期末考前满分冲刺之解答题（90题）（三十种覆盖训练）-2025-2026学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

**基本信息** 聚焦期末解答题高频考点，以模块化整合数与代数、图形与几何、统计与概率知识，通过基础计算到综合应用的梯度设计，培养抽象能力、推理意识与数据意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实数运算|3题|含二次根式、绝对值的混合运算|从概念到运算规则的直接应用| |方程与不等式|12题（方程组6题+不等式组6题）|基础求解、整数解求参、新定义|从解法到参数问题的递进，体现模型意识| |平行线|15题（推理依据3题+性质判定8题+动点4题）|推理填空、性质应用、动态探究|从判定到性质，结合角平分线、折叠等综合场景，发展推理能力| |统计|3题|图表补全、数据估计|从数据收集到分析决策，培养数据意识|

期末考前满分冲刺之解答题覆盖训练思维导图 解答 覆盖一 实数运算 1．计算： 2．计算： (1)； (2)． 3．计算：； 覆盖二 解方程组 4．解方程 (1) (2) 5．解下列方程组： (1)； (2)． 6．解方程组： (1)； (2)． 覆盖三 解不等式（组） 7．解不等式组： 8．解不等式： (1)解不等式． (2)解不等式组． 9．解不等式（组）： (1) (2) 覆盖四 平面直角坐标系中网格平移 10．如图，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度．请回答下列问题： (1)平移后的三个顶点坐标分别为：（ ， ），（ ， ），（ ， ）； (2)画出平移后三角形； (3)若平移后的三角形内部有任意一点，则平移前对应点的坐标为：P（ ， ）． 11．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在网格点上． (1)写出点的坐标． (2)将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点，，分别为点的对应点，请在所给坐标系中画出． (3)若边上一点经过上述平移后的对应点为，用含的式子表示点的坐标为___________． 12．如图，将向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到． (1)画出，并写出坐标； (2)已知内部一点P的坐标为，若点随一起平移，平移后点的对应点的坐标为，则________，_______． (3)连接与可得四边形，求这个四边形的面积． 覆盖五 统计 13．为了解九年级学生体育模拟测试成绩情况，某学校从九年级随机抽取了部分学生的体育模拟测试成绩进行统计分析（成绩分为36分、37分、38分、39分、40分，满分40分），并将结果绘制成如下不完整的统计图（条形统计图和扇形统计图）．根据图中信息，解答下列问题： (1)本次调查一共抽取了 名学生，扇形统计图中“36分”对应的圆心角为 °； (2)请补全条形统计图； (3)若该校九年级共有800名学生，试估计体育模拟测试成绩为40分的学生人数． 14．月日是“国际劳动节”，某校学生会发起了“劳动最光荣”的家务劳动主题活动，鼓励学生利用小长假主动参与家务劳动．返校之后，为了解学生假期家务劳动时间的情况，校学生会随机调查了部分学生的劳动时间（单位：分钟），将劳动时间分为四组，整理并制作出如下不完整的统计表和统计图，请根据图表信息解答以下问题． 学生劳动时间统计表 组别 时间 人数 组 组 组 组 (1)本次抽样调查共抽取了_______名学生； _______；扇形统计图中组对应的圆心角度数为_______； (2)补全频数分布直方图： (3)若将劳动时间在分钟以上（包括分钟）的学生评为“劳动小模范”，且该校共有名学生，请估计该校“劳动小模范”有多少人？ 15．为提高学生身体素质，初中生每天参加体育锻炼的时间应不少于1小时，某校为了解学生平均每周（7天）体育锻炼时间，从该校学生中随机抽取若干学生平均每周体育锻炼时间进行调查，并根据调查结果将学生平均每周体育锻炼时间（小时）分为五组：①；②；③；④；⑤共五种情况．调查结果用频数分布直方图和扇形统计图描述如下： 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次抽样测试的学生人数是____________人； (2)⑤在扇形统计图中对应的圆心角度数是____________，并补全频数分布直方图； (3)该校有学生名，估计该校平均每天运动达到1小时以上（包含1小时）的人数是多少． 覆盖六 平行的推理依据 16．已知：如图，．求证：．    证明： （__________）（填推理的依据）． （__________）（填推理的依据）． 又， ． （__________）（填推理的依据）． 17．看图填写，已知：如图，，，．求证：平分．    证明：∵，， ∴， ∴（___________）（填推理依据）， ∴___________（两直线平行，同位角相等）， （___________）（填推理依据）， 又∵，∴___________， ∴平分． 18．请将下列证明过程补充完整： 如图，点E、F、M、N分别在线段、、上，，． 求证：． 证明：∵（已知） ∴ （ ）（填推理的依据） ∴（ ）（填推理的依据） ∵（已知） 又∵（ ） ∴（ ） ∴（ ） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（ ）． 覆盖七 平行的性质与判定 19．如图，已知，． (1)求证：； (2)，，求． 20．已知直线与直线、分别交于E、F两点，和的角平分线交于点P，且． (1)求证：； (2)如图2，和的角平分线交于点Q，求的度数． 21．如图，在直角三角形中，，，过点A，C分别作直线，，． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，若，平分，求证：． 覆盖八 平方根与立方根的综合应用 22．已知的平方根是，的立方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 23．已知的算术平方根是，的立方根是4. (1)求，的值. (2)求的平方根. 24．已知的立方根是的算术平方根是． (1)求、的值； (2)求的平方根． 覆盖九 二元一次方程组的整数解求参 25．已知关于、的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)已知当取不同值时，关于、的方程总有一组公共解，求出这组公共解． 26．数学课上，在解方程组时，由于粗心，亮亮看错了方程组中的、解得，彤彤看错了方程组中的，解得， 根据上面的信息解答： (1)求出正确的的值； (2)求出原方程组的正确解． 27．已知关于x，y的方程组． (1)无论m取何值，方程都有一组固定的解，求这组解； (2)若方程组的解中y恰为正整数，m也为整数，求m的值． 覆盖十 平方根与立方根的解决问题 28．《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． (1)求绣布的周长； (2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 29．解答下列问题：       (1)如图1，把两个边长为1的小正方形沿着对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．图2中A、B两点表示的数分别为______，______； (2)如图3，某同学把长为2、宽为1的两个小长方形进行裁剪，拼成一个正方形，求里面小正方形的边长； (3)若沿着（1）小题的大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为2的长方形纸片？若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 30．阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长宽__________． 请根据材料回答下列问题： (1)A5纸的面积是__________平方米． (2)A4纸的长宽__________． (3)按照图2的系列纸生成过程，经过探究发现，系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，） 覆盖十一 平面直角坐标系点坐标求参 31．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为． (1)当点P在x轴上时，求点P坐标． (2)当点P到y轴的距离与到x轴的距离相等时，求m的值． 32．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标． (2)若点的坐标为，且轴，求点的坐标． (3)若点在第二、第四象限的角平分线上，直接写出点的坐标． 33．已知点． (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (3)若点在第四象限，且它到轴的距离与轴的距离相等，求出点的坐标． 覆盖十二 相交线的计算问题 34．如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分．若，求的度数． 35．如图，直线，相交于点O，平分，于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 36．已知，，，三点在同一直线上，平分． (1)如图1，若平分，求的度数； (2)如图2，若在内，，，求的度数． 覆盖十三 平方根与立方根的规律问题 37．先观察表格，再回答下列问题． … … (1)被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律． (2)利用你在（）中发现的规律，已知，求出的值． (3)已知，你能求出的值吗？ 38．数学探究活动． 自主探究：完成表格内容． … … … ______ ______ ______ ______ … 发现规律：由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：______； 应用迁移： 根据你发现的规律填空：已知，则______，______； 拓展延伸：，则______，______． 39．【实践探究】 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“运用规律求一个正数的算术平方根和立方根”的实践活动，同学们列出了表1中的算术平方根和表2中的立方根如下： 表1： x … 0.0064 0.64 64 6400 640000 … … 0.08 0.8 8 800 80 … 表2： x … 0.000064 0.064 64 64000 64000000 … … 0.04 0.4 4 40 400 … 【探索发现】 （1）根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根和立方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向右或向左移动 位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动 位；若被开方数的小数点向右或向左移动 位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动 位． 【规律应用】 （2）请运用上述规律，解答下列问题： ①已知，则 ， ； ②若，求a， b的值． （参考数据：） （3）运用上述规律，你能根据的值求出的值吗？ 请说明理由． 覆盖十四 平行线与垂线的网格作图 40．如图是单位长度为1的正方形网格，点，，，四个点都在格点上，请在网格内按要求完成作图． (1)过点作的平行线； (2)过点作的垂线，与直线交于点． 41．如图，点，，，均在正方形方格纸的格点上，按要求完成下列问题． (1)经过点画的平行线，交于点； (2)过点，画的垂线段，交于点； (3)连接，； (4)线段，，，中，最短的线段为______，理由是______． 42．如图所示，在的方格纸中，点均在格点上，仅用直尺完成： (1)在图中过点作线段的垂线段，垂足为． (2)在图中过点作线段的平行线． 覆盖十五 近似值 43．【阅读理解】在没有计算器的古代，数学家们如何计算开平方呢？我们来学习利用完全平方公式：近似计算算术平方根的方法． 例如：求的近似值（结果精确到）． 解：因为，所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中， ②，其中； 小明以①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以，即 因为比较小，所以将忽略不计，所以，即 得，故，即 (1)【尝试探究】请用②的形式求的近似值． (2)【比较分析】你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高？请说明理由． (3)利用材料中的方法，求的近似值时，可设_________．（用含有a的代数式表示，其中） 44．【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以． 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以． 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得． 所以． 【尝试探究】用②的形式求的近似值．（结果保留位小数） 【问题解决】用①、②两种形式求的近似值．（结果保留位小数） 【比较分析】用哪种形式求的近似值的精确度更高？并说明理由． 45．小兴同学探索的近似值的过程如下： 面积为52的正方形的边长是，且， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小兴用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，通过数形结合，可画出正方形的面积示意图：   ，因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得．所以． 【尝试探究】 (1)类比上述方法，用②的形式探究的近似值，并画出示意图．（结果保留2位小数）”； 【比较分析】 (2)请你判断：用哪种形式求的近似值的精确度更高，所得的结果更接近？并说明理由． 覆盖十六 二元一次方程组的方案问题 46．为适应体育中考评价改革，并满足学生多样化的锻炼需求，某校到体育用品商店购买排球和跳绳．已知该校第一次购进15个排球，40条跳绳共花费2000元，第二次购进20个排球，35条跳绳共花费2300元． (1)排球和跳绳的单价各是多少元？ (2)学校第三次到该体育用品商店购买排球和跳绳，体育用品商店给出两种优惠方案．A方案：买两个排球送一条跳绳；B方案：排球和跳绳都打九折．两种方案只能选择其中一种，不能同时选择．若学校第三次购买30个排球，60条跳绳，则哪种方案更优惠，请说明理由． 47．某文体书店销售A，B两种跳绳，购买2条A种跳绳和3条B种跳绳共计35元，购买6条A种跳绳和4条B种跳绳共计80元． (1)求A种跳绳和B种跳绳每条的价钱． (2)现该文体书店对A，B两种跳绳开展促销活动，活动方案如表（两种促销方案不能同时使用）： 方案 内容 促销方案一 买一条A种跳绳，赠送一条B种跳绳 促销方案二 买A种或B种跳绳都打八折 某校为了准备跳绳比赛，计划购买A，B两种跳绳，且B种跳绳比A种跳绳多买20条．请根据购买A种跳绳的条数x的不同范围，说明该校选择哪种促销方案合适． 48．为适应体育中考评价改革，并满足学生多样化的锻炼需求，某校准备增订排球和跳绳．已知该校第一次购进10个排球，20条跳绳共花费1200元，第二次购进20个排球，10条跳绳共花费1800元． (1)问排球和跳绳的单价各是多少？ (2)元旦期间商店给出两种优惠方案．A方案：买两个排球送一条跳绳；B方案：排球和跳绳都打九折．若学校还需购买30个排球，35条跳绳，请问哪种方案更优惠． 覆盖十七 二元一次方程组与不等式结合应用 49．书香校园，书柜之约，在124中学，书香氤氲的梦想正在生长．为了安放新购置的万千卷册，让每一本书都能在合适的位置静候知音，学校计划购进甲、乙两种规格的书柜，如两位气质不同的待书使者，分层陈列，便于学子借阅与日常打理．后勤部门走访市场，细心询价，获得如下数据： ·若购甲种书柜个，乙种书柜个，共需元 ·若购甲种书柜个，乙种书柜个，共需元 (1)请你帮助学校算一算：甲种书柜与乙种书柜，每一座的单价各是多少元？ (2)如今，学校计划将这两种书柜共购个，携手立于廊下窗边．学校至多可拨付资金元，最多可以购买甲种书柜多少个． 50．2026年2月，教育部召开深入落实“健康第一”工作部署会，强调将“健康第一”的教育理念转化为刚性制度，同步印发《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，要求落实中小学生每天综合体育活动不低于2小时的要求．某中学积极响应号召，利用课后服务时间在七年级开展班级篮球赛，共16个班级参与，以此激励学生增强体质、热爱运动． (1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班在15场比赛中获得的总积分为39分，求该班胜了多少场； (2)投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分；在3分线上及3分线内投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中27个球，所得总分不少于58分，求该班在这场比赛中至少投中了多少个3分球． 51．开封刺绣历史悠久，早在北宋时期就已闻名，民间多把开封刺绣称为“汴绣”，2008年入选中国非物质文化遗产，某网店老板小杰在开封某汴绣专营店选中，两款高端汴绣，决定从该店进货并销售，已知两款汴绣的进货价和销售价如下表： 类别价格 款汴绣 款汴绣 进货价（元/件） 180 85 销售价（元/件） 250 120 (1)第一次小杰用14200元购进了，两款汴绣共100件，求两款汴绣各购进多少件； (2)在（1）的条件下，该网店老板小杰在春节前夕，为了快速实现资金回流，计划开展打折促销活动，已知每件种汴绣产品打8折，若要使两种汴绣产品全部销售完的利润不低于3140元，求种汴绣产品最低打几折？ 覆盖十八 二元一次方程组的整体代入法 52．阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务： 整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小宣还想到了一种新的解法； 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为． 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”． 请你利用“整体代入消元法”解方程组． 53．阅读与思考 【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解． 例如：解方程组 解：方程②变形得：，即③． 把方程①代入③得：，解得： 把代入方程①得：，解得： 所以方程组的解为 (1)请用“整体代入消元”的方法解方程组； (2)已知x、y满足方程组，则________． 54．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：将方程②变形，得，即．③ 把方程①代入③，得，解得． 把代入①，得，方程组的解为 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代入”法解方程组 (2)已知满足方程组，求的值． 覆盖十九 二元一次方程组的新定义 55．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如，，． 已知，，则根据定义可以得到：． (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； (4)若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________． 56．定义：对于任意实数，若点满足，则称点为和谐点． (1)若点是和谐点，则 ． (2)判断点是否为和谐点，并说明理由． (3)已知关于的方程组，当为何值时，以方程组的解为坐标的点是和谐点？ 57．在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k． (1)求点的“倾斜系数”k的值； (2)①若点的“倾斜系数”，请写出a和b的数量关系，并说明理由； ②若点的“倾斜系数”，且，求点P的坐标． 覆盖二十 不等式的新定义 58．新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记作，即当为非负整数时，若，则，反之，当为非负整数时，若，则． (1)根据上述定义填空：_______； (2)关于的不等式组的整数解恰好有个，求的取值范围； (3)若，求所有满足条件的实数的值． 59．定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： （1）填空： ①下列两位数：50，63，77中，“迥异数”为______； ②计算：______． （2）如果一个“迥异数”的十位数字是，个位数字是，且，请求出“迥异数”． （3）如果一个“迥异数”，满足，请求出满足条件的的值． 60．定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值； (3)若关于，的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围． 覆盖二十一 作差法比较大小 61．【阅读理解】：在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式的大小，只要作出差．若，则：若．则：若，则． 【解决问题】 （1）根据上面阅（1）根据上面阅读比较， ______（填或）； （2）已知，当时，比较与的大小，并说明理由； 【学以致用】 （3）为了安全方便，某自助加油站只提供两种自助加油方式：方式一：每次定额只加200元．方式二：每次定量只加20升．自助加油站规定每辆车只能选择其中一种自助加油方式，现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为元／升，第二次油价为元/升（）．那么哪种加油方式更合算呢？予以说明． 62．据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两个数大小的方法． 若，则； 若，则； 若，则． 反之也成立． 这种比较大小的方法称为“作差法”． (1)若，则______；填“”“”“” (2)若，，试比较，的大小； (3)请运用“作差法”解决下面的问题： 截至年月日中午，《哪吒之魔童闹海》全球总票房已突破亿，强势跻身全球影史票房榜第五位，成为首部冲入该榜单前十的亚洲动画电影电影中哪吒的法宝更是不胜枚举，其中乾坤圈和火尖枪尤为厉害． 若个乾坤圈，个火尖枪的总重量记为；个乾坤圈，个火尖枪的总重量记为，每个乾坤圈的重量比每个火尖枪的重量小，试比较，的大小． 63．【阅读材料】 我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差，变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数a，b的大小，只要求出它们的差：若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)若，，，求和的取值范围． 覆盖二十二 不等式取值范围问题 64．【阅读思考】 已知，且，，求的取值范围． 解法如下：， ． ． 又即， ． 又， ． ． ． 即：的取值范围是． 【理解应用】 根据以上解题过程，解答下列问题： （1）若，且，则的取值范围是________； （2）已知，且，，求的取值范围； 【拓展应用】 （3）已知，且，，求的取值范围（用含的代数式表示）． 65．阅读材料，解决下列问题． 【阅读材料】 已知，且，求的取值范围． 解：由，得， ，， 解得，的取值范围是． 【问题探究】 (1)已知，且，求的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围； (3)已知，且，，设，直接写出的取值范围． 66．阅读下列材料： 问题：已知，且，，求的取值范围？ 解：∵， ∴． 又∵， ∴，即． 又∵， ∴①． ∴，即② ①②得， ∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则x的取值范围是 ；的取值范围是 ； (2)已知，且，，根据上述做法得到，求m，n的值． 覆盖二十三 含绝对值的不等式问题 67．小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示． 观察数轴发现，以点为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于2；点与点之间的点表示的数的绝对值小于2；点右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是___； (2)求绝对值不等式的解集； 68．阅读下面材料：小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式的解集． 小明的思路如下：先根据绝对值的定义，求出恰好是3时的值，并在如图所示的数轴上表示为点，．观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于3；点，之间的点表示的数的绝对值小于3；点右边的点表示的数的绝对值大于3．因此，小明得出结论，绝对值不等式的解集为或．参照小明的思路，解决下列问题： (1)的解集为 ，的解集为 ； (2)求绝对值不等式解集． 69．在数学学习过程中，自学是一种非常重要的学习方式，通过自学不仅可以获得新知，而且可以培养和锻炼我们的思维品质．请先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，由绝对值的几何意义，结合数轴（如图1）可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，由绝对值的几何意义，结合数轴（如图2）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，其中m是正整数，求m的值． (3)已知关于x 、y的方程组有解，其中为整数且≠0．求和x的值． 覆盖二十四 图形的折叠 70．【知识初探】 （1）王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在正方形纸上画出一条直线，在外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为A，将纸片展开铺平； ②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王芳说，就是的平行线． 王芳同学只写了部分证明过程就有事离开，请你帮她把证明过程补充完整； 证明：由折叠可知： 又∵ ∴ …… 【深入探究】（2）李明同学在王芳同学折纸（图4）中量得，请你求出的大小（用含的代数式表示）； 【拓展延伸】（3）王伟同学改变直线和点P的位置，按照王芳同学的方法折叠得到后（点B，C，K，F分别在线段上），再画出和的角平分线所在的直线交于点G，请求出的度数． 71．已知长方形纸带，，，，点，分别在边，上，． (1)如图1，将纸带先沿直线折叠后，点，分别落在，的位置： ①则的度数为_______（用含的代数式表示）；的度数为_______（用含的代数式表示）． ②试说明． (2)如图2，在（1）的基础上将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，求的度数． (3)如图3，在（2）的基础上连接，若，请直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 72．学习平行线判定后，我们以“过直线外一点作已知直线平行线”为主题开展探究． (1)方法一：用尺规作图的方法画平行线 ①甲同学画法：过点P作直线b与a相交，作，则，依据是：________． ②乙同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是：________． (2)方法二：用折纸的方法画平行线 ①如图1，甲在纸上画直线，在外取一点P．过点P折叠纸片，使点C对应点落在直线上（如图2），记折痕与交点为A，将纸片展开铺平；再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时就是的平行线．请写出过程予以证明； ②拓展延伸：乙同学在甲同学折纸基础上补充了条件：在折痕上任取一点M，连接、．若记为，为，为，请探究，，之间的数量关系，并证明你的结论． 覆盖二十五 无刻度尺作图 73．如图，将一块直角三角尺沿着所在的直线向右平移了一段距离，点与点对应．请仅用无刻度直尺完成以下作图．（注：无刻度直尺是指有且只有“连线”或“延长已知线段”功能的直尺） (1)在图中，过点作直线的平行线； (2)在图中，过点作直线的垂线，垂足为点． 74．如图是的正方形网格，已知（三个顶点均在格点上），请仅用无刻度直尺完成下列作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)图1中，在的内部作，使且； (2)图2中，在的内部作，使点P为格点，而且． 75．如图，，点E在上，连接，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中．以点A为顶点作一个与相等的角． (2)在图2中，在的上方，作一个与相等的角． 覆盖二十六 平面直角坐标系中的面积问题 76．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，其中a，b满足． (1)求的面积； (2)在x轴上求一点P，使得的面积与的面积相等； (3)在y轴上是否存在一点Q，使得的面积与的面积相等？若存在，请写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 77．如图，在平面直角坐标系中，，，，且． (1)求，的值； (2)在轴的正半轴上存在一点，使三角形的面积是三角形的面积的一半，求出点的坐标；在坐标轴的其他位置是否存在点，使三角形的面积是三角形的面积的一半仍然成立，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标； (3)如图，过点作轴交轴于点，点为线段延长线上一动点，连接，平分，．当点运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由． 78．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D．连接、、． (1)写出点C，D的坐标，并求出四边形的面积． (2)在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的3倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点F是直线上一个动点，连接、，当点F在直线上运动时，求出与，的数量关系． 覆盖二十七 平面直角坐标系中的新定义 79．小潘和小智在学习了平面直角坐标系后，尝试着定义了平面直角坐标系xOy中任意两点与的两种新的距离： ＊小潘定义了，的“分解距离”，如下： 若，则为点与点的“分解距离”，即； 若，则为点与点的“分解距离”，即． ＊小智定义了，的“和距离”，如下： 点，的“和距离”为与的和，即． 根据以上材料，解决下列问题： 在平面直角坐标系xOy中，已知点，． (1)________；________； (2)若点C的坐标为． ①当时，若，直接写出点C的坐标； ②将点C向左平移一个单位长度得到点D，点E满足，点F满足，若线段CD上存在点E或点F，请直接写出t的取值范围． 80．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较大值称为点的“长距”，当点的“长距”等于点的“长距”时，则称两点为“等距点”．如图1，与两点的“长距”相等（均为3），故为它们为一组“等距点”，请依据该定义解答下列问题： (1)如图2，已知点的坐标为． ①点的“长距”是 ； ②在点，，中，为点的“等距点”的是 ； ③若点的坐标为，且、两点为“等距点”，求的值． (2)若，两点为“等距点”，求的值． (3)如图3，三角形三个顶点的坐标分别为，，，点为线段上一个动点（可以与、重合）． ①则点的“长距”的最小值是 ； ②点为三角形内部一点（不含边界），且它的横、纵坐标均为整数，若，两点为“等距点”．则所有可能满足条件的点的个数是 ． 81．在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“美好距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“美好距离”为； 若，则点与点的“美好距离”为． 用符号表示两点的“美好距离”． (1)已知点，为轴上的一个动点， ①若点与点的“美好距离”为2，满足条件的点的坐标是___________（写出1个即可）； ②点与点的“美好距离”的最小值是___________； (2)已知直线过且平行于轴，是直线上的一个动点，如图1，点的坐标是，则点与点的“美好距离”的最小值是___________；当与的“美好距离”取最小值时，点的横坐标的最小值是___________； (3)已知，定义平面内的一个动点满足，则称动点为两点间的“美好连接点”． ①若，请在图2中画出两点间的“美好连接点”所覆盖的区域： ②已知点坐标为，直线过点且垂直于轴，直接写出当直线上存在两点间“美好连接点”时，的最大值． 覆盖二十八 平行的动点求 82．动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小嘉与小祥两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图所示摆放，其中，若点在直线上，点在直线上． 【操作一】以如图为其中位置，小祥固定三角板不动，小嘉将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． (1)当与平行时，则t的值为　　； (2)① 当秒时，与平行，求出的值． ②若时，若射线与射线相交于点，作出图形，并判断是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【操作二】 (3)以如图为其初始位置，小嘉和小祥同时旋转两块三角板，小嘉将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小祥将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，直接写出的值． 83．已知直线直线，点A，点B在直线上，点C，点D在直线上，且点C在点D的左侧．，平分． (1)如图1，点B在点A的左侧．现将射线绕点B以每秒的速度逆时针旋转t秒至 ①当且射线与射线垂直时，____秒； ②当且射线与射线平行时，____秒； (2)如图2，点B在点A的左侧．连接，若（），平分，，所在直线交于点E，求的度数（用含的代数式表示）； (3)将（2）中线段向右平移，使得点B在点A的右侧，此时为钝角，其他条件不变，请求此时与的数量关系． 84．七年级数学小组开展“三角尺中的数学”主题实践活动． 【动手操作】 （1）小勋同学发现通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角，请问用一副三角板可以拼出的角吗？________．（填“能”或“不能”） 【问题探究】 （2）如图（1），把一副三角板拼在一起，边，在直线上，其中，．如图（2），三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，设三角板运动时间为秒． ①当________时，； ②在转动过程中，三角板一直在的内部，当为何值时，？ 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，在三角板绕点旋转过程中，若三角板同时以每秒的速度绕点逆时针旋转，且，当时，请直接写出的值，为________． 覆盖二十九 平行中的数量关系与角平分线 85．如图，，定点，分别在直线，上，在平行线、之间有一动点，满足． (1)试问，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线、之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论；如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为________，如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为________． (2)如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则________°． ②猜想与的数量关系，并说明理由． ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 86．已知，点E在直线上，点G在直线上，点H为一动点． (1)如图1，当点H在与之间时，点F在上，连接、、，若，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，平分交于点K，，平分，且． ①当，时，求的度数； ②当平分，，交于点M时，若，求的值． (3)如图3，当H在上方，交于点F，的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点M，的角平分线和的角平分线相交于点，以此类推．请直接写出与之间的数量关系__________，用含n的式子表示与之间的数量关系__________． 87．已知，直线，点P为平面上一点，连接与． (1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点P落在外． ①直接写出、、的数量关系为______． ②与的角平分线相交于点K，请直接写出与的数量关系为______． 覆盖三十 平行线中的折线模型 88．如图，，点A，E，B，C不在同一条直线上． (1)如图1，直接写出的数量关系 ； (2)如图2，直线，交于点P，且 ； ①试探究与的数量关系； ②如图3，延长交射线于点Q，若，，则 的度数为 （用含α的式子表示）． 89．已知直线，且，在直角三角尺中，，三角尺的顶点在直线上．    (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，和分别与直线交于两点，探究和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，为直线上一点，绕点旋转直角三角尺，点始终在直线的上方，当时，求的度数． 90．为了深入探究平行线的性质，某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现： 【模型发现】图中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． 【问题情境】如图1，已知：，是，之间的一点，连接，，试探究，，之间的数量关系．兴趣小组进行了下面的操作： 过点作． ， ， ， ， ， ． (1)【方法应用】如图，，是，之间的一点，分别为，上的点，若，，类比【问题情境】中的推理过程求的度数； (2)【变式探究】如图，，点在的上方，猜想，，之间有什么数量关系？请说明理由； (3)【拓展延伸】如图，，是，之间的一点，若，的平分线和的平分线交于点，则 °． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考前满分冲刺之解答题覆盖训练思维导图 解答 覆盖一 实数运算 1．计算： 【答案】 【详解】解： ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去绝对值和开立方，再进行加减运算即可； （2）先去绝对值和开方运算，再进行加减运算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 3．计算：； 【答案】 【详解】解： 覆盖二 解方程组 4．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ①②得：，解得； 将，代入①，得，解得 所以这个方程组的解是：； （2）解： 得：，解得； 将代入①，得， 解得； 所以这个方程组的解是：. 5．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先整理方程，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 得，， 解得， 将代入得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：， 方程整理得，， 得，， 解得， 将代入得，， 解得， ∴方程组的解为． 6．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）把原方程组变形为，然后利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ①，得③， ②③，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为 （2）解： 原方程组可化为：， ②，得③， ③①，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：， 原方程组的解为：． 覆盖三 解不等式（组） 7．解不等式组： 【答案】无解 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据“大大小小找不到”得出不等式组无解． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组无解． 8．解不等式： (1)解不等式． (2)解不等式组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按去括号，移项，合并同类项，系数化为 求解即可； （2）分别解出每个不等式的解集，再取公共部分即可． 【详解】（1）解：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 系数化为 ：； （2）解：解不等式组 ， 解不等式①：， 解得， ， 解不等式②：两边同乘 ，得 ， 去括号，得， 移项，得， 解得，． 所以不等式组的解集为 ． 9．解不等式（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去括号得， 移项合并得； （2）解：， 解不等式①得，， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 覆盖四 平面直角坐标系中网格平移 10．如图，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度．请回答下列问题： (1)平移后的三个顶点坐标分别为：（ ， ），（ ， ），（ ， ）； (2)画出平移后三角形； (3)若平移后的三角形内部有任意一点，则平移前对应点的坐标为：P（ ， ）． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3) 【分析】（1）在平面直角坐标系中得到三角形三个顶点的坐标，再由图形的平移方式即可得到平移后图形的坐标； （2）由（1）中的坐标直接描点连线即可得到答案； （3）根据点的平移规律作答即可． 【详解】（1）解：由图可知、、， 将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度， 、、； （2）解：如图所示： 即为所求； （3）解：∵将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，平移后的三角形内部有任意一点， ∴平移前对应点的坐标为：． 11．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在网格点上． (1)写出点的坐标． (2)将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点，，分别为点的对应点，请在所给坐标系中画出． (3)若边上一点经过上述平移后的对应点为，用含的式子表示点的坐标为___________． 【答案】(1) (2)图见详解 (3) 【分析】（1）根据坐标系直接进行求解即可； （2）根据平移方式得到点，，的坐标，然后作图即可； （3）根据（2）中的平移方式进行求解即可． 【详解】（1）解：由坐标系可知：； （2）解：所作如图所示： （3）解：由（2）可知：点的坐标为． 12．如图，将向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到． (1)画出，并写出坐标； (2)已知内部一点P的坐标为，若点随一起平移，平移后点的对应点的坐标为，则________，_______． (3)连接与可得四边形，求这个四边形的面积． 【答案】(1)见解析， (2)， (3)28 【分析】（1）根据三角形的平移画图即可； （2）根据点的平移规律列式求解即可． （3）使用割补法求解四边形的面积即可． 【详解】（1）解：如图所示， 点坐标为； （2）解：∵点随一起平移， 则点先向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度， 且平移后点的对应点的坐标为， ∴，解得， 则，． （3）解：连接与，如图， 大矩形的面积为， 其中三角形的面积为， ∴四边形的面积为． 覆盖五 统计 13．为了解九年级学生体育模拟测试成绩情况，某学校从九年级随机抽取了部分学生的体育模拟测试成绩进行统计分析（成绩分为36分、37分、38分、39分、40分，满分40分），并将结果绘制成如下不完整的统计图（条形统计图和扇形统计图）．根据图中信息，解答下列问题： (1)本次调查一共抽取了 名学生，扇形统计图中“36分”对应的圆心角为 °； (2)请补全条形统计图； (3)若该校九年级共有800名学生，试估计体育模拟测试成绩为40分的学生人数． 【答案】(1)； (2)补全条形统计图见解析 (3)估计成绩为40分的学生有400人 【分析】（1）由条形统计图与扇形统计图中的信息关联求解即可； （2）由（1）中“36分”人数占比求出该项人数，即可补全条形统计图； （3）由扇形统计图中“40分”人数占比为估计总体即可． 【详解】（1）解：由条形统计图与扇形统计图中“40分”人数占比可得本次调查一共抽取的学生数为； 由扇形统计图可知“36分”和“37分”人数占比为， 由条形统计图知“37分”人数为，占比为， 则“36分”人数占比为， 则扇形统计图中“36分”对应的圆心角为 （2）解：由（1）知“36分”人数占比为，则“36分”人数为， 补全条形统计图如下： ； （3）解：由扇形统计图中“40分”人数占比为可得该校九年级800名学生体育模拟测试成绩为40分的学生人数： （人） 答：估计成绩为40分的学生有400人． 14．月日是“国际劳动节”，某校学生会发起了“劳动最光荣”的家务劳动主题活动，鼓励学生利用小长假主动参与家务劳动．返校之后，为了解学生假期家务劳动时间的情况，校学生会随机调查了部分学生的劳动时间（单位：分钟），将劳动时间分为四组，整理并制作出如下不完整的统计表和统计图，请根据图表信息解答以下问题． 学生劳动时间统计表 组别 时间 人数 组 组 组 组 (1)本次抽样调查共抽取了_______名学生； _______；扇形统计图中组对应的圆心角度数为_______； (2)补全频数分布直方图： (3)若将劳动时间在分钟以上（包括分钟）的学生评为“劳动小模范”，且该校共有名学生，请估计该校“劳动小模范”有多少人？ 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)该校“劳动小模范”有人 【分析】（1）由组人数及其所占百分比可得抽取的总人数，用抽取的总人数减去其他各组的人数可得的值，用乘以组所占百分比得到组对应的圆心角度数； （2）根据的值补全频数分布直方图即可； （3）总人数乘以样本中“劳动小模范”人数所占比例即可． 【详解】（1）解：本次抽样调查共抽取学生（名）， ， 扇形统计图中组对应的圆心角度数为； （2）解：补全频数分布直方图如下： （3）解：（人）， 该校“劳动小模范”有人． 15．为提高学生身体素质，初中生每天参加体育锻炼的时间应不少于1小时，某校为了解学生平均每周（7天）体育锻炼时间，从该校学生中随机抽取若干学生平均每周体育锻炼时间进行调查，并根据调查结果将学生平均每周体育锻炼时间（小时）分为五组：①；②；③；④；⑤共五种情况．调查结果用频数分布直方图和扇形统计图描述如下： 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次抽样测试的学生人数是____________人； (2)⑤在扇形统计图中对应的圆心角度数是____________，并补全频数分布直方图； (3)该校有学生名，估计该校平均每天运动达到1小时以上（包含1小时）的人数是多少． 【答案】(1)人 (2)；见解析 (3)人 【分析】（1）由第③组的人数和所占的百分比进行计算，即可得到答案； （2）用第⑤组的人数除以本次测试的总人数得到所占百分比，再乘以即可得到答案，先算出第④组的人数，再补全条形统计图即可； （3）先找出平均每天运动1小时及以上的学生人数分布在④、⑤这两组，计算出占被调查人数的百分比，从而即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可得：本次抽样测试的学生人数是：（人）， （2）解：由图可得： ⑤在扇形统计图中对应的圆心角度数是：， 第④组的人数为：（人）， 补全直方图如图所示： （3）解：平均每天运动1小时及以上的学生人数分布在④、⑤这两组， 占被调查人数的百分比为：， 所以该校平均每天运动达1小时的人数为：（人）， 覆盖六 平行的推理依据 16．已知：如图，．求证：．    证明： （__________）（填推理的依据）． （__________）（填推理的依据）． 又， ． （__________）（填推理的依据）． 【答案】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行． 【分析】根据平行线的判定和性质定理解答． 【详解】证明： （同旁内角互补，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． 又， ． （内错角相等，两直线平行）， 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行． 【点睛】此题考查了平行线的判定和性质定理，熟记定理并进行推理论证是解题的关键． 17．看图填写，已知：如图，，，．求证：平分．    证明：∵，， ∴， ∴（___________）（填推理依据）， ∴___________（两直线平行，同位角相等）， （___________）（填推理依据）， 又∵，∴___________， ∴平分． 【答案】同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；． 【分析】根据平行线的判定和性质进行解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等）， 又∵， ∴， ∴平分． 故答案为：同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 18．请将下列证明过程补充完整： 如图，点E、F、M、N分别在线段、、上，，． 求证：． 证明：∵（已知） ∴ （ ）（填推理的依据） ∴（ ）（填推理的依据） ∵（已知） 又∵（ ） ∴（ ） ∴（ ） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（ ）． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，邻补角的性质，根据题干的提示逐一完善推理过程与推理依据即可，掌握平行线的判定方法与性质是解本题的关键． 【详解】证明：∵（已知） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵（已知） 又∵（邻补角定义） ∴（同角的补角相等） ∴（等量代换） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等）． 覆盖七 平行的性质与判定 19．如图，已知，． (1)求证：； (2)，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先，通过等量代换将已知条件转化为，从而证明；接着利用平行线性质得出，再结合已知的进行等量代换，最终得到，以此判定； （2）利用平角（）的定义建立方程，通过设未知数，根据题目给出的角度差值关系表示出和，将这三个角相加等于列出方程求解出，进而算出的具体度数，最后利用第一问中已证的平行线的性质（两直线平行，内错角相等），得出，从而求得的度数． 【详解】（1）解：（1），， ， ， ， ， ， ； （2）解；设， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 20．已知直线与直线、分别交于E、F两点，和的角平分线交于点P，且． (1)求证：； (2)如图2，和的角平分线交于点Q，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的定义，可知，再由已知可求，根据同旁内角互补两直线平行即可证明； （2）设，根据角平分线性质可得，再根据即可表示出，根据即可求出． 【详解】（1）证明：∵和的角平分线交于点P，且， ∴，， ∴， ∴； （2）解：设， ∵平分， ∴，， ∵和的角平分线交于点P，且， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 21．如图，在直角三角形中，，，过点A，C分别作直线，，． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，若，平分，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由平行线的性质可得，再把相关条件代入化简即可； （2）由（1）推导过程可得：，再代入相关条件可得，易得，利用角平分线的定义可得，易得，最后根据内错角相等两直线平行即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：由（1）推导过程可得：， ∵，， ∴， ∴． ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 覆盖八 平方根与立方根的综合应用 22．已知的平方根是，的立方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（1）根据平方根和立方根的性质求解即可； （2）先求出，再根据平方根的性质求解即可． 【详解】（1）∵的平方根是， ∴， 解得：， ∵的立方根是， ∴，即， 解得：； （2）∵， ∴的平方根为． 23．已知的算术平方根是，的立方根是4. (1)求，的值. (2)求的平方根. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义知、，据此求解可得； （2）将、的值代入，再根据平方根的定义计算可得． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是，的立方根是4， ∴， 解得：； （2）解：， 则的平方根为． 24．已知的立方根是的算术平方根是． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，平方根的定义，代数式求值，根据题意求出的值是解题的关键． （1）根据题意得出，，计算即可得到答案； （2）把代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：的立方根是，的算术平方根是， ， ，； （2）解：当时， 17的平方根是， 的平方根是． 覆盖九 二元一次方程组的整数解求参 25．已知关于、的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)已知当取不同值时，关于、的方程总有一组公共解，求出这组公共解． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）把y看作已知数表示出x，进而确定出方程的正整数解即可； （2）由题意得：，解方程组求解，，再把，的值代入，从而可得答案； （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，；，， ∴方程的所有正整数解为，． （2）解：联立得：， 解得：， 代入得：， 解得：． （3）解：，即总有一组公共解， 方程的解与无关， ，， 解得：，． 则方程的公共解为． 26．数学课上，在解方程组时，由于粗心，亮亮看错了方程组中的、解得，彤彤看错了方程组中的，解得， 根据上面的信息解答： (1)求出正确的的值； (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）解：原方程组为：， 由题意得：将，代入②得： ， 解这个方程，得：， 将，代入①得：， 解这个方程，得：， ； （2）解：将代入原方程组：， 得： ， 解这个方程，得：， 将代入②：， 解这个方程，得：， 所以这个方程组的解是． 27．已知关于x，y的方程组． (1)无论m取何值，方程都有一组固定的解，求这组解； (2)若方程组的解中y恰为正整数，m也为整数，求m的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据无论取何值，方程都有固定解，说明该解与无关，因此含的项的系数必须为，即，再将代入方程求出的值，即可得到固定解． （2）通过将两个方程相减消去，得到关于和的表达式，再根据为正整数、为整数的条件，分析分母的可能取值，进而求出的值． 【详解】（1）解：无论m取何值，方程都有固定解， 该方程的解与m的取值无关， ． 将代入，得， 解得． 方程的固定解为． （2）解： ，得． ． ． 恰为正整数，m也为整数， 或． 解得或． 覆盖十 平方根与立方根的解决问题 28．《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． (1)求绣布的周长； (2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1) (2)能够裁出来，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根，估算无理数大小的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． （1）设绣布的长为，宽为，根据面积公式列式得出，解出，即可作答． （2）设完整的圆形绣布的半径为，根据圆面积公式列式，进行计算得，结合，即可作答． 【详解】（1）解：设绣布的长为，宽为， 根据题意，得 即 ∴ ∵ ∴ ∴绣布的长为，宽为， 周长为． （2）解：能够裁出来，理由如下： 设完整的圆形绣布的半径为 得， ∵取3， ∴ ∴， 解得（负值已舍去） 则， ∴ 由（1）得绣布的长为，宽为， ∵， ∴能够裁出来． 29．解答下列问题：       (1)如图1，把两个边长为1的小正方形沿着对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．图2中A、B两点表示的数分别为______，______； (2)如图3，某同学把长为2、宽为1的两个小长方形进行裁剪，拼成一个正方形，求里面小正方形的边长； (3)若沿着（1）小题的大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为2的长方形纸片？若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不能；理由见解析 【分析】（1）设边长为1的小正方形的对角线长为x，利用面积求出对角线为，然后结合数轴求解； （2）求出小正方形的面积，然后求算术平方根即可； （3）设长方形纸片的长为，宽为，根据面积求出，然后得到长为，进而求解即可． 【详解】（1）解：设边长为1的小正方形的对角线长为x，由图1得：， ∴对角线为， ∴图2中A、B两点表示的数分别为和； （2）解：∵大正方形的面积为，两个小长方形的面积之和为 ∴小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为； （3）解：不能．理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为， 依题意，得， 解得， 此时． ∴不能裁得一个长宽之比为且面积为2的长方形纸片． 30．阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长宽__________． 请根据材料回答下列问题： (1)A5纸的面积是__________平方米． (2)A4纸的长宽__________． (3)按照图2的系列纸生成过程，经过探究发现，系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，） 【答案】(1) (2) (3)A0纸的长为，宽为 【分析】（1）根据系列纸的面积规律即可求出答案； （2）根据折叠的性质和材料中得到的正方形的性质即可求出答案； （3）设纸的宽为，则长为，则，运算求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知， A0纸的面积为1平方米， A1纸的面积为平方米， A2纸的面积为平方米， A3纸的面积为平方米， A4纸的面积为平方米， A5纸的面积是平方米． （2）解：如图， 由折叠的性质可知，由材料一可知，在图3折叠得到正方形中， ，即A4纸的长宽之比为； （3）解：设纸的宽为，则长为， 依题意得， ， ∵， ∴， ∵（负值不合题意，舍去）， ∴， ∴， 答：纸的长为，宽为． 覆盖十一 平面直角坐标系点坐标求参 31．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为． (1)当点P在x轴上时，求点P坐标． (2)当点P到y轴的距离与到x轴的距离相等时，求m的值． 【答案】(1)点P的坐标为 (2)或 【分析】（1）根据点P在x轴上，纵坐标为零，求出，再根据的取值，求出横坐标，得到点P的坐标； （2）由题意得点P，横纵坐标绝对值相等，列出关于的方程，解方程即可求出． 【详解】（1）解：点在x轴上， ，得， ， 即点P的坐标为． （2）解：由题意得， 则或， 解得或． 32．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标． (2)若点的坐标为，且轴，求点的坐标． (3)若点在第二、第四象限的角平分线上，直接写出点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2)的坐标为 (3)点的坐标为 【分析】（1）根据轴上的点的纵坐标为，进行求解即可； （2）根据平行于轴的直线上的点的横坐标相等，进行求解即可； （3）根据第二、第四象限的角平分线上的点的横纵坐标互为相反数，进行求解即可. 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴即：， ∴， 即：； （2）解：∵点的坐标为，且轴， ∴，解得：， ∴， 即：； （3）解：∵点在第二、第四象限的角平分线上， ∴解得：， ∴， 即：. 33．已知点． (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (3)若点在第四象限，且它到轴的距离与轴的距离相等，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据轴上的点的横坐标为0，可得关于a的方程，解得a的值，再求得点的纵坐标即可得出答案； （2）根据平行于x轴的直线的纵坐标相等，可得关于a的方程，解得a的值，再求得其横坐标即可得出答案； （3）根据第四象限的点的横纵坐标的符号特点及它到x轴、y轴的距离相等，可得关于a的方程，解得a的值，再代入要求的式子计算即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ， ， ， 点的坐标为； （2）点的坐标为，直线轴， ， 解得：， ， 点的坐标为； （3）点在第四象限，且它到轴的距离与轴的距离相等， ， ， ，， 点的坐标为 覆盖十二 相交线的计算问题 34．如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分．若，求的度数． 【答案】 【分析】设，则，则，再由角平分线得到，最后根据建立方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴设，则， ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ 解得 ∴． 35．如图，直线，相交于点O，平分，于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得，进一步结合角的和差求解即可； （2）设，，解得，根据对顶角相等，角的和差求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：平分， ， 设， ， ， ， 解得， ， ， ， ． 36．已知，，，三点在同一直线上，平分． (1)如图1，若平分，求的度数； (2)如图2，若在内，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据平角的定义可得，进而求得； （2）根据角平分线的定义得，根据平角的定义可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴ ∵， ∴ （2）∵平分，， ∴， ∴ ∴ 覆盖十三 平方根与立方根的规律问题 37．先观察表格，再回答下列问题． … … (1)被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律． (2)利用你在（）中发现的规律，已知，求出的值． (3)已知，你能求出的值吗？ 【答案】(1) 有规律，规律为：被开方数的小数点向左（或向右）每移动位，它的算术平方根的小数点就向左（或向右）移动位． (2) (3) 【分析】（）观察表格中被开方数与算术平方根的小数点移动关系，总结出规律：被开方数的小数点每左右移动位，算术平方根的小数点相应左右移动位； （）利用（）的规律，因被开方数到小数点左移位，故将的小数点左移位，得到； （）得，对比与，算术平方根小数点右移位，按规律将被开方数的小数点右移位，算出． 【详解】（1）解：规律总结：观察表格可得出规律： 当被开方数的小数点向左（或向右）每移动位， 它的算术平方根的小数点，就相应地向左（或向右）移动位； （2）解：计算：从到，被开方数的小数点向左移动了位， 根据规律，的小数点向左移动位即可得到， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， 对比和，的小数点向右移动了位得到， 根据规律，被开方数的小数点需要向右移动位，将的小数点右移位，得到． 38．数学探究活动． 自主探究：完成表格内容． … … … ______ ______ ______ ______ … 发现规律：由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：______； 应用迁移： 根据你发现的规律填空：已知，则______，______； 拓展延伸：，则______，______． 【答案】自主探究：，，，，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位； 应用迁移：，； 拓展延伸：， 【分析】（）自主探究：根据表格规律即可求解； （）应用迁移：根据表格规律即可求解； （）拓展延伸：被开方数的小数点（向左或者右）每移动三位，其立方根的小数点相应的向相同方向移动一位即可； 本题考查了算术平方根，立方根和被开方数间关系，根据表格得到规律，再根据规律确定结果是解题的关键． 【详解】解：自主探究：根据表格规律可知，，，，， 由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位， 故答案为：，，，，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位； 应用迁移：，， 故答案为：，； 拓展延伸：，， 故答案为：，． 39．【实践探究】 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“运用规律求一个正数的算术平方根和立方根”的实践活动，同学们列出了表1中的算术平方根和表2中的立方根如下： 表1： x … 0.0064 0.64 64 6400 640000 … … 0.08 0.8 8 800 80 … 表2： x … 0.000064 0.064 64 64000 64000000 … … 0.04 0.4 4 40 400 … 【探索发现】 （1）根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根和立方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向右或向左移动 位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动 位；若被开方数的小数点向右或向左移动 位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动 位． 【规律应用】 （2）请运用上述规律，解答下列问题： ①已知，则 ， ； ②若，求a， b的值． （参考数据：） （3）运用上述规律，你能根据的值求出的值吗？ 请说明理由． 【答案】（1）2，1；3，1；（2）①17.32，0.1442，②，；（3）不能，理由见解析 【分析】（1）根据表格中的数据变化总结算术平方根和立方根的规律即可； （2）①根据（1）中的算术平方根和立方根的规律求解即可； ②根据（1）中的算术平方根和立方根的规律可得，，即可求解； （3）根据根据（1）中的算术平方根和立方根的规律求解即可． 【详解】解：（1）由表格可得，若被开方数的小数点向右或向左移动2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位；若被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位， 故答案为：2，1；3，1； （2）①∵， ∴，， 故答案为：17.32，0.1442； ②∵，， ∴，， ∴，， 故答案为：200，0.8879； （3）∵， ∴，， ∴不能求出的值． 【点睛】本题考查数字规律型、算术平方根的定义、立方根的定义，根据题意总结一个数的算术平方根、立方根的小数点与被开方数的小数点的移动变化规律是解题的关键． 覆盖十四 平行线与垂线的网格作图 40．如图是单位长度为1的正方形网格，点，，，四个点都在格点上，请在网格内按要求完成作图． (1)过点作的平行线； (2)过点作的垂线，与直线交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的画法和网格的特点作图即可； （2）根据垂线的画法和网格的特点作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，直线l即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求． 41．如图，点，，，均在正方形方格纸的格点上，按要求完成下列问题． (1)经过点画的平行线，交于点； (2)过点，画的垂线段，交于点； (3)连接，； (4)线段，，，中，最短的线段为______，理由是______． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析； (4)，垂线段最短． 【分析】（）根据网格作平行线即可； （）根据题意画出垂线段即可； （）根据题意画图即可； （）由垂线段最短直接判定即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图， （4）解：线段，，，中，最短的线段为，理由是垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 42．如图所示，在的方格纸中，点均在格点上，仅用直尺完成： (1)在图中过点作线段的垂线段，垂足为． (2)在图中过点作线段的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据网格的特点、垂线的定义求解即可； （2）根据网格的特点和平行线定义求解即可． 【详解】（1）解：如图所示：，即为所求； （2）解：如图所示：，即为所求. 覆盖十五 近似值 43．【阅读理解】在没有计算器的古代，数学家们如何计算开平方呢？我们来学习利用完全平方公式：近似计算算术平方根的方法． 例如：求的近似值（结果精确到）． 解：因为，所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中， ②，其中； 小明以①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以，即 因为比较小，所以将忽略不计，所以，即 得，故，即 (1)【尝试探究】请用②的形式求的近似值． (2)【比较分析】你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高？请说明理由． (3)利用材料中的方法，求的近似值时，可设_________．（用含有a的代数式表示，其中） 【答案】(1)9.22 (2)②的形式精确度更高，理由见解析 (3)或． 【分析】本题考查完全平方公式的应用及无理数近似值的估算． （1）先通过夹逼法确定的整数范围：，因此设（），和题干的对应；利用完全平方公式展开，忽略极小的二次项（因为，远小于一次项，对结果影响可忽略），把二次方程降为一次方程求解；最后计算近似值，结果精确到0.01． （2）这一问是误差分析，本质是比较两种近似方法的误差大小：两种方法的误差都来自“忽略的二次项”：形式①忽略，形式②忽略；误差的大小由和的大小决定：、越小，、就越小，忽略带来的误差就越小，精确度越高；计算两种形式的、，对比大小即可得出结论。 （3）先找相邻的两个完全平方数，确定的整数范围；结合的要求，选择“整数”或“整数”的形式；注意：更接近，因此优先设（也可设）． 【详解】（1）解：因为，所以 即 因为比较小，所以将忽略不计， 所以，即 得， 故 （2）解：②的形式精确度更高 理由： ∵更接近 ∴②的形式精确度更高 （答案不唯一）比如： ∵85更接近81 ∴②的形式精确度更高 （3）解：因为，，且， 所以， 又，因此可设或（二者均可以） 【点睛】这道题完整呈现了古代开平方近似算法的核心逻辑： 夹逼定界：先确定无理数的整数范围，把开平方转化为“整数±小量”的形式； 平方降次：利用完全平方公式展开，忽略极小的二次项，把二次方程转化为一次方程求解； 误差分析：通过比较忽略的小量大小，判断近似值的精确度； 方法迁移：将方法推广到任意无理数的近似计算． 易错点： （1）中展开完全平方公式时符号错误，或忽略的合理性； （2）中混淆误差来源，错误认为、越大精确度越高； （3）中设式错误，未满足的要求，或选错整数基准． 44．【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以． 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以． 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得． 所以． 【尝试探究】用②的形式求的近似值．（结果保留位小数） 【问题解决】用①、②两种形式求的近似值．（结果保留位小数） 【比较分析】用哪种形式求的近似值的精确度更高？并说明理由． 【答案】尝试探究：；问题解决：方法①；方法②；比较分析用②的形式求的近似值的精确度更高，理由见解析 【分析】尝试探究：根据例题方法解答即可； 问题解决：根据例题方法解答即可； 比较分析：求出两个近似值的平方，跟原数比较即可判断求解； 本题考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：尝试探究： 因为， 所以， 即， 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得． 所以； 问题解决： 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中； 用①的形式求的近似值： 因为， 所以． 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得， 所以； 用②的形式求的近似值： 因为， 所以， 即， 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得， 所以； 比较分析： 用②的形式求的近似值的精确度更高，理由如下： ∵，， ∴用②的形式求的近似值的精确度更高． 45．小兴同学探索的近似值的过程如下： 面积为52的正方形的边长是，且， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小兴用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，通过数形结合，可画出正方形的面积示意图：   ，因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得．所以． 【尝试探究】 (1)类比上述方法，用②的形式探究的近似值，并画出示意图．（结果保留2位小数）”； 【比较分析】 (2)请你判断：用哪种形式求的近似值的精确度更高，所得的结果更接近？并说明理由． 【答案】(1)示意图见解析， (2)①得出近似值的精确度更高，理由见解析 【分析】（1）根据，其中忽略不计，可得答案； （2）两种方法的近似值进行平方，与52比较即可判断． 【详解】（1）解：如图， ， 即， 因为比较小，将忽略不计， 所以， 即， 所以； （2）解：因为，， 且，， 所以①得出近似值的精确度更高． 覆盖十六 二元一次方程组的方案问题 46．为适应体育中考评价改革，并满足学生多样化的锻炼需求，某校到体育用品商店购买排球和跳绳．已知该校第一次购进15个排球，40条跳绳共花费2000元，第二次购进20个排球，35条跳绳共花费2300元． (1)排球和跳绳的单价各是多少元？ (2)学校第三次到该体育用品商店购买排球和跳绳，体育用品商店给出两种优惠方案．A方案：买两个排球送一条跳绳；B方案：排球和跳绳都打九折．两种方案只能选择其中一种，不能同时选择．若学校第三次购买30个排球，60条跳绳，则哪种方案更优惠，请说明理由． 【答案】(1)排球的单价是80元，跳绳的单价是20元 (2)B方案更优惠，见解析 【分析】（1）设排球的单价是元，跳绳的单价是元，根据两次订购的数量和费用建立方程组，解方程组即可得； （2）结合（1）的结果，分别计算出两种方案的费用，由此即可得解． 【详解】（1）解：设排球的单价是x元，跳绳的单价是y元， 由题意得：，解得：， 答：排球的单价是80元，跳绳的单价是20元； （2）解：B方案更优惠， 理由：A方案：（元）， B方案：（元）， 因为，所以B方案更优惠． 47．某文体书店销售A，B两种跳绳，购买2条A种跳绳和3条B种跳绳共计35元，购买6条A种跳绳和4条B种跳绳共计80元． (1)求A种跳绳和B种跳绳每条的价钱． (2)现该文体书店对A，B两种跳绳开展促销活动，活动方案如表（两种促销方案不能同时使用）： 方案 内容 促销方案一 买一条A种跳绳，赠送一条B种跳绳 促销方案二 买A种或B种跳绳都打八折 某校为了准备跳绳比赛，计划购买A，B两种跳绳，且B种跳绳比A种跳绳多买20条．请根据购买A种跳绳的条数x的不同范围，说明该校选择哪种促销方案合适． 【答案】(1)A种跳绳每条10元，B种跳绳每条5元 (2)促销方案见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出方程组和不等式来求解． （1）设种跳绳每条元，种跳绳每条元，根据已知条件列出方程组求出两种跳绳的单价； （2）分别计算两种促销方案的花费，通过比较花费来确定合适的方案． 【详解】（1）解：设种跳绳每条元，种跳绳每条元， 根据题意得：， 解得：． 种跳绳每条10元，种跳绳每条5元． （2）解：促销方案一的花费：（元） 促销方案二的花费：（元） 当，解得：， 当，解得：． 当，解得：， 所以当时，该校选择促销方案一和二同样合适， 当时，该校选择促销方案二更合适， 当时，该校选择促销方案一更合适． 48．为适应体育中考评价改革，并满足学生多样化的锻炼需求，某校准备增订排球和跳绳．已知该校第一次购进10个排球，20条跳绳共花费1200元，第二次购进20个排球，10条跳绳共花费1800元． (1)问排球和跳绳的单价各是多少？ (2)元旦期间商店给出两种优惠方案．A方案：买两个排球送一条跳绳；B方案：排球和跳绳都打九折．若学校还需购买30个排球，35条跳绳，请问哪种方案更优惠． 【答案】(1)排球的单价是80元，跳绳的单价20元 (2)方案更优惠 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键． （1）设排球的单价是元，跳绳的单价是元，根据两次订购的数量和费用建立方程组，解方程组即可得； （2）结合（1）的结果，分别计算出两种方案的费用，由此即可得． 【详解】（1）解：设排球的单价是元，跳绳的单价是元， 由题意得：， 解得， 答：排球的单价是80元，跳绳的单价20元． （2）解：方案：（元）， 方案：（元）， 因为， 所以方案更优惠． 覆盖十七 二元一次方程组与不等式结合应用 49．书香校园，书柜之约，在124中学，书香氤氲的梦想正在生长．为了安放新购置的万千卷册，让每一本书都能在合适的位置静候知音，学校计划购进甲、乙两种规格的书柜，如两位气质不同的待书使者，分层陈列，便于学子借阅与日常打理．后勤部门走访市场，细心询价，获得如下数据： ·若购甲种书柜个，乙种书柜个，共需元 ·若购甲种书柜个，乙种书柜个，共需元 (1)请你帮助学校算一算：甲种书柜与乙种书柜，每一座的单价各是多少元？ (2)如今，学校计划将这两种书柜共购个，携手立于廊下窗边．学校至多可拨付资金元，最多可以购买甲种书柜多少个． 【答案】(1)甲种书柜单价元，乙种书柜单价元 (2)个 【分析】（1）根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲种书柜单价x元，乙种书柜单价y元， ， 解得 ， 答：甲种书柜单价元，乙种书柜单价元； （2）解：设购买甲种书柜m个，购买乙种书柜（）个， ， ． 答：最多可以购买甲种书柜个． 50．2026年2月，教育部召开深入落实“健康第一”工作部署会，强调将“健康第一”的教育理念转化为刚性制度，同步印发《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，要求落实中小学生每天综合体育活动不低于2小时的要求．某中学积极响应号召，利用课后服务时间在七年级开展班级篮球赛，共16个班级参与，以此激励学生增强体质、热爱运动． (1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班在15场比赛中获得的总积分为39分，求该班胜了多少场； (2)投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分；在3分线上及3分线内投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中27个球，所得总分不少于58分，求该班在这场比赛中至少投中了多少个3分球． 【答案】(1)胜12场 (2)4个 【分析】（1）设该班胜x场，则负y场，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设该班这场比赛中投中3分球个，2分球个，根据题意列出不等式，解不等式，求得最小整数解，即可． 【详解】（1）解：设该班胜x场，则负y场， 由题意得． 解得 答：该班胜12场 （2）解：设该班这场比赛中投中3分球个，2分球个 由题意得 解得 的最小值是4． 答：该班这场比赛中至少投中4个3分球 51．开封刺绣历史悠久，早在北宋时期就已闻名，民间多把开封刺绣称为“汴绣”，2008年入选中国非物质文化遗产，某网店老板小杰在开封某汴绣专营店选中，两款高端汴绣，决定从该店进货并销售，已知两款汴绣的进货价和销售价如下表： 类别价格 款汴绣 款汴绣 进货价（元/件） 180 85 销售价（元/件） 250 120 (1)第一次小杰用14200元购进了，两款汴绣共100件，求两款汴绣各购进多少件； (2)在（1）的条件下，该网店老板小杰在春节前夕，为了快速实现资金回流，计划开展打折促销活动，已知每件种汴绣产品打8折，若要使两种汴绣产品全部销售完的利润不低于3140元，求种汴绣产品最低打几折？ 【答案】(1)A款汴绣购进60件，B款汴绣购进40件 (2)A种汴绣产品最低打9折 【分析】（1）根据总件数和总进价两个等量关系列二元一次方程组求解； （2）根据总利润不低于3140元的不等关系列一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设A款汴绣购进件，B款汴绣购进件． 根据题意可得： 解得 答：A款汴绣购进60件，B款汴绣购进40件． （2）解：设A种汴绣产品打折． 根据题意，总利润不低于3140元， 列不等式得： 解得： 答：A种汴绣产品最低打9折． 覆盖十八 二元一次方程组的整体代入法 52．阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务： 整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小宣还想到了一种新的解法； 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为． 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”． 请你利用“整体代入消元法”解方程组． 【答案】 【分析】本题考查用二元一次方程组的特殊解法，先从一个方程中整理出可整体代入的代数式，再将其代入另一个方程，实现消元求解． 【详解】解：整理方程组得： 由②得③． 将③整体代入，得，解得， 将代入③，得， 解得． 所以原方程组的解为． 53．阅读与思考 【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解． 例如：解方程组 解：方程②变形得：，即③． 把方程①代入③得：，解得： 把代入方程①得：，解得： 所以方程组的解为 (1)请用“整体代入消元”的方法解方程组； (2)已知x、y满足方程组，则________． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）利用“整体代入消元”的方法解方程组即可； （2）利用“整体代入消元”的方法解方程组即可． 【详解】（1）解：方程②变形得：， 即③． 把方程①代入③得：， 解得：， 把代入方程①得：， 解得：， 所以方程组的解为； （2）解：， 由①得：， 由②得：， 把③代入④得：， 解得：． 54．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：将方程②变形，得，即．③ 把方程①代入③，得，解得． 把代入①，得，方程组的解为 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代入”法解方程组 (2)已知满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2)17 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握整体代入法，是解题的关键： （1）将方程②变形，得，利用整体代入法进行求解即可； （2）利用加减消元法，消去，整体思想，求出的值即可． 【详解】（1）解： 将方程②变形，得， 即．③ 把方程①代入③，得，解得． 把代入①，得，解得， 方程组的解为 （2） ，得，即， ． 覆盖十九 二元一次方程组的新定义 55．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如，，． 已知，，则根据定义可以得到：． (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； (4)若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， 得， ， 把代入②，得， ， 解得：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ， ∵， ， 解得； （3）解：∵， ∴， 解得：， ， ， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ， 解得：． 56．定义：对于任意实数，若点满足，则称点为和谐点． (1)若点是和谐点，则 ． (2)判断点是否为和谐点，并说明理由． (3)已知关于的方程组，当为何值时，以方程组的解为坐标的点是和谐点？ 【答案】(1)3 (2)点是和谐点，理由见解析 (3)当时，以方程组的解为坐标的点是和谐点 【分析】(1) 根据和谐点的定义，代入和谐点满足的等式，解方程即可； (2) 根据和谐点的定义，把点代入和谐点满足的等式左边，计算出结果为8，等式成立即可得出结论； (3)首先，解出关于的方程组的解，然后，根据题意将点代入和谐点满足的等式，变为关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：点是和谐点，理由如下： 根据题意，得， ∴点是和谐点； （3）解：， 解得， 根据题意，得， 解得， ∴当时，以方程组的解为坐标的点是和谐点． 57．在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k． (1)求点的“倾斜系数”k的值； (2)①若点的“倾斜系数”，请写出a和b的数量关系，并说明理由； ②若点的“倾斜系数”，且，求点P的坐标． 【答案】(1)3 (2)①或，理由见解析；②或 【分析】本题主要考查点的坐标的特征，本题是新定义型题目，正确理解“倾斜系数”的定义是解题的关键． （1）根据“倾斜系数”k的定义直接计算即可； （2）①根据“倾斜系数”k的定义得或，进而得出结论即可； ②由①知，或，根据，分别求出a、b的值，即可求出P点坐标． 【详解】（1）解：由题意知，，或， 而， ∴点的“倾斜系数”k的值为3； （2）解：①或，理由如下： ∵点的“倾斜系数”， ∴或， 即或， ∴a和b的数量关系为：或； ②由①知，或， ∵， ∴或， ∴或， ∴或． 覆盖二十 不等式的新定义 58．新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记作，即当为非负整数时，若，则，反之，当为非负整数时，若，则． (1)根据上述定义填空：_______； (2)关于的不等式组的整数解恰好有个，求的取值范围； (3)若，求所有满足条件的实数的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（）根据定义解答即可求解； （）求出不等式组的解集，再根据不等式组解的情况可得，进而根据定义解答即可求解； （）由已知可设，为整数且，则 ，即得，进而根据定义可得，即得到或，再根据定义解答即可求解； 本题考查了不等式组的应用，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：解不等式组，得， ∵不等式组的整数解恰好有个， ∴， ∵为非负整数， ∴， ∴； （3）解：∵且为整数， ∴设 ，为整数且，则 ， ∴ ， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 59．定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： （1）填空： ①下列两位数：50，63，77中，“迥异数”为______； ②计算：______． （2）如果一个“迥异数”的十位数字是，个位数字是，且，请求出“迥异数”． （3）如果一个“迥异数”，满足，请求出满足条件的的值． 【答案】（1）①63；②5；（2）38；（3）81或91或92 【分析】（1）①根据“迥异数”对每个数判断即可； ②根据定义，对求解即可； （2）根据定义得到一元一次方程，求得值，从而求得； （3）设这个“迥异数”的个位为，十位为，根据题意列不等式求解，再根据、的范围，即可求得． 【详解】解：（1）①由定义“个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为迥异数”可知，50，63，77中，“迥异数”为63 故答案为：63． ②． （2）∵这个“迥异数”的十位数字是，个位数字是 ∴． 将这个数的个位和十位调换后为： ∴ 又 ∴ ∴ 故这个“迥异数”． （3）设这个“迥异数”的个位为，十位为，则，且，均为大于1小于10的正整数． 则，调换个位和十位后为： 故 ∵ ∴ 整理得： ∴ 即……① 又∵ ∴，解得： 又为正整数 故或2 当时，代入①中，或9，此时或91； 当时，代入①中，，此时； 故所有满足条件的有：81或91或92． 【点睛】本题属于新定义题目，考查了一元一次方程和不等式的解法，准确结合所给定义列出式子进行求解是解题的关键． 60．定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值； (3)若关于，的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)整数的最小值为 (3) 【分析】（1）分别解方程和解不等式，然后根据“内含解”的定义进行判断； （2）分别解方程和解不等式，然后根据“内含解”的定义列不等式，解不等式即可得解； （3）分别解方程组和解不等式，然后根据“内含解”的定义列不等式，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：是，理由如下： 解方程， ， ， 解得； 解不等式， ， 解得； ， 方程的解是不等式的“内含解”． （2）解：解方程， ， 解得． ， ， 解不等式， ， ， ， 解得． 由“内含解”的定义，得， ， ， 解得， 整数的最小值为． （3）解：， 由，得， ，方程组的解是不等式的“内含解”， ，解得． 覆盖二十一 作差法比较大小 61．【阅读理解】：在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式的大小，只要作出差．若，则：若．则：若，则． 【解决问题】 （1）根据上面阅（1）根据上面阅读比较， ______（填或）； （2）已知，当时，比较与的大小，并说明理由； 【学以致用】 （3）为了安全方便，某自助加油站只提供两种自助加油方式：方式一：每次定额只加200元．方式二：每次定量只加20升．自助加油站规定每辆车只能选择其中一种自助加油方式，现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为元／升，第二次油价为元/升（）．那么哪种加油方式更合算呢？予以说明． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）当时，方式二加油更划算；当时，方式一加油更划算 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质并灵活运用是解此题的关键． （1）计算，由此即可得出答案； （2）计算，并根据作出判断即可； （3）计算两种方式加油的平均油价为：，再计算出，，分两种情况：当时，当时，分别进行计算即可． 【详解】解：（1） ， ， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ； （3）由题意可得： 两种方式加油的平均油价为：， ，， 当时，，，此时，， ，此时方式二加油更划算； 当时，，，此时，， ，此时方式一加油更划算； 综上所述，当时，方式二加油更划算；当时，方式一加油更划算． 62．据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两个数大小的方法． 若，则； 若，则； 若，则． 反之也成立． 这种比较大小的方法称为“作差法”． (1)若，则______；填“”“”“” (2)若，，试比较，的大小； (3)请运用“作差法”解决下面的问题： 截至年月日中午，《哪吒之魔童闹海》全球总票房已突破亿，强势跻身全球影史票房榜第五位，成为首部冲入该榜单前十的亚洲动画电影电影中哪吒的法宝更是不胜枚举，其中乾坤圈和火尖枪尤为厉害． 若个乾坤圈，个火尖枪的总重量记为；个乾坤圈，个火尖枪的总重量记为，每个乾坤圈的重量比每个火尖枪的重量小，试比较，的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的混合运算． （1）将与作差并计算，然后结合已知条件进行判断即可； （2）将与作差并计算，然后将结果与比较大小即可； （3）设每个乾坤圈的重量为，每个火尖枪的重量为，且，则，，将它们作差并计算，然后将结果与比较大小即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：∵，， ， ； （3）解：设每个乾坤圈的重量为，每个火尖枪的重量为，且， 则，， ， ． 63．【阅读材料】 我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差，变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数a，b的大小，只要求出它们的差：若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)若，，，求和的取值范围． 【答案】(1) (2)a为任意实数， 【分析】本题主要考查了利用不等式的性质比大小、解不等式，整式的混合运算． （1）根据题意用作差法得出，再结合，利用不等式的性质即可得出结论． （2）把，代入，解一元一次不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴，即， ∴． （2）解：∵ ， 又∵， ∴， ∴， 解得， ∵的值与的取值无关， ∴a为任意实数． 覆盖二十二 不等式取值范围问题 64．【阅读思考】 已知，且，，求的取值范围． 解法如下：， ． ． 又即， ． 又， ． ． ． 即：的取值范围是． 【理解应用】 根据以上解题过程，解答下列问题： （1）若，且，则的取值范围是________； （2）已知，且，，求的取值范围； 【拓展应用】 （3）已知，且，，求的取值范围（用含的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，的取值范围为；当时，的取值范围为 【分析】本题考查求不等式的解集．解题的关键是理解并掌握题干中给定的解题方法． （1）根据题干中给定的方法进行求解即可； （2）根据题干中给定的方法进行求解即可； （3）根据题干中给定的方法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即：； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∵即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即的取值范围为； （3）∵， ∴， ∴， ∵即， ∴， 又∵， 当，即时， ∴， ∴， ∴，即的取值范围为； 当，即时， ∴， ∴， ∴，即的取值范围为； 综上，当时，的取值范围为；当时，的取值范围为． 65．阅读材料，解决下列问题． 【阅读材料】 已知，且，求的取值范围． 解：由，得， ，， 解得，的取值范围是． 【问题探究】 (1)已知，且，求的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围； (3)已知，且，，设，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是读懂材料中的例子，并掌握不等式的性质． （1）仿照例子，根据不等式的性质即可求解； （2）仿照例子，根据不等式的性质即可求解； （3）仿照例子得到，由不等式的性质求出的取值范围，根据题意可得，结合不等式的性质即可求解． 【详解】（1）解：由，得， ， ， 解得：， 的取值范围是； （2）由，得， ， ， 解得：， 的取值范围是； （3）由可得， ， ， 解得：， ， 的取值范围是， ， ， 即， ． 66．阅读下列材料： 问题：已知，且，，求的取值范围？ 解：∵， ∴． 又∵， ∴，即． 又∵， ∴①． ∴，即② ①②得， ∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则x的取值范围是 ；的取值范围是 ； (2)已知，且，，根据上述做法得到，求m，n的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出，再根据求出y的取值范围，进而可得x的取值范围，然后把两式相加即可求出的取值范围； （2）利用材料中方法求出，然后得到关于m，n的方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴①， ∴，即②， ①②得，， ∴的取值范围是； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴①， ∴，即， ∴②， ①②得，，即， ∵， ∴， 解得： 经验证，满足题意． 覆盖二十三 含绝对值的不等式问题 67．小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示． 观察数轴发现，以点为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于2；点与点之间的点表示的数的绝对值小于2；点右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是___； (2)求绝对值不等式的解集； 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，一元一次不等式，解题的关键是掌握绝对值的几何意义． （1）利用绝对值的几何意义进行求解即可； （2）利用绝对值的几何意义进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，的解集是或． 故答案为：或； （2） 解：由得到， 根据绝对值的定义，当时，或，分界点把数轴分为三部分： 点左边的点表示的数与的差的绝对值大于16； 点，之间的点表示的数与的差的绝对值小于16； 点右边的点表示的数与3的差的绝对值大于16 ∴的解集为或； ∴的解集为或． 68．阅读下面材料：小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式的解集． 小明的思路如下：先根据绝对值的定义，求出恰好是3时的值，并在如图所示的数轴上表示为点，．观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于3；点，之间的点表示的数的绝对值小于3；点右边的点表示的数的绝对值大于3．因此，小明得出结论，绝对值不等式的解集为或．参照小明的思路，解决下列问题： (1)的解集为 ，的解集为 ； (2)求绝对值不等式解集． 【答案】(1)；或 (2)或 【分析】本题考查利用数轴解绝对值不等式，解题的关键是理解题意，根据题目中，解题的方法，进行解答，学会数形结合解题，即可． （1）仿照题意画出数轴解答即可； （2）先化简，则，再根据小明解法，求解即可． 【详解】（1）解：如图1所示，当时，， ∴由数轴可得，点左边的点表示的数的绝对值大于2；点，之间的点表示的数的绝对值小于2；点右边的点表示的数的绝对值大于2， ∴的解集为； 如图2所示，当时，， ∴由数轴可得，点左边的点表示的数的绝对值大于5；点，之间的点表示的数的绝对值小于5；点右边的点表示的数的绝对值大于5， ∴的解集为或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的解集表示为：或， 解得或， ∴的解集为：或． 69．在数学学习过程中，自学是一种非常重要的学习方式，通过自学不仅可以获得新知，而且可以培养和锻炼我们的思维品质．请先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，由绝对值的几何意义，结合数轴（如图1）可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，由绝对值的几何意义，结合数轴（如图2）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，其中m是正整数，求m的值． (3)已知关于x 、y的方程组有解，其中为整数且≠0．求和x的值． 【答案】(1)；或 (2)1，2，3 (3)，，或，，0 【分析】本题考查了绝对值，二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，解一元一次不等式组，理解绝对值的意义，掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键． （1）根据题目提供的方法即可得出答案； （2）利用二元一次方程组的解法得到，再根据绝对值不等式的解法进行计算即可； （3）利用二元一次方程组的解法得到，再根据绝对值的非负性得到，即，解得，从而得到，，再代入求出x值即可． 【详解】（1）解：由题目所提供的方法可得， 不等式的解集为， 不等式的解集为或， 故答案为：；或； （2）解： ， 可得：，即， ，即， 是正整数 ，2，3． （3）解： 得，即 ∵，即， ∴ ∵为整数且≠0 ∴，， 当时，， ∴，； 当时，， ∴，0； ∴，，或，，0． 覆盖二十四 图形的折叠 70．【知识初探】 （1）王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在正方形纸上画出一条直线，在外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为A，将纸片展开铺平； ②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王芳说，就是的平行线． 王芳同学只写了部分证明过程就有事离开，请你帮她把证明过程补充完整； 证明：由折叠可知： 又∵ ∴ …… 【深入探究】（2）李明同学在王芳同学折纸（图4）中量得，请你求出的大小（用含的代数式表示）； 【拓展延伸】（3）王伟同学改变直线和点P的位置，按照王芳同学的方法折叠得到后（点B，C，K，F分别在线段上），再画出和的角平分线所在的直线交于点G，请求出的度数． 【答案】（1）见解析（2）（3）或 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键： （1）折叠推出，进而得到，即可得出结论； （2）作，得到，推出，即可得出结果； （3）分交点在的上方和下方，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）证明：由折叠可知： 又∵ ∴ 同理，， ∴， ∴； （2）作，则：， ∴，， ∴， ∵，（正方形的一个内角为90度）， ∴； （3）当点在直线的下方时，如图：过点作，则：， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， 由（2）可知：， ∴； 当点在上方时，如图，作，则：， 则：， ∴， ∵分别平分和， ∴， 由（2）知：， ∴； 综上：或． 71．已知长方形纸带，，，，点，分别在边，上，． (1)如图1，将纸带先沿直线折叠后，点，分别落在，的位置： ①则的度数为_______（用含的代数式表示）；的度数为_______（用含的代数式表示）． ②试说明． (2)如图2，在（1）的基础上将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，求的度数． (3)如图3，在（2）的基础上连接，若，请直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． （1）①由折叠的性质可得，由平行线的性质可得，， 由平行线的性质可得， （2）由平行线的性质可得，由折叠可知：，，进而由求解， （3）过点作，可得，，进而可得． 【详解】（1）解：①由折叠可得：，， ∵， ∴， ②∵， ∴，由折叠可知：， ∴ ∴， （2）解：∵， ∴， 由折叠可得：， ， 由（1）得， ∴， （3）过点作， ∴，， ∴． 72．学习平行线判定后，我们以“过直线外一点作已知直线平行线”为主题开展探究． (1)方法一：用尺规作图的方法画平行线 ①甲同学画法：过点P作直线b与a相交，作，则，依据是：________． ②乙同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是：________． (2)方法二：用折纸的方法画平行线 ①如图1，甲在纸上画直线，在外取一点P．过点P折叠纸片，使点C对应点落在直线上（如图2），记折痕与交点为A，将纸片展开铺平；再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时就是的平行线．请写出过程予以证明； ②拓展延伸：乙同学在甲同学折纸基础上补充了条件：在折痕上任取一点M，连接、．若记为，为，为，请探究，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行 (2)①见解析；②或或．见解析 【分析】（1）①根据折叠的性质结合平行线的判定定理求解即可； ②先证得，，再根据同旁内角互补，两直线平行证明即可； （2）分三种情况讨论，过点作，根据平行线的性质，得到，，即可求解． 【详解】（1）解：①甲同学画法，依据是：同位角相等，两直线平行； ②乙同学画法，依据是：内错角相等，两直线平行； （2）①证明：由题意可知，点、、、共线， ， 由折叠的性质可知，， ，即， 同理可得，， ， ； ②解：当点在线段上时，， 如图，过点作， ， ， ， ， ； 当点在线段上时，， 如图，过点作， ， ， ， ， ； 当点在线段上时，， 如图，过点作， ， ， ， ， ． 覆盖二十五 无刻度尺作图 73．如图，将一块直角三角尺沿着所在的直线向右平移了一段距离，点与点对应．请仅用无刻度直尺完成以下作图．（注：无刻度直尺是指有且只有“连线”或“延长已知线段”功能的直尺） (1)在图中，过点作直线的平行线； (2)在图中，过点作直线的垂线，垂足为点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图，平移的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）由平移可知，对应点的连线互相平行，直线为对应点、之间的连线，则连接即可得到直线的平行线； （2）延长、交于点，由平移可得：，进而得到，即，垂足为点，则直线即为所求． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，直线即为所求． 74．如图是的正方形网格，已知（三个顶点均在格点上），请仅用无刻度直尺完成下列作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)图1中，在的内部作，使且； (2)图2中，在的内部作，使点P为格点，而且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等，取画图即可． （2）根据两直线平行，同旁内角互补解答即可． 本题考查了平行线的性质和判定，无刻度直尺作图，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据两直线平行，同位角相等，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据两直线平行，同旁内角互补，画图如下： 则． 则即为所求． 75．如图，，点E在上，连接，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中．以点A为顶点作一个与相等的角． (2)在图2中，在的上方，作一个与相等的角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质作一个角等于已知角. （1）延长到F，根据，则，或延长到F，根据，则． （2）延长交的延长线与点F， 根据，则，或者延长到G，延长与H，两线交于F，根据对顶角相等得出，即可得出 【详解】（1）解：如图，或即为所求． 或 （2）如图，即为所求．（或为所求） 或 覆盖二十六 平面直角坐标系中的面积问题 76．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，其中a，b满足． (1)求的面积； (2)在x轴上求一点P，使得的面积与的面积相等； (3)在y轴上是否存在一点Q，使得的面积与的面积相等？若存在，请写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点 (3)存在，点Q坐标为 或 【分析】本题考查了坐标与图形的性质、解一元一次方程、绝对值，（1）利用非负数的性质求出a，b的值，再利用三角形面积公式计算即可． （2）设点，构建方程求出p的值即可． （3）如图，设交y轴于点N，设、，利用面积法求出点N的坐标，再利用面积法构建方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， 又，， ∴，， ∴，， 过点C作轴于点N， 点， ， ，， ∴， ∴． （2）解：设点． ∵， 解得或 ， 当时，与重合，不合题意，舍去， ∴点． （3）解：如图，连接，设交y轴于点N，设、， ∵， ， ， ∵， ∴， 解得或， ∴点Q坐标为或． 77．如图，在平面直角坐标系中，，，，且． (1)求，的值； (2)在轴的正半轴上存在一点，使三角形的面积是三角形的面积的一半，求出点的坐标；在坐标轴的其他位置是否存在点，使三角形的面积是三角形的面积的一半仍然成立，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标； (3)如图，过点作轴交轴于点，点为线段延长线上一动点，连接，平分，．当点运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由． 【答案】(1)， (2)；存在，点的坐标，或 (3)不变， 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性，即可求解； （2）先求出，从而，再根据面积公式，求得，再根据点在轴的正半轴上，即可求解；分类讨论：在轴的负半轴上时；在轴上时，根据面积公式，可求，再根据在轴的正、负半轴上，即可求解； （3）根据题意，得轴，从而，再根据角平分线的定义和邻补角的定义，可得，进而，最后计算即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ，； （2）解：，， ，， ， ， ， 三角形的面积是三角形的面积的一半， ， ，则， 点在轴的正半轴上， ； 当点在轴的负半轴上时，； 当点在轴上时， ，， ，则， 点在轴的正半轴上时，； 点在轴的负半轴上时，； 综上所述：在坐标轴的其他位置存在点，点的坐标，或； （3）解：不变，， 轴，轴轴， ， 轴， ， 平分，， ， ， ， ． 78．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D．连接、、． (1)写出点C，D的坐标，并求出四边形的面积． (2)在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的3倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点F是直线上一个动点，连接、，当点F在直线上运动时，求出与，的数量关系． 【答案】(1)点C的坐标为，点D的坐标为，四边形的面积 (2)存在，点E的坐标为和 (3)当点F在线段上时，；点F在线段的延长线上时，；当点F在线段的延长线上时，． 【分析】（1）根据点的平移规律得到点C，D的坐标，即可求出四边形的面积； （2）设点E的坐标为，根据题意得到绝对值方程，求解即可； （3）分三种情况，分别根据平行线的判定和性质求出与，的数量关系即可． 【详解】（1）解：∵点A，B的坐标分别是，，现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到A，B的对应点C，D， ∴点C的坐标为，点D的坐标为， ∴四边形的面积； （2）解：存在． 设点E的坐标为， ∵的面积是面积的3倍， ∴， 解得或， ∴点E的坐标为和； （3）解：当点F在线段上，作，如图1， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； 当点F在线段的延长线上，作，如图2， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； 当点F在线段的延长线上，同理可得． 综上所述，当点F在线段上时，；点F在线段的延长线上时，；当点F在线段的延长线上时，． 覆盖二十七 平面直角坐标系中的新定义 79．小潘和小智在学习了平面直角坐标系后，尝试着定义了平面直角坐标系xOy中任意两点与的两种新的距离： ＊小潘定义了，的“分解距离”，如下： 若，则为点与点的“分解距离”，即； 若，则为点与点的“分解距离”，即． ＊小智定义了，的“和距离”，如下： 点，的“和距离”为与的和，即． 根据以上材料，解决下列问题： 在平面直角坐标系xOy中，已知点，． (1)________；________； (2)若点C的坐标为． ①当时，若，直接写出点C的坐标； ②将点C向左平移一个单位长度得到点D，点E满足，点F满足，若线段CD上存在点E或点F，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)4,7 (2)①或，②或 【分析】此题考查了新定义问题，坐标与图形． （1）根据“分解距离”和“和距离”的概念求解即可； （2）根据和画出点和点的轨迹，再利用的范围分 别算出线段与点轨迹和点轨迹相交时的范围，最后将范围合并即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，, ∵， ∴， ∴． （2）解：①当 时，点，点 ， ，， 分两种情况讨论： （ⅰ），此时 ， 解得或，即或． 时，， ，，； 时，，，，，舍去． （ⅱ），此时， 解得或，即或． 时，，，，； 时，，，，，舍去． 综上，点的坐标为：或． ②设，，则： 当时，，即或，且，即 ； 当时，，即或，且 ，即． 点的轨迹为以，，，为顶点的正方形的四条边， ∴； 设,,则， ∴点的轨迹为以，，，为顶点的正方形的四条边， ∴． 如图，正方形的四边为点的轨迹，正方形的四边为点的轨迹． 点，向左平移1个单位得， 线段上的点：， （ⅰ）与的轨迹相交： 且，解得； （ⅱ）与的轨迹相交： 且，解得； 综上：或． 80．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较大值称为点的“长距”，当点的“长距”等于点的“长距”时，则称两点为“等距点”．如图1，与两点的“长距”相等（均为3），故为它们为一组“等距点”，请依据该定义解答下列问题： (1)如图2，已知点的坐标为． ①点的“长距”是 ； ②在点，，中，为点的“等距点”的是 ； ③若点的坐标为，且、两点为“等距点”，求的值． (2)若，两点为“等距点”，求的值． (3)如图3，三角形三个顶点的坐标分别为，，，点为线段上一个动点（可以与、重合）． ①则点的“长距”的最小值是 ； ②点为三角形内部一点（不含边界），且它的横、纵坐标均为整数，若，两点为“等距点”．则所有可能满足条件的点的个数是 ． 【答案】(1)①；②点；③或 (2)或 (3)①；② 【分析】（1）①根据题中定义即可解答； ②根据题中定义判断即可； ③根据，即可解答； （2）分情况讨论，即或，解出答案，再判断是否符合条件； （3）①根据图形即可解答； ②分点的“长距”为，，，三种情况，再找出所有符合条件的点，即可解答． 【详解】（1）解：①根据定义可得点的“长距”是； ②点的“长距”是，为点的“等距点”； 点的“长距”是，不是点的“等距点”； 点的“长距”是，不是点的“等距点”； ③、两点为“等距点”， ， 解得或； （2）解：，两点为“等距点”， <1>当时， 解得或， 在时，， 点的“长距”为，点的“长距”为，符合条件； 在时，， 点的“长距”为，点的“长距”为，不符合条件； <2>当时， 可得或， 解得或， 在时，， 点的“长距”为，点的“长距”为，符合条件； 在时，， 点的“长距”为，点的“长距”为，不符合条件； 综上，或； （3）解：①根据图形可得当点在时，点的“长距”最小， “长距”为； ②点的横、纵坐标均为整数，且，两点为“等距点”， ∴点的横、纵坐标均为整数， 当点的“长距”为时，没有符合条件的点； 当点的“长距”为时，符合条件的有点，共个； 当点的“长距”为时，符合条件的有点，，，，，共个； 当点的“长距”为时，符合条件的有点，，，，，，，，，共个， 综上，所有可能满足条件的点的个数是个． 81．在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“美好距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“美好距离”为； 若，则点与点的“美好距离”为． 用符号表示两点的“美好距离”． (1)已知点，为轴上的一个动点， ①若点与点的“美好距离”为2，满足条件的点的坐标是___________（写出1个即可）； ②点与点的“美好距离”的最小值是___________； (2)已知直线过且平行于轴，是直线上的一个动点，如图1，点的坐标是，则点与点的“美好距离”的最小值是___________；当与的“美好距离”取最小值时，点的横坐标的最小值是___________； (3)已知，定义平面内的一个动点满足，则称动点为两点间的“美好连接点”． ①若，请在图2中画出两点间的“美好连接点”所覆盖的区域： ②已知点坐标为，直线过点且垂直于轴，直接写出当直线上存在两点间“美好连接点”时，的最大值． 【答案】(1)①（答案不唯一）；② (2)2； (3)①图见解析；② 【分析】（1）①根据点位于轴上，可以设点的坐标为，由“美好距离”的定义可以确定，据此可以求得的值，可得点的坐标； ②设点的坐标为，根据，即可得出点与点的“美好距离”最小值； （2）根据直线过且平行于轴，是直线上的一个动点，设点的坐标为，由，即可得出点与点的“美好距离”的最小值；根据点与点的“美好距离”的最小值即可求解； （3）①由，则，可得，由，，，可得，，分四种情况：，时，，时，，时，，时，进行讨论即可求解； ②由①可得，即可求解． 【详解】（1）解：①∵点为轴上的一个动点， ∴设点的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为或． ②设点的坐标为， 根据题意得， 当时，点与点的“美好距离”为； 当，即时，点与点的“美好距离”为； ∴点与点的“美好距离”的最小值为． （2）解：∵直线过且平行于轴，是直线上的一个动点， ∴设点的坐标为， ∵点的坐标是， 根据题意得， 当，即时，点与点的“美好距离”为； 当，即时，点与点的“美好距离”为2； ∴点与点的“美好距离”的最小值为2． 当与的“美好距离”取最小值时，， ∴， ∴点的横坐标的最小值是． （3）解：①∵， ∴， 由题意可得，， 设点的坐标为， ∴，， ∵， ∴，，，， 解得，， 当，时，， 当时，则，解得， 则，解得， ∴； 当时，则，不符合题意； 当时，则，解得， 则，解得， ∴； 当，时，， ∴，则，； 当，时，， ∴，则，； 当，时，， ∴， ∴当，，，，都符合题意； ∴如图，四边形即为两点间的“美好连接点”所覆盖的区域． ②同理得， 当，时，， 当时，则，解得， 则，解得， ∴； 当时，则，解得， 则，解得， ∴； ∴， 解得， ∴的最大值为． 覆盖二十八 平行的动点求 82．动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小嘉与小祥两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图所示摆放，其中，若点在直线上，点在直线上． 【操作一】以如图为其中位置，小祥固定三角板不动，小嘉将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． (1)当与平行时，则t的值为　　； (2)① 当秒时，与平行，求出的值． ②若时，若射线与射线相交于点，作出图形，并判断是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【操作二】 (3)以如图为其初始位置，小嘉和小祥同时旋转两块三角板，小嘉将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小祥将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，直接写出的值． 【答案】(1)秒 (2)①；②见解析， (3)秒，秒 【分析】（）利用时需与平行的条件，结合三角板旋转后与的夹角变化列方程求解时间； （）①根据两直线平行时倾斜角相差的性质，结合旋转后的倾斜角与的固定倾斜角列方程求解时间；②通过过交点作，利用余角定理，推导得出与的和为定值； （）先表示出旋转秒后和的倾斜角，利用两直线平行时倾斜角相差的整数倍列方程，结合的范围，代入整数验证，得到符合条件的和． 【详解】（1）解：当时， 初始时，与（方向）夹角为， ∵在上，，若，则需与平行， ∴三角板逆时针旋转秒后，与夹角为， 即与（）夹角为，即，解得； （2）① 当时， 初始与轴（）倾斜角为，旋转秒后倾斜角为；固定，倾斜角为（直线平行倾斜角相差）， ∵，则， 解得， 即； ② 是定值， 证明： 过交点作于点，交于点，交于点 ∵在中，，在中，， 又∵ ∴， ∵， ∴， 同理可得： ∵ ∴； （3）解：旋转秒后，倾斜角为，倾斜角为，平行时倾斜角相差（为整数）： 整理得，结合： 时，，符合； 时，，符合； ∴或． 83．已知直线直线，点A，点B在直线上，点C，点D在直线上，且点C在点D的左侧．，平分． (1)如图1，点B在点A的左侧．现将射线绕点B以每秒的速度逆时针旋转t秒至 ①当且射线与射线垂直时，____秒； ②当且射线与射线平行时，____秒； (2)如图2，点B在点A的左侧．连接，若（），平分，，所在直线交于点E，求的度数（用含的代数式表示）； (3)将（2）中线段向右平移，使得点B在点A的右侧，此时为钝角，其他条件不变，请求此时与的数量关系． 【答案】(1)①26；②71或161 (2) (3)或 【分析】（1）①根据角平分线的定义，平行线的性质，求出的度数，垂直得到的度数，即可得出结果；②根据平行线的性质，求出的度数，即可得出结果； （2）过点作，根据平行线的性质，结合角的和差关系进行求解即可； （3）根据题意，画出图形，分两种情况，作，根据平行线的性质，结合角的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ①当射线与射线垂直时，则， ∴； ②当，且点在上方时，则， ∴； 当，且点在下方时，则， ∴； 综上：或； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴； （3）解：当点在上方时，如图，作，则， ∴， ∴； 当点在下方时，如图，作，则 ， ∴． 综上：或． 84．七年级数学小组开展“三角尺中的数学”主题实践活动． 【动手操作】 （1）小勋同学发现通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角，请问用一副三角板可以拼出的角吗？________．（填“能”或“不能”） 【问题探究】 （2）如图（1），把一副三角板拼在一起，边，在直线上，其中，．如图（2），三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，设三角板运动时间为秒． ①当________时，； ②在转动过程中，三角板一直在的内部，当为何值时，？ 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，在三角板绕点旋转过程中，若三角板同时以每秒的速度绕点逆时针旋转，且，当时，请直接写出的值，为________． 【答案】（1）不能；（2）①秒或秒；②；（3）秒或秒 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，垂直的定义，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关角的度数． （1）由三角板的特征可得，一副三角板中，两块三角板的角度分别为和，由均为的倍数，得到用一副三角板可以拼出的角的度数都为的倍数，即可解答； （2）①根据时，，再分在上方和下方两种情况讨论即可；②由，得，解方程即得； （3）分两种情况：当三角板在三角板左侧时，当三角板在三角板右侧时，再结合平行线的性质建立方程求解即可． 【详解】解：（1）一副三角板中，两块三角板的角度分别为和， ∵均为的倍数， ∴用一副三角板可以拼出的角的度数都为的倍数， ∵不是整数倍， ∴用一副三角板不能拼出的角， 故答案为：不能； （2）①∵， ∴， 由题意得， ∵， ∴， 当在上方时，如图（2）， 则，即， 解得； 当在下方时，如图（3）， 则，即， 解得； 综上，当秒或秒时，； 故答案为：秒或秒； ②由题意得，，则， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴当t为时，； （3）如图（4），当三角板在三角板左侧时， ∵，， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴； 如图（5），当三角板在三角板右侧时， ∵，， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴； 综上，当时，的值为秒或秒． 故答案为：秒或秒． 覆盖二十九 平行中的数量关系与角平分线 85．如图，，定点，分别在直线，上，在平行线、之间有一动点，满足． (1)试问，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线、之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论；如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为________，如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为________． (2)如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则________°． ②猜想与的数量关系，并说明理由． ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 【答案】(1)（1）， (2)①150；②与的数量关系为，理由见解析；③ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，图形规律问题． （1）如图1，过点作，证得，然后根据平行线的性质证得结论，如图2，过点作，证得，然后根据平行线的性质证得结论； （2）①如图3，过点作，过点作，然后根据平行线的性质得到，，由，，分别平分和，即可求得结论； ②同①即可求得结论； ③由（2）②知，进而，，由规律即可求得结论． 【详解】（1）如图1，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 如图2，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）①如图3，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∵，分别平分和， ∴ ∴； ②由（1）可知，， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴； ③由（2）②知， 同理可证：， ， …… ， 故答案为：． 86．已知，点E在直线上，点G在直线上，点H为一动点． (1)如图1，当点H在与之间时，点F在上，连接、、，若，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，平分交于点K，，平分，且． ①当，时，求的度数； ②当平分，，交于点M时，若，求的值． (3)如图3，当H在上方，交于点F，的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点M，的角平分线和的角平分线相交于点，以此类推．请直接写出与之间的数量关系__________，用含n的式子表示与之间的数量关系__________． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② (3)， 【分析】本题考查平行线的判定与性质，平行线拐点模型，角平分线的定义； （1）过作交于，则，得到，结合得到，即可证明； （2）①当，时，设，则，由角平分线得到，，，根据列方程求出，再根据求解即可； ②由，设，则，根据角平分线和平行得到，，根据，得到，再根据得到，即可得到； （3）根据拐点模型得到，，即可得到；由角平分线得到，，则，同理可得，得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）证明：过作交于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①当，时，， ∴设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，解得， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴，解得， ∴； （3）解：过作，过作， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点M， ∴，， ∴，， ∴； ∵的角平分线和的角平分线相交于点， ∴，， ∴， 同理可得， ∴ ∵， 故答案为：，． 87．已知，直线，点P为平面上一点，连接与． (1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点P落在外． ①直接写出、、的数量关系为______． ②与的角平分线相交于点K，请直接写出与的数量关系为______． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用： （1）先过P作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可； （2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （3）①过P作，根据，可得，，进而得到； ②过K作，根据，可得，，进而得到，由①，再根据角平分线的定义，得出，进而得到． 【详解】（1）解：如图1，过P作， ， ， ，， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过作， ， ， ，， ， 过P作， 同理可得，， 与的角平分线相交于点K， ， ； （3）解：①如图3，过P作， ， ， ，， ， 故答案为：； ②如图3，过K作， ， ， ，， ， 由①知，， 与的角平分线相交于点K， ， ． 覆盖三十 平行线中的折线模型 88．如图，，点A，E，B，C不在同一条直线上． (1)如图1，直接写出的数量关系 ； (2)如图2，直线，交于点P，且 ； ①试探究与的数量关系； ②如图3，延长交射线于点Q，若，，则 的度数为 （用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；② 【分析】（1）过E作，根据平行线的性质即可得到结论； （2）①设，由（1）知，，过P作，根据平行线的性质即可得到结论； ②根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图1，过E作， ， ， ，， ∴，即； （2）解：①∵，， 设， ∴， 由（1）知，， 如图2，过P作， ， ， ，， ，即； ②， ， ， ，由①知，， ∵，， ∴， ． 89．已知直线，且，在直角三角尺中，，三角尺的顶点在直线上．    (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，和分别与直线交于两点，探究和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，为直线上一点，绕点旋转直角三角尺，点始终在直线的上方，当时，求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由平行线的判定与性质，数形结合求解即可； （2）由平行线的判定与性质，数形结合求解即可； （3）根据题意，分两种情况，作出图形，数形结合，由平行线的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：过作，如图所示：   ， ， ， ， ， ； （2）解：， 理由如下： 过作，如图所示：   ， 又， ， ， ， ， ，即； （3）解：①当在直线的上方时，如图③所示：    设，则， ， ， 解得，则， ， ， ； ②当在直线的下方时，如图④所示：    设，则，， ， ， 解得，则， ， ， ； 综上所述：当时，的度数为或． 90．为了深入探究平行线的性质，某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现： 【模型发现】图中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． 【问题情境】如图1，已知：，是，之间的一点，连接，，试探究，，之间的数量关系．兴趣小组进行了下面的操作： 过点作． ， ， ， ， ， ． (1)【方法应用】如图，，是，之间的一点，分别为，上的点，若，，类比【问题情境】中的推理过程求的度数； (2)【变式探究】如图，，点在的上方，猜想，，之间有什么数量关系？请说明理由； (3)【拓展延伸】如图，，是，之间的一点，若，的平分线和的平分线交于点，则 °． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）类比题中解法步骤求解即可得到答案； （2）类比题中解法步骤求证即； （3）类比运用两次题中解法步骤求解即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： ， ， ， ， ； （2）解：， 理由如下： 过点作，如图所示： ， ， ， ， ， ； （3）解：过点作，如图所示： ， ， ， ， ， ， 过点作，如图所示： ， ， ， ， ， 的平分线和的平分线交于点， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $