专题04 二元一次方程组（十五大类题型）（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 以“概念-解法-应用”为逻辑主线，覆盖15类题型，突出核心素养中抽象能力、模型意识与应用意识的培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|题型1-2（7题）|考查定义辨析与解的性质|从二元一次方程(组)定义到解的意义，构建概念基础| |解法应用|题型3-8（20题）|含常规解法、特殊解法及参数问题|从基本解法到错解复原、同解问题，提升运算能力与推理意识| |实际应用|题型9-14（24题）|涵盖方案、分配、经济等场景|通过几何、古代问题等载体，培养用数学语言表达现实世界的能力| |拓展延伸|题型15（3题）|三元一次方程初步应用|在二元基础上拓展，体现知识迁移与创新意识|

专题04 二元一次方程组 题型1 二元一次方程(组)的定义 题型9 方案问题（难点） 题型2 二元一次方程的解（常考点） 题型10 分配问题（常考点） 题型3 解二元一次方程组（常考点） 题型11 销售经济问题（重点） 题型4 二元一次方程组的特殊解法（常考点） 题型12 几何问题（常考点） 题型5二元一次方程组的错解复原问题（重点） 题型13 古代问题（常考点） 题型6 构造二元一次方程组求解 题型14 其他问题 题型7 已知二元一次方程组的解的情况求参数（难点） 题型15 三元一次方程的应用（拓展） 题型8 方程组相同解问题（常考点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 二元一次方程(组)的定义 （共3小题） 1．（24-25七年级下·福建漳州·期末）下列等式中是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（）方程中只含有个未知数；（）含未知数项的最高次数为一次；（）方程是整式方程，据此判断即可求解，掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、是二元一次方程，该选项符合题意； 、只含有个未知数，且方程不是整式方程，不是二元一次方程，该选项不合题意； 、只含有个未知数，不是二元一次方程，该选项不合题意； 、只含有个未知数，且未知数的最高次数是，不是二元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）若是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选A． 3．（24-25七年级上·广西贵港·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．利用二元一次方程组的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，方程组含有二次项，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组； B、，方程组含有二次项，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组； C、，符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； D、，方程组含有3个未知数，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组； 故选：C． 题型2 二元一次方程的解（共4小题） 1．（24-25七年级下·云南临沧·期末）已知是二元一次方程的解，则实数a的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了已知二元一次方程的解，求参数．将代入方程，直接计算a的值，即可作答． 【详解】解：∵是二元一次方程的解， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·广东广州·期末）写出关于x，y的二元一次方程的所有正整数解______． 【答案】或 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意分别将代入求得的值，结合都是正整数，即可求解． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 其它更小，不是整数， 故正整数解为或 故答案为：或 3．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）已知二元一次方程，用含x的代数式表示y： ______． 【答案】 【分析】本题主要考查代数式，二元一次方程；把方程移项得到，再把系数化为1即可． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）“碳中和”是落实《巴黎协定》要求，促进各国节能减排、发展绿色低碳能源的重要概念．我国在新能源汽车领域积极探索，目前已取得世界领先的技术水平．某公司计划用184万元全部购买A、B两种国产品牌的新能源汽车，其中A品牌新能源车每辆12万元，B品牌新能源车每辆16万元，要使得费用刚好用完，则该公司购买A、B两种品牌汽车的方案有________种． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用．设公司购买A种品牌汽车x辆，B种品牌汽车y辆，根据“A品牌新能源车每辆12万元，B品牌新能源车每辆16万元，要使得费用刚好用完”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设公司购买A种品牌汽车x辆，B种品牌汽车y辆，根据题意得： ， ∴， ∵x，y均为正整数， ∴是3的整数倍， ∴可取3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45， ∵y为正整数， ∴可取6， 18， 30， 42， ∴或 或或． 即该公司购买A、B两种品牌汽车的方案有4种． 故答案为：4 题型3 解二元一次方程组（共3小题） 1．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，， 得， 解得， 把代入②得， 解得， ∴原方程组的解为 2．（24-25七年级下·山东聊城·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先对方程组中的方程进行化简整理，再用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． （2）解： 原方程组整理化简为：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 3．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用加减消元法和代入消元法解二元一次方程组． （1）利用代入消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 把①代入②得：， ， ， ， ， 把代入①得： ， 方程组的解为：； （2）解： ②得：③， 得：， 把代入②得：， 方程组的解为：． 题型4 二元一次方程组的特殊解法（共4小题） 1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 已知方程组的解满足两个方程，先利用第一个方程求出未知数的值，再将解代入各选项验证是否成立． 【详解】解：将解，代入第一个方程， 得：， 解得：， ∴方程组的解为， 将解代入各选项验证： A．，，，不成立，故该选项不符合题意； B．，，，成立，故该选项符合题意； C． ，，，不成立，故该选项不符合题意； D．，，，不成立，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·陕西延安·期末）已知关于a、b的二元一次方程组，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，把两个方程的左右两边分别相加即可求解． 【详解】 ，得 因此，的值为， 故选B． 3．（24-25七年级下·重庆·期末）若关于x，y的方程组的解是，则关于m，n的方程组的解为 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，把，看作一个整体，则第二个方程组与第一个方程组形式和结构一样，是同解方程组，得出，由此即可求解． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解是， ∴由，可知：， 解得：． 故选：C． 4．（24-25七年级下·福建泉州·期末）若关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组 的解是________． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，换元法是解复杂二元一次方程组的关键．对比所给的两个关于，的二元一次方程组，可利用换元法，可设，再利用二元一次方程组的同解问题即可求解． 【详解】解：关于，的二元一次方程组 可设，于是原方程组化为关于，的方程组， 关于，的二元一次方程组的解是 关于，的方程组的解是， ，解得． 故答案为：． 题型5二元一次方程组的错解复原问题（共3小题） 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）甲、乙两个小马虎，在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程组中的b，得到方程组的解为，则原方程组正确的解是____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，把甲的解代入第二个方程、乙的解代入第一个方程求出的值，确定出方程组，求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 把代入原方程得， 解得： ． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）甲、乙两人同时解关于的方程组，甲解得正确结果为，乙因为抄错了，解得错误结果为，则的值应为________． 【答案】7 【分析】本题考查了二元一次方程组解的运用，根据甲的解得到，根据乙的解得到，运用特殊解法得到，由此即可求解． 【详解】解：甲解得正确结果为，代入方程组， ∴， ∴由②解得，， 乙因为抄错了，解得错误结果为， ∴，即， ∴得，，即， ∴， 故答案为：7 ． 3．（22-23七年级下·河北张家口·期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，解得，乙看错了方程组中的，解得，求出原方程组的正确解____． 【答案】 【分析】把代入②，代入①得到关于a，b的方程组，求出a，b，代入原方程即可求解． 【详解】解：解方程组 把代入②，代入①得　　   解得 原方程组为 解得 原方程组的正确解是：． 【点睛】此题主要考查加减消元法的应用，解题的关键是把方程的解代入原方程． 题型6 构造二元一次方程组求解（共4小题） 1．（23-24七年级下·广东东莞·期中）对于实数x，y定义新运算：，其中a，b为常数．已知，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题是新定义题型，主要考查解二元一次方程组的能力，掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键．根据新定义，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得 ， 故选B． 2．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）已知，则___________． 【答案】34 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，联立方程组是解题的关键．通过联立已知的两个方程，可以解出a和b的具体值，再代入计算的值 【详解】解：联立方程组 解这个方程组，得， 将代入，得： ， 故答案为：34． 3．（25-26七年级上·重庆忠县·期末）如图①是由编号为1，2，3，4，5的五个小长方形组成的大长方形．已知图①中编号为3，4，5的小长方形大小都如图②，且编号为1的小长方形面积是编号为2的小长方形面积的两倍，若，则______． 【答案】2 【分析】本题考查了整式加减的应用，二元一次方程组的应用．编号为1的小长方形，一边为，设另一边为，编号为2的小长方形，一边为，设另一边为，根据题意得到，，据此求解即可． 【详解】解：由题意，编号为1的小长方形，一边为，设另一边为，则面积为， 编号为2的小长方形，一边为，设另一边为，则面积为， ∵编号为1的小长方形面积是编号为2的小长方形面积的两倍， ∴， ∴， ∵大长方形的两对边相等， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：2． 4．（24-25七年级下·四川乐山·期末）十八世纪伟大的数学家欧拉，他创造并推广了大量的数学符号，使数学表达更加简洁与方便．把关于的多项式用符号的形式来表示，把等于的多项式的值用来表示． 例如：当时，的值记为． （1）已知，则__________； （2）已知，若，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值、列二元一次方程组． （1）将代入计算即可； （2）根据得到关于a、b的方程组，解方程组得到，然后将代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 题型7 已知二元一次方程组的解的情况求参数（共3小题） 1．（24-25七年级下·河南新乡·期末）若方程组的解互为相反数，则_____． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．根据方程组的解互为相反数，得到，代入方程组计算即可求出m的值． 【详解】解：根据题意得：，即， 代入方程组得：， 整理得， 可得， 解得：． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·广东肇庆·期末）关于的方程组的解满足，则的值为_________． 【答案】8 【分析】本题主要考查了根据方程组的解的情况求参数，根据题意可得方程组，解方程组求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程组的解满足， ∴ 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为， ∴， ∴， 故答案为：8． 3．（24-25七年级下·重庆秀山·期末）若关于a，b的二元一次方程组的解满足，则m的值为________． 【答案】4 【分析】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，正确求出方程组的解是解题的关键．先利用加减法求出方程组的解，再把方程组的解代入中计算即可求解． 【详解】解：， 得，， ∴， ∵ ∴， 故答案为：4． 题型8 方程组相同解问题（共3小题） 1．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）如果方程组和的解相同，则______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题，解二元一次方程组，根据题意可先组合得到解后再代入两外两个方程求出，进而求解即可． 【详解】解：解方程组得， 把代入得， 解得 ∴． 故答案为：． 2．（23-24七年级下·云南昆明·期末）已知关于，的方程组和． 有相同的解，那么值是______． 【答案】4 【分析】本题考查了列二元一次方程组求解，解题的关键是得到，．先根据关于，的方程组和有相同的解，列出方程组求出x、y的值，再代入计算求出a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】∵关于，的方程组和有相同的解， ∴，， 解得， 将代入得： ， 解得， ∴， 故答案为：4． 3．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于x、y的方程组和方程组有相同的解，那么的值为（    ） A． B． C．1 D．2007 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，根据已知条件，知x，y的值适合四个方程，故可以联立解方程组，求得x，y的值后，再联立解方程组，从而求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 把代入含有a，b的两个方程，得， 由②得． 则． 故选：C． 题型9 方案问题（共3小题） 1．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）班委会决定，选购圆珠笔、钢笔共22支，送给山区学校的同学．已知圆珠笔每支5元，钢笔每支6元． (1)若购买圆珠笔、钢笔刚好用去130元，问圆珠笔、钢笔各买了多少支？ (2)若购圆珠笔可9折优惠，钢笔可8折优惠，在所需费用不超过100元的前提下，请你写出一种选购方案． 【答案】(1)圆珠笔买了2支，钢笔买了20支 (2)共有3种选购方案：①购买钢笔1支，圆珠笔21支；②购买钢笔2支，圆珠笔22支；③购买钢笔3支，圆珠笔19支 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设购买了圆珠笔买了x支，钢笔买了y支，由题意“选购圆珠笔、钢笔共22支，圆珠笔每支5元，钢笔每支6元”列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买了a支钢笔，则购买了支圆珠笔，由题意可知：若购圆珠笔可9折优惠，钢笔可8折优惠，所需费用不超过100元， 列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买了圆珠笔x支，钢笔买了y支， 由题意得：， 解得：． 答：圆珠笔买了2支，钢笔买了20支． （2）解：设购买了a支钢笔，则购买了支圆珠笔， 由题意，得：， 解得：， ∵a为正整数， ∴，或2或3， ∴当时，；当时，；当时，， ∴共有3种选购方案：①购买钢笔1支，圆珠笔21支；②购买钢笔2支，圆珠笔22支；③购买钢笔3支，圆珠笔19支． 2．（24-25七年级下·河北张家口·期末）某校积极响应《每周半天计划》相关文件精神，计划组织全校师生开展户外研学（一天），该校某数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，取得了如下信息： 信息1 大型客车载客量为50人，中型客车载客量为30人，此前A校租用6辆大型客车和4辆中型客车一天花费4400元；B校租用4辆大型客车和8辆中型客车一天花费4800元． 信息2 该校七年级师生共460人，租车费用的预算为4900元，拟租用10辆车． 任务1 一辆大型客车和一辆中型客车每天的租金分别为多少元？ 任务2 若要控制租车费用在预算范围内，在保证10辆车一次性将七年级师生全部送达目的地的前提下，请写出所有的租车方案，并求出花费最少的方案． 【答案】任务1：一辆大型客车的租金为500元，一辆中型客车的租金为350元； 任务2：方案一：租8辆大型客车，2辆中型客车；方案二：租9辆大型客车，1辆中型客车；方案一的花费最少 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是读懂题意找准各数量间的关系． 任务1：设一辆大型客车的租金为元，一辆中型客车的租金为元，根据“A校租用6辆大型客车4辆中型客车花费4400元；B校租用4辆大型客车，8辆中型客车花费4800元”列方程组求解即可； 任务2：设租用辆大型客车，则租用辆中型客车，根据总人数不少于460人且总租金不超过4900元，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各租车方案，然后求出选择各租车方案所需总租金，比较即可得出结论． 【详解】解：任务1：设一辆大型客车的租金为x元，一辆中型客车的租金为y元， 根据题意得：， 解得， 答：一辆大型客车的租金为500元，一辆中型客车的租金为350元． 任务2：设租用m辆大型客车，则租用辆中型客车， 根据题意得：， 解得， ∵m为非负整数， ∴可以为8或9； 则有方案一：租8辆大型客车，2辆中型客车， 方案二：租9辆大型客车，1辆中型客车； 因此方案一的费用为：（元）， 方案二的费用为：（元） ∵ ∴方案一的花费最少． 答：方案一：租8辆大型客车，2辆中型客车；方案二：租9辆大型客车，1辆中型客车；方案一的花费最少． 3．（24-25七年级下·山东德州·期末）某学校计划暑假期间建设一间活动教室．需要采购五人桌和两人桌两种类型的活动课桌．已知购买3张五人桌和5张两人桌需花费2050元；购买4张五人桌和2张两人桌需花费1800元． (1)求每张五人桌和两人桌的价格． (2)学校根据教室布局，计划采购16张活动课桌，要求预算不超过4500元，求至少采购几张两人桌？ (3)在（2）的条件下，活动教室至少要容纳50名学生，求所有满足条件的采购方案． 【答案】(1)每张五人桌的单价为350元，两人桌的单价为200元 (2)至少采购8张两人桌 (3)共有三种采购方案：采购两人桌8张，则采购五人桌为8个；采购两人桌9张，则采购五人桌为7张；采购两人桌10张，则采购五人桌为6张 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的求解，需由二元一次方程组的解法求出五人桌和两人桌的价格是解决本题的关键． （1）设出未知数，根据五人桌和两人桌花费情况列二元一次方程组，由二元一次方程组的求法求解即可． （2）设采购两人桌张，则可表示出采购五人桌的数量，再由第一问求出的单价，由预算不超过4500元列不等式求解即可． （3）由活动教室至少要容纳50名学生列不等式，结合第二问m的取值范围可得具体m的取值，再根据m的取值求采购方案即可． 【详解】（1）解：设每张五人桌的单价为元，两人桌的单价为元． 由题意可得：，解得 答：每张五人桌的单价为350元，两人桌的单价为200元． （2）解：设采购两人桌张，则采购五人桌为张， 计划采购16张活动课桌，要求预算不超过4500元， 解得， ∴至少采购8张两人桌． （3）解：设采购两人桌张，则采购五人桌为张， ∵活动教室至少要容纳50名学生， ∴， 解得：， ∴， ∵m取整数，∴或9或10， 当时，， 方案为：采购两人桌8张，则采购五人桌为8个； 当时，， 方案为：采购两人桌9张，则采购五人桌为7张； 当时，， 方案为：采购两人桌10张，则采购五人桌为6张． 题型10 分配问题（共3小题） 1．（23-24七年级下·海南海口·期中）某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．每副太阳镜需要2片镜片和1个镜架配成一套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则可列方程组（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】等量关系为：生产镜片工人数量生产镜架工人数量，镜片数量镜架数量，把相关数值代入即可求解．本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到镜片数量和镜架数量的等量关系． 【详解】解：由题意，得． 故选：D． 2．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）有大、小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货17t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货39t，则3辆大货车与3辆小货车一次可以运货（   ） A．22t B．18t C．20t D．23t 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．设每辆大货车一次运货吨，每辆小货车一次运货吨，根据题意列出方程组并求解即可． 【详解】解：设每辆大货车一次运货吨，每辆小货车一次运货吨， 即3辆大货车与3辆小货车一次可以运货吨， 根据题意，得方程组：， 得， 即3辆大货车与3辆小货车一次可以运货吨， 故选：A． 3．（2024·浙江金华·二模）一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，设用x 张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成糖果盒，则下列方程组中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设用x 张制作盒身，y张制作盒底，根据题意列出方程组即可． 【详解】解：设用x 张制作盒身，y张制作盒底， 根据题意得：， 故选：B． 题型11 销售经济问题（共3小题） 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）长沙于2011年首次获评全国文明城市，截至2025年，长沙保持全国文明城市称号已有14年，在此期间，长沙持续推进文明城市建设工作，不断巩固和提升文明城市创建成果．我校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者，如果购买A种20件，B种15件，共需380元，如果购买A种15件，B种10件，共需260元． (1)、B两种奖品每件各多少元？ (2)现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最少购买多少件？ 【答案】(1)每件A种奖品4元，每件B种奖品20元 (2)A种奖品最少购买69件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设每件A种奖品x元，每件B种奖品y元，根据“购买A种20件，B种15件，共需380元，如果购买A种15件，B种10件，共需260元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设A种奖品购买m件，则B种奖品购买件，利用总价单价数量，结合总价不超过900元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每件A种奖品x元，每件B种奖品y元， 根据题意得：， 解得：， 答：每件A种奖品4元，每件B种奖品20元； （2）解：设A种奖品购买m件，则B种奖品购买件， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最小值为69． 答：A种奖品最少购买69件． 2．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）初三体育进入专项训练，某学校打算采购一批篮球和实心球供同学们使用，调查发现购买3个篮球和4个实心球需290元；购买6个篮球和2个实心球需460元． (1)求篮球、实心球的单价各是多少元？ (2)该校计划采购篮球、实心球共200个，总费用不超过6100元，且篮球个数不少于实心球个数的，请问有几种购买方案？ 【答案】(1)篮球的单价是70元，实心球的单价是20元 (2)3种 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，涉及方程组的建立与求解、不等式的解法以及实际问题中变量的整数性约束．解题的关键在于准确建立方程组和不等式组，合理利用已知条件进行化简和求解． （1）设篮球的单价是x元，实心球的单价是y元，根据购买情况建立方程组求解单价； （2）需根据总数量、总费用限制及篮球数量与实心球数量的比值关系，确定可能的购买方案数量． 【详解】（1）解：设篮球的单价是x元，实心球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：篮球的单价是70元，实心球的单价是20元； （2）设购买m个篮球，则购买个实心球， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为40，41，42， ∴该校共有3种购买方案， 方案1：购买40个篮球，160个实心球； 方案2：购买41个篮球，159个实心球； 方案3：购买42个篮球，158个实心球． 3．（24-25七年级下·广东潮州·期末）2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛于5月14日至5月21日在苏州奥体中心举行．决赛中，中国队以战胜韩国队，完成三连冠壮举，历史上第13次登顶．5月15日该项赛事的小组赛票价如下： 2023 年道达尔能源苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛 TotalEnergies Sudirman Cup Finals 2023 票价总览图 小组赛 日期 时间 A B C 5/15 ¥380 ¥180 ¥80 ¥480 ¥280 ¥180 (1)若购买场次的A类门票和B类门票共7张，总票价为1860元，A、B两类门票各买了多少张？ (2)若再次购买场次的A类门票和C类门票共10张，且总票价不超过2100元，最少购买C类门票多少张？ (3)已知购买场次的B类门票和C类门票各若干张，共花费1620元，有哪些购买方案？ 【答案】(1)A类门票买了3张，B类门票买了4张 (2)最少购买C类门票9张 (3)共有2种购买方案，方案1：购买B类门票5张，C类门票9张；方案2：购买B类门票1张，C类门票18张 【分析】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式解决实际问题，分析题意，理清数量关系是解题的关键． （1）设A类门票买了x张，B类门票买了y张，根据“购买门票共7张，总票价为1860元”列出方程组，求解即可； （2）设购买C类门票m张，则购买A类门票张，根据“总票价不超过2100元”列出不等式，求解即可； （3）设购买B类门票a张，C类门票b张，根据“共花费1620元”列出二元一次方程，求出正整数解，即可解答． 【详解】（1）解：设A类门票买了x张，B类门票买了y张， 根据题意得：， 解得：． 答：A类门票买了3张，B类门票买了4张； （2）解：设购买C类门票m张，则购买A类门票张， 根据题意得，， 解得：， ∴m的最小值为9． 答：最少购买C类门票9张； （3）解：设购买B类门票a张，C类门票b张， 根据题意得：， ∴． 又∵a，b均为正整数， ∴或， ∴共有2种购买方案， 方案1：购买B类门票5张，C类门票9张； 方案2：购买B类门票1张，C类门票18张． 题型12 几何问题（共4小题） 1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）将长方形和长方形按如图所示摆放，由图中信息可知，“？”的值为（   ） A．6.75 B．6.5 C．6.25 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设长方形A的长为x，宽为y，则长方形B的长为x，宽为，根据图中的摆放方式及高度，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设长方形A的长为x，宽为y，则长方形B的长为x，宽为， 根据题意得：， 解得：， ∴． 故选：A． 2．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）用2个相同的正方形个相同的长方形和1个正方形无缝拼接成如图所示的大长方形，若该大长方形的长为26，宽为14，则一个长方形的周长为（    ） A．30 B．32 C．36 D．40 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的几何应用． 设大正方形的边长为，小正方形的边长为，然后根据图2找出等量关系列方程组求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 由题意，得， 解得， ∴小长方形的长为，宽为， 故小长方形的周长为． 故选D． 3．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图，5块相同的长方形地砖拼成一个长方形，若每块长方形地砖的长为，宽为，根据图形可以列出方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过观察图形，找出长和宽与已知长度的关系，以及长和宽之间的数量关系，从而列出方程组．本题主要考查了根据实际问题列二元一次方程组，熟练掌握从图形中找出数量关系是解题的关键． 【详解】解：∵ 从图形中可以看出长方形地砖的长是宽的倍，即． ∵ 大长方形的长为，且大长方形的长由一个地砖的长和两个地砖的宽组成， ∴ ． 综上，可列方程组为， 故选：A ． 4．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示．则阴影部分的面积是（   ） A．60 B．64 C．67 D．180 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，求出小长方形的边长是解题的关键．设小长方形的长为，宽为，根据图形可得，解出的值，再利用阴影部分的面积大长方形的面积减去6个小长方形的面积即可得出答案． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可得，， 解得：， ， 阴影部分的面积． 故选C． 题型13 古代问题（共4小题） 1．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）《孙子算经》中有这样一道题：今三人共车，两车空；二人共车，九人步，问：人与车各几何？其大意是：今有若干人和车，若3人坐一辆车，则空余两辆车，若2人坐一辆车，则有9人步行，问：人与车各多少？设有人，有辆车，那么可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设有人，辆车．当每辆车坐3人时，空余2辆车，总人数为；当每辆车坐2人时，9人步行，总人数为．由此建立方程组． 【详解】解：设有人，有辆车，根据题意得 若每辆车坐3人，空余2辆车，则实际使用的车辆数为，总人数为， 若每辆车坐2人，所有车坐满后仍有9人步行，总人数为， 列出方程组得 故选：C． 2．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）我国古代数学问题：现有甲、乙两钱袋，甲袋装的黄金比乙袋装的黄金多10枚，从甲袋取8枚黄金放到乙袋，乙袋的黄金数量就是甲袋的两倍．设甲袋原有黄金枚，乙袋原有黄金枚，则可列方程组为（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查二元一次方程组的应用，根据题意，甲袋原有黄金比乙袋多10枚，可得第一个方程，从甲袋取8枚放入乙袋后，乙袋数量变为甲袋的两倍，由此建立第二个方程 【详解】解：设甲袋原有黄金枚，乙袋原有黄金枚， 甲袋比乙袋多10枚：直接列方程（或等价形式）， 移动黄金后的数量关系：甲袋取出8枚后剩余枚，乙袋增加8枚后变为枚， 此时乙袋是甲袋的两倍，故方程为，整理为 ∴方程组为 故选A 3．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）《九章算术》中记载了这样一个问题，原文如下：今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉；上禾七秉，损实二斗五升，当下禾五秉．问上、下禾实一秉各几何？大意是：5捆上等稻子少结一斗一升，相当于7捆下等稻子；7捆上等稻子少结二斗五升，相当于5捆下等稻子．问上等稻子和下等稻子一捆各能结多少（1斗升）？设上等水稻每捆有稻谷x升，下等水稻每捆有稻谷y升，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，根据题意，5捆上等稻子少结11升等于7捆下等稻子的总量，7捆上等稻子少结25升等于5捆下等稻子的总量，由此建立方程组． 【详解】解：设上等稻子每捆结升，下等稻子每捆结升， 5捆上等稻子少结11升，即，相当于7捆下等稻子的总量，即，得方程：，即， 7捆上等稻子少结25升，即，相当于5捆下等稻子的总量，即，得方程：，即， 综上，方程组为： 故选：C． 4．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是找准等量关系． 根据题意，设人数为，物价为钱，根据两种购买东西的方式列出方程即可． 【详解】解：设人数为，物价为钱，根据题意得， 故选：C． 题型14 其他问题（共4小题） 1．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）某快递公司为了提高快递分拣的速度，决定购买分拣机器人来代替人工分拣．已知购买2台A型机器人和1台B型机器人共需16万元，购买3台A型机器人和2台B型机器人共需26万元．若该快递公司准备购买4台A型机器人和6台B型机器人，共需要花费________万元． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．设型机器人每台价格是万元，型机器人每台价格是万元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组求解，即可求解4台A型机器人和6台B型机器人的花费． 【详解】解：设型机器人每台价格是万元，型机器人每台价格是万元， 根据题意得 解得：， ∴购买4台A型机器人和6台B型机器人花费：（万元）， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）一个圆柱形容器中装有一定量的水，放入若干个大铁球和小铁球后（假设所有球都浸没在水中），水面上升情况如图所示，要使水面高度为21，则可以放入_________个大铁球和_________个小铁球．（写出一组符合要求的值即可） 【答案】 3（答案不唯一） 2（答案不唯一） 【分析】本题是二元一次方程组的实际应用问题，通过观察前三个图片的信息，建立起相应的方程组并求解，再运用到最后一个图片中，列出一个二元一次方程，用枚举法找出符合方程的整数解之一就是本题的答案． 【详解】解：设一个大铁球可以让水面上升x，一个小铁球可以让水面上升y， 依题意可列方程组 解得 另设a个大铁球和b个小铁球放入水中可以让水面高度为21， 则依题意有 这个二元一次方程的整数解有，，， 故答案为：3；2（或者2；5或者1；8或者0；11） ． 3．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）小明、小华和小红三人玩飞镖游戏，各投5支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小红的得分是______分． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设投中内圆得分，投中外圆得分，根据小明、小华的得分，可列出关于的二元一次方程组，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设投中内圆得分，投中外圆得分，根据题意得：， 解得：， （分）， ∴小红的得分是分． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·重庆·期末）某云计算公司在重庆建立了一个大型数据处理中心．某天早上8点，数据中心有4800个初始任务在等待处理，且不断有新任务到达数据中心，假设每分钟新到达的任务数量恒定，每台传统服务器每分钟处理的任务数量恒定．数据中心共有10台传统服务器，若开放8台传统服务器，则需要40分钟处理完所有任务（包括初始任务和新到达任务，下同）；若传统服务器全部开放，则需要24分钟处理完所有任务．为减少用户等待时间，现准备将部分传统服务器进行升级，升级后的服务器处理速度比传统服务器提升．若将服务器全部开启，其他条件保持不变，想要15分钟处理完所有任务，则需要升级传统服务器_________台． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用， 设每分钟新到达的任务数量为x个，每台传统服务器每分钟处理的任务数量为y个，根据开放8台传统服务器，则需要40分钟处理完所有任务（包括初始任务和新到达任务，下同）；传统服务器全部开放，则需要24分钟处理完所有任务建立方程组求出x、y的值，再设需要升级传统服务器m台，根据15分钟处理完所有任务建立方程求解即可． 【详解】解：设每分钟新到达的任务数量为x个，每台传统服务器每分钟处理的任务数量为y个， 由题意得，， 解得， 设需要升级传统服务器m台， 由题意得，， 解得， ∴需要升级传统服务器5台， 故答案为：5． 题型15 三元一次方程的应用（共3小题） 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）某班级组织活动购买小奖品，买2支铅笔、4块橡皮、1本笔记本共需20元，买4支铅笔、6块橡皮、2本笔记本共需36元，则购买4支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需________元． 【答案】32 【分析】本题考查三元一次方程组的实际应用，设一支铅笔，一块橡皮，一本笔记本的单价分别为元，元和元，根据题意，列出三元一次方程组，进行求解即可． 【详解】解：设一支铅笔，一块橡皮，一本笔记本的单价分别为元，元和元，由题意，得： ， ，得：， ∴； ∴购买4支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需32元； 故答案为：32． 2．（24-25七年级下·河南周口·期末）[阅读感悟]： 有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： (1)已知实数x、y满足，，求和的值． (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ 【答案】(1)，19； (2)购买5 支铅笔、5块橡皮．5本日记本共需30元． 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，三元一次方程组的应用，掌握加减消元法是解题的关键． （1）根据整体代入的思想，即可求得的值，由即可求得的值； （2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据题意列出方程组，根据整体的思想由可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵实数x、y满足，， ∴得， 得． （2）解：设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元， 依题意得：， 由可得， ∴， 答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元． 3．（23-24七年级上·四川成都·期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 300 400 500 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)该市政府决定甲、乙、丙三种车型至少两种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，请通过列方程组的方法分别求出三种车型的数量． 【答案】(1)需甲车型8辆，需车型10辆； (2)方案一：甲车型12辆，乙车型0辆，丙车型6辆；方案二：甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3辆；方案三：甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆． 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解． （1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据运费600元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可； （2）设甲车有x辆，乙车有y辆，则丙车有z辆，列出等式，再根据x、y、z均为非负整数，求出x，y，z的值，从而得出答案． 【详解】（1）解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，根据题意，得： ， 解得：， 答：需甲车型8辆，需车型10辆； （2）解：甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，根据题意，得： ， 消去z得， ∴， 因x，y是非负整数，且不大于18，得，5，10，15， 则，10，8，6； 又z是非负整数，解得z=6，3，0， ∴或或， ∴共有三种运送方案： 方案一：甲车型12辆，乙车型0辆，丙车型6辆； 方案二：甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3辆； 方案三：甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆． $专题04 二元一次方程组 题型1 二元一次方程(组)的定义 题型9 方案问题（难点） 题型2 二元一次方程的解（常考点） 题型10 分配问题（常考点） 题型3 解二元一次方程组（常考点） 题型11 销售经济问题（重点） 题型4 二元一次方程组的特殊解法（常考点） 题型12 几何问题（常考点） 题型5二元一次方程组的错解复原问题（重点） 题型13 古代问题（常考点） 题型6 构造二元一次方程组求解 题型14 其他问题 题型7 已知二元一次方程组的解的情况求参数（难点） 题型15 三元一次方程的应用（拓展） 题型8 方程组相同解问题（常考点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 二元一次方程(组)的定义 （共3小题） 1．（24-25七年级下·福建漳州·期末）下列等式中是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）若是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·广西贵港·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 题型2 二元一次方程的解（共4小题） 1．（24-25七年级下·云南临沧·期末）已知是二元一次方程的解，则实数a的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25七年级下·广东广州·期末）写出关于x，y的二元一次方程的所有正整数解______． 3．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）已知二元一次方程，用含x的代数式表示y： ______． 4．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）“碳中和”是落实《巴黎协定》要求，促进各国节能减排、发展绿色低碳能源的重要概念．我国在新能源汽车领域积极探索，目前已取得世界领先的技术水平．某公司计划用184万元全部购买A、B两种国产品牌的新能源汽车，其中A品牌新能源车每辆12万元，B品牌新能源车每辆16万元，要使得费用刚好用完，则该公司购买A、B两种品牌汽车的方案有________种． 题型3 解二元一次方程组（共3小题） 1．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）解方程组： 2．（24-25七年级下·山东聊城·期末）解方程组： (1) (2) 3．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）解方程组： (1) (2) 题型4 二元一次方程组的特殊解法（共4小题） 1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西延安·期末）已知关于a、b的二元一次方程组，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·重庆·期末）若关于x，y的方程组的解是，则关于m，n的方程组的解为 （　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·福建泉州·期末）若关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组 的解是________． 题型5二元一次方程组的错解复原问题（共3小题） 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）甲、乙两个小马虎，在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程组中的b，得到方程组的解为，则原方程组正确的解是____． 2．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）甲、乙两人同时解关于的方程组，甲解得正确结果为，乙因为抄错了，解得错误结果为，则的值应为________． 3．（22-23七年级下·河北张家口·期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，解得，乙看错了方程组中的，解得，求出原方程组的正确解____． 题型6 构造二元一次方程组求解（共4小题） 1．（23-24七年级下·广东东莞·期中）对于实数x，y定义新运算：，其中a，b为常数．已知，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）已知，则___________． 3．（25-26七年级上·重庆忠县·期末）如图①是由编号为1，2，3，4，5的五个小长方形组成的大长方形．已知图①中编号为3，4，5的小长方形大小都如图②，且编号为1的小长方形面积是编号为2的小长方形面积的两倍，若，则______． 4．（24-25七年级下·四川乐山·期末）十八世纪伟大的数学家欧拉，他创造并推广了大量的数学符号，使数学表达更加简洁与方便．把关于的多项式用符号的形式来表示，把等于的多项式的值用来表示． 例如：当时，的值记为． （1）已知，则__________； （2）已知，若，，则__________． 题型7 已知二元一次方程组的解的情况求参数（共3小题） 1．（24-25七年级下·河南新乡·期末）若方程组的解互为相反数，则_____． 2．（24-25七年级下·广东肇庆·期末）关于的方程组的解满足，则的值为_________． 3．（24-25七年级下·重庆秀山·期末）若关于a，b的二元一次方程组的解满足，则m的值为________． 题型8 方程组相同解问题（共3小题） 1．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）如果方程组和的解相同，则______． 2．（23-24七年级下·云南昆明·期末）已知关于，的方程组和． 有相同的解，那么值是______． 3．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于x、y的方程组和方程组有相同的解，那么的值为（    ） A． B． C．1 D．2007 题型9 方案问题（共3小题） 1．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）班委会决定，选购圆珠笔、钢笔共22支，送给山区学校的同学．已知圆珠笔每支5元，钢笔每支6元． (1)若购买圆珠笔、钢笔刚好用去130元，问圆珠笔、钢笔各买了多少支？ (2)若购圆珠笔可9折优惠，钢笔可8折优惠，在所需费用不超过100元的前提下，请你写出一种选购方案． 2．（24-25七年级下·河北张家口·期末）某校积极响应《每周半天计划》相关文件精神，计划组织全校师生开展户外研学（一天），该校某数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，取得了如下信息： 信息1 大型客车载客量为50人，中型客车载客量为30人，此前A校租用6辆大型客车和4辆中型客车一天花费4400元；B校租用4辆大型客车和8辆中型客车一天花费4800元． 信息2 该校七年级师生共460人，租车费用的预算为4900元，拟租用10辆车． 任务1 一辆大型客车和一辆中型客车每天的租金分别为多少元？ 任务2 若要控制租车费用在预算范围内，在保证10辆车一次性将七年级师生全部送达目的地的前提下，请写出所有的租车方案，并求出花费最少的方案． 3．（24-25七年级下·山东德州·期末）某学校计划暑假期间建设一间活动教室．需要采购五人桌和两人桌两种类型的活动课桌．已知购买3张五人桌和5张两人桌需花费2050元；购买4张五人桌和2张两人桌需花费1800元． (1)求每张五人桌和两人桌的价格． (2)学校根据教室布局，计划采购16张活动课桌，要求预算不超过4500元，求至少采购几张两人桌？ (3)在（2）的条件下，活动教室至少要容纳50名学生，求所有满足条件的采购方案． 题型10 分配问题（共3小题） 1．（23-24七年级下·海南海口·期中）某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．每副太阳镜需要2片镜片和1个镜架配成一套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则可列方程组（   ） A．B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）有大、小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货17t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货39t，则3辆大货车与3辆小货车一次可以运货（   ） A．22t B．18t C．20t D．23t 3．（2024·浙江金华·二模）一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，设用x 张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成糖果盒，则下列方程组中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 题型11 销售经济问题（共3小题） 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）长沙于2011年首次获评全国文明城市，截至2025年，长沙保持全国文明城市称号已有14年，在此期间，长沙持续推进文明城市建设工作，不断巩固和提升文明城市创建成果．我校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者，如果购买A种20件，B种15件，共需380元，如果购买A种15件，B种10件，共需260元． (1)、B两种奖品每件各多少元？ (2)现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最少购买多少件？ 2．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）初三体育进入专项训练，某学校打算采购一批篮球和实心球供同学们使用，调查发现购买3个篮球和4个实心球需290元；购买6个篮球和2个实心球需460元． (1)求篮球、实心球的单价各是多少元？ (2)该校计划采购篮球、实心球共200个，总费用不超过6100元，且篮球个数不少于实心球个数的，请问有几种购买方案？ 3．（24-25七年级下·广东潮州·期末）2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛于5月14日至5月21日在苏州奥体中心举行．决赛中，中国队以战胜韩国队，完成三连冠壮举，历史上第13次登顶．5月15日该项赛事的小组赛票价如下： 2023 年道达尔能源苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛 TotalEnergies Sudirman Cup Finals 2023 票价总览图 小组赛 日期 时间 A B C 5/15 ¥380 ¥180 ¥80 ¥480 ¥280 ¥180 (1)若购买场次的A类门票和B类门票共7张，总票价为1860元，A、B两类门票各买了多少张？ (2)若再次购买场次的A类门票和C类门票共10张，且总票价不超过2100元，最少购买C类门票多少张？ (3)已知购买场次的B类门票和C类门票各若干张，共花费1620元，有哪些购买方案？ 题型12 几何问题（共4小题） 1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）将长方形和长方形按如图所示摆放，由图中信息可知，“？”的值为（   ） A．6.75 B．6.5 C．6.25 D．6 2．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）用2个相同的正方形个相同的长方形和1个正方形无缝拼接成如图所示的大长方形，若该大长方形的长为26，宽为14，则一个长方形的周长为（    ） A．30 B．32 C．36 D．40 3．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图，5块相同的长方形地砖拼成一个长方形，若每块长方形地砖的长为，宽为，根据图形可以列出方程组为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示．则阴影部分的面积是（   ） A．60 B．64 C．67 D．180 题型13 古代问题（共4小题） 1．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）《孙子算经》中有这样一道题：今三人共车，两车空；二人共车，九人步，问：人与车各几何？其大意是：今有若干人和车，若3人坐一辆车，则空余两辆车，若2人坐一辆车，则有9人步行，问：人与车各多少？设有人，有辆车，那么可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）我国古代数学问题：现有甲、乙两钱袋，甲袋装的黄金比乙袋装的黄金多10枚，从甲袋取8枚黄金放到乙袋，乙袋的黄金数量就是甲袋的两倍．设甲袋原有黄金枚，乙袋原有黄金枚，则可列方程组为（    ） A．B． C． D． 3．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）《九章算术》中记载了这样一个问题，原文如下：今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉；上禾七秉，损实二斗五升，当下禾五秉．问上、下禾实一秉各几何？大意是：5捆上等稻子少结一斗一升，相当于7捆下等稻子；7捆上等稻子少结二斗五升，相当于5捆下等稻子．问上等稻子和下等稻子一捆各能结多少（1斗升）？设上等水稻每捆有稻谷x升，下等水稻每捆有稻谷y升，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 题型14 其他问题（共4小题） 1．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）某快递公司为了提高快递分拣的速度，决定购买分拣机器人来代替人工分拣．已知购买2台A型机器人和1台B型机器人共需16万元，购买3台A型机器人和2台B型机器人共需26万元．若该快递公司准备购买4台A型机器人和6台B型机器人，共需要花费________万元． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）一个圆柱形容器中装有一定量的水，放入若干个大铁球和小铁球后（假设所有球都浸没在水中），水面上升情况如图所示，要使水面高度为21，则可以放入_________个大铁球和_________个小铁球．（写出一组符合要求的值即可） 3．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）小明、小华和小红三人玩飞镖游戏，各投5支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小红的得分是______分． 4．（24-25七年级下·重庆·期末）某云计算公司在重庆建立了一个大型数据处理中心．某天早上8点，数据中心有4800个初始任务在等待处理，且不断有新任务到达数据中心，假设每分钟新到达的任务数量恒定，每台传统服务器每分钟处理的任务数量恒定．数据中心共有10台传统服务器，若开放8台传统服务器，则需要40分钟处理完所有任务（包括初始任务和新到达任务，下同）；若传统服务器全部开放，则需要24分钟处理完所有任务．为减少用户等待时间，现准备将部分传统服务器进行升级，升级后的服务器处理速度比传统服务器提升．若将服务器全部开启，其他条件保持不变，想要15分钟处理完所有任务，则需要升级传统服务器_________台． 题型15 三元一次方程的应用（共3小题） 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）某班级组织活动购买小奖品，买2支铅笔、4块橡皮、1本笔记本共需20元，买4支铅笔、6块橡皮、2本笔记本共需36元，则购买4支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需________元． 2．（24-25七年级下·河南周口·期末）[阅读感悟]： 有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： (1)已知实数x、y满足，，求和的值． (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ 3．（23-24七年级上·四川成都·期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 300 400 500 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)该市政府决定甲、乙、丙三种车型至少两种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，请通过列方程组的方法分别求出三种车型的数量． $