第十章 三角形（复习课件）数学新教材冀教版七年级下册

该初中数学单元复习课件系统梳理了三角形的概念、分类、三边关系、内角和与外角性质及重要线段（高、中线、角平分线），通过单元知识图谱将相关概念、性质与重要线段串联，构建完整的三角形知识网络，体现知识点间的内在逻辑。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”的复习策略，如题型剖析中结合例题讲解三角形外角性质并设计变式训练，培养学生的推理意识和几何直观。针对训练涵盖基础与综合题，实现分层教学，帮助学生巩固知识，教师可精准把握复习重点，提升教学效率。

单元复习课件 第十章 三角形 新教材冀教版·七年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.熟记三角形相关概念与分类，熟练掌握三边关系，能准确判断线段能否构成三角形并求边长取值范围。 3.灵活运用三角形性质解决几何计算与简单实际问题，区分图形稳定特性，规范几何答题格式，突破分类讨论类难点题型 2. 理解三角形高、中线、角平分线定义与性质，掌握内角和、外角性质，精准完成各类角度计算，夯实本章核心重点 单元学习目标 三角形 三角形相关概念 三角形性质 三边之间的关系 重要线段 三角形及其顶点、边、角 三角形内角和定理 内角与外角的关系 三角形的角平分线、中线、高线 单元知识图谱 注意事项： 注意 三条线段必须不在同一直线，共线不能组成三角形。 书写三角形顶点字母按顺时针或逆时针顺序书写。 考点一、三角形的相关概念 1.三角形定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形. 2.三角形三边：组成三角形的三条线段. 3.三角形三内角：相邻两边组成的角. 4.三角形三顶点：线段的公共端点. 5.三角形表示方法：记作△ABC. 考点串讲 注意事项： 任意三角形最多 1 个直角、最多 1 个钝角，最少 2 个锐角 不能出现两个直角或两个钝角 等边三角形属于特殊等腰三角形 等腰三角形已知角求角度，已知边求其他边，一定要分类讨论。 考点二、三角形的分类 1. 按角分类 锐角三角形：三个角都是锐角 直角三角形：有一个角是直角（符号：Rt△） 钝角三角形：有一个角是钝角 2. 按边分类 不等边三角形：三边都不相等 等腰三角形：有两条边相等 腰、底边、顶角、底角 等边三角形（正三角形）：三边都相等 考点串讲 注意事项： 做题只需要验证最短 + 较短＞最长，不用三组全验证。 已知两边求第三边取值范围：两边之差＜第三边＜两边之和 边长为正数，取值范围不取等号，等于时三点共线不能构成三角形。 涉及等腰三角形边长，必须先判断能否构成三角形再作答。 考点三、三角形三边关系 1.定理 三角形任意两边之和大于第三边 三角形任意两边之差小于第三边 2.快速判定：较短两边之和＞最长边即可组成三角形 考点串讲 注意事项： 求角度常用方程思想，设未知数求解 直角三角形两个锐角互余（和为90°） 三角形内角都大于 0° 小于 180°。 考点四、三角形内角和定理 1.定理：三角形内角和等于180° 2.直角三角形性质 直角三角形两锐角互余。 推论：两锐角互余的三角形是直角三角形。 考点串讲 注意事项： 外角不等于相邻内角，相邻内角与外角互补 做题优先用外角定理，比内角和计算更简便 一个三角形每个顶点处有两个相等外角 考点五、三角形外角 1.外角定义： 三角形一边与另一边延长线组成的角 2.外角性质 (1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 (2)三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角 考点串讲 注意事项： 锐角三角形：三条高都在内部 直角三角形：两条高与直角边重合，一条在内部 钝角三角形：两条高在外部，一条在内部 高是线段，不是直线、不是射线。 画高必须标垂直符号。 考点六、三角形的高 1.三角形的高 定义：从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间线段。 2.性质 AD 是△ ABC 的边BC 上的高， AD ⊥ BC 3.判定 AD⊥ BC 于点D， 线段AD 是△ ABC 的边BC 上的高 考点串讲 注意事项： 中线平分边长，平分线段不平分角（等腰除外） 所有三角形中线都在内部 1.定义：连接顶点和对边中点的线段。 2.性质 一条中线把三角形分成面积相等的两个小三角形。 3.三条中线交于一点，叫重心。 考点七、三角形的中线 4.几何语言：如图 (1)AD 是△ ABC 中BC 边上的中线； (2) D 是BC 边的中点； (3) BD=DC= BC. 考点串讲 注意事项： 是线段，不是角平分线射线 三条角平分线交于三角形内部一点 只平分内角，不一定平分对边 考点八、三角形的角平分线 1.定义：三角形内角平分线与对边相交，顶点与交点间线段。 2.几何语言：如图 (1) AD 是△ ABC 的角平分线； (2) AD 平分∠ BAC 交BC 于点D； (3) ∠ BAD= ∠ CAD=∠ BAC. 考点串讲 题型一、三角形相关概念 例1.如图，在中，的对边是____，在中， 的对边是 ____，在中，边 的对角是_______. 题型剖析 解决方法和注意事项 解题方法 依据定义：由不在同一直线上的三条线段，首尾顺次相接组成的封闭图形。 三步判断：①三条线段 ②不共线 ③首尾顺次相接、封闭。 注意事项 线段在同一直线上、未首尾相接、不封闭，都不是三角形。 三角形是平面封闭图形，不是折线、不是开放图形。 表示三角形时，顶点字母按顺时针 / 逆时针顺序书写。 题型一、三角形相关概念 题型剖析 （1）图中共有___个三角形，它们是_______________ ________________________________. ，，，， 题型一、三角形相关概念 变式1.如图所示. 5 （2）线段是 ______， ______， ______的边. （3）是 ______， ______， ______的角. 题型剖析 解：2+3＞4，B项符合题意 题型二、判断三边能否构成三角形 例2.下列长度（单位： ）的3根小木棒能搭成三角形的是( ) B A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，5，8 D. 4，5，10 题型剖析 解决方法和注意事项 解题方法 找出三条边中的最长边。 验证：较短两边之和 ＞ 最长边，满足即可构成三角形。 不用验证三组关系，只验证这一组最简便。 注意事项 较短两边之和等于或小于最长边，不能构成三角形。 涉及等腰三角形边长，必须先验证三边关系。 线段长度必须为正数，零或负数不能作为边长。 题型二、判断三边能否构成三角形 题型剖析 解：若分开a，则两边之和为8，小于第三边10，所以只能分开b 题型二、判断三边能否构成三角形 变式2.使用， 两根直的铁丝做成一个三角形框架，尺寸如图所示. 若需要将其中一根铁丝折成两段，则可以分为两段的铁丝是( ) B A. 只有 B. 只有 C. ，都可以 D. ， 都不可以 题型剖析 解：两边长为2、6，则4＜第三边长＜8，第三边长为偶数，所以为6 题型三、已知两边求第三边取值范围 例3.一个三角形的两边长分别是2和6，第三边长为偶数，则第三边长为___. 6 题型剖析 解决方法和注意事项 解题方法 公式：两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和。 若要求第三边为偶数 / 奇数 / 整数，在范围内筛选符合条件的值。 边长必须大于 0，最终范围要结合正数要求。 注意事项 取值范围不取等号，取等号时三点共线，构不成三角形。 题目限定第三边为偶数 / 奇数时，不要漏选、错选。 等腰三角形求边长，分类后必须代入范围验证是否成立。 题型三、已知两边求第三边取值范围 题型剖析 解：两边长分别为5cm、7cm，2＜第三边长＜12，选择B项 题型三、已知两边求第三边取值范围 变式3.在下列长度的四根木棒中，能与 ， 长的两根木棒钉成 一个三角形的是( ) B A. B. C. D. 题型剖析 解：三角形按边分为不等边三角形和等腰三角形， 等边三角形是等腰三角形的一种特殊情况，故选B项 题型四、三角形分类 例4.用表示等边三角形,表示等腰三角形, 表示三边都不相等的三角 形,则下列四个分类图中,能正确表示它们之间的关系的是( ) B A. B. C. D. 题型剖析 解决方法和注意事项 解题方法 不等边三角形：三边都不相等。 等腰三角形：有两条边相等。 等边三角形：三边都相等（属于特殊等腰三角形）。 锐角三角形：三个角都是锐角（都＜90°）。 直角三角形：有一个角是直角（=90°）。 钝角三角形：有一个角是钝角（＞90°）。 注意事项 等边三角形包含在等腰三角形内，不是独立类别。 按边分类只看边长，不看角度大小。 等腰三角形包含：腰、底边、顶角、底角四个要素。 任意三角形最多 1 个直角、最多 1 个钝角，至少有 2 个锐角。 按角分类只看角度，不看边长是否相等。 直角三角形记作Rt△，是最常用特殊三角形。 题型四、三角形分类 题型剖析 解：根据题意得，，， 所以三角形是等边三角形，也是等腰三角形 题型四、三角形分类 变式4.已知的三边长为，， ，且满足 ，则此三角形一定是( ) A A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 一般三角形 题型剖析 解： 题型五、三角形内角和定理 例5. 图1是一种创意花瓶摆件，图2是从其正面看的 示意图.在 中，已知 ， 则 ( ) D A. B. C. D. 题型剖析 解决方法和注意事项 核心公式：三角形内角和 = 180°。 直角三角形：两锐角互余（和为 90°），可快速口算。 复杂角度用方程思想，设未知数，依内角和列方程求解。 注意事项 角度必须满足：0° ＜ 角度 ＜ 180°，超出范围舍去。 计算时先观察是否为直角三角形，能用互余就不用 180°。 书写步骤要规范，注明 “依据三角形内角和等于 180°”。 题型五、三角形内角和定理 题型剖析 解：设 解得 题型五、三角形内角和定理 变式5.在中，若，则 ( ) B A. B. C. D. 题型剖析 题型六、三角形外角性质 例6.如图，已知是的边延长线上一点， 交 于点， ， . （1）求 的度数. 解：是的一个外角， ， ， . （2）若 ，求 的度数. 解：是的一个外角， ， ， . 题型剖析 解决方法和注意事项 解题方法 性质 1：外角 = 与它不相邻的两个内角之和（最常用）。 性质 2：外角 ＞ 任意一个与它不相邻的内角。 外角与相邻内角互补（和为 180°）。 注意事项 外角只能加不相邻内角，绝对不能加相邻内角。 求角度优先用外角，比内角和更简便、步骤更少。 一个顶点处有两个相等的外角，计算时可任选其一。 题型六、三角形外角性质 题型剖析 解：由题意可得 易得 题型六、三角形外角性质 变式6.如图， ， ，则 ______. 题型剖析 解：易得 题型七、角度模型计算 例7. 某加工零件标出部分数据（如图），小明说：“这四个 数据中有一个标错了.”请你完善以下修改方案：若， ，所标数据正确，则图中 所标数据应为_____. 题型剖析 解决方法和注意事项 解题方法 A 字型：利用外角 = 两不相邻内角和。 8 字型：对顶角相等，角的和相等。 飞镖型：顶角 = 三个小角的和。 先识别模型，再套结论，最后代入计算。 注意事项 模型结论必须由定理推导而来，不能只凭看图猜测。 复杂图形先拆分，找到基本模型再计算。 五角星等图形可转化为三角形内角和求解。 题型七、角度模型计算 题型剖析 解：由题意可得 题型七、角度模型计算 变式7.如图，点，分别在线段， 上，连接，.若 ， ，则 的大小为_____. 题型剖析 解：易得 题型九、识别三角形角平分线 例9.如图所示,是的角平分线,是 的角平分线.若 ,则 的度数是_____. 题型剖析 解决方法和注意事项 解题方法 定义：平分三角形的一个内角，顶点到对边交点的线段。 符号：出现相等角标记，即为角平分线。 注意事项 三角形角平分线是线段，不是射线、不是直线。 只平分内角，不一定平分对边（等腰三角形除外）。 三条角平分线交于三角形内部一点。 题型九、识别三角形角平分线 题型剖析 解： 题型九、识别三角形角平分线 变式9.如图，在中， ， ，是边 上的高，是的平分线，则 的度数是______. 题型剖析 解：是的中线 是中点 题型十、识别三角形的中线及面积计算 例10.如图，已知是的中线，若，则___ . 8 题型剖析 解决方法和注意事项 解题方法 定义：连接顶点与对边中点的线段。 核心性质：中线把原三角形分成面积相等的两个小三角形。 面积比 = 底之比（高相同时）。 注意事项 中线平分边长，不平分内角（等腰除外）。 所有三角形的中线都在图形内部。 多条中线分割时，按 “整体→部分” 逐层推算面积。 题型十、识别三角形的中线及面积计算 题型剖析 解： D是AC中点 题型十、识别三角形的中线及面积计算 变式10.如图，在中，是边上一点，，是 的 中点，连接，交于点.已知，则 ___. 1 题型剖析 解：由图可知，A项符合题意 题型十一、识别三角形的高 例11.如图，借助直角三角板作 的边 上的高，下列直角三角板 的位置摆放正确的是( ) A A. B. C. D. 题型剖析 解决方法和注意事项 解题方法 定义：从顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段。 位置判断： 锐角三角形：三条高都在内部。 直角三角形：两条高与直角边重合。 钝角三角形：两条高在外部。 注意事项 高是垂线段，画图必须标垂直符号⊥。 钝角三角形的高在外部，千万不要画在内部。 高是线段，不是垂线所在的直线。 题型十一、识别三角形的高 题型剖析 解：是的中线 的高 题型十一、识别三角形的高 变式11.如图，是的中线，是 的 高，，，，那么 的 边 上的高为( ) A A. B. C. D. 2 题型剖析 题型十二、角平分线、高、中线的夹角模型 例12.如图，在中，，平分 . （1）若 ， ，则 ________. （2）若，探究与， 之间有何等量关系，并说明 理由. 解：.理由如下： ， . . ， . 是 的角平分线， . . 题型剖析 解决方法和注意事项 解题方法 角平分线夹角：两内角平分线夹角 = 90°+顶角。 一内一外角平分线夹角 = 顶角。 两条高的夹角与顶角相等或互补。 注意事项 先判断模型类型，再套公式，不混淆模型。 所有模型结论都可由内角和、外角性质推导。 答题时先写依据，再写计算过程。 题型十二、角平分线、高、中线的夹角模型 题型剖析 题型十二、角平分线、高、中线的夹角模型 变式12.如图，在中,和的平分线，相交于点 ， 试说明： . 解：，分别是， 的平分线， . , . 题型剖析 解：根据外角的定义不是的外角 1.如图,不是 的外角的是( ) D A. B. C. D. 针对训练 解：三角形有一个钝角，所以是钝角三角形 2.如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是 ( ) C A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 针对训练 解：根据高的定义，BC边上的高为AF 3.如图，的边 上的高是( ) A A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 针对训练 解：钝角三角形的三条高在三角形外部 三角形外角角平分线在三角形外部 故选项 4.下列条件中，交点一定在三角形内部的有( ) B ①三角形的三条高；②三角形的三条中线；③三角形的三条角平分线； ④三角形的外角平分线. A. ①②③④ B. ②③ C. ①④ D. ①②③ 针对训练 解：三角形有△AFE，△EFD，△DFB，△AFD，△EFB △AEB，△ABD，△AFB. 5.如图，图中三角形的个数为( ) C A. 4 B. 7 C. 8 D. 9 针对训练 解：根据题意得 解得 6.在如图所示的图形中， 的值是( ) C A. 70 B. 50 C. 60 D. 80 针对训练 解：若， 可得 7.下列条件能说明 是直角三角形的是( ) D A. B. C. D. ， 针对训练 解：△ADC周长比△ABD周长多5cm AC比AB多5cm AB与AC和为11cm 可得AC=8cm AB=3cm 8.如图，在中，是边 上的中线， 的周长比的周长多，与 的 和为，则 的长为( ) C A. B. C. D. 针对训练 解：7＜任意两颗螺丝距离＜11 所以最大值为10 9.如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框， 不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3，4， 6，8，且相邻两根木条的夹角均可以调整.若调整木条 的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最 大值是( ) B A. 7 B. 10 C. 11 D. 14 针对训练 解：这个外角不相邻两个内角的和为60° 可得两个角分别为35°，25° 另一个内角为120° 选择A项 10.已知三角形的一个外角等于 ，且三角形中与这个外角不相邻的 两个内角中，其中一个比另一个大 ，则这个三角形的三个内角分 别是( ) A A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ， 针对训练 解：原来∠CDB=60°，∠DCE=∠CBD+∠BDC 此时∠CBD=80° ∠DCE=∠CBD+∠BDC ∴∠DCE扩大了30° 11.如图，起重机在工作时，起吊物体前机械 臂与操作台 的夹角 ， 支撑臂 为 的平分线.物体被吊起后，机 械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度 并缩短，此时，增大了 ， 则 的变化情况为 ( ) A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 C 针对训练 12.如图所示，在 中，的平分线交 于点， 是边上的高.若 ， ，求与 的度数. 解： ， ， . 是 的平分线， . . 是边上的高， . . 针对训练 13.如图所示，已知是 内一点.试说明： . 解：在中, . 同理， . 以上三式左右两边分别相加，得 ， 即 . 针对训练 14.如图，的边 上的高为，边上的高为， 中线为 ，已知，， . （1）求 的面积. 解： . （2）求 的长. 解：,, . （3）试说明：和 的面积相等. 解：的中线为， . ,， . 针对训练 15.已知的三边长均为整数， 的周长为奇数. （1）若，，求 的长. 解： 由三角形的三边关系知， ，即 ， . 又的周长为奇数，而， 为偶数， 为奇数，故 或9. （2）若，求 的最小值. 解： ， ， 中有一个奇数、一个偶数. 又的周长为奇数， 为偶数. ， 的最小值为6. 针对训练 16.如图1，已知线段，相交于点 ，连 接， ，我们把形如这样的图形称为“8字型”. （1）试说明： . 解：在图1中，有 ， ， ， . （2）如图2，若和的平分线和相交于点 ，且与，分别相交于 点， . ①以线段为边的“8字型”有___个，以点 为交点的“8字型”有___个. 3 4 针对训练 ②若 ， ，求 的度数. [答案] 以 为交点“8字型”中，有 ， 以 为交点“8字型”中，有 ， . ，分别平分和 ， ， . . ， ， . ③若角平分线中角的关系改为“， ”， 试探究与， 之间存在的数量关系,请直接写出结果. [答案] . 针对训练 ✅ 知识构建：因式分解 三角形概念 → 三角形内外角 → 三角形特殊线段 ✅ 思想方法： 分类讨论思想、数形结合、转化思想 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $