专题5.2 简单的轴对称图形重难点题型专训（3个知识点+9大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

本初中数学讲义聚焦简单的轴对称图形核心知识点，系统梳理等腰三角形（含等边三角形）的轴对称性、三线合一及等边对等角性质，衔接线段垂直平分线的定义、性质与尺规作图，延伸角平分线的性质、作法及应用，构建从基础性质到综合应用的学习支架。 资料以9大题型分层设计，从基础的等边对等角、三线合一到综合的最短路径及轴对称综合题，搭配拓展训练（如生活中最短路径问题）与自我检测，培养学生几何直观与空间观念（数学眼光），通过推理证明与实际应用提升推理意识和应用意识（数学思维与语言）。课中助力教师系统授课，课后便于学生查漏补缺，强化知识掌握。

专题5.2 简单的轴对称图形重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 等边对等角 题型二 三线合一 题型三 线段垂直平分线的性质 题型四 作已知线段的垂直平分线 题型五 角平分线的性质定理 题型六 作角平分线（尺规作图） 题型七 最短路径问题 题型八 线段问题（轴对称综合题） 题型九 面积和角度问题（轴对称综合题） 拓展训练一 解决生活中最短路径问题 知识点一：等腰三角形和等边三角形的性质 1.等腰三角形的性质 （1）等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴（底边的垂直平分线）. （2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线是等腰三角形的对称轴（1 组“三线合一”）. （3）等腰三角形的两个底角相等. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴（每条边上的高/中线所在的直线）. （2）等边三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线是等边三角形的对称轴（3 组“三线合一”）. （3）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°。 【即时训练】 1．（25-26七年级下·四川德阳·月考）如图，，点E在线段上，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由全等三角形的对应角相等得出，，再结合等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）浏水月夜民宿用等腰形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均匀，需使，并用连接和加固支架．已知是边的中点，且，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 已知等腰中，是边的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，平分顶角，因此只需将的度数除以即可得到的度数． 【详解】解：∵在等腰中，，是边的中点， ∴平分（等腰三角形三线合一）， ∵， ∴， 故答案为：． 知识点二：线段垂直平分线的定义及其性质 1. 线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴 2.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 3. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 4. 尺规作线段的垂直平分线： （1）以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点； （2）作为直线 ，为所求直线． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于D，连接，交的垂直平分线于点F，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F， ∴，， ∴的周长是， 故选：C.． 2．（23-24七年级下·广西梧州·期末）如图，在中，，是的垂直平分线，，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质得到，根据三角形内角和定理得到，进而求出，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 知识点三：角的平分线的的性质及其作法 1. 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴 2.定义：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 3. 拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 4. 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求．如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·安徽六安·期末）如图，是的平分线，点D是上一点，点F为直线上的一个动点．若的面积为18，，则线段的长不可能是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质与三角形的面积计算公式，作出辅助线是正确解答本题的关键．过点D作，垂足分别为M，P，利用角平分线的性质可得，进而根据三角形的面积得出的长，结合“垂线段最短”即可获得答案． 【详解】解：过点D作，垂足分别为M，P， ∵是的平分线， ∴， ∵的面积为18，， ∴， ∴， 选项中只有2不在这一范围内， 故选：D 2．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）点在的平分线上，点到边的距离为6，点是边上的任意一点，请写出一个符合条件的线段的长是_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了角平分线的性质．点在角平分线上，故到两边和的距离相等，均为．点在上，当为垂足时最小为，因此可写出． 【详解】解：因为点在的平分线上，所以点到角的两边和的距离相等． 已知点到边的距离为，所以点到边的距离也为．点是边上的任意一点，当点为点到边的垂足时，线段的长度最小，为． 因此，符合条件的线段的长可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 【经典例题一 等边对等角】 【例1】（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）如图，直线，点分别在直线和上，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等及平行线内错角相等的性质是解题的关键．先根据等腰三角形性质求出，再利用平行线性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【例2】（25-26七年级下·山东聊城·期末）如图，为等腰三角形，，点是延长线上的一点，，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等． 先根据平角的性质，求出，再根据等边对等角求出，最后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵的内角和为， ∴． 故答案为：． 1．（2026·七年级下 安徽蚌埠）如图，直线，直线分别交，于点，，点在射线上，且，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据两直线平行，内错角相等可得的度数，再根据等边对等角可得的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求得的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ． 2．（2023·七年级下 河北邯郸）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理．先利用等腰三角形等边对等角的性质得出，再根据作图步骤得出直线是线段的垂直平分线，再利用垂直平分线的性质得到，进而求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 根据作图痕迹，可知是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）已知一个等腰三角形的顶角是底角的倍，则它的顶角的度数为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形两底角相等的性质以及三角形内角和为是解题的关键． 利用等腰三角形两底角相等的性质，设底角为度，则顶角为度，根据三角形内角和定理列方程求解． 【详解】解：设底角为度，则顶角为度． 根据三角形内角和定理，得，即， 解得． 所以顶角为度． 故答案为：． 4．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，，，，证明． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查等式的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，证明是解题的关键． 由，推导出，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，再根据全等三角形的判定定理“”证明，得，即可根据“等边对等角”证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【经典例题二 三线合一】 【例1】（25-26七年级下·云南昆明·期末）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，若测得米，则的长是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的“三线合一”性质，线段的和差计算，掌握等腰三角形的“三线合一”性质是解题关键． 根据等腰三角形“三线合一”的性质，由且得，再根据求出的长度． 【详解】解：，， ， 米， 米． 故选：． 【例2】（25-26七年级下·上海浦东新·期中）已知：在中，，平分，若，则________，与的位置关系是________． 【答案】 4 垂直 【分析】本题主要考查等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边高线三线互相重合性质、熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：在中，∵，平分， ∴是底边的中线和高， 即，且． ∵， ∴． 故答案为：4；垂直． 1．（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图，在中，，，，边的垂直平分线为l，点D是边的中点，点P是l上的动点，则最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】连接，，根据线段垂直平分线的性质可得，则，当、、三点共线且时，的值最小，根据即可求出的最小值． 【详解】如图，连接，， 垂直平分边，点是上的一点， ， ， 中，，点是边的中点， ，此时的值最小， ，， ． 的最小值为的长为，即最小值为． 【点睛】充分利用等腰三角形三线合一的性质和垂线段最短是解题的关键． 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）下列说法中，正确的有（   ）个． ①两个全等的三角形一定关于某直线对称； ②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分； ③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ④等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质．利用轴对称的性质、等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①两个全等的三角形不一定关于某直线对称，原说法错误； ②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分，原说法正确； ③等腰三角形底边的高和中线、顶角的角平分线互相重合，原说法错误； ④等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，原说法正确； 正确的有2个， 故选：B． 3．（23-24七年级下·福建南平·期末）在中，，为边上的中线，为边上的高，，相交于点．若，，则的面积是___________．    【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的性质和判定．证明，得，根据三角形面积公式可解答． 【详解】解：为边上的高， ， ， ，为边上的中线， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的面积． 故答案为：． 4．（23-24七年级下·江苏南通·期末）如图，已知：，点D在边上，且． (1)求证：； (2)如果O为中点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据角的和差运算得到，结合已知条件即可利用证得结论； （2）根据全等三角形对应边和对应角相等，可知为等腰三角形，然后根据等边对等角、三线合一以及三角形内角和定理，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵O点为中点， ∴． 【经典例题三 线段垂直平分线的性质】 【例1】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，中，的垂直平分线交于点，交于点，若，，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等的性质是解题关键．根据线段垂直平分线的性质得出，根据即可得答案． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∵，， ∴的周长是． 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·江苏·期中）如图，垂直平分线段，若，，则四边形的周长为______． 【答案】14 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，然后根据周长的定义计算即可． 【详解】解：∵垂直平分线段， ∴，． ∴四边形的周长． 故答案为：14． 1．（25-26七年级下·北京海淀·期末）过直线外一点C，用尺规作的垂线，如图所示，其中点F是分别以点D和点E为圆心，为半径的两弧的交点．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图—线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定等；理解作法是解题的关键．由作图得，，，由等边三角形的判定得，由等腰三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：由作图得，，， 是等边三角形， ，， ， ， ． 故选：D． 2．（25-26七年级下·山东潍坊·期中）如图，在中，，分别垂直平分，垂足分别为E、G，且，则下列结论不正确的是（） A． B． C．的周长为40 D．的周长为20 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内角和，垂直平分线的性质，等边对等角，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的内角和，得到，求出，，推导出，得到，则，， 从已知条件无法求出的周长，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得，故A正确； ∴， ∵分别垂直平分，垂足分别为E、G， ∴，， ∴， ∴，故B正确； ∴，故D正确， 从已知条件无法求出的周长，故C错误． 故选C． 3．（25-26七年级下·陕西西安·阶段测试）如图，在中，，D为上一点，连接，过点D作于点E．若E为的中点，，的周长为14，则的长为______． 【答案】 【分析】根据为线段的垂直平分线，得到，再通过等量代换可得，然后根据勾股定理和中点的知识即可求解． 【详解】解：∵于点E，E为的中点， ∴为线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， 即， ∴， ∵E为的中点， ∴． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交的延长线于点． (1)如图①，若，求的度数． (2)若，如图②，其余条件不变，求的度数． (3)你发现了什么样的规律？请证明你发现的规律． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）由得等腰三角形，计算的度数，再由 MN 垂直 AB，在中求的度数； （2）与（1）步骤相同，代入计算； （3）设 为，用代数推导与的关系，证明规律． 【详解】（1）解：，， ． 垂直平分， ． （2）解：由（1）可知，． 垂直平分， ． （3）解：规律是． 证明：设，则有， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【经典例题四 作已知线段的垂直平分线】 【例1】（23-24七年级下·山西晋中·期中）某市为了进一步完善城市功能，提升城市形象，加强体育事业的发展，准备修建一个大型体育中心，要求该体育中心所在位置与该市的三个城镇中心（图中以P，Q，R表示）的距离相等，则体育中心的位置应选在（    ） A．三边的垂直平分线的交点处 B．的三条角平分线的交点处 C．的三条高线的交点处 D．的三条中线的交点处 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的应用，根据线段垂直平分线的性质即可求解，熟练掌握线段垂直平分线到两端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：三角形三边的垂直平分线到三个顶点的距离相等， 体育中心的位置应选在三边的垂直平分线的交点处， 故选A． 【例2】（25-26七年级下·广东湛江·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，点，过这两个点作直线，交于点，连接．若，，则的长为_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、尺规作图等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 首先求出，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴． 故答案为：4． 1．（23-24七年级下·河南南阳·期末）定义：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点叫做三角形的外心．如图，直线 ，，分别是边AB，AC的垂直平分线，直线和相交于点O，点O是△ABC的外心，交BC于点M，交BC于点N，分别连结AM，AN，OA，OB，OC．若OA=6cm，△OBC的周长为22cm，则△AMN的周长等于（　　）cm A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】由线段AB的垂直平分线的性质得到：AM=MB，OA=OB．同理AN=CN，OA=OC．所以OB=OC=OA=6cm，所以将△AMN的周长转化为求得线段BC的长度的问题，根据△OBC的周长的计算方法求得BC的长度即可． 【详解】解：∵直线l1是AB的垂直平分线， ∴AM=MB，OA=OB． ∵直线l2是AC的垂直平分线， ∴AN=CN，OA=OC． ∴OB=OC=OA=6cm，△AMN的周长=AM+MN+AN=BC， ∵△OBC的周长为22cm， ∴BC=22-（OB+OC）=22-12=10（cm）， ∴△AMN的周长为10cm． 故选：B 【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意掌握数形结合和分类讨论数学思想的应用． 2．（24-25七年级下·辽宁盘锦·阶段测试）如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图——复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质和尺规作图，点P到点A，点B的距离相等，可知点P在线段的垂直平分线上，据此可得答案． 【详解】解：点P到点A，点B的距离相等， 点P在线段的垂直平分线上， 故选：A． 3．（25-26七年级下·湖北武汉·阶段测试）如图，点A，D分别在，的垂直平分线上，A，E，D三点在同一条直线上，如果，，那么四边形的周长为 ____ ． 【答案】17 【分析】根据“垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”得出，，即可求解． 【详解】解：点A，D分别在，的垂直平分线上， ，， ， ， ． 4．（25-26七年级下·江西九江·阶段检测）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作的垂直平分线； (2)在图2中作的外心O． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】（1）取格点E，F，由网格的特征可知，四边形是正方形，由正方形的性质可知，则的垂直平分线即为所求； （2）根据外心的定义，分别作三条边的垂直平分线，三条垂直平分线交于点O，则点O为的外心． 【详解】（1）解：如图所示，的垂直平分线即为所求： （2）解：如图所示，的外心O即为所求： 【经典例题五 角平分线的性质定理】 【例1】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，中，D是上一点，，则上一点D到的距离为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据题意易求，由角平分线的性质定理可知D点到的距离等于D点到的距离的长度，则答案可解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴是的角平分线， ∴D点到和的距离相等， ∵表示D点到的距离，， ∴D到的距离为4． 【例2】（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是_____． 【答案】27 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题关键是将三角形分成三个等高的三角形，利用周长来求面积．先利用角平分线的性质得到O点到各边的距离相等，再将三角形分成3个三角形，将它们的面积相加即可． 【详解】解：过点O作于点E，过点O作于点F，连接，如图所示： ∵点O为与的平分线的交点，且， ∴， ∵，的周长是， ∴ ； 故答案为：． 1．（25-26七年级下·吉林长春·阶段测试）如图，在中，，根据作图痕迹，以下结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由尺规作图的痕迹可得平分，，然后根据全等三角形的性质和角平分线的性质逐项证明判断即可． 【详解】解：根据基本作图，得平分，， ∴， ∵， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵ ∴ ∴，故B选项正确，不符合题意； 无法证明， 故C选项错误，符合题意； 根据题意，得，故D选项正确，不符合题意． 2．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）正方形网格中，位置如图，点O、A、B三点都是格点，则格点C、D、E、F中到两边距离相等的点是（    ） A．C点 B．D点 C．E点 D．F点 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，将“到两边距离相等的点”转化为“在的平分线上的点”，通过图象即可找出符合条件的点． 【详解】解：由题意，可知该点在的平分线上， 通过图象可知，点E在的平分线上， 故选： C． 3．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____ 【答案】4 【分析】过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到 ，由垂线段最短得到，即可得到的最小值． 【详解】解:过作于， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 4．（25-26七年级下·河北衡水·期末）如图，在中，，为边上的一点，为的中点，为的中点，过点作交于点，过点作交于点． (1)求的度数． (2)如图，连接，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由线段垂直平分线的性质可得，即得，同理可得，即得到，再根据平角的定义即可求解； （）由平行线的性质得，即得，再根据角平分线的性质即可求证； 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解： 为的中点，， ∴垂直平分， ， ， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ； （2）证明：∵， ， ， ， ∴平分， ， ， ． 【经典例题六 作角平分线（尺规作图）】 【例1】（25-26七年级下·河南驻马店·期中）如图，利用尺规作的角平分线的作法，用到的三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接，，由作图得，，，然后利用证明即可． 【详解】解：如图，连接，， 由作图得，，，， ∴， ∴，即平分． ∴用到的三角形全等的判定方法是． 【例2】（23-24七年级下·浙江宁波·阶段测试）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，小于的长为半径作圆弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点； ③作射线，交边于点．若，则的大小为____________． 【答案】 【分析】根据作图可得平分，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【详解】解：由作图得平分， ∵， ∴， ∵， ∴． 1．（25-26七年级下·河北邢台·期末）计划在滹沱河某个绿化区增设条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭，使其到小路的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ）． A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，熟悉角平分线的性质：到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，角平分线的尺规作图方法，是解题的关键． 将“凉亭到小路的距离相等”转化为“点在与相交所成角的平分线上”，判断点为的角平分线与的交点的作图即可． 【详解】解：甲方案：在的垂直平分线上， 到的距离相等，不一定到和的距离相等， 乙方案：平分， 由角平分线的性质定理可得：到小路的距离相等， ∴甲、乙两个方案，只有乙对． 故选：． 2．（25-26七年级下·北京·月考）如图，中，，．甲、乙两人想在外部取一点，使得与全等，其作法如下： 甲：①作的角平分线． ②以为圆心，长为半径画弧，交于点，则即为所求． 乙：①过作平行的直线． ②过作平行的直线，交于点，则即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（   ） A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】D 【分析】根据题意，画出图形，逐一进行判断即可． 【详解】解：甲：如解图①， ∵， ∴， ∴，由甲的作法可知，， 故和不可能全等， 故甲的作法错误； 乙：如解图②， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴乙的作法是正确的． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）已知，以为圆心，以任意长为半径作弧，交，于点，，分别以，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧在内交于点，以为边作，则的度数为______． 【答案】或 【分析】根据作图步骤可得为的角平分线，作时分两种情况，分别计算的度数即可． 【详解】解：由作图步骤可知，是的角平分线， ∵， ∴， 如图，当在内部时， ， 如图，当在内部时， ， ∴的度数为或． 4．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，点在直线上，是的平分线． (1)仅利用无刻度的直尺与圆规，作出的平分线，记为．（不写作法，但要保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，试说明：． 【答案】(1)作图见解析 (2)理由见解析 【分析】（1）利用基本作图作出的平分线即可； （2）根据角平分线的定义得，，再根据平角的定义求出，可得结论． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：∵是的平分线，平分， ∴，， ∴， ∴． 【经典例题七 最短路径问题】 【例1】（2026七年级下·全国·专题练习）某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径的数学问题，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键． 用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线转化为两点之间的距离． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于，根据两点之间线段最短，可知选项B中的核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短， 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·河北唐山·期中）如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为，、间的路程为、现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在___________． 【答案】点处 【分析】本题主要考查了两点之间的距离， 设P，C间的路程为，再分类讨论，当点P在点C左侧时，当点P在点C右侧时，根据两点之间的距离解答即可. 【详解】解：设P，C间的路程为，当点P在点C左侧时， 车站到三个村庄的路程为； 当点P在点C右侧时， 车站到三个村庄的路程为； 当点P与点C重合时，车站到三个村庄的距离是， 所以当车站建在村庄C处时，车站到三个村庄的距离之和最小. 故答案为：点C处. 1．（2026·七年级下 广东佛山）如图，在村庄附近有一个生态保护区，现要在公路边修建一个垃圾站，使它到，两村庄的路程之和最短，且从村庄到公路不能穿过生态保护区，则下列四种修建方案中，符合条件的是（     ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，从村庄到公路不能穿过生态保护区，结合图形可知到的最短路径需经过生态保护区的右下角顶点，将问题转化为求两点之间线段最短的问题求解即可 ． 【详解】解：设生态保护区右下角的顶点为， 从村庄到公路不能穿过生态保护区， 到的最短路径需经过点，即路径为， 总路程为， 为定值， 要使总路程最短，只需最短， 点在直线上方，点在直线下方， 根据“两点之间，线段最短”，连接交直线于点，此时最小， 即三点共线 观察图形，选项A符合共线且与相连的特征． 2．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了线段之和最小值问题，将转化为求的最小值，当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为，由此即可得出答案，解题的关键是学会灵活运用两点之间线段最短解决最小值问题． 【详解】解：， ， 当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·福建厦门·期末）如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干道上，车间，与办公大楼的距离皆为，且，．在主干道上选址仓库，从仓库到车间，修建厂区支路，，使得支路总长最短，测得仓库与办公大楼距离为．已修建的支路长为，还需修建的支路的长度用代数式可以表示为__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质与最短路径问题，解题关键是利用轴对称将线段和转化为两点之间线段，结合等边三角形判定求总长，再作差得长度． 作点关于的对称点，连接，则（最短路径），由角度计算得，结合，判定为等边三角形，得．由，得． 【详解】解：作点C关于直线的对称点连接，交于点D， 此时，，根据两点之间线段最短，即为所求的仓库位置． 由对称性，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵，且， ∴， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图A，B两城镇在河流的异侧，架一座桥连通两岸，选择一个架桥点使从A到B距离最短，架桥点选在何处，请在图中画出． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查最短路径问题，熟练掌握两点之间直线最短进行解答即可．过点作垂直于河岸，且使的长等于河宽，连接与河岸相交于点E，过点E作垂直河岸于点F，则为所建桥的位置． 【详解】解：如图所示，即为所作． 【经典例题八 线段问题（轴对称综合题）】 【例1】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末），两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形最短线段问题，根据轴对称的性质作图即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，可得， 则， 由两点之间线段最短，此时的值最小，即所用水管总长度最短， 故选：． 【例2】（23-24七年级下·北京·期中）如图，A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使AM+BM最小．小明的做法是：作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点M，点M即为所求． 请你写出小明这样作图的依据：___________． 【答案】两点之间线段最短． 【分析】根据轴对称变换点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点M，根据对称性质得出AM=A′M，进而得出AM+BM=A′M+BM=A′B，在直线l的取M′，连接A′M′，BM′，利用两点之间线段最短得出A′M′+ BM′≥A′B即可． 【详解】解：作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点M， ∴AM=A′M， ∴AM+BM=A′M+BM=A′B， 在直线l的取M′，连接A′M′，BM′， 则AM′=A′M′， ∴A′M′+ BM′≥A′B， 小明这样作图的依据：两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 【点睛】本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 1．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，将线段沿着射线折叠得到，延长到E，连接，点F是射线上的一个动点，连接，，若，，的周长的最小值为22，则长为（    ） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称的性质，线段沿着射线折叠得到，可得，求解，当共线时，，此时周长最短；再进一步解答即可； 【详解】解：如图， ∵线段沿着射线折叠得到， ∴， ∵， ∴， 当共线时， ，此时周长最短； ∴， ∴； 故选C 2．（23-24七年级下·山西太原·期中）如图，直线l，m相交于点O，点P为这两直线外一点，且，若点P关于直线l，m的对称点分别是点交直线l与点A，交直线m与点B，则A，B之间的距离可能是（   ）    A．3 B．2.7 C．1.8 D．0 【答案】C 【详解】如图：连接，根据轴对称的性质和三角形三边关系及轴对称的性质可得结论． 【分析】解：如图，连接，    ∵是P关于直线l的对称点， ∴直线l是的垂直平分线，点A为的中点， ∴， ∵是P关于直线m的对称点， ∴直线m是的垂直平分线，点B为的中点， ∴，为的中位线，即， ∴，只有选项C符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了轴对称变换、三角形三边关系等知识点，熟练掌握轴对称变换的性质是解答本题的关键． 3．（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，中，分别是边上的动点，则的和的最小值是________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题． 如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ，，，， ， ，，， ， 、、共线， ， ， 当、、、共线时，且时，的值最小， 最小值为， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 4．（25-26七年级下·江西上饶·期末）如图，在的正方形网格中，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题． (1)在图1中，画出线段的中点； (2)如图2，在直线上找一点，连接和，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格作图、线段中点的性质及轴对称求最短路径（两点之间线段最短），解题关键是利用网格的对称性和格点特征构造辅助线． 小问1：选择格点C、D，通过证明，再利用全等三角形的性质即可得到的中点． 小问2：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求点． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求． （2）如图2，点即为所求． 【经典例题九 面积和角度问题（轴对称综合题）】 【例1】（2025·七年级下 河北石家庄）如图，在菱形中，，P为AD边上一点，连接，作关于对称的，点F与点E关于对称．设，若点F在内（不包括边界），则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，轴对称的性质. 分别求出两极值点即可. 【详解】由题意可知 当点F在上时，点E，F重合， 此时 即； 当点F在上时， ∴ ∵， ∴， 解得． 所以x的取值范围是． 故选B． 【例2】（25-26七年级下·江苏徐州·月考）如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是中线上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称的性质，根据轴对称的性质得出 和 关于直线 对称，面积相等，从而将阴影部分的面积转化为 的面积是解决本题的关键． 【详解】解： 和 关于 所在的直线成轴对称， 是 的对称轴， ， 点 在对称轴 上， 和 关于直线 对称， ， 由图可知，阴影部分的面积 ， ， ， ． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·湖北恩施·期末）如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查轴对称，根据题意得出点的变化规律是解题关键． 根据题意画出图形进而得出每对称6次回到点P，进而得出符合题意的答案． 【详解】解：作图可得： ， 设两直线交点为O，根据对称性可得：作出的一系列点，，，…，都在以O为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴每相邻两点间的角度是； 故若与P重合，则n的最小值是6． 故选：B． 2．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，，为边上一动点，于点，于点，则关于与之间的大小关系的描述，正确的为（    ） A．恒成立 B．当时， C．恒成立 D．当时， 【答案】B 【分析】此题考查了对称的性质，找点关于的对称点，连接，延长交于点，则有，，解题的关键是熟练掌握对称的性质及其应用． 【详解】如图，找点关于的对称点，连接，延长交于点， ∴，， 当在在内部时，即， ∴， 故选：． 3．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知，点P在内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，分别交，于点E，F，连接，．若，，则的面积为________．(用含a，b的代数式表示) 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图象的性质，全等三角形的性质，解题的关键是证明出为直角三角形，利用轴对称的性质得到三角形全等，证明出为等腰直角三角形，进一步证明出为直角三角形即可求解． 【详解】解：连接， 根据轴对称的性质可知：， ，，， ， ， ， ， ， 为直角三角形， ， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·上海·期末）如图，在中，，，点A关于的对称点为，点B关于的对称点为，点C关于的对称点为． (1)在图中画出； (2)若的面积为，则的面积是______． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查作图轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作点A关于的对称点为，即过点A向引垂线并倍长得到对称点，其他点同理作图即可． （2）设交于点，延长交于点，根据轴对称的性质可得，，，，则与关于点成中心对称，可得，，，，进而可得．根据三角形的面积公式可得，则可得的面积． 【详解】（1）解：如图，作点A关于的对称点为，即过点A向引垂线并倍长得到对称点，其他同理， 即为所求． （2）设交于点，延长交于点， 点关于的对称点为， ，． 点关于的对称点为， ， 点关于的对称点为， ， 与关于点成中心对称， ，， ，， ． 的面积为， ， 的面积是． 故答案为：． 【拓展训练一 解决生活中最短路径问题】 【例1】（24-25七年级下·河南信阳·期末）的边上有两点，在的平分线上找一点，使最小，正确的作法是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称-对短路径问题，根据轴对称的性质找出N关于的对称点，从而确定P的位置． 【详解】解：作N关于的对称点， 由于是的角平分线， 则对称点在上， 连接M与对称点交于点P， 则此时最小 故选：D 【例2】（23-24七年级下·广东清远·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的轴对称性、最短路径问题，先过C作于H，根据角平分线的轴对称性，可作N关于对称点，连接，则，由得当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值，利用三角形的面积公式求得，进而可求解． 【详解】解：∵平分，如图，过C作于H，作N关于对称点， ∴在上， 连接，则，当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值， ∵在锐角三角形中，，的面积为7， ∴， ∴ ， 即的最小值为， 故答案为：． 1．（23-24·七年级下 江苏）如图，中，分别是边上的动点，则的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 【答案】C 【分析】如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小， 最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题． 2．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）    A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 【答案】B 【分析】如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则，,故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值． 【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图：      则， ∴． 即的最小值为． ∵，，，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为9.6． 故选：B． 【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，D是上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在上，M是上一动点，连接，，若，，，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查了折叠性质，轴对称−最短路线问题，关键是确定点M的位置． 根据折叠可知B和E关于AD对称，由对称的性质得出当M和D重合时，此时的值最小，即为． 【详解】解：连接，由题可知B和E关于AD对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点M和点D重合时，此时的值最小，即为， ∴则的最小值为5， 故答案为：5． 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图所示，某条护城河在处角转弯，河宽相同，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使到的路程最短，请确定两座桥的位置．    【答案】见解析 【分析】由于含有固定线段“桥”，需要将点向下平移至点，点向右平移至点，构造平行四边形进行求解即可． 【详解】解：如图所示，   ， 将点向下平移至点，使的长等于河宽，将点向右平移至点，使的长等于河宽；连接，与河岸相交于点，；过点作于点D，过点作于点，则，即为两桥的位置． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，由于有固定的长度的线段，常用的方法通过平移，构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答． 1．（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，点在边上，．若，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据，可得，由三角形外角的性质可得，再由，即可解得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）下列说法：①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；②等腰三角形的两腰上的中线长相等；③等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；④等腰三角形的一边长为，一边长为，那么它的周长是或．其中不正确的（　　） A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形中三线合一，腰上的高线，全等三角形的判定和性质，三边长的关系等知识是解题的关键． 根据等腰三线合一即可判定结论①；运用等腰三角形的性质，中线的性质，全等三角形的判定和性质，即可判定结论②；根据等腰三角形的性质，腰上的高线，即可判定结论③；根据等腰三角形的性质，三边的关系可判定结论④． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线，三线合一， ∴①错误； 如图1， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴②正确； 如图2， 当为等腰直角三角形时，等腰三角形的腰等于其腰上的高， ∴③错误； ∵等腰三角形的一边长为，一边长为， ∴只能三边是， ∴它的周长是， ∴④错误； 故选：． 3．（25-26七年级下·福建厦门·期中）如图，在中，、的垂直平分线分别交于D、E两点，并且相交于点F，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质和三角形内角和即可解答． 【详解】解：∵在中，、的垂直平分线分别交于D、E两点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4．（23-24七年级下·浙江台州）如图，在中，，点到三边的距离相等．设，．记，则下列结论中正确的是（   ）    A．最小 B．最小 C．最小 D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，正确画出辅助线是解题的关键． 在上截取，证明，即可得到，同理可得，即可解答． 【详解】解：点到三边的距离相等， 点为三条角平分线的交点， ， 如图，在上截取， ， ， ， 在中，， 即， ， ， 在上截取， 同理可得， ， 在中，， 即， ， ， 故最小， 故选：C．    5．（23-24七年级下·全国）如图，，点到的距离是2，到的距离是3，，分别是，上的动点，则周长的最小值是（    ） A． B． C．9 D． 【答案】A 【分析】作点分别关于、的对称点、，连接，分别交、于，则，，，，′，则，，此时周长最小，为，据此解答即可． 【详解】作点分别关于、的对称点、，连接，分别交、于，，则，，，，′， ∴，， ∴此时周长最小，为， 延长，交与． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即周长的最小值是． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题． 6．（25-26七年级下·北京·期中）已知是平面内四个点，如果能用两种不同长度的线段将这四个点进行两两连接，使得任意三点所连线段都能构成等腰三角形，我们就称这四个点及它们之间的连线构成“二分对称图形”．例如：如图就是一种“二分对称图形”，其中，、、均为等腰三角形，且满足，，．则满足条件的“二分对称图形”共有（    ）．（形状相同的图形算作同一种） A．5种 B．6种 C．7种 D．7种以上 【答案】B 【分析】本题考查对称图形，掌握相关知识是解决问题的关键．从轴对称图形等边三角形，正方形，菱形，等腰梯形分类探索解决． 【详解】解：如图，加上题干中1种，共6种 第一个图：， 第二个图：， 第三个图：， 第四个图： 第五个图：， 故选：B． 7．（2026·七年级下 北京昌平）如图，已知，以下是小聪通过尺规作图解决问题的部分过程： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F； ②以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M； ③作射线，与延长线父于点P，点D为延长线上一点． 根据以上作法，下列结论不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图-基本作图，三角形全等的判定，角平分线性质定理，运用相关知识逐项判断即可． 【详解】解：连接，过点作于点，于点， 由作图得，， 又， ∴， ∴， ∴， 故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故选项B正确，不符合题意； 无法判断， 故选项C符合题意； ∵，，， ∴， 又， ∴， 故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 8．（23-24七年级下·天津滨海新区·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转得，其中，E，F是点B，C旋转后的对应点，BE，CF相交于点D．当旋转到时，的大小是（    ） A．90° B．75° C．60° D．45° 【答案】C 【分析】由旋转的性质可得∠EAF＝∠BAC＝40°，AB＝AE，由平行线的性质可求∠FAE＝∠AEB＝40°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BAE的度数，进而即可求解． 【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转得△AEF， ∴∠EAF＝∠BAC＝40°，AB＝AE， ∵AF∥BE， ∴∠FAE＝∠AEB＝40°， ∵AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB＝40°， ∴∠BAE＝180°−40°−40°＝100°， ∴∠CAE＝100°-40°=60°， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，求出∠AEB的度数是本题的关键． 9．（23-24七年级下·四川自贡·期中）对于任意△（见示意图）．若 是△的边上的中线，、的角平分线分别交、于点，连接，那么之间的数量关系正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长FD到G，使DG=FD，根据角平分线和平角定义证得∠EDF=90°，即ED⊥FD，则 ED垂直平分GF，根据线段垂直平分线的性质可得EF=EG，再证明△BDG≌△CDF，则有BG=CF，再根据三角形三边关系可得BE+BG﹥EG即可解答． 【详解】解：延长FD到G，使DG=FD， ∵、的角平分线分别交、于点， ∴∠ADE=∠BDE=∠ADB，∠ADF=∠CDF=∠ADC， ∵∠ADB+∠ADC=180°， ∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=(∠ADB+∠ADC)=90°， ∴ED⊥FD，又DG=DF， ∴ED垂直平分GF， ∴EF=EG， ∵ 是△的边上的中线， ∴BD=DC，又∠BDG=∠CDF，DG=DF， ∴△BDG≌△CDF（SAS）， ∴BG=CF， 在△BEG中，∵BE+BG﹥EG， ∴BE+CF﹥EF， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，熟练掌握相关知识的应用，延长FD使DG=FD是解答的关键． 10．（2026·八年级下 贵州）如图，中，和的角平分线交于点，若，则、、的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，等高的三角形，能够熟练运用角平分线的性质是解决本题的关键．过P点作于D，于E，于F，根据角平分线的性质可知三个三角形的高相等，故底之比等于面积之比，由此可得答案． 【详解】解：过P点作于D，于E，于F，如图， 设、、的面积分别为、、， ∵和 的角平分线交于点P， ∴，（角平分线的性质）， ∴， 设， ∵根据三角形的面积公式得， , ， ， ， ∴、、的面积之比为． 11．（23-24七年级下·重庆渝中·期末）如图，中，，角平分线，交于点F，若，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．过点F作于点G，于点H，于点T，连结，先根据角平分线定理证明，，从而得到，再根据“斜边直角边”证明，得到，设，列出方程并求解，得到，由此即得答案． 【详解】解：过点F作于点G，于点H，于点T，连接， 平分， ，， 平分， ，， ， ，， ， ， 设，则，， ， 解得， ． 故答案为：． 12．（25-26七年级下·四川绵阳·期末）如图，在等边纸片中，将沿折叠，点落在点处，则_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理等知识，由折叠得，由三角形内角和定理得，结合可得结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， 又，即， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（23-24七年级下·江西宜春·期中）如图，在中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③；④∠BGH=∠ABE+∠C．其中正确的是_________ ． 【答案】①②③④ 【分析】根据等角的余角相等证明结论①，根据角平分线的性质证明结论②，证明∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE，再结合①的结论可得结论③，证明∠AEB=∠ABE+∠C，再由BD⊥FC，FH⊥BE，可以证明结论④． 【详解】①∵BD⊥FD， ∴∠FGD+∠F=90°， ∵FH⊥BE， ∴∠BGH+∠DBE=90°， ∵∠FGD=∠BGH， ∴∠DBE=∠F，故①正确； ②∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∠BEF=∠CBE+∠C， ∴2∠BEF=∠ABC+2∠C， ∠BAF=∠ABC+∠C， ∴2∠BEF=∠BAF+∠C，故②正确； ③∠ABD=90°-∠BAC， ∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC， ∵∠CBD=90°-∠C， ∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE， 由①得，∠DBE=∠F， ∴∠F=∠BAC-∠C-∠DBE， ∴∠F=（∠BAC﹣∠C），故③正确； ④∵∠AEB=∠EBC+∠C， ∵∠ABE=∠CBE， ∴∠AEB=∠ABE+∠C， ∵BD⊥FC，FH⊥BE， ∴∠FGD=∠FEB， ∴∠BGH=∠ABE+∠C，故④正确． 故答案是：①②③④． 【点睛】本题考查角度的证明，解题的关键是掌握角度之间关系的证明方法． 14．（25-26七年级下·陕西西安·阶段测试）如图，中，点在边上，连接，的角平分线与的角平分线交于点，连接．若，，，则______． 【答案】6 【分析】过点F分别作的垂线，交延长线于点G，交延长线于点M，交于点N．证明，根据条件求出，进而求出结论． 【详解】解：如图，过点F分别作的垂线，交延长线于点G，交延长线于点M，交于点N． ∵的角平分线与的角平分线交于点， ， ， ，，， ， ， ， ． 15．（23-24七年级下·山东聊城·月考）如图，为坐标原点，中的两个顶点为，，点在边上，点在边上，且，点为边上的动点，则的最小值为_____．    【答案】 【分析】过点作交轴于点，交于点 ，得矩形，正方形，点E是点C关于对称的对称点，此时 的值最小． 【详解】∵ ，， ∴，轴， ∴，， ∴ 如图，过点作交轴于点，交 于点，连接，    则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，轴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 同理可得四边形是矩形， ∵， ∴, ∴四边形是正方形， ∴点E是点C关于对称的对称点，的值最小， ∵, ∴, ∴， 此时 的值最小，为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了轴对称一最短路线问题，坐标与图形性质，解题的关键是掌握轴对称的性质. 16．（23-241七年级下·河南驻马店·期末）已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F， （1）连接CD、BD，求证：△CDF≌△BDE； （2）若AE＝5，AC＝3，求BE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）2. 【分析】（1）连CD、BD，如图，根据角平行线的性质定理得到DE=DF，根据线段垂直平分线的性质得CD=BD，则可利用“HL“证明Rt△CDF≌Rt△BDE； （2）先证明Rt△ADF≌Rt△ADE得到AE=AF，再由Rt△CDF≌Rt△BDE得出BE=CF，进而解答即可． 【详解】证明：（1）如图，连接CD、BD， ∵AD平分∠BAE，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， 又∵DG垂直平分BC， ∴CD＝BD， 在Rt△CDF和Rt△BDE中 ∵， ∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）， （2）在Rt△ADF和Rt△ADE中 ∵， ∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL）， ∴AE＝AF， ∵Rt△CDF≌Rt△BDE， ∴BE＝CF， ∵CF＝AF﹣AC＝5﹣3＝2， ∴BE＝2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了角平分线的性质． 17．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）图是两个8×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)请在图1中确定点D（点D在小正方形的顶点上），使四边形为轴对称图形， (2)请在图2中确定点E（点E在小正方形的顶点上），使以点A、B、C、E为顶点的四边形为面积为10的轴对称图形． (3)请直接写出（1）中四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)12 【分析】（1）取点D，使得，构成一个等腰梯形，是一个轴对称图形解答即可； （2）取点E，使得，，构成一个平行四边形，根据，判定四边形是矩形，是一个轴对称图形，矩形的面积为，符合题意． （3）根据梯形的面积公式计算即可． 本题考查了等腰梯形的判定，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握网格作图是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，取点D，使得， 构成一个等腰梯形，是一个轴对称图形， 则点D即为所求． （2）解：如图所示，取点E，使得， ，构成一个平行四边形，根据，判定四边形是矩形，是一个轴对称图形， 矩形的面积为，符合题意， 则点E即为所求． （3）解：根据题意，得． 18．（25-26七年级下·山西忻州·期中）综合与实践 问题情境 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站A出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最后返回空间站B．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径． 问题解决 数学建模：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作B关于能源站直线l的对称点，连接，与直线的交点即为最优燃料点，此时路径最短． 推理论证：如图3，在直线上另取任意一点，连接，，，只要说明即可． 证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ， ， ． 在中，， ，即最小． (1)本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证； (2)请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径； (3)如图4，在中，，．若点在上移动，点在上移动，如何确定的最小值？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质以及三角形三边关系．通过作对称点，将同侧点转化为异侧，利用两点之间线段最短和三角形三边关系是解题的关键． （1）利用轴对称性质，得到对称点到对称轴上点的距离相等，将转化为，再结合三角形三边关系，证明该线段长度为最小值； （2）通过作两点关于两直线的对称点，将折线转化为连接两对对称点的线段，利用“两点之间线段最短”确定最短路径即可； （3）过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长． 【详解】（1）证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ，， ． 在中，， ，即最小． 故答案为：，，，； （2）解：如图，即为最短路径； （3）解：过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长． 19．（23-24七年级下·广西南宁·月考）已知，如图，把三角形MON顶点O放在直线上． （1）如图1，若∠MON＝90°，射线平分，，求的度数； （2）如图2，若OM、ON分别是∠AOC和∠BOC的角平分线，求∠MON的度数． （3）在（2）的条件下，若将三角形绕点旋转到如图3所示的位置，射线平分，试写出和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）56°；（2）90°；（3）∠BON=2∠MOC，理由见解析 【分析】（1）根据角平分线和互为余角的意义，可求出∠NOC、∠AOC，再根据互为补角求出∠BON即可； （2）根据角平分线的定义得到∠AOM=∠COM，∠CON=∠BON，再根据平角的定义得到∠MON=（∠AOC+∠BOC）=90°； （3）根据角平分线和互为余角的意义可得∠AOC=∠NOC=90°-∠MOC，再根据互为补角的意义得到∠BON=180°-2∠NOC=180°-2（90°-∠MOC）=2∠MOC． 【详解】解：（1）如图1，∵∠MOC=28°，∠MON=90°， ∴∠NOC=90°-28°=62°， 又∵OC平分∠AON， ∴∠AOC=∠NOC=62°， ∴∠BON=180°-2∠NOC=180°-62°×2=56°； （2）∵OM、ON分别是∠AOC和∠BOC的角平分线， ∴∠AOM=∠COM，∠CON=∠BON， ∵∠AOB=180°， ∴∠MON=∠COM+∠CON=（∠AOC+∠BOC）=90°； （3）∠BON=2∠MOC， 如图3，∵OC平分∠AON， ∴∠AOC=∠NOC， ∵∠MON=90°， ∴∠AOC=∠NOC=90°-∠MOC， ∴∠BON=180°-2∠NOC=180°-2（90°-∠MOC）=2∠MOC， 即：∠BON=2∠MOC． 【点睛】本题考查了余角、补角、角平分线的意义，根据图形直观得出各个角之间的关系是解决问题的关键，等量代换起到非常重要的作用． 20．（23-24七年级下·安徽·期末）在中，于平分，且于，并与相交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：； (4)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）先根据角平分线的意义得出，再根据垂直的意义得，从而可利用证明； （2）先证明，再根据等边对等角得到结论； （3）先利用同角的余角相等证得，并证得，从而可利用证明； （4）先利用全等三角形的性质分别得到，，再利用三线合一证明，从而可得结论． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， 在与中， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）证明：， ，， ， ，， ，， ， 在与中， ； （4）证明：， ， 又于， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质（），三线合一，同角的余角相等，等边对等角等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2 简单的轴对称图形重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 等边对等角 题型二 三线合一 题型三 线段垂直平分线的性质 题型四 作已知线段的垂直平分线 题型五 角平分线的性质定理 题型六 作角平分线（尺规作图） 题型七 最短路径问题 题型八 线段问题（轴对称综合题） 题型九 面积和角度问题（轴对称综合题） 拓展训练一 解决生活中最短路径问题 知识点一：等腰三角形和等边三角形的性质 1.等腰三角形的性质 （1）等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴（底边的垂直平分线）. （2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线是等腰三角形的对称轴（1 组“三线合一”）. （3）等腰三角形的两个底角相等. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴（每条边上的高/中线所在的直线）. （2）等边三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线是等边三角形的对称轴（3 组“三线合一”）. （3）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°。 【即时训练】 1．（25-26七年级下·四川德阳·月考）如图，，点E在线段上，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）浏水月夜民宿用等腰形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均匀，需使，并用连接和加固支架．已知是边的中点，且，则________． 知识点二：线段垂直平分线的定义及其性质 1. 线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴 2.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 3. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 4. 尺规作线段的垂直平分线： （1）以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点； （2）作为直线 ，为所求直线． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于D，连接，交的垂直平分线于点F，则的周长是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广西梧州·期末）如图，在中，，是的垂直平分线，，则的度数为__________． 知识点三：角的平分线的的性质及其作法 1. 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴 2.定义：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 3. 拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 4. 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求．如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·安徽六安·期末）如图，是的平分线，点D是上一点，点F为直线上的一个动点．若的面积为18，，则线段的长不可能是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）点在的平分线上，点到边的距离为6，点是边上的任意一点，请写出一个符合条件的线段的长是_____． 【经典例题一 等边对等角】 【例1】（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）如图，直线，点分别在直线和上，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·山东聊城·期末）如图，为等腰三角形，，点是延长线上的一点，，则的度数为_______． 1．（2026·七年级下 安徽蚌埠）如图，直线，直线分别交，于点，，点在射线上，且，若，则（　　） A． B． C． D． 2．（2023·七年级下 河北邯郸）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）已知一个等腰三角形的顶角是底角的倍，则它的顶角的度数为_____． 4．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，，，，证明． 【经典例题二 三线合一】 【例1】（25-26七年级下·云南昆明·期末）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，若测得米，则的长是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【例2】（25-26七年级下·上海浦东新·期中）已知：在中，，平分，若，则________，与的位置关系是________． 1．（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图，在中，，，，边的垂直平分线为l，点D是边的中点，点P是l上的动点，则最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）下列说法中，正确的有（   ）个． ①两个全等的三角形一定关于某直线对称； ②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分； ③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ④等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24七年级下·福建南平·期末）在中，，为边上的中线，为边上的高，，相交于点．若，，则的面积是___________．    4．（23-24七年级下·江苏南通·期末）如图，已知：，点D在边上，且． (1)求证：； (2)如果O为中点，，求的度数． 【经典例题三 线段垂直平分线的性质】 【例1】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，中，的垂直平分线交于点，交于点，若，，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·江苏·期中）如图，垂直平分线段，若，，则四边形的周长为______． 1．（25-26七年级下·北京海淀·期末）过直线外一点C，用尺规作的垂线，如图所示，其中点F是分别以点D和点E为圆心，为半径的两弧的交点．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东潍坊·期中）如图，在中，，分别垂直平分，垂足分别为E、G，且，则下列结论不正确的是（） A． B． C．的周长为40 D．的周长为20 3．（25-26七年级下·陕西西安·阶段测试）如图，在中，，D为上一点，连接，过点D作于点E．若E为的中点，，的周长为14，则的长为______． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交的延长线于点． (1)如图①，若，求的度数． (2)若，如图②，其余条件不变，求的度数． (3)你发现了什么样的规律？请证明你发现的规律． 【经典例题四 作已知线段的垂直平分线】 【例1】（23-24七年级下·山西晋中·期中）某市为了进一步完善城市功能，提升城市形象，加强体育事业的发展，准备修建一个大型体育中心，要求该体育中心所在位置与该市的三个城镇中心（图中以P，Q，R表示）的距离相等，则体育中心的位置应选在（    ） A．三边的垂直平分线的交点处 B．的三条角平分线的交点处 C．的三条高线的交点处 D．的三条中线的交点处 【例2】（25-26七年级下·广东湛江·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，点，过这两个点作直线，交于点，连接．若，，则的长为_____． 1．（23-24七年级下·河南南阳·期末）定义：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点叫做三角形的外心．如图，直线 ，，分别是边AB，AC的垂直平分线，直线和相交于点O，点O是△ABC的外心，交BC于点M，交BC于点N，分别连结AM，AN，OA，OB，OC．若OA=6cm，△OBC的周长为22cm，则△AMN的周长等于（　　）cm A．8 B．10 C．12 D．14 2．（24-25七年级下·辽宁盘锦·阶段测试）如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·湖北武汉·阶段测试）如图，点A，D分别在，的垂直平分线上，A，E，D三点在同一条直线上，如果，，那么四边形的周长为 ____ ． 4．（25-26七年级下·江西九江·阶段检测）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作的垂直平分线； (2)在图2中作的外心O． 【经典例题五 角平分线的性质定理】 【例1】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，中，D是上一点，，则上一点D到的距离为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【例2】（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是_____． 1．（25-26七年级下·吉林长春·阶段测试）如图，在中，，根据作图痕迹，以下结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）正方形网格中，位置如图，点O、A、B三点都是格点，则格点C、D、E、F中到两边距离相等的点是（    ） A．C点 B．D点 C．E点 D．F点 3．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____ 4．（25-26七年级下·河北衡水·期末）如图，在中，，为边上的一点，为的中点，为的中点，过点作交于点，过点作交于点． (1)求的度数． (2)如图，连接，若，求证：． 【经典例题六 作角平分线（尺规作图）】 【例1】（25-26七年级下·河南驻马店·期中）如图，利用尺规作的角平分线的作法，用到的三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·浙江宁波·阶段测试）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，小于的长为半径作圆弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点； ③作射线，交边于点．若，则的大小为____________． 1．（25-26七年级下·河北邢台·期末）计划在滹沱河某个绿化区增设条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭，使其到小路的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ）． A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 2．（25-26七年级下·北京·月考）如图，中，，．甲、乙两人想在外部取一点，使得与全等，其作法如下： 甲：①作的角平分线． ②以为圆心，长为半径画弧，交于点，则即为所求． 乙：①过作平行的直线． ②过作平行的直线，交于点，则即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（   ） A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 3．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）已知，以为圆心，以任意长为半径作弧，交，于点，，分别以，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧在内交于点，以为边作，则的度数为______． 4．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，点在直线上，是的平分线． (1)仅利用无刻度的直尺与圆规，作出的平分线，记为．（不写作法，但要保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，试说明：． 【经典例题七 最短路径问题】 【例1】（2026七年级下·全国·专题练习）某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·河北唐山·期中）如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为，、间的路程为、现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在___________． 1．（2026·七年级下 广东佛山）如图，在村庄附近有一个生态保护区，现要在公路边修建一个垃圾站，使它到，两村庄的路程之和最短，且从村庄到公路不能穿过生态保护区，则下列四种修建方案中，符合条件的是（     ） A．B．C． D． 2．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（25-26七年级下·福建厦门·期末）如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干道上，车间，与办公大楼的距离皆为，且，．在主干道上选址仓库，从仓库到车间，修建厂区支路，，使得支路总长最短，测得仓库与办公大楼距离为．已修建的支路长为，还需修建的支路的长度用代数式可以表示为__________． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图A，B两城镇在河流的异侧，架一座桥连通两岸，选择一个架桥点使从A到B距离最短，架桥点选在何处，请在图中画出． 【经典例题八 线段问题（轴对称综合题）】 【例1】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末），两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（ ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·北京·期中）如图，A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使AM+BM最小．小明的做法是：作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点M，点M即为所求． 请你写出小明这样作图的依据：___________． 1．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，将线段沿着射线折叠得到，延长到E，连接，点F是射线上的一个动点，连接，，若，，的周长的最小值为22，则长为（    ） A．18 B．16 C．14 D．12 2．（23-24七年级下·山西太原·期中）如图，直线l，m相交于点O，点P为这两直线外一点，且，若点P关于直线l，m的对称点分别是点交直线l与点A，交直线m与点B，则A，B之间的距离可能是（   ）    A．3 B．2.7 C．1.8 D．0 3．（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，中，分别是边上的动点，则的和的最小值是________． 4．（25-26七年级下·江西上饶·期末）如图，在的正方形网格中，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题． (1)在图1中，画出线段的中点； (2)如图2，在直线上找一点，连接和，使的值最小． 【经典例题九 面积和角度问题（轴对称综合题）】 【例1】（2025·七年级下 河北石家庄）如图，在菱形中，，P为AD边上一点，连接，作关于对称的，点F与点E关于对称．设，若点F在内（不包括边界），则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·江苏徐州·月考）如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是中线上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是________． 1．（24-25七年级下·湖北恩施·期末）如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，，为边上一动点，于点，于点，则关于与之间的大小关系的描述，正确的为（    ） A．恒成立 B．当时， C．恒成立 D．当时， 3．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知，点P在内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，分别交，于点E，F，连接，．若，，则的面积为________．(用含a，b的代数式表示) 4．（23-24七年级下·上海·期末）如图，在中，，，点A关于的对称点为，点B关于的对称点为，点C关于的对称点为． (1)在图中画出； (2)若的面积为，则的面积是______． 【拓展训练一 解决生活中最短路径问题】 【例1】（24-25七年级下·河南信阳·期末）的边上有两点，在的平分线上找一点，使最小，正确的作法是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·广东清远·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为_______． 1．（23-24·七年级下 江苏）如图，中，分别是边上的动点，则的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 2．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）    A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，D是上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在上，M是上一动点，连接，，若，，，则的最小值为______． 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图所示，某条护城河在处角转弯，河宽相同，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使到的路程最短，请确定两座桥的位置．    1．（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，点在边上，．若，则_______． 2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）下列说法：①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；②等腰三角形的两腰上的中线长相等；③等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；④等腰三角形的一边长为，一边长为，那么它的周长是或．其中不正确的（　　） A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 3．（25-26七年级下·福建厦门·期中）如图，在中，、的垂直平分线分别交于D、E两点，并且相交于点F，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·浙江台州）如图，在中，，点到三边的距离相等．设，．记，则下列结论中正确的是（   ）    A．最小 B．最小 C．最小 D． 5．（23-24七年级下·全国）如图，，点到的距离是2，到的距离是3，，分别是，上的动点，则周长的最小值是（    ） A． B． C．9 D． 6．（25-26七年级下·北京·期中）已知是平面内四个点，如果能用两种不同长度的线段将这四个点进行两两连接，使得任意三点所连线段都能构成等腰三角形，我们就称这四个点及它们之间的连线构成“二分对称图形”．例如：如图就是一种“二分对称图形”，其中，、、均为等腰三角形，且满足，，．则满足条件的“二分对称图形”共有（    ）．（形状相同的图形算作同一种） A．5种 B．6种 C．7种 D．7种以上 7．（2026·七年级下 北京昌平）如图，已知，以下是小聪通过尺规作图解决问题的部分过程： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F； ②以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M； ③作射线，与延长线父于点P，点D为延长线上一点． 根据以上作法，下列结论不成立的是（ ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·天津滨海新区·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转得，其中，E，F是点B，C旋转后的对应点，BE，CF相交于点D．当旋转到时，的大小是（    ） A．90° B．75° C．60° D．45° 9．（23-24七年级下·四川自贡·期中）对于任意△（见示意图）．若 是△的边上的中线，、的角平分线分别交、于点，连接，那么之间的数量关系正确的是（  ） A． B． C． D． 10．（2026·八年级下 贵州）如图，中，和的角平分线交于点，若，则、、的面积之比为（   ） A． B． C． D． 11．（23-24七年级下·重庆渝中·期末）如图，中，，角平分线，交于点F，若，则______度． 12．（25-26七年级下·四川绵阳·期末）如图，在等边纸片中，将沿折叠，点落在点处，则_____________． 13．（23-24七年级下·江西宜春·期中）如图，在中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③；④∠BGH=∠ABE+∠C．其中正确的是_________ ． 14．（25-26七年级下·陕西西安·阶段测试）如图，中，点在边上，连接，的角平分线与的角平分线交于点，连接．若，，，则______． 15．（23-24七年级下·山东聊城·月考）如图，为坐标原点，中的两个顶点为，，点在边上，点在边上，且，点为边上的动点，则的最小值为_____．    16．（23-241七年级下·河南驻马店·期末）已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F， （1）连接CD、BD，求证：△CDF≌△BDE； （2）若AE＝5，AC＝3，求BE的长． 17．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）图是两个8×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)请在图1中确定点D（点D在小正方形的顶点上），使四边形为轴对称图形， (2)请在图2中确定点E（点E在小正方形的顶点上），使以点A、B、C、E为顶点的四边形为面积为10的轴对称图形． (3)请直接写出（1）中四边形的面积． 18．（25-26七年级下·山西忻州·期中）综合与实践 问题情境 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站A出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最后返回空间站B．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径． 问题解决 数学建模：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作B关于能源站直线l的对称点，连接，与直线的交点即为最优燃料点，此时路径最短． 推理论证：如图3，在直线上另取任意一点，连接，，，只要说明即可． 证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ， ， ． 在中，， ，即最小． (1)本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证； (2)请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径； (3)如图4，在中，，．若点在上移动，点在上移动，如何确定的最小值？ 19．（23-24七年级下·广西南宁·月考）已知，如图，把三角形MON顶点O放在直线上． （1）如图1，若∠MON＝90°，射线平分，，求的度数； （2）如图2，若OM、ON分别是∠AOC和∠BOC的角平分线，求∠MON的度数． （3）在（2）的条件下，若将三角形绕点旋转到如图3所示的位置，射线平分，试写出和之间的数量关系，并说明理由． 20．（23-24七年级下·安徽·期末）在中，于平分，且于，并与相交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：； (4)求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $