专题4.3 探索三角形全等的条件重难点题型专训（4个知识点+14大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题4.3 探索三角形全等的条件重难点题型专训 （4个知识点+14大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 用SSS证明三角形全等(SSS) 题型二 用SSS间接证明三角形全等(SSS) 题型三 全等的性质和SSS综合(SSS) 题型四 尺规作图——作三角形 题型五 三角形的稳定性及应用 题型六 四边形的不稳定性 题型七 用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS) 题型八 全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 题型九 用SAS证明三角形全等(SAS) 题型十 用SAS间接证明三角形全等(SAS) 题型十一 全等的性质和SAS综合(SAS) 题型十二 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合) 题型十三 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合) 题型十四 利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形) 拓展训练一 证明三角形全等 知识点一：基本事实“边角边”（SAS） 1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，，，，则能通过全等证明出，所用的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·湖北黄石·期末）如图，在中，．将从点处沿虚线剪开，若，当线段BD的长度为__________时，剪下的两个三角形全等． 知识点二：基本事实“角边角”（ASA）和“角边角”的推论“角角边”（AAS） 1. 两边及其夹边分别相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或“ASA”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 3. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成“角角边”或“AAS”． 4. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·广西南宁·月考）调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带下列选项中哪片碎玻璃（    ） A．① B．①② C．③ D．①②或者③都可以 2．（25-26七年级下·新疆和田·期末）如图，已知，要根据，判定，则需要补充的一个条件为____________． 知识点三：基本事实“边边边”（SSS）和斜边、直角边定理（HL） 1. 三边分别相等的两个三角形全等．简写成“边边边”或“SSS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 3. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 4. 数学语言表达:如图，在Rt与Rt中（与为直角）， ． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·七年级下 宁夏银川）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．这种方法是通过判定得到，其中判定的依据是_____________． 知识点四：三角形的稳定性 生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性． 三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用．例如：房屋的人字形支架、电线杆支架、斜拉桥架等，利用三角形的稳定性，使生活中的建筑经久耐用． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·北京·课后作业）三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上（　　）根木条． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）每年的6月18日是鄂伦春族的传统节日——篝火节，篝火就是在野外营地里配上三角竹架的火堆．如图所示的是一款户外露营便携篝火架，这样设计的原理是____________________． 【经典例题一 用SSS证明三角形全等(SSS)】 【例1】（25-26七年级下·山西长治·期中）在中国的传统建筑中，房梁通常采用三角形结构，工匠通过确保三角架全等来保证结构的稳定．如图，该房梁的三角架可抽象成，，为边上的中线，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·河南濮阳·期中）如图，已知，小明利用圆规和直尺，按照如下操作作出： （1）作射线； （2）以点D为圆心，为半径作弧交射线于点E； （3）以点D为圆心，为半径作弧； （4）以点E为圆心，为半径作弧，与上一步的弧相交于点F； （5）连接，． 小明说作出的与全等，依据是______． 1．（25-26七年级下·山西晋城·月考）如图，已知，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点；以点为圆心，的长为半径作弧，与以点为圆心，的长为半径所作的弧交于点，连接，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南周口·月考）年月日—月日，河南宜阳举办“洛水昌谷风筝节”，三十余种大型风筝，形态各异，色彩斑斓．如图，这是小颖目测的一个风筝骨架，她根据，，不用测量就知道，小颖是通过全等三角形的知识得到的结论，则小颖判定三角形全等的依据是（    ）    A． B． C． D． 3．（2025七年级下·江苏连云港·专题练习）如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形，那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是__________． 4．（25-26七年级下·山西朔州·月考）如图①是某社区生态景观区的平面示意图．景观区建有一个四叶草形生态水池及一座雕塑，水池内建有观景台，在观景台上安装了一盏广角灯（点），，是两条通往观景台的步行道．小仁从该社区了解到，为了凸显景观的层次感和立体感，达到理想的光影效果，要求．于是他利用身边仅有的一个卷尺根据现场条件进行测量，所得数据如下表所示： 测量 长度/m 15.0 15.0 17.5 17.5 6.0 24.0 小仁将示意图抽象成图②所示的图形．请根据所测得的数据，判断该广角灯的位置是否符合要求？ 【经典例题二 用SSS间接证明三角形全等(SSS)】 【例1】（24-25七年级下·河北廊坊·期末）数学活动课上，嘉嘉与淇淇两名同学各用长为的3根木棒首尾相接拼成三角形． 嘉嘉说：“我不用测量，就知道这两个三角形的三个内角分别相等．” 淇淇说：“我不用画图，就知道两个三角形中长为的边上的中线相等．” 关于二人的说法，判断正确的是（   ） A．嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误 B．嘉嘉的说法错误，淇淇的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都错误 【例2】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有________对． 1．（24-25七年级下·福建厦门·期中）为证明等腰三角形的两底角相等，下面作辅助线的方法中正确的是（    ） A．作边上的中线 B．作的平分线，经过的中点 C．过点作的垂直平分线 D．作的平分线，使得 2．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）如图，AD＝BC，AE＝CF．E、F是BD上两点，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，则∠BCF的度数为（    ） A．30° B．60° C．70° D．80° 3．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）如图，，，和相交于点，则图中全等三角形共有_____对． 4．（24-25七年级下·湖南永州·期中）如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 【经典例题三 全等的性质和SSS综合(SSS)】 【例1】（2026七年级下·吉林·专题练习）工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，就可以知道射线是的角平分线．依据的数学基本事实是（    ） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 D．三边分别相等的两个三角形全等 【例2】（25-26七年级下·全国·期中）如图，，，，则____________． 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，在与中，，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川广安·月考）如图，在由4个相同的小正方形拼成的网格中，（   ） A． B． C． D． 3．（23-24·七年级下 广西防城港）如图，在中，，，则________． 4．（2026·七年级下 浙江绍兴）对于题目“如图1，已知相交于，证明：．” 小明的解答过程如图2．请指出小明证明过程中错误步骤的序号，并写出正确证明过程． 【经典例题四 尺规作图——作三角形】 【例1】（25-26七年级下·河北石家庄·月考）已知线段a，b，c，求作，使，下面作法的合理顺序为（   ） ①分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交于点A； ②作直线，在上截取； ③连接，则为所作的三角形 A．①②③ B．①③② C．②①③ D．②③① 【例2】（25-26七年级下·山西太原·月考）已知：已知线段a，c和（如图（1）所示）． 求作：，使，，． 小明的作法如下：①作；②在线段，上分别截取，；③连接，即为所求作的三角形（如图（2）所示）． 在上述作法的三个步骤中有一步是错误的，是第 _____ 步（填序号）． 1．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 2．（2025·七年级下 北京）下面是“作一个，使得”的尺规作图方法， （1）作一条线段； （2）以为圆心，AC长为半径画弧，以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）连接，， 则． 上述判定的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知，线段，求作，使得． 作法： （1）作线段___________； （2）在的同旁，作___________，作___________，与交于点___________，故就是所求作的三角形． 4．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·月考）下面是小明设计的“已知两边及夹角作三角形”的尺规作图过程． 已知：线段a，b及． 求作：，使得，，． 作法：如图， ①以O为圆心，a长为半径作弧，交于点P； ②以O为圆心，b长为半径作弧，交于点Q； ③作射线； ④以A为圆心，长为半径作弧，交于点B； ⑤分别以A，B为圆心，，长为半径作弧，两弧交于直线上方的点C； ⑥连接、． 就是所求作的三角形． 根据小明设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：，， ① ， ② ，（ ③ ） （ ④ ）（填推理的依据） ，，，． 就是所求作的三角形． 【经典例题五 三角形的稳定性及应用】 【例1】（25-26七年级下·山东烟台·期末）盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常在窗框上斜钉一根木条，这样做的道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性 【例2】（25-26七年级下·江西新余·期中）年月日，成都大运会射击项目中国队选手顶住压力，包揽米气步枪和米气手枪混合团体两枚金牌，为他们的大运会之旅画上圆满的句号，射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是______． 1．（25-26七年级下·湖南岳阳·月考）如图，把平板电脑放在一个支架上面，就可以将它固定好使用，这样做的数学道理是（   ） A．两点间线段最短 B．三角形的稳定性 C．点到直线的距离，垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 2．（23-24·七年级下 吉林长春）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）（1）四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （2）五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （3）六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （4）边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条． 4．（23-24七年级下·全国·课堂例题）[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，至少要钉多少根木条？    (1)请完成下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 … (2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条； (3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数． 【经典例题六 四边形的不稳定性】 【例1】（23-24七年级下·湖北武汉·月考）下列图形中不具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·云南大理·期中）2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了______． 1．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）下列图形中有稳定性的是（    ） A．等腰三角形 B．正方形 C．长方形 D．平行四边形 3．（23-24七年级下·山东聊城·月考）大桥钢架、索道支架、人字梁等为了坚固，都采用三角形结构，这样做的根据是_____；学校门口的电动推拉门是利用四边形的______． 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）根据所了解的平面图形的特性说明下列设计中的数学原理： (1)用两个钉子把木条固定在墙上； (2)有一个不稳当的凳子，一名同学找来两根木条钉成如图所示的样子； (3)如图，用三个边长相同的四边形做成的挂衣架． 【经典例题七 用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS)】 【例1】（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·云南曲靖·月考）如图所示，，如果利用证明，那么需要添加的一个直接条件是______．（写出一种即可） 1．（2025·七年级下 河北邯郸）有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（    ） A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 2．（25-26七年级下·河北·课后作业）为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山西忻州·月考）如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是60cm，当淇淇从水平位置垂直上升15cm时，嘉嘉离地面的高度是______cm． 4．（25-26七年级下·湖南岳阳·期末）如图，点在直线上（点之间的线段被一块污渍遮住），点在直线的异侧，连接，且，，测得． (1)求证： (2)若，求的长度． 【经典例题八 全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的五块（即图中标有1，2，3，4，5的五块），现要到玻璃店配一块与原来一样大小的三角形玻璃，你认为应该带去的一块是（   ） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【例2】（25-26七年级下·福建龙岩·月考）如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度，点A、点C到平面镜B点的距离相等．图中点A，B，C，D在同一条直线上．则灯泡到地面的高度是________． 1．（24-25七年级下·重庆南岸·期中）如图，，且，连接，分别过点，向作垂线，垂足分别为点，．若，，，则的长是（   ）． A． B． C． D． 2．（2026·七年级下 贵州遵义）如图，小星用高度都相等的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，且等腰直角三角板斜边的两个端点分别与点A，B重合，等腰直角三角板的直角顶点C与点D，E均在水平地面上，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内．已知，，则每个长方体小木块的高度为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·福建莆田·期末）如图为货车长方体货箱的平面示意图，货箱长为6.8米，高始终与水平地面垂直．现有一较重但分布均匀的正方体货物，工人师傅将货物沿坡面推送至重心处在适当位置时，无需借助工具即可将货物轻松平放进货箱．此时，正方体货物点H到直线的距离为1米，则正方体货物点G到直线的距离为____米． 4．（24-25七年级下·广东佛山·期中）模型意识以及知识运用 (1)【感知模型】如图1，正方形的顶点在直线上，分别过点、作于，于．则______． (2)【模型应用】如图2所示，在中，，，于，于，，，则的长为______． (3)【模型变式】如图3，在中，，点、分别是边、上一点，连接、交于点．点是上一点，连接，若，求证：． 【经典例题九 用SAS证明三角形全等(SAS)】 【例1】（25-26七年级下·福建泉州·期末）在“小孔成像”实验中，如图所示，O是小孔位置．同学们发现：当为，的中点（即，），像与蜡烛大小相等，从数学角度分析，证明的依据是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·浙江温州·月考）如图，延长，在的延长线上截取，延长，在的延长线上截取，则这两个三角形全等的依据是________（写出全等依据的简写）．    1．（25-26七年级下·云南玉溪·单元测试）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，度，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川内江·期末）如图1，已知，D为的角平分线上一点，连接；如图2，已知，D、E为的角平分线上两点，连接；如图3，已知，D、E、F为的角平分线上三点，连接；…，依此类推，第n个图形中全等三角形的对数是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东德州·月考）如图，．，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为．设点Q的运动速度为，若使得与全等．x的值为______． 4．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在和中，，，P是上任意一点，试说明： (1) (2) 【经典例题十 用SAS间接证明三角形全等(SAS)】 【例1】（24-25七年级下·河北邯郸·月考）图中3个三角形都被墨迹污染了，则能用尺规画出和原来完全一样的三角形的是（　　） A．I和II B．只有 C．只有II D．只有 【例2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，．点P在线段上以2的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为t（）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．点Q的运动速度为_________时，有与全等． 1．（23-24七年级下·云南昭通·期末）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法： ①； ②和面积相等； ③； ④； ⑤． 其中正确的有（    ） A．1个 B．5个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级下·重庆·单元测试）在锐角三角形中，的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．6 C．12 D．9 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为_____． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，是等边三角形，D为延长线上一点，，且．求证：． 【经典例题十一 全等的性质和SAS综合(SAS)】 【例1】（25-26七年级下·北京·单元测试）如图，在锐角中，的面积为15，平分，若，分别是上的动点，当的最小值为6时，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（25-26七年级下·安徽合肥·期末）如图所示的大正方形是由4个相同的小正方形组成的，则与的度数和为______． 1．（25-26七年级下·广东韶关·月考）如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，在中，是边上的中线，若，，则长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）如图1，已知，点D为的角平分线上一点，连接，；如图2，已知，D、E为的角平分线上两点，连接，，，；如图3，已知，D，E，F为的角平分线上三点，连接，，，，，；…， （1）根据规律，第4个图形中有全等三角形的对数是_____________； （2）根据规律，第n个图形中有全等三角形的对数是_____________． 4．（2026·七年级下 江苏常州）如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、； (1)求证：． (2)若点、分别为线段、的中点，连接、，则______． 【经典例题十二 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合)】 【例1】（2026·七年级下 山西吕梁）如图，为测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．则其依据是（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·安徽宣城·期末）如图，点，，，在同一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_____．（写出一个即可） 1．（25-26七年级下·上海·期中）给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（23-24七年级下·江苏盐城·月考）根据下列条件，能作出唯一三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，海海家有一块直角三角形的瓷砖（阴影部分）不小心损坏，现要定制一块完全相同的瓷砖进行替换．若家里只有一把足够长的直尺，请设计一个测量方案：_______．理由：_______． 4．（24-25七年级下·贵州铜仁·期末）如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） (2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） (3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 【经典例题十三 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合)】 【例1】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）根据下列条件，画出的不唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例2】（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画______个．    1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知与，分别以点，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，，以点为圆心，以长为半径画弧，在的内部交弧于点．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，下面说法正确的有（   ） （1）这两个三角形一定全等； （2）这两个三角形不一定全等； （3）相等的角为锐角时，这两个三角形全等； （4）相等的角是钝角时，这两个三角形全等． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3．（23-24七年级下·山东烟台·期中）如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC=70°，则∠AHB的度数为_______． 4．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） (1)在图①中的边上找一点E，使得； (2)在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）； (3)在图③中的边上找一点E，连接，使． 【经典例题十四 利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形)】 【例1】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【例2】（24-25七年级下·河北沧州·月考）如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶点均为格点，则的度数为________；度数为_______． 1．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25七年级下·广东汕头·月考）如图是一个的正方形网格，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，______． 4．（23-24七年级下·江苏·期末）如图，△ABC的三个顶点均在格点处． (1)过点B画AC的垂线BD； (2)过点A画BC的平行线AE．（请用黑水笔描清楚） 【拓展训练一 证明三角形全等】 【例1】（25-26七年级下·河北邢台·月考）如图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被_____遮盖，要作出与图中三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ完全相同的三角形，下列说法正确的是（    ） A．只有Ⅰ可以 B．只有Ⅰ、Ⅱ可以 C．作出三角形Ⅱ的依据是HL D．作出三角形Ⅲ的依据是SAS 【例2】（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·月考）如图，在四边形中，，，，，点E为线段的中点，点M在线段上，且以的速度由C点向点B运动，同时，点N在线段上由点D向点C运动．当点N的运动速度为______时，与全等． 1．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 2．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，．则不一定能得到以下哪个结论（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东滨州·期末）如图，在中，是边上的中线，设，，若a，b满足，则的取值范围是________． 4．（25-26七年级下·全国·单元测试）【知识再现】学完“全等三角形”后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”是判定直角三角形全等的特有方法． 【简单应用】（1）如图①，在中，，点D，E分别在边上．若，则线段和线段的数量关系是______________． 【拓展延伸】（2）如图②所示，在中，，，点D在边上．若点E在边上，且，则线段与线段相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由． 1．（25-26七年级下·山东聊城·月考）从数学角度看下列四幅图片有一个与众不同，该图片是（   ） A．屋顶支撑架 B．自行车三角架 C．伸缩门 D．旧木门钉木条 2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在四边形中，，，则证明的依据是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（    ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 4．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段a，c，． 求作：，使，，． 下面是作图示范： 正确作图顺序为（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 5．（25-26七年级下·广西崇左·期末）如图所示，甲、乙两个三角形中能用“”判定和全等的是（　　） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．都不是 6．（25-26七年级下·全国·周测）如图，小明沿一段笔直的人行道行走，在由点步行到达点处的过程中，通过隔离带的空隙点，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的标语．已知，，与相交于点，，垂足为，且两行车道的宽度相等．若，则标语的长度是（   ） A． B． C． D． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，若使，点E运动秒数为 （    ） A．3或5 B．3或4 C．2或5 D．2或4 8．（25-26七年级下·河南商丘·月考）如图，五边形中，，，，则五边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 9．（25-26七年级下·安徽蚌埠·月考）下列说法：①周长相等的两个三角形全等；②面积相等的两个三角形全等；③两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）分别对应相等的两个三角形全等；④两角和其中一角的平分线（或第三角的平分线）分别对应相等的两个三角形全等；⑤两边和其中一边上的高（或第三边上的高）分别对应相等的两个三角形全等．其中正确的说法有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．（24-25七年级下·全国·周测）如图，某公园有一条“Z”字形长廊ABCD，其中，在AB，BC，CD三段长廊上各有一座凉亭E，F，G，已知F是BC的中点，E，F，G在一条直线上．凉亭F与G之间有一池塘，下列长度中，与F，G之间的距离相等的是（   ） A．EF B．BE C．CF D．BF 11．（23-24七年级下·山西晋城·期末）如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是________． 12．（25-26七年级下·吉林长春·单元测试）如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．若，则_____． 13．（24-25七年级下·重庆南岸·期中）如图，为等边三角形，，分别在，上，且，连接，交于点，作，的平分线交于点，连接，．若，，则______，与的面积比为_________． 14．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动________s时，． 15．（23-24七年级下·上海长宁·期末）我们把两个不全等但面积相等的三角形叫做一对偏等积三角形．已知与是一对面积都等于的偏等积三角形，且，，那么的长等于 ___________________（结果用含和的代数式表示）． 16．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图所示是一个的正方形，求的度数． 17．（25-26七年级下·河南洛阳·期末）如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 18．（25-26七年级下·四川成都·月考）四边形中，，，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点M在上，点N在上，连接、、，若，求证：； (3)如图3，当点M在延长线上，点N在的延长线上，连接，若，求证：平分． 19．（25-26七年级下·四川眉山·期末）如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)证明：； (2)动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，当的面积为时，求的值； (3)在（）的条件下，点是直线上的一点，且．当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求的值． 20．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造手拉手旋转型全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积． 解：延长线段到，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形的面积． (1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 ． (2)请你用上面学到的方法完成下题． 如图2，已知，，求五边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 探索三角形全等的条件重难点题型专训 （4个知识点+14大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 用SSS证明三角形全等(SSS) 题型二 用SSS间接证明三角形全等(SSS) 题型三 全等的性质和SSS综合(SSS) 题型四 尺规作图——作三角形 题型五 三角形的稳定性及应用 题型六 四边形的不稳定性 题型七 用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS) 题型八 全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 题型九 用SAS证明三角形全等(SAS) 题型十 用SAS间接证明三角形全等(SAS) 题型十一 全等的性质和SAS综合(SAS) 题型十二 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合) 题型十三 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合) 题型十四 利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形) 拓展训练一 证明三角形全等 知识点一：基本事实“边角边”（SAS） 1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，，，，则能通过全等证明出，所用的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ． 2．（25-26七年级下·湖北黄石·期末）如图，在中，．将从点处沿虚线剪开，若，当线段BD的长度为__________时，剪下的两个三角形全等． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，当时，利用即可证明两个三角形全等． 【详解】解：如图所示，当时，， 则， ∴， 故答案为：2． 知识点二：基本事实“角边角”（ASA）和“角边角”的推论“角角边”（AAS） 1. 两边及其夹边分别相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或“ASA”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 3. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成“角角边”或“AAS”． 4. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·广西南宁·月考）调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带下列选项中哪片碎玻璃（    ） A．① B．①② C．③ D．①②或者③都可以 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法“角边角”可以判定应当带③去． 【详解】解：①只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃； ①②只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃； ③不但保留了一个完整的边还保留了两个角，根据全等三角形判定“角边角”可以配出一块和原来一样的三角形玻璃，所以应该带去③． 2．（25-26七年级下·新疆和田·期末）如图，已知，要根据，判定，则需要补充的一个条件为____________． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定的依据添加合适的条件即可． 【详解】解：补充的一个条件为， ∵，，， ∴， 故答案为： 知识点三：基本事实“边边边”（SSS）和斜边、直角边定理（HL） 1. 三边分别相等的两个三角形全等．简写成“边边边”或“SSS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 3. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 4. 数学语言表达:如图，在Rt与Rt中（与为直角）， ． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形全等的判定定理，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：题干的：三边长分别为、、， ∵三角形要全等对应边必须相等， ∴只有C项与的各边都相等． 2．（2026·七年级下 宁夏银川）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．这种方法是通过判定得到，其中判定的依据是_____________． 【答案】三边分别相等的两个三角形全等（或）． 【分析】根据题意得出，，结合公共边，利用全等三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：由题意可知．因为角尺两边相同的刻度分别与点，重合， 所以． 在和中， 所以． 判定依据是三边分别相等的两个三角形全等． 知识点四：三角形的稳定性 生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性． 三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用．例如：房屋的人字形支架、电线杆支架、斜拉桥架等，利用三角形的稳定性，使生活中的建筑经久耐用． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·北京·课后作业）三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上（　　）根木条． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】三角形具有稳定性，所以要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条． 【详解】解：过五边形的一个顶点作对角线，有条对角线，所以至少要钉上2根木条． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）每年的6月18日是鄂伦春族的传统节日——篝火节，篝火就是在野外营地里配上三角竹架的火堆．如图所示的是一款户外露营便携篝火架，这样设计的原理是____________________． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查了三角形的特性，熟练掌握“三角形具有稳定性”是解题的关键； 运用三角形稳定性这一知识来解释篝火架设计原理． 【详解】解：三角形具有稳定性：三角形的三条边长度确定后，它的大小和形状就不会改变． 故答案为：三角形的稳定性 ． 【经典例题一 用SSS证明三角形全等(SSS)】 【例1】（25-26七年级下·山西长治·期中）在中国的传统建筑中，房梁通常采用三角形结构，工匠通过确保三角架全等来保证结构的稳定．如图，该房梁的三角架可抽象成，，为边上的中线，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法． 根据证明即可． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·河南濮阳·期中）如图，已知，小明利用圆规和直尺，按照如下操作作出： （1）作射线； （2）以点D为圆心，为半径作弧交射线于点E； （3）以点D为圆心，为半径作弧； （4）以点E为圆心，为半径作弧，与上一步的弧相交于点F； （5）连接，． 小明说作出的与全等，依据是______． 【答案】边边边（或或三边分别相等的两个三角形全等） 【分析】本题考查尺规作图和全等三角形的判定，根据作图的方法判断出两个三角形的三条边对应相等是解题的关键． 根据作图方法可知，，由此可解． 【详解】解：根据作图的步骤（2）知，由步骤（3）（4）知， 根据三组边对应相等（），可证． 故答案为：边边边． 1．（25-26七年级下·山西晋城·月考）如图，已知，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点；以点为圆心，的长为半径作弧，与以点为圆心，的长为半径所作的弧交于点，连接，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定（），熟练掌握“三边分别相等的两个三角形全等（）”是解题的关键． 根据作图过程得出三角形三边的等量关系，再依据全等三角形判定定理判断． 【详解】解：∵以点为圆心，长为半径作弧交于， ∴． ∵以点为圆心，长为半径作弧，以为圆心，长为半径作弧交于， ∴，． 在和中， ∴（）． 故选：． 2．（24-25七年级下·河南周口·月考）年月日—月日，河南宜阳举办“洛水昌谷风筝节”，三十余种大型风筝，形态各异，色彩斑斓．如图，这是小颖目测的一个风筝骨架，她根据，，不用测量就知道，小颖是通过全等三角形的知识得到的结论，则小颖判定三角形全等的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 根据即可证明，可得； 【详解】解：在和中， ， ， ； 故选：A 3．（2025七年级下·江苏连云港·专题练习）如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形，那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是__________． 【答案】7 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，按公共边的不同情况分类寻找全等格点三角形． 分别以、、为公共边，依据全等三角形判定条件，找出与全等的格点三角形，统计数量． 【详解】解：如图所示，以为公共边，与全等的格点三角形有3个， 以为公共边，与全等的格点三角形有1个， 以为公共边，与全等的格点三角形有3个， 共个． 故答案为：7． 4．（25-26七年级下·山西朔州·月考）如图①是某社区生态景观区的平面示意图．景观区建有一个四叶草形生态水池及一座雕塑，水池内建有观景台，在观景台上安装了一盏广角灯（点），，是两条通往观景台的步行道．小仁从该社区了解到，为了凸显景观的层次感和立体感，达到理想的光影效果，要求．于是他利用身边仅有的一个卷尺根据现场条件进行测量，所得数据如下表所示： 测量 长度/m 15.0 15.0 17.5 17.5 6.0 24.0 小仁将示意图抽象成图②所示的图形．请根据所测得的数据，判断该广角灯的位置是否符合要求？ 【答案】该广角灯的位置符合要求 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意可得，，连接，证明，得出，即可得出结果，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴该广角灯的位置符合要求． 【经典例题二 用SSS间接证明三角形全等(SSS)】 【例1】（24-25七年级下·河北廊坊·期末）数学活动课上，嘉嘉与淇淇两名同学各用长为的3根木棒首尾相接拼成三角形． 嘉嘉说：“我不用测量，就知道这两个三角形的三个内角分别相等．” 淇淇说：“我不用画图，就知道两个三角形中长为的边上的中线相等．” 关于二人的说法，判断正确的是（   ） A．嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误 B．嘉嘉的说法错误，淇淇的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都错误 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据题意，可利用判定两个三角形全等，从而判断两个三角形的对应角相等，对应边上的中线相等，即可得出结论． 【详解】解：根据题意，嘉嘉与淇淇两名同学拼成的三角形全等， 则两个三角形的三个内角分别相等；两个三角形中长为的边上的中线相等． 故两人的说法都正确， 故选：C． 【例2】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有________对． 【答案】4 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法． 由“边边边”可证明图中4对三角形全等． 【详解】解：、、是的四等分点， ， ，，，， ，， ，，， ，，，． 图中的全等三角形共有4对． 故答案为：4． 1．（24-25七年级下·福建厦门·期中）为证明等腰三角形的两底角相等，下面作辅助线的方法中正确的是（    ） A．作边上的中线 B．作的平分线，经过的中点 C．过点作的垂直平分线 D．作的平分线，使得 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质，作辅助线的方法等知识点，根据等腰三角形的性质和全等三角形来判断每个选项作辅助线的方法是否能证明等腰三角形两底角相等即可，熟练掌握其定义是解决此题的关键． 【详解】A、作边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ，这种作辅助线的方法正确，符合题意； B、作的平分线，经过的中点，作角平分线不能同时保证经过的中点，该选项错误，不符合题意； C、过点A作 的垂直平分线，不能同时保证通过点A，该选项错误，不符合题意； D、作的平分线，作角平分线不能同时保证经过，该选项错误，不符合题意； 故选：A 2．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）如图，AD＝BC，AE＝CF．E、F是BD上两点，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，则∠BCF的度数为（    ） A．30° B．60° C．70° D．80° 【答案】C 【分析】由SSS证明△AED≌△CFB，得到∠BCF＝∠DAE，利用三角形的外角的性质得∠DAE＝∠AEB −∠ADB＝70°． 【详解】解：∵BE＝DF， ∴BE+EF＝DF+EF， ∴BF=DE 又∵AD＝BC，AE＝CF． ∴△AED≌△CFB（SSS）， ∴∠BCF＝∠DAE， ∵∠DAE＝∠AEB −∠ADB＝100°-30°=70° ∴∠BCF＝70°． 故选C． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和等知识． 3．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）如图，，，和相交于点，则图中全等三角形共有_____对． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证明，可得，，再进一步证明其它三角形全等即可，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴； ∴共有对全等三角形， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·湖南永州·期中）如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 首先得出，再利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，即 在和中 ∴． 【经典例题三 全等的性质和SSS综合(SSS)】 【例1】（2026七年级下·吉林·专题练习）工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，就可以知道射线是的角平分线．依据的数学基本事实是（    ） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 D．三边分别相等的两个三角形全等 【答案】D 【分析】根据题意，得到两个三角形对应的三条边相等，从而判定，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，、、， ， 则， 即射线是的角平分线， 依据的数学基本事实是“三边分别相等的两个三角形全等”． 【例2】（25-26七年级下·全国·期中）如图，，，，则____________． 【答案】/20度 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．根据“”证明，再根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，在与中，，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，通过证明，则，又，进而求出的度数，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 2．（25-26七年级下·四川广安·月考）如图，在由4个相同的小正方形拼成的网格中，（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了网格，全等三角形的判定与性质，连接，证明，得到，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由网格可得：， 在和， ， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（23-24·七年级下 广西防城港）如图，在中，，，则________． 【答案】 【分析】利用证明得到，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·七年级下 浙江绍兴）对于题目“如图1，已知相交于，证明：．” 小明的解答过程如图2．请指出小明证明过程中错误步骤的序号，并写出正确证明过程． 【答案】②，证明见解析 【分析】利用“边边边”证明即可． 【详解】解：错误步骤的序号为②． 正确证明如下： 由正确步骤①知， 所以， 因为，． 所以， 在和中， 因为， 所以． 【经典例题四 尺规作图——作三角形】 【例1】（25-26七年级下·河北石家庄·月考）已知线段a，b，c，求作，使，下面作法的合理顺序为（   ） ①分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交于点A； ②作直线，在上截取； ③连接，则为所作的三角形 A．①②③ B．①③② C．②①③ D．②③① 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图—作三角形，根据尺规作三角形的步骤，进行判断即可． 【详解】解：由题意，作的步骤如下： 作直线，在上截取； 分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交于点A； 连接，则为所作的三角形； 故正确的顺序为②①③； 故选C． 【例2】（25-26七年级下·山西太原·月考）已知：已知线段a，c和（如图（1）所示）． 求作：，使，，． 小明的作法如下：①作；②在线段，上分别截取，；③连接，即为所求作的三角形（如图（2）所示）． 在上述作法的三个步骤中有一步是错误的，是第 _____ 步（填序号）． 【答案】② 【分析】本题考查的是尺规作图－按要求作一个三角形，根据作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段的要求完成填空即可． 【详解】解：①作； ②在线段，上分别截取，； ③连接，即为所求作的三角形． 错误的是②， 故答案为：②． 1．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，可确定取值范围． 【详解】解：若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则C点唯一即可， 当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一； 当x>a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有一个交点， x=a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有两个交点，一个与A重合， 所以，当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一， 故选为：A． 【点睛】本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键． 2．（2025·七年级下 北京）下面是“作一个，使得”的尺规作图方法， （1）作一条线段； （2）以为圆心，AC长为半径画弧，以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）连接，， 则． 上述判定的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．由作图过程可得，，，，结合全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：由作图可知，，，， ∴（三边分别相等的两个三角形全等） 故选：A． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知，线段，求作，使得． 作法： （1）作线段___________； （2）在的同旁，作___________，作___________，与交于点___________，故就是所求作的三角形． 【答案】 【分析】本题主要考查了尺规作三角形，先截取线段，在的同旁，再作两个角等于已知角，交于点C，可得答案． 【详解】先在射线上截取，在的同旁，作，作，与交于点C，故就是所求作的三角形． 故答案为：c，． 4．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·月考）下面是小明设计的“已知两边及夹角作三角形”的尺规作图过程． 已知：线段a，b及． 求作：，使得，，． 作法：如图， ①以O为圆心，a长为半径作弧，交于点P； ②以O为圆心，b长为半径作弧，交于点Q； ③作射线； ④以A为圆心，长为半径作弧，交于点B； ⑤分别以A，B为圆心，，长为半径作弧，两弧交于直线上方的点C； ⑥连接、． 就是所求作的三角形． 根据小明设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：，， ① ， ② ，（ ③ ） （ ④ ）（填推理的依据） ，，，． 就是所求作的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)；全等三角形对应角相等 【分析】本题主要考查了作三角形，全等三角形的性质与判定等等， （1）根据题意作图即可； （2）利用证明得到，再由可知所作三角形即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵， ， ∴．（全等三角形对应角相等） ， ， ∴就是所求作的三角形． 故答案为：；全等三角形对应角相等． 【经典例题五 三角形的稳定性及应用】 【例1】（25-26七年级下·山东烟台·期末）盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常在窗框上斜钉一根木条，这样做的道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．用木条固定矩形窗框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性． 故选：D． 【例2】（25-26七年级下·江西新余·期中）年月日，成都大运会射击项目中国队选手顶住压力，包揽米气步枪和米气手枪混合团体两枚金牌，为他们的大运会之旅画上圆满的句号，射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是______． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键；根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 1．（25-26七年级下·湖南岳阳·月考）如图，把平板电脑放在一个支架上面，就可以将它固定好使用，这样做的数学道理是（   ） A．两点间线段最短 B．三角形的稳定性 C．点到直线的距离，垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的稳定性在生活中的应用，根据三角形的稳定性即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：把平板电脑放在一个支架上面，就可以将它固定好使用，这样做的数学道理是三角形的稳定性， 故选：B． 2．（23-24·七年级下 吉林长春）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角形的稳定性及多边形对角线的条数即可得答案． 【详解】∵三角形具有稳定性， ∴要使五边形不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线， ∵过五边形的一个顶点可作对角线的条数为5-3=2（条）， ∴要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为2条， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的稳定性及多边形的对角线，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）（1）四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （2）五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （3）六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （4）边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条． 【答案】 【分析】本题考查三角形具有稳定性，解题的关键是找对角线的条数；根据三角形具有稳定性，把四边形、五边形、六边形分成三角形，然后根据从同一个顶点出发可以作出的对角线的条数解答． 【详解】解：(1)四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (2)五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (3)六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (4) 边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上根木条， 故答案为：， ，， 4．（23-24七年级下·全国·课堂例题）[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，至少要钉多少根木条？    (1)请完成下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 … (2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条； (3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数． 【答案】(1)2，3， (2)9 (3)21 【分析】（1）利用三角形具有稳定性即可解答； （2）根据（1）中的结论代入计算即可求解； （3）根据（1）中的结论可知，有18根木条，则多边形的边数为，即可求解． 【详解】（1）解：如下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 2 3 … 故答案为：2，3，； （2）解：（根）， ∴要使十二边形木架不变形，至少要钉上9根木条， 故答案为：9； （3）解：， ∴这个多边形的边数是21， 故答案为：21． 【点睛】本题考查三角形的稳定性，注意利用图形总结规律是解题的关键． 【经典例题六 四边形的不稳定性】 【例1】（23-24七年级下·湖北武汉·月考）下列图形中不具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性求解即可． 【详解】解：∵三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性 A、图形中间部分是一个四边形，不具有稳定性，符合题意； B、图形被分割成了三个三角形，具有稳定性，不符合题意； C、图形被对角线分割成了两个三角形，具有稳定性，不符合题意； D、图形本身就是一个三角形，具有稳定性，不符合题意． 【例2】（24-25七年级下·云南大理·期中）2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了______． 【答案】平行四边形的不稳定性 【分析】本题考查了四边形的特性，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握四边形的特性是解此题的关键． 【详解】解：机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了平行四边形的不稳定性， 故答案为：平行四边形的不稳定性． 1．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】窗框与钉上的木条形成三角形，是利用三角形稳定性；张开的梯腿地面形成三角形，是利用三角形稳定性；伸缩门的结构是平行四边形，不是利用三角形稳定性；张开的马扎腿形成三角形，是利用三角形稳定性． 【详解】A、木窗框与对角钉的木条形成的三角形，三边和三角固定，防止安装变形，是利用三角形的稳定性； B、活动梯子，张开的梯腿与地面形成三角形，三边和三角固定，防止登上变形，是利用三角形的稳定性； C、伸缩门的结构是平行四边形，四角活动可以变形开关门，是利用四边形的不稳定性，不是利用三角形的稳定性； D、小马扎的座面与张开的马扎腿形成三角形，三边与三角固定，防止坐上变形，是利用三角形的稳定性． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性的应用，解决问题的关键是熟练掌握生活现象构成的几何图形，三角形的稳定性，四边形的不稳定性． 2．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）下列图形中有稳定性的是（    ） A．等腰三角形 B．正方形 C．长方形 D．平行四边形 【答案】A 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性依次判断即可解答． 【详解】解：正方形、长方形、平行四边形具有不稳定性，具有稳定性的是等腰三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，是基础题，需熟记． 3．（23-24七年级下·山东聊城·月考）大桥钢架、索道支架、人字梁等为了坚固，都采用三角形结构，这样做的根据是_____；学校门口的电动推拉门是利用四边形的______． 【答案】 三角形的稳定性 不稳定性 【分析】三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性．根据三角形的稳定性与四边形的不稳定性分析，即可得到答案． 【详解】解：大桥钢架、索道支架、人字梁等为了坚固，都采用三角形结构，这样做的根据是：三角形的稳定性； 学校门口的电动推拉门是利用四边形的：不稳定性． 故答案为：三角形的稳定性，不稳定性． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，是基础题型，正确理解三角形的稳定性与四边形的不稳定性是解题关键． 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）根据所了解的平面图形的特性说明下列设计中的数学原理： (1)用两个钉子把木条固定在墙上； (2)有一个不稳当的凳子，一名同学找来两根木条钉成如图所示的样子； (3)如图，用三个边长相同的四边形做成的挂衣架． 【答案】(1)两点确定一条直线 (2)三角形的稳定性 (3)四边形的不稳定性 【分析】本题考查了两点确定一条直线，三角形的稳定性，四边形的不稳定性等知识点，熟练运用这些知识点是解题的关键 【详解】（1）两个钉子把木条固定在墙上，利用的是两点确定一条直线； （2）有一个不稳当的凳子，一名同学找来两根木条钉成如图所示的样子，利用的是三角形具有稳定性； （3）三个边长相同的四边形做成的挂衣架是运用四边形的不稳定性的性质 【经典例题七 用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS)】 【例1】（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 【例2】（25-26七年级下·云南曲靖·月考）如图所示，，如果利用证明，那么需要添加的一个直接条件是______．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 根据“角角边”判定定理即可得到答案． 【详解】解：在和中， ， ， 利用证明，需添加的条件是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 1．（2025·七年级下 河北邯郸）有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（    ） A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 【答案】D 【分析】对于方案一，可以运用“角边角”的判定定理证明两个阴影部分的三角形全等；对于方案二，只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等． 【详解】解：如图，方案一： ∵，，， ∴． 又∵，， ∴在与中， ， ∴， 即方案一正确； 方案二： 只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等， ∴方案二中两个阴影部分的三角形不一定全等． 2．（25-26七年级下·河北·课后作业）为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 由全等三角形的判定定理或，均可证得图中两个三角形全等，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， ∵， ， ， ∴ ∴， ∴， ∴淇淇证明全等用到的依据可能是， 故选：B． 3．（25-26七年级下·山西忻州·月考）如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是60cm，当淇淇从水平位置垂直上升15cm时，嘉嘉离地面的高度是______cm． 【答案】45 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点O作地面于点G，则，证明，得出，即可推出结果 【详解】如图，过点O作地面于点G，则， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴嘉嘉离地面的高度是． 故答案为：45． 4．（25-26七年级下·湖南岳阳·期末）如图，点在直线上（点之间的线段被一块污渍遮住），点在直线的异侧，连接，且，，测得． (1)求证： (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)的长度为80 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，可得，结合，即可得证； （2）由可得，从而可得，即可求解出的长度． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）可知， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的长度为80． 【经典例题八 全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的五块（即图中标有1，2，3，4，5的五块），现要到玻璃店配一块与原来一样大小的三角形玻璃，你认为应该带去的一块是（   ） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【答案】B 【详解】解：1、3、4、5这几块玻璃不同时具备包括一个完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的． 【例2】（25-26七年级下·福建龙岩·月考）如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度，点A、点C到平面镜B点的距离相等．图中点A，B，C，D在同一条直线上．则灯泡到地面的高度是________． 【答案】 【分析】证明，则可得到． 【详解】解：由光的反射定律可得， 由题意得，， ∴， ∴． 1．（24-25七年级下·重庆南岸·期中）如图，，且，连接，分别过点，向作垂线，垂足分别为点，．若，，，则的长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据，，求出，再证明，得出，最后根据即可求解． 【详解】如图，与的交点为点，与的交点为点， ∵，，， ∴， ∴，即， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·七年级下 贵州遵义）如图，小星用高度都相等的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，且等腰直角三角板斜边的两个端点分别与点A，B重合，等腰直角三角板的直角顶点C与点D，E均在水平地面上，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内．已知，，则每个长方体小木块的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，得到，进而求出的长为10个长方体小木块的高度，即可. 【详解】解：由题意，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴10个长方体小木块的高度为， ∴每个长方体小木块的高度为. 3．（25-26七年级下·福建莆田·期末）如图为货车长方体货箱的平面示意图，货箱长为6.8米，高始终与水平地面垂直．现有一较重但分布均匀的正方体货物，工人师傅将货物沿坡面推送至重心处在适当位置时，无需借助工具即可将货物轻松平放进货箱．此时，正方体货物点H到直线的距离为1米，则正方体货物点G到直线的距离为____米． 【答案】5.8 【分析】本题主要考查重心的概念及全等三角形的性质与判定，熟练掌握重心的概念及全等三角形的性质与判定是解题的关键；分别过点H、G作，垂足为点F、P，连接，交于点O，则有，由重心可知，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：分别过点H、G作，垂足为点F、P，连接，交于点O，如图所示： ∴， 根据重心的定义可知：正方形的对角线的交点即为重心，即为图中点O， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意可知， ∴正方体货物点G到直线的距离为； 故答案为5.8． 4．（24-25七年级下·广东佛山·期中）模型意识以及知识运用 (1)【感知模型】如图1，正方形的顶点在直线上，分别过点、作于，于．则______． (2)【模型应用】如图2所示，在中，，，于，于，，，则的长为______． (3)【模型变式】如图3，在中，，点、分别是边、上一点，连接、交于点．点是上一点，连接，若，求证：． 【答案】(1) (2)6 (3)见解析 【分析】（1）依据题意，由于E，于F，则，，又四边形是正方形，可得，，从而，进而，最后由即可判断得解； （2）由“”可证，可得，即可求解； （3）根据及三角形外角的性质得，，进而可依据“”判定，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，∵于E，于F， ∴，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）证明：∵，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【经典例题九 用SAS证明三角形全等(SAS)】 【例1】（25-26七年级下·福建泉州·期末）在“小孔成像”实验中，如图所示，O是小孔位置．同学们发现：当为，的中点（即，），像与蜡烛大小相等，从数学角度分析，证明的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．根据“”证明即可． 【详解】解：∵在和中， ∴， ∴证明的依据是． 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·浙江温州·月考）如图，延长，在的延长线上截取，延长，在的延长线上截取，则这两个三角形全等的依据是________（写出全等依据的简写）．    【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用证明三角形全等成为解题的关键． 由已知条件可得、，再结合对顶角相等以及全等三角形的判定方法即可解答． 【详解】解：在核对中， ， ∴． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·云南玉溪·单元测试）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，度，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直角三角形两锐角互余，求出，再证明，根据全等三角形的对应角相等得出结论． 【详解】如图，在中，， 则， 在和中， ， ， ． 2．（25-26七年级下·四川内江·期末）如图1，已知，D为的角平分线上一点，连接；如图2，已知，D、E为的角平分线上两点，连接；如图3，已知，D、E、F为的角平分线上三点，连接；…，依此类推，第n个图形中全等三角形的对数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形规律的探索，全等三角形的判定，角平分线的性质，解题的关键是掌握以上性质，并找出图形规律． 根据角平分线的性质得出相等的角，证明，根据图2和图3找出全等三角形的对数，最后总结出规律即可． 【详解】解：由图1可得，D为的角平分线上一点， ∴， 又∵，， ∴； 同理图2中有3对全等三角形； 图3中有6对全等三角形； ∴第n个图形中全等三角形的对数是， 故选：D． 3．（25-26七年级下·山东德州·月考）如图，．，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为．设点Q的运动速度为，若使得与全等．x的值为______． 【答案】1或1.5 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键．根据全等三角形的判定得出两种情况，求出每种情况的值即可． 【详解】解：要使△与△全等，有两种情况： ①， 点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．设点的运动速度为， ； ②，， 时间为秒， 即， 所以的值是1或1.5， 故答案为：1或1.5． 4．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在和中，，，P是上任意一点，试说明： (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意，，根据进行判定即可； （2）由（1）可得，得到，证明，即可得到答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）证明： 在和中， ， ， ． 【经典例题十 用SAS间接证明三角形全等(SAS)】 【例1】（24-25七年级下·河北邯郸·月考）图中3个三角形都被墨迹污染了，则能用尺规画出和原来完全一样的三角形的是（　　） A．I和II B．只有 C．只有II D．只有 【答案】A 【分析】本题考查作图——复杂作图，全等三角形的判定等知识，根据可以判定三角形全等，延长判断即可． 【详解】解：∵可以判定三角形全等， ∴Ⅰ和Ⅱ符合题意． 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，．点P在线段上以2的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为t（）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．点Q的运动速度为_________时，有与全等． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质， 设点Q的运动速度为，分两种情况讨论：若，则，即；②若，则，即；分别求出x即可． 【详解】解：设点Q的运动速度为， ∵，． ∴与全等分两种情况： （1）若， 则， 即， 解得：； （2）若， 则， 即， 解得：. 综上所述，x的值为2或时，与全等. 故答案为：2或． 1．（23-24七年级下·云南昭通·期末）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法： ①； ②和面积相等； ③； ④； ⑤． 其中正确的有（    ） A．1个 B．5个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据三角形中线的定义可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴，故④正确 ∴，故①正确， ∵， ∴，故⑤正确， ∴，故③正确， ∵，点A到的距离相等， ∴和面积相等，故②正确， 综上所述，正确的有5个， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法并准确识图是解题的关键． 2．（25-26七年级下·重庆·单元测试）在锐角三角形中，的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．6 C．12 D．9 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短，全等三角形的判定与性质，角平分线性质等知识； 过点C作于点E，在上取点F，使，连接，则，有，则，当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值，由面积关系可求得的长，从而求得最小值． 【详解】解：如图，过点C作于点E，在上取点F，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值， ∵，， ∴， ∴的最小值为12． 故选：C． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查最短路线问题，解答中涉及垂线段最短，能够根据相关知识得到的最小值为的长是解题的关键． 在上截取，连接，，证明，得到，由此得到，当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时，过点C作交于点F，根据面积求出的长即可解决问题． 【详解】解：在上截取，连接，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时， 如图，过点C作交于点， ∵，， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，是等边三角形，D为延长线上一点，，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，解决此题的关键是熟练掌握的判定方法；根据等边三角形得到两边相等，根据平行得到两角相等，进而即可解决问题； 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴ 【经典例题十一 全等的性质和SAS综合(SAS)】 【例1】（25-26七年级下·北京·单元测试）如图，在锐角中，的面积为15，平分，若，分别是上的动点，当的最小值为6时，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】在上截取，证明，所以，则，当三点共线，且时，的值最小，为长，然后通过三角形面积公式求出长即可． 【详解】解：如图，在上截取， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小，为长，如图， 即， ∵的面积为15， ∴，即， ∴． 【例2】（25-26七年级下·安徽合肥·期末）如图所示的大正方形是由4个相同的小正方形组成的，则与的度数和为______． 【答案】/90度 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．先证明，得出，再求出结果即可． 【详解】解：∵在和中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·广东韶关·月考）如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用判定，根据全等三角形对应角相等可得，从而可得，根据三角形内角和定理可以求出，再利用三角形内角和定理可求的度数． 【详解】解：在中，， ， 在和中， ， ， 又， ， ， 在中，． 2．（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，在中，是边上的中线，若，，则长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，延长到E，使，然后利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，然后根据三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出的取值范围，然后即可得解． 【详解】解：如图，延长到点E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 故选：D． 3．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）如图1，已知，点D为的角平分线上一点，连接，；如图2，已知，D、E为的角平分线上两点，连接，，，；如图3，已知，D，E，F为的角平分线上三点，连接，，，，，；…， （1）根据规律，第4个图形中有全等三角形的对数是_____________； （2）根据规律，第n个图形中有全等三角形的对数是_____________． 【答案】 10 【分析】本题考查了全等三角形的应用，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度． （1）根据条件可得图1中有1对三角形全等；图2中可证出有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，找出图形变化的规律即可得到结果； （2）根据（1）中规律得出当有个点时，图中有对全等三角形即可确定答案． 【详解】解：（1）∵D为的角平分线上一点， ∴， 又∵，， ∴， ∴图1中有1对三角形全等； 同理可证，图2中，，， ∴图2中有3对三角形全等； 以此类推，图3中有6对三角形全等； ∵，，，…， ∴由规律可得第4个图中有对全等三角形． 故答案为：； （2）由（1）知当有个点时，图中有对全等三角形， 故答案为：． 4．（2026·七年级下 江苏常州）如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、； (1)求证：． (2)若点、分别为线段、的中点，连接、，则______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，利用“边角边”即可证明； （2）证明，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∵，，， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴，， ∵点、分别为线段、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 【经典例题十二 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合)】 【例1】（2026·七年级下 山西吕梁）如图，为测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．则其依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：已知条件是，，， ∴， ∴． 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·安徽宣城·期末）如图，点，，，在同一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．根据题目给出的条件，可以用、、证明，所以补充的条件不唯一，写出一个即可． 【详解】解：∵，． ∴当添加时，根据“”可判断； 当添加时，根据“”可判断； 当添加时，根据“”可判断；等等． 故答案为：（答案不唯一）． 1．（25-26七年级下·上海·期中）给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理，若给出条件符合全等三角形判定，则三角形形状大小可完全确定，反之无法确定，其中（两边及其中一边的对角）无法确定唯一三角形． 【详解】解：全等三角形可唯一确定三角形的形状和大小，全等判定定理包括，，，，，但不能判定三角形全等，无法确定唯一三角形， 、选项给出，，，符合判定，可确定唯一三角形，不符合题意； 、选项给出，，，属于，可画出两个形状不同的三角形，不能完全确定三角形的形状和大小，符合题意； 、选项给出，，，符合判定，可确定唯一三角形，不符合题意； 、选项给出，，，符合判定，可确定唯一三角形，不符合题意． 2．（23-24七年级下·江苏盐城·月考）根据下列条件，能作出唯一三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， 【答案】C 【分析】本题利用三角形三边关系和全等三角形的判定定理，逐一判断选项能否作出唯一三角形即可． 【详解】解：A、已知两边及其中一边的对角，不能确定唯一三角形，本选项不符合题意． B、，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能作出三角形，本选项不符合题意． C、已知两个角，第三个角可由三角形内角和求出，且已知一条边，符合全等三角形的判定条件，能作出唯一三角形，本选项符合题意． D、只知道一个直角和斜边，缺少边或角的条件，不能确定唯一三角形，本选项不符合题意． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，海海家有一块直角三角形的瓷砖（阴影部分）不小心损坏，现要定制一块完全相同的瓷砖进行替换．若家里只有一把足够长的直尺，请设计一个测量方案：_______．理由：_______． 【答案】 用直尺测量出斜边和一条直角边的长度 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，具体涉及 “斜边、直角边” 判定定理，掌握该定理是解题的关键． 通过测量原直角三角形瓷砖的斜边和一条直角边长度，得到 “能定制出与原瓷砖完全相同的直角三角形瓷砖” 的结论，即可解决问题． 【详解】解：假设原三角形为，要定制的三角形为，           用直尺测量、的长，使得， ∵在和中， ∴． 故答案为：①用直尺测量出斜边和一条直角边的长度， ②斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ． 4．（24-25七年级下·贵州铜仁·期末）如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） (2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） (3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)①②③（答案不唯一） (3)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （2）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （3）先推导出，再根据证明即可． 【详解】（1）解：我准备用我们目前学的全等三角形判定中的判定定理来判断． 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：根据判定定理来判断，需要选条件①②③． 故答案为：①②③（答案不唯一）． （3）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 【经典例题十三 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合)】 【例1】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）根据下列条件，画出的不唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、，，，符合全等三角形判定方法，画出的唯一，该选项不合题意； 、，，，符合全等三角形判定方法，画出的唯一，该选项不合题意； 、，，，符合全等三角形判定方法，画出的唯一，该选项不合题意； 、，，，两边及一边的对角相等，不能判定三角形全等，画出的不唯一，该选项符合题意； 故选：． 【例2】（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画______个．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定画出三角形即可，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键． 【详解】解：如图所示：    使，则这样的格点三角形最多可以画7个， 故答案为：7 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知与，分别以点，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，，以点为圆心，以长为半径画弧，在的内部交弧于点．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定与性质是解题的关键．连接和，根据全等三角形的判定及性质即可求解． 【详解】解：连接和， 由作图过程可知， ，，， 在和中， ， 所以， 所以． 故选：D． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，下面说法正确的有（   ） （1）这两个三角形一定全等； （2）这两个三角形不一定全等； （3）相等的角为锐角时，这两个三角形全等； （4）相等的角是钝角时，这两个三角形全等． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】画出图形，分别满足两边及一个锐角对应相等，两边与一个钝角对应相等，从而可得结论． 【详解】解：如图，两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，满足， 但是不能判定三角形的全等． 当时， 与不全等， 只有当相等的角是钝角时，这两个三角形全等． 当时， 此时完全重合的两个三角形全等， 则说法正确的只有（2）（4）． 故选：． 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，掌握利用图形理解三角形的判定方法是解题的关键． 3．（23-24七年级下·山东烟台·期中）如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC=70°，则∠AHB的度数为_______． 【答案】35°/35度 【分析】连接CD，EF．由题目中尺规作图可知：，．可证，所以，可得．所以．由于AH平分，所以．即：． 【详解】解：连接CD，EF 由题目中尺规作图可知：， 在和中 AH平分 故答案为：． 【点睛】本题主要考查知识点为，全等三角形的性质及判定、定点为圆心定长为半径的性质、平行线的判定及性质，角平分线的性质．能看懂尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质及判定、平行线的性质及判定，角平分线的性质，是解决本题的关键． 4．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） (1)在图①中的边上找一点E，使得； (2)在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）； (3)在图③中的边上找一点E，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了格点作图，全等三角形的性质，根据相关知识点正确作图是解题关键． （1）取格点、，由全等的性质可得； （2）由可知，和同底等高，则过点与平行的直线上的格点为点，可作； （3）取格点、，由全等的性质可得，进而得出，则与的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，点即为所求作； （2）解：如图，即为所求作； （3）解：如图，点即为所求作． 【经典例题十四 利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形)】 【例1】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查了角的大小比较．构造全等三角形，让与两个角的顶点重合，即可解答． 【详解】解：如图，，，， ∴， ∴， ∵在的内部， ∴． 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·河北沧州·月考）如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶点均为格点，则的度数为________；度数为_______． 【答案】 /90度 /45度 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，网格的特点， 首先证明出，得到，然后等量代换得到，即可求出；然后由得到． 【详解】解：如图所示， ∵由网格特点得，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 故答案为：，． 1．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角的和差等知识点，根据网格发现全等三角形以及相等的角是解题的关键． 根据网格提供的信息，结合全等三角形的判定与性质、角的和差以及等量代换逐个判断即可． 【详解】解： 由图形可知：，则，即①正确； 由图形可知：，则， ∴，即②正确； 由，但，则与不全等， ∴，故③错误； 由图形可知：，则，即④正确． 综上，正确的有3个． 故选B． 2．（24-25七年级下·广东汕头·月考）如图是一个的正方形网格，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．如图，先根据判定，可得，然后可得，同理，，，，进一步即可求出答案． 【详解】解：如图，在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 同理，，， ， ∴， 故选：A． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 4．（23-24七年级下·江苏·期末）如图，△ABC的三个顶点均在格点处． (1)过点B画AC的垂线BD； (2)过点A画BC的平行线AE．（请用黑水笔描清楚） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)过点B作格点直角三角形与以AC为斜边的直角格点三角形全等，即可画得； (2)过点A画正方形的对角线，即可画得． 【详解】（1）解：画图如下： （2）解：画图如下： 【点睛】本题考查了格点作图，平行线与垂线，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【拓展训练一 证明三角形全等】 【例1】（25-26七年级下·河北邢台·月考）如图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被_____遮盖，要作出与图中三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ完全相同的三角形，下列说法正确的是（    ） A．只有Ⅰ可以 B．只有Ⅰ、Ⅱ可以 C．作出三角形Ⅱ的依据是HL D．作出三角形Ⅲ的依据是SAS 【答案】B 【分析】本题是关于全等三角形判定定理，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，是否满足三角形的判定定理是解答本题的关键．根据“”可判断Ⅰ，根据“” 可判断Ⅱ． 【详解】解：Ⅰ可以根据“”来作出完全相同的三角形，Ⅱ可以根据“”来作出完全相同的三角形． 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·月考）如图，在四边形中，，，，，点E为线段的中点，点M在线段上，且以的速度由C点向点B运动，同时，点N在线段上由点D向点C运动．当点N的运动速度为______时，与全等． 【答案】3.5或 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．设点的运动速度为，运动的时间为，则，，由点为线段的中点得到，由于，根据全等三角形的判定得到当，时，；当，时，，然后分别列方程求出即可． 【详解】解：设点的运动速度为，运动的时间为，则，， ∴，， 点为线段的中点， ， ， 当，时，， 即，， 解得，， 即此时点N的运动速度为； 当，时，， 即， 解得，， 即此时点N的运动速度为； 综上所述，点N的运动速度为3.5或． 故答案为：3.5或． 1．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】先证即可判断①，利用及三角形内角和定理与对顶角即可判断②，点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，证明，得出，同理得到，从而得出，证明，从而得到，即可判断③④，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，故①正确， ∵， ∴， 如图，记交于点，的交点为， ∵， ∴， ∴，故②正确， 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N， ， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 同理， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故③正确，④正确． 2．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，．则不一定能得到以下哪个结论（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键． 根据已知条件分析和易得可判断A选项；由得出，再由全等三角形的判定和性质即可判定B、C选项即可解答． 【详解】解：在和中， ， ∴，故选项A不符合题意； ∴， ∴，即， ∵、， ∴，故选项B不符合题意； ∴， ∴，即，故选项C不符合题意； 无法证明，故选项D符合题意． 故选：D． 3．（25-26七年级下·山东滨州·期末）如图，在中，是边上的中线，设，，若a，b满足，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】已知等式变形后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出a与b的值，即可求出的取值范围． 【详解】解：已知等式整理得：， 即， ∵， ∴ ∴， 解得：， ∴， 延长到E，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中，, ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了配方法的应用，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 4．（25-26七年级下·全国·单元测试）【知识再现】学完“全等三角形”后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”是判定直角三角形全等的特有方法． 【简单应用】（1）如图①，在中，，点D，E分别在边上．若，则线段和线段的数量关系是______________． 【拓展延伸】（2）如图②所示，在中，，，点D在边上．若点E在边上，且，则线段与线段相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由． 【答案】（1）（2）．证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理和性质是解题的关键； （1）通过已知条件即可得出线段关系； （2）通过做辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质证明线段相等． 【详解】解：（1）在中， ， 在和中， ． （2）．证明：如图，过点C作交的延长线于点M，过点B作交的延长线于点N． ， ， ． ， ， ． ． 1．（25-26七年级下·山东聊城·月考）从数学角度看下列四幅图片有一个与众不同，该图片是（   ） A．屋顶支撑架 B．自行车三角架 C．伸缩门 D．旧木门钉木条 【答案】C 【分析】利用三角形的稳定性和四边形的不稳定性进行解答即可． 【详解】解；A、B、D这三个选项中的图形应用的是三角形的稳定性，C选项中的图形应用的是四边形的不稳定性． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在四边形中，，，则证明的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理：、、、、是解题的关键．由，，又因为，即可由判定两三角形全等． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：D． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（    ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【答案】A 【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可． 【详解】解：∵AE=FB， ∴AE+BE=FB+BE， ∴AB=FE， 在△ABC和△FED中， ， ∴△ABC≌△FED（SSS）， ∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE， ∴可利用的是①或②， 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键． 4．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段a，c，． 求作：，使，，． 下面是作图示范： 正确作图顺序为（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图的顺序，根据已知的三角形的两边及其夹角，按照尺规作图的步骤来确定正确的作图顺序． 【详解】解：首先确定三角形的一条边，作线段，对应图①； 作一个角等于已知角α，以B点为顶点，作，对应图③； 在射线上截取线段，在已作的角的射线上，截取，对应图②； 连接，得到，对应图④， ∴正确作图顺序为：①③②④． 故选：B． 5．（25-26七年级下·广西崇左·期末）如图所示，甲、乙两个三角形中能用“”判定和全等的是（　　） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．都不是 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据判定三角形全等的条件，逐一判断即可解答． 【详解】解：甲的边，的夹角和的边，的夹角不对应，故甲三角形与不全等； 乙的角，和边与的角，和边对应，能用“”证明乙三角形与全等； 则甲、乙两个三角形中能用“”判定和全等的是乙． 故选：B． 6．（25-26七年级下·全国·周测）如图，小明沿一段笔直的人行道行走，在由点步行到达点处的过程中，通过隔离带的空隙点，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的标语．已知，，与相交于点，，垂足为，且两行车道的宽度相等．若，则标语的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 通过证明，由全等三角形的性质即可得结论． 【详解】解：，， ， ． ∵两行车道的宽度相等， ． 在和中 ， ． 故选：C． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，若使，点E运动秒数为 （    ） A．3或5 B．3或4 C．2或5 D．2或4 【答案】C 【分析】本题核心是通过角度关系证明，得到，再分点在延长线、延长线两种位置，结合线段长度与速度公式计算运动时间．解题思路为利用直角三角形的角度关系证明三角形全等，确定对应边相等后，分点在延长线、延长线两种位置讨论，结合速度公式计算运动时间． 【详解】解：∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点E作的垂线交直线于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ①如图，当点E在射线上移动时，， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动了：； ②当点E在射线上移动时，， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动了：； 综上所述，当点E在直线上移动或时，； 故选：C． 【点睛】本题核心是通过角度关系证明，得到，再分点在延长线、延长线两种位置，结合线段长度与速度公式计算运动时间． 8．（25-26七年级下·河南商丘·月考）如图，五边形中，，，，则五边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，正确作出辅助线，利用全等三角形把五边形的面积转化为两个的面积是解决问题的关键． 可延长至F，使，利用可证明，连接，再利用证明，可将五边形的面积转化为两个的面积，进而求解即可． 【详解】解：延长至F，使，连接， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴五边形的面积是：． 故选D． 9．（25-26七年级下·安徽蚌埠·月考）下列说法：①周长相等的两个三角形全等；②面积相等的两个三角形全等；③两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）分别对应相等的两个三角形全等；④两角和其中一角的平分线（或第三角的平分线）分别对应相等的两个三角形全等；⑤两边和其中一边上的高（或第三边上的高）分别对应相等的两个三角形全等．其中正确的说法有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定条件，熟练掌握三角形全等的判定条件是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理，逐一判断即可． 【详解】解；说法①：周长相等的两个三角形不一定全等，如三边分别为3、4、5和4、4、4的三角形，周长均为12但不全等，故①错误； 说法②：面积相等的两个三角形不一定全等，如底和高相同但形状不同的三角形，故②错误； 说法③：两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等，可通过构造辅助线证明全等，如延长中线倍长后利用或证明，故③正确； 说法④：两角和其中一角的平分线（或第三角的平分线）对应相等，由两角相等得三角对应相等，再结合角平分线相等，利用或可证明全等，故 ④正确； 说法⑤：两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等，但高可能落在三角形外部导致夹角不同，如两边及一边的高相等时可能形成锐角或钝角三角形而不全等，故⑤错误； 综上所述，正确的说法有③和④，共2个， 故选：C． 10．（24-25七年级下·全国·周测）如图，某公园有一条“Z”字形长廊ABCD，其中，在AB，BC，CD三段长廊上各有一座凉亭E，F，G，已知F是BC的中点，E，F，G在一条直线上．凉亭F与G之间有一池塘，下列长度中，与F，G之间的距离相等的是（   ） A．EF B．BE C．CF D．BF 【答案】A 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题关键． 通过证明，再通过全等三角形的对应边相等得即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴与，之间的距离相等的是， 故选：A． 11．（23-24七年级下·山西晋城·期末）如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是________． 【答案】 【分析】此题主要考查了应用与设计作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 作出小刚画出的三角形，再利用全等三角形的判定定理得出即可． 【详解】解：已知：线段和，，求作：，使，，． 作法：（1）作； （2）在射线上截取线段； （3）以为顶点，以为一边作，交于点， 就是所求的三角形． 由作图可知：，，， ∴ 故答案为：． 12．（25-26七年级下·吉林长春·单元测试）如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．若，则_____． 【答案】/125度 【分析】本题主要运用全等三角形的判定定理以及全等三角形的性质来求解．先通过线段的等量关系证明三角形全等，再利用全等三角形对应角相等求出角度． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．（24-25七年级下·重庆南岸·期中）如图，为等边三角形，，分别在，上，且，连接，交于点，作，的平分线交于点，连接，．若，，则______，与的面积比为_________． 【答案】 【分析】先根据结合等边三角形的性质，证明，即可求出，再过点作交于点，作交于点，作交的延长线于点，结合角平分线的性质证明，，推出，最后根据即可求解． 【详解】∵，，三点共线， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵在和中， ， ∴ ∴， 过点作交于点，作交于点，作交的延长线于点， ∵是，的平分线， ∴，， ∵，，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴，即与的面积比为． 14．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动________s时，． 【答案】6或2 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点．根据点的位置分情况讨论，证明，得到，最后结合速度求时间即可． 【详解】解：设点运动的时间为，如图1， 点从点出发沿射线方向运动， 为边上的高， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，且， ， 解得； 如图2，点从点出发沿射线方向运动，则， ， 在和中， ， ， ， ，且， ， 解得， 综上所述，当点运动或时，， 故答案为：6或2． 15．（23-24七年级下·上海长宁·期末）我们把两个不全等但面积相等的三角形叫做一对偏等积三角形．已知与是一对面积都等于的偏等积三角形，且，，那么的长等于 ___________________（结果用含和的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的面积等知识，由面积相等可得相应等式，作出三角形的高，作出辅助线构造三角形全等，证明三角形全等是是解题的关键． 【详解】解：如图：，过作于，过作 交延长线于，延长到使 ， ， ， ， ． 故答案为：． 16．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图所示是一个的正方形，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形全等的性质的运用：由三角形全等得角相等．认真观察图形，发现并利用全等三角形是正确解决本题的关键． 由图可找出多对全等三角形，对应多对角的和是，再相加即可． 【详解】解：根据全等三角形的性质可知， 与的余角相等，也就是与互余， 同理：与互余．与互余，与互余，与互余，与互余，又， 、、、、、、， ． 17．（25-26七年级下·河南洛阳·期末）如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题关键是熟知全等三角形的判定定理，，，． （1）利用全等三角形的判定定理判定即可； （2）利用得到即可． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴； ∴，，， ∴， ∴， 在与中， ； ∴，， ∴，即， 在与中， ， ； 综上，全等三角形有；；； （2）解： 证明：由（1）知， ∴． 18．（25-26七年级下·四川成都·月考）四边形中，，，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点M在上，点N在上，连接、、，若，求证：； (3)如图3，当点M在延长线上，点N在的延长线上，连接，若，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的综合应用． （1）连接，证明，得到，，即可证明； （2）延长到，使，连接，得到，根据得到，证明，得到，，，即，，证明，得到，即可证明； （3）作交于，可知，证明，得到，证明，得到，即可证明平分． 【详解】（1）证明：如图，连接， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； （2）证明：延长到，使，连接 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴（），     ∴，， 即，， ∵在和中， ， ∴（）， ∴， 即； （3）证明：如图，作交于， ∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴（）， ∴， 即平分． 19．（25-26七年级下·四川眉山·期末）如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)证明：； (2)动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，当的面积为时，求的值； (3)在（）的条件下，点是直线上的一点，且．当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)的值为或； (3)的值为或． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，分类讨论的思想方法，熟练掌握全等三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想方法是解题的关键． （）由题意可得，所以，然后通过“”证明即可； （）由（）可知，，所以，从而有，，所以，，且，然后分当点在线段上时，当点在的延长线上时，两种情况求解即可； （）分当点在线段的延长线上时，当点在线段上时，两种情况求解即可． 【详解】（1）证明：∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ； （2）解：由（）可知，， ∴， ∵，， ∴，， ∵动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动， ∴，，且， 当点在线段上时，则，此时， ∴，解得：， 当点Q在的延长线上时，则，此时， ∴，解得：， 综上可得：的值为或； （3）解：如图，当点在线段的延长线上时， 由（）可知，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等， ∴，此时，， ∴， 解得； 如图，当点在线段上时， 同可得，，此时，， ∴， 解得， 综上所述，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，的值为或． 20．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造手拉手旋转型全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积． 解：延长线段到，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形的面积． (1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 ． (2)请你用上面学到的方法完成下题． 如图2，已知，，求五边形的面积． 【答案】(1)； (2)五边形的面积是． 【分析】（1）根据三角形的面积公式求得的面积，即可求解； （2）连接、，延长到，截取，证明，，根据三角形的面积公式求得的面积，即可得出的面积，进而求得四边形的面积． 【详解】（1）解：由题意可得， ，， 则的面积是：， 即四边形的面积为， 故答案为：； （2）连接、，延长到，截取， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， 的面积是：， 的面积是， 四边形的面积是， 五边形的面积是． 学科网（北京）股份有限公司 $