江苏无锡市2025-2026学年七年级下学期期末数学模拟卷

**基本信息** 以“二十四节气”“围棋文化”等情境承载知识，通过“相伴方程”“折纸探究”等创新题型，考查七年级下册整式运算、不等式、几何变换等核心内容，体现文化传承与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称、幂运算、不等式性质|第1题结合非遗文化考查轴对称，第8题通过反例辨析绝对值命题| |填空题|8/24|科学记数法、垂直平分线、图形规律|第18题以围棋图案考查代数规律，第14题渗透反证法思想| |解答题|8/66|方程组、几何证明、实际应用|第24题研学租车问题考查方程与优化，第26题折纸探究综合平行线与旋转|

江苏无锡市2025-2026学年七年级下学期期末数学模拟卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列计算中正确的是（　　） A．（x2）3＝x5 B．（﹣3x3y）2＝9x9y2 C．x6÷x2＝x3 D．﹣x2•x＝﹣x3 3．若a＜b，则下列结论错误的是（　　） A．a+1＜b+1 B．2﹣a＜2﹣b C．3a＜3b D． 4．若一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 5．乘积等于a2﹣b2的式子是（　　） A．（a﹣b）2 B．（a﹣b）（﹣a﹣b） C．（b﹣a）（﹣a﹣b） D．（a+b）（﹣a+b） 6．若关于x的不等式x﹣m＞1的最小整数解是2，则实数m的值可能是（　　） A．﹣1 B． C．0 D．1 7．若（x2﹣px+q）（x﹣3）展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（　　） A．p＝3q B．p+3q＝0 C．q+3p＝0 D．q＝3p 8．下列各组a，b的值能作为说明命题“a＞b，则|a|＞|b|”为假命题的反例的是（　　） A．a＝﹣2，b＝0 B．a＝﹣2，b＝﹣2 C．a＝2，b＝﹣1 D．a＝﹣2，b＝﹣3 9．计算的结果是（　　） A．210+30 B．210+310 C．20+30 D．20+310 10．如图，已知EF∥GH，A、D为GH上的两点，M、B为EF上的两点，延长AM到点C，AB平分∠DAC，直线DB平分∠FBC，若∠ACB＝100°．①∠MAB＝∠BAD；②∠ABM＝∠BAM；③∠NBC＝∠MBD；④设∠BAD＝a，∠CBM＝100°﹣2a；⑤∠DBA＝50°，则其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卷相应位置.） 11．PM2.5是指大气中直径小于或等于0.00025cm的颗粒物，将0.00025用科学记数法表示为 　 　 ． 12．要判断命题“若x＜5，则x2＜25”是假命题，请举出一个反例，x的取值可以是　 　 ． 13．ax＝2，ay＝3，则ax+y的值为 　 　 ． 14．用反证法证明命题：“已知a，b，c是三条不同的直线，如果a∥b，a与c相交，那么b与c相交”是真命题时，第一步应假设　 　 ． 15．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于E点，∠B＝50°，∠FAE＝20°，则∠C＝ 　 　 度． 16．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8．将△ABC沿BC向右平移，得到△A'B'C'，A'B'与AC交于点D，连接AA'，若CC′＝3，A′D＝4，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 17．有下列四个表达式：①（x+a）（x+a）；②x2+a2+2ax；③（x﹣a）（x﹣a）；④（x+a）a+（x+a）x．其中不能表示如图所示的正方形ABCD的面积的是 　 　 （填序号）． 18．围棋，起源于中国，古称“弈”，是棋类之鼻祖，距今已有4000多年的历史．现用围棋中的黑子摆出如图所示的正方形图案，则第n个正方形图案有黑子 　 　 （用含有n的式子表示）个． 三、解答题（本大题共8小题，共计66分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．计算： （1）a3•a5+（a2）4； （2）． 20．解下列方程组： （1）； （2）． 21．先化简，再求值；[（x﹣y）2﹣（y﹣3x）（3x+y）﹣2（x2﹣2xy）]÷（﹣2x），其中x＝﹣2，y＝﹣4． 22．如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均在格点（网格线的交点）上． （1）求△ABC的面积． （2）将△ABC先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到△A1B1C1，请在图1中画出△A1B1C1． （3）将△ABC绕点D按顺时针方向旋转90°，得到△A2B2C2，请在图2中画出△A2B2C2． 23．如图，AB∥CD，∠BAC的平分线与∠ACD的平分线交于点E．填空： ∵AB∥CD， ∴∠BAC+①　 　 ＝180°． ∵AE平分∠BAC． ∴∠1②　 　 ． ∵CE平分∠ACD． ∴∠2＝③　 　 ． ∴∠1+∠2＝④　 　 °． ∴∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝90°． ∴AE⊥CE． 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：⑤　 　 ． 24．某校组织七年级350名学生去研学，已知1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人；3辆A型车和1辆B型车可以载学生130人． （1）A、B型车每辆可分别载学生多少人？ （2）若租一辆A型车需要1000元，一辆B型车需1200元，现所有车辆恰好坐满学生，请你写出全部可行租车方案，并且算出租车费的最低金额． 25．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解为2＜x＜5，因为2＜3＜5，所以称方程2x﹣6＝0为不等式组的“相伴方程”． （1）下列方程是不等式组的“相伴方程”的是 　 　 ；（填序号） ①x﹣1＝0；②2x+1＝0；③﹣2x﹣2＝0． （2）若关于x的方程2x﹣k＝2是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； （3）若方程2x+6＝0，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中m≠1，求m的取值范围． 26．综合实践 折纸中的数学 问题背景 折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何学原理运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何学． 折垂直平分线 折角平分线 提出问题 如图，能折出过P点且与边BC平行的折痕DE吗？ 问题解决 折平行线的方法步骤 说明：第一次过点P折叠使点B落在BC边上的点B′，折痕为MN，第二次折叠使点N落在射线NM上的点N′，展开压平得到折痕DE，则DE∥BC． （1）证明：DE∥BC； 迁移探究 再次折叠得到△AD′E′，又能提出哪些问题呢？ （2）如图4，将△ADE沿过点A的某射线AF折叠得到△AD′E′，AF与边BC交于F． ①作出折痕AF（保留作图痕迹，不写作法）； ②若∠BAC＝90°，∠B＝50°，DE∥BC，直接写出当△AD′E′的某一边与BC平行时∠BAF的大小； 高阶探究 过点P能折一个角等于已知角吗？ （3）如图5，如何过点P折出一条折痕GH，使得∠AGH＝∠ACB？请画出折叠的示意图并简要描述折叠过程，无需证明． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2．【解答】解：A．（x2）3＝x6，故此选项不合题意； B．（﹣3x3y）2＝9x6y2，故此选项不合题意； C．x6÷x2＝x4，故此选项不合题意； D．﹣x2•x＝﹣x3，故此选项符合题意． 故选：D． 3．【解答】解：A．∵a＜b， ∴a+1＜b+1，故本选项不符合题意； B．∵a＜b， ∴﹣a＞﹣b， ∴2﹣a＞2﹣b，故本选项符合题意； C．∵a＜b， ∴3a＜3b，故本选项不符合题意； D．∵a＜b， ∴，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．【解答】解：∵多边形的内角和为360°，一个多边形的每一个外角都是60°， ∴这个多边形的边数为：360°÷60°＝6． 故选：A． 5．【解答】解：A、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本选项不符合题意； B、（a+b）（﹣a+b）＝b2﹣a2，故本选项不符合题意； C、（b﹣a）（﹣a﹣b）＝（﹣a）2﹣b2＝a2﹣b2，故本选项符合题意； D、（a+b）（﹣a+b）＝b2﹣a2，故本选项不符合题意． 故选：C． 6．【解答】解：由x﹣m＞1得x＞m+1， ∵不等式x﹣m＞1的最小整数解是2， ∴1≤m+1＜2， ∴0≤m＜1， 故选：C． 7．【解答】解：（x2﹣px+q）（x﹣3）＝x3﹣3x2﹣px2+3px+qx﹣3q＝x3+（﹣p﹣3）x2+（3p+q）x﹣3q， ∵结果不含x的一次项， ∴q+3p＝0． 故选：C． 8．【解答】解：A、a＝﹣2，b＝0时，a＜b， 不能说明命题“a＞b，则|a|＞|b|”为假命题，不符合题意； B、a＝﹣2，b＝﹣2时，a＝b， 不能说明命题“a＞b，则|a|＞|b|”为假命题，不符合题意； C、a＝2，b＝﹣1时，a＞b，|a|＞|b|， 不能说明命题“a＞b，则|a|＞|b|”为假命题，不符合题意； D、a＝﹣2，b＝﹣3时，a＞b，而|a|＜|b|， 说明命题“a＞b，则|a|＞|b|”为假命题，符合题意； 故选：D． 9．【解答】解：原式＝20+310， 故选：D． 10．【解答】解：①∵AB平分∠DAC， ∴∠MAB＝∠BAD， 故结论①正确； ②∵EF∥GH， ∴∠ABM＝∠BAD， ∵AB平分∠DAC， ∴∠BAM＝∠BAD， ∴∠ABM＝∠BAM， 故结论②正确； ③∵直线DB平分∠FBC， ∴∠NBF＝∠NBC， 又∵∠NBF＝∠MBD， ∴∠NBC＝∠MBD， 故结论③正确； ④∵AB平分∠DAC，∠BAD＝a， ∴∠BAC＝∠BAD＝a， ∵EF∥GH， ∴∠ABM＝∠BAD＝a， ∴∠ABC＝∠ABM+∠CBM＝a+∠CBM， 在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∵∠ACB＝100°， ∴a+a+∠CBM+100°＝180°， ∴∠CBM＝80°﹣2a， 故结论④不正确； ⑤设∠DBA＝β， ∴∠MBD＝∠ABM+∠DBA＝a+β， ∴∠NBF＝∠NBC＝∠MBD＝a+β， 由④可知：∠CBM＝80°﹣2a， ∵∠NBC+∠CBM+∠MBD＝180°， ∴a+β+80°﹣2a+a+β＝180°， ∴β＝50°， ∴∠DBA＝β＝50°， 故结论⑤正确， 综上所述：正确的结论是①②③⑤，共4个． 故选：D． 二．填空题（共8小题） 11．【解答】解：将0.00025用科学记数法表示2.5×10﹣4． 故答案为：2.5×10﹣4． 12．【解答】解：当x＝﹣6时，x2＝（﹣6）2＝36， 则x＜5，x2＞25， 说明命题“若x＜5，则x2＜25”是假命题， 故答案为：﹣6（答案不唯一）． 13．【解答】解：∵ax＝2，ay＝3， ∴ax+y＝ax•ay， ＝ax•ay， ＝2×3， ＝6． 故答案为：6． 14．【解答】解：反证法证明命题：“已知a，b，c是三条不同的直线，如果a∥b，a与c相交，那么b与c相交”是真命题时，第一步应假设b与c不相交，即b∥c， 故答案为：b∥c． 15．【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∴∠EAC＝∠C， ∵AF平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠CAF＝∠FAE+∠CAE＝20°+∠C， 由三角形内角和定理得，∠B+∠BAC+∠C＝180°，即50°+20°+∠C+20°+∠C+∠C＝180°， 解得，∠C＝30°， 故答案为：30． 16．【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝8．将△ABC沿BC向右平移，得到△A'B'C'，A'B'与AC交于点D，连接AA'，CC′＝3，A′D＝4， ∴BB′＝CC′＝3，A′B′＝AB＝8，△ABC≌△A′B′C′， ∴S△ABC＝S△A′B′C′，即S阴影+S△DB′C＝S△DB′C+S梯形ABB′D， ∴ ， 故答案为：18． 17．【解答】解：由题意可得：正方形ABCD的面积为四部分面积之和， 即正方形ABCD的面积＝x2+ax+ax+a2 ＝x2+2ax+a2． ∵①（x+a）（x+a）＝x2+2ax+a2， ∴①能表示如图所示的正方形ABCD的面积； ∵②x2+a2+2ax， ∴②能表示如图所示的正方形ABCD的面积； ∵③（x﹣a）（x﹣a）＝x2﹣2ax+a2， ∴③不能表示如图所示的正方形ABCD的面积； ∵（x+a）a+（x+a）x＝xa+a2+x2+ax＝x2+2ax+a2， ∴④能表示如图所示的正方形ABCD的面积； 综上，不能表示如图所示的正方形ABCD的面积的是③， 故答案为：③． 18．【解答】解：∵第1个正方形图案有黑子个数为：4＝22＝（1+1）2， 第2个正方形图案有黑子个数为：9＝32＝（2+1）2， 第3个正方形图案有黑子个数为：16＝92＝（3+1）2， ……， ∴第n个正方形图案有黑子个数为：（n+1）2， 故答案为：（n+1）2． 三．解答题（共8小题） 19．【解答】解：（1）原式＝a8+a8 ＝2a8； （2）原式＝2+1﹣3﹣1 ＝3﹣3﹣1 ＝0﹣1 ＝﹣1． 20．【解答】解：（1）， 由①×2得：4x﹣2y＝10③， ②﹣③得：（4x+3y）﹣（4x﹣2y）＝﹣10﹣10， 4x+3y﹣4x+2y＝﹣20， ∴y＝﹣4， 把y＝﹣4代入2x﹣y＝5得：2x﹣（﹣4）＝5，即2x+4＝5， 解得：， ∴； （2）； ①两边同乘6得：3（x+3）＝2（y﹣1）， 展开得：3x+9＝2y﹣2，移项得：3x﹣2y＝﹣11③， 由②得：y＝2x﹣1④， 把④代入③得：3x﹣2（2x﹣1）＝﹣11， 解得：x＝13， 把x＝13代入④得：y＝2×13﹣1＝25， ∴方程组的解为． 21．【解答】解：[（x﹣y）2﹣（y﹣3x）（3x+y）﹣2（x2﹣2xy）]÷（﹣2x） ＝[（x2﹣2xy+y2）﹣（y2﹣9x2）﹣2x2+4xy]÷（﹣2x） ＝（x2﹣2xy+y2﹣y2+9x2﹣2x2+4xy）÷（﹣2x） ＝（x2+9x2﹣2x2﹣2xy+4xy+y2﹣y2）÷（﹣2x） ＝（8x2+2xy）÷（﹣2x） ＝﹣4x﹣y， 当x＝﹣2，y＝﹣4时，原式＝﹣4×（﹣2）﹣（﹣4）＝8+4＝12． 22．【解答】解：（1）△ABC的面积为6﹣1﹣2＝3． （2）如图1，△A1B1C1即为所求． （3）如图2，△A2B2C2即为所求． 23．【解答】解：由条件可知∠BAC+∠ACD＝180°． ∵AE平分∠BAC， ∴． 由条件可知． ∴∠1+∠2＝90°． ∴∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝90°． ∴AE⊥CE． 用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直． 故答案为：∠ACD；∠BAC；∠ACD；90；两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直． 24．【解答】解：（1）设每辆A型车可载学生x人，每辆B型车可载学生y人， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆A型车可载学生30人，每辆B型车可载学生40人； （2）设可以租用a辆A型车，b辆B型车， 根据题意得：30a+40b＝350， ∴a， 又∵a，b均为自然数， ∴或或， ∴共有3种租车方案， 方案1：租用9辆A型车，2辆B型车； 方案2：租用5辆A型车，5辆B型车； 方案3：租用1辆A型车，8辆B型车． 选择方案1所需总租金为1000×9+1200×2＝11400（元）； 选择方案2所需总租金为1000×5+1200×5＝11000（元）； 选择方案3所需总租金为1000×1+1200×8＝10600（元）． ∵11400＞11000＞10600， ∴租车费的最低金额为10600元． 25．【解答】解：（1）解不等式组，得﹣1＜x＜2， 解方程x﹣1＝0得：x＝1； 解方程2x+1＝0得：； 解方程﹣2x﹣2＝0得：x＝﹣1， ∵﹣1＜1＜2，，﹣1＝﹣1， ∴①②是不等式组的“相伴方程”， 故答案为：①②； （2）解不等式组得：， 解方程2x﹣k＝2得：， ∵关于x的方程2x﹣k＝2是不等式组的“相伴方程”， ∴， 解得：3＜k≤4， 即k的取值范围是3＜k≤4； （3）解方程2x+6＝0得x＝﹣3， 解方程得x＝﹣1， ∵方程2x+6＝0，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，m≠1， 所以分为两种情况：①当m＜1时，则m﹣1＜0， ∴不等式组为， 此时不等式组的解集是x＞1，不符合题意，舍去； ②当m＞1时，不等式组的解集是m﹣5≤x＜1， 所以根据题意得：， 解得：1＜m≤2， 所以m的取值范围是1＜m≤2． 26．【解答】（1）证明：由第一次折叠得，折痕MN是线段BB′的垂直平分线， ∴BC⊥MN； 由第二次折叠得，折痕DE是线段NN′的垂直平分线， ∴MN⊥DE， ∴BC∥DE； （2）解：①折痕AF如下图： ②由题意得，当AD′∥BC时，如图所示： ， ∵∠EAE′+∠DAE′＝90°，∠EAE′+∠D′AE＝90°， ∴∠D′AE＝∠DAE′， ∵BC∥AD′， ∴∠D′AC＝∠C＝40°＝∠DAE′， ∵AF平分∠EAE′，且∠BAC＝90°， ∴∠BAF＝∠DAE′+∠E′AF ＝65°； 由题意得，当AE′∥BC时，如图： ， 同理可得，∠D′AE＝∠DAE′， ∵BC∥AE′， ∴∠E′AD＝∠B＝50°＝∠D′AE， ∵AF平分∠EAE′，且∠BAC＝90°， ∴ ＝20°； 由题意得，当BC∥E′D′时，如图： ， 由折叠可得，∠ARD＝90°， ∵BC∥E′D′， ∴∠B＝∠ADE＝50°， ∴∠BAF＝90°﹣∠ADE ＝90°﹣50° ＝40°， 综上所述，∠BAF的度数为20°或40°或65°； （3）解：如图，GH即为所求： ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $