专题05 不等式与不等式组（十大类题型）（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 聚焦不等式与不等式组，从概念到应用构建完整知识链，覆盖10类题型，突出常考点与实际应用，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|9小题|定义辨析、性质应用|从不等式定义到一元一次不等式概念，通过性质应用深化理解| |解法与参数|7小题|求解及解集参数问题|以解法为核心，延伸参数范围探究，培养推理意识| |综合应用|14小题|方程组结合及实际问题（销售、方案等）|从数学内部综合到现实情境应用，发展模型意识|

专题05 不等式与不等式组 题型1 不等式的定义 题型6 不等式组与方程组的结合问题（常考点） 题型2 不等式的性质（常考点） 题型7 不等式组的销售利润问题（重点） 题型3 一元一次不等式的定义（常考点） 题型8 不等式组的方案问题（常考点） 题型4 解一元一次不等式（组）（常考点） 题型9 不等组的盈不足问题（常考点） 题型5 由不等式的解集求参数（难点） 题型10 不等式组的其他问题（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 不等式的定义（共3小题） 1．（24-25七年级下·安徽六安·期末）与之和的平方不大于5，用不等式表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出不等式，与之和可表示为：；与之和的平方可表示为；不大于可表示为：，由此可得出不等式． 【详解】解：根据题意得：与之和的平方不大于5，用不等式表示为， 故选：C． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图所示是高速公路的限速标志，表示在此道路上行驶的汽车的最高车速和最低车速．如果用v（单位：）表示汽车的速度，则v应满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的定义，根据题意列不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列数学表达式中，不等式有（     ）． ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式．根据不等式的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：不等式有①②⑤⑥，共4个． 故选：C 题型2 不等式的性质（共4小题） 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）若，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：若，两边同时减去得，则A成立，不符合题意， 由得，则B成立，不符合题意， 若，两边同时乘以得，则C成立，不符合题意， 若，当时，，则D不一定成立，符合题意． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期末）若，则下列式子中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴不等式两边同时减2，不等号方向不变，可得，故A正确． B、∵， ∴不等式两边同时加2，不等号方向不变，可得，故B正确． C、∵， ∴不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得，故C正确． D、∵， ∴不等式两边同时除以，是正数，不等号方向不变，可得，与选项式子不符，故D错误． 3．（24-25七年级下·河南南阳·期末）若不等式的解集为，写出一个满足条件的的值______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了不等式的性质．根据不等式的性质求出a的取值范围，然后从取值范围中找一个数即可． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴， 即， ∴的值可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）“”“ ”“ ”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示．每个“”“ ”“ ”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为______． 【答案】 【分析】本题考查的是根据天平比较大小，不等式的性质，先将天平两边相同的物体去掉，比较剩余的数的大小即可得到答案，将相同的物体去掉是解题的关键． 【详解】解：由左边图可知，2个的质量大于1个加1个的质量， ∴的质量大于的质量， 由右边图可知，3个的质量等于1个加1个的质量， ∴2个的质量等于1个的质量， 即的质量大于的质量， ∴“”、“”、“”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为， 故答案为：． 题型3 一元一次不等式的定义（共2小题） 1．（24-25七年级下·青海海北·期末）下列是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查了一元一次不等式的定义，概念解析：一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式，逐一分析选项即可确定答案． 【详解】解：A、 含两个未知数x和y，是二元一次不等式，不符合“一元”条件。 B、 是等式而非不等式，且含两个未知数，排除。 C、 是等式，且未知数次数为1，属于一元一次方程，但非不等式，排除。 D、 仅含一个未知数x，次数为1，且为不等式，符合所有条件； 故选：D 2．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义得到，求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， ∴． 故选：A 题型4 解一元一次不等式（组）（共3小题） 1．（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）解不等式（组），并将解集在数轴上表示出来 (1)， (2) 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：， 把解集在数轴上表示出来，如下： （2）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为， 把解集在数轴上表示出来，如下： 2．（24-25七年级下·四川资阳·期末）解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解． 【答案】，数轴见解析，整数解为：，，，，，， 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，然后把解集表示在数轴上． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：，整数解为：，，，，，， 解集表示在数轴上如图， 3．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示解集，掌握解一元一次不等式组的方法，在数轴上表示解集是解题的关键． 先分别求出各个不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，最后在数轴上表示解集即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 该解集在数轴上表示为： 题型5由不等式的解集求参数（共4小题） 1．（24-25七年级下·四川乐山·期末）关于x的一元一次不等式组恰有4个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用一元一次不等式组的整数解求参数，解一元一次不等式得，再根据不等式组解的情况得，进而求解即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组恰有4个整数解， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级下·河北邢台·期末）已知关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组的解集， 熟练掌握找不等式组的解集的口诀是解题的关键．根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”，再结合不等式组的解集即可得出a的范围． 【详解】解：原不等式组为：， 由可得， ∵不等式组的解集是， ∴． 故选：C 3．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）关于的不等式组有且仅有一个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是由不等式组解集的情况，求参数的取值范围． 先求出x的取值范围，根据原不等式组的解集中有个整数解，进而可得m的不等式组，求出解集即可． 【详解】解：解不等式得； ∴不等式组的解集为 ∵该解集有且仅有一个整数解， 则此整数解必为4， ∴ ， 解得：， 故选：C． 4．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，准确求出每个不等式的解集是解题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解可得答案． 【详解】解：由得：， 由得：， 不等式组无解， ， 故选：D． 题型6 不等式组与方程组的结合问题（共2小题） 1．（23-24七年级下·四川乐山·期末）已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组，恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，解题的关键是根据题意得出关于a的不等式组．根据不等式组求出a的范围，然后再根据方程组求出a的取值，从而确定的a的可能值即可得出答案． 【详解】解：解方程组得：， ∵方程组的解为整数， ∴、、， 解得：或0或1或或3或， 解不等式组，得：， ∵不等式组有且仅有3个整数解，即整数解为：， ∴， 解得：，满足条件的整数a有1、2、3、4， 综上所述：满足条件的整数a的值是1、3， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故选：D． 2．（23-24七年级下·河南三门峡·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组．由可得得，从而得到关于a的不等式组，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∴， ∵， ∴， ∴a的取值范围是. 故答案为：. 题型7 不等式组的销售利润问题（共3小题） 1．（2022·广西贵港·一模）某商场准备购进，两种书包，每个种书包比种书包的进价少元，购个种书包和购个种书包的费用一样，请解答下列问题： (1)，两种书包每个进价各是多少元？ (2)若该商场购进种书包的个数比购进种书包的倍还多个，且种书包不少于个，购进，两种书包的总费用不超过元，则该商场有哪几种进货方案？ 【答案】(1)每个种书包的进价为元，每个种书包的进价为元 (2)该商场共有种进货方案，方案：购进种书包个，种书包个；方案：购进种书包个，种书包个；方案：购进种书包个，种书包个． 【分析】（1）设每个种书包的进价为元，每个种书包的进价为元，根据每个种书包比种书包的进价少元，购个种书包和购个种书包的费用一样，建立二元一次方程组求解即可； （2）设购进种书包个，则购进种书包个，根据“购进种书包的个数比购进种书包的倍还多个，且种书包不少于个，购进，两种书包的总费用不超过元”，可列出关于的一元一次不等式组，解不等式组可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各进货方案． 【详解】（1）解：设每个种书包的进价为元，每个种书包的进价为元， 依题意得：， 解得：． 答：每个种书包的进价为元，每个种书包的进价为元． （2）解：设购进种书包个，则购进种书包个， 依题意得：， 解得：． 又为正整数， 可以取，，， 该商场共有种进货方案， 方案：购进种书包个，种书包个； 方案：购进种书包个，种书包个； 方案：购进种书包个，种书包个． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）《哪吒2》上映后非常火爆，哪吒、敖丙的玩偶深受大众喜爱．某商家购进了一批这种玩偶销售，若售出2个哪吒玩偶和4个敖丙玩偶的总销售额为80元，售出3个哪吒玩偶和2个敖丙玩偶的总销售额为60元． (1)求哪吒、敖丙玩偶每个售价各是多少元？ (2)刘老师准备用105元钱购买9个玩偶奖励给学生（两种都要购买，钱可以有剩余）．请通过计算帮助刘老师分析有哪些可能的购买方案． 【答案】(1)哪吒玩偶的售价为10元，敖丙玩偶的售价为15元； (2)一共有三种方案：购买哪吒玩偶6个，购买敖丙玩偶3个或购买哪吒玩偶7个，购买敖丙玩偶2个或购买哪吒玩偶8个，购买敖丙玩偶1个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）设哪吒玩偶的售价为x元，敖丙玩偶的售价为y元，根据“售出2个哪吒玩偶和4个敖丙玩偶的总销售额为80元，售出3个哪吒玩偶和2个敖丙玩偶的总销售额为60元”建立方程组求解即可； （2）设购买哪吒玩偶m个，则购买敖丙玩偶个，根据总费用不超过105元可得，求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】（1）解：设哪吒玩偶的售价为x元，敖丙玩偶的售价为y元， 由题意得，， 解得． 答：哪吒玩偶的售价为10元，敖丙玩偶的售价为15元； （2）解：设购买哪吒玩偶m个，则购买敖丙玩偶个， 由题意得，， 解得， ∴当时，， 当时，， 当时，， 答：一共有三种方案：购买哪吒玩偶6个，购买敖丙玩偶3个或购买哪吒玩偶7个，购买敖丙玩偶2个或购买哪吒玩偶8个，购买敖丙玩偶1个． 3．（24-25七年级下·重庆垫江·期末）垫江柚子以其卓越的品质，成为了我国柚类栽培中的优良品种，至今已有170余年的栽种历史．垫江柚子有白柚和红柚两种，已知5千克白柚和8千克红柚的售价相同，若购买30千克白柚和25千克红柚，共需365元． (1)求每千克白柚和红柚的售价？ (2)某公司准备购买垫江柚子发放给员工，计划购买白柚的数量比红柚的3倍还多10千克（白柚、红柚的数量都为正整数），白柚的数量不少于300千克．购买总金额不超过2980元，请你帮该公司设计有几种购买方案，并说明哪种方案最省钱． 【答案】(1)每千克白柚和红柚的售价分别为元、元； (2)共有四种购买方案，购买红柚千克，白柚千克，最省钱 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组解答． （1）设每千克白柚和红柚的售价分别为x元、y元，5千克白柚和8千克红柚的售价相同，若购买30千克白柚和25千克红柚，共需365元．据此列方程组并解方程组即可得到答案； （2）设购买红柚的数量为a千克，则购买白柚的数量为千克，购买白柚的数量比红柚的3倍还多10千克（白柚、红柚的数量都为正整数），白柚的数量不少于300千克．据此列出不等式组，解不等式组，即可求出方案和最省钱方案． 【详解】（1）解：设每千克白柚和红柚的售价分别为x元、y元， ， 解得，， 答：每千克白柚和红柚的售价分别为元、元； （2）解：设购买红柚的数量为a千克，则购买白柚的数量为千克， 根据题意可得， 解得，， ∵白柚、红柚的数量都为正整数， ∴或或或， 当时，（元）， 当时，（元）， 当时，（元）， 当时，（元）， 共有四种购买方案，购买红柚千克，白柚千克，最省钱 答：共有四种购买方案，购买红柚千克，白柚千克，最省钱． 题型8 不等式组的方案问题（共4小题） 1．（23-24七年级下·广西北海·期末）某校“综合与实践”小组的同学利用课余时间开展了一项关于“低碳生活”的课题活动，具体是对“新能源汽车充电难”问题进行调查，并写出相关活动报告．请你帮他们完成下面的活动报告． 活动课题 了解“新能源汽车充电难”问题 活动目的 运用方程与一元一次不等式解决新能源汽车充电问题，提倡“低碳生活，绿色出行”． 活动素材 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积 3 1 已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元． 问题一 该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元． 问题二 若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，则最多可以建多少个地下充电桩？ 问题三 考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在问题二的条件下，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？请列出所有方案．哪种方案占地面积最小． 【答案】问题一：该小区新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元； 问题二：最多可以建个地下充电桩； 问题三：共有种建造方案，方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩；方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩；方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩；方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩；方案占地面积最小 【分析】问题一：找准等量关系，设未知数后列出二元一次方程组求解，得到单个地上和地下充电桩的建造费用； 问题二：设地下充电桩数量，根据总资金限制列出一元一次不等式，求解得出地下充电桩的最大数量； 问题三：结合资金限制和地下充电桩数量的下限，列出一元一次不等式组，找出整数解得到所有建造方案，再计算各方案的占地面积并比较大小，确定占地面积最小的方案． 【详解】解：问题一：设该小区新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元 根据题意得： 解得： 答：该小区新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元 问题二：设建造个地下充电桩，则建造个地上充电桩 根据题意得： 化简得： 解得： 答：最多可以建43个地下充电桩 问题三：设建造个地下充电桩，则建造个地上充电桩 根据题意得： 解不等式组得： 又∵为正整数 可以为，，， 共有种建造方案，方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩 方案1的占地面积为（平方米） 方案2的占地面积为（平方米） 方案3的占地面积为（平方米） 方案4的占地面积为（平方米） ∵ ∴方案占地面积最小 答：共有种建造方案，分别为上述方案，方案占地面积最小 2．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）某中学因运动会开幕式演出需要，向某服装厂定制A，B两种不同款式的服装．已知该厂用相同的布料生产这两款服装，且生产相同款式的服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料，3套A款服装和1套B款服装需用布料． (1)每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米？ (2)该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？ (3)在（2）的条件下，若每套A款服装的利润为25元，每套B款服装的利润为20元，则该厂生产这100套服装能否实现盈利不低于2190元的目标？若能，请你给出相应的生产方案；若不能，说明理由． 【答案】(1)每套A款服装需用布料米，每套B款服装需用布料米； (2)60套； (3)三种生产方案：①生产40套A款服装，60套B款服装；②生产39套A款服装，61套B款服装；③生产38套A款服装，62套B款服装． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式以及方程组是解题的关键． （1）每套款服装用布料米，每套款服装需用布料米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设服装厂需要生产套款服装，则生产套款服装，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解； （3）设该服装厂需要生产m套B款服装，则需生产套A款服装．根据该厂这100套服装能否实现盈利不低于元列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每套A款服装需用布料x米，每套B款服装需用布料y米． 根据题意，得， 解得 答：每套A款服装需用布料米，每套B款服装需用布料米； （2）解：设该服装厂需要生产m套B款服装，则需生产套A款服装． 根据题意，得 解得． 答：该服装厂最少需要生产60套B款装； （3）解：该厂生产这100套服装能实现盈利不低于2190元的目标， 根据题意，得， 解得， 又因为，且为正整数， 所以或61或62． 故共有如下三种生产方案： ①生产40套A款服装，60套B款服装； ②生产39套A款服装，61套B款服装； ③生产38套A款服装，62套B款服装． 3．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）近年来随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，购买机器人的总费用不超过750万元，则有哪几种购买方案？ 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)共有3种方案，A型号5台、B型号5台；A型号6台、B型号4台；当A型号为7台、B型号为3台 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，根据题意正确列出方程组和不等式是关键． （1）设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元．根据台数和总费用列方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购进A型台，B型台，根据需要每天分拣快递不少于200万件列出不等式，总费用不超过750万元列出不等式，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元． ，解得 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购进A型台，B型台， 由题意得，， 解得，， ∴ 又∵是整数 ∴或6或7 答：共有3种方案，A型号5台、B型号5台；A型号6台、B型号4台；当A型号为7台、B型号为3台． 4．（24-25七年级下·吉林·期末）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和已知新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于个，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 【答案】(1)该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元 (2)共有种建造方案：新建个地上充电桩，个地下充电桩；新建个地上充电桩，个地下充电桩；新建个地上充电桩，个地下充电桩 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该小区新建个地上充电桩需要万元，个地下充电桩需要万元，根据新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设新建地下充电桩个，则新建地上充电桩个，根据该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于个，列出一元一次不等式组，解之取正整数解，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元， 根据题意得：， 解得：， 答：该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元； （2）设新建地下充电桩个，则新建地上充电桩个， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为，，， 共有种建造方案： 新建个地上充电桩，个地下充电桩； 新建个地上充电桩，个地下充电桩； 新建个地上充电桩，个地下充电桩． 题型9 不等组的盈不足问题（共3小题） 1．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）若干名学生乘船，若每条船坐4人，则2人无船坐；若每条船坐6人，则空一条船，还有一条船不空也不满，则共有________条船． 【答案】5或6 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用． 设船数为条，学生数为人．根据第一条条件，每条船坐 4 人则 2 人无船坐，可得 ．根据第二条条件，每条船坐6人则空一条船，还有一条船不空也不满，可得 ，其中 ．联立方程解得 ，代入不等式 求解，可得或． 【详解】解：设船数为条，学生数为人． 由“每条船坐4人，则2人无船坐”可得：， 由“当每条船坐6人时，空一条船，还有一条船不空也不满”，设不空也不满的船上有名学生，可得：，其中， 联立方程：， 即， 由，得：， 解得：， 由于为整数，因此 或 ． 故答案为：5或6． 2．（24-25七年级下·山东临沂·期末）为了落实精准扶贫政策，某单位对某山区贫困村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户4只；若每户发放母羊3只，则多出8只母羊，若每户发放母羊5只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共________只． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用； 设该村共有x户农户，则公羊有只，母羊有只，根据“每户发放母羊5只，则有一户可分得母羊但不足3只”列出一元一次不等式组，求出整数解即可得到农户数，然后再计算种羊的总数即可． 【详解】解：设该村共有x户农户，则公羊有只，母羊有只， 由题意得：， 解得：， ∵x是正整数， ∴该村共有6户农户， ∴这批种羊共（只）， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·期末）某医院安排护士若干名负责护理病人，若每名护士护理名病人，则有名病人没人护理，如果每名护士护理名病人，有一名护士护理的病人多于人不足人，那么这个医院安排了_______名护士护理病人． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，正确列出不等式组．设这个医院安排了名护士护理病人，根据题意列不等式组即可求解． 【详解】解：设这个医院安排了名护士护理病人， 根据题意可得：， 解得：， 为整数， ， 故答案为：． 题型10 不等式组的其他问题（共2小题） 1．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）对一个实数x按如图所示的程序进行操作，计算机运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于167”为一次操作，如果操作恰好进行两次停止，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了程序流程图，一元一次不等式组的应用，根据程序运行一次的结果小于等于，运行两次的结果大于，可得出关于的一元一次不等式组，求解即可，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得， ， 解得：， 故选：D． 2．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 已知一颗玻璃球的体积与的水的体积相等，根据以上过程，可知a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据已知列出不等式组．由将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满可得，根据再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出得，解不等式可得a的范围． 【详解】解：将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， ， 解得， 再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出， ， 解得， ； 故选：C． $专题05 不等式与不等式组 题型1 不等式的定义 题型6 不等式组与方程组的结合问题（常考点） 题型2 不等式的性质（常考点） 题型7 不等式组的销售利润问题（重点） 题型3 一元一次不等式的定义（常考点） 题型8 不等式组的方案问题（常考点） 题型4 解一元一次不等式（组）（常考点） 题型9 不等组的盈不足问题（常考点） 题型5 由不等式的解集求参数（难点） 题型10 不等式组的其他问题（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 不等式的定义（共3小题） 1．（24-25七年级下·安徽六安·期末）与之和的平方不大于5，用不等式表示为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图所示是高速公路的限速标志，表示在此道路上行驶的汽车的最高车速和最低车速．如果用v（单位：）表示汽车的速度，则v应满足（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列数学表达式中，不等式有（     ）． ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型2 不等式的性质（共4小题） 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）若，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期末）若，则下列式子中错误的是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河南南阳·期末）若不等式的解集为，写出一个满足条件的的值______． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）“”“ ”“ ”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示．每个“”“ ”“ ”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为______． 题型3 一元一次不等式的定义（共2小题） 1．（24-25七年级下·青海海北·期末）下列是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．0 题型4 解一元一次不等式（组）（共3小题） 1．（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）解不等式（组），并将解集在数轴上表示出来 (1)， (2) 2．（24-25七年级下·四川资阳·期末）解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解． 3．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． 题型5由不等式的解集求参数（共4小题） 1．（24-25七年级下·四川乐山·期末）关于x的一元一次不等式组恰有4个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北邢台·期末）已知关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）关于的不等式组有且仅有一个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型6 不等式组与方程组的结合问题（共2小题） 1．（23-24七年级下·四川乐山·期末）已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组，恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 2．（23-24七年级下·河南三门峡·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是____________． 题型7 不等式组的销售利润问题（共3小题） 1．（2022·广西贵港·一模）某商场准备购进，两种书包，每个种书包比种书包的进价少元，购个种书包和购个种书包的费用一样，请解答下列问题： (1)，两种书包每个进价各是多少元？ (2)若该商场购进种书包的个数比购进种书包的倍还多个，且种书包不少于个，购进，两种书包的总费用不超过元，则该商场有哪几种进货方案？ 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）《哪吒2》上映后非常火爆，哪吒、敖丙的玩偶深受大众喜爱．某商家购进了一批这种玩偶销售，若售出2个哪吒玩偶和4个敖丙玩偶的总销售额为80元，售出3个哪吒玩偶和2个敖丙玩偶的总销售额为60元． (1)求哪吒、敖丙玩偶每个售价各是多少元？ (2)刘老师准备用105元钱购买9个玩偶奖励给学生（两种都要购买，钱可以有剩余）．请通过计算帮助刘老师分析有哪些可能的购买方案． 3．（24-25七年级下·重庆垫江·期末）垫江柚子以其卓越的品质，成为了我国柚类栽培中的优良品种，至今已有170余年的栽种历史．垫江柚子有白柚和红柚两种，已知5千克白柚和8千克红柚的售价相同，若购买30千克白柚和25千克红柚，共需365元． (1)求每千克白柚和红柚的售价？ (2)某公司准备购买垫江柚子发放给员工，计划购买白柚的数量比红柚的3倍还多10千克（白柚、红柚的数量都为正整数），白柚的数量不少于300千克．购买总金额不超过2980元，请你帮该公司设计有几种购买方案，并说明哪种方案最省钱． 题型8 不等式组的方案问题（共4小题） 1．（23-24七年级下·广西北海·期末）某校“综合与实践”小组的同学利用课余时间开展了一项关于“低碳生活”的课题活动，具体是对“新能源汽车充电难”问题进行调查，并写出相关活动报告．请你帮他们完成下面的活动报告． 活动课题 了解“新能源汽车充电难”问题 活动目的 运用方程与一元一次不等式解决新能源汽车充电问题，提倡“低碳生活，绿色出行”． 活动素材 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积 3 1 已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元． 问题一 该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元． 问题二 若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，则最多可以建多少个地下充电桩？ 问题三 考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在问题二的条件下，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？请列出所有方案．哪种方案占地面积最小． 2．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）某中学因运动会开幕式演出需要，向某服装厂定制A，B两种不同款式的服装．已知该厂用相同的布料生产这两款服装，且生产相同款式的服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料，3套A款服装和1套B款服装需用布料． (1)每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米？ (2)该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？ (3)在（2）的条件下，若每套A款服装的利润为25元，每套B款服装的利润为20元，则该厂生产这100套服装能否实现盈利不低于2190元的目标？若能，请你给出相应的生产方案；若不能，说明理由． 3．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）近年来随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，购买机器人的总费用不超过750万元，则有哪几种购买方案？ 4．（24-25七年级下·吉林·期末）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和已知新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于个，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 题型9 不等组的盈不足问题（共3小题） 1．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）若干名学生乘船，若每条船坐4人，则2人无船坐；若每条船坐6人，则空一条船，还有一条船不空也不满，则共有________条船． 2．（24-25七年级下·山东临沂·期末）为了落实精准扶贫政策，某单位对某山区贫困村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户4只；若每户发放母羊3只，则多出8只母羊，若每户发放母羊5只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共________只． 3．（24-25七年级下·全国·期末）某医院安排护士若干名负责护理病人，若每名护士护理名病人，则有名病人没人护理，如果每名护士护理名病人，有一名护士护理的病人多于人不足人，那么这个医院安排了_______名护士护理病人． 题型10 不等式组的其他问题（共2小题） 1．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）对一个实数x按如图所示的程序进行操作，计算机运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于167”为一次操作，如果操作恰好进行两次停止，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 已知一颗玻璃球的体积与的水的体积相等，根据以上过程，可知a的取值范围是（   ） A． B． C． D． $