专题4.4 利用三角形全等测距离重难点题型专训（1个知识点+5大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题4.4 利用三角形全等测距离重难点题型专训 （1个知识点+5大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合 题型二 倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题) 题型三 旋转模型（全等三角形的辅助线问题) 题型四 垂线模型（全等三角形的辅助线问题) 题型五 全等三角形综合问题 拓展训练一 全等三角形的辅助线问题综合应用 拓展训练二 全等三角形判定的综合应用 知识点一：判定两个三角形全等的常用思路 已知两边 （1）找第三边——利用“SSS”； （2）找夹角——利用“SAS”； （3）找直角——利用“HL”（八年级学习） 已知一边一角 已知一角与邻边 （1）找这边的另一个邻角——利用“ASA”； （2）找这个角的另一个邻边——利用“SAS”； （3）找这边的对角——利用“AAS”； （4）若是直角找对边——利用“HL”（八年级学习） 已知一角与对边 （1）找一角——利用“AAS”； （2）若是直角找一边——利用“HL”（八年级学习） 已知两角 （1）找夹边——利用“ASA”； （2）找夹边外任意一边——利用“AAS” 【即时训练】 1．（24-25七年级下·云南德宏·期末）傣族油纸伞是傣家人引以为豪的传统手工艺之一，被列入第一批国家级非物质文化遗产保护名录，我县某中学八年级同学在了解了傣族油纸伞后，即组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．同学们依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，请添加一个条件，使得（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，据此结合全等三角形的判定定理逐一判断即可，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：根据题意可得， 添加条件时，结合，不可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件时，结合，不可以利用证明，故B不符合题意； 添加条件时，则，即，结合，不可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件时，结合，可以利用证明，故D符合题意； 2．（25-26七年级下·甘肃临夏·月考）如图，已知，需要条件（用图中的字母表示）______，可得，根据是______． 【答案】 或 或 【详解】解：已知，需要条件（用图中的字母表示）为，可得，根据是． 理由如下： ∵，，， ∴， 已知，需要条件（用图中的字母表示）为，可得，根据是． 理由如下： ∵，，， ∴， 【经典例题一 添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合】 【例1】（24-25七年级下·河北石家庄·月考）如图，AC、BD交于点，，添加：①；②；③；④，四个条件中的一个，能使的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是添加条件判定三角形确定，根据添加的条件结合全等三角形的判定方法逐一分析即可. 【详解】解：∵，，， ∴，故①符合题意； ∵，，， ∴不能判定，故②不符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴，故③符合题意； ∵，，， ∴，故④符合题意； 故选：C 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）补充一个条件，使推理完整， 在和中， ，____，， 【答案】 【分析】根据补充条件即可得到答案． 【详解】解：补充：，理由如下： 在和中， ，，， ． 故答案为： 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定方法，掌握利用判定三角形全等是解题的关键． 1．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）下面是多媒体上的一道试题，则*处不可以填（    ） 在和中， ，，__________． ． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等；注意：、不能判定两个三角形全等；判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定方法逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，，添加， ∴，故该选项不符合题意； B、，，添加， ∴，故该选项不符合题意； C、，，添加， ∴不能判断与全等，故该选项符合题意； D、，，添加， ∵，∴，， ∴，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·月考）在 和中，①；②；③；④；⑤，若选三个条件判定全等，下列组合一定能判定的是（  ） A．①②④ B．①③⑤ C．②③④ D．②④⑤ 【答案】D 【分析】根据三角形全等的判定定理，逐一验证即可． 本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A. ①②的夹角为 ，符合边边角，不能判断两个三角形全等，不符合题意； B. ①③的夹角为，符合边边角，不能判断两个三角形全等，不符合题意；     C. ②③的夹角为，符合边边角，不能判断两个三角形全等，不符合题意；     D. ②④⑤符合角角边，正确，符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级下·北京海淀·期末）甲乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及对应的边或角添加等量条件(点，，分别是点A，B，C的对应点)，某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 cm 2 乙 cm 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是__________(填写所有正确结论的序号) ①若第3轮甲添加cm，则乙获胜； ②若甲想获胜，第3轮可以添加条件； ③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为． 【答案】①③ 【分析】根据全等三角形的判定定理逐一分析判断即可． 【详解】解：①∵如果甲添加cm， 又cm，cm， ∴（SSS）， ∴乙获胜，故结论①正确； ②∵如果甲添加， 又， ∴是直角三角形，且， ∴这两个三角形的三边长度就确定下来，且必然对应相等，这两个三角形全等，故甲会输，故结论②错误， ③如果第二条条件修改为，甲在第三条填入，那么乙可能获胜，故结论③正确． 【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 4．（2025·七年级下 江苏泰州）如图，在和中，，点B、E、C、F在同一直线上． (1)从以下三个选项中：①，②，③．选择两个选项作为条件，使得结论成立，并写出证明过程． 你选择的条件是 （填序号）． (2)连接，在（1）的条件下，请仅用无刻度的直尺作出的中点P（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)①②或①③，见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形判定的条件是解题的关键． （1）选择合适的条件，证明即可； （2）连接交的交点即为所求作点P． 【详解】（1）解：选择①②，理由如下： ， 在和中，， ， ； 选择①③，理由如下： ， ， 在和中，， ， ； 故答案为：①②或①③； （2）解：如图，连接与的交点即为所求作点P， ， ，， ， ， ， ， 即点P是的中点． 【经典例题二 倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题)】 【例1】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·月考）如图，在中，，，则上中线的取值范围为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一． 延长至E，使，连接．根据证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至E，使，连接 ∵是上中线， ∴， ∵， ∴， ∴． 在中，， ∵，， ∴ 即， ∴ ∴． 故选C． 【例2】（25-26七年级下·江西新余·期中）在三角形中，若，，则中线的取值范围为_____． 【答案】 【分析】如图，延长到E，使，连接，证明，得到，在中，，即可求出答案． 此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系，构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图所示，在三角形中，若，，延长到E，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴． 故答案为：． 1．（2025七年级下·河北沧州·专题练习）小武老师在某数学读物上看到了如下问题：“在中，，，，求边上的中线长．”聪明的小武老师想：同学们虽然不会求出具体的数值，但是可以推断出该中线的取值范围．根据小武老师的想法，边上的中线长可能是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，设边上的中线为，点为边的中点，延长至点，使得，连接，则，由题意可得，证明，得出，再由三角形三边关系得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，设边上的中线为，点为边的中点，延长至点，使得，连接，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴边上的中线长可能是， 故选：C． 2．（24-25七年级下·山东德州·期末）在中，，中线，则的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，中线的性质，三角形三边关系，倍长中线，进而根据三角形三边关系求解是解题的关键．延长至E，使，连接，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，即为的取值范围． 【详解】解：如图，延长至E，使，连接， ∵AD是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， 的长度不可能是7． 故选：A． 3．（25-26七年级下·江西宜春·期末）若的边，满足，则第三边的中线长的取值范围为________． 【答案】 【分析】先倍长中线证明三角形全等，再将左边配方，利用非负性求得、的值，再利用三边关系求出的范围． 【详解】解：如图，，，，为边上的中线，，延长到，使得，连接，则， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 即． 【点睛】注意通过倍长中线证明全等；两个偶次方的和等于0，只有都等于0． 4．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图1，是的中线，，求证：． 【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与已学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问：题目所涉及的和并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由“是的中线”想到了一种思路：如图2，延长至E，使，连接，得到，易证，这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系． 请根据小强同学的思路写出证明的完整过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 延长至E，使，连接，根据是中线得到，证明得到，可知，根据“大边对大角”得到，即可证明． 【详解】证明：延长至E，使，连接， ∵是中线， ∴ ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【经典例题三 旋转模型（全等三角形的辅助线问题)】 【例1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，五边形中，，则这个五边形的面积等于__________． 【答案】1 【分析】将三角形ABC绕点C顺时针旋转至AB与AE重合，连AC，AD，可得Rt△ABC≌Rt△AEF，△ACD≌△AFD可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积，进而求出结论． 【详解】解：延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF， 由旋转的性质可得Rt△ABC≌Rt△AEF（SAS）， ∴AC=AF，，∠B=∠AEF=90°， ∴∠DEF=∠AED+∠AFE=180°， ∴D、E、F三点共线， 又∵AD=AD， ∴△ACD≌△AFD（SSS）， ∴， ∵AB=CD=AE=BC+DE，， ∴DF=CD=1， ∵， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查全了等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 1．（24-25七年级下·福建龙岩·期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 2．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（    ） A．110° B．90° C．70° D．20° 【答案】B 【分析】根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=，由旋转的性质推出≌，求出∠FAE=∠BAD=，即可得到答案． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=， 由旋转得≌， ∴∠FAB=∠EAD， ∴∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE， ∴∠FAE=∠BAD=， ∴旋转角的度数是， 故选：B． 【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 3．（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． 【答案】4 【分析】如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，求出∠GDB＝90°，可得△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米，由此利用三角形的面积公式即可求出DB的长． 【详解】解：如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，则△ADE≌△GDF，点G、F在BC上， ∴∠ADE＝∠GDF， ∵在正方形DECF中，∠EDF＝90°， ∴∠ADE＋∠FDB＝90°， ∴∠GDF＋∠FDB＝90°，即∠GDB＝90°， ∴△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米， ∴DB的长为：6×2÷3＝12÷3＝4（厘米）， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，解答此题的关键是巧妙地把阴影部分△ADE通过旋转与阴影部分△DBF 组成一个直角三角形． 4．（24-25七年级下·江西景德镇·期中）（1）【特例探究】 如图1，在四边形中，，，，，猜想并写出线段，，之间的数量关系，证明你的猜想； （2）【迁移推广】 如图2，在四边形中，，，．请写出线段，，之间的数量关系，并证明； （3）【拓展应用】 如图3，在海上军事演习时，舰艇甲在指挥中心（处）北偏东20°的处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离． 【答案】（1）EF=BE+DF，理由见解析；（2）EF=BE+DF，理由见解析；（3）85海里 【分析】（1）延长CD至点G，使DG=BE，连接AG，可证得△ABE≌△ADG，可得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，再由，，可证得△AEF≌△AGF， 从而得到EF=FG，即可求解； （2）延长CD至点H，使DH=BE，连接AH，可证得△ABE≌△ADH，可得到AE=AH，∠BAE=∠DAH，再由，可证得△AEF≌△AHF，从而得到EF=FH，即可求解； （3）连接CD，延长AC、BD交于点M，根据题意可得∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°，再由（2）【迁移推广】得：CD=AC+BD，即可求解． 【详解】解：（1）EF=BE+DF，理由如下： 如图，延长CD至点G，使DG=BE，连接AG， ∵， ∴∠ADG=∠ABC=90°， ∵AB=AD， ∴△ABE≌△ADG， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵，， ∴∠BAE+∠DAF=50°， ∴∠FAG=∠EAF=50°， ∵AF=AF， ∴△AEF≌△AGF， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF， ∴EF=DG+DF=BE+DF； （2）EF=BE+DF，理由如下： 如图，延长CD至点H，使DH=BE，连接AH， ∵，∠ADC+∠ADH=180°， ∴∠ADH=∠ABC， ∵AB=AD， ∴△ABE≌△ADH， ∴AE=AH，∠BAE=∠DAH， ∵ ∴∠EAF=∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAH， ∴∠EAF=∠HAF， ∵AF=AF， ∴△AEF≌△AHF， ∴EF=FH， ∵FH=DH+DF， ∴EF=DH+DF=BE+DF； （3）如图，连接CD，延长AC、BD交于点M， 根据题意得： ∠AOB=20°+90°+40°=150°，∠OBD=60°+50°=110°，∠COD=75°，∠OAM=90°-20°=70°，OA=OB， ∴∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°， ∵OA=OB， ∴由（2）【迁移推广】得：CD=AC+BD， ∵AC=80×0.5=40，BD=90×0.5=45， ∴CD=40+45=85海里． 即此时两舰艇之间的距离85海里． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用、等腰直角三角形的性质，题目的综合性较强，难度较大，解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形，解答时，注意类比思想的应用． 【经典例题四 垂线模型（全等三角形的辅助线问题)】 【例1】（24-25七年级下·湖北黄冈·月考）如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（　　）cm2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△EBP，又知△APC和△CPE等底同高，可以得到两三角形面积相等，即可求出三角形PBC的面积． 【详解】解：延长AP交BC于E， ∵AP垂直∠B的平分线BP于P， ∴∠ABP=∠EBP， 又知BP=BP，∠APB=∠BPE=90°， ∴△ABP≌△EBP， ∴S△ABP=S△BEP，AP=PE， ∴△APC和△CPE等底同高， ∴S△APC=S△PCE， ∴S△PBC=S△PBE+S△PCE=S△ABC=cm2， 故选B． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质及等积变换的知识点．证明出三角形PBC的面积和原三角形的面积之间的数量关系是解题的难点． 【例2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，，以点为直角顶点在第一象限作等腰直角，则点的坐标为_________   【答案】 【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，由△ABC为等腰直角三角形即可得出∠ABC＝90°、AB＝BC，通过角的计算即可得出∠ABO＝∠BCD，再结合∠CDB＝∠BOA＝90°即可利用AAS证出△ABO≌△BCD，由此即可得出BD、CD的长度，进而可得出点C的坐标． 【详解】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示． ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝90°，AB＝BC． ∵CD⊥BD，BO⊥AO， ∴∠CDB＝∠BOA＝90°． ∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°， ∴∠ABO＝∠BCD． 在△ABO和△BCD中， ， ∴△ABO≌△BCD（AAS）， ∴BD＝AO，CD＝BO， ∵A（4，0），B（0，6）， ∴BD＝4，CD＝6， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题结合等腰直角三角形和坐标点综合考查，关键在于辅助线的作法，过C点作垂直于x轴的垂线还是垂直于y轴的垂线是解题关键． 1．（25-26七年级下·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据已知条件，观察图形得，，然后证后求解． 【详解】解：，，于，于， ， ， 又，， ． ，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用，，是解题的关键． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为____．    【答案】 【分析】过作轴于点，由，可得，从而证明，再根据全等三角形的性质即可求出，，通过线段和差与点在第四象限即可求解． 【详解】如图，过作轴于点，   ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握判定与性质的应用和全等三角形的垂线模型． 4．（24-25七年级下·云南文山·月考）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ∴， ，， ， 即； （3）解：由（2）得且，， ∴， ∴ ， ∴，则， ∴． 【经典例题五 全等三角形综合问题】 【例1】（25-26七年级下·安徽滁州·月考）如图，在的方格纸中，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，我们称这样的三角形为格点三角形．那么方格纸中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，按公共边的不同情况分类寻找全等格点三角形． 分别以为公共边，依据全等三角形判定条件，找出与它全等的格点三角形，统计数量． 【详解】解：如图： 共5个三角形符合， 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·河北廊坊·月考）点是的边上一点，过点作，垂足为，以点为圆心，以长为半径画弧，分别交于点，，则与_____（选填“全等”或“不全等”）． 【答案】不全等 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据作图过程可画出图形，显然和的大小不等，即可得结论． 【详解】解：依据题意，画图如下： 显然，与不全等． 故答案为：不全等． 1．（24-25七年级下·山东烟台·期中）小明同学在学习了利用尺规作一个三角形与已知三角形全等后，尝试用不同的方法作三角形，则在下列作出的图形中，不一定与全等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键； 根据全等三角形的判定对选项进行判定即可求解； 【详解】解：A、如图： 由作图痕迹可得，，，， ， 故A选项正确，不符合题意； B、如图 由作图痕迹可得，，，， ， 故B选项正确，不符合题意； C、如图： 由作图痕迹可得，，，， ， 故C选项正确，不符合题意； D、如图： 由作图痕迹可得，，，， 不能得出与全等， 故D选项不正确，符合题意； 故选：D 2．（23-24七年级下·河北邢台·期中）对于问题：“如图，，且，过点作直线，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿向终点运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿向终点运动，点到达点时停止运动，点继续向点运动，直至到达点时，运动结束．在运动过程中，过点作于点于点，设点的运动时间为秒，当与全等时，求的值”．甲答：2．乙答：6．丙答：16． 对于以上解答，说法正确的是（    ） A．甲和乙的答案合在一起才正确 B．乙和丙的答案合在一起才正确 C．甲、乙、丙三人的答案合在一起才正确 D．甲、乙、丙三人的答案合在一起也不正确 【答案】C 【分析】分为：当时，点在上，点在上；当，时点P在上，点Q在上；当时，点P在上，点Q在上，由全等求解即可， 【详解】如图，当时，点在上，点在上， 若，则， 即， 解得； 当时，点在上，点在上， 若，此时两三角形重合，则， 即， 解得； 当时，点在上，点在上， 若，则， 即， 解得； 故选：C． 【点睛】本题为三角形综合题，涉及到三角形全等和动点问题，分类求解是解题的关键． 3．（24-25七年级下·湖北恩施·月考）已知，AD为的平分线，D、E、F…为的平分线上的若干点．如图1，连接BD、CD，图中有1对全等三角形；如图2，连接BD、CD、BE、CE，图中有3对全等三角形；如图3，连接BD、CD、BE、CE、BF，CF，图中有6对全等三角形，依此规律，第2021个图形中有___________对全等三角形． 【答案】2043231 【分析】根据题意可得如图1，△ABD≌△ACD，共1=对；如图2，△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE，共3= 对；△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE，△BEF≌△CEF，△BDF≌△CDF，△ABF≌△ACF，共6=对；由此发现规律，即可求解． 【详解】解：如图1， ∵AD为的平分线， ∴∠BAD=∠CAD， ∵AB=AC，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD，共1=对； 同理，如图2，△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE， ∴BD=CD，BE=CE， ∵DE=DE， ∴△BDE≌△CDE，共3= 对； 同理，如图3，△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE，△BEF≌△CEF，△BDF≌△CDF，△ABF≌△ACF，共6=对； ……， 由此发现，第n个图形，全等三角形有对， ∴第2021个图形中有对全等三角形． 故答案为：2043231 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，明确题意，准去得到规律是解题的关键． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质， （1）根据角角边判定三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质得到，再根据角边角证出，得到即可求出． 【详解】解：（1）因为，所以， 因为，所以， 即，所以， 在和中， ， 所以． （2）由（1）知：，， 所以， 又因为，， 所以，所以， 在和中， ， 所以， 所以． 【拓展训练一 全等三角形的辅助线问题综合应用】 【例1】（2024·七年级下 浙江）小江在某数学读物上看到了如下问题：“在中，，，，求边上的中线长．”你可能不会求解，但你可以根据所学知识，帮助小江推断下面答案可能的一项是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、三角形三边关系．延长至，使，连接，则，证明，得到，再根据三角形三边关系进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图设边上的中线为， ∵， ∴， 由题意得，， ∴，， ∴， 如图，延长至，使，连接，则，   ，是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ，即， ． ∴． 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则______． 【答案】 【分析】在CD上截取CG=CF，连接AG，可得，设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x，再证明，进而即可求解． 【详解】解：在CD上截取CG=CF，连接AG， ∵AC=CD，∠ACG=∠DCF=90°， ∴， ∴∠AGC=∠CFD， 设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x， ∵∠EAB=∠EAF+∠CAB=∠CAB+∠B=90°， ∴∠EAF=∠B， ∴∠E=∠CFD-∠EAF=∠AGC-∠B=∠GAB， 又∵AE=AB， ∴， ∴AF=BG=5x， ∴BD=BG-GD=4x， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 1．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）如图，四边形中，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线构造“三垂直”全等模型． 过点分别作，交直线于点，证明，则设，，则，则，求出，再由四边形的面积，然后整体代入求解即可． 【详解】解：过点分别作，交直线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积 ， 故选：C． 2．（23-24七年级下·河北保定·期末）老师布置的作业中有这样一道题：如图，在中，D为的中点，若，，则的长不可能是（    ） 思考：中同学认为，，这三条边不在同一个三角形中，需要进行转化；乙同学认为可以从中点D出发，构造辅助线，利用全等的知识解决基于以上两位同学的思考过程，请选择正确的结果． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、三角形三边的关系，正确作出辅助线是解题的关键．如图1所示，延长到E使得，利用倍长中线模型证明得到，再用三角形三边的关系可得，从而可得答案． 【详解】解：如图所示，延长到E使得，连接， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴B，C，D不符合题意，A符合题意； 故选A． 3．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，在中，是锐角，以为斜边在内部作一个等腰直角三角形，过点D作于点E，交于点F，若F为的中点，，，则______． 【答案】 【分析】延长，过C作，垂足为G，证明，得到，，再证明，，，设，根据边的关系代换得到，再根据列出方程，解之可得． 【详解】解：延长，过C作，垂足为G， ∵， ∴， ∵F为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，得到相等的边． 4．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，小淇站在河边的A点处，在河的对面（小淇的正北方向）的B处有一信号塔，他想知道信号塔离他有多远（即A、B两地的距离），他是这样做的： ①从点向正西方向走30步到达一棵树C处，再继续向前走30步到达D处； ②从D处左转向正南方向行走，到E处时停止行走．此时发现信号塔B、树C与自己所处的位置E恰好在一条直线上； ③从A到E小淇共走了140步． (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小淇一步大约50厘米，估计小淇在点A处时，他与信号塔的距离有多少米？请写出说理过程． 【答案】(1)画图见解析 (2)小淇在点处时他与处信号塔的距离为40米． 【分析】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，关键能把实际问题抽象成数学问题，并应用相关知识解决． （1）依据题意即可画出示意图； （2）由题意可得，得，即可求得的长． 【详解】（1）解：示意图如图所示．     （2）解：40米，理由如下： 在和中， ， ， ， 又小淇走了140步，为步， ∴为步，一步大约50厘米即米， （米）． 答：小淇在点处时他与处信号塔的距离为40米． 【拓展训练二 全等三角形判定的综合应用】 【例1】（23-24七年级下·广东珠海·期中）如图，已知等腰、等腰，连接交y轴于P点，Q、A两点均在x轴上，点且．则的长度是（    ）    A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【分析】根据点且求得，过N作交y轴于H，则，证明，得出，，然后再最后判定得出，即可求得的值． 【详解】解：∵点且． ∴，， ∴ 过N作交y轴于H，则，    等腰、等腰， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ 在和中， ∴ ∴，， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的综合应用，证明及是解题的关键． 【例2】（24-25七年级下·上海·期末）如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以为直角边作等腰直角三角形，得与中，连接交射线于点M，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形： 如图作于H，由得，再证明得，即可解决问题． 【详解】解：如图作于H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵和都是等腰三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·四川遂宁·期末）如图，在和中，，，，，连接，交于点，与相交于，与相交于，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由证明得出，则①②正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得，得出，则③正确；作于，于，则，由证明，得出，由角平分线的判定得出平分，假设，证明，可得到，从而得到，与矛盾，则④错误． 【详解】解：， ∴，即， 在和中， ， ，则①正确； ，，，则②正确； 由三角形的外角性质得：， ，则③正确； 如图，作于，于，则， 在和中， ， ， ，， 平分，即， ， ∴， 假设， ， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，即，与矛盾， 则假设不成立，则④错误； 综上，正确的结论有①②③． 2．（24-25七年级下·广东深圳·期末）三所学校分别记作A、B、C，体育场记作O，它是的三条角平分线的交点，O，A，B，C每两地之间有直线道路相连，一支长跑队伍从体育场O出发，跑遍各校后返回O点，则所跑路线距离最短的是（已知）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形全等的判定和性质，根据两点之间线段最短，列出路程和比较解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短，熟练掌握原理是解题的关键． 【详解】解：在上截取， ∵， ∴， ∴， A. OABCO的线段表示为：,     B. OACBO的线段表示为：,     C. OBACO的线段表示为：,     D. OBCAO的线段表示为：, ∴ ， ∵， ∴， 故B不符合题意； 在上截取， ∵， ∴， ∴， 又 ， ∵， ∴， 故C不符合题意； ． ， ∵， ∴， 故D不符合题意； 故选：A． 3．（25-26七年级下·湖北武汉·月考）如图，在中，已知，，点D为延长线上一点，过点A作且．连接交延长线于M．若（为常数），则________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，解答关键是构造一线三垂直模型得到全等三角形． 由题意，设，则，过点作，交的延长线于点，证明得到，再证明，得到，再利用三角形面积公式表示化简即可． 【详解】解：由，设，则， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·期末）（1）如图1，在四边形中，分别是上的点，且，试猜想图中与的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____________； （2）如图2，在四边形中，分别是上的点，且，试探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的综合应用． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出，即； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）；理由如下： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； （2）；理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ； 即； （3）；理由如下： 如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， ． 1．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知点，，，在同一直线上，且，，那么添加一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法逐个判断即可． 【详解】解：∵，∴，即， A：当时，且，，满足，可以判定，故不符合题意； B：当时，可得，且，，满足，可以判定，故不符合题意； C：当，且，，满足，无法判定，故符合题意； D：当时，且，，满足，可以判定，故不符合题意． 2．（25-26七年级下·天津河西·月考）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法进行思考，求得的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，延长至点，使，连接，根据证明，即可得到，然后根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：延长至点，使，连接， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即，故， 故选：C． 3．（23-24七年级下·陕西西安·月考）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一线三垂直证明全等是突破本题的关键．利用一线三直角证明三角形全等，可得长方形的长11与宽10，计算出长方形的面积后减去三个正方形的面积即可． 【详解】解：如图延长交于M，其他字母标注如图示：根据题意，，，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可证， ∴， ∴． 空白部分的面积＝长方形面积三个正方形的面积和． 故选：B． 4．（24-25七年级下·河北唐山·期中）小明发现有两个结论：在与中 ①若，且它们的周长相等，则； ②若，则． 对于上述的两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①，②都错误 B．①，②都正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【分析】三角形全等的判定定理，分别根据两个结论给出的条件，结合全等判定规则判断正误即可． 【详解】解：对于结论①： ∵，，且两个三角形周长相等， ∴， ∴ ，故①正确． 对于结论②： 已知条件为 ，，，属于两边及其中一边的对角对应相等（）的情况，不能判定三角形全等，可构造出满足条件但不全等的两个三角形，故②错误. 综上，①正确，②错误，答案选C． 5．（24-25七年级下·全国·周测）如图，在长方形ABCD中，，．延长BC到点E，使，连接DE，动点P从点B出发，沿B—C—D—A向终点A运动，每秒运动2个单位长度．设点P的运动时间为ts，当和全等时，t的值为（    ） A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 【答案】C 【分析】先明确长方形的边长，再根据全等三角形的对应边相等，分两种全等情况，确定动点P的位置，结合P的运动速度计算运动时间t． 【详解】解：由题意，可分两种情况讨论： ①当时，，此时点P在BC上，所以； ②当时，，此时点P在AD上，所以． 综上所述，的值为1或7． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与动点运动问题，掌握分情况讨论全等三角形的对应关系，结合动点运动路程与速度计算时间是解题的关键． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件（点，，分别是点，，的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 甲 乙 甲 表格记录了两人游戏的部分过程． 若第轮甲添加，则甲必胜；若第轮甲添加，则甲获胜；若第轮乙添加条件修改为，则乙必胜；若第轮乙添加条件修改为，则此游戏最少四轮必分胜负． 以上说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，根据全等三角形的判定方法逐个判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵ 当前条件为，和 ， 若甲添加 ，此时两个三角形由两组边相等，一组角相等，下一轮无论添加边或者角都可以利用或或证明全等，所以甲必胜， ∴，符合题意； 若甲添加，满足角角边，能判定全等，甲输乙胜， ∴错误，不符合题意； 若乙第二轮添加 为，则第三轮甲无论添加何条件，均能判定全等，甲输乙胜， ∴正确，符合题意； 若第轮乙添加条件修改为，则第三轮和第轮只能添加 或其中之一，否则都会有边边边或边角边来判定全等， ∴游戏最多四轮必分胜负， ∵原选项中“此游戏最少四轮必分胜负” ∴错误，不符合题意； 综上，正确的是， 故选：． 7．（25-26七年级下·全国·期末）如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过（　　）秒时，与全等．（注：点与不重合） A． B．、 C．、、 D．、、 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法；分类讨论各种情况下的三角形全等是解决问题的关键． 分类讨论：①当在线段上，时，，②当在上，时，，③当在上，时，，根据全等的性质分别进行计算，即可得出结果． 【详解】解：①当在线段上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）； ②当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）； ③当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）， 综上所述的值为：4，12，16． 故选：D． 8．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在正方形中，点E，F，G，H分别是正方形各边的中点，则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D．阴影部分面积为正方形面积的 【答案】D 【分析】利用全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质和正方形的面积公式对每个选项进行逐一判定即可得出结论． 【详解】解：∵正方形中，点E，F，G，H分别是正方形各边的中点， ∴，，， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∴，故选项B正确，不符合题意； 同理：四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴， ∴，即， ∴四边形矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 同理可证， ∴， ∴，， 故选项C正确，不符合题意； ∴， ∴矩形是正方形， 作并交的延长线于点K，则四边形为正方形， 作并交的延长线于点M，作并交的延长线于点N，作并交的延长线于点T，则四边形均为正方形；    ∵， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质准确找出图中的全等三角形是解题的关键． 9．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，点是上任意一点，．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定和性质逐个选项进行判断即可． 【详解】解：A、补充，不能推出，故此选项符合题意； B、补充，先证出，后能推出，故此选项不符合题意； C、补充，先证出，后能推出，故此选项不符合题意； D、补充，先证出，后能推出，故此选项不符合题意； 故选：A． 10．（24-25七年级下·河南周口·期中）如图，在凸五边形ABCDE中，，，，，，则凸五边形ABCDE的面积等于（  ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和图形，作出合适的辅助线，然后根据直角三角形的面积和梯形的面积，可以计算出凸五边形ABCDE的面积． 【详解】解：作EG⊥AC于点G，作BF⊥AC于点F，作DH⊥AC于点H， 则∠EGA＝∠AFB＝∠BFC＝∠CHD＝90°， ∴∠EAG＋∠AEG＝90°， ∵AB⊥AE，BC⊥CD， ∴∠EAB＝∠BCD＝90°， ∴∠EAG＋∠FAB＝90°， ∴∠AEG＝∠BAF， 在△EAG和△ABF中， ， ∴△EAG≌△ABF（AAS）， ∴AG＝BF，EG＝AF， 同理可证：△BFC≌△CHD， ∴BF＝CH，CF＝DH， 设AG＝x，EG＝y，CF＝z，则BF＝CH＝x，AF＝y，DH＝z， ∴S凸五边形ABCDE＝S△AEG＋S△AFB＋S△BFC＋S△CDH＋S梯形EGHD ＝ ＝， ∵y＋z＝AF＋FC＝AC＝m， ∴＝12m2， 即凸五边形ABCDE的面积等于12m2， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 11．（25-26七年级下·北京·期末）如图，点、、在同一直线上，，于，，要使，则只需添加一个适当的条件是_____．（只填一个即可） 【答案】（或） 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．根据已知推出，，则添加利用即可证明；或利用即可证明；或利用即可证明；选择一种即可． 【详解】解：，，， ， ， 若添加， 则； 若添加， 则； 若添加， 则； 故答案为：（或）． 12．（24-25七年级下·广西崇左·期末）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是____________． 【答案】全等三角形的对应边相等 【分析】连接AB，，可以证△AOB≌△COD（SAS），依据全等三角形的对应边相等得所以测量CD的长也就等于测量了工件内槽AB的长． 【详解】解：连接AB，，如图， ∵点O分别是AC、BD的中点， ∴OA＝OC，OB＝OD． 在△AOB和△COD中， OA＝OC，∠AOB＝∠COD（对顶角相等），OB＝OD， ∴△AOB≌△COD（SAS）． ∴CD＝AB（全等三角形的对应边相等）． 故答案为：全等三角形的对应边相等． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 13．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 【答案】 5 16或4/4或16 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形“三垂直模型”． （1）证明，则，可得； （2）分三种情况讨论，证明，再根据线段和差求解即可． 【详解】解：（1）∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， 过点作平行线，再过点作平行线的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故点线段延长线上不成立，舍， 综上：或， 故答案为：16或4． 14．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，，，在中，，，，．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则v的值为________． 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，能根据点和点的位置进行正确的分类讨论是解题的关键．根据题意画出图形，对点和点的位置进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵在中，，，，， ∴， 假设运动的时间为， 当时，即点在上，如图， 若， 则， ， ； 若， 则， ， ； 当时，即点在上， 若， 则， ， ； 若， 则， ， 所以， 当时，即点在上， 此时， ∴所以不存在和全等， 综上所述，点的运动速度为：或或， 故答案为：或或． 15．（25-26七年级下·重庆万州·期中）如图，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为．若，，则的长为_____．在此条件下，点为边上一点，连接，过点作，且（点在直线的上方），连接交直线于点，苦，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 根据已知条件可证明，得到，，用线段的和差关系求出的长，即为的长，作于点，证明，得到，根据，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 作于点，如下图所示： 则， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：，． 16．（25-26七年级下·河北邯郸·期末） 背景 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端的距离，甲、乙两位同学分别设计出如图所示的两种方案． 测量示意图 测量 甲：①过点作射线． ②过点作于点． ③在的延长线上截取，使得___________．（只添加一个条件） ④测量的长即可． 乙：①在水池外过点B作的垂线，在上取点、，使得． ②过D作BF的垂线DE，使点在同一条直线上． ③测量的长即可． 问题解决： (1)直接写出乙的方案是否可行． (2)补全甲方案，并说明可行的理由． 【答案】(1)可行 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）利用“”证明，即可解题； （2）根据全等三角形判定定理，添加合适的条件，证明，即可解题． 【详解】（1）解：乙的方案可行，理由如下： 由作图过程可知，， 在与中， ， ， ， 即测量出的长度，即可得出池塘两端的距离； （2）解：添加条件为：， ， ， 理由如下： 在与中， ， ， ， 即测量出的长度，即可得出池塘两端的距离． 17．（24-25七年级下·江苏南京·月考）（1）已知，如图中，是边上的中线，求证： （2）中，已知，求的取值范围是________． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，关键是添加辅助线构造全等三角形． （1）可延长到，使，连接，则得，进而在中利用三角形三边关系证明即可； （2）根据全等三角形的性质及三角形三边关系求解即可． 【详解】证明：延长到，使，连接， 是边上的中线， 在和中， （） 在中，则， 即， （2）解：在中，， 由（1）知，，， ，， ， 18．（24-25七年级下·广东佛山·月考）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E． (1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度； (2)求证：DE=CD+BE； (3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)90° (2)见解析 (3)CD= BE + DE，证明见解析 【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到90°； （2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE = EA+AD = DC+BE． （3）同（2）易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE = AD +DE，所以 CD= BE + DE． 【详解】（1）∵∠BAC=90° ∴ ∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90° 故答案为：90°． （2）证明：∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E ∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°   ∵  ∠DAC+∠DCA=90°且 ∠DAC+∠EAB=90° ∴ ∠DCA=∠EAB   ∵在△DCA和△EAB中 ∴△DCA≌△EAB (AAS) ∴ AD=BE且EA=DC 由图可知：DE = EA+AD = DC+BE． （3）∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E ∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°              ∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90° ∴ ∠DCA=∠EAB             ∵在△DCA和△EAB中 ∴△DCA≌△EAB (AAS) ∴ AD=BE且AE=CD 由图可知：AE = AD +DE ∴ CD= BE + DE． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质． 19．（24-25七年级下·福建三明·期中）如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F． （Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC； （Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD； （Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系　 　． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）AF＝AD+BD 【分析】（Ⅰ）先判断出∠ACF＝∠AEG，再用同角的余角相等判断出∠CAF＝∠EAG，即可得出结论； （Ⅱ）先用ASA判断出△ACM≌△ABD，得出AM＝AD，CM＝BD，由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC，得出∠AGE＝∠AFC，再判断出CM∥AB，得出∠MCF＝∠AGC，进而判断出MF＝CM，即可得出结论； （Ⅲ）同（Ⅱ）的方法，即可得出结论． 【详解】解：（Ⅰ）∵AC＝AE， ∴∠ACF＝∠AEG， ∵AF⊥AD， ∴∠DAF＝90°＝∠CAB， ∴∠DAF﹣∠FAG＝∠CAB﹣∠FAG， ∴∠CAF＝∠EAG， 在△AGE和△AFC中， ， ∴△AGE≌△AFC（ASA）； （Ⅱ）如图1，过点C作CM⊥AC，交AF延长线于点M， ∴∠ACM＝90°＝∠ABD， 由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB， 在△ACM和△ABD中， ， ∴△ACM≌△ABD（ASA）， ∴AM＝AD，CM＝BD， 由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC， ∴∠AGE＝∠AFC， ∴180°﹣∠AGE＝180°﹣∠AFC， ∴∠AGC＝∠AFG， ∵∠CFM＝∠AFG， ∴∠AGC＝∠CFM， ∵∠BAC＝90°＝∠ACM， ∴∠BAC+∠ACM＝180°， ∴CM∥AB， ∴∠MCF＝∠AGC， ∴∠CFM＝∠MCF， ∴MF＝CM， ∴AM＝AF+CM， ∴AD＝AF+BD； （Ⅲ）AD＝AF﹣BD； 过点C作CM⊥AC，交AF于点M， ∴∠ACM＝90°＝∠ABD， 由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB， 在△ACM和△ABD中， ， ∴△ACM≌△ABD（ASA）， ∴AM＝AD，CM＝BD， 由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC， ∴∠G＝∠F， ∵∠BAC＝90°＝∠ACM， ∴CM∥AB， ∴∠MCF＝∠G， ∴∠F＝∠MCF， ∴MF＝CM， ∴AF＝AM+CM＝AD+BD， 故答案为：AF＝AD+BD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合平行线的判定与性质证明是解题的关键． 20．（25-26七年级下·重庆渝北·期中）在中，， (1)如图1，，为上一点，于点，于点，，，求的长； (2)如图2，点、分别是、上一点，连接、交于点．点是上一点，连接，若，且，，求与面积之和． 【答案】(1) (2)与面积之和为 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积的计算，当两个三角形的高相等，那么这两个三角形的面积之比等于底之比，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形面积的计算是解题的关键． （1）由已知可得，易证，得到，，根据可求得； （2）由，易证，所以得到，根据两个三角形的高相等，则由面积之比等于底之比，即可求得． 【详解】（1）解：，，， ． ，， ． ， ， ，． ， ， ． （2）解：，， 又，， ，． ， ， ． ，， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4 利用三角形全等测距离重难点题型专训 （1个知识点+5大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合 题型二 倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题) 题型三 旋转模型（全等三角形的辅助线问题) 题型四 垂线模型（全等三角形的辅助线问题) 题型五 全等三角形综合问题 拓展训练一 全等三角形的辅助线问题综合应用 拓展训练二 全等三角形判定的综合应用 知识点一：判定两个三角形全等的常用思路 已知两边 （1）找第三边——利用“SSS”； （2）找夹角——利用“SAS”； （3）找直角——利用“HL”（八年级学习） 已知一边一角 已知一角与邻边 （1）找这边的另一个邻角——利用“ASA”； （2）找这个角的另一个邻边——利用“SAS”； （3）找这边的对角——利用“AAS”； （4）若是直角找对边——利用“HL”（八年级学习） 已知一角与对边 （1）找一角——利用“AAS”； （2）若是直角找一边——利用“HL”（八年级学习） 已知两角 （1）找夹边——利用“ASA”； （2）找夹边外任意一边——利用“AAS” 【即时训练】 1．（24-25七年级下·云南德宏·期末）傣族油纸伞是傣家人引以为豪的传统手工艺之一，被列入第一批国家级非物质文化遗产保护名录，我县某中学八年级同学在了解了傣族油纸伞后，即组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．同学们依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，请添加一个条件，使得（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·甘肃临夏·月考）如图，已知，需要条件（用图中的字母表示）______，可得，根据是______． 【经典例题一 添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合】 【例1】（24-25七年级下·河北石家庄·月考）如图，AC、BD交于点，，添加：①；②；③；④，四个条件中的一个，能使的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）补充一个条件，使推理完整， 在和中， ，____，， 1．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）下面是多媒体上的一道试题，则*处不可以填（    ） 在和中， ，，__________． ． A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·月考）在 和中，①；②；③；④；⑤，若选三个条件判定全等，下列组合一定能判定的是（  ） A．①②④ B．①③⑤ C．②③④ D．②④⑤ 3．（24-25七年级下·北京海淀·期末）甲乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及对应的边或角添加等量条件(点，，分别是点A，B，C的对应点)，某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 cm 2 乙 cm 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是__________(填写所有正确结论的序号) ①若第3轮甲添加cm，则乙获胜； ②若甲想获胜，第3轮可以添加条件； ③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为． 4．（2025·七年级下 江苏泰州）如图，在和中，，点B、E、C、F在同一直线上． (1)从以下三个选项中：①，②，③．选择两个选项作为条件，使得结论成立，并写出证明过程． 你选择的条件是 （填序号）． (2)连接，在（1）的条件下，请仅用无刻度的直尺作出的中点P（不写作法，保留作图痕迹）． 【经典例题二 倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题)】 【例1】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·月考）如图，在中，，，则上中线的取值范围为（   ） A． B． C． D．无法确定 【例2】（25-26七年级下·江西新余·期中）在三角形中，若，，则中线的取值范围为_____． 1．（2025七年级下·河北沧州·专题练习）小武老师在某数学读物上看到了如下问题：“在中，，，，求边上的中线长．”聪明的小武老师想：同学们虽然不会求出具体的数值，但是可以推断出该中线的取值范围．根据小武老师的想法，边上的中线长可能是（   ） A． B．2 C． D．4 2．（24-25七年级下·山东德州·期末）在中，，中线，则的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·江西宜春·期末）若的边，满足，则第三边的中线长的取值范围为________． 4．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图1，是的中线，，求证：． 【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与已学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问：题目所涉及的和并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由“是的中线”想到了一种思路：如图2，延长至E，使，连接，得到，易证，这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系． 请根据小强同学的思路写出证明的完整过程． 【经典例题三 旋转模型（全等三角形的辅助线问题)】 【例1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，五边形中，，则这个五边形的面积等于__________． 1．（24-25七年级下·福建龙岩·期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 2．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（    ） A．110° B．90° C．70° D．20° 3．（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． 4．（24-25七年级下·江西景德镇·期中）（1）【特例探究】 如图1，在四边形中，，，，，猜想并写出线段，，之间的数量关系，证明你的猜想； （2）【迁移推广】 如图2，在四边形中，，，．请写出线段，，之间的数量关系，并证明； （3）【拓展应用】 如图3，在海上军事演习时，舰艇甲在指挥中心（处）北偏东20°的处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离． 【经典例题四 垂线模型（全等三角形的辅助线问题)】 【例1】（24-25七年级下·湖北黄冈·月考）如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（　　）cm2 A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，，以点为直角顶点在第一象限作等腰直角，则点的坐标为_________   1．（25-26七年级下·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 2．（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为____．    4．（24-25七年级下·云南文山·月考）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【经典例题五 全等三角形综合问题】 【例1】（25-26七年级下·安徽滁州·月考）如图，在的方格纸中，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，我们称这样的三角形为格点三角形．那么方格纸中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（25-26七年级下·河北廊坊·月考）点是的边上一点，过点作，垂足为，以点为圆心，以长为半径画弧，分别交于点，，则与_____（选填“全等”或“不全等”）． 1．（24-25七年级下·山东烟台·期中）小明同学在学习了利用尺规作一个三角形与已知三角形全等后，尝试用不同的方法作三角形，则在下列作出的图形中，不一定与全等的是（    ） A．B．C． D． 2．（23-24七年级下·河北邢台·期中）对于问题：“如图，，且，过点作直线，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿向终点运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿向终点运动，点到达点时停止运动，点继续向点运动，直至到达点时，运动结束．在运动过程中，过点作于点于点，设点的运动时间为秒，当与全等时，求的值”．甲答：2．乙答：6．丙答：16． 对于以上解答，说法正确的是（    ） A．甲和乙的答案合在一起才正确 B．乙和丙的答案合在一起才正确 C．甲、乙、丙三人的答案合在一起才正确 D．甲、乙、丙三人的答案合在一起也不正确 3．（24-25七年级下·湖北恩施·月考）已知，AD为的平分线，D、E、F…为的平分线上的若干点．如图1，连接BD、CD，图中有1对全等三角形；如图2，连接BD、CD、BE、CE，图中有3对全等三角形；如图3，连接BD、CD、BE、CE、BF，CF，图中有6对全等三角形，依此规律，第2021个图形中有___________对全等三角形． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2）若，，求的长． 【拓展训练一 全等三角形的辅助线问题综合应用】 【例1】（2024·七年级下 浙江）小江在某数学读物上看到了如下问题：“在中，，，，求边上的中线长．”你可能不会求解，但你可以根据所学知识，帮助小江推断下面答案可能的一项是（    ） A． B．2 C． D．4 【例2】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则______． 1．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）如图，四边形中，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．20 2．（23-24七年级下·河北保定·期末）老师布置的作业中有这样一道题：如图，在中，D为的中点，若，，则的长不可能是（    ） 思考：中同学认为，，这三条边不在同一个三角形中，需要进行转化；乙同学认为可以从中点D出发，构造辅助线，利用全等的知识解决基于以上两位同学的思考过程，请选择正确的结果． A．5 B．4 C．3 D．2 3．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，在中，是锐角，以为斜边在内部作一个等腰直角三角形，过点D作于点E，交于点F，若F为的中点，，，则______． 4．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，小淇站在河边的A点处，在河的对面（小淇的正北方向）的B处有一信号塔，他想知道信号塔离他有多远（即A、B两地的距离），他是这样做的： ①从点向正西方向走30步到达一棵树C处，再继续向前走30步到达D处； ②从D处左转向正南方向行走，到E处时停止行走．此时发现信号塔B、树C与自己所处的位置E恰好在一条直线上； ③从A到E小淇共走了140步． (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小淇一步大约50厘米，估计小淇在点A处时，他与信号塔的距离有多少米？请写出说理过程． 【拓展训练二 全等三角形判定的综合应用】 【例1】（23-24七年级下·广东珠海·期中）如图，已知等腰、等腰，连接交y轴于P点，Q、A两点均在x轴上，点且．则的长度是（    ）    A．6 B．9 C．12 D．15 【例2】（24-25七年级下·上海·期末）如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以为直角边作等腰直角三角形，得与中，连接交射线于点M，则的长为________． 1．（24-25七年级下·四川遂宁·期末）如图，在和中，，，，，连接，交于点，与相交于，与相交于，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25七年级下·广东深圳·期末）三所学校分别记作A、B、C，体育场记作O，它是的三条角平分线的交点，O，A，B，C每两地之间有直线道路相连，一支长跑队伍从体育场O出发，跑遍各校后返回O点，则所跑路线距离最短的是（已知）（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·湖北武汉·月考）如图，在中，已知，，点D为延长线上一点，过点A作且．连接交延长线于M．若（为常数），则________（用含的代数式表示）． 4．（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·期末）（1）如图1，在四边形中，分别是上的点，且，试猜想图中与的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____________； （2）如图2，在四边形中，分别是上的点，且，试探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 1．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知点，，，在同一直线上，且，，那么添加一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·天津河西·月考）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法进行思考，求得的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·陕西西安·月考）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 4．（24-25七年级下·河北唐山·期中）小明发现有两个结论：在与中 ①若，且它们的周长相等，则； ②若，则． 对于上述的两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①，②都错误 B．①，②都正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 5．（24-25七年级下·全国·周测）如图，在长方形ABCD中，，．延长BC到点E，使，连接DE，动点P从点B出发，沿B—C—D—A向终点A运动，每秒运动2个单位长度．设点P的运动时间为ts，当和全等时，t的值为（    ） A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 6．（2025七年级下·全国·专题练习）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件（点，，分别是点，，的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 甲 乙 甲 表格记录了两人游戏的部分过程． 若第轮甲添加，则甲必胜；若第轮甲添加，则甲获胜；若第轮乙添加条件修改为，则乙必胜；若第轮乙添加条件修改为，则此游戏最少四轮必分胜负． 以上说法正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·全国·期末）如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过（　　）秒时，与全等．（注：点与不重合） A． B．、 C．、、 D．、、 8．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在正方形中，点E，F，G，H分别是正方形各边的中点，则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D．阴影部分面积为正方形面积的 9．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，点是上任意一点，．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·河南周口·期中）如图，在凸五边形ABCDE中，，，，，，则凸五边形ABCDE的面积等于（  ） A．2 B． C． D． 11．（25-26七年级下·北京·期末）如图，点、、在同一直线上，，于，，要使，则只需添加一个适当的条件是_____．（只填一个即可） 12．（24-25七年级下·广西崇左·期末）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是____________． 13．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 14．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，，，在中，，，，．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则v的值为________． 15．（25-26七年级下·重庆万州·期中）如图，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为．若，，则的长为_____．在此条件下，点为边上一点，连接，过点作，且（点在直线的上方），连接交直线于点，苦，则的长为_____． 16．（25-26七年级下·河北邯郸·期末） 背景 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端的距离，甲、乙两位同学分别设计出如图所示的两种方案． 测量示意图 测量 甲：①过点作射线． ②过点作于点． ③在的延长线上截取，使得___________．（只添加一个条件） ④测量的长即可． 乙：①在水池外过点B作的垂线，在上取点、，使得． ②过D作BF的垂线DE，使点在同一条直线上． ③测量的长即可． 问题解决： (1)直接写出乙的方案是否可行． (2)补全甲方案，并说明可行的理由． 17．（24-25七年级下·江苏南京·月考）（1）已知，如图中，是边上的中线，求证： （2）中，已知，求的取值范围是________． 18．（24-25七年级下·广东佛山·月考）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E． (1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度； (2)求证：DE=CD+BE； (3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 19．（24-25七年级下·福建三明·期中）如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F． （Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC； （Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD； （Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系　 　． 20．（25-26七年级下·重庆渝北·期中）在中，， (1)如图1，，为上一点，于点，于点，，，求的长； (2)如图2，点、分别是、上一点，连接、交于点．点是上一点，连接，若，且，，求与面积之和． 学科网（北京）股份有限公司 $