专题01 幂的运算20大题型（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材苏科版

**基本信息** 以20大题型系统覆盖幂的运算全考点，构建“基础运算-特殊指数-应用拓展-综合创新”四层逻辑体系，提炼分类讨论、规律探究等解题方法，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|5题型/15题|逆用公式、混合运算顺序|从定义出发，推导同底数幂乘除、幂的乘方等基本法则| |特殊指数|2题型/6题|零指数底数限制、负指数转化|延伸至零指数、负整数指数，完善指数运算体系| |应用拓展|5题型/15题|比较大小（化同底/同指数）、次数关系分析|结合化简求值、科学记数法，实现法则应用迁移| |综合创新|8题型/24题|新定义转化、压轴题分类讨论|通过规律探究、跨知识综合，提升数学思维与应用意识|

专题01 幂的运算20大题型 题型1 同底数幂的乘法及其逆用（常考点） 题型11 同底数幂乘法中的次数关系（重点） 题型2 幂的乘方及其逆用（常考点） 题型12 幂的运算中用x表示y题型 题型3 积的乘方及其逆用（常考点） 题型13 幂的运算值为1的分类讨论题型（重点） 题型4 同底数幂的除法及其逆用 题型14 幂的有规律计算问题 题型5 幂的混合运算 题型15 幂的新定义运算（重点） 题型6 零指数幂 题型16 幂的新定义运算（劳格数）（难点） 题型7 负整数指数幂 题型17 幂的新定义运算（抽象函数类）（难点） 题型8 科学记数法（常考点） 题型18 选填压轴题型（难点） 题型9 幂运算中的化简求值 题型19 解答压轴题型（难点） 题型10 利用幂的运算比较大小（重点） 题型20 江苏地区期末必考题型 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 同底数幂的乘法及其逆用（共3小题） 1．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， 因此结果为，对应选项为C． 2．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）已知，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．3 D．8 【答案】C 【分析】根据同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）已知，，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）可利用同底数幂的乘除运算法则，将转化为，结合已知条件求出其值，再根据指数的唯一性得到的值； （2）利用幂的乘方和同底数幂的乘除法则，将转化为，代入已知值计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ∵底数相同的幂相等时，指数相等， ∴． （2）解：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方，解题关键是熟练运用幂的运算公式，将所求式子转化为已知幂的组合形式，再代入计算． 题型二 幂的乘方及其逆用（共3小题） 4．（25-26七年级下·江苏常州·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 5．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）已知，则的值是________． 【答案】8 【分析】将等式左侧各数化为以为底的幂，利用幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则化简左侧，再根据等式两边底数相同的幂相等则指数相等列方程求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 6．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题； (1)若，求x的值； (2)若，，用含m的代数式表示n； (3)已知，，用含p，q的式子表示 ． 【答案】(1)x的值为3 (2) (3) 【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算将变形为再计算即可； （2）由题意得，将变形为，再代入化简即可； （3）根据幂的乘方的逆运算，积的乘方的逆运算将变形为，再代入即可． 【详解】（1）解：，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴x的值为3． （2）解：∵，， ∴， ∴ ， ∴． （3）解：∵，， ∴． 题型三 积的乘方及其逆用（共3小题） 7．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）若，则_____________． 【答案】15 【详解】解：． 8．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：如：．若，那么的结果是______ 【答案】 【分析】根据定义求解即可； 【详解】解：， 由， 得， 由， 故； 9．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）【教材研究】下面方框内是2024苏科版教材内的一道例题． 计算：． 解：原式， ， ， ． 【我的感悟】请参考方框内的解法解答下列问题． (1)计算： ①； ②； (2)如果，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①将拆为，逆用积的乘方公式，把指数相同的与结合计算；②将化为，逆用积的乘方公式，把指数相同的与结合计算； （2）先逆用积的乘方公式将左边化为，再根据同底数幂相等则指数相等列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 题型四 同底数幂的除法及其逆用（共3小题） 10．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）实数满足，则代数式的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】由题意求出，再将变形为，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴ ． 11．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）已知a，b，c满足，，，则代数式的值为________． 【答案】1 【分析】利用同底数幂的运算法则找出的关系，，，再代入求解即可； 【详解】解：∵，，， ∴，， 则， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 12．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）计算： (1)若，，求； (2)若，求的结果． (3)若，求x的值． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】（1）求出的值，再根据求解即可； （2）求出，再把所求式子变形为，进一步变形为，据此可得答案； （3）把所求式子变形为，进一步变形得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型五 幂的混合运算（共3小题） 13．（25-26七年级下·江苏南通·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查的是幂的混合运算；掌握运算顺序是关键； （1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法即可； （2）先计算幂的乘方，积的乘方，再计算同底数幂的除法与乘法即可； （3）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法与除法即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3） ． 14．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法； （2）先算幂的乘方，再合并同类项； （3）先算积的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项； （4）先算幂的乘方，再乘同底数幂的乘法，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 15．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查幂的混合运算： （1 ）先计算幂的乘方，再根据同底数幂乘除法计算法则求解即可； （2 ）先计算积的乘方，再计算同底数幂乘除法，最后合并同类项即可； （3 ）先计算同底数幂除法，然后去括号，最后合并同类项即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 题型六 零指数幂（共3小题） 16．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）若有意义，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零指数幂的定义，底数不能为0，据此求解即可． 【详解】解：根据零指数幂的定义，任何非零数的零次幂有意义，零的零次幂无意义， ∵ 有意义 ∴ 底数不为，即 解得． 17．（25-26七年级下·江苏宿迁·月考）如果，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零指数幂成立的条件求解即可，任何不等于0的数的零次幂都等于1，零指数幂的底数不能为0． 【详解】解：∵， ， ． 18．（25-26七年级下·江苏常州·期末）计算：_____． 【答案】 【详解】解： . 题型七 负整数指数幂（共3小题） 19．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）计算：（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据负整数指数幂运算法则： ∵，且， ∴． 20．（25-26七年级下·江苏常州·期末）若，则__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 21．（25-26七年级下·江苏南京·期末）在研究幂的运算时，我们首先研究了指数为正整数的相关运算性质． (1)类似地，当指数是负整数时，幂的相关运算性质仍然成立． 计算：①；②． (2)类似地，当指数推广到分数时，幂的相关运算性质仍然成立． ①计算：； ②填空：． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【详解】（1）解：① ② （2）解：①； ②， 故答案为：1． 题型八 科学记数法（共3小题） 22．在高速光纤通信中，为了提高传输容量，会把光信号压缩成极短脉冲．某超高速光纤系统中，单个光脉冲宽度约为毫秒．数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】绝对值小于1的数用科学记数法表示，需形式为，其中，n是正整数，等于原数中左起第一个非零数字前零的个数． 【详解】解：． 23．（24-25七年级下·全国·期末）人体鼓膜的辐射能量主要处于区．已知，则用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 用科学记数法表示绝对值小于1的数，形如，，为负整数，据此解题． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B； 24．（25-26七年级下·河北邢台·期末）一个正方体集装箱的棱长为． （1）用科学记数法表示这个集装箱的体积是_________； （2）若有一个小立方块的棱长为，则把集装箱装满需要这样的小立方块的个数为_______．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】（1）利用有理数的乘法运算结合科学记数法的表示方法得出答案； （2）利用有理数的乘除运算法则化简求出答案． 【详解】解：（1）一个正方体集装箱的棱长为， 这个集装箱的体积是：， 答：这个集装箱的体积是； 故答案是：； （2）一个小立方块的棱长为， （个， 即：需要个这样的小立方块才能将集装箱装满． 故答案是：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 题型九 幂运算中的化简求值（共3小题） 25．（25-26七年级下·江苏宿迁·月考）先化简，再求值：．其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的化简求值．将原式变形为，将看成一个整体，利用同底数幂的乘法计算，再计算加减，最后代入数值计算即可． 【详解】解： ． 当，时，原式． 26．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）化简求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先计算积的乘方，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 27．（25-26七年级下·江苏常州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式运算的化简求值，根据整式的运算法则，进行化简后， 代值计算即可． 【详解】原式 ； 当时． 题型十 利用幂的运算比较大小（共3小题） 28．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如果，，，那么，，三数的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数乘方，先根据零指数幂，负整数指数幂，有理数乘方的计算法则求出三个数的值，再比较大小即可得到答案，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：． 29．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知，，，．比较，，，的大小并用“”号连起来_______． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算及零次幂．根据有理数的乘方运算可进行求解． 【详解】解：∵，，，， ∴． 故答案为：． 30．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小 解：因为，且， 所以，即」 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 材料二：比较和的大小． 解：因为，且， 所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 解决下列问题： (1)比较、、的大小： (2)比较的大小： (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，，，再比较底数的大小即可； （2）根据，，，再比较底数的大小即可； （3）根据，，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∵， ∴， 即； （2）解：∵， ， ， ∵， ∴， 即； （3）解：∵， ， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． 题型十一 同底数幂乘法中的次数关系（共3小题） 31．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键． 根据已知等式可得，则． 【详解】解：∵， ， ， ， 故选：B． 32．（25-26七年级下·山东聊城·期末）若，，则代数式与之间关系是 ____________． 【答案】 【分析】本题主要考查幂的乘方和积的乘方，解题的关键是熟练掌握以上知识点．利用幂的乘方和积的乘方的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 33．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若，，，则，，的关系：①；②；③；④，其中正确的是________． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘除法法则是解答此题的关键．应用同底数的乘除法，进行熟练变换，即可求出正确答案． 【详解】解：， ，即，故①正确； ， ，故②正确； ，， ，故③正确； ，， ．故④错误． 故答案为：①②③． 题型十二 幂的运算中用x表示y题型（共3小题） 34．（25-26七年级下·江苏·期末）若，，用含的代数式表示为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法的逆应用等运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 由解出 ，再将中的化为，代入的表达式即可． 【详解】解：由，得， ， ， 代入，得， 所以， 故答案为：． 35．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）【中档】若且，m、n是正整数，则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂的乘方逆运算可得：，即可得出，再根据已知，由此可得：，得出，解方程即可得出x的值； （2）将变形为：，即，即可得出，即可得出答案； （3）由，可得，把代入y即可得出答案． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：已知， ∵ ， ∴， 故答案为：． 36．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． (3)若，，用含m的代数式表示 ． 【答案】(1)6 (2)3 (3) 【分析】本题考查幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）利用幂的乘方的逆运算将变形为，再根据题目中的规定即可求解； （2）将变形为，计算出，即可求解； （3）由得，再将变形为即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， 故答案为：． 题型十三 幂的运算值为1的分类讨论题型（共3小题） 37．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知，则k的值为（   ） A．2 B．2或4 C．0或2或4 D．0或4 【答案】D 【分析】根据初中幂运算中结果为1的三种情况分类讨论，分别计算k的值，排除无意义的情况即可得到答案. 【详解】解：由题意分3种情况： ①当时，解得，此时，不符合题意，舍去； ②，解得，此时，原式化为，满足题意； ③，解得，此时，原式化为，满足题意； 综上：或，故D正确. 38．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）使的的值为__________． 【答案】3或2或1 【分析】根据任何非零数的零次幂等于1，1的任何次幂都等于1，的偶次幂等于1进行计算即可． 【详解】解：当即，此时； 当即时，； 当即时，； 综上，x的值为3或2或1． 39．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）我们规定：．完成下列问题： (1)已知，则x的取值范围是 ； (2)已知，求x的值． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据题意可得，据此可得答案； （2）分三种情况：，，，分别求出对应情况下x的值，结合进行验证即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：当时，则， ∴， ∵， ∴此时满足； 当时，则， ∴， ∵， ∴此时满足； 当时，则， ∴， ∵， ∴此时满足； 综上所述，x的值为或或． 题型十四 幂的有规律计算问题（共3小题） 40．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）观察下列各式： ， ， ， …… (1)仔细观察： ______； (2)探究规律： 根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)实践应用： 计算：； (4)深度思考： 计算：． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了整式的规律探究，同底数幂的乘法．理解题意，推导一般性规律解题的关键． （1）由题意知，； （2）由题意知，第个等式为，然后利用同底数幂的乘法的逆运算求解证明即可； （3）由题意知，，则； （4）令，则，根据，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：由题意知，第个等式为， 由题意知，； ∴第个等式成立； （3）解：由题意知，， ∴， ∴； （4）解：令， 则， ∴， 解得，， ∴． 41．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）（1）填空：、、… （2）探索（1）中式子的规律，请写出第n个等式：　 　； （3）直接计算：　 　； （4）利用（2）中发现的规律计算：． 【答案】（1）0、1、2；（2）；（3）2；（4）． 【分析】（1）根据有理数的乘方和零次幂的性质计算即可； （2）结合（1）中式子的规律，即可写出第n个等式； （3）根据（2）中式子的规律，即可计算； （4）逆用（2）中发现的规律计算即可． 【详解】解：（1），，， 故答案为：0、1、2； （2）由题意得，第n个等式为：； 故答案为：； （3） ， 故答案为：2； （4） ． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的乘方运算，零次幂的性质，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律并能够应用规律． 42．（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； （2）为了求的值， 可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ，即． 仿照以上推理，计算． 【答案】（1）2，，；（2） 【分析】本题考查数字类规律探索，同底数幂的乘法运算，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，根据题意进行求解． （1）观察可知：第二项与第一项之比为2；第三项与第二项之比为2；第四项与第三项之比为2；所以每一项与前一项之比是2，总结规律得到答案； （2）仿照题干中的求法解答即可． 【详解】（1）解：2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2； ∵， ∴类推得到：， ∴， 故答案为：2，，； （2）解：为了求的值，可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ， 即． 题型十五 幂的新定义运算（共3小题） 43．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　　） A．18 B．24 C．36 D．63 【答案】D 【分析】本题主要考查新定义运算，幂的乘方和积的乘方逆运算，根据新运算法则求出，再把变形为，再代入计算即可 【详解】解：∵（均为正整数）， ∴ ∴ ∴， 故选：D 44．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）对于a，b两数定义“&”的一种运算：（其中等式右边的和是通常意义下的加法与减法），若，则x的值为___________． 【答案】0或1 【分析】本题考查了新定义运算，幂的乘方，负整数指数幂，零指数幂，根据新定义列出算式是解题的关键． 根据新定义运算可得，分类讨论并列出方程，解方程即可． 【详解】根据定义， ． 化简得． 因为，分以下三种情况讨论： 情况一：底数为时 当，即时，指数 ， 根据的任何次幂都为， ，满足等式． 情况二：底数为时 当，即时，指数 ， ，不满足等式，舍去． 情况三：指数为时 当，即时，底数 ，根据非零数的次幂为， ，满足等式． 综上，x的值为0或1． 45．（25-26七年级下·江苏镇江·月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空：＝__________；（_________，16）＝4； (2)计算＝_________，并说明理由； (3)利用“雅对”定义说明：，对于任意非0整数n都成立． 【答案】(1)3，±2 (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）由于，，根据“雅对”的定义可得，； （2）设，，利用新定义得到，，根据同底数幂的乘法得到，然后根据“雅对”的定义得到，从而得到； （3）设：，，利用新定义得到，，根据幂的乘方得到，从而得到，所以，对于任意自然数n都成立． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：3，±2； （2）； 理由如下： 设，，则，， ∴， ∵， ∴； 故答案为： （3）设，， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， 即，对于任意自然数n都成立． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即（m，n是正整数）． 题型十六 幂的新定义运算（劳格数）（共3小题） 46．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，），理由如下： 设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)填空：①________，②________； (2)求证：（，，，）； (3)拓展运用：计算． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了乘方运算的逆运算及同底数幂的乘除法运算，对数与指数之间的关系以及相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系以及相互转化关系． （1）直接根据定义计算即可； （2）设，，根据对数的定义可表示为，，计算，参照所给资料的证明过程进行证明即可； （3）根据公式及（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：5； ②， 故答案为：0； （2）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴（，，，）． （3）解： ． 47．阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题是新定义试题，主要考查幂的运算性质、新定义对数与指数之间的关系； （1）根据对数式的定义转化即可； （2）根据对数式的定义进行计算，即可求解； （3）先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，类比所给材料的证明过程可得结论； （4）根据公式：和的逆用，计算可得结论． 【详解】（1）解：将指数式转化为对数式为， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ （3）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得， 又∵， ∴； （4） 48．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）阅读以下材料： 对数的创始入是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550年-1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若，则x叫做以a为底N的对数，记作．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：．理由如下：设，所以，所以，由对数的定义得，又因为，所以． 解决以下问题： (1)将指数转化为对数式__________________； (2)仿照上面的材料，试证明：； (3)_________；_________． 【答案】(1)； (2)证明见详解； (3)1；0． 【分析】（1）根据定义直接写出对数式即可； （2）先设logaM＝m，logaN＝n，根据对数的定义可表示为指数式为：M＝am，N＝an，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论； （3）根据公式：loga（M·N）＝logaM+logaN和的逆用，将所求式子表示为：log2（2×4÷8），计算可得结论． 【详解】（1）解：将指数转化为对数式：． 故答案为：； （2）证明：设logaM＝x，logaN＝y， ∴M＝ax，N＝ay， ∴， 由对数的定义得， 又∵x﹣y＝logaM﹣logaN， ∴； （3）∵， ∴； 由题意：； 故答案为：1；0． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系． 题型十七 幂的新定义运算（抽象函数类）（共3小题） 49．在学习同底数幂的乘法和除法法则后，类似的，我们规定关于任意整数，的一种新运算，即：，且，以及的值都不等于．请根据这种新运算解决下列问题： (1)求证； (2)若，则求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查新定义下对同底数幂的乘法法则的应用，解题的关键是正确理解题意，准确计算． （1）令，根据，即可证明； （2）根据新定义，将变形，得，可得进而可求的值． 【详解】（1）证明：令，，可得：， 又， 故等式左右两边同时除以得：． （2）解：， 而 ， ． 50．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m，n为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：（其中m，n为正整数）． 例如，若，则．． (1)若， ①填空：_______； ②当，求的值． (2)若，化简：． 【答案】(1)①125；② (2) 【分析】（1）①根据新的运算，再将相应的值代入运算即可； ②根据新的运算，再将相应的值代入运算即可； （2）结合新的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 本题主要考查同底数幂的乘法，数字的变化规律，解答的关键是理解清楚所给的新的运算． 【详解】（1）解：①， ∴ ； ②， ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ． 51．（24-25八年级上·福建漳州·期末）规定新运算：（其中m、n为正整数）．例如， 若，则． (1)若， ①求的值； ②当，求n的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)①25；②3 (2)243 【分析】本题考查了乘方及同底数幂的乘法，新定义，理解新定义的规则是解题的关键． （1）①按照新定义的运算规则有，再代入值进行计算即可； ②根据新的运算，再将相应的值代入运算即可； （2）结合新的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 【详解】（1）解：， ． ② ， 又， ， ， ． （2）解：依题意得，，， . 题型十八 选填压轴题型（共3小题） 52．设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】由题意可知是100的倍数，从而分析得到的末尾数字是01，设（t为正整数），由，分析判断即可得到正确答案． 【详解】解：由题意知，是100的倍数 ∵与100互质 ∴是100的倍数 ∴的末尾数字是01 ∴的数值一定是偶数，且m，n是正整数， 设：（t为正整数） 则： ∵的末尾两位数字为61，的末尾两位数字为41，的末尾两位数字为21，末尾两位数字为01 ∴t的最小值为5， ∴的最小值为10 故答案为：B 【点睛】本题考查幂的乘方，牢记相关的知识点并能灵活应用是解题的关键． 53．已知，则x的值为________． 【答案】4 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键在于熟练掌握该知识点的概念和运算法则． 根据同底数幂的乘法，可化成同类项，根据合并同类项，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 54．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）已知，，则__________． 【答案】1 【分析】本题的思路是将等式两边化成同底数幂，推出指数相等．由于，因此对等式两边同时取y次方，可以得到，再把160换成得到，接着把换成（都等于160）得到，从而推出，最后对中的指数去括号，整体代入可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵，, ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，将等式两边化成同底数幂，推出指数相等是解题的关键． 题型十九 解答压轴题型（共3小题） 55．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查定义新运算，幂的运算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①根据新定义，得到，即可得出结果；②根据新定义，列出方程组进行求解即可； （2）根据，推出，进而得到，根据，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 两式相乘可得：， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵为正整数，为常数，为任意非零有理数， ∴； 综上：． 56．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令，求的值． 【答案】(1)3，125 (2)90 (3)3 【分析】本题考查有理数的乘方，同底数幂的乘法逆用，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． （1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）由题意可得出，，那么，则，故，而，得到，则，故，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：3，125； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 57．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)4，64 (2) (3)①；② 【分析】（1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）①由题意可得出，，再根据，，即可求出；②根据，即得出，结合题意可得出．由①知，即得出，进而得出，即说明，代入中求值即可． 【详解】（1）解：， ； ，且， ． 故答案为：，； （2）解：，，，若， ，，． ， ，即， ； （3）解：①，， ，， ，， ； ②， ， ． 由①知：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查有理数的乘方，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． 题型二十 江苏地区期末必考题型（共3小题） 58．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）若a，b是正整数，且满足，则下列a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，正确掌握同底数幂的乘法性质是解题关键．先将等式左右两边转化为同底数幂的形式，再利用同底数幂相等则指数相等的性质推导a与b的关系． 【详解】解：∵， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 59．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）已知，则正整数m的值为（   ） A．84 B．86 C．94 D．96 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方等的逆运算，合并同类项．将等式右边的两个幂次项提取公因数，转化为平方数的乘积形式，进而开平方得到m的值，即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴． 故选D． 60．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：∵，正确 故A合题意． ∵不是同类项，无法计算，错误， ∴B不合题意． ∵，错误， ∴C不合题意． ∵，错误， ∴D不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键． 61．（24-25七年级下·江苏常州·期末）已知，其中，，，是正整数，则下列说法中正确的是（    ） A．是偶数 B．是偶数 C．是偶数 D．是奇数，是偶数 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂乘法．熟练掌握同底数幂乘法的法则，奇数偶数性质，是解题的关键． 将等式右边统一为3的幂，结合完全平方数的性质确定指数为偶数，进而分析各选项的奇偶性，即得． 【详解】∵，且左边为完全平方数， ∴必为偶数． ∵，且为偶数， ∴也需为偶数． 若为偶数，为偶数，则需为偶数； 若为奇数，为奇数，则需为奇数． ∴与奇偶性相同， ∴必为偶数． A：如为奇数时，可能为奇数，错误； B：是偶数，正确； C：的奇偶性由决定，不一定为偶数； D：的奇偶性不确定，错误． 故选：B． 62．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．记，，．则a、b和c的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据题意分别表示出关于的等式，即可判断它们的关系。 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵ ∴，即 故选：C 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则逆用是解题的关键． 63．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若且为整数，能整除的有________个． 【答案】/四 【分析】本题考查了本题考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是正确推理计算．首先将表达式分解质因数，然后找出中能整除的整数即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴． 故 ； ∵且为整数， 故的值可以为、、、、、、、； ，故能整除； ，故能整除； ，故能整除； ，故能整除； 综上，符合条件的为、、、，共个． 故答案为：． 64．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）若，，，，则a，b，c，d的关系是______．（用“＜”连接） 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂和零指数幂，根据负整数指数幂和零指数幂分别计算后再比较大小即可． 【详解】解：，，，， ∵， ∴， 故答案为：． 65．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）已知，则的值是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了代数式求值，幂的乘方的逆用，负整数指数幂，掌握相关运算法则是解题关键．由已知等式可得，将变形为，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 66．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知，，，下列结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①③ 【分析】本题考查了同底数幂乘法及其逆运算、对指数的大小比较，掌握这些知识点时解题的个关键. 利用同底数幂乘法及其逆运算对等式进行对比可得：①，②，③，可证结果. 【详解】解：（1）∵， ∴，即 ∴ ∴；①正确； （2）∵， ∴ ，即 ∵ ∴ ；②不正确； （3）∵ ∴ ，而，③正确； 故答案为：①③ . 67．（25-26七年级下·江苏南京·期末）若，，则的值为______． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法运算法则得到，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算法则，有理数的减法运算法则，掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键． 68．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）已知，则的值是_____． 【答案】3 【分析】先根据幂的乘方的逆运算法则求出，再根据同底数幂乘法的逆运算法则求出，从而推出，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，正确推出是解题的关键． 69．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）【课内回顾】如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为或或； (3)的值为或． 【分析】此题主要考查了同底数幂的除法的法则，零指数幂的定义等，分类讨论是解决问题的关键． （1）根据同底数幂的除法法则进行运算，得到，再根据零指数幂的定义求解即可； （2）根据题意进行的分类讨论，即可求解； （3）先分类讨论：（）当且时，求出的值并判断；（）当时，整理，得：，再根据题意进行的分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， ∴，解得：； （2）∵， ∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为1的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：为偶数，即成立， ∴综上，的值为或或； （3）∵， ∴分类讨论： （）当且时，解得：且，矛盾，不成立； （）当时，整理，得：， ∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：不为偶数，即不成立； ∴综上，的值为或． 70．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法以及若（且），则的结论，熟练掌握幂的运算法则和整体代换思想是解题的关键． （1）先将等式左边的底数统一为2，再根据若（且），则的结论，列出关于的方程求解． （2）先提取公因式，将等式左边化简，再把等式右边的数转化为以2为底的幂，最后根据若（且），则的结论，列出关于的方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 71．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）若（，且，，是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的运算，解一元一次方程，熟练掌握同底数幂运算的法则是关键． （1）根据题意，得到关于的方程，求解即可； （2）先根据同底数幂的运算法则，将转化为，化简并解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得，当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 72．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）（1）计算：________； （2）若，，求的值； （3）若，求x的值． 【答案】（1）；（2）12；（3）3 【分析】本题考查了有理数乘方的逆运算、积的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先利用有理数乘方的逆运算可得，再利用积的乘方的逆用计算即可得； （2）先根据同底数幂乘法的逆用可得，再利用幂的乘方的逆用计算即可得； （3）根据有理数乘方的逆运算可得，再计算幂的乘方、同底数幂的乘法法则计算即可得． 【详解】解：（1）原式 ． （2）∵，， ∴ ． （3） ， ∵， ∴， ∴， 解得． 73．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 小明的作业：计算：． 解：原式． (1)知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． (2)知识拓展：若，求（用字母表示）． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】本题主要考查了积的乘方法则逆运算、幂的乘方法则的逆运算、同底数幂的乘法法则，熟练掌握积的乘方法则、同底数幂的乘法法则是解题关键． （1）知识迁移：①结合题意，根据积的乘方法则逆运算进行计算即可；②结合题意，根据积的乘方法则逆运算进行计算即可； （2）知识拓展：结合题意，根据幂的乘方法则、积的乘方逆运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：①； ② ； （2）解：∵， ∴， ∴， 即． 74．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：_____，_____； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象，，小明给出了如下的证明： 设，则，即， ∴，即， ∴， 请你尝试用这种方法证明下面这个等式： 【答案】(1)27，0 (2)见解析 【分析】本题考查了乘方的运算、幂的乘方以及同底数幂的乘法运算，解题的关键是理解题目中定义的运算法则. （1）根据规定的运算规则即可求解； （2）设，，则，，．，即可证得结果． 【详解】（1）根据规定的运算规则：如果，那么． ∵， ∴； ∵， ∴； （2）设，， 则，， ∴． ∴， ∴． 75．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）若（且，、是正整数），则． 利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，则___________； (2)如果，求的值． (3)如果，求的值． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方对式子进行变形． （）根据（且，是正整数），则即可求解； （）根据幂的乘方法则计算即可； （）根据同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方法则计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：4 （2）∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3） ∵， ∴， ， ∴， ∴， 解得：． 76．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）规定两正数a，b之间的一种运算记作，如果，那么． 例如：因为，所以． 小明在研究这种运算时发现一个结论：． 小明给出了如下的证明： 设， 由规定，得， ∴， ∴， ∴ 请你解决下列问题： (1)填空： ，； (2)证明：； (3)如果正数、m、n，满足，求x． 【答案】(1)4， (2)见解析 (3)5 【分析】（1）根据，则计算求解即可； （2）根据的证明过程证明即可； （3）根据新定义结合同底数幂的运算列出方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）证明：设， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：由题意可得：， ∴， ∴， 解得：． $ 专题01 幂的运算20大题型 题型1 同底数幂的乘法及其逆用（常考点） 题型11 同底数幂乘法中的次数关系（重点） 题型2 幂的乘方及其逆用（常考点） 题型12 幂的运算中用x表示y题型 题型3 积的乘方及其逆用（常考点） 题型13 幂的运算值为1的分类讨论题型（重点） 题型4 同底数幂的除法及其逆用 题型14 幂的有规律计算问题 题型5 幂的混合运算 题型15 幂的新定义运算（重点） 题型6 零指数幂 题型16 幂的新定义运算（劳格数）（难点） 题型7 负整数指数幂 题型17 幂的新定义运算（抽象函数类）（难点） 题型8 科学记数法（常考点） 题型18 选填压轴题型（难点） 题型9 幂运算中的化简求值 题型19 解答压轴题型（难点） 题型10 利用幂的运算比较大小（重点） 题型20 江苏地区期末必考题型 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 同底数幂的乘法及其逆用（共3小题） 1．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）已知，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．3 D．8 3．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）已知，，． (1)求的值． (2)求的值． 题型二 幂的乘方及其逆用（共3小题） 4．（25-26七年级下·江苏常州·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）已知，则的值是________． 6．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题； (1)若，求x的值； (2)若，，用含m的代数式表示n； (3)已知，，用含p，q的式子表示 ． 题型三 积的乘方及其逆用（共3小题） 7．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）若，则_____________． 8．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：如：．若，那么的结果是______ 9．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）【教材研究】下面方框内是2024苏科版教材内的一道例题． 计算：． 解：原式， ， ， ． 【我的感悟】请参考方框内的解法解答下列问题． (1)计算： ①； ②； (2)如果，求的值． 题型四 同底数幂的除法及其逆用（共3小题） 10．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）实数满足，则代数式的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 11．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）已知a，b，c满足，，，则代数式的值为________． 12．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）计算： (1)若，，求； (2)若，求的结果． (3)若，求x的值． 题型五 幂的混合运算（共3小题） 13．（25-26七年级下·江苏南通·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 14．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)； (3)； 题型六 零指数幂（共3小题） 16．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）若有意义，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．（25-26七年级下·江苏宿迁·月考）如果，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 18．（25-26七年级下·江苏常州·期末）计算：_____． 题型七 负整数指数幂（共3小题） 19．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）计算：（  ） A． B． C． D． 20．（25-26七年级下·江苏常州·期末）若，则__________． 21．（25-26七年级下·江苏南京·期末）在研究幂的运算时，我们首先研究了指数为正整数的相关运算性质． (1)类似地，当指数是负整数时，幂的相关运算性质仍然成立． 计算：①；②． (2)类似地，当指数推广到分数时，幂的相关运算性质仍然成立． ①计算：； ②填空：． 题型八 科学记数法（共3小题） 22．在高速光纤通信中，为了提高传输容量，会把光信号压缩成极短脉冲．某超高速光纤系统中，单个光脉冲宽度约为毫秒．数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级下·全国·期末）人体鼓膜的辐射能量主要处于区．已知，则用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 24．（25-26七年级下·河北邢台·期末）一个正方体集装箱的棱长为． （1）用科学记数法表示这个集装箱的体积是_________； （2）若有一个小立方块的棱长为，则把集装箱装满需要这样的小立方块的个数为_______．（用科学记数法表示） 题型九 幂运算中的化简求值（共3小题） 25．（25-26七年级下·江苏宿迁·月考）先化简，再求值：．其中，． 26．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）化简求值：，其中，． 27．（25-26七年级下·江苏常州·期末）先化简，再求值：，其中，． 题型十 利用幂的运算比较大小（共3小题） 28．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如果，，，那么，，三数的大小为（　　） A． B． C． D． 29．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知，，，．比较，，，的大小并用“”号连起来_______． 30．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小 解：因为，且， 所以，即」 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 材料二：比较和的大小． 解：因为，且， 所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 解决下列问题： (1)比较、、的大小： (2)比较的大小： (3)比较与的大小． 题型十一 同底数幂乘法中的次数关系（共3小题） 31．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 32．（25-26七年级下·山东聊城·期末）若，，则代数式与之间关系是 ____________． 33．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若，，，则，，的关系：①；②；③；④，其中正确的是________． 题型十二 幂的运算中用x表示y题型（共3小题） 34．（25-26七年级下·江苏·期末）若，，用含的代数式表示为____________． 35．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）【中档】若且，m、n是正整数，则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若，用含x的代数式表示y，则 ． 36．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． (3)若，，用含m的代数式表示 ． 题型十三 幂的运算值为1的分类讨论题型（共3小题） 37．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知，则k的值为（   ） A．2 B．2或4 C．0或2或4 D．0或4 38．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）使的的值为__________． 39．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）我们规定：．完成下列问题： (1)已知，则x的取值范围是 ； (2)已知，求x的值． 题型十四 幂的有规律计算问题（共3小题） 40．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）观察下列各式： ， ， ， …… (1)仔细观察： ______； (2)探究规律： 根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)实践应用： 计算：； (4)深度思考： 计算：． 41．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）（1）填空：、、… （2）探索（1）中式子的规律，请写出第n个等式：　 　； （3）直接计算：　 　； （4）利用（2）中发现的规律计算：． 42．（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； （2）为了求的值， 可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ，即． 仿照以上推理，计算． 题型十五 幂的新定义运算（共3小题） 43．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　　） A．18 B．24 C．36 D．63 44．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）对于a，b两数定义“&”的一种运算：（其中等式右边的和是通常意义下的加法与减法），若，则x的值为___________． 45．（25-26七年级下·江苏镇江·月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空：＝__________；（_________，16）＝4； (2)计算＝_________，并说明理由； (3)利用“雅对”定义说明：，对于任意非0整数n都成立． 题型十六 幂的新定义运算（劳格数）（共3小题） 46．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，），理由如下： 设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)填空：①________，②________； (2)求证：（，，，）； (3)拓展运用：计算． 47．阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 48．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）阅读以下材料： 对数的创始入是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550年-1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若，则x叫做以a为底N的对数，记作．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：．理由如下：设，所以，所以，由对数的定义得，又因为，所以． 解决以下问题： (1)将指数转化为对数式__________________； (2)仿照上面的材料，试证明：； (3)_________；_________． 题型十七 幂的新定义运算（抽象函数类）（共3小题） 49．在学习同底数幂的乘法和除法法则后，类似的，我们规定关于任意整数，的一种新运算，即：，且，以及的值都不等于．请根据这种新运算解决下列问题： (1)求证； (2)若，则求的值． 50．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m，n为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：（其中m，n为正整数）． 例如，若，则．． (1)若， ①填空：_______； ②当，求的值． (2)若，化简：． 51．（24-25八年级上·福建漳州·期末）规定新运算：（其中m、n为正整数）．例如， 若，则． (1)若， ①求的值； ②当，求n的值； (2)若，求的值． 题型十八 选填压轴题型（共3小题） 52．设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 53．已知，则x的值为________． 54．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）已知，，则__________． 题型十九 解答压轴题型（共3小题） 55．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 56．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令，求的值． 57．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 题型二十 江苏地区期末必考题型（共3小题） 58．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）若a，b是正整数，且满足，则下列a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 59．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）已知，则正整数m的值为（   ） A．84 B．86 C．94 D．96 60．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 61．（24-25七年级下·江苏常州·期末）已知，其中，，，是正整数，则下列说法中正确的是（    ） A．是偶数 B．是偶数 C．是偶数 D．是奇数，是偶数 62．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．记，，．则a、b和c的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 63．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若且为整数，能整除的有________个． 64．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）若，，，，则a，b，c，d的关系是______．（用“＜”连接） 65．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）已知，则的值是______． 66．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知，，，下列结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号是______. 67．（25-26七年级下·江苏南京·期末）若，，则的值为______． 68．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）已知，则的值是_____． 69．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）【课内回顾】如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 70．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 71．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）若（，且，，是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 72．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）（1）计算：________； （2）若，，求的值； （3）若，求x的值． 73．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 小明的作业：计算：． 解：原式． (1)知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． (2)知识拓展：若，求（用字母表示）． 74．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：_____，_____； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象，，小明给出了如下的证明： 设，则，即， ∴，即， ∴， 请你尝试用这种方法证明下面这个等式： 75．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）若（且，、是正整数），则． 利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，则___________； (2)如果，求的值． (3)如果，求的值． 76．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）规定两正数a，b之间的一种运算记作，如果，那么． 例如：因为，所以． 小明在研究这种运算时发现一个结论：． 小明给出了如下的证明： 设， 由规定，得， ∴， ∴， ∴ 请你解决下列问题： (1)填空： ，； (2)证明：； (3)如果正数、m、n，满足，求x． 3 / 23 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