 【例5】（24-25七年级下·四川巴中·期末）一个星期天，小明和小文同解一个二元一次方程组小明把方程①抄错，求得的解为，小文把方程②抄错，求得的解为． (1)求a，b的值； (2)求原方程组的解． 【变式1】（24-25七年级下·四川内江·期中）甲乙两人同时解关于，的方程组，甲看错了，求得的解为；乙看错了，求得的解为，求原方程组的解． 【变式2】（24-25七年级下·河南开封·期末）小明、小文都到黑板上做同一道题：解二元一次方程组，小明得出的答案是，小文得出的答案是．老师讲评时指出，小明的答案是正确的，小文的错了．小文经检查后发现是把第二个方程中的看错了，根据上述信息，请求出字母的值． 题型6 构造二元一次方程组求解 【例7】（23-24七年级下·河南安阳·期末）对，定义一种新运算▲，规定：（其中，均为非零常数），例如：．已知．则________． 【变式1】（24-25七年级下·湖南永州·期末）已知的立方根是，的算术平方根是4，c是正数且算术平方根等于本身． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【变式2】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 题型7 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【例8】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）关于的方程组的解满足，则_____． 【变式1】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知关于的方程组的解满足，则______． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期末）如果方程组的解也是方程的一个解，则的值为_______． 题型8 方程组相同解问题 【例9】（24-25七年级下·陕西汉中·期末）已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·江西新余·期末）已知关于，的方程组与有相同的解． (1)请求出这个相同的解； (2)求，的值. 【变式2】（24-25七年级下·四川德阳·期末）已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求，的值； (2)证明：无论取何值，方程组的解都是关于，的方程的解． 题型9 方案问题 【例10】（24-25七年级下·河南新乡·期末）智能清洁机器人因其高效、便捷的特征，正逐渐受到各大商场的喜爱．某商场为节省人力成本，购进了15台A、B两种型号商用智能清洁机器人，且购进的这批清洁机器人1小时恰好能处理完整个商场．已知该商场的总面积是10500平方米，关于该批清洁机器人的信息如图所示． (1)分别求出商场采购的A、B两种型号清洁机器人的数量； (2)一段时间后，该商场开了一家总面积为7000平方米的分店，计划再次购买10台这两种型号的机器人（两种型号都需要）供分店使用．要使购买的这批机器人1小时内能处理完新开的分店，有多少种采购方案？ 【变式1】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）一建筑公司租用甲、乙两种货车向工地运送水泥，共运送了两次，每一辆车都是满载运输，具体情况如下表： 甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨） 第一次 2 1 10 第二次 3 5 29 (1)甲、乙两种货车每辆分别能装水泥多少吨？ (2)现工地需要35吨水泥，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满．求有哪几种租车方案？ 【变式2】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）古人曰：“读万卷书，行万里路”，经历是最好的学习，研学是最美的相遇．某中学组织七年级420名师生开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是林老师和小辰同学有关租车问题的对话： 林老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元．” 小辰：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计5100元．” 根据以上师生两人对话，解答下列问题： (1)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问共有几种租车方案？ 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某铁件加工厂用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）可以加工成图2的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 a张 正方形铁片的数量 b张 2张 则_________，_________； (2)若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图2的竖式容器和横式容器时，两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？ (3)已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选择？ 题型10 分配问题 【例11】（24-25七年级下·北京丰台·期末）青花瓷是中国瓷器主流品种之一，由于它具有白瓷如雪，青花似玉的特征，因此深受人们的喜爱．现某瓷器厂计划生产由1个茶壶和8个茶杯组成套装的青花瓷茶具．若一位工人一天只能生产200个茶杯或50个茶壶，该厂现有120名工人，如何安排生产茶杯或茶壶的工人人数使生产的茶具配套． 【变式1】（24-25七年级下·重庆九龙坡·期末）某工厂用长方形铁片和正方形铁片（长方形铁片的宽与正方形铁片的边长相等）（如图1）加工成横式与竖式两种无盖的长方形铁容器（如图2）．（加工时接缝材料不计） (1)现用长方形铁片90个，正方形铁片50个加工成两种长方形铁容器，刚好铁片全部用完，则加工成横式与竖式长方形铁容器各多少个？ (2)把长方形铁容器用长方形铁片或正方形铁片加盖可以制作成铁盒．已知1张铁板可以加工成3个长方形铁片或4个正方形铁片．现有55张铁板，请你计算如何加工，才能充分利用好现有的这55张铁板，让加工所得的所有长方形铁片与正方形铁片刚好配套制作成铁盒，并计算可加工制作成多少个长方形铁盒？ 【变式2】（23-24七年级下·北京丰台·期末）端午节是中国四大传统节日之一，粽子是端午节期间不可缺少的美食．小超妈妈了解到包3个蜜枣粽子和4个鲜肉粽子，需要糯米390克：包2个蜜枣粽子和5个鲜肉粽子，需要糯米400克． (1)求包1个蜜枣粽子和1个鲜肉粽子各需要糯米多少克？ (2)家中现有2.1千克糯米，以及足量的蜜枣和鲜肉，小超妈妈计划包蜜枣粽子和鲜肉粽子共40个，她最多能包多少个鲜肉粽子？ 题型11 销售经济问题 【例12】（24-25七年级下·青海玉树·期末）骑行过程中佩戴安全头盔，可以保护头部，减少伤害．某商店经销进价分别为40元/个、30元/个的甲、乙两种安全头盔，下表是近两天的销售情况：（注：进价、售价均保持不变，利润售价进价） 时间 甲头盔销量 乙头盔销量 销售额 周一 8 10 840 周二 8 12 920 (1)求甲、乙两种头盔的销售单价； (2)若商店准备用不多于3650元的资金购进这两种头盔共100个，最多能购进甲种头盔多少个？ (3)在的条件下，商店销售完这100个头盔能否实现获利1300元的目标？若能，请给出相应的进货方案；若不能，请说明理由． 【变式1】（24-25七年级下·陕西安康·期末）“云健身”火了，也带动了小型居家健身器材的热销，某网店A，B两种健身器材的销量最高．已知售出2件A种健身器材和3件B种健身器材所得利润为700元，且售出每件A种健身器材的利润是每件B种健身器材利润的2倍． (1)求每件A种健身器材和B种健身器材的利润；（用二元一次方程组的知识解答） (2)由于需求量大，A，B两种健身器材很快售完，该店决定再次购进A，B两种健身器材共80件．如果将这80件健身器材全部售完后所得利润不低于10 000元，那么该店至少需要购进多少件A种健身器材？ 【变式2】（24-25七年级下·山东潍坊·期末）为更好地满足学生在暑假期间的阅读需求，某书店在暑假前投入90000元资金购进甲、乙两种图书共1000套，这两种图书的进价和标价如下表所示： 类别 进价（元/套） 标价（元/套） 甲 80 95 乙 105 125 (1)该书店购进甲、乙两种图书各多少套？ (2)在暑假期间，书店将甲种图书按标价销售，乙种图书打折销售，若将这1000套图书全部售完，恰好获得15000元的利润，则书店应将乙种图书按标价的几折销售？ 题型12 几何问题 【例13】（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） (1)求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽； (2)求图中阴影部分的面积． 【变式1】（24-25七年级下·吉林白城·期末）某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)如果加工竖式容器与横式容器各1个，那么共需要长方形铁片_____张，正方形铁片_____张． (2)现有长方形铁片2025张，正方形铁片1100张，如果加工成这两种容器，刚好用完全部铁片，那么加工的竖式容器、横式容器各有多少个？ 【变式2】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、图2所示的图形，拼成的图1是一个长方形，图2是一个面积为的正方形． (1)求图2的边长； (2)求每个小长方形的长与宽． 题型13 古代问题 【例14】（24-25八年级上·四川成都·期末）我国古代经典数学著作《孙子算经》中记载着这样一个题目：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，书中记载这样一个问题：今有三人共车；二车空；二人共车，九人步，问人几何？这个问题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，恰好剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则总人数为（    ） A．15人 B．39人 C．41人 D．20人 【变式2】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出钱，就多了钱；如果每人出钱，就少了钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）《张邱建算经》中有这样一个问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”其大意为：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？设甲原来有钱币枚，乙原来有钱币枚，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 题型14 其他问题 【例15】（24-25七年级下·湖北黄石·期末）活动：二元一次方程的“图像”，在平面直角坐标系中，二元一次方程的一个解可以用一个点表示出来．标出一些以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，可以发现这些点落在同一条直线上．在这条直线上任取一点，这个点的坐标就是方程的解． 一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图像． 二元一次方程的图像是一条直线． (1)根据上述结论，在同一平面直角坐标系画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图像； (2)点、分别是图像上的点． ①是否为定值？若是，则求出的值；若不是，则说明理由． ②点R在y轴上，当时，，求出R的坐标． 【变式1】（24-25七年级下·重庆北碚·期末）某校组织了一场校园篮球赛．比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．甲队在第一轮比赛中赛了9场，负了2场，共得17分，则甲队在第一轮比赛中胜的场数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式2】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）为了提倡节约用水，某市根据居民每月的用水量实行阶梯水价：每户每月用水量不超过时，按一级单价收费；超过时，超过部分按二级单价收费．五月份王阿姨家用水，缴费37.6元；张奶奶家用水，缴费47.2元． (1)求该市一级水费、二级水费的单价分别是多少元？ (2)某户某月缴纳水费为63.2元时，用水量为多少？ 【变式3】（24-25七年级下·河北唐山·期末）如图，实验室桌子上放置有三组量杯，每组中两个量杯规格大小相同，每组中量杯A内均装有的水，量杯B内均装有的水． 操作一：对甲组中量杯A加水，此时量杯A内水量是量杯B内水量的2倍； 操作二：对乙组中量杯B加水，此时量杯B内水量是量杯A内水量的； 操作三：对丙组中量杯A，B分别加水，，此时两个量杯中的水均未满． (1)求x和y的值； (2)操作三中，当量杯B中水量比量杯A中水量多时，求a的最小整数值． 计算类错误（最多） 1.加减消元：同减异加记反，符号崩盘 2.等式扩倍：只乘未知数，常数项漏乘 3.去分母 / 括号：漏项、正负变号错 4.求出一解，忘记回代求第二个解 方法选择错误 1.系数 ±1 硬用加减，浪费时间还错 2.系数成倍数不用加减，盲目代入复杂化 概念混淆错误 1.分不清：二元一次方程无数解 / 方程组唯一解 2.误把单个方程的解，当成方程组的解 应用题专属错因 1.找不齐两组等量关系，只列一个方程 2.配套 / 行程题：比例、顺水逆水、路程关系理解错 3.接设元卡死，不会用间接设元 答题规范失分 1.不检验、不写答句 2.含参题漏分类讨论，取值范围不写 选法速判 （1）系数有 ±1 →优先代入消元。 （2）同未知数成倍数 →优先加减消元 （3）含分数/小数 →先去分母、化整数再算. 代入消元三 （1）变:把系数 +1的项，单独放一边 （2）代:整体塞进另一个方程，消元 （3）求:先算一个，再回代求第二个 加减消元口诀 （1）同系数，相减;异系数，相加 （2）扩倍要全员乘:未知数+常数，一个不漏 化简秒杀 （1）小数方程组:全体 x10、x100 化成整数 （2）分数方程组:两边同乘最小公分母，去分母 应用题抓分 （1）必找两句等量关系，列两个方程 （2）行程:路程=速度x时间;顺水加水流，逆水减水流 （3）配套:按比例列等式(如 1桌面配 4 桌腿) （4）难列式一换间接设元 避坑收尾 （1）算出两解必回原方程检验 （2）含参题:无解/无数解，看系数比例 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $