专题3.9 整式的乘除36道压轴题型专训（9大题型）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

**基本信息** 聚焦整式乘除9大核心题型，以36道压轴题构建“概念-方法-应用”三阶训练体系，强化抽象能力与推理意识 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |同底数幂乘除逆用|4道|指数转化法、定义新运算迁移|从幂的运算律到逆向应用，培养符号意识| |单项式/多项式乘法|8道|同类项判定法、整体代入法|整式乘法法则→求值应用，强化运算能力| |(x+p)(x+q)型计算|4道|作差比较法、零点定义法|多项式乘法→因式分解关联，发展推理意识| |乘法公式应用|12道|公式变形技巧、几何面积验证法|完全平方/平方差公式→代数求值与几何直观结合| |规律探究|8道|特殊到一般归纳法、贾宪三角模型|从具体算式到抽象规律，提升创新意识|

专题3.9 整式的乘除36道压轴题型专训（9大题型） 题型一 同底数幂的乘法相关逆用 题型二 单项式乘法求值问题 题型三 单项式乘多项式的应用 题型四 （x+p）（x+q）型多项式计算 题型五 多项式乘法相关求值问题 题型六 多项式乘法中的规律性问题 题型七 乘法公式在几何图形中的应用 题型八 通过对完全平方公式变形求值 题型九 同底数幂的除法逆用 【经典例题一 同底数幂的乘法相关逆用】 1．（25-26七年级下·江西宜春·专项练习）定义虚数单位，，则的计算结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究、整式的运算，可先推导虚数单位的幂次的周期性，再利用周期性分组求和，最后计算剩余项的和得到结果． 【详解】解：∵ ∴， ∴，即每4个连续的的幂次和为0． ∵，即原式包含506组完整的4项，剩余最后两项和． ∵的幂次周期为4， ∴，， ∴原式， 故选：C 2．（2025·七年级下 广东佛山），，则（   ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方，由题意可得，从而得出，即可得解，熟练掌握运算法则，进行适当变形是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，，用含的代数式表示为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法的逆应用等运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 由解出 ，再将中的化为，代入的表达式即可． 【详解】解：由，得， ， ， 代入，得， 所以， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令，求的值． 【答案】(1)3，125 (2)90 (3)3 【分析】本题考查有理数的乘方，同底数幂的乘法逆用，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． （1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）由题意可得出，，那么，则，故，而，得到，则，故，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：3，125； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【经典例题二 单项式乘法求值问题】 1．（23-24七年级下·云南玉溪·专项练习）已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可． 【详解】解：， ∵单项式与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·期中）如图是L形钢材的截面，个同学分别列出它的截面面积的算式，你认为正确的有（　　）个 ； ； ； ； A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了整式的运算，根据添加不同辅助线即可求解，熟练掌握整式运算法则，正确添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：①如图， 的面积=左边竖着的矩形的面积下面横着的矩形的面积，故错误； 如图， 的面积上边竖着的矩形的面积下面横着的矩形的面积 ，故正确； 如图， 的面积两个长方形的面积小正方形面积， 故正确； 如图， 的面积竖着的大矩形的面积横着的大矩形的面积重叠部分的正方形的面积，故错误； 如图， 的面积大矩形的面积由辅助线构成的小矩形的面积，故正确， 综上可得：正确，共3个， 故选：B． 3．（23-24七年级下·广东深圳·期中）若恒成立，则______． 【答案】0 【分析】将等式左边按照单项式乘以多项式，再合并同类项，整理后形式和等式右边一致，即可求出a ，b 的值，代入求值即可求出答案． 【详解】解：根据题意可得： ∵等式左边， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：0 【点睛】本题主要考查的是整式的运算，掌握单项式与多项式的乘法运算，合并同类项即可求出结果，也是解题的关键． 4．（25-26七年级下·山东济南·月考）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！ (1)已知，求的值． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用单项式乘以多项式运算法则计算，再利用积的乘方逆运算变形，然后代入求值； （2）先将原式变形为，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ． 【经典例题三 单项式乘多项式的应用】 1．（22-23七年级下·浙江温州·期中）如图，长方形是由两个长为a，宽为b的长方形和），两个相同的大正方形和，以及小正方形无缝拼接组成．若阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方形面积的4倍，则的值是（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查整式运算的实际应用，设小正方形的边长为，易得，根据阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方形面积的4倍，得到，进而求出的值，根据正方形的边长相等，得到，进行求解即可． 【详解】解：设小正方形的边长为， 由题意，得： 则：， ∴ 阴影部分（四个直角三角形）的面积为：， 正方形面积的面积为， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∴； 故选C． 2．（25-26七年级下·江苏南通·月考）如图，将两张边长分别为6和5的正方形纸片分别按图①和图②两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边、的长度分别为m、n．设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，当时，的值为（   ） A．6 B．15 C．18 D．30 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，正确表示出和是解题关键． 利用图形得出，，作差得到，再代入计算求值即可． 【详解】解：图①中阴影部分面积， 图②中阴影部分面积， ， 当时，的值为． 故选：B． 3．（24-25七年级下·江西赣州·月考）如图甲，圆的一条弦将圆分成部分；如图乙，圆的两条弦最多可将圆分成部分；如图丙，圆的三条弦最多可将圆分成部分．由此推测，圆的条弦最多可将圆分成______． 【答案】 【分析】解题的关键是由基本图形，逐步寻找一般规律． 根据每增加一条弦，增加了多少个部分，由易到难，找出变化规律，即可解题． 【详解】解：一条弦最多可将圆分成部分， 两条弦最多可将圆分成部分， 三条弦最多可将圆分成部分， 四条弦最多可将圆分成部分， 依此类推， 条弦最多可将圆分成部分． 4．（25-26七年级下·重庆·专项练习）重庆来福士坐落于重庆朝天门是重庆的地标建筑，其中来福士的南塔有四座塔楼，以及一座连接4座塔楼位于60层楼高空的“水晶廊桥”如图，南塔的整体可以近似地看作五个长方体组成，建筑整体高度为h，其中． (1)求该几何体的体积； (2)若，求该几何体的表面积（包括底面，不包括连接面）． 【答案】(1) (2)该几何体的表面积为． 【分析】本题考查列代数式，整式乘法的应用，整式加减的应用，正确列出代数式是解题的关键． （1）根据长方体的体积公式列出代数式即可； （2）根据长方体的表面积公式列式化简，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：该几何体的体积为； （2）解： ∵， ∴． 答：该几何体的表面积为． 【经典例题四 （x+p）（x+q）型多项式计算】 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）【阅读材料】代数式大小的比较 我们通常用作差法比较代数式的大小.例如：已知，，比较和的大小．先求，若，则；若，则；若，则，反之亦成立．本题中因为，所以． 【解决问题】若，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．由的取值而定 【答案】A 【分析】根据，进行判断即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式．解题的关键在于正确的运算． 2．（24-25七年级下·广西来宾）规定，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了新定义的整式运算． 根据新定义即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 3．（25-26七年级下·浙江宁波·专项练习）对于一个两位数，记，称为两位数的“生成数”．如，即5为两位数12的“生成数”．若两位数和满足（如），则的最小值为________． 【答案】26 【分析】本题考查了新定义下的整式的混合运算．需要求的最小值，通过代数变换，将问题转化为求的最小值，求得，分别求得当、和时，的最小值，据此分析求解即可． 【详解】解：根据题意，设两位数为和，满足， ∴， ∴，， ∴， ∵ ， 设， 要求的最小值，即需求的最小值， ∵，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， 当时，，，取时，的最小值为12； 当时，，，为定值； 当时，，，取时，的最小值为12； ∴的最小值为12， ∴的最小值为， 故答案为：26． 4．（25-26七年级下·北京·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为和______． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“系多项式”．若关于x的多项式是“系多项式”，则______． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了整式乘法的应用； （1）根据题意，令，解方程得出的值，即可得出答案； （2）根据题意，把代入多项式，得，然后解关于的方程即可得出的值，再把的值代入，进而得出答案； （3）根据题意，由“系多项式”定义，进而得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，令， 或， 解得：或， 故答案为：3 ； （2）解：根据题意，把代入，得， 解得：， 把代入，得， 令， 解得：， ∴多项式的另一个零点是； （3）解：， ∴的两个零点分别是和7， 根据“系多项式”的定义，有， ， 故答案为：． 【经典例题五 多项式乘法相关求值问题】 1．（23-24七年级下·四川资阳·专项练习）已知a为任意实数，有多项式，，且，当多项式A中不含2次项时，a的值为（    ）． A．－1 B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意列出整式相乘的式子，再计算多项式乘多项式，最后进行合并同类项，令二次项的系数等于0即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故选A． 【点睛】本题考查的是整式的乘法—多项式乘多项式，正确进行多项式的乘法是解答此题的关键． 2．（2023七年级下·湖南邵阳）实数a，b，c满足且；则 的值为（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是求代数式的值．熟练掌握多项式乘多项式法则，等式变形，整体代入，是解题的关键． 根据整式的乘法法则计算，结果中保留，由得，根据即得． 【详解】解：∵ ， 且， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3．（23-24七年级下·重庆·专项练习）若的积不含项，则___________． 【答案】 【分析】先利用多项式乘多项式法则，展开合并后得到，根据题意得，即可求解a． 【详解】解： = = ∵的积不含项， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 4．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）若的积中不含有与项． (1)直接写出的值，即___________， ___________； (2)求代数式的值． 【答案】(1)1， (2) 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算，然后根据积中不含有与项可以求解的值． （2）将的值代入代数式求值即可． 【详解】（1）解： = =， ∵积中不含有与项， ∴，， 解得，． 故答案为：1，． （2）解：当，时， ． 【点睛】本题考查多项式乘多项式以及代数式求值，解题关键是熟知多项式乘多项式的计算法则． 【经典例题六 多项式乘法中的规律性问题】 1．（22-23七年级下·江苏南京·周测）在的计算结果中，的系数是（   ） A．32 B．31 C．16 D．15 【答案】B 【分析】先根据多项式乘多项式进行展开，进而即可得到答案． 【详解】解：， ， 的系数是：． 2．（25-26七年级下·河北·单元测试）贾宪三角（如图）最初于11世纪被发现，与我们现在的学习联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律．在贾宪三角中第三行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的系数，类似地，第四行的四个数恰好对应着两数和的立方的展开式的系数，等等．观察贾宪三角形的排列规律，下列结论正确的是（    ） 1 1    1 1    2    1 1   3    3    1 1    4    6    4   1                                             ①展开式的第三项的系数是15； ②； ③展开式中含项的系数是2026； ④展开式中各项系数之和为32． A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查数字变化规律，根据贾宪三角的二项展开式系数规律，逐一判断各结论即可得到答案. 【详解】解：根据题意中的变化规律，可得到：， 故展开式的第三项的系数是15； 根据题意，可得到展开式中各项的系数依次为1，5，10，10，5，1， 故， 令得 ； 根据题意，可到展开式中第二项的系数就是中的指数n， 故展开式中含项的系数是2026； 展开式中各项的系数依次为1，5，10，10，5，1， 故； 3．（25-26七年级下·重庆·期中）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了（n为正整数）的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）； 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，杨辉三角，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题． 首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题． 【详解】解：展开式中， 第一项是， 第二项是， ∴含项的系数是， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·广西南宁·月考）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】 （1）由此可得________； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算的值． （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了多项式乘多项式及其应用，理解题意、找到规律是解题的关键； （1）由前面三个算式得到规律，根据规律即可求解； （2）算式乘，即可利用所得结论计算； （3）等式两边同乘，左边可利用所得结论计算，进而求得的值，舍去不合题意的值，代入即可求值． 【详解】解：（1）①； ②； ③； 所以． 故答案为：． （2）原式 ． 故答案为：． （3）因为， 所以． 所以实数． 因为， 当时，， 所以，． 所以． 【经典例题七 乘法公式在几何图形中的应用】 1．（25-26七年级下·广西南宁·月考）如图所示，将一个边长为的正方形减去一个边长为的小正方形，将剩余部分（阴影部分）对半剪开，恰好是两个完全相同的直角梯形，将它们旋转拼接后构成一个等腰梯形．利用图形的面积关系可以得到一个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．可分别在正方形和梯形中表示出阴影部分的面积，两式联立即可得到关于的恒等式． 【详解】解:正方形中，， 拼接后等腰梯形的面积， ∵面积相等， ∴． 故选：D． 2．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图（1）是长，宽分别为a和b的小长方形，用4个这样的小长方形围成图（2）所示的两个正方形，设外围大正方形的边长为x，内部小正方形的边长为y．观察图形，下列4个结论中，正确的个数是（    ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减、完全平方公式与图形面积的关系，掌握数形结合思想成为解题关键． 根据图形表示出两个正方形边长与、的关系，结合乘法公式计算逐个判断即可． 【详解】解：由图形可得，，，故①正确； ∴，故②正确； 由图形可得，，故③正确； ， ∴，即故④正确． 综上，正确的结论有4个． 故选：D． 3．（2023·七年级下 辽宁大连）如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是一个小正方形；第2个图形由9个小正方形拼成；第3个图形由25个小正方形拼成，依此规律，若第n个图形比第（n-1）个图形多用了72个小正方形，则n的值是___________. 【答案】 【分析】依次观察前几个图形以及正方形的个数，进而归纳得到拼成第个图形需要个正方形，即可得出结论． 【详解】第1个图形是一个小正方形； 第2个图形由个小正方形拼成； 第3个图形由个小正方形拼成， …… 拼成第个图形需要个正方形， 拼成第个图形需要个正方形， ， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形类规律探索，根据图形得出小正方形的变化规律是解题的关键． 4．（24-25七年级下·山东临沂·专项练习）【知识生成】图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． （1）如图，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为_____；（用、表示） 根据上面结论，当，时，_____． 【知识应用】 （2）类比的探究过程，请用不同的代数式表示图中大正方形的面积． 由此得到的等式为_____；（用、、表示）； 根据上面的结论，已知，，则_____． 【知识迁移】 （3）类比上述两个题目探究过程，请直接写出_____．（用、、、表示） 【答案】（1），13； （2），14； （3）． 【分析】用两种不同的方式表示正方形的面积，根据这两个面积相等列出等式即可； 把中得到的等式变形可得：，再把，代入计算即可； 类比用两种不同的方式表示正方形的面积，根据这两个面积相等列出等式即可； 把中得到的等式变形可得：，把、代入计算即可； 根据、中等式的规律直接写出结果即可． 【详解】正方形的边长为， 正方形的面积为， 大正方形可以分成个边长为的正方长、个边长为的正方长、个长为宽为的长方形， 大正方形的面积为， ， 故答案为：； 由可知， ， 又，， ， 故答案为：； 类比可得：， 故答案为：； 由可得：， ，， ， 故答案为：； 由可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式、完全平方式的几何背景、数形思想的结合、求代数式的值，解决本题的关键是用不同的方法表示同一个图形的面积，得到相等关系． 【经典例题八 通过对完全平方公式变形求值】 1．（24-25七年级下·全国·假期作业）若，则（　　） A． B．3 C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的应用，代数式求值等知识，熟练掌握完全平方公式的应用是解题关键．将式子配方成，根据平方的非负性可得可得x、y的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，， ∴，， ∴． 故选：D． 2．（23-24七年级下·浙江温州）已知2024个数，每个数只能取或两个值之一，那么它们的两两之积的和的最小正值为（    ） A． B． C．44 D．46 【答案】D 【分析】本题主要考查数字的变化规律，记，将转化为，设，，，中有个，个，则，求出，结合为正整数，当时，有最小正值，即可解答． 【详解】解：记， ∴， ∵，每个数只能取或两个值之一， ∴， ∴， 设，，，中有个，个， ∴， ∴， 由题意可得两两之积都是整数， ∴是整数，是偶数， 要使为最小正值， ∴，即， ∵为正整数， ∴当时，有最小正值， ∴， 故选：D． 3．（23-24七年级下·重庆北碚·专项练习）已知，满足，则______． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．由，，，得，，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，当及时，等号成立， ∴，当及时，等号成立， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）解答： (1)【阅读材料】 数学课上，有这样一道题；已知，，求的值． 某数学学习小组发现：可以在不求，的值的情况下，求出的值．方法如下：因为，，所以，即，则______； (2)若满足，求的值； (3)【问题解决】 如图，某校有一块长方形空地，长比宽长，为创办文明校园，美化校园环境，该校计划要在长方形空地中划出长方形和长方形，两个长方形的重合部分刚好建一个长为，宽为的喷泉水池，并将长方形和长方形(阴影部分)区域建成花圃，且花圃总周长为，求长方形空地的面积． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）直接利用题目给出的完全平方公式变形，代入已知数值计算； （2）通过换元法将两个整式设为整体，结合完全平方公式的变形公式求解； （3）通过平移阴影部分的边，发现花圃总周长与长方形周长的关系，结合长与宽的差求出长和宽，进而计算面积． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴． （2）解：设，， 则，，． ∵， ∴， 即． （3）解：设，． 根据题意，得，，， ∴，． ∵长方形和长方形(阴影部分)的总周长为， ∴．即． ∵， ∴，解得． 答：长方形空地的面积为． 【经典例题九 同底数幂的除法逆用】 1．（25-26七年级下·江苏南通·月考）已知，，若，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题利用幂的乘方和同底数幂除法的运算法则，对已知等式变形，代入已知条件得到关于的方程，结合幂的结果恒为正求出的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∵ ， ∴ 将，代入得 整理得 ∵， ∴． 2．（2023·七年级下 山东泰安）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键．将表示为 ，再代入已知条件计算． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 3．（25-26七年级下·全国·单元测试）已知实数a，b，c满足，则的值为_____． 【答案】4053 【分析】本题考查同底数幂的除法运算，代数式求值，正确掌握运算法则是解题关键． 根据题意，利用同底数幂的除法运算法则，由已知条件求出与的值，然后将原代数式变形，代入所求值即可得到结果． 【详解】解： ． ∵，，， ∴，， ∴， 原式． 故答案为：4053． 4．（23-24七年级下·福建泉州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 【答案】(1)3 (2)81 【分析】（1）根据新定义的运算方法计算即可； （2）根据条件结合新定义的运算方法判断出，，可得结论． 【详解】（1）解： ， 故答案为：3； （2），， ，， 整理得：，，解得：， ． 【点睛】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.9 整式的乘除36道压轴题型专训（9大题型） 题型一 同底数幂的乘法相关逆用 题型二 单项式乘法求值问题 题型三 单项式乘多项式的应用 题型四 （x+p）（x+q）型多项式计算 题型五 多项式乘法相关求值问题 题型六 多项式乘法中的规律性问题 题型七 乘法公式在几何图形中的应用 题型八 通过对完全平方公式变形求值 题型九 同底数幂的除法逆用 【经典例题一 同底数幂的乘法相关逆用】 1．（25-26七年级下·江西宜春·专项练习）定义虚数单位，，则的计算结果为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·七年级下 广东佛山），，则（   ） A．4 B．6 C．8 D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，，用含的代数式表示为____________． 4．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令，求的值． 【经典例题二 单项式乘法求值问题】 1．（23-24七年级下·云南玉溪·专项练习）已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级下·全国·期中）如图是L形钢材的截面，个同学分别列出它的截面面积的算式，你认为正确的有（　　）个 ； ； ； ； A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·广东深圳·期中）若恒成立，则______． 4．（25-26七年级下·山东济南·月考）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！ (1)已知，求的值． (2)已知，求代数式的值． 【经典例题三 单项式乘多项式的应用】 1．（22-23七年级下·浙江温州·期中）如图，长方形是由两个长为a，宽为b的长方形和），两个相同的大正方形和，以及小正方形无缝拼接组成．若阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方形面积的4倍，则的值是（   ） A．2 B． C． D．3 2．（25-26七年级下·江苏南通·月考）如图，将两张边长分别为6和5的正方形纸片分别按图①和图②两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边、的长度分别为m、n．设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，当时，的值为（   ） A．6 B．15 C．18 D．30 3．（24-25七年级下·江西赣州·月考）如图甲，圆的一条弦将圆分成部分；如图乙，圆的两条弦最多可将圆分成部分；如图丙，圆的三条弦最多可将圆分成部分．由此推测，圆的条弦最多可将圆分成______． 4．（25-26七年级下·重庆·专项练习）重庆来福士坐落于重庆朝天门是重庆的地标建筑，其中来福士的南塔有四座塔楼，以及一座连接4座塔楼位于60层楼高空的“水晶廊桥”如图，南塔的整体可以近似地看作五个长方体组成，建筑整体高度为h，其中． (1)求该几何体的体积； (2)若，求该几何体的表面积（包括底面，不包括连接面）． 【经典例题四 （x+p）（x+q）型多项式计算】 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）【阅读材料】代数式大小的比较 我们通常用作差法比较代数式的大小.例如：已知，，比较和的大小．先求，若，则；若，则；若，则，反之亦成立．本题中因为，所以． 【解决问题】若，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．由的取值而定 2．（24-25七年级下·广西来宾）规定，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（25-26七年级下·浙江宁波·专项练习）对于一个两位数，记，称为两位数的“生成数”．如，即5为两位数12的“生成数”．若两位数和满足（如），则的最小值为________． 4．（25-26七年级下·北京·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为和______． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“系多项式”．若关于x的多项式是“系多项式”，则______． 【经典例题五 多项式乘法相关求值问题】 1．（23-24七年级下·四川资阳·专项练习）已知a为任意实数，有多项式，，且，当多项式A中不含2次项时，a的值为（    ）． A．－1 B．0 C． D．1 2．（2023七年级下·湖南邵阳）实数a，b，c满足且；则 的值为（   ） A．0 B． C． D．1 3．（23-24七年级下·重庆·专项练习）若的积不含项，则___________． 4．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）若的积中不含有与项． (1)直接写出的值，即___________， ___________； (2)求代数式的值． 【经典例题六 多项式乘法中的规律性问题】 1．（22-23七年级下·江苏南京·周测）在的计算结果中，的系数是（   ） A．32 B．31 C．16 D．15 2．（25-26七年级下·河北·单元测试）贾宪三角（如图）最初于11世纪被发现，与我们现在的学习联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律．在贾宪三角中第三行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的系数，类似地，第四行的四个数恰好对应着两数和的立方的展开式的系数，等等．观察贾宪三角形的排列规律，下列结论正确的是（    ） 1 1    1 1    2    1 1   3    3    1 1    4    6    4   1                                             ①展开式的第三项的系数是15； ②； ③展开式中含项的系数是2026； ④展开式中各项系数之和为32． A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 3．（25-26七年级下·重庆·期中）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了（n为正整数）的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）； 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是___________ 4．（25-26七年级下·广西南宁·月考）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】 （1）由此可得________； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算的值． （3）若，求的值． 【经典例题七 乘法公式在几何图形中的应用】 1．（25-26七年级下·广西南宁·月考）如图所示，将一个边长为的正方形减去一个边长为的小正方形，将剩余部分（阴影部分）对半剪开，恰好是两个完全相同的直角梯形，将它们旋转拼接后构成一个等腰梯形．利用图形的面积关系可以得到一个等式是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图（1）是长，宽分别为a和b的小长方形，用4个这样的小长方形围成图（2）所示的两个正方形，设外围大正方形的边长为x，内部小正方形的边长为y．观察图形，下列4个结论中，正确的个数是（    ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023·七年级下 辽宁大连）如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是一个小正方形；第2个图形由9个小正方形拼成；第3个图形由25个小正方形拼成，依此规律，若第n个图形比第（n-1）个图形多用了72个小正方形，则n的值是___________. 4．（24-25七年级下·山东临沂·专项练习）【知识生成】图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． （1）如图，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为_____；（用、表示） 根据上面结论，当，时，_____． 【知识应用】 （2）类比的探究过程，请用不同的代数式表示图中大正方形的面积． 由此得到的等式为_____；（用、、表示）； 根据上面的结论，已知，，则_____． 【知识迁移】 （3）类比上述两个题目探究过程，请直接写出_____．（用、、、表示） 【经典例题八 通过对完全平方公式变形求值】 1．（24-25七年级下·全国·假期作业）若，则（　　） A． B．3 C．1 D．4 2．（23-24七年级下·浙江温州）已知2024个数，每个数只能取或两个值之一，那么它们的两两之积的和的最小正值为（    ） A． B． C．44 D．46 3．（23-24七年级下·重庆北碚·专项练习）已知，满足，则______． 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）解答： (1)【阅读材料】 数学课上，有这样一道题；已知，，求的值． 某数学学习小组发现：可以在不求，的值的情况下，求出的值．方法如下：因为，，所以，即，则______； (2)若满足，求的值； (3)【问题解决】 如图，某校有一块长方形空地，长比宽长，为创办文明校园，美化校园环境，该校计划要在长方形空地中划出长方形和长方形，两个长方形的重合部分刚好建一个长为，宽为的喷泉水池，并将长方形和长方形(阴影部分)区域建成花圃，且花圃总周长为，求长方形空地的面积． 【经典例题九 同底数幂的除法逆用】 1．（25-26七年级下·江苏南通·月考）已知，，若，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 2．（2023·七年级下 山东泰安）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·单元测试）已知实数a，b，c满足，则的值为_____． 4．（23-24七年级下·福建泉州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $